Виведення диференціального рівняння коливань пружинного маятника. Диференціальне рівняння вільних коливань

На рис. 16 зображена підвішена вертикально пружина. До нижнього її кінця прикріплено кульку, що має масу . Зображено також координатну вісь , спрямовану вертикально вниз. Вважаємо, що початок осі координат збігається з центром кульки, коли пружина знаходиться в ненапруженому стані. Однак у момент часу вона виведена зі стану спокою миттєвим її стисненням або розтягуванням, що супроводжується, можливо, ще наданням кульці імпульсу (миттєвої швидкості) у вертикальному напрямку. Завдяки цьому при пружині робить вертикальні коливання.

Координата центру кульки є функція від часу. Поставимо завдання знайти цю функцію.

Прискорення руху центру кульки є похідною другого порядку від . За законом Ньютона твір маси кульки на прискорення його центру дорівнює силі, що діє на нього. Якщо знехтувати вагою кульки та опором повітря, то доведеться врахувати лише силу напруги у пружині. За законом Гука ця сила дорівнює , де - Позитивний коефіцієнт, що характеризує пружні властивості пружини. Якщо , то пружина розтягнута, і напруга спрямована вгору, тобто. у наших позначеннях негативна, і якщо , то пружина стиснута і вказана сила спрямовано вниз, тобто. позитивна. В обох випадках сила дорівнює.

Отже, справедлива рівність

. (26)

Ми, що потрібна функція задовольняє лінійному диференціальному рівнянню другого порядку (26).

Загальне його рішення, як ми знаємо, має вигляд

де - довільні постійні.

При функції виду (27) говорять, що вона описує гармонійне коливання із частотою .

Завдання Коші для рівняння (26): , висловлює, що хочемо знайти приватне рух, відповідне тому випадку, як у момент центр кульки переміщений у крапку і він у цей момент надано імпульс .

і, отже, рух центру кульки описується функцією

.

Якщо враховувати вагу кульки, то до правої частини рівняння (25) ще треба додати величину , де - прискорення земного тяжіння. І тоді диференціальне рівнянняруху центру кульки запишеться так:

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

, (29)

де - довільні постійні. Адже рішення є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняннята приватного розв'язання неоднорідного рівняння.

Цей випадок перебування приватного рішення передбачено формулами (2) - (4).

З формули (29) випливає, що за

, .

Отже, завдання Коші приводить до рішення

.

Ми бачимо, що центр кульки описує гармонійні коливання біля точки, що має ординату .

Але наші розгляди будуть ще ближчими до дійсності, якщо ми врахуємо силу опору середовища (повітря) та терню, що виникає у пружині. Досвід показує, що ця сила дорівнює , де - Позитивний коефіцієнт, що характеризує середовище і пружину.

Тепер уже диференціальне рівняння руху (центру кульки) матиме вигляд

. (30)

З фізичних міркувань ми маємо очікувати, що цей рух здійснює загасаючі коливання. Так воно і є.

Характеристичне рівняння для диференціального рівняння (30) має вигляд

,

.

Якщо , що на практиці зазвичай має місце, отримаємо два комплексні корені

Часткове рішення рівняння (30) можна знайти у вигляді постійної . Очевидно, і, отже, спільне рішеннярівняння (30) має вигляд

Як ми й очікували, центр кульки робить загасаючі коливання. Ці коливання відбуваються на осі навколо точки. (Нагадаємо, що початок координат поміщено в точку, в якій знаходиться центр кульки, коли пружина не напружена.)

Очевидно,

.

Розглянемо ще рух (центр кульки), що описується диференціальним рівнянням

. (32) зростає до .

Рішення рівняння (32) є сума відповідного рішення однорідного рівняння і деякого його приватного рішення. Мовою механіки у разі говорять, що коливання системи є сума власного і вимушеного коливань цієї системи.

З математичної погляду те що, що окреме рішення рівняння (32) має вигляд , де - постійна, пояснюється тим, що число (див. приклад 3) є корінь кратності 1 характеристичного рівняння.

Механік цей факт висловив би іншими словами. Він сказав би, що в даному випадкучастота власного коливання системи дорівнює частоті коливання зовнішньої сили. Рівність цих частот призводить до резонансу - система коливається з тією ж частотою, але з необмежено зростаючою при амплітудою.

Інша річ, якщо зазначені частоти різні, тоді резонансу немає. Наприклад, у прикладі 2 зазначені частоти різні і будь-який рух системи має обмежену амплітуду.

