Чудова точка бісектриси. Дослідницький проект чудові точки трикутника

© Кугушева Наталія Львівна, 2009 Геометрія, 8 клас ТРИКУТНИКА ЧОТИРИ ПРИМІТНІ ТОЧКИ

Точка перетину медіан трикутника Точка перетину бісектрис трикутника Точка перетину висот трикутника Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника

Медіаною (BD) трикутника називається відрізок, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони. А В З D Медіана

Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі тяжкості трикутника) і діляться цією точкою щодо 2:1, рахуючи від вершини. АМ: МА1 = ВМ: МВ1 = СМ: МС1 = 2:1. А А 1 В В 1 М З С 1

Бісектрисою (AD) трикутника називається відрізок бісектриси внутрішнього кута трикутника.

Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін. Назад: кожна точка, що лежить усередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі. А М В С

Всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці-центрі вписаного в трикутник кола. Радіус кола (ОМ) – перпендикуляр, опущений з центру (т.о.) на бік трикутника

ВИСОТА Висотою (С D) трикутника називається відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону. A B C D

Висоти трикутника (або їхнього продовження) перетинаються в одній точці. А А 1 В 1 З 1

Серединний перпендикуляр Серединним перпендикуляром (DF) називається пряма, перпендикулярна сторонітрикутника і ділить її навпіл. А D F B C

А М В m O Кожна точка серединного перпендикуляра (m) до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Назад: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярідо нього.

Всі серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці-центрі описаного біля трикутника кола. А В С О Радіусом описаного кола є відстань від центру кола до будь-якої вершини трикутника (ОА). m n p

Завдання для учнів Побудуйте за допомогою циркуля та лінійки коло, вписане у тупокутний трикутник. Для цього: Побудуйте бісектрису в тупокутному трикутнику за допомогою циркуля та лінійки. Точка перетину бісектрис - центр кола. Побудуйте радіус кола: перпендикуляр із центру кола на бік трикутника. Побудуйте коло, вписане в трикутник.

2. Побудуйте за допомогою циркуля та лінійки коло, описане біля тупокутного трикутника. Для цього: Побудуйте серединні перпендикуляри до сторон тупокутного трикутника. Точка перетину цих перпендикулярів – центр описаного кола. Радіус кола - відстань від центру до будь-якої вершини трикутника. Побудуйте коло, описане біля трикутника.

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………………3

Глава 1.

1.1 Трикутник………………………………………………………………………………..4

1.2. Медіани трикутника

1.4. Висоти у трикутнику

Висновок

Список використаної літератури

Буклет

Вступ

Геометрія - це розділ математики, що розглядає різні постаті та його властивості. Геометрія починається із трикутника. Ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії; але він не лише символ, трикутник – атом геометрії.

У своїй роботі я розгляну властивості точок перетину бісектрис, медіан і висот трикутника, розповім про чудові їх властивості та лінії трикутника.

До таких точок, що вивчаються в шкільному курсігеометрії, відносяться:

а) точка перетину бісектрис (центр вписаного кола);

б) точка перетину серединних перпендикулярів (центр описаного кола);

в) точка перетину висот (ортоцентр);

г) точка перетину медіан (центроїд).

Актуальність: розширити свої знання про трикутник,властивості йогочудових точок.

Ціль: дослідження трикутника на його чудові точки, вивчення їхкласифікацій та властивостей.

Завдання:

1. Вивчити необхідну літературу

2. Вивчити класифікацію чудових точок трикутника

3. Вміти будувати чудові точки трикутника.

4. Узагальнити вивчений матеріал для оформлення буклету.

Гіпотеза проекту:

вміння знаходити чудові точки у будь-якому трикутнику, дозволяє вирішувати геометричні завданняна побудову.

Глава 1. Історичні відомості про чудові точки трикутника

У четвертій книзі "Початок" Евклід вирішує завдання: "Вписати коло у цей трикутник". З рішення випливає, що три бісектриси внутрішніх кутівтрикутники перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. З вирішення іншого завдання Евкліда випливає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника у тому серединах, теж перетинаються у одній точці – центрі описаного кола. У "Початках" не йдеться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром ( грецьке слово"ортос" означає "прямий", "правильний"). Ця пропозиція була, однак, відома Архімеду, Паппу, Проклу.

Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжкості (барицентр) трикутника. На вищезгадані чотири точки було звернено особливу увагу, і починаючи з XVIII століття вони були названі "чудовими" або "особливими" точками трикутника.

Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних з цими та іншими точками, стало початком для створення нової гілки елементарної математики– "геометрії трикутника" або "нової геометрії трикутника", одним із родоначальників якої став Леонард Ейлер. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше "прямою Ейлера".

1. Трикутник

Трикутник - геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки -вершини трикутника, відрізки -сторони трикутник.

У А, В, С – вершини

АВ, НД, СА - сторони

А З

З кожним трикутником пов'язані чотири точки:

Точка перетину медіан;

Точка перетину бісектрис;

Точка перетину висот.

Точка перетину серединних перпендикулярів;

1.2. Медіани трикутника

Медина трикутника ― , що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (Малюнок 1). Точка перетину медіани зі стороною трикутника називається основою медіани.

Малюнок 1. Медіани трикутника

Побудуємо середини сторін трикутника і проведемо відрізки, що з'єднує кожну з вершин із серединою протилежної сторони. Такі відрізки називаються медіаною.

І знову ми спостерігаємо, що ці відрізки перетинаються в одній точці. Якщо ми виміряємо довжини відрізків медіан, то можна перевірити ще одну властивість: точка перетину медіан ділить всі медіани щодо 2:1, рахуючи від вершин. І ще трикутник, який спирається на вістря голки в точці перетину медіан, знаходиться в рівновазі! Крапка, що має таку властивість, називається центром ваги (барицентр). Центр рівних масіноді називають центроїдом. Тому властивості медіан трикутника можна сформулювати так: медіани трикутника перетинаються у центрі тяжкості і точкою перетину діляться щодо 2:1, рахуючи від вершини.

1.3. Бісектриси трикутника

Бісектрисою називається бісектриси кута, проведений від вершини кута до її перетину з протилежною стороною. Трикутник має три бісектриси, що відповідають трьом його вершинам (Малюнок 2).

Малюнок 2. Бісектриса трикутника

У довільному трикутнику ABC проведемо бісектриси його кутів. І знову при точній побудові всі три бісектриси перетнуться в одній точці D. Точка D – теж незвичайна: вона рівновіддалена від усіх трьох сторін трикутника. Це можна переконатися, якщо опустити перпендикуляри DA 1, DB 1 і DC1 на сторони трикутника. Усі вони рівні між собою: DA1 = DB1 = DC1.

Якщо провести коло з центром у точці D і радіусом DA 1, то вона торкатиметься всіх трьох сторін трикутника (тобто матиме з кожною з них лише одну загальну точку). Таке коло називається вписаним у трикутник. Отже, бісектриси кутів трикутника перетинаються в центрі вписаного кола.

1.4. Висоти у трикутнику

Висота трикутника - , опущений з вершини на протилежний бікабо пряму, що збігається з протилежною стороною. Залежно від типу трикутника висота може утримуватися всередині трикутника (для трикутника), збігатися з його стороною (є трикутника) або проходити поза трикутником у тупокутного трикутника (Малюнок 3).

Рисунок 3. Висоти у трикутниках

Якщо трикутнику побудувати три висоти, всі вони перетинуться у одній точці H. Ця точка називається ортоцентром. (Малюнок 4).

За допомогою побудов можна перевірити, що в залежності від виду трикутника ортоцентр розташовується по-різному:

у гострокутного трикутника – усередині;

у прямокутного – на гіпотенузі;

у тупокутного – зовні.

Малюнок 4. Ортоцентр трикутника

Таким чином, ми познайомилися з ще однією чудовою точкою трикутника і можемо сказати, що: висоти трикутника перетинаються в ортоцентрі.

1.5. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника

Серединний перпендикуляр до відрізка - це пряма, перпендикулярна даному відрізку і через його середину.

Накреслимо довільний трикутник ABC та проведемо серединні перпендикуляри до його сторін. Якщо побудова виконано точно, то всі перпендикуляри перетнуться в одній точці – точці О. Ця точка рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Іншими словами, якщо провести коло з центром у точці О, що проходить через одну з вершин трикутника, то вона пройде і через дві інші його вершини.

Коло, що проходить через усі вершини трикутника, називається описаним біля нього. Тому встановлену властивість трикутника можна сформулювати так: серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в центрі описаного кола (Малюнок 5).

Малюнок 5. Трикутник вписаний у коло

Глава 2. Дослідження чудових точок трикутника.

Дослідження висоти у трикутниках

Усі три висоти трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається ортоцентр трикутника.

Висоти гострокутного трикутника розташовані всередині трикутника.

Відповідно, точка перетину висот також знаходиться усередині трикутника.

У прямокутному трикутнику дві висоти збігаються зі сторонами. (Це висоти, проведені з вершин гострих кутівдо катетів).

Висота, проведена до гіпотенузи, лежить усередині трикутника.

AC - висота, проведена з вершини до сторони AB.

AB – висота, проведена з вершини B до сторони AC.

AK – висота, проведена з вершини прямого кутаА до гіпотенузи ЗС.

Висоти прямокутного трикутника перетинаються у вершині прямого кута (А – ортоцентр).

У тупокутному трикутнику всередині трикутника лежить лише одна висота - та, яка проведена з вершини тупого кута.

Дві інші висоти лежать поза трикутником і опущені до продовження сторін трикутника.

AK – висота, проведена до сторони BC.

BF – висота, проведена до продовження сторони АС.

CD – висота, проведена до продовження сторони AB.

Точка перетину висот тупокутного трикутника також знаходиться поза трикутником:

H – ортоцентр трикутника ABC.

Дослідження бісектрис у трикутнику

Бісектриса трикутника є частиною бісектриси кута трикутника (променя), яка знаходиться всередині трикутника.

Всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Точка перетину бісектрис у гострокутному, тупокутному та прямокутному трикутниках, Центр вписаної в трикутник кола і знаходиться всередині.

Дослідження медіан у трикутнику

Так як у трикутника три вершини і три сторони, то і відрізків, що з'єднують вершину і середину протилежної сторони, також три.

Дослідивши ці трикутники, я зрозумів, що в будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром тяжкості трикутника.

Дослідження серединних перпендикулярів до сторони трикутника

Серединний перпендикуляр Трикутник – це перпендикуляр, проведений до середини сторони трикутника.

Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, є центром описаного кола.

Точка перетину серединних перпендикулярів гострокутному трикутникулежить усередині трикутника; у тупокутному – поза трикутником; у прямокутному – на середині гіпотенузи.

Висновок

У ході виконаної роботи ми приходимо до таких висновків:

Мета досягнута:досліджували трикутник та знайшли його чудові точки.

Поставлені завдання вирішено:

1). Вивчили необхідну літературу;

2). Вивчили класифікацію чудових точок трикутника;

3). Навчилися будувати чудові точки трикутника;

4). Узагальнили вивчений матеріал для оформлення буклету.

Гіпотеза, що вміння знаходити чудові точки трикутника, допомагає у вирішенні завдань на побудову підтвердилася.

У роботі послідовно викладаються прийоми побудови чудових точок трикутника. історичні відомостіпро геометричні побудови.

Дані з цієї роботи можуть стати в нагоді на уроках геометрії в 7 класі. Буклет може стати довідником з геометрії з викладеної теми.

Список літератури

Підручник. Л.С. Атанасян «Геометрія 7-9 класиМнемозина,2015.

Вікіпедіяhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрія#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Портал Алі Вітрила

Ведучий освітній порталРосії http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Міністерство загальної та професійної освіти Свердловської області.

МОУО м. Єкатеринбург.

Освітня установа – МОУСОШ № 212 «Єкатеринбурзький культурологічний ліцей»

Освітня галузь – математика.

Предмет – геометрія.

Чудові точки трикутника

Референт: учень 8 класу

Селицький Дмитро Костянтинович.

Науковий керівник:

Рабканов Сергій Петрович.

Єкатеринбург, 2001

Вступ 3

Описова частина:

Ортоцентр 4

Іцентр 5

Центр тяжкості 7

Центр описаного кола 8

Пряма Ейлера 9

Практична частина:

Ортоцентричний трикутник 10

Висновок 11

Список литературы 11

Вступ.

Геометрія починається із трикутника. Ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії. Постійно відкриваються нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі властивості трикутника, потрібно багато часу. Мене зацікавили так звані Чудові точки трикутника. Прикладом таких точок є точка перетину бісектрис. Чудово те, що якщо взяти три довільні точки простору, побудувати трикутник і провести бісектриси, то вони (бісектриси) перетнуться в одній точці! Здавалося б, це неможливо, тому що ми взяли довільні точки, але це правило діє завжди. Подібні властивості мають і інші «чудові точки»

Після прочитання літератури на цю тему, я зафіксував собі визначення та властивості п'яти чудових точок і трикутника. Але на цьому моя робота не закінчилася, мені захотілося дослідити ці точки.

Тому метаданої роботи – вивчення деяких чудові властивості трикутника, та вивчення ортоцентричного трикутника. У процесі досягнення поставленої мети можна виділити такі етапи:

Підбір літератури за допомогою викладача

Вивчення основних властивостейчудових точок та ліній трикутника

Узагальнення цих властивостей

Складання та розв'язання задачі, пов'язаної з ортоцентричним трикутником

Отримані результати виклав у цій науково-дослідній роботі. Усі креслення я виконав із використанням комп'ютерної графіки (векторний графічний редактор CorelDRAW).

Ортоцентр. (Точка перетину висот)

Доведемо, що висоти перетинаються в одній точці. Проведемо через вершини А, Уі Зтрикутника АВСпрямі, паралельні протилежним сторонам. Ці прямі утворюють трикутник А 1 У 1 З 1 . висоти трикутника АВСє серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 1 У 1 З 1 . отже, вони перетинаються в одній точці – центрі описаного кола трикутника А 1 У 1 З 1 . Точка перетину висот трикутника називається ортоцентром ( H).

Іцентр – центр вписаного кола.

(Точка перетину бісектрис)

Доведемо, що бісектриси кутів трикутника АВСперетинаються в одній точці. Розглянемо точку Проперетину бісектрис кутів Аі У. будь-які точки бісектриси кута А рівновіддалена від прямих АВі АС, а будь-яка точка бісектриси кута Урівновіддалена від прямих АВі НДтому точка Прорівновіддалена від прямих АСі НД, тобто. вона лежить на бісектрисі кута З. крапка Прорівновіддалена від прямих АВ, НДі СА, значить, існує коло з центром Про, Що стосується цих прямих, причому точки дотику лежать самих сторонах, а чи не з їхньої продовженнях. Справді, кути при вершинах Аі Утрикутника АОВтому гострі проекція точки Прона пряму АВлежить усередині відрізка АВ.

Для сторін НДі САдоказ аналогічний.

Іцентр має три властивості:

Якщо продовження бісектриси кута Зперетинає описане коло трикутника АВСу точці М, то МА=МВ=МО.

Якщо АВ- заснування рівнобедреного трикутника АВС, то коло, що стосується сторін кута АСВу точках Аі У, проходить через точку Про.

Якщо пряма, яка проходить через точку Пропаралельно стороні АВ, перетинає сторони НДі САу точках А 1 і У 1 , то А 1 У 1 =А 1 У+АВ 1 .

Центр ваги. (Точка перетину медіан)

Доведемо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Розглянемо для цього точку М, в якій перетинаються медіани АА 1 і ВВ 1 . проведемо у трикутнику ВВ 1 Зсередню лінію А 1 А 2 , паралельну ВВ 1 . тоді А 1 М:АМ=У 1 А 2 :АВ 1 =У 1 А 2 :У 1 З=ВА 1 :ВС= 1:2, тобто. точка перетину медіан ВВ 1 і АА 1 ділить медіану АА 1 щодо 1:2. Аналогічно точка перетину медіан СС 1 і АА 1 ділить медіану АА 1 щодо 1:2. Отже, точка перетину медіан АА 1 і ВВ 1 збігається з точкою перетину медіан АА 1 і СС 1 .

Якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати з вершинами, то трикутники розіб'ється на три трикутники рівної площі. Справді, достатньо довести, що якщо Р- Будь-яка точка медіани АА 1 у трикутнику АВС, то площі трикутників АВРі АСРрівні. Адже медіани АА 1 і РА 1 у трикутниках АВСі РВСрозрізають їх на трикутники рівної площі.

Справедливе та зворотне твердження: якщо для деякої точки Р, що лежить всередині трикутника АВС, площі трикутників АВР, В СРі САРрівні, то Р- Точка перетину медіан.

У точки перетину є ще одна властивість: якщо вирізати трикутник з будь-якого матеріалу, провести на ньому медіани, закріпити в точці перетину медіан підвіз і закріпити підвіс на штативі, то модель (трикутник) перебуватиме в стані рівноваги, отже, точка перетину є ні що інше, як центр тяжіння трикутника.

Центр описаного кола.

Доведемо, що існує точка, рівновіддалена від вершин трикутника, або, інакше, що існує коло, що проходить через три вершини трикутника. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок Аі У, є перпендикуляр до відрізка АВ, що проходить через його середину (серединний перпендикуляр до відрізка АВ). Розглянемо точку Про, в якій перетинаються серединні перпендикуляри до відрізків АВі НД. Крапка Прорівновіддалена від точок Аі У, а також від точок Уі З. тому вона рівновіддалена від точок Аі З, тобто. вона лежить і на серединному перпендикулярі до відрізка АС.

Центр Проописаного кола лежить усередині трикутника, тільки якщо цей трикутник гострокутний. Якщо трикутник прямокутний, то точка Прозбігається із серединою гіпотенузи, а якщо кут при вершині Зтупий, то прямий АВподіляє крапки Проі З.

У математиці нерідко буває отже об'єкти, певні дуже по-різному, виявляються збігаються. Покажемо на прикладі.

Нехай А 1 , У 1 ,З 1 – середини сторін НД,САта АВ. Можна довести, що кола, описані біля трикутників АВ 1 З, А 1 НД 1 і А 1 У 1 З 1 перетинаються в одній точці, причому ця точка – центр описаного кола трикутника АВС. Отже, ми маємо дві, здавалося б, зовсім різні точки: точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника АВСі точка перетину описаних кіл трикутників АВ 1 З 1 , А 1 НДі А 1 У 1 З 1 . а виявляється, що ці дві точки збігаються.

Пряма Ейлер.

Самим дивовижною властивістюЧудових точок трикутника є те, що деякі з них пов'язані один з одним певними співвідношеннями. Наприклад, центр тяжіння М, ортоцентр Ні центр описаного кола Пролежать на одній прямій, причому точка М ділить відрізок ВІН так, що справедливе співвідношення ОМ:МН=1:2. Ця теорема була доведена у 1765 р. швейцарським ученим Леонардо Ейлером.

Ортоцентричний трикутник.

Ортоцентричний трикутник(ортотрикутник) – це трикутник ( МNДо), вершинами якого є підстави висот даного трикутника ( АВС). Цей трикутник має багато цікавих властивостей. Наведемо одне з них.

Властивість.

Довести:

Трикутники AKM, CMNі BKNподібні до трикутника АВС;

Кути ортотрикутника MNKтакі: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Доведення:

Маємо AB cos A, AK cos A. Отже, AM/AB = AK/AC.

Т.к. у трикутників ABCі AKMкут А- загальний, то вони подібні, звідки укладаємо, що кут L AKM = L C. Тому L BKM = L C. Далі маємо L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 - - - L C, тобто. СК- Бісектриса кута MNK. Отже, L MNK= π – 2 L C. Аналогічно доводяться інші рівності.

Висновок.

На закінчення даної науково-дослідної роботи можна зробити такі висновки:

Чудовими точками та лініями трикутника є:

ортоцентртрикутника – це точка перетину його висот;

іцентртрикутника – це точка перетину бісектрис;

центр вагитрикутника – це точка перетину його медіан;

центр описаного кола- Це точка перетину серединних перпендикулярів;

пряма Ейлера– це пряма, де лежать центр тяжкості, ортоцентр і центр описаного кола.

Ортоцентричний трикутник ділить цей трикутник на три подібні до цього.

Зробивши цю роботуя дізнався багато нового про властивості трикутника. Ця робота стала актуальною для мене з погляду розвитку моїх знань у галузі математики. Надалі я припускаю розвивати цю цікаву тему.

Список літератури.

Кисельов А. П. Елементарна геометрія. - М.: Просвітництво, 1980.

Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Нові зустрічі із геометрією. - М.: Наука, 1978.

Прасолов В.В. Завдання щодо планіметрії. - М.: Наука, 1986. - Ч. 1.

Шаригін І.Ф. Завдання з геометрії: Планіметрія. - М.: Наука, 1986.

Сканаві М. І. Математика. Завдання із рішеннями. - Ростов-на-Дону: Фенікс, 1998.

Берже М. Геометрія у двох томах - М: Світ, 1984.

Ліскинський район, МОУ Аношкінська ЗОШ.

Вчитель математики Сморчкова О.Б.

Мета проекту: навчитися користуватися різною літературоюз геометрії, довідковими матеріаламидля більш докладного вивченнятеми «Чудові точки трикутника», дати повніше уявлення про тему, підготувати презентацію на цю тему для демонстрації під час виступів і під час уроків.

Геометрія починається зтрикутник. Ось уже два з половиноюної тисячоліття трикутник є як би символом геометрії; але він не лише символ, трикутник – атом геометрії.Та й сьогодні шкільна геометріястає цікавою тазмістовною, стає власне геометрією тільки з появаванням трикутника. Попередні поняття - точка, прямая, кут - видаються розпливчастими абстракціями, але вбір теорем та завдань, з ними пов'язаний, просто нудним.

Вже з перших кроків свого розвитку людина, а особливо сучасна людина, стикається з різноманітними геометричними об'єктами - фігурами та тілами. Відомі випадки, коли людина в юному, якщо не сказати в дитячому віці, захоплюється геометрією і навіть робить самостійні геометричні відкриття. Так, маленький Блез Паскаль вигадав «гру в геометрію», в якій брали участь «монетки» – кола, «трикутники» – трикутники, «столи» – прямокутники, «палички» – відрізки. Його батько, який ґрунтовно знав математику, на перший час рішуче виключив математику з предметів, яким він навчав свого сина, оскільки маленький Блез не відрізнявся. хорошим здоров'ям. Однак, виявивши захопленість сина, він дещо розповів йому про таємничу геометрію, а застав Блеза в момент, коли той виявив, що кути трикутника становлять у сумі два прямі, зворушений батько відкрив своєму 12-річному синові доступ до математичним книгам, що зберігаються у домашній бібліотеці.

Трикутник невичерпний – постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний том, який можна порівняти за обсягом з томом. Великої енциклопедії. Про деяких із них, а точніше кажучи, про деяких чудових точках,пов'язаних із трикутником, ми й хочемо розповісти.

Пояснимо спочатку сенс виразу «чудові точки трикутника». Всі ми знаємо, що бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного в цей трикутник кола. Так само в одній точці перетинаються медіани, висоти трикутника, серединні перпендикуляри до його сторін.

Отримані при перетині перерахованих трійок прямих крапки, звичайно ж, чудові (адже три прямі, як правило, перетинаються в трьох різних точках). Можливі й чудові точки інших типів, наприклад, точки, в яких досягає екстремуму будь-яка функція, визначена для всіх точок трикутника. З іншого боку, поняття «чудові точки трикутника» слід тлумачити скоріше літературно-емоційному рівні, ніж формально-математичному. Відомий софізм, що «доводить», що всі натуральні числа"цікаві". (Допустивши, що є «нецікаві» числа, візьмемо серед них найменше. Безперечно, це число «цікаве»: воно цікаве вже тим, що воно найменше серед «нецікавих».) Подібна міркування, що «доводить», що всі точки трикутника «чудові» », можна сформулювати і в нашому випадку. Перейдемо до деяких прикладів.

ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ

Доведемо, що існує точка, що рівно віддалена від вершин трикутника, або, інакше, що існує коло, проходячича через три вершини трикутника.Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок Аі В,є перпендикуляр до відрізка АВ,проходить через його середину (серединний перпендикуляр до відрізка АВ).Розглянемо точку О,в якій перетинаються серединні перпендикуляри до відрізків АВі НД.Крапка Прорівновіддалена від точок А і В, а також від точок Уі З.Тому вона рівновіддалена від точок Аі З,тобто вона лежить і на серединному перпендикулярі до відрізка АС(Рис. 50).

Центр Проописаного кола лежить усередині трикутника, тільки якщо цей трикутник гострокутний. Якщо трикутник прямокутний, то точка Прозбігається з серединою гіпотенузи,

а якщо кут при вершині Зтупий, то прямий АВподіляє точки Про та С.

Якщо у Δ АВСкут при вершині Згострий, то бік АВвидно з точки Про під кутом, рівним 2 <. AOB вдвічі більше за вписане < ACB , що спирається на ту ж дугу. Якщо ж <. C тупий, то бік АВвидно з точки Пропід кутом, рівним 360° - 2<С. Воспользовавшись этим, легко доказать теорему синусов: AB =2 Rsin З,де R- радіус описаного кола Δ АВС.Справді, нехай З 1 - середина сторони АВ.Тоді АС 1 = АТsin <. AOC 1 = R sin З, тому AB =2 AC 1 =2 R sin С. Теорему синусів можна сформулювати і по-іншому: «Проекція діаметра описаного кола, перпендикулярного першій стороні трикутника, на пряму, що містить другу сторону, дорівнює третій стороні». Це таке громіздке твердження є насправді просто теорема синусів.

У математиці нерідко буває отже об'єкти, визначені дуже по-різному, виявляються збігаються. Покажемо на прикладі.

Нехай А 1 , В 1 і C 1 - середини сторін НД, С Аі АВ.Можна довести, що кола, описані близько Δ АВ 1 С 1 , Δ A 1 BC 1 та Δ A 1 B 1 C , перетинаються в одній точці, причому ця точка - центр описаного кола Δ АВС(Рис. 51). Отже, ми маємо дві, здавалося б, зовсім різні точки: точка перетину серединних перпендикулярів до сторін Δ АВСта точка перетину описаних кіл Δ АВ 1 З 1 , Δ AiBCi та Δ AiBiC . А виявляється, що ці дві точки чомусь збігаються!

Проведемо, однак, обіцяний доказ. Достатньо довести, що центр О описаного кола Δ АВСлежить на колах, описаних біля Δ АВ 1 З 1 , Δ А iBCi та Δ A 1 B 1 C . Кути ОВ 1 Аі ОС 1 Апрямі, тому точки У 1 і З 1 лежать на колі діаметром ОА,а значить, точка О лежить на колі, описаному близько Δ AB 1 C 1 . Для Δ AiBCi та Δ А 1 У 1 Здоказ аналогічний.

Доведене твердження є окремим випадком дуже цікавої теореми: якщо на сторонахАВ, НДіСАтрикутникаАВСвзяті довільні точкиЗ 1 , А 1 іУ 1 , то описанікола ΔАВ 1 З 1 , Δ А 1 НД 1 та ΔА 1 У 1 З перетинаються в однійточці.

Зробимо останнє зауваження щодо центру описаного кола. Прямі А 1 У 1 і АВпаралельні, тому ОС 1 перпендикулярна А 1 У 1 Аналогічно ОВ 1 перпендикулярна A 1 C 1 і ОА 1 перпендикулярна У 1 З 1 , тобто. Про- точка перетину висот трикутника A 1 B 1 З 1 ... Стривайте, стривайте! Ми поки що не доводили, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Чи немає тут шляху до доказу? До цієї розмови ми ще повернемось.

ЦЕНТР ВПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ

Доведемо, що бісектриси кутів Δ АВСперетинаються в одній точці. Розглянемо точку Про перетин бісектрис кутів А та Ст.Будь-які точки бісектриси кута A рівновіддалені від прямих АВі АС,а будь-яка точка бісектриси кута B рівновіддалена від прямих АВі НД,тому точка О рівновіддалена від прямих АСі НД,тобто вона лежить на бісектрисі кута C. Точка Про рівновіддалена від прямих АВ, НДі СА,значить, існує коло з центром О,що стосується цих прямих, причому точки дотику лежать самих сторонах, а чи не з їхньої продовженнях. Справді, кути при вершинах А і ВΔ АОВгострі, тому проекція точки на пряму АВлежить усередині відрізка АВ.Для сторін НДі САдоказ аналогічний.

Нехай А 1 , В 1 і З 1 - точки торкання вписаного кола трикутника зі сторонами НД, САі АВ(Рис. 52). Тоді АВ 1 =АС 1 , BC 1 = BA 1 і СА 1 = СВ 1 . Крім того, кут B 1 A 1 C 1 дорівнює кутам при підставі рівнобедреного Δ АВ 1 З 1 (за теоремою про вугілля між дотичною та хордою) і т. д. Для кута B 1 C 1 A 1 та кута A 1 B 1 C 1 доказ аналогічний.

Кути при основі будь-якого рівнобедреного трикутника гострі, тому А 1 В 1 С 1 гострокутний для будь-якого АВС.

Якщо x = AB 1 , y = BC 1 і z = CA 1 , то х+у = с,y + z = a і z + x = b , де а,b і з- Довжини сторін Δ АВС.Складаючи перші дві рівності та віднімаючи з них третю, отримуємо у = (а + з-в) / 2. Аналогічно х=(в+с-а)/2і z =(а+в-с)/2.Слід зазначити, що для чотирикутника подібні міркування не дали б бажаного результату, тому що відповідна система рівнянь

або взагалі немає рішень, або має їх нескінченно багато. Справді, якщо х + у = а,y + z = b , z + t = c і t + x = d , то у=а-х,z = b -y = b - а+хі t = c - b + a -х,а з рівності t + x = d випливає, що a + c = b + d . Тому якщо а+с не дорівнює + d , то система рішень не має, а якщо a + c = b + d , то хможна вибирати довільно, а у,z , t виражаються через х.

Повернемося знову до єдиності розв'язання системи рівнянь для трикутника. Використовуючи її, можна довести таке твердження: нехай кола з центрами А, В і С торкаються зовнішнім чином у точках А 1 , У 1 і З 1 (Рис. 53). Тоді описане коло Δ A 1 B 1 C 1 вписано в Δ АВС.Справді, якщо х, уі z - радіуси кіл; a , b і з- Довжини сторін Δ АВС,то х+у = с,y + z = a , y + x = b .

Доведемо три властивості центру Провписаного кола Δ ABC .

1. Якщо продовження бісектриси кута Зперетинає описане коло Δ АВСу точці М,то МА=МВ=МО(Рис. 54).

Доведемо, наприклад, що у Δ АМОрівні кути при вершинах А і О. Справді,<OAM = < OAB + < BAM і < AOM =< OAC +<А CO , < ОАВ =<ОАС і< ВАМ =<ВСМ = < ACO . Отже, АМ = МО.Аналогічно ВМ = МО.

2. Якщо АВ- основа рівнобедреного Δ АВС,то коло, що стосується сторін<ACB у точках А і В,проходить через точку О (рис. 55).

Нехай О" – середина (меншої) дуги АВаналізованого кола. За якістю кута між дотичною та хордою<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, т. е. точка О" лежить на бісектрисі < A . Аналогічно можна показати, що вона лежить і на бісектрисі < B , тобто. О" = Про.

3. Якщо пряма, що проходить через точку О паралельно стороні АВ,перетинає сторони НДі САу точках А 1 і У 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .

Доведемо, що Δ AB 1 O рівнобедрений. Справді, < B 1 OA = < OAB = < B 1 AO (Рис. 56). Тому AB 1 = B 1 0. Аналогічно A 1 B = A 1 O , а значить, A 1 B 1 = A 1 Про+OB 1 = A 1 B + AB 1 .

Нехай у Δ АВСкути при вершинах А, В і Срівні α, β, γ . Обчислимо величину кута, під яким сторона АВвидно з точки О. Оскільки кути Δ АТ Впри вершинах А і В дорівнюють α/2 і β/2, то

< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Ця

формула буває корисна під час вирішення багатьох завдань.

З'ясуємо, наприклад, у якому разі чотирикутник, утворений сторонами АСі НДта бісектрисами АА 1 і ВВ 1 , є вписаним. Чотирьохкутник OA 1 CB 1 вписаний тоді і лише тоді, коли < A 1 CB 1 +

γ+(90° +γ/2) =180°, отже, γ = 60°. У цьому випадку хорди OA 1

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Позначимо буквою Про точку перетину двох медіан АА 1 і В1 трикутника АВСі проведемо середню лінію А1В1 цього трикутника. 2. Відрізок А 1 В 1 паралельний стороні АВ і 1/2 АВ = А 1 В 1 тобто АВ = 2А1В1 (за теоремою про середню лінію трикутника), тому 1 = 4 і 3 = 2 (т.к. вони внутрішні навхрест лежать кути при паралельних прямих AB і A 1 B 1 і січній BB 1 для 1, 4 і AA 1 для 3, 2 3.Отже, трикутники АОВ і А 1 ОВ 1 подібні по двох кутах, і, значить, їх сторони пропор , Т. е. рівні відносини сторін АО і А 1 О, ВО і В 1 О, АВ і А 1 В 1. Але АВ = 2А 1 В 1, тому АО = 2А 1 О і ВО = 2В 1 О. Таким чином , точка Про перетин медіан ВВ 1 і АА 1 ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини Теорема доведена Аналогічно можна довести і про інші дві медіани

Центр мас іноді називають центроїдом. Саме тому кажуть, що точка перетину медіан-центроїд трикутника. У цій же точці розташовується центр мас однорідної трикутної пластинки. Якщо подібну пластинку поставити на шпильку так, щоб вістря шпильки потрапило точно в центроїд трикутника, то пластинка перебуватиме в рівновазі. Також точка перетину медіан є центром вписаного кола його серединного трикутника. Цікава властивість точки перетину медіан пов'язана із фізичним поняттям центру мас. Виявляється, якщо помістити у вершини трикутника рівні маси, їх центр потрапить саме у цю точку.

Точка перетину бісектрис

Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину одного з кутів трикутника з точкою, що лежить на протилежній стороні.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від його сторін.

Доведення:

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Позначимо буквою Про точку перетину бісектрис АА 1 і ВВ 1 трикутника АВС. 3.Скористаємося тим, що кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін і назад: кожна точка, що лежить усередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі. Тоді ОК=OL та ОК=ОМ. Отже ОМ=OL , т. е. точка Про рівновіддалена від сторін трикутника АВС і, отже, лежить на бісектрисі СС1 кута C . 4.Отже, всі три бісектриси трикутника АВС перетинаються в точці О. K L M Теорема доведена. 2.проведемо з цієї точки перпендикуляри ОК, OL та ОМ відповідно до прямих АВ, ВС та СА.

Крапка перетину серединних перпендикулярів

Серединний перпендикуляр - пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, що рівно віддалена від вершин трикутника.

Доведення:

A m n 1. Позначимо літерою Про точку перетину серединних перпендикулярів т і п до сторін АВ і ВС трикутника АВС. O 2. Скориставшись теоремою у тому, кожна точка серединного перпендикуляра до відрізку равноудалена від кінців цього відрізка і назад: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього, отримаємо, що ОВ=ОА і ОВ=ОС. 3. Тому ОА=ОС, т. е. точка О рівновіддалена від кінців відрізка АС і, отже, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. 4. Отже, всі три серединні перпендикуляри m, n і p до сторін трикутника АВС перетинаються в точці О. Теорема доведена. р

Точка перетину висот (або їх продовжень)

Висота трикутника-перпендикуляр, проведений з вершини будь-якого кута трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці, яка може лежати в трикутнику, а може перебувати за його межами.

Доведення:

Доведемо, що прямі АА 1 , ВР 1 і СС 1 перетинаються в одній точці. A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведемо через кожну вершину трикутника АВС пряму, паралельну до протилежної сторони. Отримаємо трикутник А2В2С2. 2. Точки А, В та С є серединами сторін цього трикутника. Справді, АВ=А 2 З і АВ=СВ 2 як протилежні сторони паралелограмів АВА 2 З і АВСВ 2 тому А 2 С=СВ 2 . Аналогічно З 2 А = АВ 2 і З 2 В = ВА 2 . Крім того, як випливає з побудови, СС 1 перпендикулярний А 2 В 2 АА 1 перпендикулярний В 2 С 2 і ВВ 1 перпендикулярний А 2 С 2 (зі слідства за теоремою паралельних прямих і січною). Таким чином, прямі АА 1 , ВВ 1 і СС 1 є серединними перпендикулярами до сторін трикутника А 2 В 2 С 2 . Отже, вони перетинаються лише у точці. Теорему доведено.