Становище частки гейзенберга. Принцип невизначеності гейзенберга та його значення у розвитку природознавства

Згідно з двоїстою корпускулярно-хвильовою природою частинок речовини, для опису мікрочастинок використовуються то хвильові, то корпускулярні уявлення. Тому приписувати їм всі властивості частинок і властивості хвиль не можна. Природно, що необхідно внести деякі обмеження щодо об'єктів мікросвіту понять класичної механіки.

У класичній механіці стан матеріальної точки (класичної частки) визначається завданням значень координат, імпульсу, енергії тощо. ( перераховані величининазиваються динамічними змінними). Строго кажучи, мікрооб'єкт не можуть бути приписані зазначені динамічні змінні. Однак, інформацію про мікрочастинки ми отримуємо, спостерігаючи їхню взаємодію з приладами, що являють собою макроскопічні тіла. Тому результати вимірів мимоволі виражаються термінах, розроблених для характеристики макротіл, тобто. через значення динамічних характеристик. Відповідно до цього виміряні значення динамічних змінних приписуються мікрочастинкам. Наприклад, говорять про стан електрона, в якому він має таке значення енергії, і т.д.

Хвильові властивості частинок та можливість задати для частки лише ймовірність її перебування в данійточці простору призводять до того, що самі поняття координати частки та її швидкості (або імпульсу) можуть застосовуватися у квантовій механіці в обмеженій мірі. У цьому взагалі немає нічого дивного. У класичній фізиці поняття координати часом теж непридатне визначення становища об'єкта у просторі. Наприклад, немає сенсу говорити, що електромагнітна хвилязнаходиться в даній точці простору або що положення фронту хвильової поверхні на воді характеризується координатами x, y, z.

Корпускулярно-хвильова двоїстість властивостей частинок, що вивчаються в квантовій механіці, призводить до того, що у ряді випадків виявляється неможливим , в класичному сенсі, одночасно характеризувати частину її становищем у просторі (координатами) та швидкістю (або імпульсом). Так, наприклад, електрон (і будь-яка інша мікрочастка) не може мати одночасно точних значень координати xта компоненти імпульсу. Невизначеності значень xі задовольняють співвідношення:

(4.2.1)

З (4.2.1) випливає, що менше невизначеність однієї величини ( xабо ), тим більша невизначеність іншої. Можливо, такий стан, в якому одна з змінних має точне значення (), інша змінна при цьому виявляється абсолютно невизначеною ( – її невизначеність дорівнює нескінченності), і навпаки. Таким чином, для мікрочастинки немає станів,у яких її координати та імпульс мали б одночасно точні значення. Звідси випливає і фактична неможливість одночасного виміру координати та імпульсу мікрооб'єкта з будь-якою заданою точністю.

Співвідношення, аналогічне (4.2.1), має місце для yі для zта , а також для інших пар величин (у класичній механіці такі пари називаються канонічно пов'язаними ). Позначивши канонічно пов'язані величини літерами Aі B, можна записати:

(4.2.2)

Співвідношення (4.2.2) називається співвідношенням невизначеностей для величин Aі B. Це співвідношення ввів у 1927 Вернер Гейзенберг.

Твердження про те, що добуток невизначеностей значень двох сполучених змінних не може бути по порядку меншим за постійну Планкаh,називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга .

Енергія та часє канонічно сполученими величинами. Тому для них також справедливе співвідношення невизначеностей:

(4.2.3)

Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю має зайняти інтервал часу, рівний щонайменше

Співвідношення невизначеностей отримано при одночасному використанні класичних характеристик руху частки (координати, імпульсу) та наявності у неї хвильових властивостей. Т.к. в класичній механіці приймається, що вимір координати та імпульсу може бути зроблено з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностейє, таким чином, квантовим обмеженням застосування класичної механіки до мікрооб'єктів.

Співвідношення невизначеностей показує, якою мірою можна скористатися поняттями класичної механіки стосовно мікрочастинок, зокрема з яким ступенем точності можна говорити про траєкторії мікрочастинок. Рух траєкторією характеризується цілком певними значеннями координат і швидкості у кожний момент часу. Підставивши (4.2.1) замість твір , отримаємо співвідношення:

(4.2.4)

З цього співвідношення випливає, що чим більше масачастинки, тим менше невизначеності її координати та швидкості,Тому з більшою точністю можна застосовувати до цієї частки поняття траєкторії.Так, наприклад, вже для порошинки масою кг і лінійними розмірами м, координата якої визначена з точністю до 0,01 її розмірів (м), невизначеність швидкості (4.2.4),

тобто. не позначатиметься при всіх швидкостях, з якими порошинка може рухатися.

Таким чином, для макроскопічних тіл їх хвильові властивості не відіграють жодної ролі; координати та швидкості можуть бути виміряні досить точно. Це означає, що для опису руху макротіл з абсолютною достовірністю можна скористатися законами класичної механіки.

Припустимо, що пучок електронів рухається вздовж осі xзі швидкістю м/с, яка визначається з точністю до 0,01% (м/с). Якою є точність визначення координати електрона?

За формулою (4.2.4) отримаємо:

Таким чином, положення електрона може бути визначено з точністю до тисячних часток міліметра. Така точність достатня, щоб можна було говорити про рух електронів певною траєкторією іншими словами, описувати їх рухи законами класичної механіки.

