МЗФ функції. Область значення функцій у задачах еге

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Інструкція

Згадайте, що функція це така залежність змінної Y від змінної Х, при якій кожному значенню змінної X відповідає єдине значеннязмінної Y.

Змінна X є незалежною змінною чи аргументом. Змінна Y – залежна змінна. Вважається також, що змінна Y є функцією від змінної X. Значення функції дорівнюють значенням залежної змінної.

Для наочності записуйте вирази. Якщо залежність змінної Y від змінної X є функцією, це записують так: y=f(x). (Читають: у дорівнює f від х.) Символом f(x) позначте значення функції, що відповідає значенню аргументу, що дорівнює х.

Дослідження функції на парністьабо непарність- один із кроків загального алгоритмудослідження функції, необхідного для побудови графіка функції та вивчення її властивостей. У цьому кроці необхідно визначити, чи є функція парної чи непарної. Якщо про функцію не можна сказати, що вона є парною чи непарною, то кажуть, що це функція загального вигляду.

Інструкція

Підставте аргумент x аргумент (-x) і подивіться, що вийшло в результаті. Порівняйте з початковою функцією y(x). Якщо y(-x)=y(x), маємо парну функцію. Якщо y(-x)=-y(x), маємо непарну функцію. Якщо y(-x) не дорівнює y(x) і не дорівнює -y(x), маємо функцію загального вигляду.

Усі операції з функцією можна проводити тільки в тій множині, де вона визначена. Тому при дослідженні функції та побудови її графіка першу роль відіграє знаходження області визначення.

Інструкція

Якщо функція має вигляд y=g(x)/f(x), розв'яжіть f(x)≠0, тому що знаменник дробу не може бути дорівнює нулю. Наприклад, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Тобто областю визначення буде множина (-∞; 4)∪(4; +∞).

Коли при визначенні функції є корінь парної , вирішіть нерівність, де значення буде більше або дорівнює нулю. Корінь парного ступенято, можливо взятий лише з неотрицательного числа. Наприклад, y=√(x−2), x−2≥0. Тоді областю визначення є безліч , тобто якщо y = arcsin (f (x)) або y = arccos (f (x)), потрібно вирішити подвійну нерівність -1≤f(x)≤1. Наприклад, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью визначення буде відрізок [-3; -1].

Нарешті, якщо задана комбінація різних функцій, область визначення являє собою перетин областей визначення всіх цих функцій. Наприклад, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Спочатку знайдіть область визначення всіх доданків. Sin(2*x) визначений на всій числовій прямій. Для функції x/√(x+2) розв'яжіть нерівність x+2>0 і область визначення буде (-2; +∞). Область визначення функції arcsin(x−6) задається подвійною нерівністю-1≤x-6≤1, тобто виходить відрізок . Для логарифму має місце нерівність x−6>0, а це інтервал (6; +∞). Таким чином, областю визначення функції буде безліч (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), тобто (6; 7].

Відео на тему

Джерела:

• область визначення функції з логарифмом

Функція - це поняття, що відбиває зв'язок між елементами множин або іншими словами це «закон», за яким кожному елементу однієї множини (званої областю визначення) ставиться у відповідність деякий елемент іншої множини (званої областю значень).

Визначення: Числовою функцією називається відповідність, яка кожному числу х з деякого заданої множинизіставляє однина y.

Позначення:

де x - незалежна змінна (аргумент), y - залежна змінна (функція). Безліч значень x називається областю визначення функції (позначається D(f)). Безліч значень y називається областю значень функції (позначається E(f)). Графіком функції називається безліч точок площини з координатами (x, f(x))

Способи завдання функції.

1. аналітичний метод (за допомогою математичної формули);
2. табличний спосіб (за допомогою таблиці);
3. описовий спосіб (за допомогою словесного опису);
4. графічний метод (за допомогою графіка).

Основні властивостіфункції.

1. Парність та непарність

Функція називається парною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
f(-x) = f(x)

Графік парної функції симетричний щодо осі 0y

Функція називається непарною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
– для будь-якого х з області визначення f(-x) = -f(x)

Графік непарної функціїсиметричний щодо початку координат.

2.Періодичність

Функція f(x) називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х з області визначення f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

Графік періодичної функціїскладається з однакових фрагментів, що необмежено повторюються.

3. Монотонність (зростання, спадання)

Функція f(x) зростає на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1

Функція f(x) зменшується на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1 f(x 2) .

4. Екстремуми

Точка Х max називається точкою максимуму функції f(x) якщо для всіх х з деякої околиці Х max виконано нерівність f(х) f(X max).

Значення Ymax = f(Xmax) називається максимумом цієї функції.

Х max – точка максимуму
У max – максимум

Точка Х min називається точкою мінімуму функції f(x) , якщо всім х з деякої околиці Х min , виконано нерівність f(х) f(X min).

Значення Y min = f (X min) називається мінімум цієї функції.

X min – точка мінімуму
Y min – мінімум

X min , Х max – точки екстремуму
Y min , У max – екстремуми.

5. Нулі функції

Нулем функції y = f(x) називається таке значення аргументу х, у якому функція перетворюється на нуль: f(x) = 0.

Х 1 Х 2 Х 3 - нулі функції y = f (x).

Завдання та тести на тему "Основні властивості функції"

• Властивості функцій - Числові функції 9 клас

  Уроків: 2 Задань: 11 Тестів: 1

• Властивості логарифмів - Показова та логарифмічна функції 11 клас

  Уроків: 2 Задань: 14 Тестів: 1

• Функція квадратного кореня, його властивості та графік - функція квадратного кореня. Властивості квадратного кореня 8 клас

  Уроків: 1 Задань: 9 Тестів: 1

• Ступінні функції, їх властивості та графіки - Ступені та коріння. Ступінні функції 11 клас

  Уроків: 4 Задань: 14 Тестів: 1

• Функції - Важливі темидля повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 24

Вивчивши цю тему, Ви повинні вміти знаходити область визначення різних функцій, визначати за допомогою графіків проміжки монотонності функції, досліджувати функції на парність та непарність. Розглянемо рішення подібних завданьна прикладах.

приклади.

1. Знайти область визначення функції.

Рішення:область визначення функції перебуває з умови

Поняття функції і все, що з ним пов'язане, відноситься до традиційно складних, не до кінця зрозумілих. Особливим каменем спотикання щодо функції і підготовці до ЄДІ є область визначення і область значень (зміни) функції.
Нерідко учні не бачать різниці між областю визначення функції та областю її значень.
І якщо завдання перебування області визначення функції учням вдається освоїти, то завдання перебування безлічі значень функції викликають вони чималі труднощі.
Мета цієї статті: ознайомлення з методами знаходження значень функції.
В результаті розгляду даної теми було вивчено теоретичний матеріал, розглянуто способи вирішення задач на знаходження множин значень функції, підібраний дидактичний матеріалдля самостійної роботиучнів.
Ця стаття може бути використана вчителем при підготовці учнів до випускних та вступним іспитам, щодо теми “Область значення функції” на факультативних заняттях елективних курсахз математики.

I. Визначення області значень функції.

Області (множиною) значень E(у) функції y = f(x) називають безліч таких чисел y 0 , для кожного з яких знайдеться таке число x 0 , що: f(x 0) = y 0 .

Нагадаємо області значень основних елементарних функцій.

Розглянемо таблицю.

Зауважимо також, що областю значення будь-якого многочлена парного ступеня є проміжок , де n – найбільше значенняцього багаточлена.

ІІ. Властивості функцій, що використовуються при знаходженні області значень функції

Для успішного знаходження безлічі значень функції треба добре знати властивості основних елементарних функцій, особливо їх області визначення, області значень та характер монотонності. Наведемо властивості безперервних, монотонних функцій, що диференціюються, найбільш часто використовуються при знаходженні безлічі значень функцій.

Властивості 2 і 3, як правило, використовуються разом властивістю елементарної функції бути безперервною у своїй галузі визначення. При цьому найпростіше і коротке рішенняЗавдання на знаходження безлічі значень функції досягається на підставі властивості 1, якщо нескладними методами вдається визначити монотонність функції. Вирішення завдання ще спрощується, якщо функція, до того ж, – парна чи непарна, періодична тощо. Таким чином, при вирішенні задач на знаходження множин значень функції слід при необхідності перевіряти і використовувати такі властивості функції:

• безперервність;
• монотонність;
• диференційність;
• парність, непарність, періодичність тощо.

Нескладні завдання на знаходження безлічі значень функції здебільшого орієнтовані:

а) на використання найпростіших оцінок та обмежень: (2 х >0, -1?sinx?1, 0?cos 2 x?1 і т.д.);

б) виділення повного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на перетворення тригонометричних виразів: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

г) використання монотонності функції x 1/3 + 2 x-1 зростає R.

ІІІ. Розглянемо методи знаходження областей значень функцій.

а) послідовне знаходження значень складних аргументів функції;
б) метод оцінок;
в) використання властивостей безперервності та монотонності функції;
г) використання похідної;
д) використання найбільшого та найменшого значеньфункції;
е) графічний метод;
ж) метод запровадження параметра;
з) метод зворотної функції.

Розкриємо суть цих методів на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайдіть область значень E(y)функції y = log 0,5 (4 - 2 · 3 x - 9 x).

Вирішимо цей приклад методом послідовного знаходженнязначень складних аргументів функції Виділивши повний квадратпід логарифмом, перетворюємо функцію

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 · 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І послідовно знайдемо безліч значень її складних аргументів:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Позначимо t= 5 – (3 x +1) 2 , де -∞≤ t≤4. Тим самим завдання зводиться до знаходження множини значень функції y = log 0,5 t на промені (-∞;4) . Так як функція y = log 0,5 t визначена лише при, то її безліч значень на промені (-∞; 4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0; 4), що представляє собою перетин променя (-∞; 4) з областю визначення (0; + ∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і зменшується. При t> 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) =(-2, +∞).

Приклад 2. Знайдіть область значень функції

y = cos7x + 5cosx

Вирішимо цей приклад методом оцінок, суть якого полягає в оцінці безперервної функції знизу і зверху та в доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої зумовлюється безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

З нерівностей -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 отримаємо оцінку -6≤y?6. При x = р і x = 0 функція набуває значення -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos7x і cosx, функція y безперервна на всій числовій осі, тому за властивістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, тому що через нерівності -6≤y?6 інші значення у неї неможливі. Отже, E(y)= [-6;6].

Приклад 3. Знайдіть область значень E(f)функції f(x)= cos2x + 2cosx.

За формулою косинуса подвійного кутаперетворюємо функція f(x)= 2cos 2 x + 2cosx - 1 і позначимо t= cosx. Тоді f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Оскільки E(cosx) =

[-1;1], то область значень функції f(x)збігається з безліччю значень функції g (t)= 2t 2 + 2t – 1 на відрізку [-1;1], яке знайдемо графічним методом. Побудувавши графік функції y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на проміжку [-1;1], знаходимо E(f) = [-1,5; 3].

Зауваження – до знаходження безлічі значень функції зводяться багато завдань із параметром, пов'язані, переважно, з розв'язністю і числом розв'язків рівняння і нерівностей. Наприклад, рівняння f(x)= а дозволимо тоді і лише тоді, коли

a E(f)Аналогічно, рівняння f(x)= а має хоча б один корінь, розташований на деякому проміжку Х, або не має жодного кореня на цьому проміжку тоді і тільки тоді, коли належить або не належить безлічі значень функції f(x)на проміжку Х. Також досліджуються із залученням безлічі значень функції та нерівності f(x)≠а, f(x)>а і т.д. Зокрема, f(x)≠а для всіх допустимих значеньх, якщо a E(f)

Приклад 4. За яких значень параметра а рівняння (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) має єдиний корінь на відрізку [-4;-1].

Запишемо рівняння у вигляді (x + 5) 1/2/(x 2 + 4) = a . Останнє рівняння має хоча б один корінь на відрізку [-4;-1] тоді і тільки тоді, коли належить безлічі значень функції f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) на відрізку [-4;-1]. Знайдемо це безліч, використовуючи властивість безперервності та монотонності функції.

На відрізку [-4;-1] функція y = xІ + 4 безперервна, зменшується і позитивна, тому функція g(x) = 1/(x 2 + 4) безперервна і зростає на цьому відрізку, так як при розподілі на позитивну функціюхарактер монотонності функції змінюється на протилежний. Функція h(x) =(x + 5) 1/2 безперервна і зростає у своїй галузі визначення D(h) =[-5;+∞) і, зокрема, на відрізку [-4;-1], де вона, крім того, позитивна. Тоді функція f(x)=g(x)·h(x), як добуток двох безперервних, зростаючих і позитивних функцій, також безперервна і збільшується на відрізку [-4;-1], тому її безліч значень на [-4;-1] є відрізок [ f(-4); f(-1)] = . Отже, рівняння має рішення на відрізку [-4;-1], причому єдине (за якістю безперервної) монотонної функції), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Зауваження. Розв'язність рівняння f(x) = aна деякому проміжку Х дорівнює приналежності значень параметра абезлічі значень функції f(x)на Х. Отже, безліч значень функції f(x)на проміжку Х збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь на проміжку Х. Зокрема, область значень E(f)функції f(x)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь.

Приклад 5. Знайдіть область значень E(f)функції

Розв'яжемо приклад методом введення параметра, згідно з яким E(f)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння

має хоча б один корінь.

При а = 2 рівняння є лінійним - 4х - 5 = 0 з ненульовим коефіцієнтом при невідомій х тому має рішення. При а≠2 рівняння є квадратним, тому воно можна розв'язати тоді і тільки тоді, коли його дискримінант

Оскільки точка а = 2 належить відрізку

то шуканим безліччю значень параметра а,отже, і областю значень E(f)буде весь відрізок.

Як безпосередній розвитокметоду введення параметра при знаходженні безлічі значень функції, можна розглядати метод зворотної функції, для знаходження якої треба вирішити щодо рівняння f(x)= y, Вважаючи y параметром. Якщо це рівняння має єдине рішення x = g (y), то область значень E(f)вихідної функції f(x)збігається з областю визначення D(g)зворотної функції g(y). Якщо ж рівняння f(x)= yмає кілька рішень x = g 1 (y), x = g 2 (y)і т.д., то E(f)дорівнює об'єднанню областей визначень функції g 1 (y), g 2 (y)і т.д.

Приклад 6. Знайдіть область значень E(y)функції y = 5 2/(1-3x).

З рівняння

знайдемо зворотну функцію x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) та її область визначення D(x):

Оскільки рівняння щодо х має єдине рішення, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Якщо область визначення функції складається з кількох проміжків або функція на різних проміжках задана різними формулами, то знаходження області значень функції треба знайти безлічі значень функції кожному проміжку і їх об'єднання.

Приклад 7. Знайдіть області значень f(x)і f(f(x)), де

f(x)на промені (-∞;1], де вона збігається з виразом 4 x + 9 · 4 - x + 3. Позначимо t = 4 x. Тоді f(x) = t + 9/t + 3, де 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на промені (-∞;1] збігається з безліччю значень функції g(t) = t + 9/t + 3, на проміжку (0;4], яке знайдемо, використовуючи похідну g'(t) = 1 - 9/t 2. На проміжку (0;4] похідна g’(t)визначено і звертається там в нуль при t = 3. При 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)зменшується, а інтервалі (3;4) вона зростає, залишаючись безперервною усім проміжку (0;4), поэтом g (3)= 9 – найменше значень цієї функції на проміжку (0;4], тоді як її найбільше значення немає, так при t→0справа функція g(t)→+∞.Тоді, за якістю безперервної функції, безліччю значень функції g(t)на проміжку (0; 4], а значить, і безліччю значень f(x)на (-∞;-1], буде промінь .

Тепер, об'єднавши проміжки – безліч значень функції f(f(x)), позначимо t = f(x). Тоді f(f(x)) = f(t), де При зазначених tфункція f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 і знову приймає всі значення від 5 до 9 включно, тобто. область значень E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Аналогічно, позначивши z = f(f(x)), можна знайти область значень E(f 3)функції f(f(f(x))) = f(z)де 5 ≤ z ≤ 9 і т.д. Впевніться, що E(f 3) = .

Найбільш універсальним методом знаходження множини значень функції є використання найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку.

Приклад 8. При яких значеннях параметра рнерівність 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xвиконується для всіх -1 ≤ x< 2.

Позначивши t = 2 x, запишемо нерівність у вигляді р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так як t = 2 x- безперервна зростаюча функція на R,то при -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда рвідмінна від значень функції f(t) = t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.

Знайдемо спочатку безліч значень функції f(t)на відрізку, де вона всюди має похідну f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Отже, f(t)диференційована, отже, і безперервна на відрізку. З рівняння f'(t) = 0знайдемо критичні точки функції t = 1/3, t = 1,перша з яких не належить відрізку, а друга належить йому. Так як f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,то, за якістю диференційованої функції, 0 – найменше, а 36 – найбільше значення функції f(t)на відрізку. Тоді f(t),як безперервна функція, приймає на відрізку всі значення від 0 до 36 включно, причому значення 36 набуває тільки при t = 4тому при 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Візьмемо завдання, у якому потрібно визначити область значень арксинусу.

Приклад 1

Умова:знайдіть ділянку значень y = a r c sin x .

Рішення

У загальному випадку область визначення арксинусу розташовується на відрізку [-1; 1]. Нам треба визначити найбільше та найменше значення зазначеної функції на ньому.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Ми знаємо, що похідна функції буде позитивною для всіх значень x, розташованих в інтервалі [-1; 1], тобто протягом усієї області визначення функція арксинусу зростатиме. Значить, найменше значення вона набуде при x , рівному - 1 , а найбільше - при x , рівному 1 .

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким чином, область значень функції арксинус дорівнюватиме E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Відповідь: E (a r c sin x) = - π 2; π 2

Приклад 2

Умова:обчисліть область значень y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на заданому відрізку [1; 4].

Рішення

Все, що нам потрібно зробити – це обчислити найбільше та найменше значення функції у заданому інтервалі.

Для визначення точок екстремуму треба зробити такі обчислення:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1;4 і л і 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 4; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1;

Тепер знайдемо значення заданої функції в кінцях відрізка та точках x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 · 15 - 33 8 3 + 6 · 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y(4) = 4 4 - 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значить, безліч значень функції визначатиметься відрізком 117 - 165 33 512; 32 .

Відповідь: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Перейдемо до знаходження безлічі значень безперервної функції y = f (x) у проміжках (a; b), причому a; + ∞, - ∞; b , - ∞ ; + ∞.

Почнемо з визначення найбільшої та найменшої точки, а також проміжків зростання та зменшення на заданому інтервалі. Після цього нам потрібно буде обчислити односторонні межі на кінцях інтервалу та/або межі на нескінченності. Іншими словами, нам треба визначити поведінку функції у заданих умовах. Для цього ми маємо всі необхідні дані.

Приклад 3

Умова:обчисліть область значень функції y = 1 x 2 - 4 на інтервалі (-2; 2).

Рішення

Визначаємо найбільше та найменше значення функції на заданому відрізку

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

У нас вийшло максимальне значення, що дорівнює 0, оскільки саме в цій точці відбувається зміна знака функції і графік переходить до спадання. Див. на ілюстрацію:

Тобто y (0) = 102 - 4 = - 14 буде максимальним значень функції.

Тепер визначимо поведінку функції при такому x, який прагне до - 2 з правого боку та до + 2 з лівого боку. Іншими словами, знайдемо односторонні межі:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 · 1 - 0 = - ∞

У нас вийшло, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до -14 тоді, коли аргумент змінюється в межах від -2 до 0. А коли аргумент змінюється від 0 до 2, значення функції зменшуються до мінус нескінченності. Отже, безліччю значень заданої функції на потрібному інтервалі буде (- ∞ ; - 1 4 ) .

Відповідь: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Приклад 4

Умова: вкажіть безліч значень y = t g x на заданому інтервалі - π 2; π 2 .

Рішення

Нам відомо, що у випадку похідна тангенса в - π 2 ; π 2 буде позитивною, тобто функція зростатиме. Тепер визначимо, як поводиться функція в заданих межах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Ми отримали зростання значень функції від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні аргументу від - π 2 до π 2 і можна сказати, що безліччю рішень цієї функції буде безліч всіх дійсних чисел.

Відповідь: - ∞ ; + ∞ .

Приклад 5

Умова:визначте, якою є область значень функції натурального логарифму y = ln x .

Рішення

Нам відомо, що дана функціяє визначеною при позитивних значеннях аргументу D(y) = 0; + ∞. Похідна на заданому інтервалі буде позитивною: y = ln x = 1 x . Отже, у ньому відбувається зростання функції. Далі нам потрібно визначити односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне 0 (у правій частині), і коли x прагне нескінченності:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ми отримали, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні значень x від нуля до нескінченності плюс. Значить, багато всіх дійсних чисел – це і є область значень функції натурального логарифму.

Відповідь:множина всіх дійсних чисел - область значень функції натурального логарифму.

Приклад 6

Умова:визначте, якою є область значень функції y = 9 x 2 + 1 .

Рішення

Ця функція є певною за умови, що x – дійсне число. Обчислимо найбільші та найменші значення функції, а також проміжки її зростання та зменшення:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

У результаті ми визначили, що ця функція буде спадати, якщо x ≥ 0; зростати, якщо x ≤ 0; вона має точку максимуму y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 при змінній, що дорівнює 0 .

Подивимося, як поводиться функція на нескінченності:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

З запису видно, що значення функції у разі асимптотично наближатися до 0.

Підіб'ємо підсумки: коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до нуля, то значення функції зростають від 0 до 9 . Коли значення аргументу змінюються від 0 до плюс нескінченності, відповідні значення функції зменшуватимуться від 9 до 0 . Ми відобразили це на малюнку:

На ньому видно, що областю значень функції буде інтервал E(y) = (0; 9]

Відповідь: E(y) = (0; 9]

Якщо треба визначити безліч значень функції y = f (x) на проміжках [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , то нам знадобиться провести такі самі дослідження.

А як бути у випадку, якщо область визначення деякої функції є об'єднанням кількох проміжків? Тоді нам треба обчислити безліч значень на кожному з цих проміжків і об'єднати їх.

Приклад 7

Умова:визначте, якою буде область значень y = x x - 2 .

Рішення

Оскільки знаменник функції не повинен бути звернений до 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; + ∞.

Почнемо з визначення множини значень функції на першому відрізку - ∞ ; 2 , який представляє собою відкритий промінь. Ми знаємо, що функція на ньому буде спадати, тобто похідна цієї функції буде негативною.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Тоді у випадках, коли аргумент змінюється у напрямку мінус нескінченності, значення функції асимптотично наближатися до 1 . Якщо значення x міняються від мінус нескінченності до 2 , то значення будуть спадати від 1 до мінус нескінченності, тобто. функція на цьому відрізку набуде значень з інтервалу - ∞ ; 1 . Одиницю ми виключаємо з наших міркувань, оскільки значення функції її не досягають, а лише асимптотично наближаються до неї.

Для відкритого променя 2; + ∞ виконуємо такі самі дії. Функція на ньому також є меншою:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Значення функції на даному відрізку визначаються безліччю 1; + ∞. Отже, потрібна нам область значень функції, заданої умові, буде об'єднанням множин - ∞ ; 1 і 1; + ∞.

Відповідь: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞.

Це можна побачити на графіку:

Особливий випадок – періодичні функції. Їхня область значення збігається з безліччю значень на тому проміжку, який відповідає періоду цієї функції.

Приклад 8

Умова:визначте область значень синуса y = sin x.

Рішення

Синус належить до періодичної функції, яке період становить 2 пі. Беремо відрізок 0; 2 π і дивимося, якою буде безліч значень на ньому.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

У межах 0; 2 π функції будуть точки екстремуму π 2 ​​і x = 3 π 2 . Підрахуємо, чому дорівнюватимуть значення функції в них, а також на межах відрізка, після чого виберемо найбільше і найменше значення.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Відповідь: E (sin x) = - 1; 1 .

Якщо вам потрібно знати області значень таких функцій, як статечна, показова, логарифмічна, тригонометрична, зворотна тригонометрична, то радимо вам перечитати статтю про основні елементарні функції. Теорія, яку ми наводимо тут, дозволяє перевірити вказані там значення. Їх бажано вивчити, оскільки вони часто потрібні під час вирішення завдань. Якщо ви знаєте області значень основних функцій, легко зможете знаходити області функцій, які отримані з елементарних за допомогою геометричного перетворення.

