Правило множення чи поділу рівняння. Вирішення простих лінійних рівнянь

Для рішення лінійних рівнянь використовують два основних правила (властивості).

Властивість №1
або
правило перенесення

При перенесенні з однієї частини рівняння до іншої член рівняння змінює свій знак на протилежний.

Давайте розберемо правило перенесення з прикладу. Нехай нам потрібно розв'язати лінійне рівняння.

Згадаймо, що будь-яке рівняння має ліву і праву частину.

Перенесемо число "3" з лівої частини рівняння в праву.

Так як у лівій частині рівняння у числа «3» був знак «+», значить у праву частинурівняння "3" перенесеться зі знаком "-".

Отримане числове значення x = 2 називають коренем рівняння.

Не забувайте після розв'язання будь-якого рівняння записувати відповідь.

Розглянемо інше рівняння.

За правилом перенесення перенесемо "4x" з лівої частини рівняння в праву, змінивши знак на протилежний.

Незважаючи на те, що перед "4x" не стоїть ніякого знака, ми розуміємо, що перед "4x" стоїть знак "+".

Тепер наведемо подібні і розв'яжемо рівняння до кінця.

Властивість №2
або
правило розподілу

У будь-якому рівнянні можна розділити ліву та праву частину на те саме число.

Але ж не можна ділити на невідоме!

Розберемося з прикладу, як використовувати правило розподілу під час вирішення лінійних рівнянь.

Число «4», яке стоїть при «x», називають числовим коефіцієнтомпри невідомому.

Між числовим і невідомим коефіцієнтом завжди стоїть дія множення.

Щоб розв'язати рівняння, необхідно зробити так, щоб при «x» стояв коефіцієнт «1».

Давайте запитаємо себе: «На що потрібно розділити «4», щоб
отримати «1»?». Відповідь очевидна, потрібно розділити на «4».

Використовуємо правило поділу та розділимо ліву та праву частини рівняння на «4». Не забудьте, що ділити треба і ліву, і праву частини.

Використовуємо скорочення дробів і розв'яжемо лінійне рівняння до кінця.

Як вирішити рівняння, якщо «x» негативне

Часто в рівняннях зустрічається ситуація, коли при "x" стоїть негативний коефіцієнт. Як, наприклад, у рівнянні нижче.

Щоб розв'язати таке рівняння, знову поставимо собі запитання: «На що потрібно розділити «−2», щоб отримати «1»?». Потрібно поділити на “−2”.

Лінійні рівняння. Початковий рівень.

Хочеш перевірити свої сили та дізнатися про результат наскільки ти готовий до ЄДІ чи ОДЕ?

1. Лінійне рівняння

Це алгебраїчне рівняння, у якого повний ступіньскладових його багаточленів дорівнює.

2. Лінійне рівняння з однією змінноюмає вигляд:

Де і – будь-які числа;

3. Лінійне рівняння із двома зміннимимає вигляд:

Де, та – будь-які числа.

4. Тотожні перетворення

Щоб визначити чи є рівняння лінійним чи ні, необхідно зробити тотожні перетворення:

Що таке «лінійні рівняння»

або в усній формі– трьом друзям дали по яблуках з розрахунку, що всього є у Васі яблук.

І ось ти вже вирішив лінійне рівняння
Тепер дамо цьому терміну математичне визначення.

Лінійне рівняння – це рівняння алгебри, у якого повний ступінь складових його багаточленів дорівнює. Воно виглядає так:

Де і – будь-які числа та

Для нашого випадку з Васею та яблуками ми запишемо:

- «Якщо Вася роздасть усім трьом друзям однакову кількість яблук, у нього яблук не залишиться»

«Приховані» лінійні рівняння, або важливість тотожних перетворень

Незважаючи на те, що на перший погляд все гранично просто, при вирішенні рівнянь необхідно бути уважним, тому що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду, а й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. Наприклад:

Ми бачимо, що справа стоїть, що, за ідеєю, вже говорить про те, що рівняння не є лінійним. Мало того, якщо ми розкриємо дужки, то отримаємо ще два доданки, в яких буде, але не треба поспішати з висновками! Перш ніж судити, чи є рівняння лінійним, необхідно зробити всі перетворення і таким чином спростити вихідний приклад. При цьому перетворення можуть змінювати зовнішній вигляд, але не саму суть рівняння.

Іншими словами дані перетворення мають бути тотожнимиабо рівносильними. Таких перетворень лише два, але вони грають дуже, ДУЖЕ важливу рольпід час вирішення завдань. Розглянемо обидва перетворення на конкретних прикладах.

Перенесення вліво - вправо.

Допустимо, нам необхідно вирішити таке рівняння:

Ще у початковій школі нам казали: «з іксами – ліворуч, без іксів – праворуч». Який вираз із іксом стоїть праворуч? Правильно, а не як не. І це важливо, оскільки при неправильному розумінні цього, начебто простого питання, виходить невірна відповідь. А який вираз із іксом стоїть зліва? Правильно, .

Тепер, коли ми з цим розібралися, переносимо всі доданки з невідомими в лівий біка все, що відомо – у праву, пам'ятаючи, що якщо перед числом немає ніякого знака, наприклад, то число позитивно, тобто перед ним стоїть знак «».

Переніс? Що в тебе вийшло?

Все, що залишилося зробити – навести подібні доданки. Наводимо:

Отже, перше тотожне перетворення ми успішно розібрали, хоч впевнена, що ти і без мене його знав і активно використовував. Головне – не забувай про знаки при числах та змінюй їх на протилежні при перенесенні через знак рівності!

Множення-поділ.

Почнемо відразу ж із прикладу

Дивимось і розуміємо: що нам не подобається у цьому прикладі? Невідоме все в одній частині, відомі – в іншій, але щось нам заважає… І це щось – четвірка, бо якби її не було, все було б ідеально – ікс дорівнює числу- Саме так, як нам і потрібно!

Як можна її позбутися? Перенести праворуч ми не можемо, тому що тоді нам потрібно переносити весь множник (ми ж не можемо її взяти і відірвати від), а переносити весь множник теж немає сенсу.

Настав час згадати про поділ, у зв'язку з чим розділимо все якраз на! Все це означає і ліву, і праву частину. Так тільки так! Що в нас виходить?

Подивимося тепер інший приклад:

Чи здогадуєшся, що потрібно зробити в цьому випадку? Правильно, помножити ліву та праву частини на! Яка ти отримала відповідь? Правильно. .

Напевно, все про тотожні перетворення ти й так уже знав. Вважай, що ми просто освіжили ці знання у твоїй пам'яті і настав час для чогось більшого — Наприклад, для вирішення нашого великого прикладу:

Як ми вже говорили раніше, дивлячись на нього, не скажеш, що дане рівняння є лінійним, але нам необхідно розкрити дужки та здійснити тотожні перетворення. Тож почнемо!

