Перетин множин b. Перетин множин

Перетин множин

Розглянемо дві множини: безліч друзів Джона і безліч друзів Майкла.

Бачимо, що Томі Фредодночасно є друзями Джона та Майкла.

Говорячи мовою множин, елементи Томі Фредналежать як безлічі друзів Джона, так і безлічі друзів Майкла.

і як елементи додамо до нього Томаі Фреда :

У даному випадкубезліч «Загальні друзі Джона та Майкла» є перетином множиндрузів Джона та Майкла.

Перетином двох (або кількох) вихідних множинназивається безліч, що складається з елементів, що належать кожному з вихідних множин.

У нашому випадку елементи Томі Фредналежать кожному з вихідних множин, а саме: безлічі друзів Джона та безлічі друзів Майкла.

Позначимо безліч друзів Джона через букву A, безліч друзів Майкла - через букву B, а безліч спільних друзів Джона та Майкла позначимо через букву C :

A = (Том, ​​Фред, Макс, Джордж)

B = (Лео, Том, Фред, Еван)

C = (Том, ​​Фред)

Тоді перетином множин Aі Bбуде безліч Cта записуватися наступним чином:

A∩ B = C

Символ ∩ означає перетин.

Говорячи про безліч, зазвичай мають на увазі елементи, що належать цій множині. Символ перетину ∩ читається як союз І. Тоді вираз A ∩ B = Cможна прочитати так:

«Елементи, що належать безлічі A Імножині B, є елементи, що належать множині C».

Або ще простіше:

«Друзі, які одночасно належать ДжонуІМайклу, є спільні друзі Джона та Майкла».

Тепер уявімо, що Джон і Майкл не мають спільних друзів. Для зручності, як і раніше, позначимо безліч друзів Джона через букву A, а безліч друзів Майкла через букву B

A = ( Макс, Джордж )

B = ( Лео, Еван )

У цьому випадку кажуть, що вихідні множини не мають загальних елементіві перетином таких множин є порожня множина. Порожня множина позначається символом ∅

A ∩ B =∅

Приклад 2 A, Що складається з чисел 1, 2, 3, 5, 7 і безліч B, Що складається з чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

A = { 1, 2, 3, 5, 7 }

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 }

Задамо нову множину C Aі безлічі B

C = { 1, 2, 3 }

Безліч З Aі B C Aі безлічі B

Приклад 3. Розглянемо дві множини: безліч A, Що складається з чисел 1, 5, 7, 9 і безліч B, Що складається з чисел 1, 4, 5, 7

A = (1, 5, 7, 9)

B = (1, 4, 5, 7)

Задамо нову множину Cі додамо до нього елементи, які одночасно належать безлічі Aі безлічі B

C = (1, 5, 7)

Безліч Зє перетином множин Aі B, оскільки елементи множини Cодночасно належать безлічі Aі безлічі B.

Приклад 4. Знайти перетин наступних множин:

A = { 1, 2, 3, 7, 9 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9}

З = { 3, 4, 5, 8, 9}

Перетином множин A , Bі Cбуде безліч, що складається з елементів, що належать кожному з множин A , Bі C. Цими елементами є числа 3 та 9.

Задамо нову множину Dі додамо до нього елементи 3 та 9. Потім за допомогою символу перетину ∩ запишемо, що перетином множин A, Bі Cє безліч D

D = { 2, 3}

A ∩ B ∩ C = D

Щоб знайти перетин, зовсім необов'язково задавати множини за допомогою літер. Якщо елементів мало, безліч можна задати прямим перерахуванням елементів.

Наприклад, нехай перша множина складається з елементів 1, 3, 5, а друге з елементів 2, 3, 5 . Перетином в даному випадку є безліч, що складається з елементів 3 та 5 . Щоб записати перетин, можна скористатися прямим перерахуванням:

{ 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 }

Числові проміжки, які ми розглянули в попередніх уроках, теж є безліччю. Елементами таких множин є числа, що входять до числового проміжку.

Наприклад, відрізок можна розуміти, як багато всіх чисел від 2 до 6. Для наочності можна перерахувати всі цілі числа, що належать даному відрізку:

2, 3, 4, 5, 6 ∈

Слід пам'ятати, що ми перерахували лише цілі числа. Відрізку також належать і інші числа, які не є цілими, наприклад, десяткові дроби. Десяткові дробирозташовуються між цілими числами, але їх кількість настільки велика, що перерахувати їх неможливо.

Ще приклад. Інтервал (2; 6) можна розуміти, як багато всіх чисел від 2 до 6, крім чисел 2 і 6. Раніше ми говорили, що інтервал це такий числовий проміжок, межі якого не належать йому. Для наочності можна перерахувати всі цілі числа, що належать до інтервалу (2; 6) :

3, 4, 5 ∈ (2; 6)

Оскільки числові проміжки є множинами, ми можемо знаходити перетину між різними числовими проміжками. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5. Дано два числових проміжки: і . Знайти їх перетин.

Для наочності перерахуємо всі цілі числа, що належать до проміжків і :

2, 3, 4, 5, 6 ∈

4, 5, 6, 7, 8 ∈

Видно, що числа 4, 5, 6 належать як першому проміжку, так і другому.

Тоді перетином числових проміжків і буде числовий проміжок

∩ =

Зобразимо проміжки та на координатній прямій. На верхній області відзначимо числовий проміжок, на нижній — проміжок

Видно, що числа, належать проміжку, належать як проміжку , і проміжку . Можна також помітити, що штрихи, що входять у проміжки та перетинаються у проміжку . У такій ситуації, коли перед очима є координатна пряма, поняття перетину множин можна розуміти в прямому значенніщо дуже зручно.

Приклад 6. Знайти перетин числових проміжків [−2; 3] та

Обидва проміжки обрамлені квадратними дужками, отже їхні межі належать їм.

Для наочності перелічимо всі цілі числа, що належать до проміжків [−2; 3] та :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

Видно, що числові проміжки [−2; 3] і не мають загальних чисел. Тому їх перетином буде порожня множина:

[−2; 3] ∩ = Ø

Якщо зобразити числові проміжки [−2; 3] і на координатній прямій, то можна побачити, що вони ніде не перетинаються:

Приклад 7. Дано безліч з одного елемента (2). Знайти його перетин з проміжком (−3; 4)

Безліч, що складається з одного елемента (2), на координатній прямій зображується у вигляді зафарбованого кружка, а числовий проміжок (-3; 4) це інтервал, межі якого не належать йому. Значить межі −3 і 4 зображатимуться у вигляді порожніх гуртків:

Перетином множини ( 2 ) і числового проміжку (−3; 4) буде безліч, що складається з одного елемента ( 2 ) , оскільки елемент 2 належить як множині ( 2 ) , так і числовому проміжку (−3; 4)

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

Насправді ми вже займалися перетином числових проміжків, коли вирішували системи. лінійних нерівностей. Згадайте, як ми їх вирішували. Спочатку знаходили безліч рішень першої нерівності, потім безліч рішень другої. Потім знаходили безліч рішень, які задовольняють обох нерівностей.

По суті, безліч рішень, що задовольняють обох нерівностей, є перетином множин рішень першої та другої нерівності. Роль цих множин беруть він числові проміжки.

Наприклад, щоб вирішити систему нерівностей, ми повинні спочатку знайти безліч рішень кожної нерівності, потім знайти перетин цих множин.

У цьому прикладі рішенням першої нерівності x≥ 3 є множина всіх чисел, які більше 3 (включаючи саме число 3). Інакше висловлюючись, рішенням нерівності є числовий проміжок

А загальним рішеннямсистеми буде перетин множин рішень першої та другої нерівності, тобто перетин числових проміжків

Якщо ми зобразимо безліч рішень системи на координатній прямій, то побачимо, що ці рішення належать проміжку , який є перетином проміжків.

Тому як відповідь ми вказували, що значення змінної xналежать числовому проміжку, тобто перетину множин рішень першої та другої нерівності

x ∈

Приклад 2. Розв'язати нерівність

Усі нерівності, що входять до системи, вже вирішені. Потрібно лише вказати ті рішення, які є спільними для всіх нерівностей.

Розв'язанням першої нерівності є числовий проміжок (−∞; −1) .

Розв'язанням другої нерівності є числовий проміжок (−∞; −5) .

Розв'язанням третьої нерівності є числовий проміжок (−∞; 4) .

Рішенням системи буде перетин числових проміжків (−∞; −1), (−∞; −5) та (−∞; 4). У цьому випадку цим перетином є проміжок (−∞; −5) .

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

На малюнку представлені числові проміжки та нерівності, якими ці числові проміжки задані. Видно, що числа, що належать до проміжку (−∞; −5) , одночасно належать усім вихідним проміжкам.

Запишемо відповідь до системи за допомогою числового проміжку:

x ∈ (−∞; −5)

Приклад 3. Розв'язати нерівність

Рішенням першої нерівності y> 7 є числовий проміжок (7; +∞) .

Рішенням другої нерівності y< 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

Рішенням системи буде перетин числових проміжків (7; +∞) та (−∞; 4) .

У цьому випадку перетином числових проміжків (7; +∞) і (−∞; 4) є порожня множина, оскільки ці числові проміжки не мають спільних елементів:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Якщо зобразити числові проміжки (7; +∞) та (−∞; 4) на координатній прямій, то можна побачити, що вони ніде не перетинаються:

Об'єднання множин

Об'єднанням двох (або декількох) вихідних множин називають множину, що складається з елементів, що належать хоча б одному з вихідних множин.

Насправді об'єднання множин складається з усіх елементів, що належать вихідним множинам. Тому й кажуть, що елементи такої множини належать хоча б одній із вихідних множин.

Розглянемо безліч Aз елементами 1, 2, 3 та безліч Bз елементами 4, 5, 6.

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

Задамо нову множину C Aі всі елементи множини B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

В даному випадку об'єднанняммножин Aі Bє безліч Cі позначається так:

A∪B = C

Символ ∪ означає об'єднання та замінює собою союз АБО. Тоді вираз A∪B = Cможна прочитати так:

Елементи, що належать множині A АБО множині B, є елементи, що належать множині C.

У визначенні об'єднання сказано, що елементи такої множини належать хоча б одному з вихідних множин. Цю фразуможна розуміти у сенсі.

Повернемося до створеної нами множини C, куди входять всі елементи множин Aі B. Візьмемо для прикладу з цієї множини елемент 5. Що можна про нього сказати?

Якщо 5 є елементом множини C, а безліч Зє об'єднанням множин Aі B, то можна з упевненістю заявити, що елемент 5 належить хоча б одному з множин Aі B. Так воно і є:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5 , 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

Візьмемо ще один елемент із множини Знаприклад, елемент 2. Що можна про нього сказати?

Якщо 2 є елементом множини C, а безліч Зє об'єднанням множин Aі B, то можна з упевненістю заявити, що елемент 2 належить хоча б одному з множин Aі B. Так воно і є:

A = {1, 2 , 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

Якщо ми захочемо об'єднати дві чи більше множини і раптом виявимо, що один або кілька елементів належать кожному з цих множин, то в об'єднання повторювані елементи входитимуть лише один раз.

Наприклад, розглянемо безліч Aз елементами 1, 2, 3, 4 та безліч Bз елементами 2, 4, 5, 6

A = {1, 2 , 3, 4 }

B = {2 , 4 , 5, 6}

Бачимо, що елементи 2 і 4 одночасно належать і безлічі A, і безлічі B. Якщо ми захочемо об'єднати множини Aі B, то нове безліч Cміститиме елементи 2 і 4 тільки один раз. Виглядатиме це так:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Щоб при об'єднанні не допустити помилок, зазвичай надходять так: спочатку до нової множини додають всі елементи першої множини, потім додають елементи другої множини, які не належать першій множині. Спробуємо зробити таке об'єднання з безліччю Aі B .

Отже, у нас є такі вихідні множини:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Задамо нову множину Зі додамо до нього всі елементи множини A

C = { 1, 2, 3, 4,

Тепер додамо елементи з множини B, які не належать безлічі A. Безліч Aне належать елементи 5 та 6 . Їх і додамо до множини C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Приклад 2. Друзям Джона є Том, Фред, Макс і Джордж. А друзями Майкла є Лео, Том, Фред та Еван. Знайти об'єднання безлічі друзів Джона і Майкла.

Для початку поставимо дві множини: безліч друзів Джона і безліч друзів Майкла.

Задамо нову множину з назвою «Всі друзі Джона та Майкла» і додамо до нього всіх друзів Джона та Майкла.

Зауважимо, що Том і Фред одночасно є друзями Джона і Майкла, тому ми додамо їх у нову множину лише один раз, оскільки відразу двох Томів і двох Фредів не буває.

У цьому випадку безліч усіх друзів Джона та Майкла є об'єднанням безлічі друзів Джона та Майкла.

Друзі Джона ∪ Друзі Майкла = Всі друзі Джона та Майкла

Приклад 3. Дано два числових проміжки: [−7; 0] та [−3; 5]. Знайти їхнє об'єднання.

Обидва проміжки обрамлені квадратними дужками, отже їхні межі належать їм.

Для наочності перерахуємо всі цілі числа, що належать цим проміжкам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Об'єднанням числових проміжків [-7; 0] та [−3; 5] буде числовий проміжок [-7; 5] , який містить усі числа проміжку [−7; 0] та [−3; 5] без повторів деяких із чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Зверніть увагу, що числа −3, −2, −1 належали і першому проміжку та другому. Але оскільки до об'єднання допускається включати такі елементи лише один раз, ми включили їх одноразово.

Значить поєднанням числових проміжків [−7; 0] та [−3; 5] буде числовий проміжок [-7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

Зобразимо на координатному прямому проміжку [−7; 0] та [−3; 5]. На верхній області відзначимо числовий проміжок [-7; 0], на нижній - проміжок [-3; 5]

Раніше ми з'ясували, що проміжок [−7; 5] є об'єднанням проміжків [−7; 0] та [−3; 5]. Тут корисно згадати визначення об'єднання множин, яке було наведено на самому початку. Об'єднання трактується як безліч, що складається з усіх елементів, що належать хоча б одному з вихідних множин.

Дійсно, якщо взяти будь-яке число із проміжку [−7; 5] , то виявиться, що воно належить хоча б одному з проміжків: або проміжку [-7; 0] або проміжку [-3; 5].

Візьмемо із проміжку [−7; 5] будь-яке число, наприклад, число 2 . Оскільки проміжок [−7; 5] є об'єднанням проміжків [−7; 0] та [−3; 5], то число 2 належатиме хоча б одному з цих проміжків. У разі число 2 належить проміжку [−3; 5]

Візьмемо ще якесь число. Наприклад, число -4. Це число належатиме хоча б одному з проміжків: [−7; 0] або [-3; 5]. У разі воно належить проміжку [−7; 0]

Візьмемо ще якесь число. Наприклад, число -2. Воно належить як проміжок [−7; 0] , і проміжку [−3; 5]. Але на координатній прямій воно вказується лише один раз, оскільки в одній точці одразу два числа −2 не буває.

Не кожне поєднання числових проміжків є числовим проміжком. Наприклад, спробуємо знайти поєднання числових проміжків [−2; −1] та .

Ідея залишається та сама — об'єднанням числових проміжків [−2;−1] і буде безліч, що складається з елементів, що належать хоча б одному з проміжків: [−2; −1] або . Але це безліч не буде числовим проміжком. Для наочності перерахуємо всі цілі числа, що належать цьому об'єднанню:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Отримали безліч (-2, -1, 4, 5, 6, 7). Ця множина не є числовим проміжком через те, що числа, що розташовуються між −1 і 4 , не увійшли до отриманої множини

Числовий проміжок повинен містити всі числа від лівого кордону до правого. Якщо одне із чисел відсутнє, то числовий проміжок втрачає сенс. Допустимо, є лінійка довжиною 15 см

Ця лінійка є числовим проміжком, оскільки містить усі числа у проміжку від 0 до 15 включно. Тепер уявімо, що на лінійці після числа 9 відразу слідує число 12.

Ця лінійка не є лінійкою 15 см, і її небажано використовувати для вимірювання. Також, її не можна назвати числовим проміжком, оскільки вона не містить усі числа, які мала містити.

Вирішення нерівностей, що містять знак ≠

Деякі нерівності містять знак ≠ (не дорівнює). Наприклад, 2 x≠ 8 . Щоб вирішити таку нерівність, потрібно знайти безліч значень змінної x, при яких ліва частина не дорівнюєправої частини.

Розв'яжемо нерівність 2 x≠ 8 . Розділимо обидві частини цієї нерівності на 2, тоді отримаємо:

Отримали рівносильна нерівність x≠ 4 . Розв'язанням цієї нерівності є безліч усіх чисел, не рівних 4. Тобто якщо ми підставимо в нерівність x≠ 4 будь-яке число, яке не дорівнює 4, то отримаємо правильну нерівність.

Підставимо, наприклад, число 5

5 ≠ 4 — правильна нерівність, оскільки 5 не дорівнює 4

Підставимо 7

7 ≠ 4 — правильна нерівність, оскільки 7 не дорівнює 4

І оскільки нерівність x≠ 4 рівносильно вихідній нерівності 2 x≠ 8 , то розв'язання нерівності x≠ 4 підходитимуть і до нерівності 2 x≠ 8 . Підставимо ті ж тестові значення 5 і 7 у нерівність 2 x≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

x≠ 4 на координатній прямій. Для цього виколемо точку 4 на координатній прямій, а всю область, що залишилася, з обох сторін виділимо штрихами:

Тепер запишемо відповідь у вигляді числового проміжку. Для цього скористаємося об'єднанням множин. Будь-яке число, яке є рішенням нерівності 2 x≠ 8 належатиме або проміжку (−∞; 4) або проміжку (4; +∞). Так і записуємо, що значення змінної xналежать (−∞; 4) або (4; +∞). Нагадаємо, що для слова «або»використовується символ ∪

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

x, належать проміжку (−∞; 4) абопроміжку (4; +∞).

Нерівності, що містять знак ≠ , також можна вирішувати, як звичайні рівняння. Для цього знак ≠ замінюють на знак = . Тоді вийде нормальне рівняння. Наприкінці рішення знайдене значення змінної x слід виключити з багатьох рішень.

Розв'яжемо попередню нерівність 2 x≠ 8 як звичайне рівняння. Замінимо знак ≠ на знак рівності = отримаємо рівняння 2 x = 8 . Розділимо обидві частини даного рівнянняна 2 , отримаємо x= 4 .

Бачимо, що за x, Рівному 4, рівняння звертається у вірне числова рівність. За інших значень рівності дотримуватися не буде. Ці інші значення нас цікавлять. А для цього достатньо виключити знайдену четвірку з багатьох рішень.

Приклад 2. Розв'язати нерівність 3x− 5 ≠ 1 − 2x

Перенесемо −2 xз правої частини до ліву частину, Змінивши знак, а −5 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо подібні доданкив обох частинах:

Розділимо обидві частини нерівності, що вийшла на 5

Розв'язанням нерівності x≠ 1,2 є безліч всіх чисел, не рівних 1,2 .

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x≠ 1,2 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

У цьому виразі говориться, що значення, що приймаються змінною xналежать проміжку (−∞; 1,2) абопроміжку (1,2; +∞)

Розв'язання сукупностей нерівностей

Розглянемо ще один вид нерівностей, який називається сукупністю нерівностей. Такий тип нерівностей, можливо, ви вирішуватимете рідко, але для загального розвиткукорисно вивчити та його.

Сукупність нерівностей дуже схожа систему нерівностей. Відмінність у цьому, що у системі нерівностей потрібно знайти безліч рішень, які задовольняють кожному нерівності, утворює цю систему.

А у випадку із сукупністю нерівностей, потрібно знайти безліч рішень, що задовольняють хоча б одномунерівності, що утворює цю сукупність.

Сукупність нерівностей позначається квадратною дужкою. Наприклад, наступний запис із двох нерівностей є сукупністю:

Вирішимо цю сукупність. Спочатку потрібно вирішити кожну нерівність окремо.

Рішенням першої нерівності x≥3 є числовий проміжок.

Безліч значень x, при яких вірно хоча б однез нерівностей, належать проміжку . Так і записуємо:

x ∈

У цьому виразі йдеться, що змінна x, що входить до
сукупність набуває всіх значень, що належать проміжку . А це те, що нам потрібне. Адже вирішити сукупність означає знайти безліч рішень, що задовольняють хоча б одномунерівності, що утворює цю сукупність. А будь-яке число з проміжку задовольнятиме хоча б одній нерівності.

Наприклад, число 9 із проміжку задовольняє другу нерівність x≤ 6.

Подивіться уважно на вираз x∈ , саме на його праву частину. Адже вираз є об'єднання числових проміжків. Точніше, об'єднання множин рішень першої та другої нерівності.

Стало бути, рішенням сукупності нерівностей є об'єднання множинрішень першої та другої нерівності.

Інакше висловлюючись, рішенням сукупності буде об'єднання числових проміжків

Поєднанням числових проміжків є проміжок (−∞; +∞) . Точніше, поєднанням числових проміжків є вся координатна пряма. А вся координатна пряма – це всі числа, які тільки можуть бути

= (−∞; +∞)

x∈

x∈ (−∞; +∞)

Візьмемо будь-яке число з отриманого об'єднання, і перевіримо, чи задовольняє воно хоча б одній нерівності.

Візьмемо для прикладу число 8. Воно задовольняє першу нерівність x≥ 3.

8 ≥ 3

Візьмемо ще якесь число, наприклад, число 1. Воно задовольняє другу нерівність x≤ 6

Візьмемо ще якесь число, наприклад, число 5 . Воно задовольняє і першу нерівність x≥ 3 та другому x≤ 6

Приклад 2

Щоб вирішити цю сукупність, потрібно знайти безліч рішень, які задовольняють хоча б одній нерівності, яка утворює цю сукупність.

Для початку знайдемо безліч розв'язків першої нерівності x< −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

x≥ −7 є числовий проміжок [−7; +∞).

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

Інакше висловлюючись, рішенням сукупності буде об'єднання числових проміжків (−∞; −0,25) та [−7; +∞)

Об'єднанням числових проміжків (−∞; −0,25) та [−7; +∞) є вся координатна пряма. А вся координатна пряма – це всі числа, які тільки можуть бути

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

Відповідь можна залишити такою, якою ми її записали раніше:

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

або замінити більш короткий:

x∈ (−∞; +∞)

Приклад 3. Вирішити сукупність нерівностей

Вирішимо кожну нерівність окремо:

Безліч рішень першої нерівності x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3) .

Безліч рішень другої нерівності x≤ 0 є числовий проміжок (−∞; 0] .

Рішенням сукупності нерівностей буде об'єднання множин рішень першої та другої нерівності.