Пружинний маятник - це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою т пружини. Розглянемо горизонтальний пружинний маятник (рис. 13.12 а). Він є масивним тілом, просвердленим посередині і одягненим на горизонтальний стрижень, уздовж якого воно може ковзати без тертя (ідеальна коливальна система). Стрижень закріплений між двома вертикальними опорами. До тіла одним кінцем прикріплена невагома пружина. Інший її кінець закріплений на опорі, яка в найпростішому випадку перебуває у спокої щодо інерційної системивідліку, у якій відбуваються коливання маятника. На початку пружина не деформована, і тіло знаходиться в положенні рівноваги С. Якщо, розтягнувши або стиснувши пружину, вивести тіло з положення рівноваги, то з боку деформованої пружини на нього почне діяти сила пружності завжди спрямована до положення рівноваги. Нехай ми стиснули пружину, перемістивши тіло в положення А, і відпустили \((\upsilon_0=0).\) Під дією сили пружності воно рухатиметься прискорено. При цьому у положенні А на тіло діє максимальна силапружності, тому що тут абсолютне подовження x m пружини найбільше. Отже, в цьому положенні максимальне прискорення. При русі тіла до положення рівноваги абсолютне подовження пружини зменшується, а отже, зменшується прискорення, що повідомляється силою пружності. Але так як прискорення при даному русі сонаправлено зі швидкістю, швидкість маятника збільшується і в положенні рівноваги вона буде максимальна. Досягши положення рівноваги, тіло не зупиниться (хоча в цьому положенні пружина не деформована, і сила пружності дорівнює нулю), а володіючи швидкістю, буде по інерції рухатися далі, розтягуючи пружину. Виникаюча при цьому сила пружності спрямована проти руху тіла і гальмує його. У точці D швидкість тіла виявиться рівною нулю, а прискорення максимально, тіло на мить зупиниться, після чого під дією сили пружності почне рухатися в зворотний бікдо положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, тіло, стискаючи пружину і сповільнюючи рух, сягне точки А (оскільки тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух тіла повторюватиметься в описаній послідовності. Отже, причинами вільних вагань пружинного маятникає дія сили пружності, що виникає при деформації пружини, та інертність тіла.

За законом Гука \(~F_x=-kx.\) За другим законом Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Отже, \(~ma_x = -kx.\) Звідси

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) або \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - динамічне рівняння руху пружинного маятника.

Бачимо, що прискорення прямопропорційне до змішання і протилежно йому спрямоване. Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням гармонійних коливань\(~a_x + \omega^2 x = 0,\) бачимо, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою \(\omega = \sqrt \frac(k)(m)\) Оскільки \(T = \ frac(2 \pi)(\omega),\)

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\)- період коливань пружинного маятника.

За цією формулою можна розраховувати і період коливань вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Дійсно, у положенні рівноваги завдяки дії сили тяжіння пружина вже розтягнута на деяку величину x 0 , що визначається співвідношенням \(~mg=kx_0.\) При зміщенні маятника з положення рівноваги Oна хпроекція сили пружності \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) і за другим законом Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Підставляючи сюди значення \(~kx_0 =mg,\) отримаємо рівняння руху маятника \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) збігається з рівнянням руху горизонтального маятника.

Література

Аксенович Л. А. Фізика в середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 377-378.

Гармонічні коливання

Найпростішими з коливань гармонійні коливання, тобто. такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Механічні коливання, що відбуваються під дією сили (відновлююча сила), пропорційної зміщенню і спрямованої протилежно йому, називають гармонійними коливаннями -диференціальне рівняння, -рішення

x- зміщення коливається від позитивної рівноваги

66.Основні характеристики ГК

А - амплітуда-максимальне зміщення від положення рівноваги

0 ) – фаза коливань – визначає зміщення в Наразічасу

0 - Початкова фаза - визначається положенням системи в початковий моментчасу

ω – власна частота коливань, що визначається параметрами системи

Роль початкових умов- А, початкова фаза

67.Способи графічного уявленняколивальних процесів:

Плоска діаграма

Векторна діаграма

68. Векторна діаграма- Спосіб графічного завдання коливального рухуу вигляді вектор.

Візьмемо вісь, яку позначимо літерою х. З т. про взятої на осі, відкладемо вектор довжини а, що утворює з віссю кут α. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовий швидкістюω 0 , то проекція кінця вектора переміщатиметься по сох в межах від –а до +а, причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом х=а cos (ω 0 t + α).

Отже, проекція вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, рівної довжинівектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, рівному куту, утвореному вектором з віссю в початковий час.

Т.о. гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина кіт дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю х кут, рівний початковій фазіколивань.

69.Пружинний маятник– вантаж підвішений на пружині.

Виведемо диф ур-е пружинного маятника

70. Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з невагомої та нерозтяжної нитки, на якій підвішена маса, зосереджена в одній точці. Відхилення маятника від положення рівноваги характеризуватимемо кутом, утвореним ниткою з вертикаллю. При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає момент, що обертає М, рівний M=-mgl sin .Він має такий напрям, що прагне повернути маятник в положення рівноваги.

