Багатогранний кут. Презентація на тему "багатогранні кути"
Багатогранні кути Багатогранний кут є просторовим аналогом багатокутника на площині. Нагадаємо, що багатокутником на площині називається фігура, утворена простою замкненою ламаною цієї площини та обмеженою нею внутрішньою областю.
Визначення багатогранного кута Поверхня, утворена кінцевим набором плоских кутів A 1 SA 2, A 2 SA 3 …, An-1 SAn, An. SA 1 с загальною вершиною S, у яких сусідні кути не мають загальних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають загальних точокКрім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA 1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A 1 SA 2, A 2 SA 3 …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA 1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.
Види багатогранних кутів Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.
Вправа 1 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, що перетинаються у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.
Вправа 2 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючись у вершинах, утворюють лише: а) тригранні та чотиригранні кути; б) тригранні та п'ятигранні кути; в) чотиригранні та п'ятигранні кути. Відповідь: а) чотирикутна пірамідатрикутна біпіраміда; б) п'ятикутна піраміда; в) п'ятикутна біпіраміда.
Нерівність трикутника Для трикутника має місце така теорема. Теорема (Нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менше сумидвох інших сторін. Доведемо, що для тригранного кута має місце наступне просторовий аналогцієї теореми. Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.
Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC
Точка перетину бісектрис Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Біссектральні площини двогранних кутів тригранного кута перетинаються однією прямою.
Розглянемо тригранний кут SABC. Біссектральна площина двостороннього SAD кута SA є геометричним місцем точок цього кута, рівновіддалених від його граней SAB і SAC. Аналогічно, біссектральна площина SBE двогранного кута SB є геометричним місцем точок цього кута, віддалених від його граней SAB і SBC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх граней тригранного кута. Отже, через неї проходитиме біссектральна площина двогранного кута SC.
Крапка перетину серединних перпендикулярів Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Серединні перпендикуляридо сторін трикутника перетинаються в одній точці – центр описаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через бісектриси граней тригранного кута і перпендикулярні до цих граней, перетинаються по одній прямій.
Розглянемо тригранний кут SABC. Площина, що проходить через бісектрису SD кута BSC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SB і SC тригранного кута SABC. Аналогічно, площина, що проходить через бісектрису SE кута ASC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SA і SC тригранного кута SABC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх ребер тригранного кута. Отже, її міститиме площину, що проходить через бісектрису кута ASB і перпендикулярна його площині.
Точка перетину медіан Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута та бісектриси протилежних граней, перетинаються по одній прямій.
Розглянемо тригранний кут SABC. На його ребрах відкладемо рівні відрізки SA = SB = CS. Бісектриси SD, SE, SF плоских кутів тригранного кута є медіанами трикутників відповідно SBC, SAB. Отже, AD, BE, CF – медіани трикутника ABC. Нехай O – точка перетину медіан. Тоді пряма SO буде лінією перетину площин, що розглядаються.
Точка перетину висот Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута і перпендикулярні до площин протилежних граней, перетинаються по одній прямій.
Розглянемо тригранний кут Sabc. Нехай d, e, f – лінії перетину площин граней тригранного кута з площинами, що проходять через ребра a, b, c цього кута і перпендикулярні до відповідних площин граней. Виберемо якусь точку C на ребрі с. Опустимо з неї перпендикуляри CD та CE на прямі d та e відповідно. Позначимо A та B точки перетину прямих CD та CE з прямими SB та SA відповідно. Пряма d є ортогональною проекцієюпряма AD на площину BSC. Так як BC перпендикулярна до прямої d, то вона перпендикулярна і до прямої AD. Аналогічно, пряма AC перпендикулярна до прямої BE. Нехай O – точка перетину прямих AD та BE. Пряма BC перпендикулярна площині SAD, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Аналогічно, Пряма AC перпендикулярна площині SBE, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Таким чином, пряма SO перпендикулярна прямим BC і AC, отже перпендикулярна площині ABC, значить, перпендикулярна і прямий AB. З іншого боку, пряма CO перпендикулярна до прямої AB. Таким чином, пряма AB перпендикулярна до площини SOC. Площина SAB проходить через пряму AB, перпендикулярну площині SOC, отже, сама перпендикулярна цій площині. Отже, всі три площини, що розглядаються, перетинаються по прямій SO.