Приклад 9

Умова:визначте область значення y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Рішення

Нам відомо, що відрізок від 0 до пі є область значень арккосинусу. Іншими словами, E (ar c cos x) = 0 ; π або 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Ми можемо отримати функцію a r c cos x 3 + 5 π 7 з арккосинусу, зсунувши та розтягнувши її вздовж осі O x , але такі перетворення нам нічого не дадуть. Отже, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функція 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може бути отримана з арккосинусу a r c cos x 3 + 5 π 7 за допомогою розтягування вздовж осі ординат, тобто. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Фіналом перетворень є зсув уздовж осі O y на 4 значення. У результаті отримуємо подвійну нерівність:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ми отримали, що потрібна нам область значень дорівнюватиме E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Відповідь: E(y) = - 4; 3 π - 4 .

Ще один приклад запишемо без пояснень, т.к. він повністю аналогічний до попереднього.

Приклад 10

Умова:обчисліть, якою буде область значень функції y = 2 2 x - 1 + 3 .

Рішення

Перепишемо функцію, задану за умови, як y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Для статечної функції y = x - 1 2 область значень буде визначена на проміжку 0; + ∞, тобто. x - 1 2 > 0 . В такому випадку:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Значить, E(y) = 3; + ∞.

Відповідь: E(y) = 3; + ∞.

Тепер розберемо, як знайти область значень функції, яка не є безперервною. Для цього нам треба розбити всю область на проміжки та знайти безліч значень на кожному з них, після чого об'єднати те, що вийшло. Щоб краще це зрозуміти, радимо повторити основні види точок розриву функції.

Приклад 11

Умова:дана функція y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Обчисліть область її значень.

Рішення

Ця функція є визначеною всім значень x . Проведемо її аналіз на безперервність при значеннях аргументу, рівних - 3 та 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Маємо непереборний розрив першого роду при значенні аргументу - 3 . При наближенні до нього значення функції прагнуть до - 2 sin 3 2 - 4 , а при прагненні x до - 3 праворуч значення будуть прагнути до - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Маємо непереборний розрив другого роду у точці 3 . Коли функція прагне щодо нього, її значення наближаються до - 1 , за бажання до тієї ж точці справа – до мінус нескінченності.

Отже, вся область визначення цієї функції є розбитою на 3 інтервали (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ) , (3 ; + ∞) .

На першому з них вийшла функція y = 2 sin x 2 - 4 . Оскільки - 1 ≤ sin x ≤ 1 , отримуємо:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Значить, на даному проміжку (- ∞ ; - 3] безліч значення функції - [ - 6 ; 2 ] .

На напівінтервалі (- 3; 3] вийшла постійна функція y = -1. Отже, все безліч її значень у даному випадкубуде зводиться до одного числа - 1 .

На другому проміжку 3; + ∞ ми маємо функцію y = 1 x - 3 . Вона є спадною, тому що y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Отже, безліч значень вихідної функції при x > 3 є безліч 0; + ∞. Тепер об'єднаємо отримані результати: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Відповідь: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Рішення показано на графіку:

Приклад 12

Умова: є функція y = x 2 - 3 e x. Визначте безліч її значень.

Рішення

Вона визначена для всіх значень аргументу, що являють собою дійсні числа. Визначимо, у яких проміжках ця функція зростатиме, а яких спадати:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Ми знаємо, що похідна звернеться до 0 , якщо x = - 1 і x = 3 . Помістимо ці дві точки на вісь і з'ясуємо, які знаки буде мати похідна на інтервалах.

Функція зменшуватиметься на (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) і зростатиме на [ - 1 ; 3]. Точкою мінімуму буде - 1, максимуму - 3.

Тепер знайдемо відповідні значення функції:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для обчислення другої межі було використано правило Лопіталя. Зобразимо перебіг нашого рішення на графіку.

На ньому видно, що значення функції зменшуватимуться від плюс нескінченності до - 2 e тоді, коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до - 1 . Якщо ж він змінюється від 3 до плюс нескінченності, то значення будуть спадати від 6 e - 3 до 0 але при цьому 0 досягнутий не буде.

Таким чином, E(y) = [- 2 e; + ∞).

Відповідь: E (y) = [- 2 e; + ∞)

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter