Похилий паралелепіпед: властивості, формули та завдання репетитора з математики.

У геометрії розрізняють такі види паралелепіпедів: прямокутний паралелепіпед (гранями паралелепіпеда виступають прямокутники); прямий паралелепіпед (його бічні гранівиступають у ролі прямокутників); похилий паралелепіпед (його бічні грані виступають у ролі перпендикулярів); куб паралелепіпед з абсолютно однаковими вимірами, а грані куба – це квадрати. Паралелепіпеди можуть бути як похилими, так і прямими.

Основні елементи паралелепіпеда - це те, що дві грані представленої геометричної фігури, які мають спільне ребро, є протилежними, які мають — суміжними. Вершини паралелепіпеда, які не належать до однієї грані, виступають протилежними щодо один до одного. Паралелепіпед має вимір - це три ребра, які мають спільну вершину.

Відрізок, який сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю. Чотири діагоналі паралелепіпеда, перетинаючи в одній точці, одночасно діляться навпіл.

Для того щоб визначити діагональ паралелепіпеда, потрібно визначити сторони та ребра, які відомі за умовою завдання. При відомих трьох ребрах А , У , З проведіть у паралелепіпеді діагональ. Відповідно до властивості паралелепіпеда, яка говорить про те, що всі кути його прямі, визначається діагональ. Побудувати діагональ від однієї з граней паралелепіпеда. Діагоналі потрібно проводити таким чином, щоб діагональ грані, шукана діагональ паралелепіпеда та відоме ребро, створювали трикутник. Після того, як утвориться трикутник, знайдіть довжину цієї діагоналі. Діагональ в іншому отриманому трикутнику виступає в ролі гіпотенузи, тому її можна знайти за теоремою Піфагора, яку необхідно взяти під квадратний корінь. Отже, ми дізнаємося значення другий діагоналі. Щоб знайти першу діагональ паралелепіпеда в утвореному прямокутному трикутнику, також необхідно знайти невідому гіпотенузу (за теоремою Піфагора). За таким же прикладом послідовно знайдіть решту трьох існуючих у паралелепіпеді діагоналі, виконавши додаткові побудови діагоналей, які утворюють прямокутні трикутникиі вирішіть за теоремою Піфагора.

Прямокутним паралелепіпедом (ПП) є ні що інше, як призма, основою якої прямокутник. У ПП всі діагоналі рівні, отже будь-яка його діагональ розраховується за такою формулою:

а, в - сторони основи ПП;

с - його висота.

Можна дати інше визначення, розглядаючи декартову прямокутну системукоординат:

Діагональ ПП це радіус-вектор будь-якої точки простору, заданою координатами x, y і z в декартовій системікоординат. Цей радіус вектор до точки проводиться із початку координат. А координатами точки будуть проекції радіусу-вектора (діагоналі ПП) на координатні осі. Проекції збігаються з вершинами даного паралелепіпеда.

Паралелепіпед та його види

Якщо дослівно перекласти його назву з давньогрецької, то вийде, що це фігура, що складається з паралельних площин. Існують такі рівносильні визначення паралелепіпеда:

• призма з основою у вигляді паралелограма;
• багатогранник, кожна грань якого – паралелограм.

Його види виділяються в залежності від того, яка фігура лежить у його основі і як спрямовані бічні ребра. У загальному випадкуговорять про похилому паралелепіпеді , у якого основа і всі грані паралелограми. Якщо у попереднього виду бічні грані стануть прямокутниками, його потрібно буде називати вже прямим. А у прямокутногоі основа теж має кути по 90 º.

Причому останній у геометрії намагаються зображати те щоб було помітно, що це ребра паралельні. Тут, до речі, спостерігається основна відмінність математиків від художників. Останнім важливо передати тіло із дотриманням закону перспективи. І в цьому випадку паралельність ребер зовсім непомітна.

Про введені позначення

У наведених нижче формулах справедливі позначення, зазначені у таблиці.

Формули для похилого паралелепіпеда

Перша та друга для площ:

Третя для того, щоб обчислити обсяг паралелепіпеда:

Оскільки основа паралелограм, то для розрахунку його площі потрібно буде скористатися відповідними виразами.

Формули для прямокутного паралелепіпеда

Аналогічно першому пункту дві формули для площ:

І ще одна для обсягу:

Перше завдання

Умови. Даний прямокутний паралелепіпед, обсяг якого потрібно знайти. Відома діагональ - 18 см - і те, що вона утворює кути в 30 і 45 градусів з площиною бічної грані та боковим ребром відповідно.

Рішення.Щоб відповісти на питання задачі, потрібно дізнатися всі сторони у трьох прямокутних трикутниках. Вони дадуть необхідні значення ребер, якими потрібно порахувати обсяг.

Спочатку потрібно з'ясувати, де знаходиться кут 30º. Для цього потрібно провести діагональ бічної грані з тієї ж вершини, звідки креслилася головна діагональ паралелограма. Кут між ними і буде тим, що потрібний.