Застосуємо співвідношення невизначеностей до електрона, що рухається в атомі водню. Припустимо, що невизначеність координати електроном (порядку розмірів самого атома), тоді, згідно (4.2.4),

Використовуючи закони класичної фізикиможна показати, що при русі електрона навколо ядра по круговій орбіті радіуса приблизно м його швидкість м/с. Таким чином, невизначеність швидкості в кілька разів більша за саму швидкість.Очевидно, що в даному випадкуне можна говорити про рух електронів в атомі певною траєкторією. Іншими словами, для опису руху електронів в атомі не можна скористатися законами класичної фізики.

Концепція невизначеності квантової механіки

Поняття та принципи класичної фізики виявилися незастосовними не лише до вивчення властивостей простору та часу, але ще більшою мірою до дослідження фізичних властивостейнайдрібніших частинок матерії або мікрооб'єктів, таких, як електрони, протони, нейтрони, атоми та подібні до них об'єкти, які часто називають атомними частинками. Вони утворюють невидимий нами мікросвіт,і тому властивості об'єктів цього світу зовсім не схожі на властивості звичного об'єктів нам макросвіту.Планети, зірки, комети, квазари та інші небесні тілаутворюють мегасвіт.

Переходячи до вивчення властивостей та закономірностей об'єктів мікросвіту, необхідно відразу ж відмовитися від звичних уявлень, які нав'язані нам предметами та явищами навколишнього макросвіту. Звичайно, зробити це нелегко, бо весь наш досвід та уявлення виникли та спираються на спостереження звичайних тіл, та й самі ми є макрооб'єктами. Тому потрібні чималі зусилля, щоб подолати наш колишній досвід щодо мікрооб'єктів. Для опису поведінки мікрооб'єктів широко використовуються абстракції та математичні методи дослідження.

Спочатку фізики були вражені незвичайними властивостями тих найдрібніших частинок матерії, які вони вивчали в мікросвіті. Спроби описати, а тим більше пояснити властивості мікрочастинок за допомогою понять та принципів класичної фізики зазнали явної невдачі. Пошуки нових понять та методів пояснення врешті-решт призвели до виникнення нової квантової механіки, в остаточну побудову та обґрунтування якої значний внесок зробили Е. Шредінгер (1887-1961), В. Гейзенберг (1901-1976), М. Борн (1882-19) ). На самому початку ця механіка була названа хвильовийна противагу звичайної механіки, яка розглядає свої об'єкти як такі, що складаються з корпускул,чи частинок. Надалі для механіки мікрооб'єктів утвердилася назва квантової механіки

4.1. Дуалізм хвилі та частки в мікрооб'єктах.

Обговорення незвичайних властивостеймікрооб'єктів почнемо з опису експериментів, з яких вперше було встановлено, що ці об'єкти в одних дослідах виявляють себе як матеріальні частинки, або корпускули, в інших - як хвилі. Для порівняння пошлемося на історію вивчення оптичних явищ. Відомо, що Ньютон розглядав світло у вигляді дрібних корпускул, але після відкриття явищ інтерференції та дифракції взяла гору хвилева теорія світла, згідно з якою світло представлялося у вигляді хвилеподібного руху, що виникає в особливому середовищі, названому ефіром. На початку нашого століття відкриття явища фотоефекту сприяло визнанню корпускулярної природи світла: фотони й представляли такі світлові корпускули. Ще раніше (1900 р.) уявлення про дискретні порції (кванти) енергії і було використане німецьким фізиком Максом

Планком (1858-1947) для пояснення процесів поглинання та випромінювання енергії та. Згодом А. Ейштейн показав, що світло не лише поглинається та випромінюється, а й поширюється квантами. На цій основі він зумів пояснити явище фотоефекту, що полягає у вириванні квантами світла, названими фотонами,електронів із поверхні тіла. Енергія я Ефотона пропорційна частоті: Е = hv, де Е -енергії я, v – частота, h - постійна Планка.

З іншого боку, такі світлові явищаЯк інтерференція і дифракція, ще в минулому столітті пояснювалися за допомогою хвильових уявлень. У теорії Максвелла світло розглядалося як особливий вид електромагнітних хвиль. Таким чином, класичні уявлення про світло як хвильовий процес були доповнені новими поглядами, що розглядають його як потік світлових корпускул, квантів або фотонів. В результаті виник так званий корпускулярно-хвильовий дуалізм,згідно з яким одні оптичні явища (фотоефект) пояснювалися за допомогою корпускулярних уявлень, інші (інтерференція та дифракція) – хвильових поглядів. З точки зору повсякденного свідомостіважко було уявити світло як потік частинок - фотонів, але не менш звичним раніше здавалося зводити світло до хвильового процесу. Ще менш зрозумілим здавалося уявити світло у вигляді своєрідного створення, що поєднує властивості корпускул і хвиль. Проте, визнання корпускулярно-хвильового характеру світла багато в чому сприяло прогресу фізичної науки.

Новий радикальний крок у розвитку фізики був із поширенням корпускулярно-хвильового дуалізму на дрібні частинкиречовини – електрони, протони, нейтрони та інші мікрооб'єкти.У класичній фізиці речовина завжди вважалася складовою частинок і тому хвильові властивості здавалися явно чужими йому. Тим дивним виявилося відкриття про наявність у мікрочастинок хвильових властивостей, першу гіпотезу про існування яких висловив у 1924 р. відомий французький вчений Луї де Бройль (1875-1960). Експериментально ця гіпотеза була підтверджена в 1927 р. американськими фізиками К. Девіссоном і Л. Джермером, які вперше виявили явище дифракції електронів на кристалі нікелю, тобто типово хвильову картину.

