Формула спектральної густини сигналу. Пара перетворень Фур'є

Нехай інтервал розкладання сигналу (див. рис. 2.1) прагне нескінченності. За його збільшення частота = 2 п/т зменшується до нескінченно малої величини:

Відстань між спектральними компонентами при цьому зменшується до нескінченно малої величини, а значення перетворюються на поточні значення частоти (див. рис. 2.2). Інтервал розкладання прагне нескінченної величини. Це дозволяє при обчисленні межі ряду Фур'є у комплексній формі замінити знак суми знаком інтеграла, основну частоту О)! = 2п/Т - на?/с, а кратну частоту до (про ( замінити поточною частотою з:

Інтеграл, записаний у дужках виразу (2.13), позначимо

Тоді вираз (2.13) запишеться компактніше:

Вирази (2.14) та (2.15) називаються відповідно прямим і зворотним перетвореннями Фур'є. Функція 5(/с) називається

спектральної густиною.Вона є комплексною та має розмірність [В/Гц], якщо розмірність сигналу та(Р)[В].

Перетворення Фур'є (2.14) може бути обчислено на основі загальних правилінтегрування, якщо сигнал задовольняє умову абсолютної інтеграції:

Ця умова означає, що перетворення (2.14) існує тих сигналів, площа під кривою |м(?)| яких обмежена.

До цього класу не відносяться, наприклад, періодичні сигнали, які не задовольняють умову абсолютної інтеграції. Однак це не означає, що для періодичних сигналів спектральна густина не може бути обчислена. Методи обчислень, спеціально розроблені цих цілей, використовують звані узагальнені функції. Прикладом узагальненої функції є дельта-функція. Деякі властивості дельта-функції наведено у додатку 1.

Перетворимо спектральну густину сигналів, які задовольняють умові абсолютної інтегрованості. Такі сигнали обмежені у часі.

З урахуванням формули Ейлера перепишемо вираз (2.14): де

Модуль | 5 (/с) | називається спектральної щільністю амплітуд сигналуабо амплітудно-частотною характеристикою

(АЧХ) спектральної густини сигналу. Функція ср(з) визначає фазо-частотну характеристику (ФЧХ) спектральної щільності сигналу. АЧХ та ФЧХ спектральної щільності є безперервними функціями частоти.

Перейдемо до аналізу спектральної щільності сигналів, які задовольняють умові абсолютної інтегрованості. Такі сигнали не обмежені у часі та мають нескінченно більшу енергію.

На основі сигналу Ц)(?), що задовольняє умові абсолютної інтегрованості, побудуємо сигнал, що періодично повторюється

і обчислимо його спектральну густину:
де

Розмірність спектральної щільності сигналу, що періодично повторюється визначається розмірністю спектральної щільності неперіодичного сигналу, з якого формується періодично повторюється сигнал, тобто. [В/Гц].

Перший співмножник отриманого виразу в рівності (2.16) визначає спектральну щільність обмеженого в часі сигналу і 0 (?), другий - спектральну щільність дельта-функції, що періодично повторюється

Переконаємося в цьому, обчисливши вказану густину:

При обчисленні інтеграла використано фільтруючу властивість дельта-функції (див. додаток 1).

Якщо дельта-функцію, що періодично повторюється, розкласти в ряд Фур'є в комплексній формі, то се спектральну щільність можна виразити інакше:

При виведенні останньої формули використано вираз дельта-функції частотної області. Прирівнюючи вирази спектральних щільностей, отримаємо

Ця функція дорівнює нулю, якщо зіФ к(х) ьі дорівнює якщо со =к(про ( ).Підставимо в (2.16) новий вираз 5 ф (/с):

Спектральна щільність сигналу, що періодично повторюється.визначається значеннями спектральної щільності обмеженого в часі сигналу г/0 (?), відрахованим через інтервал, рівний со^ = 2л /Т.

Обчислимо значення спектральної густини обмеженого відрізком часу Тсигналу:

Помножимо ліву та праву частини рівності на коефіцієнт 2 /Т:

де а(/&а>1) - спектр обмеженого часу сигналу в базисі експоненційних функцій.

З урахуванням останньої формули спектральну щільність сигналу, що періодично повторюється, запишемо у вигляді

де модуль спектра визначається базисі експоненційних функцій формулою (2.9), а спектр фаз - формулою (2.10).