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

Інакше висловлюючись, рішенням сукупності буде об'єднання числових проміжків (−∞; −3) і (−∞; 0]

Об'єднанням числових проміжків (−∞; −3) та (−∞; 0] є числовий проміжок (−∞; 0]

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

Відповідь можна залишити такою, якою ми її записали раніше:

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

або замінити більш короткий:

x∈ (−∞; 0]

Завдання для самостійного вирішення

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Поняття теорії множин; перетин множин безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать одночасно всім даним множинам. Перетин множин А і позначають А?В або АВ …

Поняття теорії множин; перетин множин безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать одночасно всім даним множинам. Перетин множин А і позначають А∩В або АВ. * * * ПЕРЕКЛАД МНОЖИН ПЕРЕКЛАД МНОЖИН … Енциклопедичний словник

Безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать одночасно всім даним множинам. П. м. A та B позначають A∩B або AB; П. м. Ak, взятих в кінцевому або нескінченному числі, позначають Ak. П. м. може бути порожнім, тобто не ... Велика Радянська Енциклопедія

Поняття теорії множин; П. м. безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать одночасом. всім даним множинам. П. м.

Перетин A і B Перетин множин у теорії множин це безліч, що складається з елементів, які належать одночасно всім даним множинам. Зміст 1 Визначення 2 Зауваження … Вікіпедія

Розділ математики, у якому вивчаються загальні властивостімножин, переважно нескінченних. поняття безлічі найпростіше математичне поняття, Воно не визначається, а лише пояснюється за допомогою прикладів: безліч книг на полиці, безліч точок. Великий Енциклопедичний словник

Розділ математики, у якому вивчаються загальні властивості множин, переважно нескінченних. Поняття безлічі найпростіше математичне поняття, воно не визначається, а лише пояснюється за допомогою прикладів: безліч книг на полиці, безліч ... Енциклопедичний словник

Математична теорія, що вивчає точними засобами проблему нескінченності. Предмет М. л. властивості множин (сукупностей, класів, ансамблів), гол. обр. нескінченних. Безліч A є будь-які збори певних і помітних між собою об'єктів. Словник термінів логіки

Теорія множин розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дисциплін; вона вплинула на розуміння предмета самої математики. Зміст 1 Теорія… … Вікіпедія

Розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин, переважно. нескінченних. Поняття безлічі найпростіше матем. поняття, воно не визначається, а лише пояснюється за допомогою прикладів: безліч книг на полиці, безліч точок на прямій. Природознавство. Енциклопедичний словник

Книги

• Вважаю до 20. Робочий зошит для дітей 6 – 7 років. ФГОС ДО, Шевельов Костянтин Валерійович. Робочий зошитпризначена для роботи з дітьми 6-7 років. Сприяє досягненню цілей блоку Пізнання шляхом формування елементарних математичних уявлень. Дано методичні…

Безліч- Сукупність будь-яких об'єктів. Багато позначають великими літерами латинського алфавіту- від Aдо Z.

Основні числові множини: безліч натуральних чиселі безліч цілих чисел, завжди позначаються одними й тими самими літерами:

N- безліч натуральних чисел

Z- безліч цілих чисел

Елемент множини- це будь-який об'єкт, що входить до складу множини. Приналежність об'єкта до множини позначається за допомогою знака ∈ . Запис

читається так: 5 належить множині Zабо 5 - елемент множини Z .

Безліч діляться на кінцеві та нескінченні. Кінцева безліч- множина, що містить певну (кінцеву) кількість елементів. Нескінченна безліч- безліч, що містить безліч елементів. До нескінченних множин можна віднести безліч натуральних і цілих чисел.

Для визначення множини використовуються фігурні дужки, в яких через кому перераховуються елементи. Наприклад, запис

L = {2, 4, 6, 8}

означає, що безліч Lскладається з чотирьох парних чисел.

Термін безліч вживається незалежно від цього, скільки елементів воно містить. Множини не містять жодного елемента називаються порожніми.

Підмножина

Підмножина- це безліч, всі елементи якого є частиною іншої множини.

Візуально продемонструвати відношення множини і підмножини, що входить до нього, можна за допомогою кіл Ейлера. Кола Ейлера – це геометричні схеми, що допомагають візуалізувати відносини різних об'єктів, у нашому випадку множин.

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6, 8) та M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Кожен елемент множини Lналежить і безлічі M, значить безліч L M. Таке співвідношення множин позначають знаком ⊂ :

L⊂M

Запис L⊂Mчитається так: безліч Lє підмножиною безлічі M .

Множини, що складаються з одних і тих же елементів, незалежно від їх порядку, називаються рівнимита позначаються знаком = .

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6) та M = {4, 6, 2}

оскільки обидва множини складаються з одних і тих же елементів, то L = M.

Перетин та об'єднання множин

Перетин двох множин- це сукупність елементів, що належать кожному з цих множин, тобто їх Загальна частина. Перетин позначається знаком ∩.

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M= (3, 11, 17, 19), то L∩M = {3, 11}.

Запис L∩Mчитається так: перетин множин Lі M .

З даного прикладувипливає, що перетином множин називається множина, яка містить тільки ті елементи, які зустрічаються у всіх множинах, що перетинаються.

Об'єднанням двох множинназивається безліч, що містить всі елементи вихідних множин в єдиному екземплярі, тобто якщо один і той же елемент зустрічається в обох множинах, то в нову множину цей елемент буде включений лише один раз. Об'єднання означає знак ∪ .

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M = {3, 11, 17, 19},

то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запис L∪Mчитається так: об'єднання множин Lі M .

При об'єднанні рівних множин, об'єднання дорівнюватиме кожному з даних множин:

якщо L = M, то L∪M = Lі L∪M = M.

Повторення, перевірка д/з:

Що означає слово «множина»?

Що ми називаємо елементом множини?

Що буває елементами множини?

Як розрізняють множини за кількістю елементів?

Якими способами можна встановити безліч? (перерахування елементів, характеристична властивість)

Яка властивість називається характеристичною властивістю?

