Що називається кутом між площинами. Знаходження кута між площинами (двогранний кут)

При вирішенні геометричних завданьу просторі часто зустрічаються такі, де необхідно розрахувати кути між різними просторовими об'єктами. У цій статті розглянемо питання знаходження кутів між площинами та між ними та прямою.

Пряма у просторі

Відомо, що будь-яка пряма на площині може бути визначена наступною рівністю:

Тут a та b - деякі числа. Якщо уявити тим самим виразом пряму в просторі, то вийде вже площина, паралельна осі z. Для математичного визначенняпросторової прямої застосовують інший спосіб розв'язання, ніж у двовимірному випадку. Він полягає у використанні поняття "напрямний вектор".

Приклади розв'язання задач на визначення кута перетину площин

Знаючи, як знайти між площинами кут, розв'яжемо наступне завдання. Дано дві площини, рівняння яких мають вигляд:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Чому між площинами дорівнює кут?

Щоб відповісти на запитання завдання, пригадаємо, що коефіцієнти, що стоять при змінних у рівнянні загальному площині, є координатами вектора напрямного. Для зазначених площин маємо такі координати їх нормалей:

n 1 ¯(3; 4; -1);

n 2 ¯(-1; -2; 5)

Тепер знайдемо твір скалярний цих векторів та їх модулі, маємо:

(n 1 ? * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;

|n 1 | = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Тепер можна підставити знайдені числа у наведену у попередньому пункті формулу. Отримуємо:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Отримане значення відповідає гострому куту перетину площин, вказаних за умови завдання.

Тепер розглянемо інший приклад. Дано дві площини:

Чи перетинаються вони? Випишемо значення координат їх напрямних векторів, порахуємо скалярний добутокїх та модулі:

n 1 ¯(1; 1; 0);

n 2 ¯(3; 3; 0);

(n 1 ? * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 | = √2;

|n 2 ¯| = √18

Тоді кут перетину дорівнює:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) = 0 o .

Цей кут свідчить, що площини не перетинаються, а є паралельними. Той факт, що вони не збігаються один з одним просто перевірити. Візьмемо при цьому довільну точку, що належить першої їх, наприклад, P(0; 3; 2). Підставимо її координати у друге рівняння, отримаємо:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Тобто точка P належить лише першій площині.

Таким чином, дві площини є паралельними, коли такими будуть їх нормалі.

Площина та пряма

У разі розгляду взаємного розташуванняміж площиною та прямою існує дещо більше варіантів, ніж із двома площинами. Пов'язаний це з тим, що пряма є одномірним об'єктом. Пряма та площина можуть бути:

• взаємно паралельними, у разі площина не перетинає пряму;
• остання може належати площині, причому вона також буде паралельна їй;
• обидва об'єкти можуть перетинатися під деяким кутом.

Розглянемо спочатку останній випадокоскільки він вимагає введення поняття про вугілля перетину.

Пряма та площина, значення кута між ними

Якщо площина пряма перетинає, вона називається похилої стосовно неї. Точку перетину прийнято називати основою похилою. Щоб визначити між цими геометричними об'єктами кут, необхідно опустити із будь-якої точки прямий перпендикуляр на площину. Тоді точка перетину перпендикуляра з площиною та місце перетину з нею похилою утворюють пряму. Остання називається проекцією вихідної прямої на площину, що розглядається. Гострий та проекцією її є шуканим.

Дещо заплутане визначення кута між площиною та похилою прояснить малюнок нижче.

Тут кут ABO – це кут між AB прямою та площиною.

Щоб записати формулу йому, розглянемо приклад. Нехай є пряма та площина, які описуються рівняннями:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Розрахувати кут для цих об'єктів можна легко, якщо знайти скалярний твір між напрямними векторами прямої і площини. Отриманий гострий кутслід відняти з 90 o тоді він виходить між прямою і площиною.

Рисунок вище демонструє описаний алгоритм знаходження кута, що розглядається. Тут - це кут між нормаллю і прямою, а - між прямою і її проекцією на площину. Видно, що їхня сума дорівнює 90 o .