Значення АЧХ та ФЧХ спектральної густини обмеженого в часі сигналу г/о(0> відраховані через інтервал (щ = 2 п/ту точках частотної осі кщ, до = 0, ±1, ±2,..., визначають АЧХ та ФЧХ спектральної щільності цього періодичного сигналу.

Розглянемо деякі властивості спектральної густини сигналу, що задовольняють умові абсолютної інтегрованості.

• 1. Спектральна щільність (2.14) - це комплексна і безперервна функція частоти, визначена в нескінченному інтервалі частот.
• 2. АЧХ та ФЧХ спектральної щільності задовольняють рівнянням

де + (л)? - Вибрані значення частот.

3. Перетворення Фур'є (2.14), (2.15) є лінійними перетвореннями. Тому спектральна густина суми сигналів дорівнює сумі спектральних густин цих сигналів, а сума сигналів визначається зворотним перетворенням Фур'є від суми їх спектральних густин:

де Uj(t) - i- й сигнал; б'/О"оз) - спектральна щільність г-го сигналу.

4. Спектральна щільність сигналу, обмежена нескінченно малими інтервалами 2лА/(рис. 2.3) поблизу, наприклад, частот -з 0, з (), визначає гармонійний сигнал з нескінченно малою амплітудою.

Переконаємося в цьому, вважаючи, що через дещицю А/ значення спектральної щільності біля частот -ю () , (н () рівні відповідно S (-jco 0) = | А (70) 0) | _ - /

Мал. 2.3.

Оскільки в нескінченно малих інтервалах спектральна щільність залишається постійною, можна винести за знак інтегралів виразу | 50" з 0) | е; ф (10о) і |

Як випливає з отриманої формули, амплітуда отриманого сигналу визначається значенням спектральної густини, функцією (бшл -)/^ і дуже малим діапазоном частот А/. У разі прагнення Д/ до нуля функція (81 пх)/хпрагне одиниці, а амплітуда стає рівною нулю.

5. Якщо всі складові спектральної щільності обмеженого в часі сигналу зсуваються по фазі на +(л)?о> цей сигнал зрушується в часі на величину +? 0 . Дійсно:

6. При передачі обмеженого в часі сигналу через лінійний чотириполюсник, АЧХ якого у смузі пропускання дорівнює постійній величині До 0,а фазова характеристика ср(с) = = -а)? 0 > форма цього сигналу залишається незмінною, а сигнал запізнюється у часі величину? 0:

Рішення. Спектральна щільність затриманого на якийсь час? 0 імпульсу дорівнює

де м(?) - Імпульс, який розташований на початку координат;

Обчислення дають наступний результат:

Запишемо цю щільність у вигляді де

Останній вираз визначає спектральну щільність сигналу та(?).У діапазоні частот спектральна щільність є позитивною величиною, д(з) = = 1. Тому в цьому діапазоні фазова характеристика ф(з) = 0, так як (о)) = = со8ф(с) + ^ з1п ср(с).

У діапазоні частот спектральна густина є негативною величиною. Фазова характеристикау цьому діапазоні дорівнює ср(со) = я, оскільки

АЧХ спектральної густини затриманого імпульсу збігається з АЧХ спектральної густини сигналу «(?), а ФЧХ визначається виразом

Спектральна густина прямокутного імпульсу г/(?), АЧХ і ФЧХ цієї густини зображені на рис. 2.4.

Мал. 2.4.

приклад 2.3.Обчислити спектральну щільність кодованого сигналу

де ак -елементи кодового слова, рівні -1 чи 1, тобто. = +1 і 0 (0 - прямокутний імпульс з амплітудою Ата тривалістю т і.

Рішення. Застосуємо формулу (2.14):

Після заміни змінної , отримаємо

Приклад 2.4.Обчислити спектральну щільність періодичного сигналу, записаного у вигляді ряду Фур'є тригонометричній формі[див. формулу (2.11)]. Записати вирази АЧХ та ФЧХ постійної, синусної та косинусної складових цього ряду.