Перший трикутник, який дасть одне із значень сторін основи, буде наступним. У ньому містяться сторона і дві проведені діагоналі. Він прямокутний. Тепер потрібно скористатися ставленням протилежного катета(сторони основи) та гіпотенузи (діагоналі). Воно дорівнює синусу 30 º. Тобто невідома сторона основи визначатиметься як діагональ, помножена на синус 30º чи ½. Нехай її буде позначено буквою «а».

Другим буде трикутник, що містить відому діагональ та ребро, з яким вона утворює 45º. Він також прямокутний, і можна знову скористатися ставленням катета до гіпотенузи. Інакше кажучи, бічного ребра до діагоналі. Воно дорівнює косинусу 45 º. Тобто "с" обчислюється як добуток діагоналі на косинус 45 º.

з = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

У цьому трикутнику потрібно знайти інший катет. Це необхідно для того, щоб потім порахувати третю невідому — «в». Нехай її буде позначено буквою «х». Її легко вирахувати за теоремою Піфагора:

х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).

Тепер слід розглянути ще один прямокутний трикутник. Він містить уже відомі сторони"с", "х" і ту, що потрібно порахувати, "в":

в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).

Усі три величини відомі. Можна скористатися формулою для обсягу та порахувати його:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Відповідь:об'єм паралелепіпеда дорівнює 729√2 см 3 .

Друге завдання

Умови. Потрібно знайти обсяг паралелепіпеда. У ньому відомі сторони паралелограма, що лежить в основі, 3 і 6 см, а також його гострий кут - 45 º. Бокове ребро має нахил до основи 30º і дорівнює 4 см.

Рішення.Для відповіді питання завдання треба взяти формулу, що була записана обсягу похилого паралелепіпеда. Але в ній невідомі обидві величини.

Площу основи, тобто паралелограма, буде визначено за формулою, в якій потрібно перемножити відомі сторони та синус гострого кута між ними.

S про = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).

Друга невідома величина – це висота. Її можна провести з будь-якої з чотирьох вершин над основою. Її знайти можна з прямокутного трикутника, в якому висота є катетом, а бічне ребро- Гіпотенузою. При цьому кут 30º лежить навпроти невідомої висоти. Отже, можна скористатися ставленням катета до гіпотенузи.

н = 4 * sin 30 º = 4 * 1/2 = 2.

Тепер всі значення відомі і можна обчислити обсяг:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Відповідь:обсяг дорівнює 18 √2 см 3 .

Третє завдання

Умови. Знайти обсяг паралелепіпеда, якщо відомо, що він прямий. Сторони його основи утворюють паралелограм і дорівнюють 2 і 3 см. Гострий кут між ними 60º. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі основи.

Рішення.Для того щоб дізнатися обсяг паралелепіпеда, скористаємося формулою з площею основи та висотою. Обидві величини невідомі, та їх нескладно обчислити. Перша їх висота.

Оскільки менша діагональ паралелепіпеда збігається за розміром з більшою основою, то їх можна позначити однією літерою d. Більший кутпаралелограма дорівнює 120 º, оскільки з гострим він утворює 180 º. Нехай друга діагональ основи буде позначена літерою "х". Тепер для двох діагоналей основи можна записати теореми косінусів:

d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120 º,

х 2 = а 2 + у 2 - 2ав cos 60 º.

Знаходити значення без квадратів немає сенсу, оскільки потім вони знову зведені на другий ступінь. Після підстановки даних виходить:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

х 2 = а 2 + у 2 - 2а cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Тепер висота, вона ж бічне ребро паралелепіпеда, виявиться катетом у трикутнику. Гіпотенузою буде відома діагональ тіла, а другим катетом – «х». Можна записати Теорему Піфагора:

н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.

Звідси: н = √12 = 2√3 (см).

Тепер друга невідома величина – площа основи. Її можна порахувати за формулою, згаданою у другому завданні.

S про = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).

Об'єднавши все у формулу обсягу, отримуємо:

V = 3?3 * 2?3 = 18 (см 3).

Відповідь: V = 18 см 3 .

Четверте завдання

Умови. Потрібно дізнатися обсяг паралелепіпеда, що відповідає таким умовам: основа - квадрат зі стороною 5 см; бічні грані є ромбами; одна з вершин, що знаходяться над основою, рівновіддалена від усіх вершин, що лежать у основі.

Рішення.Спершу треба розібратися з умовою. Із першим пунктом про квадрат питань немає. Другий, про ромби, дає зрозуміти, що паралелепіпед похилий. Причому всі його ребра дорівнюють 5 см, оскільки сторони у ромба однакові. А з третього стає зрозумілим, що три діагоналі, проведені з неї, рівні. Це дві, які лежать на бічних гранях, а остання всередині паралелепіпеда. І ці діагоналі дорівнюють ребру, тобто теж мають довжину 5 см.

Для визначення обсягу буде потрібна формула, записана для похилого паралелепіпеда. У ній знову немає відомих величин. Однак площа підстави легко обчислити, тому що це квадрат.

S про = 52 = 25 (см 2).

Трохи складніша справа з висотою. Вона буде такою у трьох фігурах: паралелепіпеді, чотирикутної пірамідиі рівнобедреному трикутнику. Останньою обставиною і треба скористатися.

