Із 15 показові рівняння. Показові рівняння

Цей урок призначений для тих, хто починає вивчати показові рівняння. Як завжди, почнемо з визначення та найпростіших прикладів.

Якщо ви читаєте цей урок, то я підозрюю, що ви вже маєте хоча б мінімальне уявлення про найпростіші рівняння — лінійні та квадратні: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ і т.д. Вміти вирішувати такі конструкції зовсім необхідно для того, щоб не «зависнути» у тій темі, про яку зараз йтиметься.

Отже, показові рівняння. Відразу наведу кілька прикладів:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Якісь з них можуть здатися вам складнішими, якісь, навпаки, надто простими. Але всіх їх поєднує один важлива ознака: в їх записі є показова функція $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Таким чином, введемо визначення:

Показове рівняння - це будь-яке рівняння, що містить у собі показову функцію, тобто. вираз виду $((a)^(x))$. Крім зазначеної функціїподібні рівняння можуть містити в собі будь-які інші конструкції алгебри — багаточлени, коріння, тригонометрію, логарифми і т.д.

Ну добре. З ухвалою розібралися. Тепер питання: як усю цю хрень вирішувати? Відповідь одночасно і проста, і складна.

Почнемо з хорошої новини: за своїм досвідом занять з безліччю учнів можу сказати, що більшості з них показові рівняння даються набагато легше, ніж ті ж логарифми і тим більше тригонометрія.

Але є і погана новина: іноді укладачів завдань для всіляких підручників та іспитів відвідує «натхнення», і їхній запалений наркотиками мозок починає видавати такі звірячі рівняння, що вирішити їх стає проблематично не лише учням — навіть багато вчителів на таких завданнях залипають.

Втім, не будемо про сумне. І повернемося до тих трьох рівнянь, які були наведені на самому початку розповіді. Спробуємо вирішити кожну з них.

Перше рівняння: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. Ну і в яку міру треба звести число 2, щоб отримати число 4? Мабуть, у другу? Адже $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - і ми отримали вірне числова рівність, тобто. дійсно $x = 2 $. Що ж, дякую, кеп, але це рівняння було настільки простим, що його вирішив би навіть мій кіт.

Подивимося на таке рівняння:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

А ось тут уже трохи складніше. Багато учнів знають, що $((5)^(2))=25$ це таблиця множення. Деякі також підозрюють, що $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ — це по суті визначення негативних ступенів(за аналогією з формулою $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Нарешті лише обрані здогадуються, що ці факти можна поєднувати і на виході отримати наступний результат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Таким чином, наше вихідне рівняння перепишеться так:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

А ось це вже цілком вирішуване! Зліва в рівнянні стоїть показова функція, справа в рівнянні стоїть показова функція, нічого крім них ніде більше немає. Отже, можна «відкинути» підстави та тупо прирівняти показники:

Здобули найпростіше лінійне рівняння, яке будь-який учень вирішить буквально в пару рядків. Ну гаразд, у чотири рядки:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, що зараз відбувалося в останніх чотирьох рядках — обов'язково поверніться до теми « лінійні рівняння» та повторіть її. Тому що без чіткого засвоєння цієї теми вам рано братися за показові рівняння.

\[((9)^(x))=-3\]

Ну, і як таке вирішувати? Перша думка: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, тому вихідне рівняння можна переписати так:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Потім згадуємо, що при зведенні ступеня в рівень показники перемножуються:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3) ^ (1)) \]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

І ось за таке рішення ми отримаємо чесно заслужену двійку. Бо ми з незворушністю покемона відправили знак мінус, що стоїть перед трійкою, в ступінь цієї трійки. А так робити не можна. І ось чому. Погляньте на різні ступенітрійки:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Складаючи цю табличку, я вже як тільки не перекручувався: і позитивні ступенірозглянув, і негативні, і навіть дрібні... ну і де тут хоч одне від'ємне число? Його нема! І не може бути, тому що показова функція $y=((a)^(x))$, по-перше, завжди приймає лише позитивні значення(скільки одиницю не множи чи не поділи на двійку — все одно буде позитивне число), а по-друге, підстава такої функції — $a$ — за визначенням є позитивним числом!

