Математичні засади квантової фізики. Курс Г

Квантова механіка мікрочастинки, не обмежена напівкласичним наближенням, будується на математичній основі, що використовує гільбертого простір функцій , тобто безліч функцій, для яких визначено скалярний добутокв інтегральній формі.

Основні положення

Стан частки описується хвильовою функцією. Безліч можливих станівутворює гільбертий простір.

Хвильова функція виходить у результаті вирішення рівняння Шредінгера.

Фізична величина описується оператором, що діє в просторі гільберта.

Якщо стан частки є власною функцією оператора, тобто функція відновлюється при дії оператора, результатом вимірювання величини є власне значення оператора. Розкладання хвильової функції за ортонормованим базисом власних функцій оператора дає ймовірність можливих результатів вимірювання фізичної величини.

Квантова механіка в загальному випадкуне дає однозначних результатів для поведінки та характеристик частки, але лише ймовірності цих результатів.

Хвильова функція

Стан частки описує комплексна хвильова функція  (псі), що є амплітудою ймовірності виявлення частки:

Детектор частинок реєструє
. Фізичний змістмають:

– ймовірність виявлення частки у момент tв обсязі
біля крапки ;

– щільність імовірності - ймовірність виявлення частки в момент tв одиничному обсязі близько точки r.

Виконується нормування ймовірності

.

Хвильова функція:

1) Визначено з точністю до постійного фазового множника. Стану
і
, де
, фізично не помітні, оскільки
;

2) Квадратично інтегрована, існує
;

3) Задовольняє принципом суперпозиції . Якщо можливі стани
і
, то можливий стан

,

де
– комплексні числа, Які визначають ймовірність виявлення станів 1 і 2

Оператори

Фізична величина A(координата, імпульс, енергія та інші) описується лінійним оператором . Винятком є ​​час, який вважається параметром. Мається на увазі, що правіше оператора знаходиться функція, на яку він діє.

Розглянемо явний вид операторів координати та імпульсу в координатному поданні. Обґрунтування виду буде дано далі.

Оператор координати

,
. (2.1)

Дія оператора координати зводиться до множення функції координату.

Оператор проекції імпульсу

,
. (2.2)

Дія оператора імпульсу зводиться до диференціювання функції за координатою та множенням на
.

Властивості лінійних операторів:

Множення на число з

Число можна винести з під знака дії оператора.

Лінійність

де і - Числа. Дія оператора на суму функцій дорівнює сумі дій оператора на кожну функцію.

Додавання (віднімання) операторів

. (2.5)

Дія суми операторів на функцію дорівнює сумі дій кожного оператора на функцію.

Розмноження оператора на оператор

Спочатку діє найближчий до функції оператор, потім на отриману функцію діє оператор, що знаходиться ліворуч. Оператори, що перемножуються, у загальному випадку не перестановочні, наприклад:

,

.

Перестановне співвідношення, або комутатор операторів

.

Оператори і комутують, якщо
.

,
,

. (2.7)

(У цьому розділі містяться відомості з математики, необхідні під час читання інших розділів книги. Однак у цих розділах є цілий рядрозділів, які можна читати без детального знання таких відомостей, так що не слід зневірятися, якщо вони здадуться важкими.)

У першому розділі рівняння Шредінгера для атомної часткибуло отримано з класичного рівняння, що відповідає гармонійній стоячій хвилі, та співвідношення де Бройля. Для систем, що містять багато частинок, а також за наявності зовнішнього електричного та магнітного полів, необхідно більше загальний підхіддо рівнянь квантової механіки.

Основи квантової механіки найкраще розглядати як сукупності постулатів, у тому числі можна вивести рівняння руху. Тоді самі постулати знаходять підтвердження у згоді рішень отриманих рівнянь із експериментом. Розглянемо систему з n частинок, яка класично описується завданням у момент часу значень 3n узагальнених координат (q) і 3n узагальнених імпульсів (р). Щоб описувати таку систему в квантовій механіці, вводять такі постулати:

Постулат 1. Систему частинок можна характеризувати функцією Ψ(q 1 ... q 3n , t), яка називається хвильовою функцією, через яку визначаються всі вимірювані величини для системи. Фізичний зміст має величина Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n, що визначає ймовірність знаходження координат частинок в інтервалі між *) q 1 ... q 3n і q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n.

*) (Хоча при викладі теорії атома водню автори обмовили, що вони обмежуються розглядом станів з негативною енергією, тут, у суворішому викладі, відзначимо, що це тлумачення хвильової функції застосовується лише функцій, які можуть бути підпорядковані умові нормування (6.1). Існують і такі стани, хвильові функції яких квадратично не інтегруються і, отже, не можуть задовольняти цю умову; у разі величина Ψ * Ψ визначає лише відносні, але з абсолютні ймовірності (див. примітка на стор. 100). - Прим. ред.)

Оскільки кожна частка обов'язково повинна бути в якійсь точці простору, інтегрування щільності ймовірності по всьому простору має давати одиницю. Це виражається умовою нормування

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

де dυ = dq 1 ... dq 3n та інтеграл береться по всьому 3n-мірному простору.

Постулат 2. Кожній величині, що фізично спостерігається, в квантовій механіці зіставляється лінійний оператор; позначимо його, наприклад, β . Тоді середнє значення цієї величини визначається як *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Якщо необхідно перетворити будь-яку функцію f(х) на іншу функцію g(x), то алгебраїчно це виражається співвідношенням β f(х) = g(x), де β - Оператор. Наприклад,

[+2] x 3 = 2 + х 3 (а); [х] х 3 = х 4 (б); [√] x 3 = x 3 / 2 (в);

X3 = 3x2(г).

У всіх цих виразах оператор поміщений у квадратні дужки. Оператори діють функції, розташовані праворуч від них. Оператор називається лінійним, якщо виконано умови

β = β f(х) + β g(х) та β kf(х) = k β f(x),

де k – постійна. У зазначених прикладах тільки (б) та (г) - лінійні оператори.)

Правило побудови квантовомеханічних операторів полягає в наступному: класичний вираз для аналізованої величини записується в змінних р і q тоді відповідний квантовомеханічний оператор виходить заміною p k на

Наведемо кілька прикладів середніх значень виду (6.2).

а) Середнє значення координати х окремої частки

б) Середнє значення x-компоненти імпульсу окремої частки

Слід зазначити, що якщо оператор β - алгебраїчна функція координат, як у рівнянні (6.3), то не суттєво, де саме він розташований у підінтегральному вираженні. Якщо ж β - диференціальний оператор, його потрібно помістити між функціями Ψ * і Ψ так, щоб він діяв тільки на функцію Ψ.

Постулат 3. Для системи, повна енергія якої незмінна в часі (консервативна система), класичний вираз енергії, записаний у змінних q, р, відомий як функція Гамільтона. Відповідний оператор у квантовій механіці (тобто оператор енергії) називається оператором Гамільтона, або гамільтоніаном, і позначається символом

Для консервативних систем хвильова функція задовольняє рівняння

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6.5)

де Е - енергія системи - постійна величина, яка залежить від координат і часу t *).

*) (Консервативна система може і не мати певного значення енергії, а характеризуватись деяким імовірнісним розподіломз енергії. Хвильова функція такого стану не задовольняє рівняння (6.5). Щільність ймовірності Ψ 2 залежатиме від часу, але розподіл енергії залишається постійним. - Прим. ред.)

Зауважимо, що в обох частинах рівняння (6.5) міститься та сама функція Ψ(q, t). Рівняння (6.5) є рівнянням для власних функцій оператора

Е – власне значення оператора

Ψ – відповідна власна функція.

В якості простого прикладурівняння типу (6.5) маємо

Власні функції оператора

є e kx , яке власні значення рівні k. З математичної точки зору абсолютно безглуздо скорочувати обидві частини рівняння (6.6) на е kх ​​[або обидві частини рівняння (6.5) на Ψ] тому, що оператор має сенс у рівнянні тільки в тому випадку, якщо він діє на функцію.

Постулат 4. У загальному випадку хвильова функція задовольняє рівнянню

Воно називається тимчасовим рівнянням Шредінгера, яке на відміну рівняння (6.5) справедливе у разі, якщо гамільтоніан залежить від часу.

Якщо функція відома в певний момент часу, то це рівняння дозволяє отримати значення функції і в усі наступні моменти часу. Однак у цій книзі не розглядатимуться процеси, що розвиваються у часі, і таке рівняння не зустрінеться у наступних розділах.

Для консервативних систем Ψ задовольняє як рівняння (6.5), так і рівняння (6.7), тому

Це рівняння має як загального рішеннявигляд

Оскільки для консервативних систем гамільтоніан не містить часу, можна, підставивши вираз (6.9) у рівняння (6.5), скоротити на експоненційний множник обидві частини рівняння та отримати, що

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Рівняння (6.10) є записаним в загальному виглядірівняння Шредінгера для так званого стаціонарного станусистеми, т. е. стану, енергія якого змінюється у часі. Для стаціонарного стану можна отримати середнє значення будь-якої спостерігається величини, використовуючи хвилеві функції Ψ(g), що не залежать від часу, а не більше складні функціїΨ(q, t), оскільки вираз (6.2) для стаціонарного стану має вигляд

якщо оператор β не залежить від часу.

Функція Гамільтона для електрона з потенційною енергією V записується як

Тоді, використовуючи правило, що визначається постулатом 2, отримаємо гамільтоніан цієї системи

а рівняння (6.10), після простих перетворень, набуває вигляду

Рівняння (6.14) збігається з рівнянням Шредінгера, наведеним у першому розділі.

Припустимо, що відомі два рішення рівняння (6.10):

Ψ а = Е а Ψ а;

Ψ b = Е b Ψ b. (6.15)

Якщо перше рівняння помножимо на постійну λ, а друге - на постійну μ і складемо, то отримаємо

(λΨ а + μΨ b) = λE a Ψ a + μE b Ψ b . (6.16)

Якщо праву частинурівняння (6.16) можна було б подати у вигляді твору k(λΨ а + μΨ b), де k - постійна, то λΨ a + μΨ b також була б власною функцією оператора

Однак у випадку це негаразд, тому лінійні комбінації власних функцій самі є власними функціями. Єдиним винятком є ​​випадок, коли Е а = Е b так що

(λΨ a + μΨ b) = Е а (λΨ а + μΨ b). (6.17)

Якщо дві або більше власних функцій відповідають одному й тому ж власному значенню, воно називається виродженим. У разі будь-яка лінійна комбінація власних функцій також є власною функцією гамільтоніана. Ця теорема була використана в гол. 3 при переході від комплексних р- та d-атомних орбіталейдо дійсних.

Спостережувані величини, що характеризують атомні системи, можуть бути двох типів: 1) величини, значення яких визначені точно, наприклад енергія, яка для будь-якої обмеженої системи має тільки дискретні (квантовані) значення, та 2) величини, для яких в результаті будь-якого вимірювання можна визначити щодо розподілу ймовірності лише середнє значення *). Якщо спостерігається величина, що характеризується оператором β , відноситься до першого типу, це означає, що хвильові функції системи, що є власними функціями гамільтоніана, є також і власні функції оператора β , тобто.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Цей поділ фізичних величинна дві групи немає абсолютного характеру: величини, які мають цілком певними значеннямив деякому стані, в інших станах характеризуються лише імовірнісним розподілом значень. - Прим. ред.)

Якщо ж спостерігається величина відноситься до другого типу, то

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

хоча оператор β і може мати набір власних функцій (що збігаються з Ψ). Однак і в цьому випадку середнє значення спостережуваної величини можна обчислювати за формулою (6.2).

Умовою того, що функція Ψ задовольняє рівності (6.18), є комутативність операторів та β , тобто рівність

βH = Hβ. (6.20)

У випадку оператори не комутують; наприклад, якщо

і Β = х, то

ΑΒ - ΒΑ = 1. (6.21)

Доведемо тепер, що й два оператора комутують, існує набір таких функцій, які є одночасно власними функціями обох операторів. Позначимо власні функції оператора через θ, а власні функції оператора через χ, тоді

Αθ i = а i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j. (6.23)

Помножуючи рівність (6.23) зліва на Α, отримаємо

j = b j j = b j α j . (6.24)

Але якщо ΑΒ = ΒΑ, то вираз (6.24) перетворюється на

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Рівняння (6.25) означає, що Αχ j є власною функцією оператора з власним значенням b j . Однак j , за визначенням, є власна функція оператора з тим же власним значенням b j . Тому Αχ j і χ j відрізняються постійним множникомзгідно з виразом

Αχ j = kχ j , (6.26)

або, якщо j належить набору вироджених власних функцій, Αχ j є лінійною комбінацією функцій цього набору:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

У невиродженому випадку з рівності (6.26) випливає, що j є власною функцією оператора Α, тобто є однією з функцій набору 6. У виродженому випадку завжди можна вибрати такі лінійні комбінації функцій j , які є власними функціями оператора Α ( і, звісно, ​​оператора Β). Нехай, наприклад, має місце випадок дворазового виродження та

Αχ j = aχ j + bχ j" ,

Αχ j" = cχ j + dχ j" .

Тоді, якщо ввести нові постійні λ, μ, k, k", визначені чотирма рівняннями

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k"μ = μa - λc, kλ = λd - μb,

то виявиться, що

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

та ці рівняння визначають власні функції оператора Α.

Перестановочні співвідношення між операторами є основою багатьох важливих результатів, одержуваних у квантовій механіці. Наприклад, якщо два оператори не комутують, то немає набору функцій, які одночасно є власними функціями обох операторів, і, отже, не можна провести такий експеримент, у якому можна точно виміряти величини, що відповідають обом операторам. Принцип невизначеності Гейзенберга, сформульований гол. 1 є прикладом цього. Оскільки оператори х і

не комутують [див. рівність (6.21)], частка не може мати одночасно точні значеннята координати х та імпульсу р х.

У квантовій механіці клас власних функцій завжди обмежений однозначними функціями, безперервними і нормованими *) (назвемо їх функціями класу Q). Ці умови необхідно накласти на власні функції для того, щоб щільність імовірності була функцією, яка поводиться належним чином. В результаті вимірювань виходять дійсні числа, тому треба також накласти відповідне обмеження на оператори, тобто зажадати, щоб для всіх квантовомеханічних операторів середні значення, обчислені за виразом (6.2), були дійсними. Якщо

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

то, беручи комплексно пов'язані величини від обох частин рівності, отримаємо

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Умова нормування власних функцій є надто жорсткою і має бути замінена вимогою кінцівки її значень у всій області зміни змінних. Властивістю квадратичної інтегрованості мають лише власні функції оператора, що відповідають дискретним власним значенням. - Прим. ред.)

Але якщо (b‾ = b‾) * , що справедливо тільки для дійсних чисел, то

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

У загальному випадку можна показати, що оператор повинен задовольняти умову

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

де 1 і 2 - довільні функції класу Q.

Оператор, який відповідає умові (6.30) для будь-яких функцій класу Q, називається ермітівським *). Якщо будувати квантовомеханічний оператор на основі класичного виразу для спостерігається величини, використовуючи постулат 2, необхідно розташувати окремі члени в операторі таким чином, щоб він був ермітівським. Наприклад, якщо класичний вираз має вигляд хр х, квантовомеханічний оператор записується не як

(цей оператор не є ермітівським), а у вигляді

(Ермітівський оператор). Іншими словами, ґрунтуються на симетризованому класичному виразі

Можна діяти й інакше, виходячи з виразу х 1/2 p х x 1/2 , проте експеримент покаже, яке з цих виразів дає правильний виглядквантовомеханічного оператора.

*) (Такий оператор часто називають також самосполученим. - Прим. перев.)

Власні функції та власні значення ермітівських операторів мають три важливі властивості:

1. Власні значення ермітівських операторів дійсні. Це випливає із співвідношень (6.27)-(6.29), якщо Ψ - власна функція оператора Β.

2. Якщо дві власні функції ермітівського оператора відповідають різним власним значенням, то ці функції ортогональні, тобто якщо

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6.31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2 , (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

Щоб довести це співвідношення, візьмемо комплексно пов'язані величини від обох частин рівності (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Помножимо обидві частини рівності (6.31) зліва на Ψ 2 * і проінтегруємо по всьому простору; аналогічно помножимо обидві частини рівності (6.34) зліва на 1 і також проінтегруємо; віднімаючи отримані вирази одне з іншого, маємо

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Але через ермітність оператора Β ліва частинарівності (6.35) перетворюється на нуль. Звідси випливає, що якщо b 2 ≠ b 1 виконується рівняння (6.33).