Гіпотез а де Бройля:

Кожній матеріальній частині незалежно від її природи слід поставити у відповідність хвилю, довжина якої обернено пропорційна імпульсу частинки: λ = h / p , де h - Постійна Планка, р - імпульс частки, рівний добутку її маси на швидкість.

Таким чином, було встановлено, що не тільки фотони, тобто кванти світла, а й матеріальні, речові частинки, такі, як електрон, протон, нейтрон та інші, мають подвійні властивості. Отже, всі мікрооб'єкти мають як корпускулярні, так і хвильові властивості. Це явище, назване згодом дуалізмом хвилі та частинки,зовсім не вкладалося в рамкикласичноїфізики,об'єкти вивчення якої могли мати або корпускулярні,або хвильовими властивостями.На відміну від цього мікрооб'єкти мають одночасно як корпускулярні, так і хвильові властивості. Наприклад, в одних експериментах електрон виявляв типово корпускулярні властивості, а в інших – хвильові властивості, тому його можна було назвати як часткою, так і хвилею. Той факт, що потік електронів є потіком найдрібніших частинок речовини, знали і раніше, але те, що цей потік виявляє хвильові властивості, утворюючи типові явища інтерференції та дифракції, подібно до хвиль світла, звуку і рідини, виявилося повною несподіванкою для фізиків.

Для кращого розуміннявсіх подальших питань проробимо такий уявний експеримент. Нехай маємо пристрій, який дає потік електронів, наприклад, електронну гармату. Поставимо перед нею тонку металеву пластинку із двома дірочками, через які можуть пролітати електрони. Проходження електронів через ці отвори реєструється спеціальним приладом, наприклад лічильником Гейгера або електронним помножувачем, приєднаним до динаміка. Якщо підрахувати кількість електронів, що пройшли окремо через перший отвір, коли друге закрито, і через друге, коли перше закрито, а потім через обидва отвори, то виявиться, що сума ймовірностей проходження електронів, коли відкрито один з отворів, не дорівнюватиме ймовірності їх проходження при двох відкритих отворах:

де Р -ймовірність проходження електронів при двох відкритих отворах, Р1-ймовірність проходження електронів при відкритті першого отвору, Р2-ймовірність при відкритті другого отвору.

Ця нерівність свідчить про наявність інтерференціїпри проходженні електронів через обидва отвори. Цікаво відзначити, що якщо на електрони, що пройшли, впливати світлом, то інтерференція зникає. Отже, фотони, у тому числі складається світло, змінюють характер руху електронів.

Таким чином, перед нами зовсім нове явище, що полягає в тому, що будь-яка спроба спостереження мікрооб'єктів супроводжується зміною характеру їхнього руху. Тому ніяке спостереження мікрооб'єктів незалежно від приладів та вимірювальних засобів суб'єкта у світі найдрібніших частинок матерії неможливе. Саме ця обставина зазвичай викликає заперечення з боку тих, хто не бачить відмінності між мікро- і макрооб'єктами. У макросвіті, в якому ми живемо, ми не помічаємо впливу приладів спостереження та вимірювання на макротіла, які вивчаємо, оскільки практично такий вплив є надзвичайно малим і тому ним можна знехтувати. У цьому світі як прилади та інструменти, так і тіла, що вивчаються, характеризуються тим же порядком величин. Зовсім інакша справа в мікросвіті, де макроприлад не може не впливати на мікрооб'єкти. Однак подібна дія не фігурує в класичній механіці.

інше принципова відмінністьмікрооб'єктів від макрооб'єктів полягає в наявності у перших корпускулярно-хвильових властивостей, але поєднання таких суперечливих властивостей у макрооб'єктів начисто відкидається класичною фізикою. Хоча класична фізика і визнає існування речовини і поля, але заперечує існування об'єктів, що мають корпускулярні властивості, властиві речовині, і одночасно хвильовими властивостями, які характерні для фізичних полів (акустичних, оптичних або електромагнітних).

В силу такої суперечності корпускулярних і хвильових властивостей датський фізик Нільс Бор висунув принцип додатковостідля квантово-механічного мікрооб'єктів, згідно з яким корпускулярна картина такого опису має бути доповнена хвильовим альтернативним описом.Дійсно, в одних експериментах мікрочастинки, наприклад електрони, поводяться як типові корпускули, в інших – як хвильові структури. Не можна, звичайно, думати, що хвильові та корпускулярні властивості мікрооб'єктів виникають внаслідок відповідних експериментів. Насправді такі властивості при цих експериментах лише виявляються. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що дуалізм мікрооб'єктів, що полягає в об'єднанні в одному мікрооб'єкті одночасно хвильових і корпускулярних властивостей, представляє собою фундаментальну характеристику об'єктів мікросвіту. Спираючись саме на цю характеристику, ми можемо зрозуміти та пояснити інші особливості мікросвіту.

4.2. Імовірнісний характер передбачень квантової Механіки.