Вище було представлено формулу, дає у відповідь питання, як між площинами знайти кут. Тепер наведемо відповідний вираз для випадку прямої та площини:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C | / (√ (a 2 + b 2 + c 2) * √ (A 2 + B 2 + C 2))))

Модуль у формулі дозволяє обчислювати лише гострі кути. Функція арксинусу з'явилася замість арккосинусу завдяки використанню відповідної формули приведення між тригонометричними функціями(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Завдання: площина перетинає пряму

Тепер покажемо, як працювати із наведеною формулою. Розв'яжемо задачу: необхідно обчислити кут між віссю y і площиною, заданою рівнянням:

Ця площина показана малюнку.

Видно, що вона перетинає осі y та z у точках (0; -12; 0) та (0; 0; 12) відповідно і паралельна осі x.

Напрямний вектор прямої y має координати (0; 1; 0). Вектор перпендикулярний заданої площинихарактеризується координатами (0; 1; -1). Застосовуємо формулу для кута перетину прямої та площини, отримуємо:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Завдання: паралельна площині пряма

Тепер вирішимо аналогічне попереднє завдання, питання якого поставлено інакше. Відомі рівняння площини та прямої:

x + y – z – 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Необхідно з'ясувати, чи ці геометричні об'єкти є паралельними один одному.

Маємо два вектори: напрямний прямий дорівнює (0; 2; 2) та напрямний площині дорівнює (1; 1; -1). Знаходимо їхній скалярний твір:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Отриманий нуль говорить про те, що кут між цими векторами дорівнює 90 o що доводить прямий і площині паралельність.

Тепер перевіримо, чи є ця пряма тільки паралельною або ще й лежить у площині. Для цього слід вибрати довільну точку на прямій і перевірити, чи вона належить площині. Наприклад, приймемо λ = 0, тоді точка P(1; 0; 0) прямої належить. Підставляємо в рівняння площини P:

Точка P площині не належить, отже, і вся пряма у ній лежить.

Де важливо знати кути між розглянутими геометричними об'єктами?

Наведені вище формули та приклади розв'язання задач є не тільки теоретичним інтересом. Вони часто застосовуються для визначення важливих фізичних величинреальних об'ємних фігурнаприклад призми або піраміди. Важливо вміти визначити між площинами кут при розрахунку обсягів фігур та площ їх поверхонь. При цьому, якщо у разі прямої призми можна використовувати ці формули визначення зазначених величин, то будь-якого виду піраміди їх застосування виявляється неминучим.

Нижче розглянемо приклад використання викладеної теорії визначення кутів піраміди з квадратним основанием.

Піраміда та її кути

Нижче малюнок демонструє піраміду, на основі якої лежить квадрат зі стороною а. Висота фігури складає h. Потрібно знайти два кути:

• між бічною поверхнею та основою;
• між бічним ребром та основою.

Щоб вирішити поставлене завдання, спочатку слід ввести систему координат та визначити параметри відповідних вершин. На малюнку показано, що початок координат збігається з точкою у центрі квадратної основи. У цьому випадку площина основи описується рівнянням:

Тобто для будь-яких x та y значення третьої координати завжди дорівнює нулю. Бічна площина ABCперетинає вісь z у точці B(0; 0; h), а вісь y у точці з координатами (0; a/2; 0). Ось x вона не перетинає. Це означає, що рівняння площини ABC можна записати як:

y/(a/2) + z/h = 1 або

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Вектор AB є боковим ребром. Координати його початку та кінця рівні: A(a/2; a/2; 0) та B(0; 0; h). Тоді координати самого вектора:

Ми знайшли всі необхідні рівняння та вектора. Тепер залишається скористатися розглянутими формулами.

Розрахуємо спочатку в піраміді кут між площинами основи та збоку. Відповідні нормальні вектори рівні: n 1 (0; 0; 1) і n 2 (0; 2 * h; a). Тоді кут становитиме:

α = arccos (a / √ (4 * h 2 + a 2))

Кут між площиною і ребром AB дорівнюватиме:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Залишається підставити конкретні значеннясторони основи a та висоти h, щоб отримати необхідні кути.

