Визначення середньої гармонійної. Середня гармонійна

Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні та структурні середні

Ступінні середні:

Арифметична

Гармонійна

Геометрична

Квадратична

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять до цієї сукупності. Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величинаобчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична- дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарна кількістьпродукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу як напівсуму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як ваги можуть використовуватися не тільки абсолютні, але і відносні величини(частина):

Середня гармонійна- використовується в тих випадках, коли відомі індивідуальні значенняознаки та твір, а частоти невідомі.

У прикладі нижче - врожайність відома, - площа невідома (хоча її можна обчислити розподілом валового збору зернових на врожайність), - валовий збір зерна відомий.

Середньогармонічну величину можна визначити за такою формулою:

Формула середньої гармонійної:

Гармонійна проста

У тих випадках, коли добуток однаковий або дорівнює 1 (z = 1) для розрахунку застосовують середню гармонійну просту, що обчислюється за формулою:

Середня гармонійна проста - показник, зворотний середньої арифметичної простий, що обчислюється з обернених значеньознаки.

p align="justify"> Середньогеометрична величина дає можливість зберігати в незмінному вигляді не суму, а добуток індивідуальних значень даної величини. Її можна визначити за такою формулою:

p align="justify"> Середньогеометричні величини найбільш часто використовуються при аналізі темпів зростання економічних показників.

Середня гармонійна - використовується, коли статистична інформаціяне містить даних про ваги за окремими варіантами сукупності, але відомі твори значень варіює ознаки на відповідні їм ваги.

Загальна формула середньої гармонійної зваженої має такий вигляд:

х - величина варіює ознаки,

w – добуток значення варіюючої ознаки з його ваги (xf)

У разі, якщо загальні обсяги явищ, тобто. Добутки значень ознак на їх ваги рівні, то застосовується середня гармонійна проста:

х – окремі значення ознаки (варіанти),

n – загальне числоваріант.

Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Середня геометрична та середня хронологічна.

Середня геометрична

Якщо є n коефіцієнтів зростання, то формула середнього коефіцієнта:

Це формула середньої геометричної.

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня n із добутку коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Середня хронологічна - середня, розрахована із значень, що змінюються у часі. Використовується до розрахунку середнього рівня моментного ряду. У тому випадку, якщо наявні дані відносяться до фіксованих моментів часу з рівними інтервалами, то використовується така формула:

Х - значення рівнів ряду,

n – кількість наявних показників.

Середній рівень моментних рядів динаміки з нерівновіддаленими датами визначається за формулою середньої зваженої хронологічної:

=

Де рівні рядів динаміки

- Тривалість інтервалу часу між рівнями

Середня квадратична. Взаємозв'язок статечних середніх величин.

Якщо середовищу підлягають величини, виражені у вигляді квадратних функцій, застосовується середня квадратична. Наприклад, за допомогою середньої квадратичної можна визначити діаметри труб, коліс тощо.

Середня квадратична проста визначається шляхом вилучення квадратного кореняіз приватного від поділу суми квадратів окремих значеньознаки з їхньої число.

Середня квадратична зважена дорівнює:

Концепція моди. Розрахунок моди для дискретного та інтервального рядів розподілу.

Для характеристики структури статистичної сукупностізастосовуються показники, що називають структурними середніми. До них відносяться мода та медіана.

Мода (Мо) - найчастіше зустрічається варіант. Модою називається значення ознаки, що відповідає максимальній точці теоретичної кривої розподілів.

Мода представляє найбільш поширене або типове значення.

Мода застосовується в комерційній практиці для вивчення купівельного попиту та реєстрації цін.

У дискретному ряду мода – це варіанти із найбільшою частотою. В інтервальному варіаційному ряді модою вважають центральний варіант інтервалу, який має найбільшу частоту (зокрема).

У межах інтервалу треба знайти значення ознаки, яке є модою.

де хо – Нижня границямодального інтервалу;

h – величина модального інтервалу;

fm – частота модального інтервалу;

fт-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

fm+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода залежить від величини груп, від точного становища меж груп.

Мода – число, яке насправді зустрічається найчастіше (є величиною визначено
нной), у практиці має найширше застосування (найчастіше зустрічається тип покупця).

Середня гармонійна- Це величина, зворотна середньої арифметичної, тобто. складається із обернених значень ознаки.