Принципова відмінність квантової механіки від класичної полягає також у тому, що її передбачення завжди мають імовірнісний характер.Це означає, що ми не можемо точно передбачити, в яке саме місце потрапляє, наприклад, електрон у розглянутому вище експерименті, які б досконалі засоби спостереження та вимірювання не використовували. Можна оцінити лише його шанси потрапити до певне місце, а отже, застосувати для цього поняття та методи теорії ймовірностей, яка служить для аналізу невизначених ситуацій. Підкреслюючи це "дуже важлива різниця між класичною та квантовою механікою", Р. Фейнман вказує, що "ми не вміємо передбачати, що мало б статися в даних обставинах". Мало того, додає він, ми впевнені, що це немислимо:

єдине, що піддається передрахуванню, - це можливість різних подій. Доводиться визнати, що ми зрадили нашим колишнім ідеалам розуміння природи. Можливо, це крок назад, але ніхто не навчив нас, як його уникнути!

Ідеалом класичної механіки було прагнення до точного та достовірного передбачення досліджуваних явищ та подій. Дійсно, якщо повністю задані положення та швидкість руху механічної системив даний момент часу, то рівняння механіки дозволяють з достовірністю обчислити координати та швидкість її руху у будь-який заданий момент часу у майбутньому чи минулому. Насправді, небесна механіка, спираючись на цей принцип, дає на багато років вперед точні і достовірні прогнози про сонячні та місячні затемнення, так само як і про минулі затемнення. Звідси випливає, що за таких прогнозів ніяк не враховується зміна подій у часі, але найголовніше полягає в тому, що класична механіка абстрагується (або відволікається) від багатьох ускладнюючих факторів. Вона, наприклад, розглядає планети, що рухаються навколо Сонця, як матеріальні точки, оскільки відстані між ними набагато більші, ніж розміри самих планет. Тож передбачення руху планет цілком припустимо розглядати їх як такі точки, тобто. геометричні точки, в яких сконцентровано всю масу планет. Ми вже не говоримо про те, що для визначення положення та швидкості їх руху можна відволікатися від багатьох інших факторів, наприклад, від впливу інших систем у Галактиці, руху самої Галактики тощо. Завдяки такому I спрощення реальної картини, її схематизації можливі точні пророцтва про рух небесних тіл.

Нічого подібного немає у світі найдрібніших частинок матерії, про властивості яких ми можемо судити лише опосередковано за свідченнями наших макроскопічних приладів. Поведінка мікрооб'єктів абсолютно не схожа на поведінку навколишніх нас макротіл, з спостереження і вивчення яких накопичується наш досвід. На жаль, цей досвід не можна використовувати при вивченні мікрооб'єктів, тому що й самі їх розміри не можна порівняти з розмірами макротіл, і сили взаємодії, що існують у мікросвіті, мають зовсім інший, більше складний характер. Ось чому явища, що відбуваються в мікросвіті, важко піддаються розумінню і людьми, які вперше знайомляться з ними, і самими вченими, які багато років витратили на їх вивчення. Чимале значення тут має особливий принципобмеження або заборони, яку ми обговоримо нижче.

4.3. Принцип невизначеності у квантовій механіці.

Цей принцип вперше сформулював видатний німецький фізик Вернер Гейзенберг (1901-1976) у вигляді співвідношення неточностей щодо сполучення величин в квантовій механіці, який тепер зазвичай називають принципом невизначеності.Суть його полягає в наступному: якщо ми прагнемо визначити значення однієї зі сполучених величин у квантово-механічному описі, наприклад, координати х,то значення іншої величини, а саме швидкості чи швидше імпульсу р = mv, не можна визначити з такою ж

точністю. Інакше висловлюючись, що точніше визначається одне із сполучених величин, тим менш точної виявляється інша величина. Це співвідношення неточностей, чи принцип невизначеності, виражається такою формулою:

де х -позначає координату, р -імпульс,h - Постійну планку, а Δ - збільшення величини.

Таким чином, принцип невизначеності постулює:

Неможливо з однаковою точністю визначити і положення та імпульс мікрочастинки. Добуток їх неточностей не повинен перевищувати постійну Планку.

Насправді, звісно, неточності виміру бувають значно більше, ніж той мінімум, який наказує принцип невизначеності, але йдеться про принципову сторону справи. Кордони, які встановлюються цим принципом, неможливо знайти подолані шляхом вдосконалення засобів виміру. Тому принцип невизначеності принаймні нині вважається фундаментальним становищем квантової механіки і неявно фігурує в ній у всіх міркуваннях. Теоретично не виключається можливість відхилення цього принципу і відповідно зміни пов'язаних з ним законів квантової механіки, але в даний час він вважається загальновизнаним.

З принципу невизначеності безпосередньо випливає, що цілком можливо здійснити експеримент, за допомогою якого можна з великою точністю визначити положення мікрочастинки, але в такому разі її імпульс буде визначено неточно. Навпаки, якщо імпульс буде визначений із можливим ступенем точності, тоді її положення стане відомим недостатньо точно.

У квантовій механіці будь-який стан системи описується за допомогою так званої "хвильової функції", але на відміну від класичної механіки ця функція визначає параметри її майбутнього стану не достовірно, а лише з тим чи іншим ступенем ймовірності. Це означає, що для того чи іншого параметра системи хвильова функціядає лише імовірнісні передбачення. Наприклад, майбутнє становище будь-якої частки системи буде визначено лише в деякому інтервалі значень, точніше кажучи, для неї буде відомо лише ймовірнісний розподіл значень.