Ну і як тоді розв'язувати рівняння $((9)^(x))=-3$? А ніяк: коріння немає. І в цьому сенсі показові рівняння дуже подібні до квадратних — там теж може не бути коріння. Але якщо у квадратних рівняннях кількість коренів визначається дискримінантом (дискримінант позитивний – 2 корені, негативний – немає коренів), то у показових все залежить від того, що стоїть праворуч від знака рівності.

Таким чином, сформулюємо ключовий висновок: найпростіше показове рівняння виду $ ((a) ^ (x)) = b $ має корінь тоді і тільки тоді, коли $ b> 0 $. Знаючи цей простий факт, ви легко визначите: є у запропонованого вам рівняння коріння чи ні. Тобто. чи варто взагалі його вирішувати чи одразу записати, що коріння немає.

Це знання ще неодноразово допоможе нам, коли доведеться вирішувати більше складні завдання. А поки вистачить лірики — настав час вивчити основний алгоритм рішення показових рівнянь.

Як вирішувати показові рівняння

Отже, сформулюємо завдання. Необхідно вирішити показове рівняння:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Згідно з «наївним» алгоритмом, за яким ми діяли раніше, необхідно представити число $b$ як ступінь числа $a$:

Крім того, якщо замість змінної $x$ стоятиме якийсь вираз, ми отримаємо нове рівняння, яке вже можна вирішити. Наприклад:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \&((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\end(align)\]

І як не дивно, ця схема працює приблизно у 90% випадків. А що тоді з рештою 10%? Інші 10% - це трохи «шизофренічні» показові рівняння виду:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Ну і в яку міру треба звести 2, щоб отримати 3? В першу? А ось і ні: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ - замало. По-друге? Теж ні: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ - забагато. А в яку тоді?

Знаючі учні вже, напевно, здогадалися: у таких випадках, коли «красиво» вирішити не виходить, до справи підключається «важка артилерія» — логарифми. Нагадаю, що за допомогою логарифмів будь-яке позитивне число можна представити як ступінь будь-якого іншого позитивного числа (за винятком одиниці):

Пам'ятаєте цю формулу? Коли я розповідаю своїм учням про логарифми, то завжди попереджаю: ця формула (вона ж — основна логарифмічна тотожність або, якщо завгодно, визначення логарифму) переслідуватиме її дуже довго і «спливатиме» в найнесподіваніших місцях. Ну ось вона і випливла. Давайте подивимося на наше рівняння та на цю формулу:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Якщо припустити, що $a=3$ — наше вихідне число, що стоїть праворуч, а $b=2$ — те саме підставу показової функції, якого ми хочемо привести праву частину, то отримаємо таке:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log)_(2))3. \\end(align)\]

Отримали трохи дивну відповідь: $x=((\log )_(2))3$. У якомусь іншому завданні багато хто при такій відповіді засумнівався б і почав перевіряти ще раз своє рішення: раптом там десь закралася помилка? Поспішаю вас порадувати: ніякої помилки тут немає, і логарифми в корінні показових рівнянь цілком типова ситуація. Так що звикайте.

Тепер вирішимо за аналогією два рівняння, що залишилися:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\end(align)\]

От і все! До речі, останню відповідь можна записати інакше:

Це ми внесли множник у аргумент логарифму. Але ніхто не заважає нам внести цей множник у основу:

При цьому всі три варіанти є правильними – це просто різні формизаписи того самого числа. Який із них вибрати та записати у цьому рішенні — вирішувати тільки вам.

Таким чином, ми навчилися вирішувати будь-які показові рівняння виду $((a)^(x))=b$, де числа $a$ та $b$ строго позитивні. Однак сувора реальністьнашого світу така, що подібні прості завданнязустрічатимуться вам дуже і дуже рідко. Куди частіше вам траплятиметься щось на кшталт цього:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \&((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \&((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\end(align)\]

Ну, і як таке вирішувати? Це взагалі можна вирішити? І якщо так, то як?

