Як довести, що безліч замкнута. Замкнуті та відкриті множини

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

§ 1. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ.

У фізиці та інших науках про природу зустрічається багато різних величинрізної природи, як-от: час, довжина, обсяг, вага і т.д. Постійною величиною називають величину, яка приймає лише одне фіксоване значення. Величини, які можуть приймати різні значення, називаються змінними. Величина вважається заданою, якщо вказано безліч значень, які може приймати. Якщо однозначно відомо, яке саме значення з множини прийме величина при створенні певних умов, то про неї говорять як про «звичайну», детерміновану величину. Прикладом такої величини є кількість літер у слові. Більшість фізичних величинвимірюються за допомогою приладів з властивою їм точністю вимірювань і, у сенсі наведеного визначення, вони не є «звичайними». Такі «незвичайні» величини називаються випадковими . Для випадкових величин безліч доцільно назвати безліччю можливих значень. Випадкова величина набуває те чи інше значення з деякою ймовірністю. Зауважимо, що це величини вважатимуться випадковими, оскільки детермінована величина – це випадкова величина, приймає кожне значення з ймовірністю, рівної одиниці. Все сказане вище є достатньою основою вивчення випадкових величин.

Визначення. Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може приймати те чи інше (але обов'язково тільки одне) значення, причому заздалегідь до досвіду невідомо, яке саме.

Концепція випадкової величиниє фундаментальним поняттям теорії ймовірностей та грає важливу рольу її додатках.

Випадкові величини позначаються: , які значення, відповідно: .

Виділяють два основні класи випадкових величин: диск-ретні та безперервні.

Визначення. Дискретною випадковою величиною називають випадкову величину, число можливих значень якої кінцеве чи лічильне безліч.

Приклади дискретних випадкових величин:

1. - частота влучень при трьох пострілах. Можливі значення:

2. - Число дефектних виробів із штук. Можливі значення:

3. - Число пострілів до першого влучення. Можливі значення:

Визначення. Безперервною випадковою величиною називають таку випадкову величину, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий проміжок (кінцевий або нескінченний).

Приклади безперервних випадкових величин:

1. - випадкове відхиленняпо дальності від точки попадання до мети під час пострілу з гармати.

Так як снаряд може потрапити в будь-яку точку, інтервалу, обмеженого мінімальним і максимальним значеннямидальності польоту снаряда, можливих для даної зброї, то можливі значення випадкової величини заповнюють проміжок між мінімальним і максимальним значенням.

2. - помилки під час вимірювання радіолокатором.

3. – час роботи приладу.

Випадкова величина є свого роду абстрактним виразом деякої випадкової події. З кожним випадковим подією можна пов'язати одну або кілька випадкових величин, що характеризують його. Наприклад, при стрільбі по мішені можна розглянути такі випадкові величини: число попадань у мішень, частота попадань у мішень, кількість очок, що набираються при попаданні в певні області мішені і т.д.

§ 2 ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ МОЖЛИВОСТЕЙ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

Визначення. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Якщо згадати визначення функції, то закон розподілу є функцією, область визначення якої є область значень випадкової величини, а область значень цієї функції складається з ймовірностей значень випадкової величини.

2.1. РЯД РОЗПОДІЛУ

Розглянемо дискретну випадкову величину, можливі значення якої нам відомі. Але знання значень випадкової величини, очевидно, не дозволяє нам її повністю описати, оскільки ми не можемо сказати, наскільки часто слід очікувати тих чи інших можливих значень випадкової величини при повторенні досвіду в тих самих умовах. І тому необхідно знати закон розподілу ймовірностей.

Через війну досвіду дискретна випадкова величина принимає одне зі своїх можливих значень, тобто. відбудеться одна з подій:

які утворюють повну групу несумісних подій.

Імовірності цих подій:

Найпростішим законом розподілу дискретної випадкової величини є таблиця, в якій наведені всі можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності:

Таку таблицю називають поряд розподілу випадкової величини.

Для наочності ряд розподілу можна представити графіком:

Ця ламана називається багатокутником розподілу . Це також одна з форм завдання закону розподілу дискретної випадкової величини.

Сума ординат багатокутника розподілу, що представляє суму ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини, дорівнює одиниці.

приклад 1.Зроблено три постріли по мішені. Імовірність попадання при кожному пострілі дорівнює 0,7. Скласти низку розподілу числа попадань.

Випадкова величина - «число влучень» може набувати значень від 0 до 3 – х, причому в цьому випадку ймовірності визначаються за формулою Бернуллі:

.

Перевірка

приклад 2.В урні назустріч 4 білих і 6 чорних щарів. Навмання витягуються 4 кулі. Знайти закон розподілу випадкової величини - «кількість білих куль серед відібраних».

Ця випадкова величина може набувати значень від 0 до 4 – х. Знайдемо ймовірність можливих значень випадкової величини.

Можемо перевірити, що сума отриманих ймовірностей дорівнює одиниці.

2.2. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ.

Ряд розподілу не можна побудувати для безперервної випадкової величини, оскільки вона набуває нескінченно багато значень. Більш універсальним законом розподілу відповідним як для дискретного, так і для безперервного випадку є функція розподілу.

Визначення. Функцією розподілу (інтегральним законом розподілу) випадкової величини називається завдання ймовірності виконання нерівності, тобто.

(1)

Таким чином, функція розподілу дорівнює ймовірності того, що випадкова величина в результаті досвіду попадає лівіше точки .

Для дискретної випадкової величини, на яку ми знаємо ряд розподілу:

функція розподілу матиме вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини - розривна ступінчаста фігура. Для наочності розглянемо приклад.

Приклад 3Дано низку поспределения. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік

За визначенням,

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ

1 Функція розподілу - це невід'ємна функція, значення якої укладено між 0 і 1, тобто.

2 Ймовірність появи випадкової величини у проміжку дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку:

3 Функція розподілу - несуттєва функція, тобто. при виконано: ;

Перейдемо до рівності (2) до межі при . Отримаємо замість ймовірності влучення випадкової величини в проміжок ймовірність точкового значення випадкової величини, тобто.

Значення цієї межі залежить від того, чи точка є точкою безперервності функції , або в цій точці функція має розрив. Якщо функція безперервно-на точка , то межа дорівнює 0, тобто. . Якщо ж у цій точці функція має розрив (1 – го роду), то межа дорівнює значеннюстрибка функції у точці.

Так як безперервна випадкова величина має безперервну функцію розподілу , то з рівності нулю межі (3) випливає, що ймовірність будь-якого фіксованого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю. Це випливає з того, що можливих значень безперервної випадкової величини дуже багато. З цього, зокрема, випливає, що наступні ймовірностізбігаються:

Наведені властивості функції розподілу можна сформулювати наступним чином: функція розподілу - це невід'ємна незнижена функція, що задовольняє ус-ловіям: Зворотне затвердженнятакож має місце: монотонно зростаюча безперервна функція, що задовольняє умовам

є функцією розподілу деякої безперервної випадкової величини. Якщо значення цієї величини зосереджено на деякому проміжку , то графік цієї функції можна схематично зобразити наступним чином:

Розглянемо приклад.Функція розподілу безперервної випадкової величини задана таким чином:

Знайти значення « », побудувати графік і знайти імовірність

Так як функція розподілу безперервної випадкової величинибезперервна, то - безперервна функція, і при повинно вирівнюватися рівність:

чи , тобто.

Побудуємо графік цієї функції

Знайдемо потрібну ймовірність

Зауваження.Функцію розподілу, іноді ще називають інтегральним законом розподілу . Нижче пояснимо, чому саме.

2.3 ЩІЛЬНІСТЬ РОЗПОДІЛУ .

Оскільки за допомогою функції розподілу дискретної

випадкової величини в будь-якій точці ми можемо визначити ймовірність можливих значень, вона однозначно визначає закон розподілу дискретної випадкової величини.

Однак за функцією розподілу важко судити про характер розподілу безперервної випадкової величини в невеликій околиці тієї чи іншої точки числової осі.

Наочніше уявлення про характер розподілу безперервної випадкової величини поблизу різних точокдає функція, яку називають щільністю розподілу (або диференційним закономрозподілу)

Нехай - безперервна випадкова величина з функцією розподілу. Знайдемо ймовірність попадання цієї випадкової величини в елементарну ділянку.

За формулою (2), маємо

Розділимо цю рівність на

Ставлення, що стоїть зліва, називається середньою ймовірністю на одиниці довжини ділянки.

Вважаючи функцію диференційованою, перейдемо до перейдемо в цій рівності до межі

Визначення.Межа відношення ймовірності попадання безперервної випадкової величини на елементарну ділянку до довжини цієї ділянки називається щільністю розподілу безперервної випадкової ве - личини і позначається Отже,

Щільність розподілу показує, наскільки часто випадкова величина з'являється в деякій околиці точки при повторенні дослідів.

Крива, що зображує графік густини розподілу, називається кривою розподілу.

Якщо можливі значення випадкової величини заповнюють певний проміжок, то поза цим проміжком.

Визначення.Випадкова величина називається непре - ривний , якщо її функція розподілу безперервна по всій числової прямий, а щільність розподілу безперервна скрізь, крім може бути кінцевого числаточок (точок розриву 1 – го роду).

ВЛАСТИВОСТІ ЩІЛЬНОСТІ РОЗПОДІЛУ

1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто.

(Це випливає з того, що - похідна незменшуваної функції).

2. Функція розподілу безперервної випадкової величі-

ні дорівнює інтегралу від густини розподілу (і тому є інтегральним законом розподілу), тобто.

Справді (за визначенням диференціала функції). Отже,

На графіку щільності розподілу функція розподілу

зображується площею заштрихованої області.

3. Імовірність влучення випадкової величини на ділянку дорівнює інтегралу від щільності розподілу цього проміжку, тобто.

Справді,

4. Інтеграл у нескінченних межахвід щільності распре-деления дорівнює одиниці, тобто.

Іншими словами, площа фігури під графіком густини розподілу дорівнює 1. Зокрема, якщо можливі значення випадкової величини зосереджені на ділянці , то

приклад.Нехай щільність розподілу має функцію

Знайти: а) значення параметра; б) функцію розподілу в) Обчислити ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з відрізка .

а) За якістю 4, . Тоді

б) За якістю 2, Якщо

Якщо , .

Таким чином,

в) За якістю 3,

§ 3. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ

При вирішенні багатьох практичних завданьнемає необхідності знати всі імовірнісні характеристики випадкової величини. Іноді досить знати лише деякі числові характеристики - ристики закону розподілу.

Числові характеристикидозволяють у стиснутій формі виразити найбільш суттєві особливостітого чи іншого розподілу.

Про кожну випадкову величину насамперед необхідно знати її середнє значення, біля якого групуються всі можливі значення цієї величини, а також деяке число, що характеризує ступінь розсіювання цих значень щодо середнього.

Розрізняють характеристики положення та характеристики розсіювання. Однією з самих важливих характеристикстановища є математичне очікування.

3.1 Математичне очікування (середнє значення).

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину, що має можливі значення з ймовірностями

Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень цієї величини з їхньої ймовірності, тобто.

Інакше, математичне очікування позначається

приклад.Нехай дано низку розподілу:

Розглянемо тепер безперервну випадкову величину всі можливі значення якої укладено у відрізку.

Розіб'ємо цей відрізок на часткових відрізків, довжини яких позначимо: , і в кожному частковому інтервалі візьмемо по довільній точці відповідно .

Так як добуток приблизно дорівнює ймовірності попадання випадкової величини на елементарну ділянку , то сума творів складена за аналогією з визначенням математичного очікуваннядискретної випадкової величини, приблизно дорівнює математичному очікуванню не-перервної випадкової величини Нехай .

Тоді

Визначення. Математичним очікуванням безперервної випадкової величини називається наступний визначений інтеграл:

(2)

Якщо безперервна випадкова величина набуває значення на всій числовій прямій, то

приклад.Нехай дана щільність розподілу безперервної випадкової величини:

Тоді її математичне очікування:

Поняття математичного очікування має просту механічну інтерпретацію. Розподіл ймовірностей слу-чайної величини можна інтерпретувати як розподіл одиничної маси по прямій. Дискретній випадковій величині, що приймає значення з ймовірностями, відповідає пряма, на якій маси зосереджені в точках . Безперервній випадковій величині відповідає безперервне розподіл мас на всій прямій або на кінцевому відрізку цієї прямої. Тоді математичне очікування – це абсцису центру тяжкості .

ВЛАСТИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Математичне очікування постійної величиниі найпостійнішою:

2. Постійний множникможна винести за знак математичного очікування:

3. Математичне очікування алгебраїчної сумислу –чайних величин дорівнює алгебраїчній сумі їх мате- матичних очікувань:

4. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

5. Математичне очікування відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю:

3.2. Мода та медіана випадкової величини.

Це ще дві характеристики положення випадкової величини.

Визначення. Модою дискретної випадкової величини називається її найімовірніше значення. Для безперервної випадкової величини мода - це точка максимуму функції.

Якщо багатокутник розподілу (для дискретної випадкової величини) або крива розподіл (для безперервної випадкової величини) має дві або більше точок максимуму, то розподіл називається двомодальним або багатомо-дальним відповідно.