Таким чином, квантова теорія фундаментально відрізняється від класичної тим, що її передбачення мають лише імовірнісний характер і тому вона не забезпечує точних передбачень, до яких ми звикли в класичній механіці. Саме ця невизначеність і неточність її прогнозів найбільше викликає суперечки серед учених, деякі з яких стали у зв'язку з цим говорити про індетермінізм квантової механіки. (Докладніше про це див. наступний розділ). Зазначимо, що представники колишньої, класичної фізики були переконані, що з розвитком науки та вдосконаленням вимірювальної техніки закони науки стануть все більш точними та достовірними. Тому вони вірили, що жодної межі для точності передбачень немає. Принцип невизначеності, що лежить в основі квантової механіки, докорінно підірвав цю віру.

4.4. Філософські висновки із квантової механіки.

Принцип невизначеності, як неважко помітити, тісно пов'язаний із такою фундаментальною проблемою наукового пізнання, як взаємодія об'єкта та суб'єкта, яка має філософський характер.

Що нового дає квантова механіка на її розуміння?

Насамперед, вона ясно показує, що суб'єкт, тобто фізик, що досліджує світ найдрібніших частинок матерії, не може не впливати своїми приладами та вимірювальними пристроями на ці частинки. Класична фізика теж визнавала, що прилади спостереження і виміру надають свій обурливий вплив на процеси, що вивчаються, але воно було там настільки незначно, що їм можна було знехтувати. Зовсім інше становище ми маємо у квантовій механіці, бо прилади та вимірювальні пристрої, що використовуються для вивчення мікрооб'єктів, є макрооб'єктами.Тому вони вносять такі обурення в рух мікрочастинок, що в результаті їх майбутні стани не можна визначити цілком точно і достовірно. Прагнучи точно визначити один параметр, набувають неточність у вимірі іншого параметра.

Найважливіший філософський висновок із квантової механіки полягає у принциповій невизначеності результатів виміру і, отже, неможливості точного передбачення майбутнього.

Однак звідси зовсім не випливає, що передбачення в галузі мікросвіту абсолютно неможливі. Мова йдетільки про те, що впливи приладів спостереження та вимірювання на дрібні частинки матерії позначаються на їх поведінці значно сильніше, ніж на поведінці макротіл. Однак навіть у галузі макросвіту абсолютно точне передбаченняздійснити неможливо.Тим більше це стосується недоступного нашим почуттям мікросвіту. Не дивно тому, що після виникнення квантової механіки багато хто заговорив про повну непередбачуваність майбутнього, про "свободу волі" електрона та подібних до нього частинок, про панування випадковості у світі та відсутність у ньому детермінізму. Докладніше про це ми розповімо у наступному розділі.

Див. також «Фізичний портал»

Принцип невизначеності Гейзенберга(або Гайзенберга) у квантовій механіці - фундаментальна нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари характеризуючих квантову системуфізичних спостережуваних (див. фізична величина), що описуються некомутуючими операторами (наприклад, координати та імпульсу, струму та напруги, електричного та магнітного поля). Співвідношення невизначеностей задає нижню межу для твору середньоквадратичних відхиленьпари квантових спостережуваних. Принцип невизначеності, відкритий Вернером Гейзенбергом у м., є одним із наріжних каменів квантової механіки.

Короткий огляд

Співвідношення невизначеності Гейзенберга є теоретичною межею точності одночасних вимірів двох некоммутирующих спостерігаються. Вони справедливі як для ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана, так і для неідеальних вимірів чи вимірів Ландау.

Відповідно до принципу невизначеностей, частка не може бути описана як класична частка, тобто, наприклад, у неї не можуть бути одночасно точно виміряно положення і швидкість (імпульс), так само як у звичайної класичної хвилі і як хвиля. (Сам факт того, що будь-який з цих описів може бути справедливим, принаймні в окремих випадках, називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом). Принцип невизначеності, у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, можна застосувати і у випадку, коли жоднез цих двох описів не є повністю та виключно підходящим, наприклад частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці з стінами, що ідеально відбивають; тобто для систем, які не характеризуються нібудь-яким певним «положенням» або просторовою координатою (хвильова функція частки справакалізована на весь простір коробки, тобто її координати не мають певного значення, локалізація частки здійснена не точніше за розмірикоробки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок; у прикладі з часткою в коробці модуль імпульсу визначено, але не визначено його напрямок).

Співвідношення невизначеностей не обмежують точність одноразового виміру будь-якої величини (для багатовимірних величинтут мається на увазі в загальному випадкулише одна компонента). Якщо її оператор комутує сам із собою в різні моментичасу, то не обмежена точність і багаторазового (або безперервного) виміру однієї величини. Наприклад, співвідношення невизначеностей для вільної частки не перешкоджає точному виміруїї імпульсу, але не дозволяє точно виміряти її координату (це обмеження називається стандартна квантова межа для координати).

Співвідношення невизначеностей у квантовій механіці є в математичному сенсіє безпосереднє прямий слідствоякоїсь властивості перетворення Фур'є.

Існує точна кількісна аналогія між співвідношеннями невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад, звукову хвилю . Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначеннячастоти необхідно спостерігати за сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може одночасно мати і точне значення часу його фіксації, як його має дуже короткий імпульс, та точного значеннячастоти, як це має місце для безперервного (і в принципі нескінченно тривалого) чистого тону (чистої синусоїди). Тимчасове положення та частота хвилі математично повністю аналогічні координаті та (квантово-механічному) імпульсу частинки. Що зовсім не дивно, якщо згадати, що (або p x = k x у системі одиниць ), тобто імпульс у квантовій механіці - і є просторова частота вздовж відповідної координати.