Для початку згадуємо формули скороченого множення, зокрема, квадрат суми та квадрат різниці. Якщо ти не пам'ятаєш, що це таке і як розкриваються дужки, рекомендую почитати тему «Формули скороченого множення», оскільки ці навички стануть у нагоді тобі при вирішенні практично всіх прикладів, що зустрічаються на іспиті.
Розкрив? Порівнюємо:

Тепер настав час навести подібні доданки. Пам'ятаєш, як нам у тих же початкових класахговорили «не складаємо мухи з котлетами»? Ось нагадую про це. Складаємо все окремо – множники, які мають, множники, які мають й інші множники, у яких немає невідомих. Як приведеш подібні доданки, перенеси всі невідомі вліво, а все, що відомо праворуч. Що в тебе вийшло?

Як ти бачиш, ікси у квадраті зникли, і ми бачимо цілком звичайне лінійне рівняння. Залишилося лише знайти!

І насамкінець скажу ще одну дуже важливу річ про тотожні перетворення - тотожні перетворення застосовні не тільки для лінійних рівнянь, але і для квадратних, дробових раціональних та інших. Просто потрібно запам'ятати, що при перенесенні множників через знак рівності ми змінюємо знак на протилежний, а при розподілі або множенні на якесь число ми множимо/ділимо обидві частини рівняння на ОДНО і те ж число.

Що ще ти виніс із цього прикладу? Що дивлячись на рівняння не завжди можна прямо і точно визначити, чи воно є лінійним чи ні. Необхідно спочатку повністю спростити вираз, і потім судити, яким воно є.

Лінійні рівняння. приклади.

Ось тобі ще кілька прикладів для самостійного тренування - визнач, чи є рівняння лінійним і якщо так, знайди його коріння:

Відповіді:

1. Є.

2. Не є.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

Зробимо тотожне перетворення – розділимо ліву та праву частину на:

Ми бачимо, що рівняння не є лінійним, тому шукати його коріння не потрібно.

3. Є.

Зробимо тотожне перетворення - помножимо ліву і праву частину, щоб позбутися знаменника.

Подумай, чому так важливо, щоб? Якщо ти знаєш відповідь на це питання, переходимо до подальшого вирішення рівняння, якщо ні – обов'язково заглянь у тему «ОДЗ», щоб не наробити помилок у більш складних прикладах. До речі, як бачиш, ситуація, коли неможлива. Чому?
Отже, продовжуємо та перетворюємо рівняння:

Якщо ти легко з усім упорався, поговоримо про лінійні рівняння з двома змінними.

Лінійні рівняння із двома змінними

Тепер перейдемо до більш складного — лінійних рівнянь із двома змінними.

Лінійні рівнянняз двома змінними мають вигляд:

Де, і – будь-які числа в.

Як ти бачиш, вся різниця лише в тому, що до рівняння додається ще одна змінна. А так все те саме – тут немає іксів у квадраті, немає поділу на змінну і т.д. і т.п.

Який би привести тобі життєвий приклад. Візьмемо того ж Васю. Припустимо, він вирішив, що кожному з трьох друзів він дасть однакову кількість яблук, а яблука залишить собі. Скільки яблук потрібно купити Васі, якщо кожному другові він дасть по яблуку? А по? А якщо по?

Залежність кількості яблук, яку отримає кожна людина до загальної кількостіяблук, яке необхідно придбати, буде виражено рівнянням:

• – кількість яблук, яку отримає людина (або, або);
• – кількість яблук, що Вася візьме собі;
• - скільки всього яблук потрібно купити Васі з урахуванням кількості яблук на людину.

Вирішуючи це завдання, ми отримаємо, що якщо одному другу Вася дасть яблуко, йому необхідно купувати штук, якщо дасть яблука – і т.д.

І взагалі. У нас дві змінні. Чому б не збудувати цю залежність на графіку? Будуємо та відзначаємо значення наших, тобто точки, з координатами, і!

Як ти бачиш, і залежать один від одного лінійно, звідси і назва рівнянь - лінійні».

Абстрагуємось від яблук і розглянемо графічно різні рівняння. Подивися уважно на два побудовані графіки – прямий та параболи, заданими довільними функціями:

Знайди і познач на обох малюнках точки, відповідні.
Що в тебе вийшло?

Ти бачиш, що на графіку першої функції одномувідповідає один, Тобто і лінійно залежать один від одного, що не скажеш про другу функцію. Звичайно, ти можеш заперечити, що на другому графіку так само відповідає ікс — , але це лише одна точка, тобто окремий випадоктому що ти все одно можеш знайти такий, якому відповідає не тільки один. Та й збудований графік ніяк не нагадує лінію, а є параболою.

Повторюся, ще раз: графіком лінійного рівняння має бути ПРЯМА лінія.

З тим, що рівняння не буде лінійним, якщо у нас йде якоюсь мірою – це зрозуміло на прикладі параболи, хоча для себе ти можеш побудувати ще кілька простих графіків, наприклад, або. Але я тебе запевняю — жоден з них не являтиме собою ПРЯМУ ЛІНІЮ.

Не віриш? Побудуй, а потім порівняй з тим, що вийшло у мене:

А що буде, якщо ми розділимо щось на, наприклад, якесь число? Чи буде лінійна залежністьі? Не будемо міркувати, а будуватимемо! Наприклад, збудуємо графік функції.

Якось не виглядає збудоване прямою лінією… відповідно, рівняння не лінійне.
Підведемо підсумки:

1. Лінійне рівняння -це рівняння алгебри, у якого повна ступінь складових його багаточленів дорівнює.
2. Лінійне рівнянняз однією змінною має вигляд:
   , де і - будь-які числа;
   Лінійне рівнянняз двома змінними:
   , Де, і - будь-які числа.
3. Не завжди одразу можна визначити, чи є рівняння лінійним чи ні. Іноді, щоб зрозуміти це, необхідно зробити тотожні перетворення перенести вліво/вправо подібні члени, не забувши змінити знак, або помножити/розділити обидві частини рівняння на те саме число.

Коментарі

Поширення матеріалів без узгодження допустиме за наявності dofollow-посилання на сторінку-джерело.

Політика конфіденційності

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїу будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

4. Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

5. Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
6. Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
7. Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
8. Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

9. Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
10. У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Спасибі за повідомлення!

Ваш коментар прийнято, після модерації він буде опублікований на цій сторінці.

Хочете дізнатися що приховано під катом та отримувати ексклюзивні матеріали з підготовки до ОДЕ та ЄДІ? Залишіть e-mail

Рівняння - це рівність, що містить літеру, знак якої потрібно знайти. Рішення рівняння - це той набір значень букв, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність:

Нагадаємо, що для вирішення рівняннітреба доданки з невідомим перенести в одну частину рівності, а числові доданки в іншу, привести подібні і здобути таку рівність:

З останньої рівності визначимо невідоме за правилом: «один із множників дорівнює приватному, поділеному на другий множник».

Так як раціональні числаа і Ь можуть мати однакові та різні знаки, то знак невідомого визначається за правилами розподілу раціональних чисел.

Порядок розв'язання лінійних рівнянь

Лінійне рівняння необхідно спростити, розкривши дужки та виконавши дії другого ступеня (множення та розподіл).

Перенести невідомі в один бік від знака рівності, а числа - в інший бік від знака рівності, отримавши тотожну задану рівність,

Навести подібні ліворуч і праворуч від знака рівності, отримавши рівність виду ax = b.

Обчислити корінь рівняння (знайти невідоме хз рівності x = b : a),

Виконати перевірку, підставивши невідоме у задане рівняння.

Якщо отримаємо тотожність у числовій рівності, то рівняння вирішено правильно.

Особливі випадки розв'язання рівнянь

1. Якщо рівняннязадано твором, рівним 0, то для його вирішення використовуємо властивість множення: «твір дорівнює нулю, якщо один із співмножників або обидва співмножники дорівнюють нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не дорівнює 0, значить x - 3 = 0

У другого прикладу два рішення рівняння, оскільки
це рівняння другого ступеня:

Якщо коефіцієнти рівняння є звичайними дробами, то передусім треба позбутися знаменників. Для цього:

Знайти спільний знаменник;

Визначити додаткові множники кожного члена рівняння;

Помножити чисельники дробів та цілі числа на додаткові множники та записати всі члени рівняння без знаменників (загальний знаменник можна відкинути);

Перенести доданки з невідомими в одну частину рівняння, а числові доданки - в іншу від знака рівності, отримавши рівносильну рівність;

Навести таких членів;

Основні властивості рівнянь

У будь-якій частині рівняння можна наводити подібні доданки або розкривати дужку.

Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

Обидві частини рівняння можна множити (ділити) на те саме число, крім 0.

У прикладі вище для розв'язання рівняння були використані всі властивості.

Лінійні рівняння. Розв'язання лінійних рівнянь. Правило перенесення доданку.

Правило перенесення доданку.

При розв'язанні та перетворенні рівнянь часто виникає необхідність перенесення доданку на інший бік рівняння. Зауважимо, що доданок може мати як знак плюс, так і знак мінус. Згідно з правилом, переносячи доданок в іншу частину рівняння, потрібно змінити знак на протилежний. Крім того, правило працює і для нерівностей.

Прикладиперенесення доданку:

Спочатку переносимо 5x

Зверніть увагу, що знак "+" змінився на "-", а знак "-" на "+". При цьому не має значення, що переноситься доданок чи змінна, або вираз.

Переносимо 1-е доданок праворуч рівняння. Отримуємо:

Зверніть увагу, що в нашому прикладі доданок - це вираз (−3x 2 (2+7x)). Тому не можна окремо переносити (−3x 2)і (2+7x), оскільки це складові доданку. Саме тому не переносять (−3x 2 ⋅ 2) і (7x). Однак ми модем розкрити дужки та отримати 2 доданки: (−3x‑⋅ 2) і (−3×2⋅ 7x). Ці 2 доданків можна переносити окремо один від одного.

Так само перетворюють нерівності:

Збираємо кожне число з одного боку. Отримуємо:

2 частини рівняння за визначенням однакові, тому можемо віднімати з обох частин рівняння однакові вирази, і рівність буде залишатися вірним. Віднімати необхідно вираз, який у результаті необхідно перенести в інший бік. Тоді з одного боку знака «=» воно скоротиться з тим, що було. А з іншого боку рівності вираз, який ми відняли, з'явиться зі знаком «-».

Це правило використовується для вирішення лінійних рівнянь. Для вирішення систем лінійних рівнянь застосовуються інші способи.

Основи алгебри/Правило перенесення доданку

Перенесемо перший доданок у правий бік рівняння. Отримаємо:

Перенесемо усі числа в один бік. У результаті маємо:

Приклади, що ілюструють доказ

Для рівнянь

Припустимо, ми хочемо перенести всі ікси з лівої частини рівняння в праву. Віднімемо з обох частин 5 x

Тепер потрібно перевірити, чи збігаються ліва та права частини рівняння. Замінимо невідому змінну результатом, що вийшов:

Тепер можна навести такі складові:

Перенесемо спочатку 5 xз лівої частини рівняння до правої:

Тепер перенесемо число (−6) із правої частини до лівої:

Зауважте, знак плюс помінявся на мінус, а знак мінус – на плюс. Причому неважливо, чи переноситься доданок числом, змінною або цілим виразом.

Дві частини рівняння за визначенням рівні, тому можна відняти з обох частин рівняння однаковий вираз, і рівність залишиться вірною. З одного боку знака «рівно» воно скоротиться з тим, що було. З іншого боку рівності, вираз, який ми відняли, з'явиться зі знаком «мінус».

Правило для рівнянь підтверджено.

Для нерівностей

Отже, 4 – корінь рівняння 5x+2=7x-6. Оскільки йому тотожність доведено, те й нерівностей теж, за визначенням.

Рішення рівнянь, правило перенесення доданків

Мета уроку

Освітні завдання уроку:

- Вміти застосовувати правило перенесення доданків при вирішенні рівнянь;

Розвиваючі завдання уроку:

- розвивати самостійну діяльність учнів;

- розвивати мову (давати повні відповіді грамотною, математичною мовою);

Виховні завдання уроку:

- виховувати вміння правильно робити записи в зошитах та на дошці;

?Обладнання:

11. Мультимедіа
12. Інтерактивна дошка

Перегляд вмісту документа
«Урок Розв'язання рівнянь 6 кл»

УРОК МАТЕМАТИКИ 6 КЛАС

Вчитель: Тимофєєва М. А.

Мета уроку: вивчення правила перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої.

Освітні завдання уроку:

Вміти застосовувати правило перенесення доданків під час вирішення рівнянь;

Розвиваючі завдання уроку:

розвивати самостійну діяльність учнів;

розвивати мову (давати повні відповіді грамотною, математичною мовою);

Виховні завдання уроку:

виховувати вміння правильно робити записи у зошитах та на дошці;

Основні етапи уроку

1. Оргмомент, повідомлення мети уроку та форми роботи

«Якщо Ви хочете навчитися плавати,

то сміливо входите у воду,

а якщо хочете навчитися розв'язувати рівняння,

2. Сьогодні ми починаємо вивчати тему: «Рішення рівнянь» (Слайд 1)

Але ви вже вчилися розв'язувати рівняння! Тоді що ж ми вивчатимемо?

— Нові способи розв'язування рівнянь.

3. Повторимо пройдений матеріал ( Усна робота) (Слайд 2)

3). 7m + 8n – 5 m – 3n

4). - 6a + 12 b - 5a - 12b

5). 9x - 0,6y - 14x + 1,2y

Рівняння прийшло,
таємниць чимало принесло

Які вирази є рівняннями?(Слайд 3)

4. Що називається рівнянням?