Тип завдання: 14
Тема: Кут між площинами

Умова

Дано правильну призму ABCDA_1B_1C_1D_1, M і N — середини ребер AB і BC відповідно, точка K — середина MN .

а)Доведіть, що прямі KD_1 та MN перпендикулярні.

б)Знайдіть кут між площинами MND_1 і ABC, якщо AB=8, AA_1 = 6 sqrt 2.

Рішення

а)У \triangle DCN та \triangle MAD маємо: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Звідси \triangle DCN=\triangle MAD за двома катетами. Тоді MD=DN, \triangle DMNрівнобедрений. Значить, медіана DK є також висотою. Отже, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND за умовою, D_1K - похила, KD - проекція, DK \perp MN.

Звідси по теоремі про три перпендикуляри MNperp D_1K.

б)Як було доведено у а), DK \perp MN і MN \perp D_1K, але MN - лінія перетину площин MND_1 і ABC , означає \angle DKD_1 - лінійний кутдвогранного кута між площинами MND_1 та ABC.

У \triangle DAM з теореми Піфагора DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \ sqrt (64 +16) = 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \ sqrt (16 +16) = 4\sqrt 2.Отже, в triangle DKM з теореми Піфагора DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \ sqrt (80-8) = 6\sqrt 2.Тоді \triangle DKD_1, tg \ angle DKD_1 = frac (DD_1) (DK) = frac (6 sqrt 2) (6 sqrt 2) = 1.

Отже, \angle DKD_1=45^(\circ).

Відповідь

45^(\circ).

Тип завдання: 14
Тема: Кут між площинами

Умова

У правильній чотирикутної призми ABCDA_1B_1C_1D_1 сторони основи дорівнюють 4 , бічні ребрарівні 6 . Точка M - середина ребра CC_1, на ребрі BB_1 відзначена точка N, така, що BN: NB_1 = 1:2.

а)В якому відношенні площину AMN поділяє ребро DD_1?

б)Знайдіть кут між площинами ABC та AMN.

Рішення

а)Площина AMN перетинає ребро DD_1 у точці K , що є четвертою вершиною перерізу цієї призми цією площиною. Перерізом є паралелограм ANMK тому, що протилежні грані даної призми паралельні.

BN = frac13BB_1 = 2.Проведемо KL \parallel CD, тоді трикутники ABN і KLM рівні, отже ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1.Тоді KD_1 = 6-1 = 5. Тепер можна знайти відношення KD: KD_1 = 1:5.

б) F — точка перетину прямих CD та KM. Площини ABC і AMN перетинаються прямою AF . Кут \angle KHD =\alpha - лінійний кут двогранного кута (HD\perp AF, тоді за теоремою, зворотній теореміпро три перпендикуляри, KH \perp AF ) , і є гострим кутом прямокутного трикутника KHD, катет KD=1.

Трикутники FKD і FMC подібні (KD parallel MC), тому FD:FC=KD:MC, вирішуючи пропорцію FD:(FD+4)=1:3, отримаємо FD=2. У прямокутному трикутнику AFD (\angle D=90^(\circ)) з катетами 2 і 4 обчислимо гіпотенузу AF=sqrt (4^2+2^2)=2sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= frac4(sqrt 5).

У прямокутному трикутнику KHD знайдемо tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,отже, шуканий кут \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Відповідь

а) 1:5;

б) arctg\frac(sqrt 5)4.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 14
Тема: Кут між площинами

Умова

Дана правильна чотирикутна піраміда KMNPQ зі стороною основи MNPQ , що дорівнює 6 , і боковим ребром 3 sqrt (26).

а)Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через пряму NF паралельно до діагоналі MP , якщо точка F — середина ребра MK .

б)Знайдіть величину кута між площиною перерізу та площиною KMP.