У повсякденному життіми зазвичай не спостерігаємо квантову невизначеність тому, що значення надзвичайно мало, і тому співвідношення невизначеностей накладають такі слабкі обмеження на похибки виміру, які наперед непомітні на тлі реальних практичних похибок наших приладів або органів чуття.

Визначення

Якщо є кілька ідентичних копій системи даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підпорядковуватимуться певному розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину середньоквадратичного відхилення Δ xкоординати та середньоквадратичного відхилення Δ pімпульсу, ми знайдемо що:

де - наведена постійна Планка.

Зазначимо, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що xможе бути виміряний з високою точністю, але тоді pбуде відомий тільки приблизно, або навпаки pможе бути визначений точно, тоді як x- Ні. У всіх інших станах, і xі pможуть бути виміряні з «розумною» (але не довільно високою) точністю.

Варіанти та приклади

Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься лише до координати та імпульсу (як він був вперше запропонований Гейзенбергом). У своїй загальній формі, він застосовується до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від випадку координати та імпульсу, обговореного вище, Нижня границятвори «невизначеностей» двох сполучених змінних залежить стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою теорії операторів, яку ми тут наведемо

Отже, вірна наступна загальна форма принципу невизначеності, вперше виведена в м. Говардом Персі Робертсоном та (незалежно) Ервіном Шредінгером:

Цю нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Оператор AB − BA називають комутатором Aі Bі позначають як [ A,B]. Він визначений для тих x, для яких визначено обидва ABxі BAx .

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно випливає співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, Aі B- дві фізичні величини, пов'язані з самосполученими операторами. Якщо ABψ і BAψ визначено, тоді:

Середнє значення оператора величини Xу стані ψ системи, та

Можливе також існування двох операторів, що не комутують самосполучених. Aі B, які мають той самий власний вектор ψ . У цьому випадку ψ є чистим станом, який є одночасно вимірним для Aі B .

Загальні змінні, що спостерігаються, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результатипоказують, як знайти співвідношення невизначеностей між фізичними змінними, а саме, визначити значення пар змінних Aі Bкомутатор яких має певні аналітичні властивості.

найвідоміше відношення невизначеності - між координатою та імпульсом частки у просторі:

відношення невизначеності між двома ортогональними компонентами оператора повного кутового моменту частки:

де i, j, kрізні та J iпозначає кутовий моментвздовж осі x i .

наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто подається в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, тому що не існує оператора, який представляє час:

. Проте, за умови періодичності несуттєво і принцип невизначеності набуває звичного вигляду: .

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера. класичної теоріївимірювань, якщо вимірюється положення частинки. Середньо-квадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера. також повна фізична інформація.

Інтерпретації

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка). Але це не означає, що їх фізичні рухинепередбачувані. Звичайна механіка може обчислити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї, будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).

Ейнштейн припускав, що існують приховані змінні в квантовій механіці, які лежать в основі ймовірностей, що спостерігаються.

Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з того часу не зміг побудувати задовільні теорії прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частинки випадкова, вона також скоррелирована з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки на великих відстаняхповинні негайно передавати інформацію один одному, щоб гарантувати кореляції у своїй поведінці.

Принцип невизначеності у популярній культурі

Інші (також вводять в оману) аналогії з макроскопічними ефектами були запропоновані для пояснення принципу невизначеності: одна з них розглядає придушення насіння кавуна пальцем. Ефект відомий - не можна передбачити, як швидко чи куди насіння зникне. Цей випадковий результат базується повністю на хаотичності, яку можна пояснити у найпростіших класичних термінах.

У деяких науково-фантастичних оповіданнях пристрій для подолання принципу невизначеності називають компенсатором Гейзенберга, найвідоміший використовується на зорельоті «Ентерпрайз» із фантастичного телесеріалу Зоряний Шлях у телепортаторі. Однак невідомо, що означає «подолання принципу невизначеності». На одній із прес-конференцій продюсера серіалу запитали «Як працює компенсатор Гейзенберга?», на що він відповів «Дякую, добре!»

Див. також «Фізичний портал»

Принцип невизначеності Гейзенберга(або Гайзенберга) у квантовій механіці - фундаментальна нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари, що характеризують квантову систему фізичних спостережуваних (див. фізична величина), що описуються некомутируючими операторами (наприклад, координати та імпульсу, струму і напруги, електричного та магнітного поля). Співвідношення невизначеностей задає нижню межу для твору середньоквадратичних відхилень кількох квантових спостережуваних. Принцип невизначеності, відкритий Вернером Гейзенбергом у м., є одним із наріжних каменів квантової механіки.

Короткий огляд

Відповідно до принципу невизначеностей, частка не може бути описана як класична частка, тобто, наприклад, у неї не можуть бути одночасно точно виміряно положення і швидкість (імпульс), так само як у звичайної класичної хвилі і як хвиля. (Сам факт того, що будь-який з цих описів може бути справедливим, принаймні в окремих випадках, називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом). Принцип невизначеності, у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, можна застосувати і у випадку, коли жоднез цих двох описів не є повністю і виключно підходящим, наприклад частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці з стінками, що ідеально відбивають; тобто для систем, які не характеризуються нібудь-яким певним «положенням» або просторовою координатою (хвильова функція частинки справакалізована на весь простір коробки, тобто її координати не мають певного значення, локалізація частинки здійснена не точніше за розміри коробки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок; у прикладі з часткою в коробці модуль імпульсу визначено, але не визначено його напрямок).