Рівняння – це рівність, що містить невідоме число. (Слайд 4)

Що означає розв'язати рівняння?

Вирішити рівняння- означає знайти його коріння або довести, що їх немає.

Вирішимо усно рівняння. (Слайд 5)

Яке правило ми використовуємо під час вирішення?

- Знаходження невідомого множника.

Запишемо кілька рівнянь у зошит і вирішимо їх використовуючи правила знаходження невідомого доданку та зменшуваного: (Слайд 7)

А як розв'язати таке рівняння?

х + 5 = - 2х - 7 (Слайд 8)

Спростити ми не можемо, тому що подібні доданки знаходяться в різних частинахрівняння, отже, необхідно їх перенести.

Горять химерно фарби,
І як не мудра голова,
Ви все-таки вірте у казки
Казка завжди має рацію.

Давним-давно жили-були два королі: чорний і білий. Чорний король жив у Чорному королівстві правому березі річки, а Білий король – у Білому лівому березі. Між королівствами протікала дуже бурхлива і небезпечна річка. Переправитися через цю річку ні вплавь, ні на човні було неможливо. Потрібен був міст! Будівництво мосту йшло дуже довго, і ось нарешті міст збудували. Всім би радіти і спілкуватися один з одним, але біда: Білий король не любив чорний колір, всі жителі його королівства носили світлий одяг, а Чорний король не любив білий колірі жителі його королівства носили одяг темного кольору. Якщо хтось із Чорного королівства переходив у Біле, то відразу потрапляв у немилість Білого короля, а якщо хтось із Білого королівства переходив у Чорне, то потрапляв у немилість Чорного короля. Жителям королівств треба було щось вигадати, щоб не гнівити своїх королів. Як ви вважаєте, що вони вигадали?

Рівняння - це рівність, що містить букву, значення якої треба визначити.

У рівняннях невідоме зазвичай позначається рядковим латинською літерою. Найчастіше використовують літери «x» [ікс] та «y» [ігрок].

• Корінь рівняння- Це значення літери, при якому з рівняння виходить вірна числова рівність.
• Вирішити рівняння- означає знайти все його коріння або переконатися, що коріння немає.

Розв'язавши рівняння, завжди після відповіді записуємо перевірку.

Інформація для батьків

Шановні батьки, звертаємо вашу увагу на те, що у початковій школі та у 5 класі діти не знають тему «Негативні числа».

Тому вони повинні вирішувати рівняння, використовуючи лише властивості додавання, віднімання, множення та поділу. Методи розв'язання рівнянь для 5 класу наведено нижче.

Не намагайтеся пояснити розв'язання рівнянь через перенесення чисел та літер з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака.

Освіжити знання по поняттям, пов'язаним із додаванням, відніманням, множенням та поділом ви можете в уроці «Закони арифметики».

Розв'язання рівнянь на додавання та віднімання

Як знайти невідоме
доданок

Як знайти невідоме
зменшуване

Як знайти невідоме
віднімається

Щоб знайти невідомий доданок, Треба від суми відібрати відомий доданок.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Щоб знайти невідоме віднімання, Треба від зменшуваного відібрати різницю.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Перевірка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Перевірка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Перевірка

Розв'язання рівнянь на множення та поділ

Як знайти невідомий
множник

Як знайти невідоме
ділене

Як знайти невідомий
дільник

Щоб знайти невідомий множник, Треба добуток розділити на відомий множник.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Щоб знайти невідомий дільник, Треба ділити розділити на приватне.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Перевірка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Перевірка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Перевірка

Рівняння - це рівність, що містить літеру, знак якої потрібно знайти. Рішення рівняння - це той набір значень букв, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність:

Нагадаємо, що для вирішення рівняннітреба доданки з невідомим перенести в одну частину рівності, а числові доданки в іншу, привести подібні і здобути таку рівність:

З останньої рівності визначимо невідоме за правилом: «один із множників дорівнює приватному, поділеному на другий множник».

Оскільки раціональні числа а і Ь можуть мати однакові та різні знаки, то знак невідомого визначається за правилами розподілу раціональних чисел.

Порядок розв'язання лінійних рівнянь

Лінійне рівняння необхідно спростити, розкривши дужки та виконавши дії другого ступеня (множення та розподіл).

Перенести невідомі в один бік від знака рівності, а числа - в інший бік від знака рівності, отримавши тотожну задану рівність,

Навести подібні ліворуч і праворуч від знака рівності, отримавши рівність виду ax = b.

Обчислити корінь рівняння (знайти невідоме хз рівності x = b : a),

Виконати перевірку, підставивши невідоме у задане рівняння.

Якщо отримаємо тотожність у числовому рівністі, то рівняння вирішено правильно.

Особливі випадки розв'язання рівнянь

1. Якщо рівняннязадано твором, рівним 0, то для його вирішення використовуємо властивість множення: «твір дорівнює нулю, якщо один із співмножників або обидва співмножники дорівнюють нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не дорівнює 0, значить x - 3 = 0

У другого прикладу два рішення рівняння, оскільки
це рівняння другого ступеня:

Якщо коефіцієнти рівняння є звичайними дробами, то передусім треба позбутися знаменників. Для цього:

Знайти спільний знаменник;

Визначити додаткові множники кожного члена рівняння;

Помножити чисельники дробів та цілі числа на додаткові множники та записати всі члени рівняння без знаменників (загальний знаменник можна відкинути);

Перенести доданки з невідомими в одну частину рівняння, а числові доданки - в іншу від знака рівності, отримавши рівносильну рівність;

Навести таких членів;

Основні властивості рівнянь

У будь-якій частині рівняння можна наводити подібні доданки або розкривати дужку.

Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

Обидві частини рівняння можна множити (ділити) на те саме число, крім 0.

У прикладі вище для розв'язання рівняння були використані всі властивості.

Рівняння на множення

1) Формувати вміння будувати алгоритм з прикладу побудови алгоритму решения простих рівняньна множення, формувати вміння використовувати побудований алгоритм під час вирішення рівняння.

2) Тренувати обчислювальну навичку, вирішувати текстові завдання.

Думкові операції, необхідних етапі проектування: аналіз, синтез, порівняння, аналогія.

1 етап. Мотивація до навчальної діяльності

1) мотивувати учнів до навчальної діяльності,

2) визначити змістовні рамки уроку.

Організація навчального процесуна етапі 1:

— Яку тему зараз вивчаємо на уроках математики? (Множення та розподіл)

— У яких завданнях застосовуємо ці дії? (У рішенні прикладів, завдань)

— Хочете дізнатися, які є завдання, в яких ми можемо використовувати ці дії? (Так)

Діти, подивіться, хто сьогодні прийшов до нас на урок? Ви їх впізнали? Що ви знаєте про цих героїв? (…)

(З'являються питання). Що відбувається? Колобки спантеличені та засмучені. Вони хотіли виконати завдання, а в них уперше не вийшло. Вони не знають, як відкривати нові знання. Допоможемо? (…)

А чи можна братися за роботу з таким настроєм, як у колобків? (Не можна, не буде результату)

Давайте посміхнемося один одному і побажаємо удачі! Що ж, будемо діяти за планом відкриття нового знання. Вам він добре знайомий.

2 етап. Актуалізація знань та фіксація утруднення в пробній дії

1) актуалізація вивчених способів дій, достатніх для побудови, їх вербальна та знакова фіксація та узагальнення;

2) актуалізація розумових та пізнавальних процесів, достатніх для побудови нового знання;

3) мотивація до пробної навчальної дії та її самостійного здійснення;

4) фіксація учнями індивідуальних труднощіву виконанні пробного навчальної діїабо його обґрунтування.

Організація навчального процесу на етапі 2:

1) Актуалізація формул знаходження площі та невідомої сторони прямокутника.

З чого почнемо? (З повторення). Ми маємо повторити все, що знаємо? (Ні, тільки те, що нам знадобиться для відкриття нового знання)



— Що потрібно знайти у цьому завданні? (Площа прямокутника)

- Як знайти площу прямокутника? (Щоб знайти площу прямокутника, треба довжину помножити на ширину)

З'являється формула площі.

Учні виконують завдання.

— Чому дорівнює площа? (18 кв. м)

— Хто отримав іншу відповідь?

- У чому ваша помилка?

- Як знайти не відомий бікпрямокутника? (Щоб знайти невідому сторону прямокутника, треба площу розділити на відому сторону)

— З'являється формула знаходження невідомої сторони прямокутника.

- Складіть зворотне завдання, у якій потрібно знайти довжину прямокутника (…)

- Запишемо рішення зворотного завдання.

Учень, який склав обернену задачу, вирішує її на дошці: 18:3=6(м) – довжина

— Тепер складіть інше обернене завдання.

Учень, який склав обернену задачу, вирішує її на дошці: 18:6=3 (м) – ширина

У кого у цьому завданні не було помилок? Поставте собі знак + на маршрутному листіпоряд із повторенням. Хто припустився помилки? Чому виникла помилка? Ви зрозуміли її причину? Виправте помилку. Що ви собі поставите? (? та +).

2) Актуалізація алгоритму розв'язання рівнянь на додавання та віднімання.

— Запишіть: сума Х + 5 дорівнює 7. Як можна назвати цей запис? (Рівняння)

- Що таке рівняння? (Рівність, в якій є невідоме число, називають рівнянням)

— Що допоможе нам вирішити це рівняння? (Еталон вирішення рівнянь на додавання)

Один учень біля дошки із коментуванням. (Позначу компоненти рівняння, підкреслю частини, ціле (суму) обведу. Бачу, що невідома частина. Щоб знайти невідому частину, треба відняти від відому відому частину.

У кого у цьому завданні не було помилок? Поставте собі знак + на маршрутному аркуші поряд із повторенням. Хто припустився помилки? Чому виникла помилка? Ви зрозуміли її причину? Виправте помилку. Що ви собі поставите? (- та +).

- Чому ми повторили саме це? (Це знадобиться нам для відкриття нового знання)

- Який наступний крок? (Пробна дія) Для чого вона потрібна? (Щоб зрозуміти, чого ми не знаємо)

Вчитель роздає учням картки із завданням для пробної дії:

- Яке завдання потрібно виконати? (Вирішити рівняння)



— З якою дією? (З множенням)

— А що нового у цьому завданні? (Ми не вирішували рівняння на множення)

Спробуйте виконати це завдання. (30 сек.)

- Хто не виконав завдання?

Що ви не змогли вдіяти? (Ми не змогли вирішити рівняння)

— Хто знайшов корінь рівняння? Які результати ви отримали?

Вчитель фіксує результати на дошці поруч із пробною дією

— Обґрунтуйте свою думку.

Що ви можете зробити? (Ми не можемо обґрунтувати свою відповідь.)

У вас виникло. (Утруднення). Поставимо ... (знак питання) поруч із пробною дією на маршрутному листі.

- Який наступний крок на уроці? (Розібратися, в чому у нас скрута)

— А раз виникла скрута, треба ... (Зупинитися і подумати)

3 етап. Виявлення місця та причини скрути

1) відновити виконані операції та зафіксувати місце утруднення;

2) співвіднести свої дії з використовуваним способом дій і на цій основі виявити та зафіксувати у зовнішньої мовипричину скрути.

Організація навчального процесу на етапі 3:

— Яке завдання ви мали виконати? (Ми мали вирішити рівняння на множення)

— Як міркували, виконуючи пробну дію? (намагалися скористатися відомим алгоритмом розв'язання рівнянь…)

— У чому скрута? (Алгоритм не підходить)

Чому ж виникла скрута? (У нас немає способу для вирішення рівнянь на множення)

Ви зрозуміли, чого не знаєте? (Так). Поставте собі знак + на маршрутному аркуші поряд із третім кроком.

4 етап. Побудова проекту виходу із скрути

1) узгодити та зафіксувати мету та тему уроку;

2) побудувати план та визначити засоби досягнення мети.

Організація навчального процесу на етапі 4:

— Ми зрозуміли, чого не знаємо, тепер можемо… (Самі відкривати спосіб)

Спочатку потрібно поставити мету. Якщо ви не знаєте способу розв'язання рівнянь на множення, то ваша мета… (Відкрити спосіб розв'язання таких рівнянь)

— Сформулюйте тему нашого уроку (…)

Написати тему на дошці:

— Діятимемо, як справжні сищики. Складемо план дій. Слайд

— Подумаймо, що нам може допомогти. Згадайте, ви повторили на початку уроку. (Алгоритм розв'язання рівнянь на додавання, формулу знаходження площі)

— Яка формула може допомогти нам? (Формула знаходження площі та невідомої сторони прямокутника)

— Пробуємо застосувати формулу площі прямокутника.

— Пропоную скористатися відомим вам алгоритмом розв'язання рівнянь на додавання.

Алгоритм.

2. Виділяю ціле та частини.
3. Що невідомо?
4. Застосовую правило.
5. Знаходжу невідоме х.
6. Що в цьому алгоритмі вам не підходить? (1 пункт)
7. Коли у вас були рівняння на додавання, ви їх компоненти співвідносили з частинами та цілим, використовуючи відрізки. А із чим ви співвідносили компоненти множення? (З площею)
8. Що використовуватимете замість відрізка? (Модель прямокутника)

Замінимо п.1 на Позначимо компоненти рівняння моделі прямокутника.

— Інші пункти алгоритму вам підходять?

— Використовуючи цей алгоритм, можна спробувати розв'язати рівняння?

— Що зробимо, щоб було зручно користуватися цим правилом завжди? (Запишемо правило в загальному вигляді)

Запишемо правило у загальному вигляді.

— Якими засобами користуватимемося?

Пробуємо застосувати формулу площі прямокутника.

Кошти: модель прямокутника, алгоритм.

5 етап. Реалізація побудованого проекту

1) реалізувати побудований проект відповідно до плану;

2) зафіксувати методи записи виразів на зразку;

3) організувати фіксацію подолання скрути;

4) організувати уточнення загального характерунового знання.

Організація навчального процесу на етапі 5:

Я пропоную попрацювати вам у групах. Назвіть правила роботи у групах.

Правила роботи у групах

1. У групі має бути відповідальний.

2. Один каже, інші слухають.

3. Свою незгоду висловлювати чемно.

4. Працювати мають усі.

Учні об'єднуються у групи.

— Виконайте план у групах.

Відповідальний від кожної групи одержує завдання.

1. Скористаюся моделлю прямокутника, нанесу компоненти рівняння на модель.



2. Застосую правило площі прямокутника. (Щоб знайти невідому сторону прямокутника, треба площу розділити на відому сторону)

3. Знайду корінь рівняння

Ми окреслили на моделі прямокутника числа. Видно, що невідома сторона прямокутника. Щоб знайти невідому сторону прямокутника, треба площу розділити на певну сторону. Виконали обчислення та знайшли корінь рівняння, х=5.

— Що лишилося зробити за планом? (Записати рівняння у загальному вигляді)

— Як записати рівняння у загальному вигляді? (За допомогою літер латинського алфавіту)



— Як позначте у рівнянні числа, які є сторонами прямокутника? (Підкреслимо)

— Число, яке є площею, пропоную взяти у прямокутник, чому це зручно? (Нагадує про формулу, якою ми користуємось)



— Чи потрібно буде складати інший стандарт для випадку, де їх стоїть на місці іншого множника? (Ні)

- Чому? (Можна скористатися переміщувальною властивістюмноження)

- Як перевірити своє відкриття? Які ключі до знань ми маємо? (Подивитися у підручнику)

Відкрийте підручники на сторінці 1. Прочитайте правило.

Молодці! Ви допомогли колобкам. Слайд (оплески).

Повернімося тепер до пробної дії.

Дописати потрібне на дошці.

Чи змогли ви подолати скруту? (Так). Поставимо собі знак + на маршрутному аркуші.

На дошці під кроком “Сам знайду спосіб” прикріпити нові зразки.

Що ви тепер зможете робити за допомогою нових знань? (Вирішувати рівняння)

6 етап. Первинне закріплення

1) організувати засвоєння дітьми нового способу дій під час вирішення рівнянь на множення зі своїми проговорюванням у зовнішній промови.

Організація навчального процесу на етапі 6:

1) Фронтальна робота. На дошці ліва частина-алгоритм, права – рівняння + модель.

2) 4 · х = 8; 3 · х = 9; х · 4 = 12.

3) Вчитель відкриває на дошці завдання закріплення. Учні по ланцюжку виходять до дошки та виконують завдання з коментуванням. Варіант коментування:

— Спочатку позначу площу прямокутника квадратом, а сторони підкреслю. У цьому рівнянні невідома сторона прямокутника. Отже, треба площу прямокутника розділити на певну сторону. Вісім розділити на 4 буде 2, дорівнює 2.

Подальше виконання завдання коментується аналогічно.

Фізмінутка гімнастика для очей.

Ми трохи відпочинемо. і на відповідь знайдемо.
На шкарпетки встанемо, руки вгору потягнемо.
Руки на пояс, нахили вперед.
Тепер пострибаємо і сядемо на місця!

Зараз усі відпочили, і нова турбота:

Потрібно зробити на "відмінно" парну роботу.

Вчитель роздає картки із завданням для роботи у парах.

Учні виконують завдання у парах із коментуванням. Перевірка організується на зразок Д-7.

- Перевірте свої результати.

Виправте помилки. У кого у цьому завданні не було помилок? Поставте собі знак + на маршрутному аркуші поряд із 5-м кроком. Хто припустився помилки? Чому виникла помилка? Ви зрозуміли її причину? Виправте помилку. Що ви собі поставите? (? і +)

- Який наступний крок на уроці? (Перевірити себе, чи впораємося ми самостійно)

7 етап. Самоконтроль із самоперевіркою за зразком

1) тренувати здатність до самоконтролю та самооцінки;

2) перевірити вміння розв'язувати рівняння на множення.

Організація навчального процесу на етапі 7:

— Виконайте ці рівняння самостійно. Учні виконують самостійну роботу на картках

- Перевірка організується за стандартом Д-8.

- Зробіть висновок. (Потрібно ще потренуватися.)

- Зробіть висновок. (Ми все добре засвоїли.)

- У кого в цьому завданні не було помилок? Поставте собі знак + на маршрутному аркуші поряд із 5-м кроком. Хто припустився помилки? Чому виникла помилка? Ви зрозуміли її причину? Виправте помилку. Що ви собі поставите? (? та +).

8 етап. Включення в систему знань та повторення

1) включити нове знання до системи знань;

2) тренувати вміння розв'язувати задачі.

Організація навчального процесу на етапі 8:

— Що потрібно знати, щоб правильно розв'язувати рівняння на множення? (Таблицю множення та поділу, формулу площі). Пропоную вам розв'язати задачу №4 стор.2.

Учні виконують завдання. Перевірка організується на зразок Д-9.

- Хто з вас помилився?

- У чому помилка? (У виборі правила, у обчисленнях, …)

9 етап. Рефлексія навчальної діяльності на уроці

Цілі:

1) зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;

2) оцінити свою роботу та роботу класу на уроці;

4) намітити напрями майбутньої навчальної діяльності;

3) обговорити домашнє завдання.

Організація навчального процесу на етапі 9:

- Яку мету ви перед собою ставили? (…)

— Чи досягли ви цілі? (Докажіть)

— Я пропоную оцінити свою роботу на уроці. Подивіться ще раз на свої плани уроку, подивіться скільки у вас плюсів.

- На звичайній дошці зображення колобків окремо. Один посміхається. Ті з вас, хто вважає, що зрозумів та запам'ятав нову тему, візьміть знаки окликуі прикріпіть їх поруч із усміхненим Колобком. Ті, хто в чомусь ще не впевнений, у кого залишилися питання, хто припустився помилок у самостійної роботи- Прикріпіть знак запитанняпоряд із серйозним Колобком. Ви потренуєтесь і обов'язково подолаєте свою скруту.

— Ви сьогодні дуже добре попрацювали, але чи це означає, що більше не треба тренуватися? (Треба виконати домашню роботу)

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Розв'язання рівнянь множенням

Невідома величина може бути пов'язана з відомою величиною не тільки знаком + або -, але може бути розділенана якусь величину, як у цьому рівнянні: $ frac = b $.

Тут рішення може бути знайдено, як у попередніх прикладах, перенесенням члена рівняння. Але якщо обидва члени рівняння помножитина a, рівняння набуде вигляду
$x = ab.$

Тобто знаменник дробу у лівій частині скорочується. Це може бути підтверджено властивостями дробів.

Коли невідома величина розділенана відому величину, рівняння вирішується шляхом множеннякожної сторони на цю відому величину.

Ті самі переноси повинні бути зроблені в цьому випадку, як і в попередніх прикладах. Однак слід пам'ятати, що множити необхідно коженчлен рівняння.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння $frac + a = b + d$
Помножуємо обидві сторони на $c$
Добуток буде $x + ac = bc + cd$
І $ x = bc + cd - ac $.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння $\frac + d = h$
Помножуємо на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
І $ x = ag + bh - ad - bd.

Коли невідоме значеннязнаходиться в знаменникадроби, рівняння вирішується схожим способом, тобто множенням рівняння знаменник.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння $\frac + 7 = 8$
Помножуючи на $10 - x$ $6 + 70 - 7x = 80 - 8x$
Тоді $ x = 4 $.

Хоча це й не обов'язково, але часто дуже зручно позбутися знаменника дробу, що складається тільки з відомихвеличин. Це можна зробити, схожим способом, коли позбавляються від знаменника, що включає невідому величину.

Візьмемо для прикладу $\frac = \frac + \frac $
Помножуємо на a $x = \frac + \frac $
Множимо на b $bx = ad + \frac $
Помножуємо на $bcx = acd + abh$.

Або ми можемо помножити на твір всіх знаменників відразу.

У цьому самому рівнянні $\frac = \frac + \frac $
Помножуємо члени на abc $\frac = \frac + \frac $

Після скорочення кожного однакового значенняв одному дробі отримаємо $bcx = acd + abh$, як і в попередньому варіанті. Звідси,

У рівнянні можна позбутися дробів, помножуючи кожну сторону рівняння на все знаменники.

При звільненні від дробів у рівнянні необхідно дотримуватися правильності написання знаків та коефіцієнтів кожного дробу в процесі розкриття дужок

Картка-шпаргалка «Рішення рівнянь. Як знайти невідоме», множення та поділ, 11х20 см



13. Характеристики
14. Опис
15. Задати питання
16. Залишити відгук
• Загальні
• Торгова марка Атмосфера свята
• Артикул 1060173
• Сертифікат Не підлягає сертифікації
• Країна Росія
• Упаковка та фасування
• У боксі 2000 шт
• Фасування по 20 шт
• Індивідуальна упаковка Без упаковки
• Розмір упаковки 0,1 см × 6 см × 13 см
• Габарити та вага
• Розмір 0,1 см × 7 см × 13 см
• Вага 3 г
• Особливості
• Щільність, г/м² 190
• Оздоблення Без оздоблення
• Для кого Унісекс
• Тематика свята
• Адресат Без адресата
• Матеріал Картон
• Шкільний предмет Математика

Росія входить до десятки найбільш читаючих країн світу! Інтерес до читання у наших співвітчизників зростає рік у рік, що не може не тішити, адже це чудова і дуже корисна звичка.

Вивчаючи різну літературу, Ви можете отримати дуже багато цінної інформації, розширити кругозір, словниковий запаста стати ерудованим. Крім того, книга - це чудовий спосіб розслабитися та із задоволенням провести час. Нехай Картка-шпаргалка «Рішення рівнянь. Як знайти невідоме», множення та поділ, 11х20 см стане черговим корисним виданням у вашій колекції.

Сіма-ленд має право самостійно та без повідомлення користувачів відбирати питання для публікації. Ми не розміщуємо питання, які:

• не належать до тематики роботи магазину, здійснення покупок у ньому;
• містять ненормативну лексику, висловлювання образливого характеру;

Ми не публікуємо питання, в яких містяться:

• посилання на інші веб-сайти, а також згадки про конкретних продавців та імпортерів товарів;

Сіма-ленд залишає за собою право видалити опубліковане питання у будь-який час, а також самостійно визначати термін, протягом якого питання вважаються актуальними та на який вони публікуються в рамках сайту Сіма-ленд.

Ми не беремо на себе зобов'язань повідомляти користувачів про причини відхилення та видалення раніше опублікованих питань.

Якщо користувач ставить запитання, він погоджується отримувати повідомлення від сайту Сіма-ленд про нові відповіді на свої запитання.

Сіма-ленд має право самостійно та без повідомлення користувачів відбирати відгуки для публікації. Ми не розміщуємо відгуки, які:

• не відносяться до реальному досвідувикористання цього товару;
• не містять корисної інформаціїдля інших користувачів;
• містять посилання на інші веб-сайти.

Ми не публікуємо добірки та огляди товарів, в яких містяться:

• посилання на інші веб-сайти у тексті добірки та огляду, а також згадки конкретних продавців та імпортерів товарів;
• твердження, що ганьблять честь, гідність і ділову репутаціютретіх осіб (у тому числі магазинів, виробників та імпортерів товарів);
• матеріали (у тому числі у вигляді тексту, відео, графічних зображень, коду), що порушують права третіх осіб, у тому числі права на результати інтелектуальної діяльностіта засоби індивідуалізації.

Сіма-ленд залишає за собою право видалити опублікований відгук, добірку та огляд товарів у будь-який час, а також самостійно визначати термін, протягом якого відгуки вважаються актуальними та на який вони публікуються в рамках сайту Сіма-ленд.

Ми не беремо на себе зобов'язань повідомляти користувачів про причини відхилення публікації та видалення раніше опублікованих відгуків, оцінок, добірок та оглядів товарів.

Якщо користувач відповідає на відгук або запитання до нього, він погоджується отримувати повідомлення від сайту Сіма-ленд про нові відповіді на свої коментарі.

www.sima-land.ru

• Програма літнього оздоровчого табору з денним перебуваннямдітей Укладачі: Пилипей О.М. (1 кв. категорія) Мелентьєва І.М. (1 кв. категорія) Демидова О.Б. (1 кв. категорія) Вік дітей: 5 -15 років […]
• Як у податковому обліку відобразити продаж основних засобів При продажу основних засобів оформіть первинні облікові документи, затверджені постановою Держкомстату Росії від 21 січня 2003 № 7 (ст. 2, 5, […]
• Податок на відсотки за вкладами: доведеться платити? Податки на відсотки за вкладами фізичних осібу Росії діють і сьогодні. У яких випадках клієнт має сплатити податки з процентних доходів за депозитами? З […]

на даному уроцідетально розглянуто порядок виконання арифметичних дійу виразах без дужок та з дужками. Учням надається можливість у ході виконання завдань визначити, чи залежить значення виразів від порядку виконання арифметичних дій, дізнатися чи відрізняється порядок арифметичних дій у виразах без дужок та з дужками, потренуватися у застосуванні вивченого правила, знайти та виправити помилки, допущені щодо порядку дій.