Рішення

а)Нехай KO - висота піраміди, F - середина MK; FE \parallel MP (у площині PKM) . Оскільки FE — середня лінія\triangle PKM, то FE = frac (MP)2.

Побудуємо переріз піраміди площиною, що проходить через NF і паралельною MP, тобто площиною NFE. L - точка перетину EF і KO. Оскільки точки L і N належать шуканому перерізу і лежать у площині KQN, точка T, отримана як перетин LN і KQ, є також точкою перетину шуканого перерізу і ребра KQ. NETF - шуканий переріз.

б)Площини NFE і MPK перетинаються прямою FE . Отже, кут між цими площинами дорівнює лінійному куту двогранного кута OFEN, побудуємо його: LO \perp MP, MP \parallel FE,отже, LO \perp FE;\triangle NFE - рівнобедрений (NE = NF як відповідні медіани рівних трикутників KPN і KMN ) , NL - його медіана (EL = LF, оскільки PO = OM, а \triangle KEF \sim \triangle KPM). Звідси NL \perp FE і \angle NLO - шуканий.

ON=frac12QN=frac12MNsqrt 2=3sqrt 2.

triangle KON - прямокутний.

Катет KO з теореми Піфагора дорівнює KO=sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24) = \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO = frac(ON)(OL)=frac(3sqrt 2)(3sqrt 6)=frac1(sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 14
Тема: Кут між площинами

Умова

Усі ребра правильної трикутної призми ABCA_(1)B_(1)C_(1) дорівнюють 6 . Через середини ребер AC і BB_(1) та вершину A_(1) проведено січна площина.

а)Доведіть, що ребро BC ділиться секучою площиною щодо 2:1, рахуючи від вершини C .

б)Знайдіть кут між площиною перерізу та площиною основи.

Рішення

а)Нехай D і E - середини ребер AC і BB_(1) відповідно.

У площині AA_(1)C_(1) проведемо пряму A_(1)D, яка перетинає пряму CC_(1) у точці K , у площині BB_(1)C_(1) — пряму KE , яка перетинає ребро BC у точці F . З'єднання точки A_(1) і E, що лежать у площині AA_(1)B_(1), а також D і F, що лежать у площині ABC, отримаємо перетин A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDKпо катету AD=DC та гострому куту.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - як вертіальні, звідси випливає, що AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF і \bigtriangleup BFE подібні по двох кутах \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - як вертикальні.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,тобто коефіцієнт подібності дорівнює 2, звідки випливає, що CF: FB = 2:1.

б)Проведемо AH \perp DF. Кут між площиною перерізу та площиною основи дорівнює куту AHA_(1). Дійсно, відрізок AH \perp DF (DF - лінія перетину цих площин) і є проекцією відрізка A_(1)H на площину основи, отже, за теоремою про три перпендикуляри, A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Знайдемо AH. \angle ADH =\angle FDC (як вертикальні).

За теоремою косінусів в \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF \cdot DC \cdot \cos \angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

По слідству з основного тригонометричного тотожності

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .З \bigtriangleup ADH знайдемо AH :

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Відповідь

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 14
Тема: Кут між площинами

Умова

Підставою прямої призми ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) є ромб з тупим кутом B рівним 120^\circ. Усі ребра цієї призми дорівнюють 10 . Точки P та K — середини ребер CC_(1) та CD відповідно.

а)Доведіть, що прямі PK та PB_(1) перпендикулярні.

б)Знайдіть кут між площинами PKB_(1) і C_(1)B_(1)B.

Рішення

а)Будемо використовувати метод координат. Знайдемо скалярний добуток векторів \vec(PK) і \vec(PB_(1)), а потім косинус кута між цими векторами. Направимо вісь Oy вздовж CD, вісь Oz вздовж CC_(1), і вісь Ox\perp CD. C - початок координат.

Тоді C (0; 0; 0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),тобто B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5sqrt(3); 5;10).

Знайдемо координати векторів: \ Vec (PK) = \ (0; 5; -5 \); \ Vec (PB_ (1)) = \ (5 \ sqrt (3); 5; 5 \).