Співвідношення невизначеностей не обмежують точність одноразового виміру будь-якої величини (для багатовимірних величин тут мається на увазі лише одна компонента). Якщо її оператор комутує сам із собою в різні моменти часу, то не обмежена точність і багаторазового (або безперервного) виміру однієї величини. Наприклад, співвідношення невизначеностей для вільної частки не перешкоджає точному виміру її імпульсу, але не дозволяє точно виміряти її координату (це обмеження називається стандартна квантова межа для координати).

Співвідношення невизначеностей у квантової механіки є в математичному сенсі є безпосереднє пряме наслідок певної якості перетворення Фур'є.

Існує точна кількісна аналогія між співвідношеннями невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад, звукову хвилю . Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначення частоти необхідно спостерігати сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може одночасно мати і точне значення часу його фіксації, як його має дуже короткий імпульс, і точного значення частоти, як це має місце для безперервного (і в принципі нескінченно тривалого) чистого тону (чистої синусоїди). Тимчасове положення та частота хвилі математично повністю аналогічні координаті та (квантово-механічному) імпульсу частинки. Що зовсім не дивно, якщо згадати, що (або p x = k x у системі одиниць ), тобто імпульс у квантовій механіці - і є просторова частота вздовж відповідної координати.

У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо квантову невизначеність тому, що значення надзвичайно мало, і тому співвідношення невизначеностей накладають такі слабкі обмеження на похибки виміру, які наперед непомітні на тлі реальних практичних похибок наших приладів або органів почуттів.

Визначення

Якщо є кілька ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підпорядковуватимуться певному розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину середньоквадратичного відхилення Δ xкоординати та середньоквадратичного відхилення Δ pімпульсу, ми знайдемо що:

де - наведена постійна Планка.

Варіанти та приклади

Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься лише до координати та імпульсу (як він був вперше запропонований Гейзенбергом). У своїй загальній формі, він застосовується до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від координати та імпульсу, обговореного вище, нижня межа твору «невизначеностей» двох сполучених змінних залежить від стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою теорії операторів, яку ми тут наведемо

Цю нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно випливає співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, Aі B- дві фізичні величини, пов'язані з самосполученими операторами. Якщо ABψ і BAψ визначено, тоді:

Середнє значення оператора величини Xу стані ψ системи, та

Загальні змінні, що спостерігаються, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результати показують, як знайти співвідношення невизначеностей між фізичними змінними, а саме визначити значення пар змінних Aі Bкомутатор яких має певні аналітичні властивості.

найвідоміше відношення невизначеності - між координатою та імпульсом частки у просторі:

відношення невизначеності між двома ортогональними компонентами оператора повного кутового моменту частки:

де i, j, kрізні та J iпозначає кутовий момент вздовж осі x i .

наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто подається в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, тому що не існує оператора, який представляє час:

. Проте, за умови періодичності несуттєво і принцип невизначеності набуває звичного вигляду: .

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера - Рао в класичній теорії вимірів, якщо вимірюється положення частинки. Середньо-квадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера. також повна фізична інформація.

Інтерпретації

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка). Але це не означає, що їхні фізичні рухи непередбачувані. Звичайна механіка може обчислити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї, будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).

Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з того часу не зміг побудувати задовільні теорії прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частинки випадкова, вона також скоррелирована з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки великих відстані повинні негайно передавати інформацію одне одному, щоб гарантувати кореляції у своїй поведінці.

Принцип невизначеності у популярній культурі

Принцип невизначеності

Принцип невизначеності Гейзенберга у квантовій механіці- фундаментальна нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари, що характеризують систему квантових спостережуваних, що описуються некоммутуючими операторами (наприклад, координати та імпульсу, струму та напруги, електричного та магнітного поля). Співвідношення невизначеностей задає нижню межу для твору середньоквадратичних відхилень кількох квантових спостережуваних. Принцип невизначеності, відкритий Вернером Гейзенбергом у 1927 р., є одним із наріжних каменів квантової механіки.

Короткий огляд

Співвідношення невизначеності Гейзенберга є теоретичною межею точності одночасних вимірів двох некоммутирующих спостерігаються. Вони справедливі як ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана, так неідеальних вимірів.
Відповідно до принципу невизначеностей у частки не можуть бути одночасно точно виміряні положення та швидкість (імпульс). Принцип невизначеності вже у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, застосовний і у разі, коли не реалізується жодна з двох крайніх ситуацій (повністю певний імпульс і повністю невизначена просторова координата - або повністю невизначений імпульс і певна координата).
Приклад: частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці з стінками, що ідеально відбивають; вона не характеризується ні певним значенням імпульсу (враховуючи його напрямок!), ні будь-яким певним «положенням» або просторовою координатою (хвильова функція частки ділакалізована на весь простір коробки, тобто її координати не мають певного значення, локалізація частинки здійснена не точніше за розміри коробки).
Співвідношення невизначеностей не обмежують точність одноразового виміру будь-якої величини (для багатовимірних величин тут мається на увазі лише одна компонента). Якщо її оператор комутує сам із собою в різні моменти часу, то не обмежена точність і багаторазового (або безперервного) виміру однієї величини. Наприклад, співвідношення невизначеностей для вільної частки не перешкоджає точному виміру її імпульсу, але не дозволяє точно виміряти її координату (це обмеження називається стандартний квантова межакоординати).
Співвідношення невизначеностей у квантової механіки в математичному сенсі є прямий наслідок певної якості перетворення Фур'є.
Існує точна кількісна аналогія між співвідношеннями невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад звукову хвилю. Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначення частоти необхідно спостерігати сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може одночасно мати і точне значення часу його фіксації, як його має дуже короткий імпульс, і точного значення частоти, як це має місце для безперервного (і в принципі нескінченно тривалого) чистого тону (чистої синусоїди). Тимчасове положення та частота хвилі математично повністю аналогічні координаті та (квантово-механічному) імпульсу частинки. Що зовсім не дивно, якщо згадати, що , тобто імпульс у квантовій механіці - це просторова частота вздовж відповідної координати.
У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо квантову невизначеність тому, що значення надзвичайно мало, і тому співвідношення невизначеностей накладають такі слабкі обмеження на похибки виміру, які наперед непомітні на тлі реальних практичних похибок наших приладів або органів почуттів.

