Чи позитивно буде визначена квадратична форма. Позитивно визначені квадратичні форми

Концепція квадратичні форми. Матриця квадратичних форм. Канонічний вид квадратичних форм. Метод Лагранжа. Нормальний вид квадратичних форм. Ранг, індекс та сигнатура квадратичної форми. Позитивно певна квадратична форма. Квадрики.

Поняття квадратичної форми:функція на векторному просторі, що задається однорідним багаточленом другого ступеня координат вектора.

Квадратичною формою від nневідомих називається сума, кожен доданок якої є або квадратом одного з цих невідомих, або твором двох різних невідомих.

Матриця квадратичної форми:Матрицю називають матрицею квадратичної форми у даному базисі. Якщо характеристика поля не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто .

Написати матрицю квадратичної форми:

Отже,

У векторно-матричній формі квадратична форма має вигляд:

A , де

Канонічний вигляд квадратичної форми:Квадратична форма називається канонічною, якщо всі тобто.

Будь-яку квадратичну форму можна призвести до канонічному виглядуза допомогою лінійних перетворень. Насправді зазвичай застосовують такі способи.

Метод Лагранжа : Послідовне виділення повних квадратів. Наприклад, якщо

Потім подібну процедуру роблять з квадратичною формою і т. д. Якщо у квадратичній формі все але є то після попереднього перетворення справа зводиться до розглянутої процедури. Так, якщо, наприклад, то вважаємо

Нормальний вигляд квадратичної форми:Нормальною квадратичною формою називається така канонічна квадратична форма, яка має всі коефіцієнти рівні +1 чи -1.

Ранг, індекс та сигнатура квадратичної форми:Рангом квадратичної форми Аназивається ранг матриці А. Ранг квадратичної форми не змінюється при невироджених перетворення невідомих.

Кількість негативних коефіцієнтів називається негативним індексом форми.

Число позитивних членіву канонічному вигляді називається позитивним індексом інерції квадратичної форми, число негативних членів – негативним індексом. Різниця між позитивним та негативним індексами називаєтьсясигнатурою квадратичної форми

Позитивно визначена квадратична форма:Речовинна квадратична форма називається позитивно визначеною (негативно визначеною), якщо за будь-яких не рівних одночасно нулю речові значеннязмінних

. (36)

В цьому випадку матриця також називається позитивно визначеною (негативно визначеною).

Клас позитивно визначених (негативно визначених) форм є частиною класу невід'ємних (відповідно непозитивних) форм.

Квадрики:Квадрик - n-мірна гіперповерхня в n+1-мірному просторі, задана як безліч нулів багаточлена другого ступеня. Якщо ввести координати ( x 1 , x 2 , x n+1) (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівнянняквадрики має вигляд

Це рівняння можна переписати компактніше в матричних позначеннях:

де x = ( x 1 , x 2 , x n+1) - вектор-рядок, x T - транспонований вектор, Q- матриця розміру ( n+1)×( n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий), P- Вектор-рядок, а R- Константа. Найчастіше розглядають квадрики над дійсними чи комплексними числами. Визначення можна розповсюдити на квадрики в проектному просторі, див.

Більше загально, безліч нулів системи поліноміальних рівнянь відомо як алгебраїчне різноманіття. Таким чином, квадрика є (афінним або проектним) алгебраїчним різноманіттям другого ступеня та корозмірності 1.

Перетворення площини та простору.

Визначення перетворення площини. Визначення руху. характеристики руху. Два види рухів: рух I роду та рух II роду. Приклади рухів. Аналітичний вираз руху. Класифікація рухів площини (залежно від наявності нерухомих точок та інваріантних прямих). Група рухів площині.

Визначення перетворення площини: Визначення.Перетворення площини зберігає відстань між точками називається рухом(або переміщенням) площини. Перетворення площини називається афінним, якщо воно будь-які три точки, що лежать на одній прямій, переводить у три точки, що також лежать на одній прямій і при цьому зберігає просте відношення трьох точок.

Визначення руху:це перетворення фігур, у якому зберігаються відстані між точками. Якщо дві фігури точно поєднати одна з одною у вигляді руху, ці фігури однакові, рівні.

Властивості руху:всяке рух площини, що зберігає орієнтацію, є або паралельним переносом, або поворотом, всяке змінює орієнтацію рух площини є або осьової симетрією, або ковзною симетрією. Крапки, що лежать на прямій, при русі переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування. Під час руху зберігаються кути між напівпрямими.

Два види рухів: рух I роду та рух II роду:Рухи першого роду – такі рухи, які зберігають орієнтацію базисів якоїсь фігури. Вони можуть бути реалізовані безперервними рухами.

Рухи другого роду – такі рухи, які змінюють орієнтацію базисів на протилежну. Вони можуть бути реалізовані безперервними рухами.

Прикладами рухів першого роду є перенесення та поворот навколо прямої, а рухами другого роду – центральна та дзеркальна симетрії.

Композицією будь-якої кількості рухів першого роду є рух першого роду.

Композиція парного числа рухів другого роду є рух 1 роду, а композиція непарного числа рухів 2 роду - рух 2 роду.

Приклади рухів:Паралельне перенесення . Нехай а – цей вектор. Паралельним перенесенням на вектор називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в точку М 1 , що вектор MМ 1 дорівнює векторуа.

Паралельний перенесення є рухом, оскільки є відображенням площини на себе, що зберігає відстані. Наочно цей рух можна представити як зсув всієї площини у напрямку даного вектораа на його довжину.

Поворот.Позначимо на площині точку О ( центр повороту) і задаємо кут α ( кут повороту). Поворотом площини навколо точки О на кут називається відображення площини на себе, при якому кожна точка М відображається в точку М 1 , що ОМ = ОМ 1 і кут MOМ 1 дорівнює α. При цьому точка О залишається на своєму місці, тобто відображається сама в себе, а всі інші точки повертаються навколо точки О в однаковому напрямку - за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки (на малюнку зображено поворот проти годинникової стрілки).

Поворот є рухом, оскільки є відображенням площини на себе, при якому зберігаються відстані.

Аналітичний вираз руху:аналітичний зв'язок між координатами прообразу і образу точки має вигляд (1).

Класифікація рухів площини (залежно від наявності нерухомих точок та інваріантних прямих): Визначення:

Точка площини інваріантної (нерухомої), якщо при цьому перетворенні вона переходить у себе.

Приклад: При центральної симетріїІнваріантною є точка центру симетрії. При інваріантній повороті є точка центру повороту. При осьовій симетрії інваріантною є пряма – вісь симетрії – це пряма інваріантна точка.

Теорема: Якщо рух не має жодної інваріантної точки, він має хоча б один інваріантний напрямок.

Приклад: Паралельне перенесення. Справді, прямі, паралельні цьому напряму інваріантних як фігура загалом, хоча складається з інваріантних точок.

Теорема: Якщо рухається якийсь промінь, промінь перетворює на себе, то це рух або тотожне перетворення, або симетрія щодо прямої містить даний промінь.

Тому за наявності інваріантних точок чи фігур можна провести класифікацію рухів.

Група рухів площини:У геометрії важливу рольграють групи самосуміщень фігур. Якщо - деяка постать на площині (чи просторі), можна розглянути безліч всіх тих рухів площини (чи простору), у яких фігура перетворюється на.

Ця множина є групою. Наприклад, для рівностороннього трикутникаГрупа рухів площини, що переводять трикутник у себе, складається з 6 елементів: поворотів на кути навколо точки і симетрій щодо трьох прямих.

Вони зображені на рис. 1 червоними лініями. Елементи групи самосуміщень правильного трикутникаможуть бути задані та інакше. Щоб пояснити це, пронумеруємо вершини правильного трикутника числами 1, 2, 3. Будь-яке самосполучення трикутника переводить точки 1, 2, 3 у самі точки, але взяті у іншому порядку, тобто. може бути умовно вписано у вигляді однієї з таких дужок:

і т.д.

де числами 1, 2, 3 позначені номери тих вершин, які переходять вершини 1, 2, 3 в результаті аналізованого руху.

Проективні простори та їх моделі.

Поняття проективного простору та моделі проективного простору. Основні факти проектної геометрії. Зв'язка прямих із центром у точці O-модель проективної площини. Проектні точки. Розширена площина – модель проективної площини. Розширений тривимірний афінний або евклідовий простір - модель проективного простору. Зображення плоских та просторових фігур при паралельному проектуванні.

Поняття проективного простору та моделі проективного простору:

Проективний простір над полем - простір, що складається з прямих (одномірних підпросторів) деякого лінійного простору над полем. Прямі простори називаються точкамипроектного простору. Це визначення піддається узагальнення на довільне тіло

Якщо має розмірність , то розмірністю проективного простору називається число , а саме проективне простір позначається і називається асоційованим з (щоб це вказати прийнято позначення ).

Перехід від векторного просторурозмірності до відповідного проективного простору називається проективізацієюпростору.

Крапки можна описувати за допомогою однорідних координат.

Основні факти проективної геометрії:Проективна геометрія - розділ геометрії, що вивчає проектні площини та простори. Головна особливістьПроективна геометрія полягає в принципі подвійності, який додає витончену симетрію в багато конструкцій. Проективна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точкизору, так з аналітичною (за допомогою однорідних координат) та салгебраїчної, розглядаючи проектну площину як структуру над полем. Часто, і історично, речова проектна площина сприймається як Евклідова площину з додаванням «прямий у нескінченності».

Тоді як властивості постатей, з якими має справу Евклідова геометрія, є метричними(конкретні величини кутів, відрізків, площ), а еквівалентність фігур рівнозначна їх конгруентності(тобто коли фігури можуть бути переведені одна в іншу за допомогою руху із збереженням метричних властивостей), існують більш "глибоко лежачі" властивості геометричних фігур, які зберігаються при перетвореннях більше загального типу, Чим рух. Проективна геометрія займається вивченням властивостей фігур, інваріатних при класі проективних перетворень, і навіть самих цих перетворень.

Проективна геометрія доповнює Евклідову, надаючи гарні та прості рішеннядля багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста і витончена проектна теорія конічних перерізів.

Існують три основні підходи до проективної геометрії: незалежна аксіоматизація, доповнення Евклідової геометрії, і структура над полем.

Аксіоматизація

Проективний простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом.

Коксетер надає такі:

1. Існує пряма і точка не на ній.

2. На кожній прямій є принаймні три точки.

3. Через дві точки можна провести одну пряму.

4. Якщо A, B, C, і D — різні точкиі ABі CDперетинаються, то ACі BDперетинаються.

5. Якщо ABC- площина, то існує принаймні одна точка не в площині ABC.

6. Дві різні площини перетинаються принаймні у двох точках.

7. Три діагональні точки повного чотирикутника не колінеарні.

8. Якщо три точки на прямій X X

Проективна площина (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

1. Через дві точки можна провести одну пряму.

2. Будь-які дві прямі перетинаються.

3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.

4. Три діагональні точки повних чотирикутниківне колінеарні.

5. Якщо три точки на прямій Xінваріантні по відношенню до проективності φ, то всі точки на Xінваріантні стосовно φ.

6. Теорема Дезарга: Якщо два трикутники перспективні крізь точку, вони перспективні крізь пряму.

За наявності третього виміру теорема Дезарга може бути доведена без введення ідеальних точки і прямої.

Розширена площина – модель проективної площини:візьмемо в афінному просторі A3 зв'язку прямих S(O) з центром у точці O та площину Π, що не проходить через центр зв'язки: O 6∈ Π. Зв'язка прямих у афінному просторі є моделлю проектної площини. Задамо відображення безлічі точок площини Π на безліч прямих зв'язки S (Бля, молись якщо дісталося це питання, вибач)

Розширений тривимірний афінний або евклідовий простір - модель проективного простору:

Для того, щоб зробити відображення сюр'єктивним, повторимо процес формального розширення афінної площини Π до площини проективної Π доповнюючи площину Π безліччю невласних точок (M∞) таким, що: ((M∞)) = P0(O). Оскільки у відображенні прообразом кожної площини зв'язки площин S(O) є пряма на площині d, то очевидно, що безліч усіх невласних точок розширеної площини: Π = Π ∩ (M∞), (M∞) являє собою невласну пряму d∞ розширеною плоскості, що є прообразом особливої ​​площини Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Домовимося, що остання рівність P0(O) = Π0 тут і надалі ми розумітимемо в сенсі рівності множин точок, але наділених різною структурою. Доповнивши афінну площину невласної прямої, ми домоглися того, що відображення (I.21) стало бієктивним на безлічі всіх точок розширеної площини:

Зображення плоских та просторових фігур при паралельному проектуванні:

У стереометрії вивчаються просторові фігури, проте на кресленні вони зображуються як плоских фігур. Яким чином слід зображати просторову фігуруна площині? Зазвичай у геометрії при цьому використовується паралельне проектування. Нехай p - деяка площина, l- Пряма, що перетинає її (рис. 1). Через довільну точку A, що не належить прямої l, проведемо пряму, паралельну до прямої l. Точка перетину цієї прямої з площиною p називається паралельною проекцією точки Aна площину p у напрямі прямої l. Позначимо її A". Якщо точка Aналежить прямий l, то паралельною проекцією Aна площину p вважається точка перетину прямої lіз площиною p.

Таким чином, кожній точці Aпростору зіставляється її проекція Aна площину p. Ця відповідність називається паралельним проектуваннямна площину p у напрямі прямої l.

Група проектних перетворень. Додаток до розв'язання задач.

Концепція проектного перетворення площини. Приклади проектних перетворень площини. Властивості проектних перетворень. Гомологія, властивості гомології. Група проектних перетворень.

Поняття проективного перетворення площини:Поняття проективного перетворення узагальнює поняття центральної проекції. Якщо виконати центральну проекціюплощині α на деяку площину α 1 потім проекцію α 1 на α 2 , α 2 на α 3 ... і, нарешті, якийсь площині α nзнову на α 1 то композиція всіх цих проекцій і є проективне перетворення площини α; в такий ланцюжок можна включити і паралельні проекції.

Приклади проективних перетворень площини:Проективним перетворенням поповненої площини називається її взаємно-однозначне відображення на себе, при якому зберігається колінеарність точок, або, іншими словами, будь-який прямий є пряма. Будь-яке проектне перетворення є композиція ланцюжка центральних і паралельних проекцій. Афінне перетворення - це окремий випадокпроективного, при якому нескінченно віддалена пряма переходить сама в себе.

Властивості проективних перетворень:

При проективному перетворенні три точки, що не лежать на прямій, переходять у три точки, що не лежать на прямій.

При проективному перетворенні репер перетворюється на репер.

При проективному перетворенні пряма перетворюється на пряму, пучок перетворюється на пучок.

Гомологія, властивості гомології:

Проективне перетворення площини, що має пряму інваріантну точку, а значить, і пучок інваріантних прямих називається гомологією.

1. Пряма, що проходить через відповідні точки гомології, що не збігаються, є інваріантною прямою;

2. Прямі, які проходять через відповідні точки гомології, що не збігаються, належать одному пучку, центр якого є інваріантною точкою.

3. Крапка, її образ та центр гомології лежать на одній прямій.

Група проективних перетворень:розглянемо проективне відображення проективної площини P 2 він, тобто проективне перетворення цієї площини (P 2 ' = P 2).

Як і раніше, композицією f проективних перетворень f 1 і f 2 проективної площини P 2 назвемо результат послідовного виконання перетворень f 1 і f 2: f = f 2 °f 1 .

Теорема 1: безліч Н всіх проективних перетворень проективної площини P 2 є групою щодо композиції проективних перетворень.

У цьому пункті ми зупинимося на спеціальному, але важливому класі позитивних квадратичних форм.

Визначення 3. Речовинна квадратична форма називається невід'ємною (непозитивною), якщо за будь-яких речових значень змінних

. (35)

У цьому випадку симетрична матриця коефіцієнтів називається позитивно напіввизначеною (негативно напіввизначеною).

Визначення 4. Речовинна квадратична форма називається позитивно визначеною (негативно визначеною), якщо за будь-яких не рівних одночасно нулю речових значень змінних

. (36)

В цьому випадку матриця також називається позитивно визначеною (негативно визначеною).

Клас позитивно визначених (негативно визначених) форм є частиною класу невід'ємних (відповідно непозитивних) форм.

Нехай дана невід'ємна форма. Представимо її у вигляді суми незалежних квадратів:

. (37)

У цьому поданні всі квадрати мають бути позитивними:

. (38)

Справді, якби якесь було , можна було б підібрати такі значення , у яких

Але тоді за цих значеннях змінних форма мала б негативне значення, що за умовою неможливо. Вочевидь, як і з, (37) і (38) слід позитивність форми .

Отже, неотрицательная квадратична форма характеризується рівностями .

Нехай тепер позитивно визначена форма. Тоді й невід'ємна форма. Тому вона уявна у вигляді (37), де всі позитивні. З позитивної визначеності форми випливає, що . Дійсно, у разі можна підібрати такі не рівні одночасно нулю значення, при яких всі зверталися б у нуль. Але тоді з (37) при , що суперечить умові (36).

Легко бачити, що й назад, якщо у (37) і всі позитивні, то позитивно визначена форма.

Іншими словами, невід'ємна форма тоді і тільки тоді є позитивно визначеною, коли вона сингулярна.

Наступна теорема дає критерій позитивної визначеності форми як нерівностей, яким мають задовольняти коефіцієнти форми. При цьому використовуються позначення для послідовних головних мінорів матриці , що вже зустрічалися в попередніх параграфах :

.

Теорема 3. Для того, щоб квадратична форма була позитивно визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності

Доведення. Достатність умов (39) випливає безпосередньо з формули Якобі (28). Необхідність умов (39) встановлюється в такий спосіб. Із позитивної визначеності форми випливає позитивна визначеність «урізаних» форм

.

Але тоді всі ці форми мають бути несингулярні, тобто.

Тепер ми маємо можливість скористатися формулою Якобі (28) (при ). Оскільки у правій частині цієї формули всі квадрати мають бути позитивними, то

Звідси випливають нерівності (39). Теорему доведено.

Оскільки будь-який головний мінор матриці при належній перенумерації змінних можна помістити у верхній лівий кут, то має місце

Слідство. У позитивно визначеній квадратичній формі всі головні мінори матриці коефіцієнтів позитивні:

Зауваження. З невід'ємності послідовних головних мінорів

не слід невід'ємність форми. Справді, форма

,

в якій , задовольняє умовам , але не є негативною.

Однак має місце така

Теорема 4. Для того, щоб квадратична форма була невід'ємною, необхідно і достатньо, щоб усі головні мінори її матриці коефіцієнтів були невід'ємними:

Доведення. Введемо допоміжну форму була непозитивною, необхідно і достатньо, щоб мали місце нерівності

Квадратичні форми.
Знаковизначеність форм. Критерій Сільвестра

Прикметник «квадратичний» одразу наштовхує на думку, що щось тут пов'язане з квадратом (другим ступенем), і дуже скоро ми дізнаємося про це «щось» і що таке форма. Прямо скоромовкою вийшла:)

Вітаю вас на своєму новому уроці, і як негайна розминка ми розглянемо форму в смужку лінійну. Лінійною формою зміннихназивають одноріднийбагаточлен 1-го ступеня:

– якісь конкретні числа * (Припускаємо, що хоча б одне з них відмінно від нуля), а – змінні, які можуть набувати довільних значень.

* У рамках цієї теми будемо розглядати лише дійсні числа .

З терміном «однорідний» ми вже стикалися на уроці про однорідних системах лінійних рівнянь, і в даному випадкувін передбачає, що багаточлена немає приплюсованной константи .

Наприклад: - Лінійна форма двох змінних

Тепер форма квадратична. Квадратичною формою зміннихназивають одноріднийбагаточлен 2-го ступеня, кожне доданок якогомістить або квадрат змінної, або парнетвір змінних. Так, наприклад, квадратична форма двох змінних має наступний вигляд:

Увага!Це стандартний запис, і щось міняти в ньому не потрібно! Незважаючи на «страшний» вигляд, тут все просто – подвійні підрядкові індекси констант сигналізують про те, які змінні входять до того чи іншого доданку:
– у цьому доданку перебуває твір і (квадрат);
- Тут твір;
- І тут твір.

– одразу попереджаю грубу помилку, коли втрачають «мінус» у коефіцієнта, не розуміючи, що він відноситься до доданку:

Іноді зустрічається «шкільний» варіант оформлення в дусі, але лише іноді. До речі, зауважте, що константи нам тут взагалі нічого не говорять, і тому запам'ятати «легкий запис» важче. Особливо коли змінних більше.

І квадратична форма трьохзмінних містить уже шість членів:

…чому в «змішаних» доданків ставляться множники-«двійки»? Це зручно, і незабаром стане зрозуміло, чому.

Однак загальну формулузапишемо, її зручно оформити «простирадлом»:

- Уважно вивчаємо кожен рядок - нічого страшного тут немає!

Квадратична форма містить доданків із квадратами змінних та доданків із їх парними творами (Див. комбінаторну формулу поєднань) . Більше нічого – жодних «одиноких іксів» і жодної приплюсованої константи (тоді вже вийде не квадратична форма, а неодноріднийбагаточлен 2-го ступеня).

Матричний запис квадратичної форми

Залежно від значень розглянута форма може набувати як позитивних, так і від'ємні значення, і те саме стосується будь-якої лінійної форми – якщо хоча б один з її коефіцієнтів відмінний від нуля, то вона може виявитися як позитивною, так і негативною (залежно від значень).

Така форма називається знакозмінної. І якщо з лінійною формою все прозоро, то з формою квадратичної справи куди цікавіше:

Цілком зрозуміло, що дана форма може набувати значень будь-якого знака, таким чином, квадратична форма теж може бути знакозмінною.

А може й не бути:

- Завжди, якщо тільки одночасно не дорівнюють нулю.

– для будь-кого векторакрім нульового.

І взагалі,якщо для будь-кого ненульовоговектора , , то квадратичну форму називають позитивно визначеною; якщо ж – то негативно визначеною.

І все було б добре, але визначеність квадратичної форми видно лише в простих прикладах, і ця видимість втрачається вже за невеликого ускладнення:
– ?

Чи можна припустити, що форму визначено позитивно, але чи так це насправді? Раптом існують значення, при яких вона менша за нуль?

Щодо цього існує теорема: якщо все власні числаматриці квадратичної форми позитивні * , вона визначена позитивно. Якщо всі негативні, то негативно.

* Теоретично доведено, що це власні числа дійсної симетричної матриці дійсні

Запишемо матрицю вищенаведеної форми:
і з рівняння знайдемо її власні значення:

Вирішуємо старе добре квадратне рівняння:

отже, форма визначено позитивно, тобто. при будь-яких ненульових значеннях вона більше нуля.

Розглянутий метод начебто робочий, але є одне велике АЛЕ. Вже для матриці «три на три» шукати власні числа – є довге і неприємне заняття; з високою ймовірністю вийде многочлен 3-го ступеня з ірраціональним корінням.

Як бути? Існує більш простий шлях!

Критерій Сільвестра

Ні, не Сільвестра Сталлоне:) Спочатку нагадаю, що таке кутові мінориматриці. Це визначники які «розростаються» з її лівого верхнього кута:

і останній з них точно дорівнює визначнику матриці.

Тепер, власне, критерій:

1) Квадратична форма визначена позитивноі тоді, коли ВСІ її кутові мінори більше нуля: .

2) Квадратична форма визначена негативнотоді й тільки тоді, коли її кутові мінори значерговуються, у своїй 1-й мінор менше нуля: , , якщо – парне чи , якщо – непарне.

Якщо хоча б один кутовий мінор протилежного знака, то форма знаково змінна. Якщо кутові мінори "того" знака, але серед них є нульові, то це особливий випадок, який я розберу трохи пізніше, після того, як ми переклали більш поширені приклади.

Проаналізуємо кутові мінори матриці :

І це одразу говорить нам про те, що форму не визначено негативно.

Висновок: всі кутові мінори більше нуля, значить, форма визначено позитивно.

Є різниця з методом власних чисел? ;)

Запишемо матрицю форми з Приклад 1:

перший її кутовий мінор, а другий , звідки випливає, що форма знакоперемінна, тобто. залежно від значень може приймати як позитивні, так і негативні значення. Втім, це й так очевидно.

Візьмемо форму та її матрицю з Приклад 2:

тут взагалі без осяяння не розібратися. Але з критерієм Сільвестра нам все дарма:
, Отже, форма точно не негативна.

, і точно не позитивна (т.к. всі кутові мінори повинні бути позитивними).

Висновок: форма знакозмінна.

Розминальні приклади для самостійного рішення:

Приклад 4

Дослідити квадратичні форми на знаковизначеність

а)

У цих прикладах все гладко (див. кінець уроку), але насправді для виконання такого завдання критерію Сильвестра може виявитися мало.

Справа в тому, що існують «крайові» випадки, а саме: якщо для будь-кого ненульовоговектора , то форма визначена невід'ємно, якщо то позитивно. У цих форм існує ненульовівектори, за яких.

Тут можна навести такий «баян»:

Виділяючи повний квадратодразу бачимо невід'ємністьформи: , причому вона дорівнює нулю і при будь-якому векторі з рівними координатами, наприклад: .

«Дзеркальний» приклад позитивно певної форми:

і ще більш тривіальний приклад:
– тут форма дорівнює нулю за будь-якого вектора , де – довільне число.

Як виявити невід'ємність чи непозитивну форму?

Для цього нам знадобиться поняття головних мінорів матриці. Головний мінор – це мінор, складений із елементів, які стоять на перетині рядків та стовпців з однаковими номерами. Так, у матриці існують два основні мінори 1-го порядку:
(елемент знаходиться на перетині 1-го рядка та 1-го стовпця);
(елемент знаходиться на перетині 2-го рядка та 2-го стовпця),

та один головний мінор 2-го порядку:
– складений з елементів 1-го, 2-го рядка та 1-го, 2-го стовпця.

У матриці «три на три» головних мінорів сім, і тут уже доведеться помахати біцепсами:
– три мінори 1-го порядку,
три мінори 2-го порядку:
– складений з елементів 1-го, 2-го рядка та 1-го, 2-го стовпця;
– складений з елементів 1-го, 3-го рядка та 1-го, 3-го стовпця;
– складений з елементів 2-го, 3-го рядка та 2-го, 3-го стовпця,
та один мінор 3-го порядку:
- Складено з елементів 1-го, 2-го, 3-го рядка і 1-го, 2-го і 3-го стовпця.
Завданняна розуміння: записати всі головні мінори матриці .
Звіряємось наприкінці уроку і продовжуємо.

Критерій Шварценеггера:

1) Ненульова* квадратична форма визначена невід'ємнотоді і тільки тоді, коли ВСІ її головні мінори невід'ємні(Більше або рівні нулю).

* У нульової (виродженої) квадратичної форми всі коефіцієнти дорівнюють нулю.

2) Ненульова квадратична форма з матрицею визначена позитивнотоді і лише тоді, коли її:
- Основні мінори 1-го порядку непозитивні(Менше або рівні нулю);
- Головні мінори 2-го порядку невід'ємні;
- Головні мінори 3-го порядку непозитивні(Пішло чергування);
…
- Головний мінор-го порядку непозитивний, якщо - непарне або невід'ємний, Якщо - парне.

Якщо хоча б один мінор протилежного знака, форма знакоперемінна.

Подивимося, як працює критерій у наведених вище прикладах:

Складемо матрицю форми, і в першу чергуобчислимо кутові мінори – а раптом вона визначена позитивно чи негативно?

Отримані значення не задовольняють критерію Сільвестру, проте другий мінор не негативний, і це викликає необхідність перевірити другий критерій (у разі 2-й критерій буде не виконаний автоматично, тобто одночасно робиться висновок про знакозмінність форми).

Основні мінори 1-го порядку:
- Позитивні,
головний мінор 2-го порядку:
- Не негативний.

Таким чином, ВСІ головні мінори не негативні, отже, форма невід'ємна.

Запишемо матрицю форми для якої, очевидно, не виконано критерій Сільвестра. Але й протилежних знаків ми теж не отримали (бо обидва кутові мінори дорівнюють нулю). Тому перевіряємо виконання критерію невід'ємності/непозитивності. Основні мінори 1-го порядку:
- Не позитивні,
головний мінор 2-го порядку:
- Не негативний.

Таким чином, за критерієм Шварценеггера (пункт 2) форма визначена непозитивно.

Тепер у всеозброєнні розберемо найцікавіше завдання:

Приклад 5

Дослідити квадратичну форму на знаковизначеність

Цю формуприкрашає орден «альфа», який може дорівнювати будь-кому дійсному числу. Але ж це тільки веселіше буде, вирішуємо.

Спочатку запишемо матрицю форми, напевно, багато хто вже пристосувався це робити усно: на головну діагональставимо коефіцієнти при квадратах, але в симетричні місця – споловиненные коефіцієнти відповідних «змішаних» творів:

Обчислимо кутові мінори:

третій визначник я розкрию по 3-му рядку:

Позитивно визначені квадратичні форми

Визначення. Квадратична форма від nневідомих називається позитивно визначеною, якщо її ранг дорівнює позитивному індексу інерції та дорівнює числуневідомих.

Теорема.Квадратична форма позитивно визначена тоді і лише тоді, коли на будь-якому ненульовому наборі значень змінних набуває позитивні значення.

Доведення.Нехай квадратична форма невиродженим лінійним перетворенням невідомих

наведено до нормального вигляду

.

Для будь-якого ненульового набору значень змінних хоча б одне із чисел на відміну від нуля, тобто. . Необхідність теореми доведена.

Припустимо, що квадратична форма набуває позитивних значень на будь-якому ненульовому наборі змінних, але її позитивний індекс інерції невиродженим лінійним перетворенням невідомих

наведемо її до нормального вигляду. Без обмеження спільності вважатимуться, що у нормальному вигляді квадрат останньої змінної або відсутня, або входить у неї зі знаком мінус, тобто. де або . Припустимо, що ненульовий набір значень змінних , отриманий в результаті рішення системи лінійних рівнянь

У цій системі число рівнянь дорівнює кількості змінних і визначник системи відмінний від нуля. За теоремою Крамера система має єдине рішенняі воно ненульове. Для цього набору. Суперечність із умовою. Приходимо до суперечності з припущенням, що доводить достатність теореми.

За допомогою цього критерію не можна за коефіцієнтами встановити, чи позитивно визначено квадратичну форму. Відповідь таке питання дає інша теорема, для формулювання якої введемо ще одне поняття. Головні діагональні мінори матриці- це мінори, розташовані в її лівому верхньому кутку:

, , , … , .

Теорема.Квадратична форма позитивно визначена і тоді, коли її головні діагональні мінори позитивні.

Доведенняпроведемо методом повної математичної індукціїза кількістю nзмінних квадратичної форми f.

Гіпотеза індукції.Припустимо, що для квадратичних форм із числом змінних меншим nтвердження вірне.

Розглянемо квадратичну форму від nзмінних. Зберемо в одну дужку всі складові, що містять . Складники, що залишилися, утворюють квадратичну форму від змінних. По гіпотезі індукції нею твердження правильне.