Нехай кут між \vec(PK) та \vec(PB_(1)) дорівнює \alpha.

Отримуємо \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​отже, \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) і прямі PK і PB_(1) перпендикулярні.

б)Кут між площинами дорівнює куту між ненульовими векторами, перпендикулярними до цих площин (або, якщо кут тупий, суміжному з ним куту). Такі вектори називають нормалями до площин. Знайдемо їх.

Нехай \vec(n_(1))=\(x; y; z\) перпендикулярний площині PKB_(1). Знайдемо його, вирішивши систему \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, 5sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(cases)

\begin(cases)y=z, x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(cases)

Візьмемо y=1; z=1; x=\frac(-2)(sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

Нехай \vec(n_(2))=\(x; y; z\) перпендикулярний площині C_(1)B_(1)B. Знайдемо його, вирішивши систему \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(cases)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, 5sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(cases)

\begin(cases)z=0, y=-sqrt(3)x. \end(cases)

Візьмемо x=1; y=-sqrt(3); z=0, \ vec (n_ (2)) = \ (1; - \ sqrt (3); 0 \).

Знайдемо косинус шуканого кута \beta (він дорівнює модулюкосинуса кута між \vec(n_(1)) і \vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Відповідь

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

ABCD - квадрат і бічні грані- Рівні прямокутники.

Оскільки площина перерізу проходить через точки M і D паралельно діагоналі AC , то її побудови в площині A_(1)AC через точку M проведемо відрізок MN паралельний AC . Отримаємо AC \parallel (MDN) за ознакою паралельності прямої та площини.

Площина MDN перетинає паралельні площини A_(1)AD і B_(1)BC, тоді, за властивістю паралельних площин, лінії перетину граней A_(1)ADD_(1) і B_(1)BCC_(1) площиною MDN паралельні.

Проведемо відрізок NE паралельно відрізку MD.

Чотирьохкутник DMEN - шуканий переріз.

б)Знайдемо кут між площиною перерізу та площиною основи. Нехай площина перерізу перетинає площину основи деякою прямою p , що проходить через точку D . AC \parallel MN, отже, AC \parallel p (якщо площина проходить через пряму, паралельну іншій площині, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна цій прямій). BD \perp AC як діагоналі квадрата, отже, BD \perp p. BD - проекція ED на площину ABC, тоді за теоремою про три перпендикуляри ED \perp p, отже, \angle EDB - лінійний кут двогранного кута між площиною перерізу і площиною основи.

Встановимо вигляд чотирикутника DMEN. MD \parallel EN, аналогічно ME \parallel DN, значить, DMEN - паралелограм, а так як MD=DN (прямокутні трикутники MAD і NCD рівні за двома катетами: AD=DC як сторони квадрата, AM=CN як відстані між паралельними прямими AC і MN), отже, DMEN - ромб. Звідси, F - середина MN.

За умовою AM:MA_(1)=2:3, тоді AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC - прямокутник, F - середина MN, O - середина AC. Значить, FO\parallel MA, FO \perp AC, FO = MA = 2 \ sqrt (6).

Знаючи, що діагональ квадрата дорівнює asqrt(2),де a - сторона квадрата, отримаємо BD = 4 sqrt (2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

У прямокутному трикутнику FOD\enspace tg \angle FDO = frac (FO) (OD) = frac (2 sqrt (6)) (2 sqrt (2)) = sqrt (3).Отже, \angle FDO=60^\circ.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Мірою кута між площинами є гострий кут, утворений двома прямими, що лежать у цих площинах і проведеними перпендикулярно до лінії їх перетину.

Алгоритм побудови

1. З довільної точки K проводять перпендикуляри до кожної із заданих площин.
2. Спосіб обертання навколо лінії рівня визначають величину кута γ° з вершиною в точці K.
3. Обчислюють кут між площинами ϕ° = 180 – γ° за умови, що γ° > 90°. Якщо γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

На малюнку представлений випадок, коли площини і β задані слідами. Усі необхідні побудови виконані згідно з алгоритмом та описані нижче.

Рішення

1. У довільному місці креслення відзначаємо точку K. З неї опускаємо перпендикуляри m та n відповідно до площин α та β. Напрямок проекцій m і n наступний: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Визначаємо дійсний розмір ∠γ° між прямими m та n. Для цього навколо фронталі f повертаємо площину кута з вершиною K в положення, паралельне фронтальній площині проекції. Радіус повороту R точки K дорівнює величинігіпотенузи прямокутного трикутника O"K"K 0 , катет якого K"K 0 = y K - y O .
3. Шуканий кут ϕ° = ∠γ°, оскільки ∠γ° гострий.

На малюнку нижче показано рішення задачі, в якій потрібно знайти кут γ° між площинами α і β, заданими паралельними і прямими, що перетинаються, відповідно.

Рішення

1. Визначаємо напрямок проекцій горизонталів h 1 , h 2 і фронталів f 1 , f 2 , що належать площинам α і β, у порядку, зазначеному стрілками. Із довільної точки K на пл. α та β опускаємо перпендикуляри e та k. При цьому e"⊥f" 1 , e"⊥h" 1 і k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Визначаємо ∠γ° між прямими e та k. Для цього проводимо горизонталь h 3 і навколо неї повертаємо точку K в положення K 1 при якому ΔCKD стане паралельний горизонтальній площиніі відобразиться на ній у натуральну величину – ΔC"K" 1 D". Проекція центру повороту O" знаходиться на проведеному до h" 3 перпендикулярі K"O". Радіус R визначається з прямокутного трикутника O"K"K 0 , у якого сторона K"K 0 = Z O - Z K .
3. Значення шуканого ∠ϕ° = ∠γ°, оскільки кут γ° гострий.

Теорема

Кут між площинами не залежить від вибору площини.

Доведення.

Нехай є дві площини і β, які перетинаються по прямій с. проведемо площину γ перпендикулярно до прямої с. Тоді площина γ перетне площини α і β за прямими a і b відповідно. Кут між площинами і β дорівнює куту між прямими a і b.
Візьмемо іншу секучу площину γ`, перпендикулярну с. Тоді площина γ` перетне площини α і β за прямими a` і b` відповідно.
При паралельному перенесенні точка перетину площини з прямої з перейде в точку перетину площини з прямою с. при цьому за якістю паралельного перенесення пряма a перейде в пряму a`, b – у пряму b`. отже кути між прямими a і b, a і b рівні. Теорему доведено.

Ця стаття присвячена розі між площинами та його знаходженням. Спочатку наведено визначення кута між двома площинами та дана графічна ілюстрація. Після цього розібраний принцип знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, методом координат, отримана формула, що дозволяє обчислювати кут між площинами, що перетинаються по відомим координатамнормальних векторів цих площин. Наприкінці показані докладні рішенняхарактерних завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між площинами – визначення.

При викладанні матеріалу ми будемо використовувати визначення та поняття, дані у статтяхплощину у просторі та пряма у просторі.

Наведемо міркування, які дозволять поступово підійти до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Нехай нам дано дві площини, що перетинаються, і . Ці площини перетинаються прямою, яку позначимо буквою c. Побудуємо площину, що проходить через точку Мпрямий cі перпендикулярну до прямої c. При цьому площина перетинатиме площини і . Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як a, а пряму, якою перетинаються площині як і b. Очевидно, прямі aі bперетинаються у точці М.

Легко показати, що кут між прямими, що перетинаються. aі bне залежить від розташування точки Мна прямий c, якою проходить площину .

Побудуємо площину, перпендикулярну до прямої cі відмінну від площини. Площина перетинають площини і по прямих, які позначимо a 1і b 1відповідно.

З способу побудови площин і випливає, що прямі aі bперпендикулярні до прямої cі прямі a 1і b 1перпендикулярні до прямої c. Оскільки прямі aі a 1 c, то вони паралельні. Аналогічно, прямі bі b 1лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої cотже, вони паралельні. Таким чином, можна виконати паралельне перенесенняплощині на площину, при якому пряма a 1збігається з прямою a, а пряма bз прямою b 1. Отже, кут між двома прямими, що перетинаються. a 1і b 1дорівнює куту між прямими, що перетинаються. aі b.

Цим доведено, що кут між прямими, що перетинаються. aі b, що лежать у площинах, що перетинаються і , не залежить від вибору точки M, якою проходить площину . Тому, логічно цей кут прийняти за кут між двома площинами, що перетинаються.

Тепер можна озвучити визначення кута між двома площинами, що перетинаються, і .

Визначення.

Кут між двома перетинаються по прямій cплощинами та– це кут між двома прямими, що перетинаються. aі b, якими площини і перетинаються з площиною , перпендикулярною до прямої c.

Визначення кута між двома площинами можна дати трохи інакше. Якщо на прямий з, по якій перетинаються площини і , відзначити точку Мі через неї провести прямі аі b, перпендикулярні до прямої cі лежать у площинах і відповідно, то кут між прямими аі bявляє собою кут між площинами та . Зазвичай практично виконують саме такі побудови, щоб отримати кут між площинами.

Так як кут між прямими, що перетинаються, не перевищує , то з озвученого визначення слід, що градусний західкута між двома площинами, що перетинаються, виражається дійсним числомз інтервалу. При цьому, площини, що перетинаються, називають перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює дев'яноста градусам. Кут між паралельними площинамиабо не визначають зовсім, або вважають його рівним нулю.

На початок сторінки

Знаходження кута між двома площинами, що перетинаються.

Зазвичай при знаходженні кута між двома площинами, що перетинаються, спочатку доводиться виконувати додаткові побудови, щоб побачити прямі, що перетинаються, кут між якими дорівнює шуканому куту, і після цього зв'язувати цей кут з вихідними даними за допомогою ознак рівності, ознак подібності, теореми косинусів або визначень синуса, косин та тангенсу кута. В курсі геометрії середньої школизустрічаються такі завдання.

Наприклад наведемо розв'язання задачі С2 з ЄДІ з математики за 2012 рік (умова має намір змінено, але це не впливає на принцип вирішення). У ній якраз треба було знайти кут між двома площинами, що перетинаються.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в котрому АВ=3, AD=2, АА 1 = 7і крапка Eділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А АВСі ВЕD 1.

Для початку зробимо креслення.

Виконаємо додаткові побудови, щоб побачити кут між площинами.

Для початку визначимо пряму лінію, якою перетинаються площини АВСі BED 1. Крапка У– це одна з їхніх спільних точок. Знайдемо другу загальну точку цих площин. Прямі DAі D 1 Eлежать в одній площині АDD 1, причому вони паралельні, отже, перетинаються. З іншого боку, пряма DAлежить у площині АВС, а пряма D 1 E– у площині BED 1, отже, точка перетину прямих DAі D 1 Eбуде спільною точкоюплощин АВСі BED 1. Отже, продовжимо прямі DAі D 1 Eдо їх перетину, позначимо точку їх перетину буквою F. Тоді BF- Пряма, по якій перетинаються площини АВСі BED 1.

Залишилося побудувати дві прямі, що лежать у площинах АВСі BED 1відповідно, що проходять через одну точку на прямій BFта перпендикулярні прямий BF, - Кут між цими прямими за визначенням буде дорівнює шуканому куту між площинами АВСі BED 1. Зробимо це.

Крапка Ає проекцією точки Ена площину АВС. Проведемо пряму, що перетинає під прямим кутом пряму ВFу точці М. Тоді пряма АМє проекцією прямою ЇМна площину АВСі по теоремі про три перпендикуляри.

Таким чином, шуканий кут між площинами АВСі BED 1дорівнює.