Які множини називаються рівними?

Які математичні ієрогліфи ми використовуємо для скороченого запису?

Що таке підмножина?

Що таке кола Ейлера? Для чого вони? (Круги Ейлера – геометрична схема, за допомогою якої можна зобразити відносини між підмножинами, для наочного уявлення)

Що таке об'єднання множин? Знак об'єднання.

Вирішити вправа 1, 2, 3.Перевірити вправи 1, 2 із д/з.

Перевірити вправу 3 із д/з (усі запропоновані варіанти рішень)

Перевірити вправи з домашнього завдання:

Дані множини: А = (2; 3; 8), В = (2; 3; 8; 11) і С = (5; 11).

Знайти: а) А ∪ В; б) А ∪ С; в) З ∪ Ст.

А – безліч парних натуральних чисел, В – безліч двоцифрових чисел. Складіть характеристичну властивість поєднання цих множин. Наведіть приклади елементів цієї множини.

Рішення: А ∪ В – безліч парних натуральних чисел або двоцифрові числа. Приклади 4, 8, 11, 32, 51 і т.д.

У класі 30 осіб, кожен із яких співає чи танцює. Відомо, що співають 17 людей, а танцювати вміють 19 людей. Скільки людей співають і танцюють одночасно?

Рішення: Спочатку зауважимо, що з 30 осіб (На 1 малюнку - безліч В)не вміють співати 30 – 17 (На 1 малюнку - безліч А)= 13 осіб (На 1 малюнку - заштрихована безліч).

Таким чином, 13 людей не вміють співати. Усі вони можуть танцювати, т.к. за умовою кожен учень класу співає чи танцює. Усього вміють танцювати 19 людей (На 2 малюнку - безліч В), з них 13 (На 2 малюнку - безліч А)не вміють співати, отже, танцювати та співати одночасно вміють 19-13 = 6 осіб (на 2 малюнку – заштрихована множина).

Вправа 1: Скласти завдання малюнку:

Вправа 2: Дані множини: А = (1; 2; 5; 7) та В = (3; 5; 7). Знайти поєднання цих множин.

Рішення: А∪ В = (1; 2; 5; 7; 3).

Вправа 3:Дані множини: А = (3, 5, 0, 11, 12, 19), В = (2, 4, 8, 12, 18, 0). Знайдіть безліч A U В.

Рішення: А∪ В = (3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

Відкриття нового знання: ПЕРЕКЛАД МНОЖИН

Як вийшло безліч «фруктів» на малюнку? (об'єднання множин «яблука» та «груші»)

Як ви думаєте, як вийшло безліч "жовті"? Що входить до цієї множини, які елементи?

Правильно, жовті груші та жовті яблука – безліч, утворена в результаті перетину множини «яблука» та множини «груші».

Які ж елементи є перетином цих множин? (загальні, однакові)

Вправа 1: Дано дві множини А = (1; 2; 5; 7) і В = (4; 5; 6; 7; 8; 9; 10). Як ви вважаєте, які елементи цих множин будуть їх перетином?

Розгляньте ще один малюнок і спробуйте визначити перетин двох множин.

Перетином множинX іY називають безліч, що складається з усіх загальних (однакових) елементів множинX іY , тобто. з усіх елементів, які належать і безлічіX , і безлічіY .

Як ви вважаєте, яка арифметична дія відповідає перетину? (множення, твір)

Позначення:X ∩ Y .

Безліч зручно зображати у вигляді кіл Ейлера.

На малюнку безліч перетину множин Xі Yзафарбовано в помаранчевий колір.

Як ми складатимемо перетин двох множин?

Для того щоб скласти перетин двох числових множин, Треба послідовно брати елементи першого множини і перевіряти, чи належать вони другому множині. Ті з них, які належать, і складатимуть перетин.

Вправа 2:Знайди перетин множинAіB, якщоA=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) таB={2,4,6,8,10}.

A∩ B={2,4,6,8}.

Вправа 3:Знайди перетин множинAіB, якщоA=(2,4,6) таB= (2,4,6,8,10). Зобразіть рішення за допомогою кіл Ейлера.

Рішення: Знайдемо загальні (однакові) елементи множин.

A∩ B= (2,4,6,) = А.

Вправа 4:Знайди перетин множинAіB, якщоA=(0,1,2,3,4,5) таB= (6,8,10). Зобразіть рішення за допомогою кіл Ейлера.

Рішення: Знайдемо загальні (однакові) елементи множин. Їх немає.

A ∩ B =.

6 -А

Якщо дві множини немає спільних елементів, то перетином цих множин є порожня безліч.

Як ми можемо знайти перетин трьох множин?

Зобразіть за допомогою кіл Ейлера поєднання трьох множин: А, В і С.

Яким чином ви їх перетинали?

Справді, результат перетину множин не залежить від порядку дій:

Властивості перетину множин:

1.Операція перетину множин коммутативна: А ∩ В = В ∩ А;

2.Операція перетину множин транзитивна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С);

3. Універсальна безліч X є нейтральним елементом операції перетину множин: А ∩ Х = А;

4. Операція перетину множин ідемпотентна: А ∩ А = А;

5. Якщо - порожня множина, то: А ∩ = .

Підбиття підсумків уроку, рефлексія

Мені найбільше вдалося.

Для мене було відкриттям те, що …

За що ти можеш похвалити себе?

Що на вашу думку не вдалося? Чому? Що зважити на майбутнє?

Мої здобутки на уроці.

Домашнє завдання:конспект, вправи:

Дані множини: А = (a; b; c; d), В = (c; d; e; f) і С = (c; e; q; k).

Знайти: (А ∪ В) ∪ С.

А – безліч парних натуральних чисел, У – безліч двоцифрових чисел. Складіть характеристичну властивість перетину цих множин. Наведіть приклади елементів цієї множини.

Рішення: А ∩ В – безліч парних натуральних чисел ідвоцифрових чисел. Приклади 42, 86, 12, 32, 50 і т.д.

Кожен учень у класі вивчає англійську або Французька мова. Англійську мову вивчають 25 учнів, французьку – 27 учнів, а дві мови – 18 учнів. Скільки учнів у класі?

Цілі уроку:

• освітні: формування умінь виділяти множини, підмножини; формування навичок знаходити на зображеннях область перетину та об'єднання множин і називати елементи з цієї галузі, вирішувати завдання;
• розвиваючі: розвиток пізнавального інтересуучнів; розвиток інтелектуальної сфериособистості, розвиток умінь порівнювати та узагальнювати.
• виховні: виховувати акуратність та уважність при вирішенні.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

2. Вчитель повідомляє тему уроку, разом із учнями формулює цілі й завдання.

3. Вчитель разом із учнями згадує матеріал, вивчений на тему «Багатови» в 7 класі, запроваджує нові поняття та визначення, формули на вирішення завдань.

«Багато є багато, мислиме нами як єдине» (Засновник теорії множин - Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - німецький математик, логік, теолог, творець теорії трансфінітних (нескінченних) множин, що вплинуло на розвиток математичних наукмежі 19- 20 ст.

Безліч - одне з основних понять сучасної математики, що використовується майже у всіх її розділах.

На жаль, основного поняття теорії – поняття множини – не можна дати строгого визначення. Зрозуміло, можна сказати, що безліч - це "сукупність", "збори", "ансамбль", "колекція", "сімейство", "система", "клас" і т. д. проте все це було б не математичним визначенням, а скоріше зловживанням словниковим багатствомросійської мови.

Для того щоб визначити яке - або поняття, потрібно, перш за все, вказати, окремим випадком якого більше загального поняття, воно є, для поняття множини зробити це неможливо, тому що більш загального поняття, ніж безліч, у математиці немає.

Часто доводиться говорити про кілька речей, поєднаних деякою ознакою. Так, можна говорити про безліч всіх стільців у кімнаті, про безліч всіх клітин людського тіла, Про безліч всіх картоплин в даному мішку, про безліч всіх риб в океані, про безліч всіх квадратів на площині, про безліч всіх точок на цьому колі і т.д.

Предмети, що становлять це безліч, називаються його елементами.

Наприклад, багато днів тижня складається з елементів: понеділок, вівторок, середа, четвер, п'ятниця, субота, неділя.

Багато місяців – з елементів: січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, серпень, вересень, жовтень, листопад, грудень.

Безліч арифметичних дій- З елементів: додавання, віднімання, множення, розподіл.

Наприклад, якщо А означає множину всіх натуральних чисел, то 6 належить до А, а 3 не належить до А.

Якщо А - багато місяців на рік, то травень належить до А, а середовище не належить до А.

Якщо безліч містить кінцеве числоелементів, його називають кінцевим, і якщо в ньому нескінченно багато елементів, то нескінченним. Так безліч дерев у лісі звичайно, а безліч точок на колі нескінченно.

Парадокс у логіці- це протиріччя, що має статус логічно коректного висновку і, водночас, є міркуванням, що призводить до взаємно виключних висновків.

Як згадувалося, поняття безлічі є основою математики. Використовуючи найпростіші множини та різні математичні конструкції, можна побудувати практично будь-який математичний об'єкт. Ідею побудови всієї математики з урахуванням теорії множин активно пропагував Г.Кантор. Проте, за всієї своєї простоті, поняття безлічі таїть у собі небезпека появи протиріч чи, як і кажуть, парадоксів. Поява парадоксів пов'язана з тим, що далеко не всякі конструкції і не всілякі множини можна розглядати.

Найпростіший із парадоксів - це " парадокс цирульника".

Одному солдату було наказано голити тих і лише тих солдатів його взводу, які самі себе не голять. Невиконання наказу в армії, як відомо, найтяжчий злочин. Однак постало питання, чи голити цього солдата самого себе. Якщо він поголиться, то його слід віднести до багатьох солдатів, які самі себе голять, а таких голити він не має права. Якщо ж він голити себе не буде, то потрапить у безліч солдатів, які самі себе не голять, а таких солдат згідно з наказом він зобов'язаний голити. Парадокс.

Над множинами, як і над багатьма іншими математичними об'єктами, можна здійснювати різні операції, які іноді називають теоретико-множинними операціями або сет-операціями. В результаті операцій з вихідних множин виходять нові. Безліч позначаються великими латинськими літерами, які елементи – малими. Запис a Rозначає, що елемент аналежить безлічі R, тобто а R. В іншому випадку, коли ане належить множині R, пишуть a R .

Дві множини Аі Уназиваються рівними (А =У), якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто кожен елемент множини Ає елементом множини Уі навпаки, кожен елемент множини Ує елементом множини А .

Порівняння множин.

Безліч A міститься у множині B (множина B включає множину A), якщо кожен елемент A є елемент В:

Кажуть, що безліч Аміститься у безлічі Уабо безліч Ає підмножиною безлічі У(У цьому випадку пишуть А У), якщо кожен елемент множини Аодночасно є елементом множини У. Ця залежність між множинами називається включенням . Для будь-якої множини Амають місце включення: Ø Аі А А

В цьому випадку Aназивається підмножиною B, B - надмножиною A. Якщо , то Aназивається власним підмножиною У. Зауважимо, що ,

За визначенням ,

Дві множини називаються рівнимиякщо вони є підмножинами один одного

Операції над множинами

Перетин.

Об'єднання.

Властивості.

1.Операція об'єднання множин коммутативна

2.Операція об'єднання множин транзитивна

3. Порожня множина X є нейтральним елементом операції об'єднання множин

1. Нехай A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7). Тоді

2. А = (2,4,6,8,10), В = (3,6,9,12). Знайдемо об'єднання та перетин цих множин:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Безліч дітей є підмножиною всього населення

4. Перетином безлічі цілих чисел з безліччю позитивних чиселє безліч натуральних чисел.

5. Об'єднанням множини раціональних чиселз безліччю ірраціональних чиселє безліч позитивних чисел.

6.Нуль є доповненням безлічі натуральних чисел щодо безлічі невід'ємних цілих чисел.

Діаграми Венна(Venn diagrams) - загальна назвацілого ряду методів візуалізації та способів графічної ілюстрації, що широко використовуються в різних областяхнауки і математики: теорія множин, власне «Діаграма Венна»показує всі можливі відносини між множинами чи подіями із деякого сімейства; різновидами діаграм Веннаслужать: діаграми Ейлера,

Діаграма Венна чотирьох множин.

Власне «Діаграма Венна»показує всі можливі відносини між множинами чи подіями із деякого сімейства. Звичайна діаграма Венна має три множини. Сам Венн намагався знайти витончений спосіб з симетричними фігурами , що представляє на діаграмі більша кількістьмножин, але він зміг це зробити тільки для чотирьох множин (див. малюнок праворуч), використовуючи еліпси.

Діаграми Ейлера

Діаграми Ейлера аналогічні діаграмам Венна. Діаграми Ейлера можна використовувати для того, щоб оцінювати правдоподібність теоретико-множинних тотожностей.

Завдання 1.У класі 30 осіб, кожен із яких співає чи танцює. Відомо, що співають 17 людей, а танцювати вміють 19 людей. Скільки людей співають і танцюють одночасно?

Рішення:Спочатку зауважимо, що з 30 осіб не вміють співати 30 – 17 = 13 осіб.

Усі вони можуть танцювати, т.к. за умовою кожен учень класу співає чи танцює. Усього вміють танцювати 19 осіб, з них 13 не вміють співати, отже, танцювати та співати одночасно вміють 19-13 = 6 осіб.

Завдання на перетин та об'єднання множин.

1. Дано безліч А = (3,5, 0, 11, 12, 19), В = (2,4, 8, 12, 18,0).
   Знайдіть безліч AU В,
2. Складіть не менше семи слів, літери яких утворюють підмножини множини
   А -(до,а,р,у,с,е,л,ь).
3. Нехай A - це множина натуральних чисел, що діляться на 2, а В - множина натуральних чисел, що діляться на 4. Який висновок можна зробити щодо даних множин?
4. На фірмі працює 67 осіб. З них 47 знають англійська мова, 35 – німецька мова, а 23 – обидві мови. Скільки людей фірми не знають ні англійської, ні німецької мов?
5. З 40 учнів нашого класу 32 люблять молоко, 21 – лимонад, а 15 – і молоко, і лимонад. Скільки дітей у нашому класі не люблять ні молоко, ні лимонад?
6. 12 моїх однокласників люблять читати детективи, 18 - фантастику, троє із задоволенням читають і те, й інше, а один взагалі нічого не читає. Скільки учнів у нашому класі?
7. З тих 18 моїх однокласників, які люблять дивитися трилери, тільки 12 не проти подивитися і мультфільми. Скільки моїх однокласників дивляться одні «мультики», якщо всього в нашому класі 25 учнів, кожен із яких любить дивитися чи трилери, чи мультфільми, чи те й інше?
8. Із 29 хлопчиків нашого двору лише двоє не займаються спортом, а решта відвідують футбольну чи тенісну секції, а то й обидві. Футболом займається 17 хлопчаків, а тенісом – 19. Скільки футболістів грає у теніс? Скільки тенісистів грає у футбол?
9. 65% кроликів бабусі люблять морквину, 10% люблять і морквину, і капусту. Скільки відсотків кроликів не проти поласувати капустою?
10. В одному класі 25 учнів. З них 7 люблять груші, 11 черешню. Двоє люблять груші та черешню; 6 - груші та яблука; 5-яблука та черешню. Але є в класі два учні, які люблять усі та четверо таких, що не люблять фруктів взагалі. Скільки учнів цього класу люблять яблука?
11. У конкурсі краси взяли участь 22 дівчата. З них 10 було красивих, 12 розумних і 9 добрих. Тільки дві дівчини були і красивими, і розумними; 6 дівчат були розумними та водночас добрими. Визначте, скільки було гарних і водночас добрих дівчат, якщо я скажу вам, що серед учасниць не виявилося жодної розумної, доброї та водночас красива дівчина?
12. У нашому класі 35 учнів. За першу чверть п'ятірки з російської мали 14 учнів; з математики – 12; з історії - 23. З російської та математики - 4; з математики та історії - 9; з російської мови та історії - 5. Скільки учнів мають п'ятірки з усіх трьох предметів, якщо у класі немає жодного учня, який не має п'ятірки хоча б по одному з цих предметів?
13. Зі 100 осіб 85 знають англійську мову, 80 - іспанську, 75 - німецьку. Всі володіють принаймні однією іноземною мовою. Серед них немає таких, які знають дві іноземні мови, але є володіють трьома мовами. Скільки людей із цих 100 знають три мови?
14. Зі співробітників фірми 16 побували у Франції, 10 -в Італії, 6 - в Англії; в Англії та Італії - 5; в Англії та Франції – 6; у всіх трьох країнах – 5 співробітників. Скільки людей відвідали і Італію, і Францію, якщо всього у фірмі працюють 19 осіб, і кожен із них побував хоча б в одній із цих країн?

5. Підбиття підсумків уроку.

6. Рефлексія.

• Мені найбільше вдалося.
• Для мене було відкриттям те, що …
• За що ти можеш похвалити себе?
• Що на вашу думку не вдалося? Чому? Що зважити на майбутнє?
• Мої здобутки на уроці.

7. Домашнє завдання.

1. Макарів. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, №271, №272.
2. Скласти завдання застосування теорії множин.
3. За групами підготувати презентації на тему «Багатоді».