Поняття ортогональності зустрічається в векторної алгебри; якщо два вектори а і b утворюють між собою кут 90°, то скалярний добуток векторів звертається в нуль, тобто а b = 0, і вектори називають ортогональними. Це означає, що якщо виразити вектор через інші вектори простору, то цей вираз не буде містити вектора b; інакше кажучи, вектори а і b незалежні один від одного. Аналогічно якщо власні функції ортогональні, це означає, що вони незалежні: жодна їх містить домішки інший.

Спробуємо уявити одну зі своїх функцій ермітовского оператора як лінійної комбінації всіх інших своїх функцій, тобто.

Ψ 1 = ∑ i≠1 з i1 Ψ. (6.36)

Тоді, помножуючи обидві частини рівності (6.36) на j j * (j ≠ 1) та інтегруючи по всьому простору, отримаємо

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 з i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Однак через умови ортогональності власних функцій ліва частина рівності звертається в нуль, а єдиний, відмінний від нуля інтеграл у правій частині виходить при i = j. Звідси випливає, що з j1 = 0, що означає лінійну незалежністьфункцій Ψ 1 і Ψ j, причому це вірно для будь-яких j.

Умови ортогональності та нормування власних функцій можна поєднати в один вираз

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

де δ ij називається символом Кронекера: він дорівнює нулю, якщо i ≠ j та одиниці, коли i = j. Набір функцій, які відповідають умові (6.38), називається ортонормованим.

3. Власні функції Θ i ермітівського оператора утворюють повну системуфункцій, якою можна розкласти будь-яку функцію, задовольняє тим самим граничним умовам, як і власні функції. Таким чином, розкладання

Ψ = ∑ i c i Θ i (6.39)

є точним, якщо підсумовування проведено по всіх власним функціям(це нескінченна сума). Доказів цього твердження у загальному вигляді не існує, проте воно справедливе для ермітівських операторів, що зустрічаються у квантовій механіці. Як видно з наступного розділу, а також з інших розділів цієї книги, метод розкладання по деякій системі функцій є найбільш поширеним способом отримання наближених рішень рівняння Шредінгера.

З погляду автора програми головною математичною основою квантової механіки є спектральна теорема. На превеликий жаль, дана теорема, як правило, не входить до курсу лекцій, що читаються для студентів-фізиків. З іншого боку, студентам-математикам не пояснюється її сенс із погляду квантової механіки. Пропонований курс призначений насамперед для заповнення цієї пробілу. Наприкінці курсу передбачається торкнутися теорії некомутативних операторних графів та розповісти про їхній зв'язок із квантовими кодами, що виправляють помилки.

1. Борелівські заходи $mu на справжній прямій. Розкладання $\mu$ у суму безперервної, точкової та сингуларної складової. Регулярні заходи $mu $. Простір безперервних функційз компактним носієм $C(X)$ на локально компактному Хаусдорфовому просторі $X$. Теорема Рісса-Маркова-Какутані.
2. Оператори Гільберта-Шмідта та ядерні оператори у гільбертовому просторі. Спектральне розкладання. Теорема Лідського.
3. Заходи на ґратах ортогональних проекторів. Теорема Глізону.
4. Проекторозначні заходи. Позитивні операторнозначні заходи. Теорема Наймарка про дилатацію.
5. Аксіоматика Маккі квантової механіки. Квантові стани та вимірювання.
6. Проектори, як квантові події. Квантові стани, асоційовані із заходами на проекторах.
7. Вимірювання, асоційоване з спостережуваними (самоспряженими операторами) через спектральну теорему.
8. Простір хвильових функцій$L^2(\mu)$, асоційованих з квантовою спостережуваною. Формула Борна. Випадок квантових спостережуваних, що є лінійними комбінаціями операторів координати та імпульсу.
9. Квантові випадкові величини. Рандомізація. Теорема Хольова про загальний вид виміру.
10. Співвідношення невизначеностей Шредінгера-Робертсона для вимірювань із кінцевими іншими моментами.
11. Тензорні твори гільбертових просторів. Складові квантові системи. Зчеплені та сепарабельні стани.
12. Класичні та квантові кореляції. Нерівність Белла-Клаузера-Хорна-Шимоні. Кордон Цирельсона.
13. Квантові канали передачі. Розпад Крауса. Кодування та декодування класичної та квантової інформації
14. Лінійні простори, що складаються з обмежених операторів у просторі гільберта. Теорема про загальний вид некомутативного операторного графа, асоційованого з квантовим каналом.
15. Квантові коди, що виправляють помилки. Квантові антикліки.