Рішення. Функції, що визначають формулу (2.11) - періодичні, за винятком постійної складової. Цю складову апроксимуємо періодичною косинусною функцією з частотою, яка прагне нуля:

Обчислимо спектральну щільність періодичного сигналу u(t) = = a cos fit,записавши його у вигляді

Значення першого доданку, що стоїть у дужках виразу, дорівнює 1, якщо з = -Q, і дорівнює 0 для інших дискретних значеньчастоти зі = kfl, k= 0, 1, ±2, ±3, ±4, .... Значення другого доданку дорівнює 1, якщо со = Q, і дорівнює 0 для інших дискретних значень частоти to = kQ, k= 0, -1, ±2, ±3, ±4, .... Враховуючи це, знайдемо спектральну щільність, АЧХ та ФЧХ спектральної щільності періодичного сигналу u(t) = a cos Q?:

Значення АЧХ спектральної щільності в точках частотної осі з = +?2 рівні паТ/(2п) = аТ/2.

Значення ФЧХ спектральної щільності гармонійного сигналу в точках частотної осі = рівні 0.

За формулою спектральної щільності косинусоїдального сигналу можна знайти спектральну щільність постійної складової:

АЧХ спектральної щільності постійної складової визначається значенням

Обчислення спектральної щільності синусоїдального сигналу аналогічно обчислення спектральної щільності косинусоїдального сигналу.

Запишемо періодичний сигнал u(t)= bsinQ? у вигляді

де

Спектральна щільність сигналу та 0 (О:

За знайденим виразом знайдемо спектральну щільність періодичного сигналу u(t) = b sin Q t:

АЧХ спектральної щільності цього сигналу в точках частотної осі = +П:

Значення ФЧХ спектральної густини сигналу в точках частотної осі з = +П рівні -я/2, п/ 2.

Отримані формули для спектральних густин гармонічних сигналів дозволяють знайти спектральну густину суми цих сигналів:

де - модуль спектру, що дорівнює амплітуді гармонійного

сигналу; ф(П) = -екЛ%(Ь/а)- значення фази спектру, рівне значенням початкової фазицього сигналу.

Ряд Фур'є у тригонометричній формі (2.11) містить нескінченно велике числосум гармонійних сигналів:

Спектральна щільність цієї суми знаходиться за останнім виразом спектральної щільності заміною П = ко)^.Використовуючи цю формулу та формулу спектральної щільності постійної складової, отримаємо вираз спектральної щільності сигналу, записаного у вигляді ряду Фур'є в тригонометричній формі:

де - модуль спектра; ф^о^) = - значення фази спектра, що дорівнює значенню початкової фази гармонійного сигналу.

Для періодичної послідовності імпульсів наведеної на рис. 2.1,

Спектральна щільність

Обчислена спектральна щільність є математичною моделлювідеоімпульсу, що періодично повторюється прямокутної формиу частотній області. Графік спектральної густини показаний на рис. 2.5. Дельта-функції цьому малюнку умовно зображені стрілками.

Мал. 2.5.

імпульсів

Графік містить інформацію про постійну складову та гармонійні сигнали, що входять до ряду Фур'є в тригонометричній формі.

приклад 2.5.За спектральною густиною, вид якої наведено на рис. 2.6 обчислити вираз для сигналу «(?)

Мал. 2.6.

Рішення. Спектральна щільність сигналу обмежена значеннями частоти, рівними -з, зі ст. Знайдемо сигнал.

При дослідженні автоматичних систем керування зручно користуватися ще однією характеристикою стаціонарного випадкового процесу, Яка називається спектральної щільністю. У багатьох випадках, особливо щодо перетворення стаціонарних випадкових процесів лінійними системамиуправління, спектральна щільність виявляється зручнішою характеристикою, ніж кореляційна функція. Спектральна щільність випадкового процесу окреслюється перетворення Фур'є кореляційної функцією, тобто.

Якщо скористатися формулою Ейлера, то (9.52) можна представити як

Так як непарна функціято в останньому виразі другий інтеграл дорівнює нулю. Враховуючи, що парна функція отримуємо

Оскільки з (9.53) випливає, що

Таким чином, спектральна щільність є дійсною і парною функцієючастоти о). Тому на графіку спектральна щільність завжди симетрична щодо осі ординат.

Якщо спектральна щільність відома, то за формулою зворотного перетворення Фур'є можна знайти відповідну кореляційну їй функцію:

Використовуючи (9.55) та (9.38), можна встановити важливу залежність між дисперсією та спектральною щільністю випадкового процесу:

Термін «спектральна щільність» завдячує своїм походженням теорії електричних коливань. Фізичний зміст спектральної щільності можна пояснити так.

Нехай - напруга, прикладена до омічного опору 1 Ом, тоді середня потужність розсіюється на цьому опорі за час дорівнює

Якщо збільшувати інтервал спостереження до нескінченних межі скористатися (9.30), (9.38) і (9.55) при цьому можна формулу для середньої потужності записати так:

Рівність (9.57) показує, що середня потужність сигналу може бути представлена ​​у вигляді нескінченної суминескінченно малих доданків, яка поширюється на всі частоти від 0 до

Кожна елементарна складова цієї суми грає роль потужності, що відповідає нескінченно малому ділянці спектру, укладеному в межах від до. Кожна елементарна потужність - пропорційна значенню функції для даної частоти Отже, фізичний зміст спектральної щільності полягає в тому, що вона характеризує розподіл потужності сигналу по частотному спектру.

Спектральна щільність може бути знайдена експериментально через середню величинуквадрата амплітуди гармонік реалізації випадкового процесу Прилади, що застосовуються для цієї мети і є аналізатором спектра і обчислювача середнього значення квадрата амплітуди гармонік, називаються спектрометрами. Експериментально знаходити спектральну густину складніше, ніж кореляційну функцію, тому на практиці найчастіше спектральну густину обчислюють але відомою кореляційної функціїза допомогою формули (9.52) чи (9.53).

Взаємна спектральна щільність двох стаціонарних випадкових процесів окреслюється перетворення Фур'є від взаємної кореляційної функції тобто.

За взаємною спектральною густиною можна, застосовуючи до (9.58) зворотне перетворення Фур'є, знайти вираз для взаємної кореляційної функції:

Взаємна спектральна щільність є мірою статистичного зв'язкуміж двома стаціонарними випадковими процесами: Якщо процеси некорельовані та мають рівні нулю середні значення, то взаємна спектральна щільність дорівнює нулю, тобто.

На відміну від спектральної щільності взаємна спектральна щільність не є парною функцією і є не речовинною, а комплексну функцію.

розглянемо деякі властивості спектральних густин

1 Спектральна щільність чистого випадкового процесу, або білого шуму, постійна у всьому діапазоні частот (див. рис. 9.5, г):

Справді, підставляючи (9.52) вираз (9.47) для кореляційної функції білого шуму, отримаємо

Постійність спектральної щільності білого шуму у всьому нескінченному діапазоні частот, отримане в останньому вираженні, означає, що енергія білого шуму розподілена по всьому спектру рівномірно, а сумарна енергія процесу дорівнює нескінченності. Це свідчить про фізичну нереалізованість випадкового процесу типу білого шуму. Білий шум є математичною ідеалізацією реального процесу. Насправді частотний спектр западає дуже високих частотах (як показано пунктиром на рис. 9.5, г). Якщо, однак, ці частоти настільки великі, що при розгляді будь-якого конкретного пристрою вони не відіграють ролі (бо лежать поза смугою частот, що пропускаються цим пристроєм), то ідеалізація сигналу у вигляді білого шуму спрощує розгляд і тому цілком доцільна.

Походження терміну «білий шум» пояснюється аналогією такого процесу з білим світлом, що мають однакові інтенсивності всіх компонентів, і тим, що випадкові процеси типу білого шуму вперше були виділені при дослідженні теплових флуктуаційних шумів в радіотехнічних пристроях.

2. Спектральна щільність постійного сигналу є -функцію, розташовану на початку координат (див. рис. 9.5, а), тобто.

Щоб довести це, припустимо, що спектральна щільність має вигляд (9.62), і іандем (9.55) відповідну їй кореляційну функцію. Так як

то при отримуємо

Це (відповідно до властивості 5 кореляційних функцій) означає, що сигнал, відповідний спектральної щільності, яка визначається (9.62), є постійним сигналом, рівним

Той факт, що спектральна щільність являє собою функцію при означає, що вся потужність постійного сигналу зосереджена на нульовій частоті, що і слід очікувати.

3. Спектральна щільність періодичного сигналу являє собою дві функції, розташовані симетрично щодо початку кординат при (див. рис. 9.5, д), тобто.

