Матриця де стовпці та рядки. Матриці

Матриця позначається великими латинськими літерами ( А, У, З,...).

Визначення 1. Прямокутна таблиця виду

складається з mрядків та nстовпців, називається матрицею.

Елемент матриці, i – номер рядка, j – номер шпальти.

Види матриць:

елементів, що стоять на головній діагоналі:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Визначники 2, 3 та n-го порядку

Нехай дані дві квадратні матриці:

Визначення 1. Визначником другого порядку матриці А 1 називається число, що позначається ∆ і дорівнює , де

приклад. Обчислити визначник 2-го порядку:

Визначення 2. Визначником 3-го порядку квадратної матриці А 2 називається число виду:

Це один із способів обчислення визначника.

приклад. Обчислити

Визначення 3. Якщо визначник складається з n-рядків і n-стовпців, він називається визначником n-го порядку.

Властивості визначників:

Визначник не змінюється під час транспонування (тобто якщо в ньому рядки та стовпці поміняти місцями зі збереженням порядку прямування).

Якщо в визначнику поміняти місцями якісь два рядки або два стовпці, то визначник змінить лише знак.

Загальний множник якогось рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

Якщо всі елементи якогось рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Визначник дорівнює нулю, якщо елементи двох рядків рівні або пропорційні.

Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на те саме число.

приклад.

Визначення 4.Визначник, отриманий з даного шляхом викреслення стовпця та рядка, називається міноромвідповідного елемента. М ij елемента a ij.

Визначення 5. Алгебраїчним доповненнямелемента а ij називається вираз

§3. Дії над матрицями

Лінійні операції

1) При складанні матриць складаються їх однойменні елементи.

При відніманні матриць віднімаються їх однойменні елементи.

При множенні матриці на число кожен елемент матриці множиться на це число:

3.2.Умноження матриць.

твірматриці Ана матрицю Ує нова матриця , елементи якої дорівнюють сумі творів елементів Ана відповідні елементи j-го стовпця матриці У. Твір матриці Ана матрицю Уможна знаходити тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців матриці Адорівнює числу рядків матриці Ст.В іншому випадку, твір неможливий.

Примітка:

(Не підкоряється властивості комутативності)

§ 4. Зворотня матриця

Зворотна матриця існує лише для квадратної матриці, причому матриця має бути невиродженою.

Визначення 1. Матриця Аназивається невиродженою, якщо визначник цієї матриці не дорівнює нулю

Визначення 2. А-1 називається зворотною матрицеюдля цієї невиродженої квадратної матриці Аякщо при множенні цієї матриці на дану як праворуч, так зліва виходить одинична матриця.

Алгоритм обчислення зворотної матриці

1 спосіб (за допомогою додатків алгебри)

Приклад 1:

Це методичний посібникдопоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведено відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.

Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкої підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.

Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться:

Це просто таблиця (набір) чисел!

Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Розглянута матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми тільки-но розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: - матриця "три на три".

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «ігрок»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві абсолютно різні точкиплощині.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса до матриці).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, у цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з погляду виконання різних дійз матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотній приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична Народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.

2) Дія друга. Розмноження матриці на число.

Приклад:

Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У даному випадку- На трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб у матрицю НЕ ТРЕБА, по-перше, це тільки ускладнює подальші діїз матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо - Остаточна відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

Зі статті Математика для чайників або з чого почати, ми пам'ятаємо, що десяткових дробівз комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:

А от якби ВСІелементи матриці ділилися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.

Приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.

Примітка: у теорії вищої математики шкільного поняття"Поділ" немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто, розподіл – це окремий випадокмноження.

3) Дія третя. Транспонування матриці.

Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.

Приклад:

Транспонувати матрицю

Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:

– транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом або штрих праворуч угорі.

Покроковий приклад:

Транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРОМ.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і жодною іншою!

Приклад:

Скласти матриці і

Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити даний прикладпростіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус у матрицю:

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази «від цього відняти це» завжди можна сказати «до цього додати від'ємне число». Тобто віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. Розмноження матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Отже, множити дані матриці можна.

А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливе.

Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення

Визначення Матрицею– називається таблиця чисел, що містить певну кількістьрядків та стовпців

Елементами матриці є числа виду a ij де i- номер рядка j- номер стовпця

Приклад 1 i = 2 j = 3

Позначення: А =

Види матриць:

1. Якщо число рядків не дорівнює числу стовпців, то матриця називається прямокутної:

2. Якщо число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратної:

Число рядків або стовпців квадратної матриці називається її порядком. У прикладі n = 2

Розглянемо квадратну матрицю порядку n:

Діагональ, що містить елементи a 11 , a 22 ……., a nn називається головною , а діагональ, що містить елементи а 12 а 2 n -1 , …….a n 1 – допоміжна.

Матриця, у якої відмінні від нуля лише елементи, що є на головній діагоналі, називається діагональної:

Приклад 4 n = 3

3. Якщо у діагональної матриці елементи дорівнюють 1, то матриця називається одиничноюі позначається буквою Е:

Приклад 6 n = 3

4. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовий матрицею і позначається літерою

Приклад 7

5. Трикутнийматрицею n-ого порядку називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

Приклад 8 n = 3

Дії над матрицями:

Сумою матриці А і називається така матриця З, елементи якої рівні сумі відповідних елементів матриць А і В.

Складати можна лише матриці, що мають однакове числорядків та стовпців.

Добутком матриці А на число kназивається така матриця kA, кожен елемент якої дорівнює ka ij

Приклад10

Множення матриці на число зводиться до множення цього число всіх елементів матриці.

Твір матрицьЩоб помножити матрицю на матрицю, необхідно вибрати перший рядок першої матриці і помножити на відповідні елементи першого стовпця другої матриці, результат скласти. Цей результат розташувати в матриці в 1-му рядку і 10му стовпці. Аналогічно виконуємо дії з усіма іншими елементами: 1-ий рядок на другий стовпець, 3-й і т.д., потім з наступними рядками.

Приклад 11

Множення матриці А на матрицю В можливе тільки в тому випадку, якщо число стовпців першої матриці дорівнює числу строє другої матриці.

- Твір існує;

- Твір не існує

Приклади 12 останній рядок у II матриці множити нема з чим, тобто. твір не існує

Транспонування матриціназивається операція заміни елементів рядка на елементи стовпця:

Приклад13

Зведенням у ступіньназивається послідовне перемноження матриці саму він.

Термін "матриця" має багато значень. Наприклад, у математиці матрицею називається система елементів, що має вигляд прямокутної таблиці, у програмуванні матриця - це двовимірний масив, в електроніці - набір провідників, які можна замкнути у точках їх перетинів. Покерні фішки також мають безпосереднє відношеннядо матриці. Фішки для покеру виготовляються з високоякісного композиційного матеріалу, часто з металевою серцевиною. В свою чергу композиційний матеріалабо композит має матрицю і включені до неї армуючі елементи (виняток становлять шаруваті композити).
Матриця у фотографії – це інтегральна мікросхема (аналогова чи цифро-аналогова), що складається з фотодіодів (світлочутливих елементів). Завдяки світлочутливій матриці відбувається перетворення спроектованого на неї оптичного зображення електричний сигналаналогового типу, а за наявності у складі матриці АЦП, перетворення відбувається в потік цифрових даних.
Матриця - основний елемент цифрових фотоапаратів, всіх сучасних відео- та телекамер, фотокамер, вбудованих у мобільний телефонта системи відеоспостереження.

Основне значення термін «матриця» має у математиці.

Матриця - математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих або комплексних чисел), що є сукупність рядків і шпальт, на перетині яких перебувають її елементи. Кількість рядків та стовпців матриці задають розмір матриці. Хоча історично розглядалися, наприклад, трикутні матриці, нині говорять виключно про матриці прямокутної форми, оскільки вони є найбільш зручними та загальними.

Вперше матриці згадувалися ще в стародавньому Китаї, називаючись тоді «чарівним квадратом». Основним застосуванням матриць було рішення лінійних рівнянь. Також чарівні квадрати були відомі трохи пізніше в арабських математиків, приблизно тоді з'явився принцип складання матриць. Після розвитку теорії визначників наприкінці 17-го століття, Габріель Крамер почав розробляти свою теорію у 18 столітті і опублікував «правило Крамера» у 1751 році. Приблизно в цьому ж проміжку часу з'явився метод Гаусса. Теорія матриць почала своє існування в середині XIXстоліття у роботах Вільяма Гамільтона та Артура Келі. Фундаментальні результати теорії матриць належать Вейерштрассу, Жордану, Фробеніусу. Термін «матриця» запровадив Джеймс Сільвестр у 1850 р.