71. Фізичний маятник -будь-яке тверде тіло, Що має вісь обертання, яка не збігається із центром мас.

Висновок диференціального ур-я коливань:

72.Наведена довжина фізичного маятника- Довжина такого матем маятника, період коливань якого збігається з періодом даного фізичного маятника.

Власна частота для пружинного маятника

Власна частота математичного маятника

73. Періодичні або майже періодичні зміни заряду, сили струму та напруги називаються електромагнітними коливаннями.

Найпростіша система, в якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання, Складається з конденсатора і котушки, приєднаної до його обкладок. Така система називається коливальним контуром.

Частота коливань – це кількість коливань за одиницю часу. υ = 1/T

Тривалість одного повного коливанняназивається періодом коливання. T = 1/υ

де L – індуктивність, С – електроємність

74.Складання колінеарних коливань однакової частоти:

Зміщення х тіла, що коливається, буде сумою зсувів х1 і х2, які запишуться таким чином: х 1 =а 1 cos (ω 0 t+α 1) х 2 =а 2 cos (ω 0 t+α 2)

Представимо обидва коливання за допомогою векторів а1 та а2. Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор а. Проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій доданків векторів: х1 = х1 + х2. Отже, вектор а є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю 0, як і вектори а1 і а2, так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою 0, амплітудою а і початковою фазою α.

75. Нехай маленьке тіло коливається на взаємно перпендикулярних пружинках однакової жорсткості.За якою траєкторією рухатиметься це тіло? Це рівняння траєкторії у параметричному вигляді.

Для отримання явної залежностіміж координатами x та y треба з рівнянь виключити параметр t. З першого рівняння:

З другого:

Після підстановки:

Позбавимося кореня: - це рівняння еліпса.

76.В реальних умовах завжди присутні розсіяні сили (десепативні?), Що призводять до зменшення енергії в контурі. Розглянемо окремий випадок механічних коливаньза наявності сили в'язкого тертя.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань

77. Основні параметри загасаючих коливань.

ω0- власна частота коливальної системи, без загасання, β - коефіцієнт загасання-характеризує швидкість загасання

Час релаксації, протягом якого амплітуда зменшується в е раз.

Добротність - показник швидкості догляду енергії з коливальної системи

Q=2π , де Е-енергія, запасена контурі, - енергія у період. Q=πNe, деNe – у коливань під час релаксації.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань для пружинного маятника.

79.Диференційне рівняння для загасаючих коливань ем контура

Його рішенням є функція

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ), де частота коливань ω= Для коливального контуру

80.Амплітуда і частота загасаючих коливаньамплітуда загасаючих коливань

ω0- власна частота коливальної системи, без згасання. Частота загасаючих коливань менше ніж власна частота.

Амплітуда зменшується за експоненційним законом, де

Тут - частота загасаючих коливань.

τ- перехідний режим, після нього коливання встановлюються з частотою сили, що змушує.

83. Вимушені коливання –відбуваються в коливальних системах під впливом зовнішньої періодичної сили, що змінюється за гармонійним законом:

f 0 – амплітуда вимушеної сили

Частота вимушеної сили

Амплітуда вимушених коливаньзалежить від частоти сили, що змушує.

Резонанс - явище різкого зростання амплітуди при частоті вимушених коливань близькою до своєї.

Резонансна частота

84.Амплітудно -частотні показники. У контурі з великою добротністю амплітуда резонансу велика, але мала смуга пропускання, а контурі з різкою добротністю амплітуда мала, але велика ширина смуги пропускання в контурах, де коефіцієнт загасання близький до критичного.

Для вивчення будь-якого фізичного явищапотрібна модель. Модель для вивчення механічних коливань є гармонійний осцилятор.

Гармонічним осцилятором називається система, що здійснює коливання, які можуть бути описані диференціальним рівнянням вільних гармонійних коливань, що мають вигляд:

Вираз (19.5) є лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Згідно загальної теоріїлінійних диференціальних рівнянь, розв'язком рівняння (19.5) є вираз (19.1).

Коливання гармонійного осциляторає важливим прикладом періодичного руху. Прикладами гармонійного осцилятора є пружинний, математичний та фізичний маятники.

Пружинний маятникПружинний маятниктіло, підвішене на пружині жорсткістю k.Модель пружинного маятника показано на рис.19.1. Положення тіла, за якого пружина не деформована, є положенням стійкої рівноваги. При відхиленні тіла від положення рівноваги внаслідок деформації виникає сила пружності, яка згідно із законом Гука дорівнює .

Вільні коливання відбуваються за рахунок спочатку повідомленої енергії за наступної відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему.