Якщо немає жодної точки максимуму, то розподіл називається антимодальним.

Визначення. Медіаною випадкової величини на – називається таке її значення, відноситеоьно якого рівноймовірні отримання більшого або меншого значеннядовільної величини, тобто.

Інакше кажучи, - це абсцис точки, у якій площа під графіком щільності розподілу (багатокутником розподілу) ділиться навпіл.

приклад.Дано щільність випадкової величини:

Знайти медіану цієї випадкової величини.

Медіану знайдемо з умови . У нашому випадку,

З чотирьох коренів необхідно вибрати той, який укладений між 0 та 2, тобто.

Зауваження. Якщо розподіл випадкової величини одно- модальний і симетричний (нормальний), то всі три характеристики положення: математичне очікування, мода і медіа-на, збігаються.

3.3 Дисперсія та середня квадратичне відхилення.

Значення спостережуваних випадкових величин, як правило, більш-менш коливаються біля деякого середнього значення. Це називається розсіянням випадкової величини біля її середнього значення. Числові характеристики, що показують, наскільки щільно згруповані можливі значення випадкової веліпіни близько середнього, називаються характеристиками розсіювання. З якості 5 математичного очікування випливає, що лінійне відхиленнязначень випадкової величини від середнього значення не може служити характеристикою розсіювання, так як позитивні і негативні відхилення «гасять» один одного. Тому основною характеристикою розсіювання випадкової величини прийнято вважати математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від середнього.

Визначення. Дисперсією називається математичне очікування –давання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування (середнього значення), тобто.

(3)

(4) для безперервної випадкової величини:

(5)

Але, незважаючи на зручності цієї характеристики рассеяния, бажано мати характеристику розсіювання пропорційну до самої випадкової величиною та її математичним очікуванням.

Тому вводиться ще одна характеристика розсіювання, яка називається середнім квадратичним відхиленням і рів -на коренііз дисперсії, тобто. .

Для обчислення дисперсії зручно користуватися формулою, яку дає така теорема.

ТЕОРЕМА.Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини і квадратом її математичного очікуванням, тобто.

Справді, за визначенням

Так як .

ВЛАСТИВОСТІ ДИСПЕРСІЇ:

1. Дисперсія постійної випадкової величини дорівнює нулю, тобто.

2. Постійний множник сучайної величини виноситься з дисперсії із квадратом, тобто.

3. Дисперсія алгебраїчної суми двох випадкових величез дорівнює сумі їх дисперсій, тобто.

Слідствоз 2 та 3 властивостей:

Розглянемо приклади.

приклад 1.Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини. Знайти її середнє відхилення.

Спочатку знайдемо

Тоді середнє квадратичне відхилення

Приклад 2. Нехай дана щільність розподілу безперервної випадкової величини:

Знайти її дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

3.4 Моменти випадкових величин.

Розрізняють моменти двох видів: початкові та центральні.

Визначення. Початковим моментомпорядку випадковий

величини називають математичне очікування величини, тобто. .

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної випадкової величини:

Зокрема, математичне очікування – це початковий момент 1-го порядку.

Визначення. Центральним моментом піврядка слу-чайної величини називається математичне очікування величини, тобто.

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної -

Центральний момент 1 - го порядку дорівнює нулю(Властивість 5 математичного очікування); ; характеризує асиметрію (скощеність) графіка щільності розподілу. називається коефіцієнтом асиметрії.

Служить для характеристики гостроверхості розподілу.

Визначення. Ексцесом випадкової величини називається число

Для номально розподіленої випадкової величини відно- ження . Тому криві розподіли, більш гостроверхі, ніж нормальна, мають позитивний ексцес (), а більш плосковерхі мають негативний ексцес ().

приклад.Нехай дана щільність розподілу випадкової величини:

Знайти коефіцієнт асиметрії та ексцес цієї випадкової величини.

Знайдемо необхідні для цього моменти:

Тоді коефіцієнт асиметрії: (Негативна асиметрія).

Якщо класичнатеорія ймовірностей вивчала, в основному, події та ймовірність їх появи (настання), то сучаснатеорія ймовірностей вивчає випадкові явища та його закономірності з допомогою випадкових величин. Поняття випадкової величини, таким чином, є основним теоретично ймовірностей. Ще раніше проводилися події, що перебувають у появі того чи іншого числа. Наприклад, при киданні гральної кістки могли з'явитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число очок, що з'явилися, неможливо, оскільки воно залежить від багатьох випадкових причин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є випадковою, а числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6 є можливі значенняцієї величини.

Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду приймає те чи інше (причому, одне і тільки одне) можливе числове значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини прийнято, як правило, позначати великими літерами, а їх можливе значення - відповідними малими літерами Наприклад, якщо випадкова величина має три можливі значення, то вони, відповідно, позначаються так:. Для зручності писатимемо: .

ПРИКЛАД 1. Число хлопчиків, що народилися, серед ста новонароджених є величина випадкова, яка має наступні можливі значення: 0, 1, 2, ..., 100.

ПРИКЛАД 2. Відстань, що пролетить снаряд при пострілі з гармати, є також випадкова. Справді, відстань залежить як від установки прицілу, а й багатьох інших причин (сили та напрями вітру, температури тощо. п.), які можуть бути повністю враховані. Можливі значення цієї величини, очевидно, належать деякому проміжку (інтервалу).

Зауважимо, що з кожним випадковою подієюможна зв'язати якусь випадкову величину, що приймає значення R. Наприклад, досвід - Постріл по мішені; подія - Попадання в ціль; випадкова величина - Число попадань в ціль.

Повернемося до прикладів, наведених вище. У першому їх випадкова величина могла прийняти одне з наступних можливих значень: 0, 1, 2,..., 100. Ці значення відокремлені одне одного проміжками, у яких немає можливих значень. Таким чином, у цьому прикладі випадкова величина набуває окремих, ізольованих, можливих значень.

У другому прикладі випадкова величина могла прийняти будь-яке значення проміжку. Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, який не містить можливих значень випадкової величини.

Вже зі сказаного можна укласти про доцільність розрізняти випадкові величини, що приймають лише окремі, ізольовані значення і випадкові величини, можливі значення яких заповнюють певний проміжок.

Дискретної ( перервний ) випадковою величиною називається така випадкова величина, яка приймає кінцеве чи лічильне безліч 1 різних значень. Іншими словами - це така випадкова величина, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певними ймовірностями.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Безперервний називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку дійсної числової осі.

Вочевидь, по-перше, кількість можливих значень безперервної випадкової величини – нескінченно. По-друге, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей

I. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

На перший погляд може здатися, що для завдання випадкової дискретної величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це негаразд: різні випадкові величини іноді може мати однакові переліки можливих значень, а відповідні ймовірності цих значень – різні. Тож повної характеристики мало знати значення випадкової величини, треба знати, наскільки часто ці значення зустрічаються у досвіді за його повторенні, тобто. потрібно ще вказати ймовірність їх появи.

Розглянемо випадкову величину . Поява кожного їх можливих значень свідчить про те, що сталося відповідно одна з подій, що утворюють повну групу 2 . Припустимо, що ймовірності цих подій відомі:

, . . . , ,

Тоді: відповідність, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями, називаєтьсязаконом розподілу ймовірностей випадкової величини , чи навіть – законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей даної випадкової величини можна поставити таблично (ряд розподілу), аналітично (як формули) і графічно.

При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий - ймовірності, тобто.

З метою наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, навіщо у прямокутної системі координат будують точки , та був з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу. При цьому сума ординат побудованого багатокутника дорівнює одиниці.

Аналітично, закон розподілу дискретної випадкової величини можна записати, наприклад, використовуючи формулу Бернуллі для схеми повторення незалежних дослідів. Так, якщо позначити випадкову величину, якою є кількість бракованих деталей у вибірці, через , то можливі її значення будуть 0, 1, 2, . . . ,. Тоді, очевидно, формула Бернуллі встановлюватиме залежність між значеннями і ймовірністю() їх появи, де

,

що визначає закон розподілу даної випадкової величини.

II. Закон розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини

Згадаймо, що дискретна випадкова величина задається переліком її можливих значень та його ймовірностей. Такий спосіб завдання не є загальним: він не застосовується, наприклад, для безперервних випадкових величин.

Справді, розглянемо випадкову величину , можливі значення якої часто заповнюють інтервал. Чи можна скласти список всіх можливих значень? Очевидно, що цього не можна зробити. Цей приклад свідчить про доцільність дати загальний спосібзавдання будь-яких типів випадкових величин (як зазначалося, дискретна випадкова величина є окремим випадком безперервної випадкової величини). З цією метою вводять інтегральну функціюрозподілу.

Нехай – змінна, що набуває довільних дійсних значень (на осі:) . Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше. Тоді, ймовірність події залежить від, тобто. є функцією від. Цю функцію прийнято позначати через і називати функцією розподілу випадкової величини або, ще - інтегральною функцією розподілу. Іншими словами:

інтегральною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення R імовірність того, що випадкова величина прийме значення, що менше, тобто.

.

Геометрично цю рівність можна тлумачити так: є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки.

Властивості інтегральної функції:

Доказ цієї властивості випливає з визначення інтегральної функції як ймовірності: вірогідність є невід'ємне число, що не перевищує одиниці.

Справді, нехай - подія, яка полягає в тому, що випадкова величина набуде значення менше; аналогічно,
- Подія, що полягає в тому, що випадкова величина прийме значення менше. Іншими словами:

Що й потрібно було показати.

Ця властивість цілком очевидна. Так, якщо - достовірна подія, а - неможлива подія, то

Але ,В результаті, можемо записати: що і потрібно показати.

Ми в основному вивчатимемо такі безперервні випадкові величини, функції розподілу яких безперервні.

.

Для безперервної випадкової величини наочнішою є не інтегральна, а диференціальна функція розподілу або, так звана, щільність розподілу випадкової величини.

2. Замкнуті та відкриті множини

Нехай задано безліч.

Точка називається граничною точкою множини , якщо з того, що і , випливає, що .

Гранична точка може належати і не належати, але якщо всі граничні точки належать, то множина називається замкненою.

Таким чином, безліч замкнуто, якщо з того, що і , випливає, що .

Порожня множина вважається замкненою.

Приклад 1. Нехай є функція, певна і безперервна і - будь-яке число.

Безліч 1) , 2) , 3) замкнуті.

Доказ у разі 1). Нехай і; тоді і . Але і , тобто. .

Приклад 2. Куля V= є замкнута множина в силу

Приклад 1, тому що функція визначена і безперервна на .

Відмітимо, що якщо-замкненебезліч, то - відкрита множина.

Справді, якби це було не так, то існувала б точка, яка не є внутрішня точка. Виходить, що, як би не було натуральне число, має знайтися точка, на яку

Ми отримали б послідовність точок. Але за умовою замкнуто, і тому . Ми отримали протиріччя з тим, що передбачалося, що .

Назад, якщо - відкрита множина, то - замкнута множина.

Справді, якби це було не так, то знайшлася б послідовність точок , і . Але - відкрите безліч, і можна покрити кулею з центром у ній, що повністю належить . Вийшло протиріччя з тим, що будь-який такий шар містить точки .

Приклад 3. Нехай – безперервна функція. 1) безліч замкнуто, а відкрито. 2) безліч замкнуто, а відкрито.

Якщо встановлено довільне не порожня безліч, відмінне від , можна у вигляді суми трьох непересекающихся попарно множин:

де - сукупність внутрішніх точок - це відкрите ядро, - сукупність внутрішніх точок - це відкрите ядро, - сукупність точок, кожна з яких не є внутрішня для , але і не є внутрішня для . Такі точки називаються граничними точками, а називається кордоном; відкрито, відкрито + теж відкрито = замкнуто.

Таким чином, межа є замкнута множина.

Будь-яку граничну точку множини можна визначити як таку точку, що будь-яка куля з центром містить як точки, так і точки. Сама точка може належати і не належати.

Порожня множина вважається одночасно замкненою і відкритою.

Будь-яка з множин, що входять до теоретико-множинної суми (1), може виявитися порожньою.

Приклад 4. Нехай ; тоді , - Відкрите ядро, - Відкрите ядро, - кордон (не належить).

Приклад 5 - безліч точок з раціональними координатами. - відкрите ядро ​​- порожня множина, - відкрите ядро ​​- порожня множина, - кордон.

У наступних двох теоремах встановлюються основні властивостізамкнутих множин. При цьому розглядаються множини, що містяться в тому самому метричному просторі .

Теорема 1. Сума кінцевого числа замкнених множин також – замкнута множина.

Доведення. Оскільки суму будь-якого кінцевого числа множин можна утворити послідовним додатком по одному множині, досить довести теорему для суми двох множин.

Нехай і - замкнуті множини, і . У послідовності існує нескінченна часткова послідовність, що складається цілком з точок однієї з цих множин, наприклад. Але теж прагне до , і оскільки замкнуто, то , тому .

Теорема 2. Перетин будь-якої множини замкнених множин замкнутий.

Доведення. Нехай і всі замкнуті. Якщо і , то все за будь - якого , а тому і за будь - якого . Отже, , і замкнуто.

Надалі важливу роль гратиме операція замикання довільної множини, що полягає в приєднанні до безлічі меж всіх послідовностей його точок, що сходяться. Отримуване таким чином безліч позначається і називається замиканням множини.

У замиканні інтервалу, буде відрізок. Однак у довільному метричному просторі для замикання відкритої кулімає місце лише включення але рівність зовсім не обов'язково.

Лемма 1: будь-яка точка уявна у вигляді , де .

Лемма 2: для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб, як би не було, існувала така точка, що.

Теорема 3. Замикання будь-якої множини замкнуте.

Теорема 4. Замикання є найменшою замкненою множиною, що містить .

Нехай. Якщо до безлічі додати його граничні точки, то отримаємо безліч, зване замиканням і позначимо його так: .

У замкнутої безлічі граничних точок, що не належать йому, немає. Насправді, будь-яка точка є внутрішня точка множини. Отже, якщо - замкнуте безліч, то .

Точка називається точкою згущення множини M, якщо в кожному її околиці міститься хоч одна точка множини M, відмінна від .

Точки згущення для відкритої області, які не належать їй, називаються прикордонними точками цієї області. Прикордонні точки їх сукупності утворюють кордон області. Відкрита область разом із кордоном називається замкненою областю. Нагадаю, що відкритою областюназивається безліч, що повністю складається з внутрішніх точок.

Одне з основних завдань теорії точкових множин - вивчення властивостей різних типівточкових множин. Ми познайомимо читача із цією теорією на двох прикладах. Саме ми вивчимо тут властивості так званих замкнутих і відкритих множин.

Безліч називається замкнутим, якщо воно містить усі свої граничні точки. Якщо безліч немає жодної граничної точки, його теж прийнято вважати замкнутим. Крім своїх граничних точок, замкнута множина може також містити ізольовані точки. Безліч називається відкритим, якщо кожна його точка є для нього внутрішньою.

Наведемо приклади замкнутих та відкритих множин. Кожен відрізок є замкнута множина, а всякий інтервал - відкрита множина. Невласні напівінтервали

замкнуті, а невласні інтервали відкриті. Вся пряма є одночасно замкненою і відкритою безліччю. Зручно вважати порожню множину теж одночасно замкненою і відкритою. Будь-яке кінцеве безліч точок на прямій замкнуте, оскільки воно не має граничних точок. Безліч, що складається з точок

замкнуто; це безліч має єдину граничну точку, яка належить безлічі.

Наше завдання полягає в тому, щоб з'ясувати, як влаштовано довільну замкнуту чи відкриту множину. Для цього нам знадобиться низка допоміжних фактів, які ми ухвалимо без доказу.

1. Перетин будь-якої кількості замкнених множин замкнутий.

2. Сума будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.

3. Якщо замкнута множина обмежена зверху, воно містить свою верхню грань. Аналогічно, якщо замкнута множина обмежена знизу, воно містить свою нижню грань.

Нехай Е - довільна множина точок на прямій. Назвемо доповненням множини Е і позначимо через безліч усіх точок на прямій, не що належать безлічіЕ. Ясно, що якщо х є зовнішня точка для Е, то вона є внутрішньою точкоюдля множини і назад.

4. Якщо безліч F замкнуто, його доповнення відкрито і назад.

Пропозиція 4 показує, що між замкнутими та відкритими множинами є дуже тісний зв'язок: одні є доповненнями інших. З огляду на це досить вивчити одні замкнуті чи одні відкриті множини. Знання властивостей множин одного типу дозволяє відразу з'ясувати властивості множин іншого типу. Наприклад, всяке відкрите безліч виходить шляхом видалення з прямої деякої замкненої множини.

Приступаємо до вивчення властивостей замкнених множин. Введемо одне визначення. Нехай F - замкнута множина. Інтервал володіє тим властивістю, що жодна з його точок не належить множині а точки а і належать називається суміжним інтервалом множини. До суміжних інтервалів ми також відноситимемо невласні інтервали або якщо точка а або точка належить множині а самі інтервали з F не перетинаються. Покажемо, що якщо точка х не належить замкнутій множині, то вона належить одному з його суміжних інтервалів.

Позначимо через частину множини розташовану правіше точки х. Так як сама точка х не належить множині то можна уявити у формі перетину

Кожна з множин F замкнута. Тому, через пропозицію 1, безліч замкнуто. Якщо безліч порожньо, весь напівінтервал належить безлічі Припустимо тепер, що безліч не порожньо. Так як ця множина цілком розташована на напівінтервалі то вона обмежена знизу. Позначимо через його нижню грань. Відповідно до пропозиції отже. Далі, оскільки є нижня граньОтже, ми побудували напівінтервал не містить точок множини причому або або точка належить множині Аналогічно будується напівінтервал не містить точок множини містить точку х і є суміжним інтервалом множини Легко бачити, що якщо - два суміжні інтервали множини, то ці інтервали або збігаються, або не перетинаються.

З попереднього випливає, що всяка замкнута множина на прямій виходить шляхом видалення з прямий деякого числа інтервалів, а саме суміжних інтервалів множини. що число всіх суміжних інтервалів більш ніж лічильна. Звідси отримуємо остаточний висновок. Будь-яке замкнуте безліч на прямій виходить шляхом видалення з прямий не більше ніж лічильної множини інтервалів, що не перетинаються.

У силу пропозиції 4, звідси відразу випливає, що будь-яке відкрите безліч на прямий є не більш ніж лічильну суму інтервалів, що не перетинаються. В силу пропозицій 1 і 2 ясно також, що всяка множина, влаштована, як зазначено вище, дійсно є замкненою (відкритою).

Як видно з наведеного нижче прикладу, замкнуті множини можуть мати дуже складну будову.

Канторово безліч. Побудуємо одну спеціальну замкнуту множину, що має поруч чудових властивостей. Насамперед видалимо з прямої невласні інтервали та . Після цієї операції у нас залишиться відрізок. Далі, видалимо з цього відрізку інтервал, що становить його середню третину.

З кожного з двох відрізків, що залишилися, видалимо його середню третину. Цей процес видалення середніх третин у відрізків, що залишаються, продовжимо необмежено. Безліч точок на прямій, що залишається після видалення всіх цих інтервалів, називається досконалим канторовим безліччю; ми позначатимемо його літерою Р.

Розглянемо деякі властивості цієї множини. Безліч Р замкнуте, так як воно утворюється шляхом видалення з прямої деякої множини інтервалів, що не перетинаються. Безліч Р не порожнеч принаймні у ньому містяться кінці всіх викинутих інтервалів.

Замкнене множина F називається досконалим, якщо воно не містить ізольованих точок, тобто якщо кожна його точка є граничною точкою. Покажемо, що безліч Р зовсім. Справді, якби деяка точка х була ізольованою точкоюбезлічі Р, то вона служила б загальним кінцемдвох суміжних інтервалів цієї множини. Але, згідно з побудовою, суміжні інтервали множини Р не мають спільних кінців.

Безліч Р не містить жодного інтервалу. Справді, припустимо, деякий інтервал цілком належить множині Р. Тоді він цілком належить одному з відрізків, виходять на етапі побудови множини Р. Але це неможливо, оскільки за довжини цих відрізків прагнуть кулю.

Можна показати, що множина Р має потужність континууму. Зокрема, звідси випливає, що досконале канторово містить, крім кінців суміжних інтервалів, ще й інші точки. Справді, кінці суміжних інтервалів утворюють лише численне безліч.

Різноманітні типи точкових множин постійно зустрічаються в різних розділах математики, і знання їх властивостей зовсім необхідне при дослідженні багатьох математичних проблем. Особливо велике значеннямає теорія точкових множин для математичного аналізута топології.

Наведемо кілька прикладів появи точкових множин у класичних розділах аналізу. Нехай - безперервна функція, задана на відрізку Зафіксуємо число а і розглянемо безліч тих точок х, для яких Неважко показати, що це безліч може бути довільним замкнутим безліччю, розташованим на відрізку Точно так само безліч точок х, для яких може бути будь-яким відкритим безліччю Якщо є послідовність безперервних функцій, заданих на відрізку безліч тих точок х, де ця послідовність сходиться, не може бути довільним, а належить до цілком певного типу.

Математична дисципліна, що займається вивченням будови точкових множин, називається дескриптивною теорією множин. Дуже великі заслуги у справі розвитку дескриптивної теорії множин належать радянським математикам - Н. Н. Лузіну та його учням П. С. Александрову, М. Я. Сусліну, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьєву, П. С. Новікову , Л. В. Келдиш, А. А. Ляпунову та ін.

Дослідження М. М. Лузіна та його учнів показали, що є глибокий зв'язок між дескриптивною теорією множин і математичною логікою. Труднощі, що виникають при розгляді низки задач дескриптивної теорії множин (зокрема, задач про визначення потужності тих чи інших множин), є труднощами логічної природи. Навпаки, методи математичної логікидозволяють глибше проникнути деякі питання дескриптивної теорії множин.