Матриці широко застосовуються в математиці для компактного запису систем лінійних алгебраїчних або диференціальних рівнянь. У цьому випадку кількість рядків матриці відповідає числу рівнянь, а кількість стовпців - кількості невідомих. В результаті розв'язання систем лінійних рівнянь зводиться до операцій над матрицями.

Матриці допускають такі операції алгебри:

додавання матриць, що мають один і той же розмір;
множення матриць відповідного розміру (матрицю, що має nстовпців, можна помножити праворуч на матрицю, що має nрядок);
множення матриці на елемент основного кільця чи поля (тобто. скаляр).

Матриця – безліч чисел, що утворюють прямокутну таблицю, що містить m – рядків та n – стовпців. Для позначення матриці використовується напис:

а ij де i - номер рядка, j - номер стовпця

Матриці З і D мають розміри 3х3 та 2х2. У тому випадку, коли кількість рядків матриці дорівнює кількості її шпальт, матриця називається квадратною. Значить матриця C – квадратна матриця третього порядку, а матриця D – квадратна матриця другого порядку.

Матриця, яка містить лише один рядок або один стовпець називається вектором. У таких матрицях можна виділити вектор-рядок і вектор-стовпець. Так, матриця K - це вектор-рядок, а матриця F - вектор-стовпець.

Квадратна матриця, у якої в головній діагоналі стоять ненульові елементи, а решта - нулі називається діагональною матрицею. Матриця L – діагональна матриця третього порядку. Якщо ненульові елементи рівні лише одиницям, це одинична матриця, вона завжди позначається буквою Е. У разі матриця Е - теж одинична матриця третього порядку.

Якщо всі елементи матриці нулі, це нульова матриця. Наприклад, матриця V – нульова матриця третього порядку.

Якщо в цій матриці поміняти рядки та стовпці місцями, то вийде транспонована матриця цієї. Наприклад, дана матриця М, кожен рядок цієї матриці перенесемо у відповідний стовпець матриці, що стоїть малюнку поруч. Друга матриця – це транспонована матриця матриці М.

До середини ХІХ ст. матриці стали самостійними об'єктами математичних досліджень. На той час були сформульовані правила складання та множення матриць. Основну роль їх розробці зіграли роботи Гамільтона, Келі і Сильвестра (J.J.Sylvester, 1814-1897). Сучасне позначення матриці запропонував Келі у 1841 році. Дослідження Вейєрштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815-1897) та Фробеніуса (F.G.L. Frobenius, 1849-1917) далеко просунули теорію матриць, збагативши її новим змістом.

Але існує ще особливий різновидматриць, що називається магічним квадратом. Магічний квадрат - квадратна таблиця з цілих чисел, у якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і з двох головних діагоналей рівні одному й тому числі.

Магічний квадрат – давньокитайського походження. Згідно з легендою, за правління імператора Ю (бл. 2200 до н.е.) з вод Хуанхе (Жовтої річки) випливла священна черепаха, на панцирі якої були накреслені таємничі ієрогліфи і ці знаки відомі під назвою коня і рівносильні магічному квадрату. У 11 ст. про магічні квадрати дізналися в Індії, а потім у Японії, де у 16 ст. магічним квадратамбула присвячена велика література. Європейців із магічними квадратами познайомив у 15 ст. візантійський письменник Е.Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат Дюрера зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1. Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять у двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратам приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, пов'язаних з астрологією 7 планет. Було повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.

У 19 та 20 ст. інтерес до магічних квадратів спалахнув з новою силою. Їх почали досліджувати за допомогою методів вищої алгебрита операційного обчислення.

Магічні квадрати непарного порядку можна збудувати за допомогою методу французького геометра 17 ст. А. де лаЛубера. Розглянемо цей спосіб з прикладу квадрата 5-го порядку. Число 1 міститься в центральну клітину верхнього рядка. Усе натуральні числарозташовуються в природному порядкуциклічно знизу вгору у клітинах діагоналей праворуч наліво. Дійшовши до верхнього краюквадрата (як у разі числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітки наступного стовпця. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітини рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається одну клітину вниз, після чого процес заповнення триває.

Де ще використовуються матриці?

Таблиця множення - це добуток матриць (1,2,3,4,5,6,7,8,9)Т(1,2,3,4,5,6,7,8,9).