Книга Неймана є першим досі єдиним доведеним до кінця досвідом викладу апарату квантової механіки з тією послідовністю і строгістю, якої вимагають зазвичай при побудові математичної теорії. Тому тільки існуванню цієї книги ми зобов'язані нашою впевненістю в тому, що квантова механіка є логічно несуперечливою схемою. Зокрема, саме у цій книзі викладено доказ знаменитої теореми про неможливість запровадити "приховані параметри" без кардинальної перебудови усієї квантової механіки.
Таким чином, книга буде надзвичайно цінною для всіх, хто глибоко вивчає квантову механіку, насамперед для студентів старших курсів та аспірантів, як фізиків, так і математиків, а також для науковців цих же дисциплін.

Виникнення теорії перетворень.
Тут не місце вказувати на величезні успіхи, досягнуті квантовою теорієюу період із 1900 по 1925 рр. в ході розвитку, над яким панують імена Планка, Ейнштейна та Бора).

До кінця цього процесу розвитку здалося ясним і не залишає жодних сумнівів, що всі елементарні процеси, тобто все, що відбувається в атомно-молекулярному масштабі, керуються «перервними» законами квантів. Майже всім завдань були і кількісні квантово-теоретичні методи, які здебільшоговели до результатів, що більш-менш добре узгоджуються з досвідом. І що мало найбільше принципове значення-само мислення теоретико-фізичного дослідження сприйняло ту ідею, що пануючий у всьому доступному сприйнятті макрокосмічному світі принцип безперервності («natura non facit saltus») виникає лише в результаті процесу усереднення в суті своєму перервному світі - завдяки тому, що людина зазвичай відразу аппер-цепирует лише суму багатьох квадрильйонів елементарних процесів, отже справжня природаодиничного процесу виявляється повністю завуальованою все нівелюючим законом великих чисел.

ЗМІСТ
Передмова редактора перекладу
Вступ
Розділ I. Вступні зауваження
1. Виникнення теорії перетворень
2. Початкові формулювання квантової механіки
3. Еквівалентність двох теорій: Теорія перетворень
4. Еквівалентність двох теорій: Гільбертовий простір
Розділ II. Загальні властивостіабстрактного гільбертового простору
1. Визначення абстрактного простору Гільберта
2. Геометрія гільбертового простору
3. Відступ: Про умови А.-Е
4. Замкнуті лінійні різноманіття
5. Оператори у гільбертовому просторі
6. Проблема власних значень
7. Продовження
8. Попередній розгляд проблеми власних значень
9 Відступ: Про існування та єдиність вирішення проблеми власних значень
10. Комутують оператори
11. Шпур
Розділ III. Квантовомеханічна статистика
1. Статистичні твердження квантової механіки
2. Статистична "інтерпретація"
3. Одночасна вимірність та вимірність взагалі
4. Співвідношення невизначеності
5. Проекційні оператори як затвердження
6. Теорія випромінювання
Розділ IV. Дедуктивна побудова теорії
1. Принципове обґрунтування статистичної теорії
2. Доказ статистичних формул
3. Висновки з експериментів
Глава V. Загальний розгляд
1. Вимірювання та оборотність
2. Термодинамічні питання
3. Питання оборотності та рівноваги
4. Макроскопічний вимір
Розділ VI. Процес виміру
1. Постановка задачі
2. Складові системи
8. Обговорення процесу виміру
Доповнення. Доказ ергодичної теореми та H-теореми у новій механіці (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Вступ
I. Квантовомеханічне формулювання основних понять статистичної механікиГіббса
ІІ. Проведення доказів
ІІІ. Обговорення результатів
Додаток.

Безкоштовно завантажити електронну книгуу зручному форматі, дивитися та читати:
Математичні основи квантової механіки, Йоганн фон Нейман, 1964 - fileskachat.com, швидке і безкоштовне скачування.