Сума плоских кутів Теорема. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Доведення. Нехай SABC – це трикутний кут. Розглянемо тригранний кут із вершиною A, утворений гранями ABS, ACS та кутом BAC. Через нерівність трикутника, має місце нерівність BAС
Випуклі багатогранні кути Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів. Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута. 
Вправа 5 Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° та 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10 про
Вправа 6 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90 о.
Вправа 7 У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кутміж ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60 о.
Вправа 8 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90 о.
Вправа 9 Кожен плоский кут трикутного кута дорівнює 60°. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.
№1 Дата05.09.14
Предмет Геометрія
Клас 11
Тема урока: Поняття про багатогранному вугіллі. Трикутний кут.
Цілі уроку:
запровадити поняття: "тригранні кути", "багатогранні кути", "багатогранник";
ознайомити учнів з елементами тригранного та багатогранного кутів, багатогранника, а також визначеннями опуклого багатогранного кута та властивостями плоских кутів багатогранного кута;
продовжити роботу з розвитку просторових уявленьі просторової уяви, а також логічного мисленняучнів.
Тип уроку: вивчення нового матеріалу
ХІД УРОКУ
1. Організаційний момент.
Привітання учнів, перевірка готовності класу до уроку, організація уваги учнів, розкриття загальних цілей уроку та плану проведення.
2. Формування нових понять та способів дії.
Завдання: Забезпечити сприйняття, осмислення та запам'ятовування учнями матеріалу, що вивчається. Забезпечити засвоєння учнями методики відтворення вивченого матеріалу, сприяти філософського осмисленнязасвоюваних понять, законів, правил, формул. Встановити правильність та усвідомленість учнями вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення, провести корекцію. Забезпечити співвідношення учнями свого суб'єктивного досвіду із ознаками наукового знання.
Нехай дані три променіа, b із с загальним початкомточкоюПро (Рис. 1.1). Ці три промені не обов'язково лежать в одній площині. На малюнку 1.2 променіb із лежать у площинір, а проміньа не лежить у цій площині.
Променіа, b із попарно задають три виділені дугами плоскі кути. (Рис. 1.3).
Розглянемо фігуру, що складається із трьох зазначених вище кутів та частини простору, обмеженої цими плоскими кутами. Цю просторову фігуруназиваютьтригранним кутом
(Рис. 2).
Променіа, b і з називаютьсяребрами тригранного кута, а кути: = AOC, = AOB,
=
BOC
,
що обмежують тригранний кут, - йогогранями.
Ці кути-грані утворюютьповерхню трикутного кута.
КрапкаПро
називаєтьсявершиною тригранного кута.
Трикутний кут можна позначати так: OABC
Розглянувши уважно всі багатогранні кути, зображені малюнку 3, ми можемо зробити висновок, що з кожного з багатогранних кутів однакове числоребер та граней:
4 грані та одна вершина;
у шестигранного кута - 6 ребер, 6 граней та одна вершина і т.д.
у п'ятигранного кута - 5 ребер, 5 граней та одна вершина;
Багатогранні кути бувають опуклими і невипуклими.
Уявіть собі, що ми взяли чотири промені із загальним початком, як на малюнку 4. У цьому випадку ми отрималиневипуклий багатокутний кут.
Визначення 1. Багатогранний кут називається опуклим,якщо вінлежить по один бік від площини кожної його грані.
Іншими словами, опуклий багатогранний кут завжди можна покласти будь-якою його гранню на деяку площину. Ви бачите, що у випадку, зображеному на малюнку 4, так зробити не завжди вдається. Чотирьохгранний кут, зображений на малюнку 4, є неопуклим.
Зазначимо, що у нашому підручнику, якщо ми говоримо “багатогранний кут”, то маємо на увазі, що він опуклий. Якщо розглянутий багатокутний кут невипуклий, це буде сказано окремо.
Властивості плоских кутів багатогранного кута
Теорема 1.Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших плоских кутів.
Теорема 2.Сума величин всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.
3. Застосування. Формування умінь та навичок.
Завдання: Забезпечити застосування учнями знань і способів дій, які їм необхідні СР, створити умови виявлення школярами індивідуальних способів застосування вивченого.
6.Етап інформації про домашнє завдання.
Завдання: Забезпечити розуміння учнями мети, змісту та способів виконання домашнього завдання.
§1(1.1, 1.2) стор. 4, № 9.
7.Підведення підсумків уроку.
Завдання: Дати якісну оцінкуроботи класу та окремих учнів.
8. Етап рефлексії.
Завдання: Ініціювати рефлексію учнів самооцінку своєї діяльності. Забезпечити засвоєння учнями принципів саморегуляції та співробітництва.
Розмова з питань:
Що тобі на уроці було цікаво?
Що не зрозуміло?
На що звернути увагу вчителю на наступному уроці?
Як ти оціниш свою роботу на уроці?
Фігура, утворена трьома променями, що виходять з однієї точки і не лежать в одній площині, і трьома частинами площин, укладених між цими променями, називається тригранним кутом (рис. 352).
Точка О називається вершиною кута, промені а, b, з - його ребрами, частини площин. Грані суть плоскі кути, звані плоскими кутами даного тригранного кута. Кути між плоскими гранями називаються двогранними кутами цього тригранного кута.
Теорема 1. У тригранному куті кожен плоский кут менший за суму двох інших.
Доведення. Достатньо довести теорему для найбільшого із плоских кутів. Нехай максимальний плоский кут тригранного кута на рис. 353. Побудуємо в площині кут , рівний куту його сторона b пройде всередині кута кут найбільший із плоских кутів!).
Відкладемо на прямих с і b якісь рівні відрізки Проведемо через точки довільну площину, що перетинає промені а і b у точках N і М відповідно.
Трикутники рівні, як такі, що мають рівні кутиукладені між рівними сторонами. Покажемо, що кут із вершиною О в більше кутаз тією ж вершиною ст. Справді, ці кути укладені між парами рівних сторін, третя ж сторона більше у трикутнику
Звідси видно, що сума двох плоских кутів більша за третій плоский кут що й вимагалося довести.
Теорема 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за чотири прямі.
Доведення. Візьмемо три точки А, В і С на ребрах тригранного кута і проведемо через них січну площину, як показано на рис. 354. Сума кутів трикутника ABC дорівнює Отже, сума шести кутів ОАС, ОАВ, ОСА, ОСВ, ОВС, ОВА більша, ніж за попередньою теоремою . Але сума кутів трьох трикутників ОАВ, ОВС, ОСА у гранях тригранного кута дорівнює . Таким чином, частку плоских кутів тригранного кута залишається менше чотирьох прямих: . Ця сума може бути як завгодно малою («тригранний шпиль») або як завгодно близькою до зменшувати висоту піраміди SABCна рис. 355, зберігаючи її основу, то сума плоских кутів при вершині S буде прагнути до
Сума двогранних кутів тригранного кута також має межі. Зрозуміло, кожен із двогранних кутів і тому сума їх менше . Для тієї ж піраміди на рис. 355 ця сума в міру зменшення висоти піраміди наближається до свого кордону Можна також показати, що ця сума завжди хоча може відрізнятися від скільки завгодно мало.
Таким чином, для плоских та двогранних кутів тригранного кута мають місце нерівності
Є суттєва схожість між геометрією трикутника на площині та геометрією тригранного кута. При цьому можна проводити аналогію між кутами трикутника і двогранними кутами тригранного кута, з одного боку, між сторонами трикутника і плоскими кутами тригранного кута - з іншого. Наприклад, при зазначеній заміні понять зберігають силу теореми про рівність трикутників. Наведемо відповідні формулювання паралельно:
Однак два тригранні кути, у яких рівні відповідні двогранні кути, рівні між собою. Тим часом два трикутники, кути яких відповідно рівні, подібні, але не обов'язково рівні. Для тригранних кутів, як й у трикутників, ставиться завдання розв'язання тригранного кута, т. е. завдання відшукання одних його елементів з іншим заданим. Наведемо приклад такого завдання.
Завдання. Дано плоскі кути тригранного кута. Знайти його двогранні кути.
Рішення. Відкладемо на ребрі а відрізок і проведемо нормальний переріз ABC двогранного кута а. З прямокутного трикутникаОАВ знаходимо Також маємо
Для НД знаходимо по теоремі косінусів застосованої до трикутника ВАС (для стислості плоскі кути позначаємо просто ab, ас, bс, двогранні - а, b, с)
Тепер застосуємо теорему косінусів до трикутника ВОС:
Звідси знаходимо
та аналогічно
За цими формулами можна знайти двогранні кути, знаючи плоскі кути. Відзначимо ще без доказу чудове співвідношення
зване теоремою синусів.
Пояснення глибокої аналогії між геометрією тригранного кута та геометрією трикутника неважко отримати, якщо провести таку побудову. Помістимо у вершину тригранного кута О центр сфери одиничного радіусу (рис. 357).
Тоді ребра перетнуть поверхню сфери в трьох крапках А, В, С, грані кута висічуть на сфері дуги великих кілАС, АВ, НД. На сфері утворюється фігура ABCназивається сферичним трикутником. Дуги («сторони» трикутника) вимірюються плоскими кутами тригранного кута, кути при вершинах суть плоскі кути двогранних кутів. Тому розв'язання тригранних кутів є не що інше, як розв'язання сферичних трикутників, що є предметом сферичної тригонометрії. Співвідношення (243.1) і (243.2) відносяться до основних співвідношень сферичної тригонометрії. Сферична тригонометрія має важливе значеннядля астрономії. Таким чином, теорія тригранних кутів є теорією сферичних трикутників і тому багато в чому подібна до теорії трикутника на площині. Відмінність цих теорій полягає в тому, що: 1) у сферичного трикутника і кути та сторони вимірюються в кутовій мірі, тому, наприклад, у теоремі синусів фігурують не сторони, а синуси сторін АВ, АС, ВС;
Багатогранний кут частина простору, обмежена однією порожниною багатогранною конічної поверхні, що направляє - плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні називаються гранями М. у., вершину – вершиною М. у. М. в. називають правильним, якщо рівні всі його лінійні кутиі всі його двогранні кути. Мірою М. в. є площа, обмежена сферичним багатокутником, отриманим перетином граней М. у., сферою з радіусом, рівним одиниці, і з центром у вершині М. в. також Тілесний кут .
Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .
Дивитись що таке "Багатогранний кут" в інших словниках:
Див. Тілесний кут … Великий Енциклопедичний словник
Див. Тілесний кут. * * * Багатогранний кут Багатогранний кут, див. Тілесний кут (див. ТІЛІВИЙ кут) … Енциклопедичний словник
Частина простору, обмежена однією порожниною багатогранної коніч. поверхні, що спрямовує до рій плоский багатокутник без самоперетинів. Грані цієї поверхні зв. гранями М. у., вершина вершиною М. у. Багатогранний кут зв. правильним … Математична енциклопедія
См Тілесний кут … Природознавство. Енциклопедичний словник
багатогранний кут- Матем. Частина простору, обмежена кількома площинами, що проходять через одну точку (вершину кута). Словник багатьох виразів
Багатогранна, багатогранна, багатогранна (книжн.). 1. Має кілька граней чи сторін. Багатогранний камінь. Багатогранний кут (частина простору, обмежена кількома площинами, що перетинаються в одній точці; мат.). 2. перен. Тлумачний словникУшакова
- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β 1 Ο 1 Α 1. Накладемо їх так, щоб… …
- (Мат.). Якщо з точки на даній площині проведемо прямі ОА і 0В, то отримаємо кут АОВ (чорт. 1). Чорт. 1. Крапка 0 зв. вершиною кута, а прямі ОА та 0В сторонами кута. Припустимо, що дано два кути ΒΟΑ і Β1Ο1Α1. Накладемо їх так, щоб вершини О… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
Цей термін має й інші значення, див. Кут (значення). Кут ∠ Розмірність ° Одиниці виміру СІ Радіан … Вікіпедія
Плоский, геометрична фігура, Утворена двома променями (сторонами У.), що виходять з однієї точки (вершини У.). Кожен У., що має вершину в центрі Про деяке коло (центральний У.), визначає на колі дугу AB, обмежену… Велика Радянська Енциклопедія
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
У планіметрії одним із об'єктів вивчення є кут.