Оскільки вона висота, то є катетом у прямокутному трикутнику. Гіпотенузою в ньому буде відоме ребро, а другий катет дорівнює половині діагоналі квадрата (висота вона і медіана). А діагональ основи знайти просто:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (см).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).

Відповідь: 62,5 √2 (см 3).

Паралелепіпедом називається чотирикутна призма, в основі якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його основами. На малюнку висота показана відрізком . Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий та похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.

Нагадаю, що призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, якщо перпендикулярності немає – призму називають похилою. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. Прямий паралелепіпед – ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, що є загальними для сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежних граней. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини багатогранника і не лежить в жодній з його граней.

Діагональний переріз - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його основи.

Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його грані – паралелограми, а протилежні грані – рівні паралелограми.
2)Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
3)Кожен паралелепіпед складається із шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від паралелепепеда половинку його діагональним перетином і розбити окремо на 3 піраміди. Їх підстави повинні лежати в різних граняхвихідного паралелепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості в аналітичної геометрії. Воно використовується для виведення об'єму піраміди через змішаний твірвекторів.

Формули об'єму паралелепіпеда:
1) , де - Площа основи, h - Висота.
2) Об'єм паралелепіпеда дорівнює творуплощі поперечного перерізуна бічне ребро.
Репетитор з математики: Як відомо, формула є спільною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те саме для паралелепіпеда Однак у роботі з учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобиться) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму дати спокій, а для паралелепіпеда провести акуратний доказ.
3) , де - обсяг однієї з шести трикутні пірамідиз яких складається паралелепіпед.
4) Якщо , то

Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ усіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда – це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі основи: .

Про роботу репетитора з похилим паралелепіпедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їхньої появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойне завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з розподілом розташування точки Н - основи його висоти. У цьому випадку репетитору з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йде мовау властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити на 6.

Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кутизі сторонами основи, то Н лежить на бісектрисі кута A основи ABCD. І якщо, наприклад, ABCD – ромб, то

Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роїби зі стороною 2см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) У похилому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити об'єм паралелепіпеда.
3) У похилому паралелепіпеді відомо, що , а в онуванням ABCD є ромб зі стороною 2см і кутом . Визначте об'єм паралелепіпеда.

Репетитор з математики Олександр Колпаков

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апаратзастосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу рівний першомуАхіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадоксдолається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моментичасу, але з них не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібна логіка абсурду розумним істотамне зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняттяЄ одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. математичну теоріюмножин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структурата розташування атомів у кожної монети унікально...

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурою, не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Інструкція

Метод 2. Припустимо, що прямокутний паралелепіпед є кубом. Куб - це прямокутний паралелепіпед, кожна грань представлена ​​квадратом. Отже всі його сторони рівні. Тоді для розрахунків довжини його діагоналі буде виражено так:

Джерела:

• формула діагоналі прямокутника

Паралелепіпед - окремий випадокпризми, яка має всі шість граней є паралелограмами або прямокутниками. Паралелепіпед з прямокутними граняминазивають також прямокутним. У паралелепіпеда є чотири діагоналі, що перетинаються. Якщо дані три ребра а, b, с, знайти всі діагоналі прямокутного паралелепіпедаможна, виконуючи додаткові побудови.

Інструкція

Знайдіть діагональ паралелепіпеда m. Для цього а, n, m знайдіть невідому гіпотенузу: m² = n² + a². Підставте відомі значенняпотім обчисліть корінь квадратний. Отриманий результат буде першою діагоналлю паралелепіпеда m.

Аналогічно проведіть послідовно всі інші три діагоналі паралелепіпеда. Також для кожної з них виконайте додаткові побудови діагоналей прилеглих граней. Розглядаючи прямокутні трикутники, що утворюються, і застосовуючи теорему Піфагора, знайдіть значення інших діагоналей .

Відео на тему

Джерела:

• знаходження паралелепіпеда

Гіпотенуза - це сторона, що протилежна прямому куту. Катети – сторони трикутника, які належать до прямому куту. Стосовно до трикутникам АВСі АСD: АВ та ВС, АD та DC– , АС – загальна гіпотенуза для обох трикутників (шукана діагональ). Отже, АС = квадрат АВ + квадрат ВС або АС = квадрат АD + квадрат DС. Підставте значення довжин сторін прямокутникау наведену вище формулу і обчисліть довжину гіпотенузи (діагоналі прямокутника).

Наприклад, сторони прямокутникаАВСD рівні наступним значенням: АВ = 5 см і НД = 7см. Квадрат діагоналі АС даного прямокутниказа теоремою Піфагора: АС у квадраті = квадрат АВ + квадрат ВС = 52+72 = 25 + 49 = 74 кв.см. За допомогою калькулятора обчисліть значення квадратного кореня 74. У вас має вийти 8,6 см (округлене значення). Майте на увазі, що по одній із властивостей прямокутника, його діагоналі рівні. Значить довжина другої діагоналі BD прямокутникаАВСD дорівнює довжині діагоналі АС. Для наведеного вище прикладу ця величина