Щоб довести це, припустимо, що спектральна густина має вигляд (9.63), і знайдемо по (9.55) відповідну їй кореляційну функцію:

Це (відповідно до властивості 6 кореляційних функцій) означає, що сигнал, відповідний спектральної щільності визначається (9.63), є періодичним сигналом, рівним

Той факт, що спектральна щільність являє собою дві функції, розташовані при означає, що вся потужність періодичного сигналу зосереджена на двох частотах: Якщо розглядати спектральну щільність тільки в області позитивних частот, то отримаємо,

що вся потужність періодичного сигналу буде зосереджена на одній частоті.

4. Спектральна щільність тимчасової функції, що розкладається в ряд Фур'є має на підставі викладеного вище вигляд

Цій спектральній щільності відповідає лінійний спектр(рис. 9.9) з -функціями, розташованими на позитивних та негативних частотах гармонік. На рис. 9.9 -функції умовно зображені так, що їх висоти показані пропорційними коефіцієнтами при одиничній -функції, тобто величин і

яка повністю збігається з кореляційною функцією, що визначається за (9.45).

З рис. 9.5 б, видно, що чим ширший графік спектральної щільності тим вже графік відповідної кореляційної функції і навпаки. Це відповідає фізичної сутностіпроцесу: що ширше графік спектральної щільності, т. е. що більш високі частоти представлені спектральної щільності, то вище ступінь мінливості випадкового процесу і тим самим графіки кореляційної функції. Іншими словами, зв'язок між видом спектральної щільності та видом функції часу виходить зворотним порівняно зі зв'язком між кореляційною функцією та видом функції часу. Це особливо яскраво проявляється при розгляді постійного сигналу та білого шуму. У першому випадку кореляційна функція має вигляд горизонтальної прямої, а спектральна щільність має вигляд функції (див. рис. 9.5, а). У другому випадку (див. рис. 9.5 г) має місце зворотна картина.

6. Спектральна щільність випадкового процесу, на який накладені періодичні складові, містить безперервну частину та окремі функції, що відповідають частотам періодичних складових.

Окремі піки на графіку спектральної щільності вказують на те, що випадковий процес змішаний із прихованими періодичними складовими, які можуть і не виявлятися при першому погляді на окремі записи процесу. Якщо, наприклад, на випадковий процес накладено один періодичний сигнал із частотою то графік; Сектральна щільність має вигляд, показаний на рис. 9.10,

Іноді на розгляд вводять нормовану

спектральну щільність, що є зображенням Фур'є нормованої кореляційної функції (9.48):

Нормована спектральна густина має розмірність часу.

У статистичній радіотехніці та фізиці при вивченні детермінованих сигналіві випадкових процесів широко використовується їх спектральне уявлення у вигляді спектральної щільності, яка базується на перетворенні Фур'є.

Якщо процес має кінцеву енергію та квадратично інтегруємо (а це нестаціонарний процес), то однієї реалізації процесу можна визначити перетворення Фур'є як випадкову комплексну функцію частоти:

Однак вона виявляється майже марною для опису ансамблю. Виходом із цієї ситуації є відкидання деяких параметрів спектра, а саме спектру фаз, та побудова функції, що характеризує розподіл енергії процесу по осі частот. Тоді згідно з теоремою Парсеваля енергія

Функція S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2))характеризує, таким чином, розподіл енергії реалізації осі частот і називається спектральної щільністю реалізації. Усереднивши цю функцію за всіма реалізаціями можна отримати спектральну щільність процесу.

Перейдемо тепер до стаціонарного широкому значенніцентрованого випадкового процесу x(t) (\displaystyle x(t)), реалізації якого з ймовірністю 1 мають нескінченну енергіюі, отже, немає перетворення Фур'є. Спектральна, щільність, потужність такого процесу може бути знайдена на підставі теореми Вінера-Хінчина як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

Якщо існує пряме перетворення, то існує і зворотне, перетворення, Фур'є, яке за відомою визначає k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

Якщо вважати у формулах (3) та (4) відповідно f = 0 (\displaystyle f = 0)і τ = 0 (\displaystyle \tau =0), маємо

Формула (6) з урахуванням (2) показує, що дисперсія визначає повну енергію стаціонарного випадкового процесу, яка дорівнює площі під кривою спектральної густини. Розмірну величину S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df)можна трактувати як частку енергії, зосереджену в малому інтервалі частот від f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2)до f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Якщо розуміти під x(t) (\displaystyle x(t))випадковий (флуктуаційний) струм чи напруга, то величина S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))матиме розмірність енергії [2/Гц] = [2 с]. Тому S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))іноді називають енергетичним спектром. У літературі часто можна зустріти іншу інтерпретацію: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– розглядається як середня потужність, що виділяється струмом чи напругою на опорі 1 Ом. При цьому величину S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))називають спектром потужностівипадкового процесу.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

Спектр та спектральна щільність

Спектральна щільність прямокутного імпульсу

Спектральна щільність трикутного імпульсу

Нехай сигнал s(t) Заданий у вигляді неперіодичної функції, причому він існує тільки на інтервалі ( t 1 ,t 2) (приклад – одиночний імпульс). Виберемо довільний відрізок часу T, Що включає інтервал ( t 1 ,t 2) (див. рис.1).

Позначимо періодичний сигнал, отриманий з s(t), у вигляді s T(t). Тоді для нього можна записати низку Фур'є

де

Підставимо вираз для ряду:

Для того, щоб перейти до функції s(t) слід у виразі s T(t) спрямувати період до нескінченності. При цьому кількість гармонійних складових із частотами w =n 2p /Tбуде нескінченно велика, відстань між ними буде прагнути до нуля (до нескінченно малої величини: , Амплітуди складових також будуть нескінченно малі. Тому говорити про спектр такого сигналу не можна, т.к. спектр стає суцільним.

При граничному переходів разі Т=> , маємо:

Таким чином, у межі отримуємо

Внутрішній інтеграл є частотною функцією. Його називають спектральною густиною сигналу, або частотною характеристикою сигналу і позначають ,

ряме (*) і зворотне (**) перетворення Фур'є разом називають парою перетворень Фур'є. Модуль спектральної густини визначає амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) сигналу, а її аргумент називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) сигналу. АЧХ сигналу є парною функцією, а ФЧХ – непарною.

Сенс модуля S(w) визначається як амплітуда сигналу (струму або напруги), що припадає на 1 Гц в нескінченно вузькій смузі частот, яка включає в себе розглянуту частоту w. Його розмірність – [сигнал/частота].

9. Властивості перетворення Фур'є. Властивості лінійності, зміни масштабу часу та інші. Теореме про спектр похідної. Теорема про спектр інтегралу.

10. Дискретне перетворення Фур'є. Перешкоди радіоприйому. Класифікація перешкод.

Дискретне перетворення Фур'є може бути отримано безпосередньо з інтегрального перетворення дискретизації аргументів (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Нагадаємо, що дискретизація функції у часі призводить до періодизації її спектра, а дискретизація спектру за частотою - до періодизації функції. Не слід також забувати, що значення (6.1.1) числового ряду S(f n) є дискретизацією безперервної функції S"(f) спектру дискретної функції s(t k), так само як і значення (6.1.2) числового ряду s(t k) є дискретизацією безперервної функції s"(t), і при відновленні цих безперервних функцій S"(f) та s"(t) за їх дискретними відліками відповідність S"(f) = S(f) та s"(t) = s(t) гарантовано тільки при виконанні теореми Котельникова-Шеннона.

Для дискретних перетворень s(kDt) S(nDf), і функція, і її спектр дискретні та періодичні, а числові масиви їх подання відповідають завданню на головних періодах Т = NDt (від 0 до Т або від -Т/2 до Т/ 2), і 2f N = NDf (від -f N до f N), де N - кількість відліків, при цьому:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Співвідношення (6.1.3) є умовами інформаційної рівноцінності динамічної та частотної форм подання дискретних сигналів. Іншими словами: число відліків функції та її спектра мають бути однаковими. Але кожен відлік комплексного спектру представляється двома речовими числами і, відповідно, число відліків комплексного спектру в 2 рази більше від відліків функції? Це так. Однак уявлення спектру в комплексній формі - не більш ніж зручне математичне поданняспектральної функції, реальні відліки якої утворюються додаванням двох пов'язаних комплексних відліків, а повна інформаціяпро спектр функції у комплексній формі укладено лише в одній його половині - відліках дійсної та уявної частини комплексних чисел у частотному інтервалі від 0 до f N , т.к. інформація другої половини діапазону від 0 до -f N є сполученою з першою половиною і ніякої додаткової інформаціїне несе.

При дискретному поданні сигналів аргумент t k зазвичай проставляється номерами відліків k (за умовчанням Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а перетворення Фур'є виконуються за аргументом n (номер кроку частотою) на основних періодах. При значеннях N, кратних 2:

S(f n) º S n = k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1, ..., N-1. (6.1.5)

Головний період спектра (6.1.4) для циклічних частот від -0.5 до 0.5, для кутових частот від -p до p. При непарному значенні N межі головного періоду за частотою (значення ±f N) знаходяться на половину кроку за частотою за відліками ±(N/2) і, відповідно, верхня межапідсумовування (6.1.5) встановлюється рівним N/2.

У обчислювальних операціях на ЕОМ для виключення негативних частотних аргументів ( негативних значеньномерів n) і використання ідентичних алгоритмів прямого та зворотного перетворення Фур'є головний період спектра зазвичай приймається в інтервалі від 0 до 2f N (0 £ n £ N), а підсумовування в (6.1.5) проводиться відповідно від 0 до N-1. При цьому слід враховувати, що комплексно пов'язаним відлікам S n * інтервалу (-N,0) двостороннього спектру в інтервалі 0-2f N відповідають відліки S N+1- n (тобто сполученими відліками в інтервалі 0-2f N є відліки S n і S N+1-n).

Приклад:На інтервалі Т= , N=100, заданий дискретний сигнал s(k) = d(k-i) - прямокутний імпульс з одиничними значеннями на точках k від 3 до 8. Форма сигналу та модуль його спектра в головному частотному діапазоні, обчисленого за формулою S (n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) з нумерацією по n від -50 до +50 з кроком частотою, відповідно, Dw=2p/100, наведені на рис. 6.1.1.

Мал. 6.1.1. Дискретний сигнал та модуль його спектра.

На рис. 6.1.2 наведено огинаючу значень іншої форми подання головного діапазону спектра. Незалежно від форми подання спектр періодичний, у чому неважко переконатися, якщо обчислити значення спектра для більшого інтервалу аргументу n зі збереженням того ж кроку за частотою, як показано на рис. 6.1.3 для огинальної значень спектра.

Мал. 6.1.2. Модуль спектра. Мал. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано зворотне перетворення Фур'є для дискретного спектру, виконане за формулою s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), яке показує періодизацію вихідної функції s(k), але головний період k=( 0,99) цієї функції повністю збігається з вихідним сигналом s(k).

Мал. 6.1.4. Зворотне перетворення Фур'є.

Перетворення (6.1.4-6.1.5) називають дискретними перетвореннямиФур'є (ДПФ). Для ДПФ, у принципі, справедливі всі властивості інтегральних перетворень Фур'є, проте при цьому слід враховувати періодичність дискретних функційта спектрів. Створення спектрів двох дискретних функцій (при виконанні будь-яких операцій при обробці сигналів у частотному поданні, як, наприклад, фільтрації сигналів безпосередньо в частотній формі) буде відповідати згортка періодизованих функцій у тимчасовому поданні (і навпаки). Така згортка називається циклічною (див. розділ 6.4) та її результати на кінцевих ділянках інформаційних інтервалів можуть суттєво відрізнятися від згортки фінітних дискретних функцій (лінійного згортки).

З виразів ДПФ можна побачити, що з обчислення кожної гармоніки потрібно N операцій комплексного множення і додавання і відповідно N 2 операцій повне виконання ДПФ. При великих обсягах масивів даних це може призводити до суттєвих витрат часу. Прискорення обчислень досягається при використанні швидкого перетворенняФур'є.

Перешкоди

Перешкодами зазвичай називають сторонні електричні збурення, що накладаються на сигнал, що передається і утруднюють його прийом. За великої інтенсивності перешкод прийом стає практично неможливим.

Класифікація перешкод:

а) перешкоди від сусідніх радіопередавачів (станцій);

б) перешкоди від промислових установок;

в) атмосферні перешкоди (грози, опади);

г) перешкоди, зумовлені проходженням електромагнітних хвильчерез верстви атмосфери: тропосферу, іоносферу;

д) теплові та дробові шуми в елементах радіоланцюгів, обумовлені тепловим рухом електронів.

Математично сигнал на вході приймача можна уявити або у вигляді суми сигналу і перешкоди, що передається, і тоді перешкоду називають адитивний, або просто шумом, або у вигляді твору переданого сигналу та перешкоди, і тоді таку перешкоду називають мультиплікативної. Ця перешкода призводить до значних змін інтенсивності сигналу на вході приймача і пояснює такі явища, як завмирання.

Наявність перешкод ускладнює прийом сигналів за великої інтенсивності перешкод, розпізнавання сигналу може стати практично неможливим. Здатність системи протистояти перешкоді, що заважає, носить назву завадостійкості.

Зовнішні природні активні перешкоди є шумами, що виникають в результаті радіовипромінювання. земної поверхніта космічних об'єктів, роботи інших радіоелектронних засобів. Комплекс заходів, вкладених у зменшення впливу взаємних перешкод РЕМ, називається электромагнитной сумісністю. Цей комплекс включає як технічні заходи вдосконалення радіоапаратури, вибір форми сигналу та способу його обробки, так і організаційні заходи: регламентація частоти, рознесення РЕМ у просторі, нормування рівня позасмугових і побічних випромінювань та ін.

11. Дискретизація безперервних сигналів. Теорема Котельникова (відліків). Поняття частоти Найквіста. Концепція інтервалу дискретизації.

Спектральна щільність та сигнал пов'язані між собою парою перетворень Фур'є:

Всі властивості спектральної щільності поєднані в основних теоремах спектрів.

I. Властивість лінійності.

Якщо є деяка сукупність сигналів до того ж,…, то зважена сума сигналів перетворюється по Фур'є так:

Тут – довільні числові коефіцієнти.

ІІ. Теорема про зрушення.

Припустимо, що сигналу відома відповідність. Розглянемо такий самий сигнал, але виникає на секунду пізніше. Приймаючи точку за новий початок відліку часу, позначимо цей зміщений сигнал як. Введемо заміну змінної: . Тоді,

Модуль комплексного числаза будь-яких дорівнює 1, тому амплітуди елементарних гармонійних складових, з яких складається сигнал, не залежать від його положення на осі часу. Інформація про цю характеристику сигналу полягає фазовому спектрі.

ІІІ. Теорема масштабів.

Припустимо, що вихідний сигнал змінюється масштаб часу. Це означає, що роль часу грає нова незалежна змінна (- деяке дійсне число.) Якщо > 1, то відбувається “стиснення” вихідного сигналу; якщо ж 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:

Зробимо заміну змінної, тоді, звідки слідує:

При стисканні сигналу в один раз на часовій осі в стільки ж разів розширюється його діапазон на осі частот. Модуль спектральної густини при цьому зменшується в раз.

Вочевидь, що з розтягуванні сигналу у часі (тобто.<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Теорема про спектр похідної та невизначеного інтеграла.

Нехай сигнал та його спектральна площина задані. Вивчатимемо новий сигнал і поставимо за мету знайти його спектральну щільність.

За визначенням:

Перетворення Фур'є - лінійна операція, отже, рівність (2.3) справедливе і стосовно спектральним щільностям. Отримуємо теорему про зрушення:

Представляючи експоненційну функцію поряд Тейлора:

підставляючи цей ряд (2.6) і обмежуючись першими двома членами ряду, знаходимо

Отже, диференціювання сигналу за часом еквівалентно простий операції алгебри множення спектральної щільності на множник. Тому кажуть, що уявне число є оператором диференціювання, що діє у частотній області.

Друга частина теореми. Розглянута функція є невизначеним інтегралом стосовно функції. Інтеграл це є, отже - його спектральна щільність, та якщо з формули (2.7) дорівнює:

Таким чином, множник є оператором інтегрування в частотній області.

V. Теорема про згортку.

При підсумовуванні сигналів їх спектри складаються. Однак спектр добутку сигналів не дорівнює добутку спектрів, а виражається деяким спеціальним інтегральним співвідношенням між спектрами співмножників.

Нехай і - два сигнали, для яких відомі відповідності. Утворимо добуток цих сигналів: і обчислимо його спектральну щільність. За загальним правилом:

Застосувавши зворотне перетворення Фур'є, виразимо сигнал через його спектральну щільність і підставимо результат (2.9):

Змінивши порядок інтегрування, матимемо:

Інтеграл, що стоїть у правій частині називають згорткоюфункцій та. Символічно операція згортки позначається як *

Таким чином, спектральна щільність добутку двох сигналів з точністю до постійного числового множника дорівнює згортці спектральних щільностей співмножників.