Без паніки. Всі ці рівняння швидко і просто зводяться до тих простим формулам, які ми вже розглянули. Потрібно лише знати згадати кілька прийомів з курсу алгебри. Ну і звісно, ​​тут нікуди без правил роботи зі ступенями. Про все це я зараз розповім.:)

Перетворення показових рівнянь

Перше, що слід запам'ятати: будь-яке показове рівняння, яким би складним воно не було, так чи інакше має зводитися до найпростіших рівнянь — тих, які ми вже розглянули і які знаємо, як вирішувати. Іншими словами, схема розв'язання будь-якого показового рівняння виглядає так:

1. Записати вихідне рівняння. Наприклад: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Зробити якусь незрозумілу хрень. Або навіть кілька хрін, які називаються «перетворити рівняння»;
3. На виході отримати найпростіші вирази виду $ ((4) ^ (x)) = 4 $ або щось ще в такому дусі. Причому одне вихідне рівняння може давати відразу кілька таких виразів.

З першим пунктом все зрозуміло — записати рівняння на лист може навіть мій кіт. З третім пунктом також, начебто, більш-менш ясно — ми такі рівняння вже цілу пачку нарішували вище.

Але як бути із другим пунктом? Що за перетворення? Що на що перетворювати? І як?

Що ж, розбираймося. Насамперед, зазначу наступне. Усі показові рівняння поділяються на два типи:

1. Рівняння складено з показових функцій з одним і тим самим підставою. Приклад: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. У формулі є показові функції з різними підставами. Приклади: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ і $((100)^(x-1) ) \ cdot ((2,7) ^ (1-x)) = 0,09 $.

Почнемо з рівнянь першого типу - вони вирішуються найпростіше. І в їх вирішенні нам допоможе такий прийом, як виділення стійких виразів.

Виділення стійкого виразу

Давайте ще раз подивимося на це рівняння:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Що ми бачимо? Четвірка зводиться у різні ступені. Але всі ці ступені - прості суми змінної $x$ з іншими числами. Тому необхідно згадати правила роботи зі ступенями:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\end(align)\]

Простіше кажучи, складання показників можна перетворити на твір ступенів, а віднімання легко перетворюється на поділ. Спробуємо застосувати ці формули до ступенів нашого рівняння:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x)) cdot frac (1) (4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Перепишемо вихідне рівняння з урахуванням цього факту, а потім зберемо всі складові зліва:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\end(align)\]

У перших чотирьохдоданків є елемент $((4)^(x))$ — винесемо його за дужку:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \&((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\end(align)\]

Залишилося розділити обидві частини рівняння на дріб $-\frac(11)(4)$, тобто. по суті помножити на перевернутий дріб — $-\frac(4)(11)$. Отримаємо:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \&((4)^(x))=4; \&((4)^(x))=((4)^(1)); \& x=1. \\end(align)\]

От і все! Ми звели вихідне рівняння до найпростішого та отримали остаточну відповідь.

При цьому в процесі рішення ми виявили (і навіть винесли за дужку) загальний множник $((4)^(x))$ це і є стійкий вираз. Його можна позначати за нову змінну, а можна просто акуратно висловити та отримати відповідь. В будь-якому випадку, ключовий принципрішення наступний:

Знайти у вихідному рівнянні стійкий вираз, що містить змінну, легко виділяється з усіх показових функцій.

Хороша новина полягає в тому, що практично кожне показове рівняння припускає виділення такого стійкого виразу.

Але є й погана новина: подібні висловлюванняможуть виявитися дуже хитрими, і виділити їх буває досить складно. Тому розберемо ще одне завдання:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Можливо, у когось зараз виникне питання: «Паша, ти що, обкурився? Тут різні підстави — 5 і 0,2». Але давайте спробуємо перетворити ступінь з основу 0,2. Наприклад, позбавимося десяткового дробу, привівши його до звичайного:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Як бачите, число 5 все ж таки з'явилося, нехай і в знаменнику. Заодно переписали показник як негативного. А тепер згадуємо одне з найважливіших правилроботи зі ступенями:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тут я, звичайно, трохи злукавив. Тому що для повного розуміння формулу позбавлення від негативних показниківтреба було записати так:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \) right))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

З іншого боку, ніщо не заважало нам працювати з одним лише дробом:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1))) right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Але в цьому випадку потрібно вміти зводити ступінь до іншого ступеня (нагадаю: при цьому показники складаються). Зате не довелося перевертати дроби — можливо, для когось це буде простіше.