Кут - це геометрична фігура, що складається з точки - вершини кута та двох променів, що виходять з цієї точки.
Два кути одна сторона, яких загальна та дві інші є продовженням одна одної, у планіметрії називаються суміжними.
Циркуль можна як модель плоского кута.
Згадаймо поняття двогранного кута.
Це фігура, утворена прямою а і двома напівплощинами з спільним кордонома, які не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.
Дах будинку демонструє двогранний кут.
Але дах будинку на малюнку два виконаний у вигляді фігури утвореної з шести плоских кутів із загальною вершиною так, що кути беруться в певному порядкуі кожна пара сусідніх кутів, включаючи перший та останній, має спільну сторону. Як називається така форма даху?
У геометрії фігура, складена з кутів
А кути з яких складено цей кут називають плоскими кутами. Сторони плоских кутів називаються ребрами багатокутного кута. Точка О називається вершиною кута.
Приклади багатогранних кутів можна знайти в тетраедрі та паралелепіпеді.
Грані тетраедра DBA, ABC, DBC утворюють багатогранний кут ВADC. Найчастіше він називається тригранним кутом.
У паралелепіпеді грані АА1D1D, ABCD, AA1B1B утворюю тригранний кут AA1DB.
Ну а дах будинку виконаний у формі шестигранного кута. Вона складається із шести плоских кутів.
Для багатогранного кута справедливий ряд властивостей. Сформулюємо їх та доведемо. Тут сказано, що твердження
По-перше, для будь-якого опуклого багатогранного кута існує площина, що перетинає всі його ребра.
Розглянь докази багатогранний кут ОА1А2 А3…Аn.
За умовою він опуклий. Кут називається опуклим, якщо він лежить по одну сторону від площини кожного зі своїх плоских кутів.
Так як за умовою цей кут опуклий, то точки О, А1, А2, А3, Аn лежать по одну сторону від площини ОА1А2
Проведемо середню лінію KM трикутника ОА1А2 і виберемо з ребер ОА3, ОА4, ОАn те ребро, що утворює з площиною ГКМ, найменший двогранний кут. Нехай це буде ребро ОАi.
Розглянемо напівплощину α з кордоном КМ, що поділяє двогранний кут ОКМАi на два двогранні кути. Усі вершини від А до Аn лежать з одного боку від площині α, а точка О з іншого боку. Отже, площина перетинає всі ребра багатогранного кута. Твердження доведене.
Випуклі багатогранні кути мають ще одну важливу властивість.
Сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.
Розглянемо опуклий багатогранний кут з вершиною в точці О. У силу доведеного твердження існує площина, яка перетинає його ребра.
Проведемо таку площину, нехай вона перетинає ребра кута в точках А1, А2, А3 і так далі Аn.
Площина від зовнішньої областіплоского кута відсікатиме трикутник. Сума кутів якого 180 °. Отримаємо, що сума всіх плоских кутів від А1ОА2 до АnОА1 дорівнює виразу перетворимо, цей вираз перегрупуємо складові, отримаємо
У даному виразі суми зазначені в дужках є сумами плоских кутів тригранного кута, а як відомо вони більше третього плоского кута.
Цю нерівність можна записати для всіх тригранних кутів, що утворюють даний багатогранний кут.
Отже, отримаємо наступне продовженнярівності
Отримана відповідь доводить, що сума плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360 градусів.