У фізиці та інших прикладних наукахматриці - є засобом запису даних та їх перетворення. У програмуванні – у написанні програм. Вони ще називаються масивами. Широке застосування й у техніці. Наприклад, будь-яка картинка на екрані – це двомірна матриця, елементами якої є кольори крапок.

У психології розуміння терміна схоже з цим терміном у математиці, але замість математичних об'єктів маються на увазі деякі " психологічні об'єкти- Наприклад, тести.

Крім того, матриці має широке застосуванняв економіці, біології, хімії та навіть у маркетингу.

Також автори знайшли абстрактну модель - теорію одружень у первісному суспільстві, де за допомогою матриць були показані дозволені варіанти шлюбів для представників і навіть нащадків того чи іншого племені, що стало свідченням різнопланового застосування матриць.

Тепер докладніше зупинимося на деяких сферах застосування матриць.

Розглянемо теорію одружень, про яку вже згадувалося.

У деяких первісних суспільствах існують суворі правила щодо того, у яких випадках допустимі шлюби. Ці правила спрямовані на запобігання шлюбам між дуже близькими родичами.

Ці правила допускають точне математичне формулювання термінах «p-матриць». Одним із перших виклав ці правила у вигляді аксіом Андре Вейль.

Правила одруження характеризуються такими аксіомами:

Аксіома 1: кожному члену товариства приписується певний шлюбний тип.
Аксіома 2: двом індивідуумам дозволяється одружуватися тоді і тільки тоді, коли вони належать до одного і того ж шлюбного типу.
Аксіома 3: тип індивідуума визначається статтю індивідуума і типом його батьків.
Аксіома 4: два хлопчики (або дві дівчинки), батьки яких належать до різним типам, Самі належать до різних типів.
Аксіома 5: правила, які дозволяють або не дозволяють чоловікові одружитися зі своєю родичкою, залежать тільки від роду. Зокрема, чоловікові не дозволяється одружуватися зі своєю сестрою.
Аксіома 6: для будь-яких двох індивідуумів можна вказати таких їх нащадків, яким дозволяється одружуватися.

З аксіом випливає, що потрібно поставити залежність між типом батьків і типами синів та дочок.

Для встановлення відносини спорідненості користувалися такими позначеннями:

Ось приклади видів відносин:

Поняття матриці та заснований на ньому розділ математики - матрична алгебра- мають надзвичайно важливе значеннядля економістів Пояснюється це тим, що значна частина математичних моделейекономічних об'єктів і процесів записується у досить простій, а головне – компактній матричній формі.

За допомогою матриць зручно записувати деякі економічні залежності.

Наприклад, розглянемо таблицю розподілу ресурсів з окремих галузей економіки (ум. од.):

Ця таблиця може бути записана в компактній формі у вигляді матриці розподілу ресурсів за галузями:

У цьому записі, наприклад, матричний елемент = 5,3 показує, скільки електроенергії споживає промисловість, а елемент = 2,1 - скільки трудових ресурсівспоживає сільське господарство.

Прогресивні матриці Равена-тест на наочне і водночас абстрактне мисленняпо аналогії(тест інтелекту), Розроблений англ. психологом Дж. Равен (1938).

Кожне завдання складається з 2 частин: основного малюнка (будь-якого геометричного візерунка) з пробілом у правому нижньому кутку та набору з 6 або 8 фрагментів, що знаходяться під основним малюнком. З цих фрагментів потрібно вибрати один, який, будучи поставленим на місце пробілу, точно б підходив до малюнка в цілому. Прогресивні матриці Равена поділяються на 5 серій по 12 матриць у кожній. Завдяки збільшенню числа елементів матриць та ускладненню принципів із взаємовідносин завдання поступово ускладнюються як у межах однієї серії, так і при переході від серії до серії. Є також полегшений варіант прогресивних матриць Равена, призначений для дослідження дітей та дорослих із порушеннями психічної діяльності.

На малюнку показані приклади таких матриць:

Ми розглянули основні сфери застосування матриць. Виявилося, що даний термінвикористовується у математиці, а й у інших науках, як-от інформатика, біологія, хімія, фізика, психологія, економіка тощо. буд. Крім того, матриці може бути практично застосовні, наприклад, як і робили у первісному суспільстві визначення дозволених варіантів шлюбу.

МАТРИЦЯ-(нім., Matrize, від лат. matrix матка). 1) у ливарному виробництві: мідна форма для виливки букв, а також монет. 2) у друкарській справі: паперова форма для виливки стереотипу.