У житті ми постійно виконуємо якісь дії: гуляємо, вчимося, читаємо, пишемо, вважаємо, усміхаємося, сваримося і миримось. Ці дії ми виконуємо в різному порядку. Іноді їх можна поміняти місцями, інколи ж ні. Наприклад, збираючись вранці до школи, можна спочатку зробити зарядку, потім заправити ліжко, а навпаки. Але не можна спочатку піти до школи, а потім одягти одяг.

А чи в математиці обов'язково виконувати арифметичні дії в певному порядку?

Давайте перевіримо

Порівняємо вирази:
8-3+4 та 8-3+4

Бачимо, що обидва вирази абсолютно однакові.

Виконаємо дії в одному виразі зліва направо, а в іншому справа наліво. Числами можна встановити порядок виконання дій (рис. 1).

Мал. 1. Порядок дій

У першому виразі ми спочатку виконаємо дію віднімання, а потім до результату додамо число 4.

У другому виразі спочатку знайдемо значення суми, а потім з 8 віднімемо отриманий результат 7.

Бачимо, що значення виразів виходять різні.

Зробимо висновок: порядок виконання арифметичних дій міняти не можна.

Дізнаємося правило виконання арифметичних дій у виразах без дужок.

Якщо вираз без дужок входять лише додавання і віднімання чи лише множення і розподіл, то дії виконують у порядку, у якому написані.

Потренуємося.

Розглянемо вираз

У цьому виразі є лише дії додавання та віднімання. Ці дії називають діями першого ступеня.

Виконуємо дії ліворуч праворуч по порядку (рис. 2).



Мал. 2. Порядок дій

Розглянемо другий вираз

У цьому виразі є лише дії множення та поділу - це дії другого ступеня.

Виконуємо дії ліворуч праворуч по порядку (рис. 3).



Мал. 3. Порядок дій

У якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо у виразі є не тільки дії додавання та віднімання, а й множення та поділу?

Якщо вираз без дужок входять як дії додавання і віднімання, а й множення і поділу, чи обидві цих дії, спочатку виконують по порядку (зліва направо) множення і поділ, та був додавання і віднімання.

Розглянемо вираз.

Розмірковуємо так. У цьому виразі є дії додавання та віднімання, множення та поділу. Діємо за правилом. Спочатку виконуємо по порядку (зліва направо) множення та поділ, а потім додавання та віднімання. Розставимо порядок дій.

Обчислимо значення виразу.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

У якому порядку виконуються арифметичні дії, якщо вираз має дужки?

Якщо у виразі є дужки, то спочатку обчислюють значення виразів у дужках.

Розглянемо вираз.

30 + 6 * (13 - 9)

Ми бачимо, що в цьому виразі є дія в дужках, отже, цю дію виконаємо першою, потім по порядку множення та додавання. Розставимо порядок дій.

30 + 6 * (13 - 9)

Обчислимо значення виразу.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Як потрібно міркувати, щоб правильно встановити порядок арифметичних дій у числовому виразі?

Перш ніж приступити до обчислень, треба розглянути вираз (з'ясувати, чи є в ньому дужки, які дії є) і тільки після цього виконувати дії в наступному порядку:

1. події, записані в дужках;

2. множення та розподіл;

3. додавання та віднімання.

Схема допоможе запам'ятати це нескладне правило(Рис. 4).



Мал. 4. Порядок дій

Потренуємося.

Розглянемо вирази, встановимо порядок дій та виконаємо обчислення.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Діятимемо за правилом. У виразі 43 - (20 - 7) +15 є дії в дужках, а також дії додавання та віднімання. Встановимо порядок дій. Першим дією виконаємо дію в дужках, а потім по порядку зліва направо віднімання та додавання.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

У виразі 32 + 9 * (19 - 16) є дії у дужках, а також дії множення та додавання. За правилом першим виконаємо дію в дужках, потім множення (число 9 множимо на результат, отриманий при відніманні) і додавання.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

У виразі 2*9-18:3 відсутні дужки, зате є дії множення, поділу та віднімання. Діємо за правилом. Спочатку виконаємо зліва направо множення та розподіл, а потім від результату, отриманого при множенні, віднімемо результат, отриманий при розподілі. Тобто перша дія – множення, друга – розподіл, третя – віднімання.

2*9-18:3=18-6=12

Дізнаємось, чи правильно визначено порядок дій у наступних виразах.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Розмірковуємо так.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

У цьому виразі дужки відсутні, значить, спочатку виконуємо зліва направо множення або поділ, потім додавання або віднімання. У цьому вираженні перша дія - розподіл, друга - множення. Третя дія має бути додавання, четверте - віднімання. Висновок: порядок дій визначено правильно.

Знайдемо значення цього виразу.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продовжуємо міркувати.

У другому виразі є дужки, значить, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або поділ, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - поділ, третя - додавання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

У цьому виразі також є дужки, отже, спочатку виконуємо дію в дужках, потім зліва направо множення або поділ, додавання або віднімання. Перевіряємо: перша дія - у дужках, друга - множення, третя - віднімання. Висновок: порядок дій визначено неправильно. Виправимо помилки, знайдемо значення виразу.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Виконаємо завдання.

Розставимо порядок дій у виразі, використовуючи вивчене правило (рис. 5).



Мал. 5. Порядок дій

Ми не бачимо числових значеньтому не зможемо знайти значення виразів, однак потренуємося застосовувати вивчене правило.

Діємо за алгоритмом.

У першому виразі є дужки, отже, перша дія в дужках. Потім зліва направо множення і поділ, потім зліва направо віднімання та додавання.

У другому виразі також є дужки, отже, першу дію виконуємо у дужках. Після цього ліворуч праворуч множення і розподіл, після цього - віднімання.

Перевіримо себе (рис. 6).



Мал. 6. Порядок дій

Сьогодні на уроці ми познайомилися з правилом порядку виконання дій у виразах без дужок та з дужками.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.
1. Festival.1september.ru ().
2. Сосновоборськ-субчества.ру ().
3. Openclass.ru().

Домашнє завдання

1. Визнач порядок дій у даних висловлюваннях. Знайди значення виразів.

2. Визнач, у якому вираженні такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. розподіл;. 3. додавання; 4. віднімання; 5. додавання. Знайди значення цього виразу.

3. Склади три вирази, в яких такий порядок виконання дій:

1. множення; 2. додавання; 3. віднімання

1. додавання; 2. віднімання; 3. додавання

1. множення; 2. розподіл; 3. додавання

Знайди значення цих виразів.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється дорівнює нулю. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливо - рівняння звелося до конструкції $ 0 \ cdot x = 0 $. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: мова йделише про окремих доданків. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертому кроці: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що у даного рівняннярішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що розв'язання рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко та грамотно виконувати прості діїпризводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це по наступному правилу: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі хотів би нагадати учням, що таке алгебраїчна сума. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми отримали остаточне рішення, Переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!