Приклад 5.Розрахунок середнього відсотка виконання плану. Є такі дані:

У прикладі як варіює ознаки виступають показники ступеня виконання плану (варіанти), а план приймає за ваги (частоти). При цьому середня виходить як середня арифметична зважена:

Якщо при визначенні середнього ступеня виконання плану за ваги приймати не завдання, а фактичне його виконання, то середня арифметична даному випадкудасть неправильний результат:

Правильний результат при зважуванні за фактичним виконанням завдання дасть середня гармонійна зважена:

де w- Ваги середньої гармонійної зваженої.

Умови застосування середньої гармонійної

Середню гармонійну використовують, як ваги застосовуються не одиниці сукупності (носії ознаки), а твори цих одиниць на значення ознаки, т.е. .

З цього правила випливає, що середня гармонійна в статистиці по суті є перетворена середня арифметична, яка застосовується, коли невідома чисельність сукупності і доводиться зважувати варіанти за обсягами ознаки.

2. Якщо як ваги виступають абсолютні величини, всяке проміжне дію під час розрахунку середньої має давати економічно значні результати.

Наприклад, при розрахунку середнього відсотка виконання плану показник виконання плану множимо на планове завдання та отримуємо фактичне виконання плану. Якщо ж показник виконання плану помножити на фактичне його виконання, то з економічної точкизору результат вийде абсурдний. Отже, форма середньої застосована неправильно).

Читайте також

70. Середнє гармонійне

Середнім гармонійним позитивних чиселпро, b називається число, зворотне якого є середнім арифметичним між , тобто. число

Завдання 358. Довести, що середнє гармонійне не перевищує середнього геометричного.

Середні величини у статистиці: сутність, властивості, види. Приклади розв'язання задач

Зворотній до середнього гармонійного величина є середнім арифметичне чиселобернена до середнього геометричного величина є середнє геометричне чисел так що залишається послатися на нерівність про середнє арифметичне та геометричне.

Завдання 359. Числа позитивні. Довести, що

Рішення. Шукану нерівність можна переписати у вигляді

т. е. треба довести, що середнє арифметичне чисел більше або дорівнює їхньому середнього гармонійного. Це стає зрозумілим, якщо вставити між ними середнє геометричне:

остання нерівність зводиться до нерівності про середню арифметичну і геометричних чисел.

Інше рішення використовує наступний трюк. Будемо доводити більше загальна нерівність(зване нерівністю Коші-Буняковського)

(якщо підставити в нього отримаємо потрібне).

Щоб довести нерівність Коші-Буняковського, розглянемо квадратичний тричлен

Розкривши в ньому дужки і згрупувавши члени за ступенями х, отримаємо тричлен

За будь-яких x цей тричлен невід'ємний - адже він є сумою квадратів. Значить, його дискримінант не більше нуля, тобто.

Як Вам сподобався цей трюк?

приклад : Потрібно визначити середній вікстудента заочної форминавчання за даними, заданими у наступній таблиці:

Для обчислення середньої в інтервальних рядах спочатку визначають середнє значення інтервалу як напівсуму верхньої та нижньої межі, а потім розраховується середня величина за формулою середньо арифметична зважена.

Вище наведено приклад з рівними інтервалами, причому 1-й та останній є відкритими.

.

Відповідь:середній вік студента становить 22,6 років або приблизно 23 роки.

Середня гармонійнамає більше складну конструкціюніж середня арифметична. Використовується у випадках, коли статистична інформація не містить частот за окремими значенням ознаки, а представлена ​​добутком значення ознаки на частоту . Середня гармонійна як вид статечної середньої виглядає так:

Залежно від форми подання вихідних даних середня гармонійна може бути розрахована як проста і зважена. Якщо вихідні дані не згруповані, то застосовується середня гармонійна проста :

До неї вдаються у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, матеріалів тощо.

Середня гармонійна проста і зважена

на одиницю продукції на кількох підприємствах.

При роботі зі згрупованими даними використовується середня гармонійна зважена:

Середня геометричназастосовується у тих випадках, коли загальний обсяг середньої ознаки є мультиплікативною величиною,Тобто. визначається не підсумовуванням, а множенням індивідуальних значень ознаки.

Форма середньої геометричної виваженої в практичних розрахунках не застосовується .

Середня квадратична використовується у тих випадках, коли при заміні індивідуальних значень ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин .

Головна сфера її використання - Вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки щодо середньої арифметичної(Середнє квадратичне відхилення). Крім цього, середня квадратична застосовується в тих випадках, коли необхідно обчислити середню величину ознаки, вираженого в квадратних або кубічних одиницях виміру (при обчисленні середньої величини квадратних ділянок, середніх діаметрів труб, стовбурів і т. д.).

Середня квадратична розраховується у двох формах:

Усі статечні середні різняться між собою значеннями показника ступеня.При цьому, що показник ступеня, то більшекількісне значення середнього показника:

Ця властивість статечних середніх називається властивістю мажорантності середніх.