За допомогою матриць можна вирішувати системи рівнянь, в них зручно подавати будь-які дані.

Таким чином, ми дійшли висновку, що матриці широко застосовувалися і застосовуються досі.

Література:

Красс М.С., Чупринов Б.П.; Математика, Пітер, 2005.
Солодовніков А.С., Бабайцев В.А., Браїлов А.В., Шандра І.Г.; Фінанси та статистика, 2000.
Кремер Н.Ш.; ЮНІТІ-ДАНА, Вища математикадля економістів, 3-тє видання, 2007.
Венгер А.Л. - психологічні малювальні тести: Ілюстрований посібник.
Енциклопедичний словник юного математика. - М.: Педагогіка, 1989.

У цій темі розглянемо поняття матриці, і навіть види матриць. Оскільки в цій темі багато термінів, то я додам короткий змістщоб орієнтуватися в матеріалі було простіше.

Визначення матриці та її елемента. Позначення.

Матриця- Це таблиця з $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Елементами матриці може бути об'єкти абсолютно різноманітної природи: числа, змінні чи, наприклад, інші матриці. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ містить 3 рядки і 2 стовпці; Елементами її є цілі числа. Матриця $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ містить 2 рядки та 4 стовпці.

Різні способи запису матриць: показати\сховати

Матриця може бути записана у круглих, а й у квадратних чи подвійних прямих дужках. Тобто, вказані нижче записи означають ту саму матрицю:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Твір $m\times n$ називають розміром матриці. Наприклад, якщо матриця містить 5 рядків та 3 стовпці, то говорять про матрицю розміру $5\times 3$. Матриця $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ має розмір $3 \times 2$.

Зазвичай матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту: $A$, $B$, $C$ і так далі. Наприклад, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 \end(array) \right)$. Нумерація рядків йде зверху донизу; стовпців - зліва направо. Наприклад, перший рядок матриці $B$ містить елементи 5 та 3, а другий стовпець містить елементи 3, -87, 0.

Елементи матриць зазвичай позначаються дрібними літерами. Наприклад, елементи матриці $A$ позначаються $a_(ij)$. Подвійний індекс $ij$ містить інформацію про положення елемента у матриці. Число $i$ це номер рядка, а число $j$ - номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_(ij)$. Наприклад, на перетині другого рядка і п'ятого стовпця матриці $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \1 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ розташований елемент $a_(25)= 59$:

Так само на перетині першого рядка і першого стовпця маємо елемент $a_(11)=51$; на перетині третього рядка та другого стовпця - елемент $a_(32)=-15$ тощо. Зауважу, що запис $a_(32)$ читається як "а три два", але не "а тридцять два".

Для скороченого позначення матриці $A$, розмір якої дорівнює $m\times n$, використовується запис $A_(m\times n)$. Можна записати і більш розгорнуто:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

де запис $(a_(ij))$ означає позначення елементів матриці $A$. У повністю розгорнутому вигляді матрицю $A_(m\times n)=(a_(ij))$ можна записати так:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Введемо ще один термін - рівні матриці.

Дві матриці однакового розміру $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називаються рівними, якщо відповідні елементи рівні, тобто. $a_(ij)=b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Отже, для рівності матриць потрібно виконання двох умов: збіг розмірів та рівність відповідних елементів. Наприклад, матриця $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ не дорівнює матриці $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 2$, а розмір матриці $B$ становить $2\times 2 $. Також матриця $A$ не дорівнює матриці $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, оскільки $a_( 21) \ neq c_ (21) $ (тобто $ 0 \ neq 98 $). А ось для матриці $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\0 & -87\8 & 0\end(array)\right)$ можна сміливо записати $A=F$ оскільки і розміри, і відповідні елементи матриць $A$ та $F$ збігаються.

Приклад №1

Визначити розмір матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\\end(array) \right)$. Вказати, чому рівні елементи $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Дана матриця містить 5 рядків і 3 стовпці, тому розмір $5\times 3$. Для цієї матриці можна також використовувати позначення $A_(5\times 3)$.

Елемент $a_(12)$ знаходиться на перетині першого рядка та другого стовпця, тому $a_(12)=-2$. Елемент $a_(33)$ знаходиться на перетині третього рядка та третього стовпця, тому $a_(33)=23$. Елемент $a_(43)$ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця, тому $a_(43)=-5$.

Відповідь: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Види матриць залежно від їхнього розміру. Головна та побічна діагоналі. Слід матриці.

Нехай задана певна матриця $A_(m\times n)$. Якщо $m=1$ (матриця складається з одного рядка), то задану матрицю називають матриця-рядок. Якщо $n=1$ (матриця складається з одного стовпця), то таку матрицю називають матриця-стовпець. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ - матриця-рядок, а $\left(\begin(array) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - матриця-стовпець.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ вірна умова $m\neq n$ (тобто кількість рядків не дорівнює кількості стовпців), то часто кажуть, що $A$ - прямокутна матриця. Наприклад, матриця $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ має розмір $2\times 4$, тобто. містить 2 рядки та 4 стовпці. Так як кількість рядків не дорівнює кількості стовпців, то ця матриця прямокутна.

Якщо для матриці $A_(m\times n)$ правильна умова $m=n$ (тобто кількість рядків дорівнює кількості стовпців), то кажуть, що $A$ - квадратна матриця порядку $n$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ - квадратна матриця другого порядку; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ - квадратна матриця третього порядку. У загальному виглядіквадратну матрицю $A_(n\times n)$ можна записати так:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Говорять, що елементи $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ знаходяться на головної діагоналіматриці $A_(n\times n)$. Ці елементи називаються головними діагональними елементами(чи просто діагональними елементами). Елементи $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ знаходяться на побічної (другорядної) діагоналі; їх називають побічними діагональними елементами. Наприклад, для матриці $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end(array) \right)$ маємо:

Елементи $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ є головними діагональними елементами; елементи $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ - побічні діагональні елементи.

Сума головних діагональних елементів називається слідом матриціі позначається $\Tr A$ (або $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Наприклад, для матриці $ C = \ left ( \ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \ -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ маємо:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Поняття діагональних елементів також використовується для неквадратних матриць. Наприклад, для матриці $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ головними діагональними елементами будуть $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Види матриць залежно від значень їх елементів.

Якщо всі елементи матриці $A_(m\times n)$ дорівнюють нулю, то така матриця називається нульовийі зазвичай позначається буквою $O$. Наприклад, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - нульові матриці.

Нехай матриця $A_(m\times n)$ має такий вигляд:

Тоді цю матрицю називають трапецієподібної. Вона може і не містити нульових рядків, але якщо вони є, то розташовуються в низу матриці. У більш загальному вигляді трапецієподібну матрицю можна записати так:

Повторюся, наявність нульових рядків наприкінці не є обов'язковою. Тобто. формально можна виділити такі умови для трапецієподібної матриці:

Усі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.
Всі елементи від $a_(11)$ до $a_(rr)$, що лежать на головній діагоналі, не дорівнюють нулю: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Або всі елементи останніх $m-r$ рядків дорівнюють нулю, або $m=r$ (тобто нульових рядків немає взагалі).

Приклади трапецієподібних матриць:

Перейдемо до наступного визначення. Матрицю $A_(m\times n)$ називають ступінчастоюякщо вона задовольняє таким умовам:

Наприклад, ступінчастими матрицямибудуть:

Для порівняння, матриця $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ не є ступінчастою, оскільки у третього рядка нульова частина така сама, як і у другого рядка. Тобто, порушується принцип "чим нижче рядок - тим більша нульова частина". Додам, що трапецієподібна матриця є окремим випадком ступінчастої матриці.

Перейдемо до наступного визначення. Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані під головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають верхньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - Верхня трикутна матриця. Зауважте, що у визначенні верхньої трикутної матрицінічого не сказано про значення елементів, які розташовані над головною діагоналлю або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це несуттєво. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж верхня трикутна матриця.

Якщо всі елементи квадратної матриці, розташовані над головною діагоналлю, дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нижньою трикутною матрицею. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - нижня трикутна матриця. Зверніть увагу, що у визначенні нижньої трикутної матриці нічого не сказано про значення елементів, розташованих під або на головній діагоналі. Вони можуть бути нульовими чи ні – це неважливо. Наприклад, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ і $\left(\begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - теж нижні трикутні матриці.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі елементи цієї матриці, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Приклад: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array) \right)$. Елементи на головній діагоналі можуть бути будь-якими ( рівними нулючи ні), - це несуттєво.

Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи цієї матриці, розташовані на головній діагоналі, дорівнюють 1. Наприклад, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця четвертого порядку; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ - одинична матриця другого порядку.