У будь-якому випадку вихідне показникове рівняння буде переписано у вигляді:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \&((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \&((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \&((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \&((5)^(x+2))=1. \\end(align)\]

Ось і виходить, що вихідне рівняння вирішується навіть простіше, ніж раніше розглянуте: тут навіть не треба виділяти стійке вираз - все скоротилося. Залишилося лише згадати, що $1=((5)^(0))$, звідки отримаємо:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \& x+2=0; \& x=-2. \\end(align)\]

Ось і все рішення! Ми отримали остаточну відповідь: $x=-2$. При цьому хотілося б відзначити один прийом, який значно спростив нам усі викладки:

У показових рівняннях обов'язково позбавляйтесь від десяткових дробів, Переводьте їх у звичайні. Це дозволить побачити однакові підстави ступенів та значно спростить рішення.

Перейдемо тепер до більш складним рівнянням, в яких є різні підстави, які взагалі не зводяться один до одного за допомогою ступенів.

Використання властивості ступенів

Нагадаю, що у нас є ще два особливо суворі рівняння:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \&((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\end(align)\]

Основна складність тут - незрозуміло, що і до якої підстави спричинити. Де стійкі вираження? Де однакові підстави? Нічого цього нема.

Але спробуємо піти іншим шляхом. Якщо немає готових однакових підстав, їх можна спробувати знайти, розкладаючи основи на множники.

Почнемо з першого рівняння:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\end(align)\]

Але ж можна поступити навпаки — скласти з чисел 7 і 3 число 21. Особливо це просто зробити ліворуч, оскільки показники обох ступенів однакові:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6))=((21)^(x+6)); \&((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \& x+6=3x; \&& 2x=6; \& x=3. \\end(align)\]

От і все! Ви винесли показник ступеня за межі твору і одразу отримали гарне рівняння, яке вирішується у кілька рядків.

Тепер розберемося з другим рівнянням. Тут все набагато складніше:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

У даному випадкудроби вийшли нескоротними, але якби щось можна було скоротити – обов'язково скорочуйте. Найчастіше при цьому з'являться цікаві підстави, з якими можна працювати.

А в нас, на жаль, нічого особливо не з'явилося. Натомість ми бачимо, що показники ступенів, що стоять у творі зліва, протилежні:

Нагадаю: щоб позбавитися знака «мінус» у показнику, досить просто «перевернути» дріб. Що ж, перепишемо вихідне рівняння:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \&((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\end(align)\]

У другому рядку ми просто винесли загальний показникз твору за дужку за правилом $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, а в останньої просто помножили число 100 на дріб.

Тепер зауважимо, що числа, що стоять ліворуч (у підставі) і праворуч, чимось схожі. Чим? Та очевидно ж: вони є ступенями того самого числа! Маємо:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right)) ^ (2)). \\end(align)\]

Таким чином, наше рівняння перепишеться так:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

При цьому праворуч теж можна отримати ступінь з такою самою підставою, для чого досить просто «перевернути» дріб:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Остаточно наше рівняння набуде вигляду:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \&& 3x=1; \& x=\frac(1)(3). \\end(align)\]

Ось і все рішення. Основна його ідея зводиться до того, що навіть при різних підставахми намагаємося будь-якими правдами і неправдами звести ці підстави до того самого. У цьому нам допомагають елементарні перетвореннярівнянь та правила роботи зі ступенями.

Але які правила та коли використовувати? Як зрозуміти, що в одному рівнянні потрібно ділити обидві сторони на щось, а в іншому – розкладати основу показової функції на множники?

Відповідь це питання прийде з досвідом. Спробуйте свої сили спочатку на простих рівняннях, а потім поступово ускладнюйте завдання - і дуже скоро ваших навичок буде достатньо, щоб вирішити будь-яке показове рівняння з того ж ЄДІ або будь-якої самостійної/контрольної роботи.

А щоб допомогти вам у цій нелегкій справі, пропоную завантажити на моєму сайті комплект рівнянь для самостійного рішення. До всіх рівнянь є відповіді, тому ви завжди зможете себе перевірити.

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У даному прикладічисло 6 є основою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частинадорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У наступний прикладвидно, що різні підстави це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенемзамінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

Так називаються рівняння виду, де невідоме знаходиться й у показнику та на підставі ступеня.

Можна вказати абсолютно чіткий алгоритм розв'язання рівняння виду. Для цього треба звернути увагу на те, що при а(х)не рівному нулю, одиниці та мінус одиниці рівність ступенів з однаковими підставами(будь-то позитивними або негативними) можливо лише за умови рівності показників Тобто - все коріння рівняння буде корінням рівняння f(x) = g(x)Зворотне ж твердження неправильне, якщо а(х)< 0 і дробових значеннях f(x)і g(x)вирази а(х) f(x) і

а(х) g(x) втрачають сенс. Тобто при переході від до f(x) = g(x)(Прі і можуть з'явитися сторонні корені, які потрібно виключити перевіркою за вихідним рівнянням. А випадки а = 0, а = 1, а = -1треба розглянути окремо.

Отже, для повного рішеннярівняння розглядаємо випадки:

а(х) = О f(x)і g(x)будуть позитивними числами, то це рішення. В іншому випадку, ні

а(х) = 1. Коріння цього рівняння є корінням та вихідного рівняння.

а(х) = -1. Якщо при значенні х, що задовольняє це рівняння, f(x)і g(x)є цілими числами однакової парності (або обидва парні, або обидва непарні), це рішення. В іншому випадку, ні

При і вирішуємо рівняння f(x)= g(x)та підстановкою отриманих результатів у вихідне рівняння відсікаємо сторонні корені.

Приклади розв'язання показово-ступеневих рівнянь.

Приклад №1.

1) x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0 і 3 2 > 0, то x 1 = 3 - це рішення.

2) x – 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Обидва показники парні. Це рішення х 3 = 1.

4) x - 3? 0 і x? ± 1. x = x 2 , x = 0 або x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -правильно це рішення x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - правильно це рішення x 5 = 1.

Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4.

Приклад №2.

За визначенням арифметичного квадратного кореня: x - 1? 0, x? 1.

1) x – 1 = 0 або x = 1, = 0, 0 0 це не рішення.

2) x – 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не підходить в ОДЗ.

Д = (-2) - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 - коренів немає.

1º. Показовими рівнянняминазивають рівняння, що містять змінну у показнику ступеня.

Рішення показових рівнянь засноване на властивості ступеня: два ступеня з одним і тим же основою рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні показники.

2º. Основні способи розв'язання показових рівнянь:

1) найпростіше рівняння має рішення;

2) рівняння виду логарифмуванням на підставі a зводять до вигляду;

3) рівняння виду рівносильне рівнянню;

4) рівняння виду рівносильно рівнянню.

5) рівняння виду через заміну зводять до рівняння, а потім вирішують сукупність найпростіших показових рівнянь;

6) рівняння із взаємно зворотними величинами заміною зводять до рівняння, а потім вирішують сукупність рівнянь;

7) рівняння, однорідні щодо a g (x)і b g (x)за умови виду через заміну зводять до рівняння, та був вирішують сукупність рівнянь.

Класифікація показових рівнянь.

1. Рівняння, що вирішуються переходом до однієї основи.

Приклад 18. Розв'язати рівняння .

Рішення: Скористаємося тим, що всі підстави ступенів є ступенями числа 5: .

2. Рівняння, які вирішуються переходом до одного показника ступеня.

Ці рівняння вирішуються перетворенням вихідного рівняння на вигляд , Яке використанням властивості пропорції наводиться до найпростішого.

Приклад 19. Розв'язати рівняння:

3. Рівняння, що вирішуються винесенням спільного множниказа дужки.

Якщо в рівнянні кожен показник ступеня відрізняється від іншого на деяке число, то рівняння вирішуються винесенням за дужки ступеня найменшим показником.

Приклад 20. Розв'язати рівняння.