У разі пружинного маятника рівняння руху згідно з другим законом Ньютона можна записати. Ділимо на m,отримаємо:

Врахуємо, що отримаємо рівняння (19.5)

Період коливань пружинного маятника визначається як

. (19.7)

Потенційна енергія пружинного маятника визначається як:

. (19.8)

Математичний маятник.Математичним маятникомназивають підвішений на тонкій нерозтяжній нитці вантаж, розміри якого менші за довжину нитки, а маса більше масинитки.

Положення, в якому нитка вертикальна - положення стійкої рівноваги. У положенні стійкого рівноваги сила тяжкості врівноважена силою натягу нитки, як показано на рис.19.2. У разі відхилення нитки на кут α торавнодіюча сил тяжкості та сили натягу нитки буде спрямована до положення стійкої рівноваги.

Якщо тіло відпустити, то спостерігатимемо вільні коливання. Під час вагань можна вважати, що змінюється лише координата х. Запишемо проекцію рівнодіючої сили на вісь х

. (19.10)

При малих значеннях a(a~4 о) нехтуємо рухом вздовж осі y

(19.11)

З рівняння (19.10), враховуючи (19.11), визначимо проекцію рівнодіючої сили на вісь х, яка згідно з другим законом Ньютона дорівнює

,

врахуємо, що , отримаємо

Рівняння гармонійних коливань математичного маятника можна записати в диференційної форми

Підставимо значення. Отримаємо рівняння (19.5). Звідси період математичного маятника дорівнює

, (19.13)

де l –довжина математичного маятника .

Фізичний маятник.Фізичний маятник- тверде тіло, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої осі, що не проходить через центр мас. Вісь обертання якого розташована вище центру мас (рис.19.3).

При коливаннях фізичного маятника виникає крутний момент, який згідно з основним рівнянням динаміки. обертального рухудорівнює:

де J – момент інерції,

ε – кутове прискорення,

l –відстань між точкою підвісу та центром мас. Рівняння (19.14) можна записати у вигляді: або .

Враховуючи або .

Можна отримати вираз періоду коливань фізичного маятника:

, (19.15)

де - наведена довжинафізичний маятник. Наведена довжина дорівнює довжині математичного маятника з таким же періодом коливань.

Період коливань фізичного маятника, отже, та її наведена довжина, немонотонно залежить від відстані від точки підвісу до центру мас маятника. Це легко помітити, якщо відповідно до теореми Штейнера (4.7) момент інерції висловити через момент інерції щодо паралельної горизонтальної осі, що проходить через центр мас. Тоді період коливань дорівнюватиме

, (19.16)

де J 0 – момент інерції центру мас.

Насправді значення нижчих власних частот систем може бути дуже малими. Наприклад, мотузка для білизни, підвішена на двох стовпах, може в разі достатнього провисання здійснювати вільні коливання з частотою 1-2Гц. Коливання такого типу було виявлено восени 1959р. у проводів лінії електропередачі, що перетинала Північну річку, частота власних коливаньбула дуже низькою – близько 1/8Гц. Провід діаметром 43мм, протягнуті над річкою, були прикріплені до двох великих пілонів, відстань між якими перевищувала 1,6км. Було виявлено, що коли вітер віяв з невеликою силою, але у певному напрямку, виникали настільки інтенсивні низькочастотні коливання проводів, що ці дроти, мінімальна відстань між якими становила 8,2м, входили в дотик, що викликало коротке замикання системи електропередачі. (Була знайдена ймовірна причинацих коливань, і надалі їх вдалося запобігати шляхом покриття тросів тонкою пластиковою стрічкою: завдяки цьому змінювалася геометрія поверхні, що обтікає повітряним потоком).

Коливання проводів над річкою не є вільними коливаннями, оскільки в цьому випадку пасивна система перебувала під дією зовнішнього джерела енергії - вітру. Однак характерно, що при вирішенні цієї проблеми інженерам, як завжди, була потрібна інформація щодо значень власних частот системи, близьких до частоти коливань, що спостерігалися.

18.3.Швидкість та прискорення гармонійних коливань

Якщо матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі координат хбіля положення рівноваги, прийнятого за початок координат, тоді залежність координати хвід часу tописується рівнянням (19.1). Швидкість та прискорення aколивання точки відповідно рівні:

тобто. маємо гармонійні коливання з тією самою циклічною частотою. Амплітуди швидкості та прискорення коливань відповідно рівні υ max = Аwі a max = Аw 0 2 . Фаза швидкості (19.17) відрізняється від фази величини (19.1) на , а фаза прискорення (19.18) відрізняється від фази величини (19.1) на . У момент часу, коли х=0швидкість точки, що коливається, максимальна за величиною і дорівнює амплітуді швидкості в моменти проходження точки, що коливається через положення рівноваги. При максимальних зсувах ( х =±А) швидкість дорівнює нулю. Вектор швидкості завжди спрямований у бік руху.

Прискорення дорівнює нулю при проходженні точки, що коливається через положення рівноваги і досягає максимального за величиною значення, яке дорівнює амплітуді прискорення, при максимальних зсувах точки, що коливається. Вектор прискорення завжди спрямований у бік положення рівноваги. Віддаляючись від положення рівноваги, точка, що коливається, рухається, сповільнено, наближаючись до нього - прискорено.

Графік гармонійного коливання, який описується рівнянням (19.1), швидкість гармонійного коливання, що описується рівнянням (19.17), та прискорення (19.18) показані на рис.19.4. Видно, що зсув, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається періодичними функціямивід часу з однаковими періодами .

Якщо змістити кульку від положення рівноваги на відстань х, то подовження пружини дорівнюватиме Δl 0 + х. Тоді результуюча сила набуде значення:

Враховуючи умову рівноваги (1.7.1), отримаємо:

Знак "мінус" показує, що зміщення та сила мають протилежні напрямки.

Пружна сила f має такі властивості:

1. Вона пропорційна усунення кульки з положення рівноваги;
2. Вона завжди спрямована на положення рівноваги.

Для того, щоб повідомити систему усунення х, потрібно здійснити проти пружної силироботу:

Ця робота йдестворення запасу потенційної енергіїсистеми:

Під дією пружної сили кулька рухатиметься до положення рівноваги з дедалі більшою швидкістю. Тому потенційна енергія системи зменшуватиметься, зате зростає кінетична енергія (масою пружини нехтуємо). Прийшовши в положення рівноваги, кулька продовжуватиме рухатися за інерцією. Це – уповільнений рух і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перейде у потенційну. Потім такий же процес протікатиме при русі кульки в зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, кулька коливатиметься необмежено довго.

Рівняння другого закону Ньютона у разі має вигляд:

Перетворимо рівняння так:

Вводячи позначення, отримаємо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

Прямою підстановкою легко переконатися, що загальне рішення рівняння (1.7.8) має вигляд:

де а - амплітуда і - початкова фаза коливання - постійні величини. Отже, коливання пружинного маятника є гармонійним (рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Гармонічне коливання

Внаслідок періодичності косинуса різні станиколивальні системи повторюються через певний проміжок часу (період коливань) Т, за який фаза коливання отримує збільшення 2π. Розрахувати період можна за допомогою рівності:

звідки слідує:

Число коливань в одиницю часу називається частотою:

За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Таку одиницю називають 1 Гц.

З (1.7.11) випливає, що:

Отже, ω 0 - це число коливань, що відбувається за 2 секунд. Величину 0 називають круговою або циклічною частотою. Використовуючи (1.7.12) та (1.7.13), запишемо:

Диференціюючи () за часом, отримаємо вираз для швидкості кульки:

З (1.7.15) випливає, що швидкість також змінюється за гармонійним законом і випереджає зміщення фазою на ½π. Диференціюючи (1.7.15), отримаємо прискорення:

1.7.2. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з нерозтяжної невагомої нитки, де підвішено тіло, вся маса якого зосереджена лише у точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризують кутом φ, утвореним ниткою з вертикаллю (рис. 1.7.3).

Рис. 1.7.3. Математичний маятник

При відхиленні маятника від рівноваги виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху з огляду на те, що момент його інерції дорівнює ml 2:

Це рівняння можна привести до вигляду:

Обмежуючись випадком малих коливань sinφ ≈ φ і вводячи позначення:

рівняння (1.7.19) може бути подане так:

що збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. Отже, його вирішенням буде гармонійне коливання:

З (1.7.20) випливає, що циклічна частота коливань математичного маятника залежить від його довжини та прискорення вільного падіння. Використовуючи формулу для періоду коливань () та (1.7.20), отримаємо відоме співвідношення:

1.7.3. Фізичний маятник

Фізичним маятником називається тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої точки, що не збігається з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника знаходиться під точкою підвісу Про на одній з нею вертикалі (Рис. 1.7.4).

Рис. 1.7.4. Фізичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут φ виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

де m - маса маятника, l - відстань між точкою підвісу та центром інерції маятника.

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху, враховуючи, що момент його інерції дорівнює I:

Для малих коливань sinφ ≈ φ. Тоді, вводячи позначення:

що також збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. З рівнянь (1.7.27) і (1.7.26) випливає, що при малих відхиленнях фізичного маятника від положення рівноваги він здійснює гармонійне коливання, частота якого залежить від маси маятника, моменту інерції та відстані між віссю обертання та центром інерції. За допомогою (1.7.26) можна обчислити період коливань:

Порівнюючи формули (1.7.28) та () отримаємо, що математичний маятник з довжиною:

матиме такий самий період коливань, як і розглянутий фізичний маятник. Величину (1.7.29) називають наведеною довжиноюфізичний маятник. Отже, наведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Крапка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром інерції, що лежить на відстані наведеної довжини від осі обертання, називається центром хитанняфізичний маятник. По теоремі Штайнера момент інерції фізичного маятника дорівнює:

де I 0 – момент інерції щодо центру інерції. Підставляючи (1.7.30) (1.7.29), отримаємо:

Отже, наведена довжина завжди більше відстаніміж точкою підвісу та центром інерції маятника, так що точка підвісу та центр гойдання лежать по різні сторонивід центру інерції.

1.7.4. Енергія гармонійних коливань

При гармонійному коливанні відбувається періодичне взаємне перетворення кінетичної енергіїколивається тіла Е до і потенційної енергії Е п, обумовленої дією квазіпружної сили. З цих енергій складається повна енергія Е коливальної системи:

Розпишемо останній вираз

Але до = mω 2 , тому отримаємо вираз для повної енергії тіла, що коливається

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання стала і пропорційна квадрату амплітуди і квадрату кругової частоти коливання.

1.7.5. Затухаючі коливання .

При вивченні гармонійних коливань не враховувалися сили тертя та опору, які існують у реальних системах. Дія цих сил суттєво змінює характер руху, коливання стає загасаючим.

Якщо в системі, крім квазіпружної сили, діють сили опору середовища (сили тертя), то другий закон Ньютона можна записати так:

де r - коефіцієнт тертя, що характеризує властивості середовища чинити опір руху. Підставимо (1.7.34б) у (1.7.34а):

Графік цієї функції показаний на рис.1.7.5 суцільною кривою 1, а штриховою лінією 2 зображено зміну амплітуди:

При дуже малому терті період загасаючого коливання близький до періоду вільного коливання незатухающего (1.7.35.б)

Швидкість зменшення амплітуди коливань визначається коефіцієнтом згасання: чим більше β, тим сильніша гальмівна дія середовища і тим швидше зменшується амплітуда. На практиці, ступінь згасання часто характеризують логарифмічним декрементом згасаннярозуміючи під цим величину, рівну натурального логарифмувідносини двох послідовних амплітуд коливань, розділених інтервалом часу, рівним періодуколивань:

;

Отже, коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання пов'язані досить простою залежністю:

При сильному згасанні формули (1.7.37) видно, що період коливання є уявною величиною. Рух у цьому випадку вже називається аперіодичним. Графік аперіодичного руху у вигляді показаний на рис. 1.7.6. Незагасні та загасаючі коливання називають власними або вільними. Вони виникають внаслідок початкового усунення або початкової швидкостіі відбуваються за відсутності зовнішнього впливуза рахунок спочатку накопиченої енергії.

1.7.6. Вимушені коливання. Резонанс .

Вимушеними коливаннями називаються такі, що виникають у системі за участю зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом.

Припустимо, що на матеріальну точкукрім квазіпружної сили та сили тертя діє зовнішня сила, що змушує

,

де F 0 - Амплітуда; ω - кругова частота коливань сили, що змушує. Складемо диференціальне рівняння (другий закон Ньютона):

,

Амплітуда вимушеного коливання (1.7.39) прямо пропорційна амплітуді вимушує сили і має складну залежність від коефіцієнта загасання середовища та кругових частот власного та вимушеного коливання. Якщо 0 і β для системи задані, то амплітуда вимушених коливань має максимальне значенняпри певній певній частоті сили, що змушує, званої резонансної.

Саме явище - досягнення максимальної амплітуди для заданих 0 і β - називають резонансом.

Рис. 1.7.7. Резонанс

За відсутності опору амплітуда вимушених коливань при резонансі дуже велика. У цьому з ω рез =ω 0 , тобто. резонанс у системі без згасання настає тоді, коли частота сили, що змушує, збігається з частотою власних коливань. Графічна залежністьамплітуди вимушених коливань від кругової частоти примусової сили при різних значенняхкоефіцієнта згасання показано на рис. 5.

Механічний резонанс може бути як корисним, і шкідливим явищем. Шкідлива дія резонансу пов'язана головним чином із руйнуванням, яке може викликати. Так, у техніці, враховуючи різні вібрації, необхідно передбачати можливі виникнення резонансних умов, інакше можуть бути руйнування та катастрофи. Тіла зазвичай мають кілька власних частот коливань і кілька резонансних частот.

Якщо коефіцієнт загасання внутрішніх органів людини був невеликий, то резонансні явища, що виникли в цих органах під впливом зовнішніх вібрацій або звукових хвиль, могли б призвести до трагічних наслідків: розриву органів, ушкодження зв'язок тощо. Однак такі явища при помірних зовнішніх впливах практично не спостерігаються, оскільки коефіцієнт загасання біологічних систем досить великий. Проте резонансні явища при дії зовнішніх механічних коливань відбуваються в внутрішніх органах. У цьому, мабуть, одна з причин негативного впливуінфразвукових коливань та вібрацій на організм людини.

1.7.7. Автоколивання

Існують і такі коливальні системи, які самі регулюють періодичне заповнення витраченої енергії і тому можуть коливатися тривалий час.

Незагасні коливання, які у будь-якій системі за відсутності змінного зовнішнього впливу, називаються автоколиваннями, а самі системи - автоколивальними.

Амплітуда та частота автоколивань залежать від властивостей у самій автоколивальній системі, на відміну від вимушених коливань вони не визначаються зовнішніми впливами.

У багатьох випадках автоколивальні системи можна уявити трьома основними елементами (рис.1.7.8): 1) власне коливальна система; 2) джерело енергії; 3) регулятор надходження енергії у власне коливальну систему. Коливальна система каналом зворотнього зв'язку(Рис. 6) впливає на регулятор, інформую регулятор про стан цієї системи.

Класичним прикладом механічної автоколивальної системи є годинник, в якому маятник або баланс є коливальною системою, пружина або піднята гиря – джерелом енергії, а анкер – регулятором надходження енергії від джерела в коливальну систему.

Багато біологічні системи(Серце, легені та ін) є автоколивальними. Характерний приклад електромагнітної автоколивальної системи – генератори автоколивальних коливань.

1.7.8. Складання коливань одного напряму

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармонічне коливання можна задати за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з деякою віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Якщо цей вектор обертається з кутовою швидкістю 0, то його проекція на обрану вісь буде змінюватися за гармонічним законом. Виходячи з цього, виберемо деяку вісь Х і представимо коливання за допомогою векторів а1 і а2 (рис.1.7.9).

З рис.1.7.6 випливає, що

.

Схеми, у яких коливання зображуються графічно як векторів на площині, називаються векторними діаграмами.

З формули 1.7.40 випливає. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює, то амплітуда результуючого коливання дорівнює. Якщо частоти коливань, що складаються, не однакові, то вектори, відповідні цим коливанням будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з незмінною швидкістю. Отже, в результаті додавання виходить не гармонійне коливання, а складний коливальний процес.

1.7.9. Биття

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку мало відрізняються за частотою. Нехай частота одного з них дорівнює ω , а другого ω+∆ω, причому ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = cos ωt, x 2 = cos(ω+∆ω)t.

Склавши ці вирази і використовуючи формулу для суми косінусів, отримуємо:

Коливання (1.7.41) можна як гармонійне коливання частотою ω, амплітуда якого змінюється за законом . Ця функція є періодичною з частотою вдвічі перевищує частоту висловлювання, що стоїть під знаком модуля, тобто. із частотою ∆ω. Таким чином, частота пульсацій амплітуди, звана частотою биття, дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

1.7.10. Додавання взаємно перпендикулярних коливань (фігури Лісажу)

Якщо матеріальна точка здійснює коливання як вздовж осі х, так і вздовж осі у, то вона рухатиметься деякою криволінійною траєкторією. Нехай частота коливань однакова і початкова фаза першого коливання дорівнює нулю, тоді рівняння коливань запишемо як:

Рівняння (1.7.43) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані довільно щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та величина його півосей залежать від амплітуду а і b і різниці фаз α. Розглянемо деякі окремі випадки:

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, яке півосі рівні амплітудам (рис. 1.7.12). Якщо амплітуди рівні, то еліпс стає коло.

Рис.1.7.12

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на малу величину ∆ω, їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з різницею фаз, що повільно змінюється. У цьому випадку рівняння коливань можна записати

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

і вираз ∆ωt+α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається за кривою, що повільно змінюється, яка буде послідовно приймати форму, що відповідає всім значенням різниці фаз від -π до +π.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторія результуючого руху має вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Лісажу. Нехай, наприклад, частоти коливань, що складаються, відносяться як 1 : 2 і різницю фаз π/2. Тоді рівняння коливань мають вигляд

x = cos ωt, y = b cos.

За той час, поки вздовж осі х точка встигає переміститися з одного крайнього положення в інше, уздовж осі, вийшовши з нульового положення, вона встигає досягти одного крайнього положення, потім іншого і повернутися. Вигляд кривої показано на рис. 1.7.13. Крива при такому співвідношенні частот, але різниці фаз рівної нулю показана на рис.1.7.14. Відношення частот коливань, що складаються, назад відношенню числа точок перетину фігур Ліссажу з прямими, паралельними осям координат. Отже, за видом фігур Ліссажу можна визначити співвідношення частот коливань, що складаються, або невідому частоту. Якщо одна із частот відома.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чим ближче до одиниці раціональний дріб, що виражає відношення частот коливань, тим складніше фігури Ліссажу, що виходять.

1.7.11. Поширення хвиль у пружному середовищі

Якщо в будь-якому місці пружного (твердого рідкого або газоподібного) середовища збудити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання поширюватиметься в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю υ. процес поширення коливань у просторі називається хвилею.

Частинки середовища, у якій поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише коливання біля своїх положень рівноваги.

Залежно від напрямів коливань частинок стосовно напрямку, у якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні та поперечніхвилі. У поздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж поширення хвилі. У поперечній хвилі частки середовища коливаються у напрямах, перпендикулярних до напряму поширення хвиль. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 1.7.12 показано рух частинок при поширенні серед поперечної хвилі. Номерами 1,2 і т. д. позначені частинки відстають один від одного на відстань, що дорівнює (? υT), тобто. на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1, внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення рівноваги частка 2. Після наступу чверті періоду перша частина проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу рівний T, перша частка закінчить повний цикл коливання і перебуватиме в такому стані руху, як початковий момент. Хвиля на момент часу T, пройшовши шлях (υT), досягне частки 5.

Рис. 1.7.13 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування щодо поведінки частинок у поперечній хвилі можуть бути віднесені і до цього випадку із заміною зсувів вгору і вниз зсувами вправо і вліво.

З малюнка видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення, що чергуються, і розрядження частинок (місця згущення обведені на малюнку пунктиром), що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю υ.

Рис. 1.7.15

Рис. 1.7.16

На рис. 1.7.15 та 1.7.16 показані коливання частинок, положення, рівноваги яких лежать на осі x.Насправді коливаються як частинки, розташовані вздовж осі x,а сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерел коливань, хвильовий процес охоплює нові і нові частини простору, геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається фронтом хвилі(або хвильовим фронтом). Фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залучену в хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею . Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує безліч, тоді як хвильовий фронт кожен момент часу лише один. Хвильові поверхні залишаються не рухливими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в одній фазі ). Хвильовий фронт постійно переміщається.

Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин, у сферичній хвилі - безліч концентричних сфер.

Рис. 1.7.17

Нехай плоска хвиля поширюється вздовж осі x. Тоді всі точки сфери, положення, рівноваги яких мають однакову координату x(але відмінність значення координат yі z),коливаються у однаковій фазі.

Рис. 1.7.17 зображено криву, яка дає зміщення ξ із положення рівноваги точок з різними xу певний час. Не слід сприймати цей малюнок як видиме зображення хвилі. На малюнку показано графік функцій ξ (x, t)для деякого фіксованого моменту часу t.Такий графік можна будувати як для поздовжньої, так і для поперечної хвилі.

Відстань λ, на короткий поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що

де - швидкість хвилі, T- період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що коливаються з різницею фаз, що дорівнює 2π (див. рис. 1.7.14)

Замінивши у співвідношенні(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота коливань), отримаємо

До цієї формули можна прийти також з таких міркувань. За одну секунду джерело хвиль здійснює коливання ν, породжуючи в середовищі при кожному коливанні один "гребінь" і одну "впадину" хвилі. До того моменту, коли джерело завершуватиме - коливання, перший "гребінь" встигне пройти шлях υ. Отже, "гребенів" і "впадин" хвилі повинні вкластися в довжині υ.

1.7.12. Рівняння плоскої хвилі

Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливної частки як функцію її координат x, y, z та часу t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(маються на увазі координати рівноважного становища частинки). Ця функція має бути періодичною щодо часу t , і щодо координат x, y, z. . Періодичність за часом випливає з того, що точки, віддалені одна від одної на відстані λ , коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції ξ у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь x збігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярними до осі. x і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, ξ буде залежати тільки від x і t:

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Нехай коливання точок, що лежать у площині x = 0 (рис. 1.7.18), мають вигляд

Знайдемо вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню x . Для того, щоб пройти шлях від площини x=0 до цієї площині хвилі потрібен час( υ - швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині x , відставатимуть за часом на τ від коливань частинок у площині x = 0 , тобто. матимуть вигляд

Отже, рівняння плоскої хвилі(Поздовжньої, і поперечної), що поширюється в напрямку осі x , виглядає наступним чином:

Цей вираз визначає зв'язок між часом t і тим місцем x , В якому фаза має зафіксоване значення. Значення dx/dt, що випливає з нього, дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (1.7.48), отримаємо

Рівняння хвилі, що поширюється у бік спадання x :

При виведенні формули (1.7.53) ми припускали, що амплітуда коливань залежить від x . Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі з віддаленням від джерела коливань поступово зменшується - спостерігається згасання хвилі. Досвід показує, що в однорідному середовищі таке загасання відбувається за експоненційним законом:

Відповідно рівняння плоскої хвилі, з урахуванням згасання, має такий вигляд:

(a 0 – амплітуда у точках площині x = 0).