Звідки взялося значення х у рівнянні. Рівняння онлайн

Підручник:Математика: Навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н.Я.Віленкін, В.І.Жохов, А.С.Чесноков, С.І.Шварцбурд.- М.: Мнемозіна, 1997 і наступні.

Цілі уроку:

• навчання роботі у групах, формування навичок спілкування "вчитель - учень", "учень - учень";
• формування навичок математичної мови, контролю та самоконтролю;
• навчання роботі з підручником;
• перевірка знань теоретичного та практичного матеріалу під час вирішення рівнянь за допомогою компонентів.

Підготовка до уроку:

• розбити учнів класу на групи по 4-5 осіб так, щоб у кожній групі були учні різних рівнів;
• розставляння парт у класі таким чином, щоб окремо один від одного могли працювати п'ять груп по 4-5 осіб у кожній;
• підготовка дидактичного матеріалу:

а) картки з питаннями до заліку (для кожного учня):

б) лист самоперевірки (один на групу):

в) оціночний лист(один на групу):

ХІД УРОКУ

I. Перевірка домашньої роботи(Фронтально).

– Що називається рівнянням?
– Що означає розв'язати рівняння?
– Що називається коренем рівняння?

Проговорити рішення домашніх рівнянь (№ 395):

ІІ. Робота у групах

Кожен учень групи вирішує рівняння індивідуально. на теоретичні питанняодин учень групи відповідає вчителю, другий – учневі, який відповів, третій – другому тощо. Під час відповіді заповнюється "оцінний лист". Якщо учень відповідає правило без підручника, то напроти його прізвища в оціночному листі проставляється "+", якщо відповідає за допомогою підручника, то "". При відповіді учня перевіряючий, який нетвердо знає правило, користується листом самоперевірки. Рішення рівнянь перевіряє вчитель, та Загальна оцінкавиставляється після того, як перевірено всі завдання.

Критерії оцінювання:

• оцінка “5” виставляється у разі, якщо учень промовив правила без допомоги підручника і вирішив всі рівняння без помилок;
• оцінка “4” виставляється у тому випадку, якщо учень при усній відповіді звернувся до підручника трохи більше одного разу, припустився при вирішенні рівняння трохи більше однієї помилки;
• оцінка “3” ставиться у разі, якщо учень відповідав правила за підручником, під час вирішення рівняння сумнівався у застосуванні правил перебування компонентів.

ІІІ. Підсумок уроку:оцінки кожному учню.

IV. Домашнє завдання:№ 396.

Рівняння - одна із складних тем для засвоєння, але при цьому вони є достатньо потужним інструментомдля вирішення більшості завдань.

За допомогою рівнянь описуються різні процеси, що протікають у природі. Рівняння широко застосовуються в інших науках: в економіці, фізиці, біології та хімії.

У даному уроціми спробуємо зрозуміти суть найпростіших рівнянь, навчимося виражати невідомі та вирішимо кілька рівнянь. У міру засвоєння нових матеріалів рівняння будуть ускладнюватися, тому зрозуміти основи дуже важливо.

Що таке рівняння?

Рівняння - це рівність, що містить змінну, значення якої потрібно знайти. Це значення має бути таким, щоб при його підстановці у вихідне рівняння виходило вірне числова рівність.

Наприклад, вираз 2 + 2 = 4 є рівністю. При обчисленні лівої частини виходить вірна числова рівність 4 = 4.

А ось рівність 2+ x= 4 є рівнянням, оскільки містить у собі змінну xзначення якої можна знайти. Значення має бути таким, щоб при підстановці цього значення вихідне рівняння, вийшла вірна числова рівність.

Іншими словами, ми повинні знайти таке значення, при якому знак рівності виправдав би своє місце розташування — ліва частина повинна дорівнювати правій частині.

Рівняння 2+ x= 4 є елементарним. Значення змінної xдорівнює числу 2. При будь-якому іншому значенні рівність дотримуватися не буде

Говорять, що число 2 є коріннямабо рішенням рівняння 2 + x = 4

Коріньабо вирішення рівняння— це значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність.

Коріння може бути кілька або не зовсім. Вирішити рівнянняозначає знайти його коріння чи довести, що коріння немає.

Змінну, що входить до рівняння, інакше називають невідомим. Ви маєте право називати як вам зручніше. Це синоніми.

Примітка. Словосполучення «вирішити рівняння» говорить саме за себе. Вирішити рівняння означає «зрівняти» рівність — зробити його збалансованим, щоб ліва частина дорівнювала правій частині.

Виразити одне через інше

Вивчення рівнянь за традицією починається з того, щоб навчитися виражати одне число, що входить у рівність, через низку інших. Давайте не порушуватимемо цю традицію і зробимо також.

Розглянемо такий вираз:

8 + 2

Даний вираз є сумою чисел 8 та 2. Значення даного виразу дорівнює 10

8 + 2 = 10

Здобули рівність. Тепер можна виразити будь-яке число з цієї рівності через інші числа, що входять до цієї рівності. Наприклад, виразимо число 2.

Щоб висловити число 2, потрібно поставити запитання: «що потрібно зробити з числами 10 та 8, щоб отримати число 2». Зрозуміло, що з отримання числа 2, треба від числа 10 відняти число 8.

Так і робимо. Записуємо число 2 і через знак рівності говоримо, що для отримання цього числа 2 ми від числа 10 відняли число 8:

2 = 10 − 8

Ми висловили число 2 із рівності 8 + 2 = 10 . Як бачимо з прикладу, нічого складного в цьому немає.

При розв'язанні рівнянь, зокрема при вираженні одного числа через інші, знак рівності зручно замінювати словом « є» . Робити це потрібно подумки, а не в самому виразі.

Так, виражаючи число 2 з рівності 8 + 2 = 10, ми одержали рівність 2 = 10 − 8 . Цю рівність можна прочитати так:

2 є 10 − 8

Тобто знак = замінений словом «є». Більше того, рівність 2 = 10 − 8 можна перекласти з математичної мови на повноцінну людська мова. Тоді його можна прочитати так:

Число 2 єрізницю числа 10 та числа 8

Число 2 єрізниця між числом 10 та числом 8.

Але ми обмежимося лише заміною знаку рівності на слово «є», і то робитимемо це не завжди. Елементарні вирази можна розуміти і без перекладу математичної мови на мову людську.

Повернемо рівність 2 = 10 − 8 у початковий стан:

8 + 2 = 10

Виразимо цього разу число 8. Що потрібно зробити з рештою числа, щоб отримати число 8? Правильно, треба від числа 10 відняти число 2

8 = 10 − 2

Повернемо рівність 8 = 10 − 2 у початковий стан:

8 + 2 = 10

На цей раз висловимо число 10. Але виявляється, що десятку висловлювати не потрібно, оскільки вона вже виражена. Досить поміняти місцями ліву та праву частину, тоді вийде те, що нам потрібно:

10 = 8 + 2

Приклад 2. Розглянемо рівність 8 − 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 8. Щоб виразити число 8, решта двох числа потрібно скласти:

8 = 6 + 2

Повернемо рівність 8 = 6 + 2 в початковий стан:

8 − 2 = 6

Висловимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно відняти 8 від 6

2 = 8 − 6

Приклад 3. Розглянемо рівність 3×2 = 6

Виразимо число 3. Щоб виразити число 3, потрібно 6 розділити 2

Повернемо рівність, що вийшла, в початковий стан:

3 × 2 = 6

Виразимо з цієї рівності число 2. Щоб виразити число 2, потрібно розділити 6

Приклад 4. Розглянемо рівність

Виразимо з цієї рівності число 15. Щоб виразити число 15, потрібно перемножити числа 3 та 5

15 = 3 × 5

Повернімо рівність 15 = 3 × 5 в початковий стан:

Виразимо з цієї рівності число 5. Щоб виразити число 5, потрібно розділити 15 3

Правила знаходження невідомих

Розглянемо кілька правил знаходження невідомих. Можливо вони вам знайомі, але не заважає повторити їх ще раз. Надалі їх можна буде забути, оскільки навчимося вирішувати рівняння, не застосовуючи ці правила.

Повернемося до першого прикладу, який ми розглядали у попередній темі, де у рівності 8 + 2 = 10 потрібно виразити число 2.

У рівності 8 + 2 = 10 числа 8 і 2 є доданками, а число 10 сумою.

Щоб виразити число 2, ми надійшли так:

2 = 10 − 8

Тобто, із суми 10 відняли доданок 8.

Тепер уявімо, що в рівності 8 + 2 = 10 замість числа 2 розташовується змінна x

8 + x = 10

У цьому випадку рівність 8+2=10 перетворюється на рівняння 8+ x= 10 а змінна x невідомого доданку

Наше завдання знайти це невідомий доданок, тобто розв'язати рівняння 8 + x= 10. Для знаходження невідомого доданку передбачено таке правило:

Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок.

Що ми в принципі і зробили, коли виражали двійку рівною 8 + 2 = 10 . Щоб виразити доданок 2, ми від суми 10 відняли інше доданок 8

2 = 10 − 8

А зараз, щоб знайти невідомий доданок x, ми повинні від суми 10 відняти відомий доданок 8:

x = 10 − 8

Якщо обчислити праву частину рівності, то можна дізнатися чому дорівнює змінна x

x = 2

Ми вирішили рівняння. Значення змінної xодно 2 . Для перевірки значення змінної xвідправляють у вихідне рівняння 8+ x= 10 і підставляють замість x.Так бажано чинити з будь-яким вирішеним рівнянням, оскільки не можна бути точно впевненим, що рівняння вирішено правильно:

В результаті

Це правило діяло б у разі, якщо невідомим доданком було б перше число 8.

x + 2 = 10

У цьому рівнянні x- це невідомий доданок, 2 - відомий доданок, 10 - сума. Щоб знайти невідомий доданок x, потрібно від суми 10 відняти відомий доданок 2

x = 10 − 2

x = 8

Повернемося до другого прикладу з попередньої теми, де в рівності 8 − 2 = 6 потрібно виразити число 8.

У рівності 8 − 2 = 6 число 8 це зменшуване, число 2 - віднімається, число 6 - різниця

Щоб виразити число 8, ми надійшли так:

8 = 6 + 2

Тобто склали різницю 6 і віднімається 2.

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 8 розташовується змінна x

x − 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль так званого невідомого зменшуваного

Для знаходження невідомого зменшуваного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме зменшуване, Треба до різниці додати віднімається.

Що ми й зробили, коли виражали число 8 у рівності 8 − 2 = 6 . Щоб висловити зменшуване 8, до різниці 6 додали віднімається 2.

А зараз, щоб знайти невідоме зменшуване x, ми повинні до різниці 6 додати віднімання 2

x = 6 + 2

Якщо обчислити праву частину, можна дізнатися чому дорівнює змінна x

x = 8

Тепер уявімо, що в рівності 8 − 2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x

8 − x = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого віднімання

Для знаходження невідомого віднімається передбачене таке правило:

Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно зменшуваного відняти різницю.

Що ми й зробили, коли виражали число 2 у рівності 8 − 2 = 6. Щоб виразити число 2, ми зменшуваного 8 відняли різницю 6.

А зараз, щоб знайти невідоме віднімання x, потрібно знову ж таки від зменшуваного 8 відняти різницю 6

x = 8 − 6

Обчислюємо праву частину та знаходимо значення x

x = 2

Повернімося до третього прикладу з попередньої теми, де у рівності 3 × 2 = 6 ми намагалися виразити число 3.

У рівності 3 × 2 = 6 число 3 — це множина, число 2 — множник, число 6 — добуток

Щоб виразити число 3, ми надійшли так:

Тобто розділили твір 6 на множник 2.

Тепер уявімо, що в рівності 3 × 2 = 6 замість числа 3 розташовується змінна x

x× 2 = 6

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомої множини.

Для знаходження невідомого множника передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме множинне, потрібно твір розділити на множник.

Що ми зробили, коли виражали число 3 з рівності 3 × 2 = 6 . Добуток 6 ми розділили на множник 2.

А зараз для знаходження невідомого множини x, Необхідно добуток 6 розділити на множник 2.

Обчислення правої частини дозволяє знайти значення змінної x

x = 3

Це правило застосовується у разі, якщо змінна xрозташовується замість множника, а не множного. Припустимо, що в рівності 3 × 2 = 6 замість числа 2 розташовується змінна x.

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого множника. Для знаходження невідомого множника передбачено таке ж, що і для знаходження невідомого множника, а саме розподіл твору на відомий множник:

Щоб знайти невідомий множник, Потрібно твір розділити на множинне.

Що ми зробили, коли виражали число 2 з рівності 3 × 2 = 6 . Тоді для отримання числа 2 ми розділили добуток 6 на множинне 3.

А зараз для знаходження невідомого множника xми розділили твір 6 на множинне 3.

Обчислення правої частини рівності дозволяє дізнатися чому одно x

x = 2

Множину та множник разом називають співмножниками. Оскільки правила знаходження множника та множника збігаються, ми можемо сформулювати загальне правилознаходження невідомого співмножника:

Щоб знайти невідомий співмножник, потрібно ділити на відомий співмножник.

Наприклад, розв'яжемо рівняння 9 × x= 18 . Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно добуток 18 розділити на відомий співмножник 9

Розв'яжемо рівняння x 3 = 27 . Змінна xє невідомим співмножником. Щоб знайти цей невідомий співмножник, потрібно добуток 27 розділити на відомий співмножник 3

Повернемося до четвертому прикладуз попередньої теми, де в рівності потрібно було виразити число 15. У цій рівності число 15 - це поділення, число 5 - дільник, число 3 - приватне.

Щоб виразити число 15 ми надійшли так:

15 = 3 × 5

Тобто, помножили 3 на дільник 5.

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 15 розташовується змінна x

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого діленого.

Для знаходження невідомого поділеного передбачено таке правило:

Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник.

Що ми зробили, коли виражали число 15 з рівності . Щоб виразити число 15, ми помножили 3 на дільник 5.

А зараз, щоб знайти невідоме ділене xпотрібно приватне 3 помножити на дільник 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Тепер уявімо, що в рівності замість числа 5 розташовується змінна x .

В цьому випадку змінна xбере на себе роль невідомого дільника .

Для знаходження невідомого дільника передбачено таке правило:

Що ми зробили, коли виражали число 5 з рівності . Щоб виразити число 5, ми розділили 15 ділене на приватне 3.

А зараз, щоб знайти невідомий дільник x, потрібно ділене 15 розділити на приватне 3

Обчислимо праву частину рівності, що вийшла. Так ми дізнаємося, чому дорівнює змінна x .

x = 5

Отже, для знаходження невідомих ми вивчили такі правила:

• Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок;
• Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання;
• Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю;
• Щоб знайти невідоме множинне, потрібно твір розділити на множник;
• Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір поділити на множину;
• Щоб знайти невідоме ділене, потрібно приватне помножити на дільник;
• Щоб знайти невідомий дільник, потрібно поділити розділити на приватне.

Компоненти

Компонентами ми називатимемо числа та змінні, що входять у рівність

Так, компонентами додавання є доданкиі сума

Компонентами віднімання є зменшуване, віднімаєтьсяі різниця

Компонентами множення є множинне, множникі твір

Компонентами поділу є ділене, дільник та приватне

Залежно від того, з якими компонентами ми матимемо справу, застосовуватимуться відповідні правила знаходження невідомих. Ці правила ми вивчили у попередній темі. При розв'язанні рівнянь бажано знати це правило напам'ять.

Приклад 1. Знайти корінь рівняння 45 + x = 60

45 - доданок, x- Невідомий доданок, 60 - сума. Маємо справу з компонентами додавання. Згадуємо, що для знаходження невідомого доданка, потрібно від суми відняти відомий доданок:

x = 60 − 45

Обчислимо праву частину, отримаємо значення xрівне 15

x = 15

Значить корінь рівняння 45+ x= 60 дорівнює 15.

Найчастіше невідомий доданок необхідно привести до вигляду при якому його можна було б висловити.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Тут на відміну від попереднього прикладу, невідомий доданок не можна виразити відразу, оскільки воно містить коефіцієнт 2. Наше завдання привести це рівняння до виду, при якому можна було б висловити x

У даному прикладіми маємо справу з компонентами додавання — доданками та сумою. 2 x- це перший доданок, 4 - другий доданок, 8 - сума.

При цьому доданок 2 xмістить змінну x. Після знаходження значення змінної xдоданок 2 xнабуде іншого вигляду. Тому доданок 2 xможна повністю прийняти за невідомий доданок:

Тепер застосовуємо правило знаходження невідомого доданку. Віднімаємо із суми відомий доданок:

Обчислимо праву частину рівняння, що вийшло:

Ми отримали нове рівняння. Тепер ми маємо справу з компонентами множення: множником, множником та твором. 2 - множинне, x- множник, 4 - твір

При цьому змінна xє не просто множником, а невідомим множником

Щоб знайти цей невідомий множник, потрібно твір розділити на множину:

Обчислимо праву частину, отримаємо значення змінної x

Для перевірки знайдений корінь відправимо у вихідне рівняння та підставимо замість x

Приклад 3. Вирішити рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56

Відразу висловити невідоме xне можна. Спочатку потрібно привести дане рівняння до виду, при якому його можна було б висловити.

Наведемо в лівій частині цього рівняння:

Маємо справу з компонентами множення. 28 - множинне, x- множник, 56 - твір. При цьому xє невідомим множником. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на множину:

Звідси xдорівнює 2

Рівносильні рівняння

У попередньому прикладі під час вирішення рівняння 3x + 9x + 16x = 56 , ми привели подібні доданкиу лівій частині рівняння. В результаті отримали нове рівняння 28 x= 56 . Старе рівняння 3x + 9x + 16x = 56 і нове рівняння, що вийшло 28 x= 56 називають рівносильними рівняннями, оскільки їх коріння збігаються.

Рівняння називають рівносильними, якщо їх коріння збігається.

Перевіримо це. Для рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми знайшли корінь рівний 2 . Підставимо цей корінь спочатку на рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 , а потім до рівняння 28 x= 56 , яке вийшло в результаті приведення подібних доданків у лівій частині попереднього рівняння. Ми повинні здобути вірні числові рівності

Відповідно до порядку дій, насамперед виконується множення:

Підставимо корінь 2 у друге рівняння 28 x= 56

Бачимо, що в обох рівнянь коріння збігається. Значить рівняння 3x+ 9x+ 16x= 6 та 28 x= 56 справді є рівносильними.

Для вирішення рівняння 3x+ 9x+ 16x= 56 ми скористалися одним із — приведенням подібних доданків. Правильне тотожне перетворення рівняння дозволило нам отримати рівносильне рівняння 28 x= 56 яке простіше вирішувати.

З тотожних перетвореньна даний момент ми вміємо лише скорочувати дроби, наводити подібні доданки, виносити загальний множник за дужки, а також розкривати дужки. Існують інші перетворення, які слід знати. Але для загального уявленняпро тотожні перетворення рівнянь, вивчених нами тим цілком вистачає.

Розглянемо деякі перетворення, які дозволяють отримати рівносильне рівняння

Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

та аналогічно:

Якщо з обох частин рівняння відняти одне й те число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, корінь рівняння не зміниться, якщо до обох частин даного рівняння додати (або відняти з обох частин) одне й те саме число.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Віднімемо з обох частин рівняння число 10

Отримали рівняння 5 x= 10. Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x, Потрібно твір 10 розділити на відомий співмножник 5.

і підставимо замість xзнайдене значення 2

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми вирахували з обох частин рівняння число 10 . В результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 2

Приклад 2. Розв'язати рівняння 4( x+ 3) = 16

Віднімемо з обох частин рівняння число 12

У лівій частині залишиться 4 x, а у правій частині число 4

Отримали рівняння 4 x= 4 . Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти невідомий співмножник x, потрібно добуток 4 розділити на відомий співмножник 4

Повернемося до вихідного рівняння 4( x+ 3) = 16 і підставимо замість xзнайдене значення 1

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння 4( x+ 3) = 16 ми відняли з обох частин рівняння число 12 . В результаті отримали рівносильне рівняння 4 x= 4 . Корінь цього рівняння, як і рівняння 4( x+ 3) = 16 так само дорівнює 1

Приклад 3. Вирішити рівняння

Розкриємо дужки у лівій частині рівності:

Додамо до обох частин рівняння число 8

Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:

У лівій частині залишиться 2 x, а у правій частині число 9

У рівнянні, що вийшло 2 x= 9 висловимо невідомий доданок x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4,5

Здобули правильну числову рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Вирішуючи рівняння ми додали до обох частин рівняння число 8. У результаті отримали рівносильне рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння так само дорівнює 4,5

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так

Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

Тобто корінь рівняння не зміниться, якщо ми перенесемо доданок з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак. Ця властивість є одним із важливих і одним із часто застосовуваних при вирішенні рівнянь.

Розглянемо наступне рівняння:

Корінь даного рівняння дорівнює 2. Підставимо замість xцей корінь і перевіримо чи виходить вірна числова рівність

Виходить правильна рівність. Значить число 2 справді є коренем рівняння.

Тепер спробуємо поекспериментувати із складниками цього рівняння, переносячи їх із однієї частини до іншої, змінюючи знаки.

Наприклад, доданок 3 xрозташовується у лівій частині рівності. Перенесемо його у праву частину, змінивши знак на протилежний:

Вийшло рівняння 12 = 9x − 3x . у правій частині цього рівняння:

xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Звідси x= 2. Як бачимо, корінь рівняння не змінився. Значить рівняння 12 + 3 x = 9xі 12 = 9x − 3x є рівносильними.

Насправді, це перетворення є спрощеним методом попереднього перетворення, де до обох частинах рівняння додавалася (або віднімали) одне й те саме число.

Ми сказали, що у рівнянні 12 + 3 x = 9xдоданок 3 xбуло перенесено до правої частини, змінивши знак. Насправді ж відбувалося таке: з обох частин рівняння відняли доданок 3 x

Потім у лівій частині були наведені подібні доданки та отримано рівняння 12 = 9x − 3x. Потім знову були наведені подібні доданки, але вже у правій частині, і отримано рівняння 12 = 6 x.

Але так зване «перенесення» зручніше для подібних рівнянь, тому він і отримав таке широке розповсюдження. Вирішуючи рівняння, ми часто користуватимемося саме цим перетворенням.

Рівносильними є також рівняння 12 + 3 x= 9xі 3x − 9x= −12 . На цей раз у рівнянні 12 + 3 x= 9xдоданок 12 було перенесено у праву частину, а доданок 9 xу ліву. Не слід забувати, що знаки цих доданків були змінені під час перенесення

Наступне правило, яке дозволяє отримати рівносильне рівняння, виглядає так:

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Іншими словами, коріння рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити або розділити на те саме число. Ця дія часто застосовується тоді, коли потрібно вирішити рівняння, що містить дробові вирази.

Спочатку розглянемо приклади, у яких обидві частини рівняння множитимуться на те саме число.

Приклад 1. Вирішити рівняння

При розв'язанні рівнянь, що містять дробові вирази, спочатку прийнято спростити це рівняння.

У цьому випадку ми маємо справу саме з таким рівнянням. З метою спрощення цього рівняння обидві його частини можна помножити на 8:

Ми пам'ятаємо, що для , потрібно чисельник даного дробу помножити на це число. У нас є два дроби і кожен із них множиться на число 8. Наше завдання помножити чисельники дробів на це число 8

Тепер відбувається найцікавіше. У чисельниках і знаменниках обох дробів міститься множник 8, який можна скоротити на 8. Це дозволить нам позбутися дробового виразу:

В результаті залишиться найпростіше рівняння

Ну і неважко здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює 4

xзнайдене значення 4

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві його частини на 8. У результаті отримали рівняння. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 4. Значить, ці рівняння рівносильні.

Множник, на який множаться обидві частини рівняння, прийнято записувати перед частиною рівняння, а не після неї. Так, вирішуючи рівняння , ми помножили обидві частини на множник 8 і отримали наступний запис:

Від цього корінь рівняння не змінився, але якби ми зробили це, перебуваючи в школі, то нам зробили б зауваження, оскільки в алгебрі множник прийнято записувати перед тим виразом, з яким він перемножується. Тому множення обох частин рівняння на множник 8 бажано переписати так:

Приклад 2. Вирішити рівняння

У лівій частині множники 15 можна скоротити на 15, а правої частини множники 15 і 5 можна скоротити на 5

Розкриємо дужки у правій частині рівняння:

Перенесемо доданок xз лівої частини рівняння у праву частину, змінивши знак. А доданок 15 з правої частини рівняння перенесемо в ліву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо

Маємо справу з компонентами множення. Змінна x

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 5

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно. При розв'язанні даного рівняння ми помножили обидві частини на 15 . Далі виконуючи тотожні перетворення ми отримали рівняння 10 = 2 x. Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5 . Значить, ці рівняння рівносильні.

Приклад 3. Вирішити рівняння

У лівій частині можна скоротити дві трійки, а права частинадорівнюватиме 18

Залишиться найпростіше рівняння. Маємо справу з компонентами множення. Змінна xє невідомим співмножником. Знайдемо цей відомий співмножник:

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 9

Виходить вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 4. Вирішити рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на 6

У лівій частині рівняння розкриємо дужки. У правій частині множник 6 можна підняти в чисельник:

Скоротимо в обох частинах рівняння те, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові вільні від невідомих - у правій:

Наведемо такі складові в обох частинах:

Тепер знайдемо значення змінної x. Для цього розділимо добуток 28 на відомий співмножник 7

Звідси x= 4.

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення 4

Вийшла вірна числова рівність. Отже, рівняння вирішено правильно.

Приклад 5. Вирішити рівняння

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння там, де це можна:

Помножимо обидві частини рівняння на 15

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння:

Скоротимо в обох частинах рівняння, що можна скоротити:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Розкриємо дужки там, де це можна:

Скористаємося перенесенням доданків. Доданки, що містять невідоме, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Не забуваємо, що під час перенесення, доданки змінюють свої знаки на протилежні:

Наведемо подібні доданки в обох частинах рівняння:

Знайдемо значення x

У відповіді можна виділити цілу частину:

Повернемося до вихідного рівняння і підставимо замість xзнайдене значення

Виходить досить громіздкий вираз. Скористаємося змінними. Ліву частину рівності занесемо у змінну A, а праву частину рівності до змінної B

Наше завдання полягає в тому, щоб переконатися, чи дорівнює ліва частина правої. Іншими словами, довести рівність A = B

Знайдемо значення виразу, що у змінної А.

Значення змінної Аодно. Тепер знайдемо значення змінної B. Тобто значення правої частини нашої рівності. Якщо і воно одно, то рівняння буде вирішено правильно

Бачимо, що значення змінної B, Як значення змінної A дорівнює . Це означає, що ліва частина дорівнює правій частині. Звідси робимо висновок, що рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо не множити обидві частини рівняння на те саме число, а ділити.

Розглянемо рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Вирішимо його звичайним методом: доданки, що містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки, вільні від невідомих - у правій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення x

Підставимо знайдене значення 2 замість xу вихідне рівняння:

Тепер спробуємо розділити всі складові рівняння 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 на якесь число. Помічаємо, що всі складові цього рівняння мають загальний множник 2. На нього і розділимо кожне доданок:

Виконаємо скорочення в кожному доданку:

Перепишемо те, що в нас залишилося:

Вирішимо це рівняння, користуючись відомими тотожними перетвореннями:

Отримали корінь 2 . Значить рівняння 15x+ 7x+ 7 = 35x − 20x+ 21 і 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 рівносильні.

Розподіл обох частин рівняння одне й те число дозволяє звільняти невідоме від коефіцієнта. У попередньому прикладі, коли ми отримали рівняння 7 x= 14 нам потрібно було розділити твір 14 на відомий співмножник 7. Але якби ми в лівій частині звільнили невідоме від коефіцієнта 7, корінь знайшовся б відразу. Для цього достатньо було розділити обидві частини на 7

Цим методом ми теж користуватимемося часто.

Множення на мінус одиницю

Якщо обидві частини рівняння помножити на мінус одиницю, то вийде рівняння рівносильне даному.

Це правило випливає з того, що від множення (або поділу) обох частин рівняння на те саме число, корінь даного рівняння не змінюється. Отже корінь не зміниться якщо обидві його частини помножити на −1 .

Це правило дозволяє змінити знаки всіх компонентів, що входять до рівняння. Для чого це потрібно? Знову ж таки, щоб здобути рівносильне рівняння, яке простіше вирішувати.

Розглянемо рівняння. Чому дорівнює корінь цього рівняння?

Додамо до обох частин рівняння число 5

Наведемо такі складові:

А тепер згадаємо про . Що ж є ліва частина рівняння. Це є твір мінус одиниці та змінної x

Тобто мінус, що стоїть перед змінною xвідноситься не до самої змінної xа до одиниці, яку ми не бачимо, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати. Це означає, що рівняння насправді виглядає так:

Маємо справу з компонентами множення. Щоб знайти х, Потрібно твір −5 розділити на відомий співмножник −1 .

або розділити обидві частини рівняння на −1 , що ще простіше

Отже, корінь рівняння дорівнює 5 . Для перевірки підставимо його у вихідне рівняння. Не забуваємо, що у вихідному рівнянні мінус, що стоїть перед змінною xвідноситься до невидимої одиниці

Вийшла вірна числова рівність. Значить рівняння вирішено правильно.

Тепер спробуємо помножити обидві частини рівняння на мінус одиницю:

Після розкриття дужок у лівій частині утворюється вираз, а права частина дорівнюватиме 10

Корінь цього рівняння, як і рівняння дорівнює 5

Значить рівняння та рівносильні.

Приклад 2. Вирішити рівняння

У цьому рівнянні всі компоненти є негативними. З позитивними компонентами працювати зручніше, ніж із негативними, тому поміняємо знаки всіх компонентів, що входять до рівняння. Для цього помножимо обидві частини даного рівняння на −1.

Зрозуміло, що з множення на −1 будь-яке число змінить свій знак протилежний. Тому саму процедуру множення на −1 та розкриття дужок докладно не розписують, а одразу записують компоненти рівняння з протилежними знаками.

Так, множення рівняння на −1 можна докладно записати наступним чином:

або можна легко змінити знаки всіх компонентів:

Вийде те саме, але різниця буде в тому, що ми заощадимо собі час.

Отже, помноживши обидві частини рівняння на −1 ми отримали рівняння . Вирішимо це рівняння. З обох частин віднімемо число 4 і розділимо обидві частини на 3

Коли корінь знайдено, змінну зазвичай записують у лівій частині, та її значення у правій, що й зробили.

Приклад 3. Вирішити рівняння

Помножимо обидві частини рівняння на −1. Тоді всі компоненти змінять свої знаки на протилежні:

З обох частин рівняння, що вийшло, віднімемо 2 xі наведемо подібні доданки:

Додамо до обох частин рівняння одиницю і наведемо такі складові:

Прирівнювання до нуля

Нещодавно ми дізналися, що якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.

А що буде якщо перенести з однієї частини до іншої не один доданок, а всі доданки? Мабуть, у тій частині, звідки забрали всі складові, залишиться нуль. Іншими словами, нічого не залишиться.

Як приклад розглянемо рівняння. Вирішимо дане рівняння, як завжди — складові, що містять невідомі, згрупуємо в одній частині, а числові доданки, вільні від невідомих залишимо в іншій. Далі виконуючи відомі тотожні перетворення, знайдемо значення змінної x

Тепер спробуємо вирішити це рівняння, прирівнявши всі його компоненти до нуля. Для цього перенесемо всі складові з правої частини до лівої, змінивши знаки:

Наведемо такі складові в лівій частині:

Додамо до обох частин 77 і розділимо обидві частини на 7

Альтернатива правилам знаходження невідомих

Очевидно, що знаючи про тотожні перетворення рівнянь, можна не заучувати напам'ять правила знаходження невідомих.

Наприклад, знаходження невідомого у рівнянні ми твір 10 ділили на відомий співмножник 2

Але якщо в рівнянні обидві частини розділити на 2 корені, знайдеться відразу. У лівій частині рівняння в чисельнику множник 2 і в знаменнику множник 2 скоротяться на 2. А права частина дорівнюватиме 5

Рівняння виду ми вирішували висловлюючи невідомий доданок:

Але можна скористатися тотожними перетвореннями, які ми сьогодні вивчили. У рівнянні доданок 4 можна перенести у праву частину, змінивши знак:

У лівій частині рівняння скоротяться дві двійки. Права частина дорівнюватиме 2. Звідси .

Або можна було з обох частин рівняння відняти 4. Тоді вийшло б таке:

У разі рівнянь вигляду зручніше ділити твір на відомий співмножник. Порівняємо обидва рішення:

Перше рішення набагато коротше і акуратніше. Друге рішення можна значно вкоротити, якщо виконати поділ в умі.

Тим не менш, необхідно знати обидва методи, і тільки потім використовувати той, який більше подобається.

Коли коріння кілька

Рівняння може мати кілька коренів. Наприклад, рівняння x(x + 9) = 0 має два корені: 0 та −9 .

У рівнянні x(x + 9) = 0 потрібно було знайти таке значення xпри якому ліва частина дорівнювала б нулю. У лівій частині цього рівняння містяться вирази xі (x + 9)які є співмножниками. Із законів твору ми знаємо, що твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю(або перший помножувач або другий).

Тобто в рівнянні x(x + 9) = 0 рівність досягатиметься, якщо xдорівнюватиме нулю або (x + 9)дорівнюватиме нулю.

x= 0 або x + 9 = 0

Прирівнявши до нуля обидва ці вирази, ми зможемо знайти коріння рівняння x(x + 9) = 0. Перше коріння, як видно з прикладу, знайшлося відразу. Для знаходження другого кореня потрібно вирішити елементарне рівняння x+ 9 = 0. Нескладно здогадатися, що корінь цього рівняння дорівнює -9. Перевірка показує, що корінь вірний:

−9 + 9 = 0

Приклад 2. Вирішити рівняння

Дане рівняння має два корені: 1 і 2. Ліва частина рівняння є добуток виразів ( x− 1) та ( x− 2) . А добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю (або співмножник ( x− 1) або змножувач ( x − 2) ).

Знайдемо таке xпри якому вирази ( x− 1) або ( x− 2) звертаються до нулі:

Підставляємо по черзі знайдені значення у вихідне рівняння і переконуємося, що при цих значеннях ліва частина дорівнює нулю:

Коли коріння нескінченно багато

Рівняння може мати нескінченно багато коренів. Тобто, підставивши в таке рівняння будь-яке число, ми отримаємо правильну числову рівність.

Приклад 1. Вирішити рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння та навести подібні доданки, то вийде рівність 14 = 14 . Ця рівність буде виходити за будь-якого x

Приклад 2. Вирішити рівняння

Коренем цього рівняння є будь-яке число. Якщо розкрити дужки в лівій частині рівняння, то вийде рівність 10x + 12 = 10x + 12. Ця рівність буде виходити за будь-якого x

Коли коріння немає

Трапляється й отже рівняння зовсім немає рішень, тобто немає коренів. Наприклад, рівняння не має коріння, оскільки при будь-якому значенні x, ліва частина рівняння не дорівнюватиме правій частині. Наприклад, нехай. Тоді рівняння набуде наступного вигляду

Приклад 2. Вирішити рівняння

Розкриємо дужки у лівій частині рівності:

Наведемо такі складові:

Бачимо, що ліва частина не дорівнює правій частині. І так буде за будь-якого значення y. Наприклад, нехай y = 3 .

Літерні рівняння

Рівняння може містити не лише числа зі змінними, а й літери.

Наприклад, формула знаходження швидкості є буквеним рівнянням:

Це рівняння визначає швидкість руху тіла при рівноприскореному русі.

Корисною навичкою є вміння виразити будь-який компонент, що входить у буквене рівняння. Наприклад, щоб із рівняння визначити відстань, потрібно виразити змінну s .

Помножимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на t

У рівнянні, що вийшло, ліву і праву частину поміняємо місцями:

У нас вийшла формула знаходження відстані, яку ми вивчали раніше.

Спробуймо з рівняння визначити час. Для цього потрібно висловити змінну t .

Помножимо обидві частини рівняння на t

У правій частині змінні tскоротимо на tі перепишемо те, що в нас залишилося:

У рівнянні, що вийшло, v × t = sобидві частини розділимо на v

У лівій частині змінні vскоротимо на vі перепишемо те, що в нас залишилося:

У нас вийшла формула визначення часу, яку ми вивчали раніше.

Припустимо, що швидкість поїзда дорівнює 50 км/год.

v= 50 км/год

А відстань дорівнює 100 км

s= 100 км

Тоді буквене набуде наступного вигляду

З цього рівняння можна знайти час. Для цього потрібно виразити змінну t. Можна скористатися правилом знаходження невідомого дільника, розділивши ділене на приватне і таким чином визначити значення змінної t

або можна скористатися тотожними перетвореннями. Спочатку помножити обидві частини рівняння на t

Потім розділити обидві частини на 50

Приклад 2 x

Віднімемо з обох частин рівняння a

Розділимо обидві частини рівняння на b

a + bx = c, то ми матимемо готове рішення. Достатньо буде підставити до нього потрібні значення. Ті значення, які підставлятимуться замість букв a, b, cприйнято називати параметрами. А рівняння виду a + bx = cназивають рівнянням із параметрами. Залежно від параметрів, корінь змінюватиметься.

Розв'яжемо рівняння 2 + 4 x= 10. Воно схоже на буквене рівняння a + bx = c. Замість того щоб виконувати тотожні перетворення, ми можемо скористатися готовим рішенням. Порівняємо обидва рішення:

Бачимо, що друге рішення набагато простіше та коротше.

Для готового рішення потрібно зробити невелике зауваження. Параметр bне повинен дорівнювати нулю (b ≠ 0)оскільки розподіл на нуль не допускається.

Приклад 3. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Розкриємо дужки в обох частинах рівняння

Скористаємося перенесенням доданків. Параметри, що містять змінну x, згрупуємо в лівій частині рівняння, а параметри вільні від цієї змінної - у правій.

У лівій частині винесемо за дужки множник x

Розділимо обидві частини на вираз a − b

У лівій частині чисельник та знаменник можна скоротити на a − b. Так остаточно висловиться змінна x

Тепер, якщо нам трапиться рівняння виду a(x − c) = b(x + d), то ми матимемо готове рішення. Достатньо підставити в нього потрібні значення.

Допустимо нам дано рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) . Воно схоже на рівняння a(x − c) = b(x + d). Вирішимо його двома способами: за допомогою тотожних перетворень та за допомогою готового рішення:

Для зручності витягнемо з рівняння 4(x − 3) = 2(x+ 4) значення параметрів a, b, c, d . Це дозволить нам не помилитися при підстановці:

Як і в минулому прикладі знаменник тут не повинен дорівнювати нулю ( a − b ≠ 0). Якщо нам зустрінеться рівняння виду a(x − c) = b(x + d)в якому параметри aі bбудуть однаковими, ми зможемо не вирішуючи його сказати, що у цього рівняння коріння немає, оскільки різниця однакових чиселдорівнює нулю.

Наприклад, рівняння 2(x − 3) = 2(x + 4)є рівнянням виду a(x − c) = b(x + d). У рівнянні 2(x − 3) = 2(x + 4)параметри aі bоднакові. Якщо ми почнемо його вирішувати, то прийдемо до того, що ліва частина не дорівнюватиме правій частині:

Приклад 4. Дано буквене рівняння. Виразіть із цього рівняння x

Наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:

Помножимо обидві частини на a

У лівій частині xвинесемо за дужки

Розділимо обидві частини на вираз (1 − a)

Лінійні рівняння з одним невідомим

Розглянуті у цьому уроці рівняння називають лінійними рівняннями першого ступеня з одним невідомим.

Якщо рівняння дано у першому ступені, немає поділу на невідоме, і навіть містить коренів з невідомого, його можна назвати лінійним. Ми ще не вивчали ступеня та коріння, тому щоб не ускладнювати собі життя, слово «лінійний» розумітимемо як «простий».

Більшість рівнянь, вирішених у цьому уроці, зрештою зводилися до найпростішого рівняння, у якому треба було твір розділити на відомий співмножник. Таким, наприклад, є рівняння 2( x+ 3) = 16. Давайте вирішимо його.

Розкриємо дужки в лівій частині рівняння, отримаємо 2 x+ 6 = 16. Перенесемо доданок 6 у праву частину, змінивши знак. Тоді отримаємо 2 x= 16 − 6. Обчислимо праву частину, отримаємо 2 x= 10. Щоб знайти xрозділимо добуток 10 на відомий співмножник 2. Звідси x = 5.

Рівняння 2( x+ 3) = 16 є лінійним. Воно звелося до рівняння 2 x= 10 для знаходження кореня якого потрібно було розділити твір на відомий співмножник. Таке найпростіше рівняння називають лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. Слово "канонічний" є синонімом слів "найпростіший" або "нормальний".

Лінійне рівняння першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді називають рівняння виду ax = b.

Отримане нами рівняння 2 x= 10 є лінійним рівнянням першого ступеня з одним невідомим у канонічному вигляді. У цього рівняння перший ступінь, одне невідоме, воно не містить поділу на невідоме і не містить коріння з невідомого, і представлене воно в канонічному вигляді, тобто в найпростішому вигляді, при якому легко можна визначити значення x. Замість параметрів aі bу нашому рівнянні містяться числа 2 і 10. Але подібне рівняння може містити інші числа: позитивні, негативні або рівні нулю.

Якщо в лінійному рівнянні a= 0 і b= 0 то рівняння має нескінченно багато коренів. Справді, якщо aодно нулю і bодно нулю, то лінійне рівняння ax= bнабуде вигляду 0 x= 0. За будь-якого значення xліва частина дорівнюватиме правій частині.

Якщо в лінійному рівнянні a= 0 і b≠ 0, то рівняння коренів не має. Справді, якщо aодно нулю і bодно якомусь числу, не рівному нулю, скажімо числу 5, то рівняння ax = bнабуде вигляду 0 x= 5. Ліва частина дорівнюватиме нулю, а права частина п'яти. А нуль не дорівнює п'яти.

Якщо в лінійному рівнянні a≠ 0 і bі будь-якому числу, то рівняння має один корінь. Він визначається розподілом параметра bна параметр a

Справді, якщо aодно якомусь числу, не рівному нулю, скажімо числу 3 , і bі якомусь числу, скажімо числу 6 , то рівняння набуде вигляду .
Звідси.

Існує й інша форма запису лінійного рівняння першого ступеня з одним невідомим. Виглядає вона так: ax − b= 0. Це те саме рівняння, що і ax = b

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

РІВНЯННЯ
Рівнянням називається математичне співвідношення, що виражає рівність двох виразів алгебри. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значеньвходять до нього невідомих, воно називається тотожністю; наприклад, співвідношення виду (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) виконується при всіх значеннях змінної x. Для позначення тотожності часто замість звичайного знака рівності = пишуть знак є, який читається "тотожно рівно". Тотожності використовуються в алгебрі при записі розкладання багаточленів на множники (як у наведеному вище прикладі). Зустрічаються вони і в тригонометрії у таких співвідношеннях, як sin2x + cos2x = 1, а загальному випадку виражають формальне відношення між двома на перший погляд різними математичними виразами. Якщо рівняння, що містить змінну x, виконується лише за певних, а чи не за всіх значеннях x, як і тотожності, може бути корисним визначити ті значення x, у яких це рівняння справедливо. Такі значення x називаються корінням або розв'язками рівняння. Наприклад, число 5 є коренем рівняння 2x + 7 = 17. Рівняння є потужним засобом розв'язання практичних завдань. Точна мова математики дозволяє просто висловити факти та співвідношення, які, будучи викладеними звичайною мовою, можуть здатися заплутаними та складними. Невідомі величини, що позначаються в задачі символами, наприклад x, можна знайти, сформулювавши завдання математичною мовою у вигляді рівнянь. Методи розв'язання рівнянь становлять переважно предмет того розділу математики, який називається теорією рівнянь.
ТИПИ РІВНЯНЬ
Алгебраїчні рівняння.Рівняння виду fn = 0, де fn - багаточлен від однієї або кількох змінних, називаються рівняннями алгебри. Багаточлен називається вираз виду fn = a0 xiyj ... vk + a1 xlym ... vn + ј + asxpyq ... vr, де x, y, ..., v - змінні, а i, j, ..., r – показники ступенів (цілі невід'ємні числа). Багаточлен від однієї змінної записується так: f(x) = a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an - 1x + an або, в окремому випадку, 3x4 - x3 + 2x2 + 4x - 1. Алгебраїчним рівнянням з одним невідомим називається будь-яке рівняння виду f(x) = 0. Якщо a0 № 0, то n називається ступенем рівняння. Наприклад, 2x + 3 = 0 – рівняння першого ступеня; рівняння першого ступеня називаються лінійними, оскільки графік функції y = ax + b має вигляд прямої. Рівняння другого ступеня називаються квадратними, а рівняння третього ступеня – кубічними. Аналогічні назви мають і рівняння вищих ступенів.
Трансцендентні рівняння.Рівняння, що містять трансцендентні функції, такі як логарифмічна, показова або тригонометрична функція, називаються трансцендентними. Прикладом можуть бути такі рівняння:

Де lg - логарифм на підставі 10.
Диференційне рівняння.Так називаються рівняння, що містять одну або кілька функцій та їх похідні чи диференціали. Диференціальні рівняння виявилися виключно цінним засобом точного формулювання законів природи.
Інтегральні рівняння.Рівняння, що містять невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад, f(s) = тK(s, t) f(t) dt, де f(s) та K(s,t) задані, а f(t) потрібно знайти.
Діофантові рівняння.Діофантовим рівнянням називається рівняння алгебри з двома або більше невідомими з цілими коефіцієнтами, рішення якого шукається в цілих або раціональних числах. Наприклад, рівняння 3x – 5y = 1 має рішення x = 7, y = 4; загалом його рішеннями служать цілі числа виду x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
РІШЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Для всіх перерахованих вище типів рівнянь загальних методіврішення немає. І все ж у багатьох випадках, особливо для алгебраїчних рівняньпевного типу, є достатньо повна теоріяїх вирішення.
Лінійні рівняння. Ці прості рівняння вирішуються шляхом їхнього зведення до еквівалентного рівняння, з якого безпосередньо видно значення невідомого. Наприклад, рівняння x + 2 = 7 можна звести до еквівалентного рівняння x = 5 відніманням числа 2 з правої та лівої частин. Кроки, що здійснюються під час відомості простого рівняннянаприклад, x + 2 = 7, до еквівалентного, засновані на використанні чотирьох аксіом. 1. Якщо рівні величинизбільшити на те саме число, то результати будуть рівні. 2. Якщо з рівних величин відняти одне й те число, то результати дорівнюватимуть. 3. Якщо рівні величини помножити на те саме число, то результати будуть рівні. 4. Якщо рівні величини поділити на те саме число, то результати будуть рівні. Наприклад, щоб вирішити рівняння 2x + 5 = 15, ми скористаємося аксіомою 2 і віднімемо число 5 з правої і лівої частин, в результаті чого отримаємо еквівалентне рівняння 2x = 10. Потім ми скористаємося аксіомою 4 і розділимо обидві частини отриманого у внаслідок чого вихідне рівняння зведеться до виду x = 5, що є шуканим рішенням.
Квадратні рівняння.Рішення спільного квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 можна отримати за допомогою формули

Таким чином, існують два рішення, які в окремому випадку можуть збігатися.
Інші рівняння алгебри.Явні формули, аналогічні формулі для розв'язання квадратного рівняння, можна виписати тільки для рівнянь третього та четвертого ступенів. Але ці формули складні і які завжди допомагають легко знаходить коріння. Що ж до рівнянь п'ятого ступеня чи вище, то їм, як довів М.Абель в 1824, не можна вказати загальну формулуяка виражала б коріння рівняння через його коефіцієнти за допомогою радикалів. У окремих випадках рівняння вищих ступенів вдається легко вирішити, факторизуючи їхню ліву частину, тобто. розкладаючи її на множники. Наприклад, рівняння x3 + 1 = 0 можна записати в факторизованому вигляді (x + 1) (x2 - x + 1) = 0. Рішення ми знаходимо, вважаючи кожен з множників рівним нулю: Таким чином, коріння дорівнює x = -1,
Системи лінійних рівнянь.Два лінійні рівняння з двома невідомими можна записати у вигляді

Рішення такої системи знаходиться за допомогою визначників

Воно має сенс, якщо

>
>>">

Якщо m = n і матриця (aij) невироджена, то рішення єдине і може бути знайдено за правилом Крамера:

де Aji - алгебраїчне доповненняелемента aij у матриці (aij). У більш загальному планіІснують такі теореми. Нехай r – ранг матриці (aij), s – ранг облямованої матриці (aij; bi), яка виходить з aij приєднанням стовпця з чисел bi. Тоді: (1) якщо r = s, то існує n - r лінійно незалежних рішень; (2) якщо r Див. такожАлгебра.

Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000 .

Дивитися що таке "РІВНЯННЯ" в інших словниках:

Рівняння рівність виду або, де f і g функції (загалом векторні) одного або декількох аргументів, а також завдання по знаходженню таких значень аргументів, при яких ця рівність досягається. На можливі значення аргументів можуть ... Вікіпедія

рівняння- вирішувати диференційне рівнянняРішення … Дієслівної сполучуваності непредметних імен

Рівняння Ейлера Лагранжа (у фізиці також рівняння Лагранжа Ейлера або рівняння Лагранжа) є основними формулами варіаційного обчислення, за допомогою яких шукаються стаціонарні точки та екстремуми функціоналів. Зокрема, ці… … Вікіпедія

Механіка суцільних середовищ Суцільне середовищеКласичне хутро … Вікіпедія

- (англ. RANS (Reynolds averaged Navier Stokes)) рівняння Навье Стокса(Рівняння руху в'язкої рідини) середні по Рейнольдсу. Використовуються для опису турбулентних течій. Метод опосередкування Рейнольдса полягає у заміні випадково… … Вікіпедія

Рівняння Ейлера Лагранжа є основними формулами варіаційного обчислення, за допомогою яких шукаються екстремуми функціоналів. Зокрема, ці рівняння широко використовуються в задачах оптимізації, і, спільно з принципом дії, … Вікіпедія

Рівняння Прока узагальнення рівнянь Максвелла, покликане описувати масивні частинки зі спином 1. Рівняння Прока зазвичай записуються у вигляді де антисиметричний тензор електромагнітного поля.

Що таке рівняння?

Тим, хто робить перші кроки в алгебрі, звичайно, потрібно максимально впорядковане подання матеріалу. Тому в нашій статті про те, що таке рівняння, ми не лише дамо визначення, а й наведемо різні класифікаціїрівнянь із прикладами.

Що таке рівняння: загальні поняття

Отже, рівняння - це вид рівності з невідомим, що позначається латинською літерою. При цьому числове значення даної літери, що дозволяє отримати правильну рівність, називається коренем рівняння. Більш детально про це ви можете прочитати в нашій статті, ми ж продовжимо розмову про самі рівняння. Аргументами рівняння (чи змінними) називаються невідомі, а рішенням рівняння називається перебування всіх його коренів чи відсутності коренів.

Види рівнянь

Рівняння поділяються на дві великі групи: алгебраїчні та трансцендентні.

• Алгебраїчним називається таке рівняння, в якому для знаходження кореня рівняння використовуються тільки алгебраїчні дії- 4 арифметичні, а також зведення в ступінь та вилучення натурального кореня.
• Трансцендентним називається рівняння, у якому знаходження кореня використовуються неалгебраїчні функції: наприклад, тригонометричні, логарифмічні та інші.

Серед рівнянь алгебри виділяють також:

• цілі - з обома частинами, що складаються з цілих виразів алгебри по відношенню до невідомих;
• дробові - містять цілі алгебраїчні виразиу чисельнику та знаменнику;
• ірраціональні - алгебраїчні вирази тут перебувають під знаком кореня.

Зауважимо також, що дробові та ірраціональні рівнянняможна звести до розв'язання цілих рівнянь.

Трансцендентні рівняння поділяються на:

• показові - це такі рівняння, які містять змінну в показнику ступеня. Вони вирішуються шляхом переходу до єдиної основи чи показника ступеня, винесенням спільного множниказа дужку, розкладанням на множники та деякими іншими способами;
• логарифмічні – рівняння з логарифмами, тобто такі рівняння, де невідомі знаходяться усередині самих логарифмів. Вирішувати такі рівняння дуже непросто (на відміну від, припустимо, більшості алгебраїчних), оскільки для цього потрібна солідна математична підготовка. Найважливіше тут перейти від рівняння з логарифмами до рівняння без них, тобто спростити рівняння (такий спосіб видалення логарифмів називається потенціюванням). Зрозуміло, потенціювати логарифмічне рівнянняможна тільки у тому випадку, якщо вони мають тотожні числові підстави та не мають коефіцієнтів;
• тригонометричні - це рівняння зі змінних під знаками тригонометричних функцій. Їхнє рішення вимагає початкового освоєння тригонометричних функцій;
• змішані – це диференційовані рівняння з частинами, що належать до різних типів (наприклад, з параболічною та еліптичною частинами або еліптичною та гіперболічною тощо).

Що стосується класифікації за кількістю невідомих, то тут все просто: розрізняють рівняння з одним, двома, трьома тощо невідомими. Існує також і ще одна класифікація, яка ґрунтується на ступені, що є у лівій частині многочлена. Тому розрізняють лінійні, квадратні і кубічні рівняння. Лінійні рівняння також можуть називатися рівняннями 1-го ступеня, квадратні - 2-го, а кубічні, відповідно, 3-го. Ну а тепер наведемо приклади рівнянь тієї чи іншої групи.

Приклади різних типів рівнянь

Приклади рівнянь алгебри:

• ax + b = 0
• ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0
  (a не дорівнює 0)

Приклади трансцендентних рівнянь:

• cos x = x lg x = x−5 2 x = lgx+x 5 +40

Приклади цілих рівнянь:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Приклад дробових рівнянь:

• 15 x + - = 5x - 17 x

Приклад ірраціональних рівнянь:

• √2kf(x)=g(x)

Приклади лінійних рівнянь:

• 2х +7 = 0х - 3 = 2 - 4х 2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Приклади квадратних рівнянь:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Приклади кубічних рівнянь:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Приклади показових рівнянь:

• 5 х +2 = 125 3 х · 2 х = 8 х +3 3 2х +4 · 3 х -5 = 0

Приклади логарифмічних рівнянь:

• log 2 x = 3 log 3 x = -1

Приклади тригонометричних рівнянь:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x

Приклади змішаних рівнянь:

• log х (log 9 (4⋅3 х −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Залишилось додати, що для вирішення рівнянь різних типівзастосовуються самі різні методи. Ну а щоб вирішувати практично будь-які рівняння, знадобляться знання не тільки алгебри, але також і тригонометрії, причому нерідко знання дуже глибокі.