Рішення: Винесемо в лівій частині рівняння ступінь з найменшим показником за дужки:

Приклад 21. Розв'язати рівняння

Рішення: Згрупуємо окремо в лівій частині рівняння доданки, що містять ступеня з основою 4, у правій частині – з основою 3, потім винесемо ступеня з найменшим показником за дужки:

4. Рівняння, що зводяться до квадратних (або кубічних) рівнянь.

До квадратного рівняння щодо нової змінної y зводяться рівняння:

а) виду підстановкою, при цьому;

б) виду підстановкою, причому.

Приклад 22. Розв'язати рівняння .

Рішення: Зробимо заміну змінної та вирішимо квадратне рівняння:

.

Відповідь: 0; 1.

5. Однорідні щодо показових функцій рівняння.

Рівняння виду є однорідним рівняннямдругого ступеня щодо невідомих a xі b x. Такі рівняння зводяться попереднім розподілом обох частин і наступною підстановкою до квадратних рівнянь.

Приклад 23. Розв'язати рівняння.

Рішення: Розділимо обидві частини рівняння на:

Поклавши, отримаємо квадратне рівняння з корінням.

Тепер завдання зводиться до розв'язання сукупності рівнянь . З першого рівняння знаходимо, що . Друге рівняння не має коріння, тому що при будь-яких значеннях x.

Відповідь: -1/2.

6. Раціональні щодо показових функцій рівняння.

Приклад 24. Розв'язати рівняння.

Рішення: Розділимо чисельник і знаменник дробу на 3 xі отримаємо замість двох – одну показову функцію:

7. Рівняння виду .

Такі рівняння з безліччю допустимих значень(ОДЗ), що визначається умовою , логарифмуванням обох частин рівняння наводяться до рівносильному рівнянню, які у свою чергу рівносильні сукупності двох рівнянь чи .

Приклад 25. Розв'язати рівняння: .

.

Дидактичний матеріал.

Розв'яжіть рівняння:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Знайдіть добуток коренів рівняння .

27. Знайдіть суму коренів рівняння .

Знайдіть значення виразу:

28. , де x 0- корінь рівняння ;

29. , де x 0 – ціле коріннярівняння .

Розв'яжіть рівняння:

31. ; 32. .

Відповіді: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Тема №8.

Показові нерівності.

1º. Нерівність, що містить змінну у показнику ступеня, називається показовою нерівністю.

2º. Рішення показових нерівностейвиду ґрунтується на наступних твердженнях:

якщо, то нерівність рівносильна;

якщо, то нерівність рівносильна.

При розв'язанні показових нерівностей використовують самі прийоми, як і під час вирішення показових рівнянь.

Приклад 26. Розв'язати нерівність (методом переходу до однієї основи).

Рішення: Так як , то задану нерівність можна записати у вигляді: . Оскільки , то ця нерівність рівнозначна нерівності .

Розв'язавши останню нерівність, отримаємо .

Приклад 27. Розв'язати нерівність: ( методом винесення загального множника за дужки).

Рішення: Винесемо за дужки в лівій частині нерівності, у правій частині нерівності і розділимо обидві частини нерівності на (-2), змінивши знак нерівності на протилежний:

Оскільки , то при переході до нерівності показників знак нерівності знову змінюється протилежний. Отримуємо. Таким чином, багато всіх рішень даної нерівності є інтервал .

Приклад 28. Розв'язати нерівність ( методом введення нової змінної).

Рішення: Нехай . Тоді ця нерівність набуде вигляду: або , Рішенням якого є інтервал .

Звідси. Оскільки функція збільшується, то .

Дидактичний матеріал.

Вкажіть безліч розв'язків нерівності:

1. ; 2. ; 3. ;

6. При яких значеннях xточки графіка функції лежать нижче за пряму ?

7. При яких значеннях xточки графіка функції лежать не нижче прямої?

Розв'яжіть нерівність:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Вкажіть найбільше ціле рішення нерівності .

14. Знайдіть добуток найбільшого цілого та найменшого цілого розв'язків нерівності .

Розв'яжіть нерівність:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Знайдіть область визначення функції:

27. ; 28. .

29. Знайдіть безліч значень аргументу, при яких значення кожної з функцій більше 3:

і .

Відповіді: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0) U (3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )