Корінь n ого ступеня приклади розв'язування рівнянь. Ступінь із довільним раціональним показником

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-ого ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – не від'ємне числоза будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обґрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке додатне число, то кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь"відокремлюється" від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що мова йдесаме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь із нуля дорівнює нулю, тобто, . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний коріньз 343 0 є кубічний корінь з нуля, а −2/3 є кубічним коренем з −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує тільки єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в спільній статтівластивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З даного визначенняВідомо, що корінь першого ступеня з числа a є саме число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показникомми прийняли a 1 = a.

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-який парного ступеняу складі a існує лише для неотрицательного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2·m, де m – деяке натуральне число) у складі a . Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a та b обидва позитивні або обидва негативні їх твір є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що знаходиться в дужках самої високого ступенявкладеності є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.

Цілі уроку:

Освітня: створити умови для формування в учнів цілісного уявлення про корені n-ого ступеня, навичок свідомого та раціонального використаннявластивостей кореня під час вирішення різних завдань.

Розвиваюча: створити умови для розвитку алгоритмічного, творчого мисленнярозвивати навички самоконтролю.

Виховні: сприяти розвитку інтересу до предмета, активності, виховувати акуратність у роботі, вміння висловлювати власну думкудавати рекомендації.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Добридень! Добра година!

Як я рада вас бачити.

Продзвенів уже дзвінок

Починається урок.

Усміхнулися. Дорівнювали.

Один на одного подивилися

І тихенько дружно сіли.

2. Мотивація уроку.

Видатний французький філософ, учений Блез Паскаль стверджував: «Велич людини у його здатності мислити». Сьогодні ми спробуємо відчути себе великими людьми, відкриваючи знання собі. Девізом до сьогоднішнього уроку будуть слова давньогрецького математикаФалеса:

Що є найбільше у світі? - Простір.

Що найшвидше? - Розум.

Що наймудріше? - Час.

Що найприємніше? - Досягти бажаного.

Хочеться, щоб кожен із вас на сьогоднішньому уроці досягнув бажаного результату.

3. Актуалізація знань.

1. Назвіть взаємозворотні операції алгебри над числами. (Складання та віднімання, множення та поділ)

2. Чи завжди можна виконати таку операцію алгебри, як розподіл? (Ні, ділити на нуль не можна)

3. Яку ще операцію ви можете виконувати з числами? (Зведення в ступінь)

4. Яка операція їй буде зворотною? (Вилучення кореня)

5. Корінь якого ступеня ви можете отримувати? (Корінь другого ступеня)

6. Які властивості квадратного кореня ви знаєте? (Витяг квадратного кореня з твору, з приватного, з кореня, зведення в ступінь)

7. Знайдіть значення виразів:

З історії.Ще 4000 років тому вавилонські вчені склали поряд з таблицями множення та таблицями зворотних величин (за допомогою яких розподіл чисел зводилося до множення) таблиці квадратів чисел і квадратних коренів чисел. При цьому вони вміли шукати приблизне значенняквадратного кореня із будь-якого цілого числа.

4. Вивчення нового матеріалу.

Очевидно, що відповідно до основних властивостей ступенів з натуральними показниками, з будь-якого позитивного числа існує два протилежні значення кореня парного ступеня, наприклад, числа 4 і -4 є корінням квадратним з 16, так як (-4) 2 = 42 = 16, а числа 3 і -3 є корінням четвертого ступеня з 81, так як (-3) 4 = З4 = 81.

Крім того, немає кореня парного ступеня з негативного числа, оскільки парний ступінь будь-якого дійсного числа невід'ємний. Що ж до кореня непарного ступеня, то для будь-якого дійсного числа існує тільки один корінь непарного ступеня з цього числа. Наприклад, 3 є корінь третього ступеня з 27, оскільки З3 = 27, а -2 є корінь п'ятого ступеня з -32, оскільки (-2) 5 = 32.

У зв'язку з існуванням двох коренів парного ступеня з позитивного числа, введемо поняття арифметичного кореня, щоб усунути цю двозначність кореня.

Невід'ємне значення кореня n-го ступеняз невід'ємного числа називається арифметичним коренем.

Позначення: - Корінь n-го ступеня.

Число n називається ступенем арифметичного кореня. Якщо n = 2, то рівень кореня не вказується і пишеться. Корінь другого ступеня прийнято називати квадратним, а корінь третього ступеня – кубічним.

B, b2 = а, а ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = а, п - парне а ≥ 0, b ≥ 0

п - непарне а, b - будь-які

Властивості

1. , а ≥ 0, b ≥ 0

2. , а ≥ 0, b >0

3. , а ≥ 0

4. , m, n, k - натуральні числа

5. Закріплення нового матеріалу.

Усна робота

а) Які висловлювання мають сенс?

б) При яких значеннях змінної а є сенс вираз?

Вирішити №3, 4, 7, 9, 11.

6. Фізкультхвилинка.

У всіх справах помірність потрібна,

Нехай буде основним правилом вона.

Гімнастикою займися, якщо думав довго,

Гімнастика не виснажує тіла,

Але очищає організм повністю!

Закрийте очі, розслабте тіло,

Уявіть – ви птахи, ви раптом полетіли!

Тепер в океані дельфіном пливете,

Тепер у саду яблука стиглі рветься.

Ліворуч, праворуч, довкола подивилися,

Розплющили очі, і знову за справу!

7. Самостійна робота.

Робота у парах с. 178 №1, №2.

8. Д/з.Вивчити п.10 (с.160-161), вирішити № 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Підсумки уроку. Рефлексія діяльності.

Чи досягнув урок своєї мети?

Чого ви навчилися?

Ця стаття є сукупністю детальної інформації, Що стосується теми якості коренів. Розглядаючи тему, ми почнемо з властивостей, вивчимо всі формулювання та наведемо докази. Для закріплення теми ми розглянемо властивості n-го ступеня.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Властивості коренів

Ми поговоримо про властивості.

1. Властивість помножених чисел aі b, яке представляється як рівність a · b = a · b. Його можна представити у вигляді множників, позитивних або рівних нулю a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
2. з частки a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , він також може записуватися в такому вигляді a b = a b ;
3. Властивість зі ступеня числа aз парним показником a 2 · m = a m за будь-якого числа aнаприклад, властивість із квадрата числа a 2 = a .

У будь-якому з представлених рівнянь можна поміняти частини до і після знака тире місцями, наприклад, рівність a · b = a · b трансформується як a · b = a · b . Властивості для рівності часто використовуються для спрощення складних рівнянь.

Доказ перших властивостей ґрунтується на визначенні квадратного кореня та властивостях ступенів з натуральним показником. Щоб обґрунтувати третю властивість, необхідно звернутися до визначення модуля числа.

Насамперед, необхідно довести властивості квадратного кореня a · b = a · b. Згідно з визначенням, необхідно розглянути, що a · b - число, позитивне або рівне нулю, яке дорівнює a · bпри зведенні у квадрат. Значення виразу a · b позитивно чи дорівнює нулю як добуток невід'ємних чисел. Властивість ступеня помножених чисел дозволяє уявити рівність у вигляді (a · b) 2 = a 2 · b 2 . За визначенням квадратного кореня a 2 = a і b 2 = b , то a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Аналогічним способом можна довести, що з твору kмножників a 1 , a 2 , … , a kдорівнюватиме добутку квадратного коріння з цих множників. Справді, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · ak .

З цієї рівності випливає, що a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Розглянемо кілька прикладів закріплення теми.

Приклад 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 і 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) .

Необхідно довести властивість арифметичного квадратного кореня із частки: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Властивість дозволяє записати рівність a: b 2 = a 2: b 2 а 2: b 2 = a: b при цьому a: b є позитивним числом або дорівнює нулю. Цей вираз і стане доказом.

Наприклад, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 і 3 0, 121 = 3 0, 121 .

Розглянемо властивість квадратного кореня із квадрата числа. Його можна записати у вигляді рівності як a 2 = a Щоб довести цю властивість, необхідно докладно розглянути кілька рівностей при a ≥ 0і при a< 0 .

Вочевидь, що з a ≥ 0 справедлива рівність a 2 = a . При a< 0 буде вірна рівність a 2 = - a. Насправді, у цьому випадку − a > 0та (− a) 2 = a 2 . Можна зробити висновок, a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 2

5 2 = 5 = 5 і - 0,36 2 = -0, 36 = 0,36.

Доведена властивість допоможе дати обґрунтування a 2 · m = a m, де a- дійсне, а m-натуральне число. Дійсно, властивість зведення ступеня дозволяє замінити ступінь a 2 · mвиразом (a m) 2тоді a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Приклад 3

3 8 = 3 4 = 3 4 і (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Властивості кореня n-ого ступеня

Для початку необхідно розглянути основні властивостікоренів n-ого ступеня:

1. Властивість із твору чисел aі b, які позитивні або рівні нулю, можна виразити як рівність a · b n = a n · b n , дана властивість справедлива для твору kчисел a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
2. з дробового числамає властивість a b n = a n b n , де a- будь-яке дійсне число, яке позитивно або дорівнює нулю, а b- Позитивне дійсне число;
3. За будь-якого aта парних показниках n = 2 · mсправедливо a 2 · m 2 · m = a, а при непарних n = 2 · m − 1виконується рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Властивість вилучення з a m n = a n · m, де a- будь-яке число, позитивне або рівне нулю, nі m- Натуральні числа, ця властивість також може бути представлена ​​у вигляді. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · N k;
5. Для будь-якого невід'ємного a і довільних nі m, які є натуральними, також можна визначити справедливу рівність a m n · m = a n;
6. Властивість ступеня nзі ступеня числа a, яке позитивно або дорівнює нулю, натурального ступеня m, що визначається рівністю a m n = a n m;
7. Властивість порівняння, які мають однаковими показниками: для будь-яких позитивних чисел aі bтаких, що a< b , виконується нерівність a n< b n ;
8. Властивість порівняння, які мають однаковими числамипід корінням: якщо mі n –натуральні числа, що m > n, тоді при 0 < a < 1 справедлива нерівність a m > a n , а при a > 1виконується a m< a n .

Рівності, наведені вище, є справедливими, якщо частини до і після знака і поміняти місцями. Вони можуть бути використані й у такому вигляді. Це часто застосовується під час спрощення або перетворення виразів.

Доказ наведених вище властивостей кореня ґрунтується на визначенні, властивостях ступеня та визначенні модуля числа. Ці властивості необхідно довести. Але все гаразд.

1. Насамперед доведемо властивості кореня n-ого ступеня з твору a · b n = a n · b n . Для aі b , якіє позитивними або рівними нулю , значення a n · b n також позитивно чи дорівнює нулю, оскільки є наслідком множення невід'ємних чисел. Властивість твору в натуральній мірі дозволяє записати рівність a n · b n n = a n n · b n n . За визначенням кореня n-ой ступеня a n n = a і b n n = b, отже, a n · b n n = a · b . Отримана рівність – саме те, що потрібно було довести.

Аналогічно доводиться це властивість добутку kмножників: для невід'ємних чисел a 1 , a 2 , … , a n виконується a 1 n · a 2 n · … · ak n ≥ 0 .

Наведемо приклади використання властивості кореня n-ой ступеня з твору: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 і 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 3 · 5 7 4 .

1. Доведемо властивість кореня з частки a b n = a n b n . При a ≥ 0і b > 0виконується умова a n b n ≥ 0, а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажемо приклади:

Приклад 4

8 27 3 = 8 3 27 3 і 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Для наступного кроку необхідно довести властивості n-ого ступеня з числа ступеня n. Представимо це у вигляді рівності a 2 · m 2 · m = a та a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для будь-якого дійсного aта натурального m. При a ≥ 0отримуємо a = a і a 2 · m = a 2 · m , що доводить рівність a 2 · m 2 · m = a, а рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a< 0 отримуємо відповідно a = - a і a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Остання трансформація числа справедлива згідно з якістю ступеня. Саме це доводить рівність a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a буде справедливо, оскільки за непарною мірою розглядається - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для будь-якого числа c,позитивного чи рівного нулю.

Для того щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька прикладів з використанням властивості:

Приклад 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 і (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Доведемо таку рівність a m n = a n · m. Для цього необхідно поміняти числа до знака і після нього місцями a n · m = a m n . Це означатиме правильний запис. Для a,яке є позитивним або одно нулю , виду a m n є числом позитивним або рівним нулю. Звернемося до якості зведення ступеня до ступеня та визначення. З їхньою допомогою можна перетворити рівності як a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Цим доведено аналізовану властивість кореня з кореня.

Аналогічно доводяться інші властивості. Справді, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · N k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · N k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · N k = . . . = a n k n k = a.

Наприклад, 7 3 5 = 7 5 · 3 та 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24 .

1. Доведемо таку властивість a m n · m = a n . Для цього необхідно показати, що a n - Число, позитивне або рівне нулю. При зведенні в ступінь n · m дорівнює a m. Якщо число aє позитивним або рівним нулю, то n-ого ступеня з числа aє числом позитивним або рівним нулю.

Щоб закріпити отримані знання, розглянемо кілька прикладів

1. Доведемо таку властивість – властивість кореня зі ступеня виду amn = anm. Очевидно, що при a ≥ 0ступінь an є невід'ємним числом. Більше того, її n-а ступінь дорівнює a mдійсно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Цим і доведено аналізовану властивість ступеня.

Наприклад, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Необхідний доказ, що для будь-яких позитивних чисел aі b виконано умову a< b . Розглянемо нерівність a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Отже, a n< b n при a< b .

Для прикладу наведемо 12 4< 15 2 3 4 .

1. Розглянемо властивість кореня n-ого ступеня. Необхідно спершу розглянути першу частину нерівності. При m > nі 0 < a < 1 справедливо a m > a n. Припустимо, що a m ≤ a n . Властивості дозволять спростити вираз до a n m · n ≤ a m m · n . Тоді, згідно з властивостями ступеня з натуральним показником, виконується нерівність a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , тобто, a n ≤ a m. Отримане значення при m > nі 0 < a < 1 не відповідає властивостям, наведеним вище.

У такий же спосіб можна довести, що при m > nі a > 1справедлива умова a m< a n .

Для того щоб закріпити наведені властивості, розглянемо кілька конкретних прикладів. Розглянемо нерівності, використовуючи певні числа.

Приклад 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозкових тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і найписьменніше визначення кореня - єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння буває парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребінці «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% всіх помилок і непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та ж рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, при $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь (до речі, це корінь парного ступеня), а за $n=3$ — кубічний (ступінь непарний), який теж часто зустрічається в завданнях та рівняннях.

приклади. Класичні прикладиквадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ sqrt (0) = 0 $, а $ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються — не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ \ \ \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливістькоріння, через яке нам і потрібно було вводити роздільне визначення для парних та непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку початкові класи. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось у дусі «п'ять на п'ять-двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Однак суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ліниві, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу аркушів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у нього знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо затятий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відомий ступінь числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що деяке число $b$, припустимо, в 5-му ступені дає 243, то як нам здогадатися, чому одно число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості готових ступенів таких вихідних чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27Rightarrow b=3cdot 3cdot 3Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що потрібно знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і придумали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки здебільшого, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна впіймати купу неочевидних помилок (до речі, навик порівняння і округлення в обов'язковому порядкуперевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками багатьох дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь у вигляді дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що цей корінь не є раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Звичайно, за зовнішньому виглядукореня практично неможливо здогадатися, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $sqrt(5)$ і $sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що всі квадратні корені, наведені в прикладах, витягуються з позитивних чисел. Ну в крайньому випадкуіз нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа — хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Подивіться графік функції $y=((x)^(2))$:

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $sqrt (4) $. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло — воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки відразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати $\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати ніяких додаткових умов, то квадратного коріння у четвірки буде два — позитивний і негативний. І в будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не витягується.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути невід'ємною кількістю. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна отримати завжди, абсолютно з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Натомість нам починають ширяти мозок усілякими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-ї кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке я дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього й треба зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парного ступеня існує лише з невід'ємного числа і сам є невід'ємним числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних — як натякає кеп, негативний.

Хіба це складно? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

Коріння має багато дивних властивостей і обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка стосується лише коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число в парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (достатньо окремо розглянути невід'ємні $x$, а потім окремо негативні). Про неї постійно товкмачать вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але щойно справа доходить до рішення ірраціональних рівнянь(Тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися в питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули і спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже прості приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку подібну хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось уже з цього нового числа необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки Загальна кількістьмінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову витягаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна й та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть невід'ємне число. В іншому випадку корінь не визначений.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому випадку;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягаємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідний вираз. Тому що якщо під коренем стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, всі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, що дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під корінням затесалося негативний вираз, А ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення - те саме, з якого в більшості шкіл і починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилинку, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з невід'ємними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-го ступеня з невід'ємного числа $a$ називається таке невід'ємне число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди невід'ємно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей самий ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ну, і що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $ \ sqrt (-2) $ - Це число цілком нормальне в нашому класичному розумінніале абсолютно неприпустимо з точки зору арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, т.к. показник непарний), а в другому - скористалися зазначеною вище формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF?! Як одне й те число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні коріння. Їм присвячений окремий великий урокде ми докладно розглядаємо всі їхні властивості. Отже зараз не будемо на них зупинятися — урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріалпризначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще — не на середньому «шкільному» рівні, але в наближеному до олімпіадному.

Так ось: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа та пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-го ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рису зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що алгебраїчний корінь- Це не конкретне число, а безліч. Оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожня безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють до цієї категорії;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожен із них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали порожня безліч. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа— там цілком можна порахувати і $sqrt(-16)$, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсіматематики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «надто складною для розуміння».

Сценарій уроку в 11 класі на тему:

Корінь n-го ступеня з дійсного числа. »

Мета уроку:Формування в учнів цілісного ставлення до корені n-ого ступеня та арифметичного коріння n-ого ступеня, формування обчислювальних навичок, навичок свідомого та раціонального використання властивостей кореня при вирішенні різних завдань, що містять радикал. Перевірити рівень засвоєння учнями теми.

Предметні:створити змістовні та організаційні умовидля засвоєння матеріалу на тему «Числові та буквені вирази» на рівні сприйняття осмислення та первинного запам'ятовування; формувати вміння застосовувати дані відомості при обчисленні кореня n-го ступеня із дійсного числа;

Метопредметні:сприяти розвитку обчислювальних навичок; вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;

Особистісні:виховувати вміння висловлювати свою думку, слухати відповіді інших, брати участь у діалозі, формувати здатність до позитивного співробітництва.

Запланований результат.

Предметні: вміти в процесі реальної ситуації застосовувати властивості кореня n-го ступеня з дійсного числа при обчисленні коренів, розв'язання рівнянь.

Особистісні: формувати уважність та акуратність у обчисленнях, вимогливе ставлення до себе та до своєї роботи, виховувати почуття взаємодопомоги.

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань

Мотивація до навчальної діяльності:

Східна мудрість каже: «Можна коня привести до води, але не можна змусити його пити». І людину неможливо змусити вчитися добре, якщо вона сама не намагається дізнатися більше, не має бажання працювати над своїм розумовим розвитком. Адже знання лише тоді знання, коли вони набуті зусиллями своєї думки, а чи не однією пам'яттю.

Наш урок пройде під девізом: «Підкоримо будь-яку вершину, якщо будемо до неї прагнути». Нам з вами протягом уроку потрібно встигнути подолати кілька вершин, і кожен із вас має вкласти всі свої зусилля, щоб підкорити ці вершини.

«Сьогодні у нас урок, на якому ми повинні познайомитися з новим поняттям: «Корінь n-го ступеня» та навчитися застосовувати це поняття до перетворення різних виразів.

Ваша мета – на основі різних формроботи активізувати наявні знання, зробити свій внесок у вивчення матеріалу та отримати хороші оцінки»
Корінь квадратний із дійсного числа ми з вами вивчали у 8 класі. Корінь квадратний пов'язаний з функцією виду y=x 2 . Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми обчислювали коріння квадратне, і які в нього були властивості?
а) індивідуальне опитування:

що це за вираз

що називається квадратним коренем

що називається арифметичним квадратним коренем

перерахуйте властивості квадратного кореня

б) робота в парах: обчисліть.

-

2. Актуалізація знань та створення проблемної ситуації:Розв'яжіть рівняння x 4 =1 . Як ми можемо його вирішити? (Аналітично та графічно). Вирішимо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х 4 пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках: А(-1;1) та B(1;1). Абсциси точок А та B, тобто. х 1 = -1,

х 2 = 1, є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х 4 = 16: А тепер спробуємо вирішити рівняння х 4 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Зрозуміло, що рівняння має два корені x 1 і x 2 , причому ці числа, як і двох попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріння було знайдено легко (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не можемо вказати значення коренів, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується лівіше точки -1, а другий - правіше точки 1.

х 2 = - (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Ми говорили про рівняння х 4 = а, де а 0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а де а 0, а n - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь х 1 , який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа х 1 введемо позначення .

Визначення 1. Коренем n-йступеня з невід'ємного числа а (n = 2, 3,4, 5, ...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні до ступеня n дає в результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадок, який ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8 класу.

Якщо n = 3, то замість «корінь третього ступеня» часто кажуть «корінь кубічний». Перше знайомство із кубічним коренем у вас також відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використали кубічний корінь у курсі алгебри 9-го класу.

Отже, якщо а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Взагалі, = b і b n = а - та сама залежність між неотрицательными числами а і b, але тільки друга описана більш простою мовою(використовує простіші символи), ніж перша.

Операцію знаходження кореня з невід'ємної кількості називають зазвичай вилученням кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. Порівняйте:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це обумовлено у визначенні 1. І хоча, наприклад, (-6) 6 =36 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня, тобто. написати, що не можна. За визначенням - позитивне число, отже = 6 (а чи не -6). Так само, хоч і 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходячи до знаків коріння, ми повинні написати = 2 (і в той же час ≠-2).

Іноді вираз називають радикалом (від латинського словагаdix – «корінь»). У російській термін термінальний використовується досить часто, наприклад, «радикальні зміни» - це означає «корінні зміни». Між іншим, і саме позначення кореня нагадує про слово гаdix: символ – це стилізована літера r.

Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2) 5 = -32 можна переписати в еквівалентній формі =-2. При цьому використовується наступне визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня n із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже, якщо а, n=,5,7,…, то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким чином, корінь парного ступеня має сенс (тобто визначений) лише для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарної міри має сенс будь-якого підкореного висловлювання.

5. Первинне закріплення знань:

1. Обчислити: №№33.5; 33.6; 33.74 33.8 усно а); б); в); г).

г) На відміну від попередніх прикладів, ми не можемо вказати точне значенняЧисла Ясно лише, що воно більше, ніж 2, але менше, ніж 3, оскільки 24 = 16 (це менше, ніж 17), а З 4 = 81 (це більше, ніж 17). Помічаємо, що 24 набагато ближче до 17, ніж З4, тому є підстави використовувати знак наближеної рівності:
2. Знайти значення наступних виразів.

Поставити біля прикладу відповідну букву.

Невелика інформація про великого вченого. Рене Декарт (1596-1650) французький дворянин, математик, філософ, фізіолог, мислитель. Рене Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів літерні позначення x 2, y 3 . Всім відомі декартові координати, Що визначають функцію змінної величини.

3 . Розв'язати рівняння: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Рішення:а) Якщо = –2, то y = –8. Фактично обидві частини заданого рівняннями маємо звести в куб. Отримаємо: 3х +4 = - 8; 3х = -12; х = -4. б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо: х = 1.

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
До вашої уваги запропоновано кілька завдань. Коли ви виконаєте ці завдання, ви дізнаєтесь ім'я та прізвище великого вченого-математика. Цей учений у 1637 р. першим увів знак кореня.

6. Давайте трохи відпочинемо.

Піднімає руки клас – це «раз».

Повернулася голова – це два.

Руки вниз, вперед дивись – це три.

Руки в сторони ширше розгорнули на «чотири»,

Із силою їх до рук притиснути – це «п'ять».

Всім хлопцям треба сісти - це "шість".

7. Самостійна робота:

варіант: 2 варіант:

б) 3-. б) 12-6.

2. Розв'яжіть рівняння: а) х 4 = -16; б) 0,02 х 6 -1,28 = 0; а) х 8 = -3; б) 0,3 х 9 - 2,4 = 0;

в) = -2; в) = 2

8. Повторення:Знайдіть корінь рівняння = - х. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповідь впишіть менший з коренів.

9. Рефлексія:Чого ви навчилися на уроці? Що було цікаво? Що було важким?