Середня гармонійна величина

За умови підстановки в загальну формулу(6.1) значення до = -1 можна отримати середню гармонійну величинуяка має просту і виважену форми.

Для ранжованого ряду використовується середня гармонічна проставеличина, яку можна записати в такий спосіб.

де n – загальна чисельністьваріант; - Зворотне значення варіанти.

Припустимо, є дані про те, що при перевезенні картоплі швидкість руху автомобіля з вантажем становить 30 км/год, без вантажу – 60 км/год. Потрібно знайти середню швидкість руху автомобіля. На погляд представляється дуже нескладне рішення завдання: застосувати метод середньої арифметичної простий величини, тобто.

Однак, якщо мати на увазі, що швидкість руху дорівнює пройденому шляху, поділеному на витрачений час, то очевидно, що результат (45 км/год) виявляється неточним, так як на проходження одного і того ж шляху автомобілем з вантажем і без вантажу ( туди і назад) витрати часу істотно відрізнятимуться. Отже, точніша Середня швидкістьруху автомобіля з вантажем і без вантажу може бути розрахована за середньою гармонійною простою величиною:

Таким чином, середня швидкість руху автомобіля з вантажем та без вантажу становить не 45, а 40 км/год.

У дискретних чи інтервальних рядах використовується середня гармонічна зваженавеличина:

де W - добуток варіанти на частоту (зважена варіанта, xf).

Розглянемо приклад.Трудомісткість виробництва 1т картоплі у першому підрозділі сільськогосподарської організації становить 10 чол.-ч., у другому – 30 чол.-ч. В обох підрозділах виробництва картоплі витрачено по 30 тис. чол.-ч. Необхідно розрахувати середню арифметичну трудомісткість картоплі у сільськогосподарській організації. Здається, що середню трудомісткість легко знайти як напівсуму трудомісткості картоплі у двох підрозділах, тобто за способом середньої арифметичної простої величини:

Однак при такому рішенні відбуваються дві помилки. Перша, важлива помилка у тому, що з розрахунку середньої трудомісткості за способом середньої арифметичної простий величини не враховується сутність самої трудомісткості, яка як ставлення прямих витрат праці обсягу продукції. Друга помилка полягає в тому, що при вирішенні не враховано наведений за умовою завдання конкретний обсяг витрат праці на виробництво картоплі (по 30 тис.).

Середня гармонійна

люд. / год. в обох підрозділах). Це дозволяє розрахувати частоту (ваги) для трудомісткості картоплі і, таким чином, знайти середню арифметичну зважену трудомісткість, що буде успішно замінено шляхом застосування середньої гармонійної зваженої величини:

Таким чином, середня трудомісткість картоплі у сільгоспорганізації становить не 20, як це було розраховано вище, а 15 чол. ч/т.

Середня гармонійна величина застосовується головним чином у випадках, коли варіанти ряду представлені зворотними значеннями, а частоти (ваги) приховані в загальному обсязіознаки, що вивчається.

Структурні середні

У деяких випадках для отримання узагальнюючої характеристики статистичної сукупності за якоюсь ознакою доводиться користуватися так званими структурними середніми. До них відносять модуі медіану.

Модає варіантом, що найчастіше зустрічається в даній статистичній сукупності. У ранжированном ряді мода зазвичай, не визначається, оскільки кожній варіанті відповідає частота, що дорівнює одиниці.

Мода в дискретному ряду відповідає варіанті з найбільшою частотою, причому випадкова величинаможе мати кілька мод. За наявності однієї з них розподіл статистичної сукупності прийнято називати одномодальним, за наявності двох мод – бімодальних, трьох і більше мод – мультимодальних. Наявність кількох мод нерідко означає об'єднання однієї сукупності різноякісних статистичних одиниць.

Мода для інтервального ряду з рівними інтервалами розраховується за формулою

(6.12)

де х мо sub> - нижня межа модального інтервалу; i мо – величина інтервалу;

f мо – частота модального інтервалу; f дмо - Частота домодального інтервалу; f змо - Частота замодального інтервалу.

Припустимо, ринкові ціни на яблука по районним центрам області склалися так (табл. 6.8). За цими даними необхідно розрахувати моду ринкових цін на картопля.

Таблиця 6.8. Ринкові ціни на яблука

З даних табл. 6.8 видно, що максимальна кількістьринків зосереджено у третьому інтервалі, причому розподіл статистичної сукупності унімодальний. Для розрахунку моди ринкових цін на яблука скористаємося формулою (6.12):

Таким чином, модальна ринкова ціна на яблука в районних центрахобласті складає 1690 р/кг.

Модальна варіанта при характеристиці статистичної сукупності можна використовувати у випадках, коли розрахунок середньої величини утруднений чи неможливий, наприклад, у ринкових умов щодо попиту й пропозиції, рівня цін тощо.

Медіана- Випадки, що знаходяться в середині варіаційного ряду. Медіана в ранжированому ряду знаходиться в такий спосіб. По-перше, розраховують номер медіаної варіанти:

де n ме – номер медіаної варіанти; n – загальна кількість варіант у ряду.

По-друге, у ранжированому ряду визначається значення медіаної варіанти: якщо загальне число варіант непарне, то медіана відповідає розрахованому за формулою (6.13) номером.

Припустимо, ранжований ряд складається з 99 одиниць, розподілених за врожайністю цукрових буряків. Медіанний номер варіанти знаходимо за формулою (6.13): .

Це означає, що за № 50 знаходиться шукана медіана врожайності, яка дорівнює, наприклад, 500ц/га.

Якщо ж загальне число варіант парне, то медіана дорівнює напівсумі двох суміжних медіанних варіант. Наприклад, у ранжированому ряду є 100 статистичних одиниць, розподілених знову ж таки за врожайністю цукрових буряків. Отже, у такому ряду є два медіанні номери, що видно з наступного розрахунку за формулою (6.13):

Отже, у разі медіанними вважаються № 50 і 51, а медіану врожайності цукрових буряків, наприклад, можна як наступну напівсуму двох суміжних врожайностей, тобто.

Для дискретного рядурозподіл медіану розраховують за накопиченими частотами: по-перше, знаходять напівсуму накопичених частот; по-друге, визначають відповідність цієї напівсуми конкретному варіанті, яка і буде медіаною.

Наприклад, річний надою корів розподілений як дискретного ряду, у якому сума накопичених частот становить 200 одиниць і, напівсума – 100 одиниць.

Цей медіанний номер знаходиться в групі статистичних одиниць дискретного ряду і відповідає річному удою корів 5000 кг молока, що є медіаною дискретного ряду.

В інтервальному варіаційному ряді медіану розраховують за формулою

, (6.14)

де М е - Медіана інтервального ряду; х ме – нижня межа медіанного інтервалу; i ме – величина медіанного інтервалу; Σf - сума накопичених частот в інтервальному ряду; f н – накопичена частота домедіанного інтервалу; f ме - Частота медіанного інтервалу.

Для розрахунку медіани в інтервальному ряду скористаємось такими даними (табл.6.9).

Таблиця 6.9.

Врожайність картоплі в особистих підсобних

Господарства населення

З даних табл. 6.9 Насамперед видно, що медіанним є четвертий інтервал. Крім того, нескладний підрахунок показує, що сума накопичених частот (загальна кількість господарств) становить 200 одиниць, а накопичена частота домедіанного інтервалу – 90 одиниць.

Скористаємося формулою (6.14) та розрахуємо медіанну врожайність картоплі:

Таким чином, медіанна врожайність картоплі в особистих підсобних господарствах населення становить 256 ц/га.

Застосування медіани має специфічний характер. Так, якщо варіаційний ряд відносно невеликий, то на величину середньої арифметичної можуть вплинути випадкові коливання крайніх варіантів, що ніяк не позначиться на розмірі медіани.

Попередня45678910111213141516171819Наступна

Середня гармонічна є зверненою до середньої арифметичної, обчислену зі зворотних значень усередненої ознаки. Залежно від характеру наявного матеріалу її застосовують тоді, коли ваги доводиться не множити, а ділити на варіанти, або, що те саме, множити на їхнє зворотне значення. Таким чином, середня гармонічна розраховується, коли відомі дані про обсяг ознаки (Ш = ХФ)та індивідуальні значення ознаки (х) та невідомі ваги (ф). Оскільки обсяги ознак є добутком значень ознаки (х)на частоту ф, то частоту ф визначають знімні = Ш: х.

Формули середньої гармонійної і зваженої мають вигляд:

Як видно, середня гармонійна є перетвореною формою середньої арифметичної. Замість гармонійної можна розрахувати середню арифметичну, попередньо визначивши ваги окремих значень ознаки. При обчисленні середньої гармонійної ваги є обсяги ознак.

Середня гармонійна проста застосовується у випадках, коли обсяги явищ за кожною ознакою рівні.

Наприклад, три комбайнери працюють на збиранні зернових культур. Перший комбайнер на збиранні 1 га протягом 7-годинної зміни витрачавши 35 хв, другий – 31 хв, третій – 33 хв. Потрібно визначити середні витрати на збирання 1 га зернових культур.

Розрахунок середніх витрат часу на збирання 1 га зернових культур за формулою середньої арифметичної простий був би правильним

тоді, коли всі комбайнери протягом зміни зібрали по 1 га чи однакову кількість гектарів зернових культур. Проте протягом зміни окремими комбайнерами було зібрано різна площазернових культур.

Неправомірність застосування формули середньої арифметичної пояснюється ще й тим, що показник витрат праці на одиницю робіт (збирання 1 га зернових культур) є оберненим до показника продуктивності праці (збирання зернових культур за одиницю часу).

Середній час, необхідний для збирання 1 га зернових культур по всіх комбайнерах, визначимо як відношення витрат часу всіма комбайнерами до загальної кількостізібраних гектарів. У прикладі немає відомостей про кількість фактично зібраних гектарів кожним комбайнером. Однак ці величини можна обчислити за таким співвідношенням:

де весь витрачений час кожного комбайнера становитиме 420 хв (7год o 60 хв).

Тоді середні витрати часу на збирання 1 га зернових культур можна визначити за такою формулою:

Розрахунки можна значно спростити, якщо використовувати формулу середньої гармонійної простої:

Отже, за цією сукупністю комбайнерів на збирання 1 га зернових культур у середньому витрачається 32,9 хв.

Порядок розрахунку середньої гармонійної виваженої розглянемо на наступний приклад(Табл. 4.3).

Таблиця 4.3. Дані для розрахунку середньої гармонійної зваженої

Оскільки середня врожайність є відношенням валового збору до площі посіву, то спочатку визначимо площу посіву картоплі по кожному господарству, а потім середню врожайність:

Відповідно до однієї з властивостей середня гармонічна не зміниться, якщо обсяги явищ, які є вагами окремих варіант, помножити або розділити на будь-яке довільне число. Це дає можливість при її обчисленні користуватися не абсолютними показниками, А їх питомою вагою. Допустимо, потрібно визначити середню ціну реалізації картоплі за такими даними (табл.4.4).

Таблиця 4.4. Дані для розрахунку середньої ціни реалізації картоплі

У наведеному прикладі відсутні дані про виручку від реалізації окремих сортів картоплі, яка є добутком ціни реалізації 1 ц на кількість реалізованої картоплі. Тому замість обсягів явищ можна використовувати їхнє співвідношення, тобто питому вагу окремих сортів картоплі в загальній виручці. Використовуючи дані таблиці, визначимо середню ціну реалізації картоплі:

Середню гармонійну застосовують також для визначення середньої врожайності за групою однорідних культур, якщо відомі валовий збір та врожайність окремих культур, для розрахунку середнього відсотка виконання плану виробництва та реалізації продукції за однорідною сукупністю, якщо відомі дані про фактично вироблену або реалізовану продукцію та відсоток виконання плану по окремим об'єктамі т.д.

Середня гармонійна

Середня гармонійна- це величина, обернена середньої арифметичної, т.е. складається із обернених значень ознаки.

Приклад 5.Розрахунок середнього відсотка виконання плану. Є такі дані:

У прикладі як варіює ознаки виступають показники ступеня виконання плану (варіанти), а план приймає за ваги (частоти). При цьому середня виходить як середня арифметична зважена:

Якщо при визначенні середнього ступеня виконання плану за ваги приймати не завдання, а фактичне його виконання, то середня арифметична в даному випадку дасть неправильний результат:

Правильний результат при зважуванні за фактичним виконанням завдання дасть середня гармонійна зважена:

де w- ваги середньої гармонійної зваженої.

Умови застосування середньої гармонійної

1. Середню гармонійну використовують, як ваги застосовуються не одиниці сукупності (носії ознаки), а твори цих одиниць на значення ознаки, т.е. .

З цього правила випливає, що середня гармонійна в статистиці по суті є перетворена середня арифметична, яка застосовується, коли невідома чисельність сукупності і доводиться зважувати варіанти за обсягами ознаки.

2. Якщо як ваг виступають абсолютні величини, будь-яке проміжне дію під час розрахунку середньої має давати економічно значущі результати.

Наприклад, при розрахунку середнього відсотка виконання плану показник виконання плану множимо на планове завдання та отримуємо фактичне виконання плану. Якщо ж показник виконання плану помножити на фактичне його виконання, то з економічної точки зору результат вийде абсурдний. Отже, форма середньої застосована неправильно).

Середня гармонійна - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Середня гармонійна" 2017, 2018.