Припустимо, що квадратичну форму позитивно визначено. Тоді й квадратичну форму позитивно визначено. Якщо припустимо, що це не так, знайдеться ненульовий набір значень змінних , для котрого і відповідно, а це суперечить тому, що квадратична форма позитивно визначена. По гіпотезі індукції всі основні діагональні мінори квадратичної форми позитивні, тобто. усі перші головні мінори квадратичної форми fпозитивні. Останній головний мінор квадратичної форми – це визначник її матриці. Цей визначник позитивний, тому що його знак збігається зі знаком матриці її нормального вигляду, тобто. зі знаком визначника одиничної матриці.

Нехай всі головні діагональні мінори квадратичної форми позитивні, Тоді позитивні всі головні діагональні мінори квадратичної форми з рівності . За гіпотезою індукції квадратична форма позитивно визначена, тому існує невироджене лінійне перетвореннязмінних яке наводить форму до виду суми квадратів нових змінних. Це лінійне перетворення можна доповнити до невиродженого лінійного перетворення всіх змінних вважаючи. Квадратична форма цим перетворенням наводиться до вигляду

Квадратичні форми

Квадратичною формою f(х 1 , х 2 ,...,х n) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добутком двох різних змінних, взятим з деяким коефіцієнтом: f(х 1 , х 2 , ..., х n) = (a ij = a ji).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицею квадратичної форми. Це завжди симетричнаматриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, a ij = a ji).

У матричного записуквадратична форма має вигляд f(Х) = Х Т AX, де

Справді

Наприклад, запишемо в матричному виглядіквадратичну форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невиродженим лінійному перетворенні матриці-стовпця Y, тобто. X = CY, де - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма
f(X) = X T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичну форму f(y 1 , y 2), отриману з квадратичної форми f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної(має канонічний вигляд), якщо її коефіцієнти a ij = 0 при i ≠ j, тобто.
f(х 1, х 2, ..., х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Її матриця є діагональною.

Теорема(Доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного виду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Наприклад, наведемо до канонічного вигляду квадратичну форму
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для цього спочатку виділимо повний квадратпри змінній х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х22 – х2х3.

Тепер виділяємо повний квадрат при змінній х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100) х 3 2 =
= 2 (x 1 + х 2) 2 - 5 (х 2 - (1/10) х 3) 2 - (1/20) х 3 2 .

Тоді невироджене лінійне перетворення y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 і y 3 = x 3 наводить цю квадратичну форму до канонічного вигляду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Зазначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна й та сама квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами). Проте отримані у різний спосібканонічні форми мають поруч загальних властивостей. Зокрема, кількість доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, у розглянутому прикладі завжди буде два негативні та один позитивний коефіцієнт). Цю властивість називають законом інерції квадратичних форм.

Впевнимося в цьому, по-іншому привівши ту ж квадратичну форму до канонічного вигляду. Почнемо перетворення зі змінною х 2:
f(х 1, х 2, х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = - 3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 де y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 - (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 та y 3 = x 1 . Тут позитивний коефіцієнт 2 при y 3 і два негативні коефіцієнти (-3) при y 1 і y 2 (а при використанні іншого способу ми отримали позитивний коефіцієнт 2 при y 1 і два негативних - (-5) при y 2 і (-1) /20) за y 3).

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми, дорівнює числу відмінних від нуля коефіцієнтів канонічної формиі змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f(X) називають позитивно (негативно) певною, якщо за всіх значеннях змінних, не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто. f(X) > 0 (негативна, тобто.
f(X)< 0).

Наприклад, квадратична форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 – позитивно визначена, т.к. є сумою квадратів, а квадратична форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - негативно визначена, т.к. представляє її можна подати у вигляді f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

У більшості практичні ситуаціївстановити знаковизначеність квадратичної форми дещо складніше, тому цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) визначеною тоді і лише тоді, коли всі власні значенняїї матриці позитивні (негативні).

Теорема (критерій Сільвестру). Квадратична форма є позитивно визначеною тоді і лише тоді, коли головні мінори матриці цієї форми позитивні.

Головним (кутовим) мінором k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначником матриці, що складається з перших k рядків і стовпців матриці А ().

Зазначимо, що для негативно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, причому мінор першого порядку має бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знаковизначеність квадратичну форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Отже квадратична форма – позитивно визначена.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D 1 = a 11 = 2 > 0. Головний мінор другого порядку D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма – позитивно визначена.

Досліджуємо на знаковизначеність іншу квадратичну форму, f(х 1, х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А = . Характеристичне рівнянняматиме вигляд = (-2 - l) *
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Отже, квадратична форма негативно визначена.