Визначення

Якщо є кілька (багато) ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підкорятимуться певному розподілуймовірності – це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину середньоквадратичного відхилення координати та середньоквадратичного відхилення імпульсу, ми знайдемо що:

де - наведена стала Планка.

Зазначимо, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що може бути виміряний з високою точністю, але тоді буде відомий приблизно, або навпаки може бути визначений точно, в той час як - ні. У всіх інших станах і , і можуть бути виміряні з «розумною» (але не довільно високою) точністю.

Інтерпретація квантової механіки

Альберту Ейнштейну принцип невизначеності не дуже сподобався, і він кинув виклик Нільсу Бору та Вернеру Гейзенбергу відомим уявним експериментом: заповнимо коробку радіоактивним матеріалом, який випромінює радіацію випадковим чином. Коробка має відкритий затвор, який негайно після заповнення закривається за допомогою годинника в певний момент часу, дозволяючи піти невеликій кількості радіації. Таким чином, час уже точно відомий. Ми ще хочемо точно виміряти сполучену змінну енергії. Ейнштейн запропонував зробити це зважуючи коробку до і після. Еквівалентність між масою та енергією по спеціальної теоріїВідносність дозволить точно визначити, скільки енергії залишилося в коробці. Бор заперечив таким чином: якщо енергія піде, тоді коробка, що полегшала, зрушить трохи на терезах. Це змінить положення годинника. Таким чином, годинник відхиляється від нашої нерухомої системи відліку, і за спеціальною теорією відносності, їх вимір часу відрізнятиметься від нашого, призводячи до деякого неминучого значення помилки. Детальний аналізпоказує, що неточність дається правильно співвідношенням Гейзенберга.
У межах широко, але не універсально прийнятої Копенгагенської інтерпретації квантової механіки принцип невизначеності прийнятий на елементарному рівні. Фізична всесвіт існує над детерміністичної формі, а скоріш як набір ймовірностей, чи можливостей. Наприклад, картина (розподіл ймовірності) вироблена мільйонами фотонів, що дифрагують через щілину може бути обчислена за допомогою квантової механіки, але точний шлях кожного фотона не може бути передбачений жодним відомим методом. Копенгагенська інтерпретація вважає, що це не може бути передбачено взагалі жодним методом.
Саме цю інтерпретацію Ейнштейн ставив під сумнів, коли писав Максу Борну: «Бог не грає в кістки». Нільс Бор, який був одним із авторів Копенгагенської інтерпретації, відповів: «Ейнштейн, не кажіть Богові, що робити».
Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка) Але це не означає, що їх фізичні рухи непередбачувані. Звичайна механіка може обчислити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї, будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).
Ейнштейн припускав, що існують приховані змінні в квантовій механіці, які лежать в основі ймовірностей, що спостерігаються.
Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з того часу не зміг побудувати задовільні теорії прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частинки випадкова, вона також скоррелирована з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки великих відстані повинні негайно передавати інформацію одне одному, щоб гарантувати кореляції у своїй поведінці.

Принцип невизначеності у популярній літературі

Принцип невизначеності часто неправильно розуміється чи наводиться у популярній пресі. Одне часто неправильне формулювання в тому, що спостереження події змінює саму подію. Загалом кажучи, це не має відношення до принципу невизначеності. Майже будь-який лінійний оператор змінює вектор, на якому він діє (тобто майже будь-яке спостереження змінює стан), але для комутативних операторів жодних обмежень на можливе розкидання значень немає (див. вище). Наприклад, проекції імпульсу на осі і можна виміряти разом як завгодно точно, хоча кожен вимір змінює стан системи. Крім того, в принципі невизначеності йдеться про паралельний вимір величин для декількох систем, що знаходяться в одному стані, а не про послідовні взаємодії з однією і тією ж системою.
Інші (також вводять в оману) аналогії з макроскопічними ефектами було запропоновано пояснення принципу невизначеності: одна їх розглядає придавлювання кавунового насіння пальцем. Ефект відомий - не можна передбачити, як швидко чи куди насіння зникне. Цей випадковий результат базується повністю на хаотичності, яку можна пояснити у найпростіших класичних термінах.
У деяких науково-фантастичних оповіданнях пристрій для подолання принципу невизначеності називають компенсатором Гейзенберга, найвідоміший використовується на зорельоті «Ентерпрайз» із фантастичного телесеріалу. Зоряний шлях» у телепортаторі. Однак невідомо, що означає «подолання принципу невизначеності». На одній із прес-конференцій продюсера серіалу Джина Родденберрі запитали «Як працює компенсатор Гейзенберга?», на що він відповів «Дякую, добре!»