Синус, косинус чи тангенс цього кута (отже і сам кут) ми можемо визначити з прямокутного трикутника АЕМ, якщо знатимемо довжини двох його сторін. З умови легко знайти довжину АЕ: так як точка Еділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А, а довжина сторони АА 1дорівнює 7 , то АЕ = 4. Знайдемо ще довжину АМ.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник АВFз прямим кутом А, де АМє заввишки. За умовою АВ=2. Довжина сторони АFми можемо знайти з подоби прямокутних трикутників DD 1 Fі AEF:

За теоремою Піфагора з трикутника АВFзнаходимо. Довжину АМзнайдемо через площу трикутника АBF: з одного боку площа трикутника АВFдорівнює, з іншого боку, звідки.

Таким чином, з прямокутного трикутника АЕМмаємо.

Тоді шуканий кут між площинами АВСі BED 1дорівнює (зауважимо, що).

У деяких випадках для знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, зручно задати прямокутну системукоординат Oxyzта скористатися методом координат. На ньому і зупинимося.

Поставимо завдання: знайти кут між двома площинами, що перетинаються, і . Позначимо шуканий кут як .

Вважатимемо, що в заданій прямокутній системі координат Oxyzнам відомі координати нормальних векторів площин, що перетинаються, і або є можливість їх знайти. Нехай – нормальний вектор площини, а – нормальний вектор площини. Покажемо, як знайти кут між площинами, що перетинаються, і через координати нормальних векторів цих площин.

Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як c. Через точку Мна прямий cпроведемо площину, перпендикулярну до прямої c. Площина перетинає площини і прямою aі bвідповідно, прямі aі bперетинаються у точці М. За визначенням кут між площинами, що перетинаються, і дорівнює куту між прямими, що перетинаються. aі b.

Відкладемо від крапки Му площині нормальні вектори та площин і . При цьому вектор лежить на прямій, яка перпендикулярна до прямої a, а вектор - на прямій, яка перпендикулярна до прямої b. Таким чином, у площині вектор - нормальний вектор прямий a, - нормальний вектор прямий b.

У статті знаходження кута між прямими, що перетинаються, ми отримали формулу, яка дозволяє обчислювати косинус кута між прямими, що перетинаються, за координатами нормальних векторів. Таким чином, косинус кута між прямими aі b, а, отже, і косинус кута між площинами, що перетинаються.і знаходиться за формулою , де - нормальні вектори площин і відповідно. Тоді кут між площинами, що перетинаютьсяобчислюється як .

Розв'яжемо попередній приклад методом координат.

Даний прямокутний паралелепіпед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в котрому АВ=3, AD=2, АА 1 = 7і крапка Eділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А. Знайдіть кут між площинами АВСі ВЕD 1.

Бо сторони прямокутного паралелепіпедапри одній вершині попарно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат Oxyzтак: почало поєднати з вершиною З, а координатні осі Ox, Ойі Ozнаправити на всі боки CD, CBі CC 1відповідно.

Кут між площинами АВСі BED 1може бути знайдено через координати нормальних векторів цих площин за формулою , де і – нормальні вектори площин АВСі BED 1відповідно. Визначимо координати звичайних векторів.

Оскільки площина АВСЗівпадає з координатною площиною Oxy, то її нормальним вектором є координатний вектор , тобто .

Як нормальний вектор площини BED 1можна прийняти векторний витвірвекторів і , у свою чергу координати векторів і можна знайти через координати точок У, Еі D 1(про що написано у статті координати вектора через координати точок його початку та кінця), а координати точок У, Еі D 1у введеній системі координат визначимо з умови завдання.

Вочевидь, . Так як , то по координатах точок знаходимо (при необхідності дивіться статтю відрізка в заданому відношенні). Тоді і Oxyz рівняннями і .

Коли ми вивчали загальне рівнянняпрямий вид , то з'ясували, що коефіцієнти А, Уі Зє відповідними координатами нормального вектора площини. Таким чином, і нормальні вектори площин і відповідно.

Підставляємо координати нормальних векторів площин у формулу для обчислення кута між двома площинами, що перетинаються:

Тоді. Так як кут між двома площинами, що перетинаються, не тупий, то за допомогою основного тригонометричного тотожності знаходимо синус кута: .