Фізичний зміст функції. Хвильова функція та її статистичний сенс

корпускулярно - хвильовим дуалізмомв квантовій фізиці стан частки описується за допомогою хвильової функції ($psi (overrightarrow(r),t)$-псі-функція).

Визначення 1

Хвильова функція - це функція, яка використовується у квантовій механіці. Вона визначає стан системи, яка має розміри у просторі. Вона є вектором стану.

Ця функція є комплексною та формально має хвильові властивості. Рух будь-якої частинки мікросвіту визначений імовірнісними законами. Розподіл ймовірності виявляється під час проведення великої кількостіспостережень (вимірювань) або великої кількостічастинок. Отриманий розподіл аналогічний розподілу інтенсивності хвилі. Тобто в місцях із максимальною інтенсивністю зазначено максимальна кількістьчастинок.

Набір аргументів хвильової функції визначає її представлення. Так, можливо координатне уявлення: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, імпульсне уявлення: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ і т.д.

У квантовій фізиці метою ставиться не точність передбачення події, а оцінка ймовірності тієї чи іншої події. Знаючи величину ймовірності, знаходять середні значення фізичних величин. Хвильова функція дозволяє знаходити подібні можливості.

Так, ймовірність присутності мікрочастинки в обсязі dV в момент часу t може бути визначена як:

де $\psi^*$- комплексно пов'язана функція до функції $\psi.$ Щільність ймовірності (ймовірність в одиниці об'єму) дорівнює:

Імовірність є величиною, яку можна спостерігати у експерименті. У цей час хвильова функція не доступна спостереження, оскільки вона є комплексної (в класичної фізикипараметри, що характеризують стан частинки, доступні для спостереження).

Умова нормування $\psi$-функції

Хвильова функція визначена з точністю до будь-якого постійного множника. Цей фактне впливає стан частки, яку $\psi$- функція описує. Однак хвильову функцію вибирають таким чином, що вона задовольняє умову нормування:

де інтеграл беруть по всьому простору або області, в якій хвильова функція не дорівнює нулю. Умова нормування (2) означає те, що у всій області, де $\psi\ne 0$ частка достовірно є. Хвильову функцію, яка підкоряється умові нормування, називають нормованою. Якщо $(\left|\psi\right|)^2=0$, то ця умоваозначає, що частки досліджуваної області напевно немає.

Нормування типу (2) можливе при дискретному діапазоні своїх значень.

Умова нормування може виявитися неможливим. Так, якщо $\psi$ -- функція є плоскою хвилеюде-Бройля та ймовірність знаходження частинки є однаковою для всіх точок простору. Ці випадки розглядають як ідеальну модель, в якій частка присутній у великій, але має обмеження області простору.

Принцип суперпозиції хвильової функції

Цей принцип є одним з основних постулатів квантової теорії. Його сенс у наступному: якщо для деякої системи можливі стани, що описуються хвильовими функціями $\psi_1\(\rm і)\$$\psi_2$, то для цієї системи існує стан:

де $C_(1\ )і\ C_2$ -- постійні коефіцієнти. Принцип суперпозиції підтверджується емпірично.

Можна говорити про складання будь-якої кількості квантових станів:

де $(\left|C_n\right|)^2$ -- ймовірність того, що система виявляється в стані, який описується хвильовою функцією $\psi_n.$ Для хвильових функцій, підпорядкованих умові нормування (2) виконується умова:

Стаціонарні стани

У квантовій теорії особливу роль відіграють стаціонарні стани (стани в яких усі спостерігаються фізичні параметрине змінюються у часі). (Сама хвильова функція принципово не спостерігається). У стаціонарному стані $\psi$- функція має вигляд:

де $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ не залежить від часу, $E$- енергія частки. Побачивши (3) хвильової функції щільність ймовірності ($P$) є постійною часу:

З фізичних властивостей стаціонарних станівслідують математичні вимоги до хвильової функції $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математичні вимоги до хвильової функції для стаціонарних станів

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функція повинна бути у всіх точках:

безперервна,
однозначна,
кінцева.

Якщо потенційна енергія має поверхню розриву, то на подібних поверхнях функція $psileft(overrightarrow(r)right)$ і її перша похідна повинні залишатися безперервними. В області простору, де потенційна енергія стає нескінченною, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ повинна дорівнювати нулю. Безперервність функції $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ вимагає, щоб на будь-якому кордоні цієї області $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Умова безперервності накладається на приватні похідні від хвильової функції ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \psi)(\ partial z) $).

Приклад 1

Завдання:Для деякої частки задана хвильова функція виду: $ \ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) $, де $ r $ - відстань від частки до центру сили (рис.1 ), $ a = const $. Застосуйте умову нормування, знайдіть нормувальний коефіцієнт A.

Малюнок 1.

Рішення:

Запишемо умову нормування для нашого випадку у вигляді:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

де $dV=4\pi r^2dr$ (див.рис.1 З умов зрозуміло, що завдання має сферичну симетрію). З умов завдання маємо:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a )) \ left (1.2 \ right).

Підставимо $dV$ і хвильові функції (1.2) за умови нормування:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\) right).)\]

Проведемо інтегрування у лівій частині:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a = 1 \ left (1.4 \ right).) \]

З формули (1.4) виразимо шуканий коефіцієнт:

Відповідь:$A=\sqrt(\frac(1)(2pi a)).$

Приклад 2

Завдання:Якою є найбільш ймовірна відстань ($r_B$) електрона від ядра, якщо хвильова функція, яка описує основний стан електрона в атомі водню може бути визначена як: $\psi=Ae^(-(r)/(a))$, де $ r$- відстань від електрона до ядра, $a$ -- перший Борівський радіус?

Рішення:

Використовуємо формулу, яка визначає можливість присутності мікрочастинки в обсязі $dV$ в момент часу $t$:

де $dV=4\pi r^2dr.\ $Отже, маємо:

У такому випадку $p=\frac(dP)(dr)$ запишемо як:

Для визначення найбільш ймовірної відстані похідну $\frac(dp)(dr)$ дорівнює до нуля:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Оскільки рішення $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ (\rm при)\ r_B\to \infty $, нам не підходить, то відсмоктується:

> Хвильова функція

Читайте про хвильової функціїта теорії ймовірностей квантової механіки: суть рівняння Шредінгера, стан квантової частки, гармонійний осцилятор, схема.

Йдеться про амплітуду ймовірності в квантовій механіці, що описує квантовий стан частки та її поведінку.

Завдання навчання

Об'єднати хвильову функцію та щільність ймовірності визначення частинки.

Основні пункти

|ψ| 2 (x) відповідає щільності ймовірності визначення частинки в конкретному місці та моменті.
Закони квантової механіки характеризують еволюцію хвильової функції. Рівняння Шредінгера пояснює її найменування.
Хвильова функція має задовольняти безліч математичних обмежень для обчислень та фізичної інтерпретації.

Терміни

Шредингера – частковий диференціал, що характеризує зміну стану фізичної системи. Його сформулював у 1925 році Ервін Шредінгер.
Гармонійний осцилятор - система, яка при зміщенні від початкової позиції, відчуває вплив сили F, пропорційної зміщення х.

У межах квантової механіки хвильова функція відображає амплітуду ймовірності, що характеризує квантовий стан частинки та її поведінку. Зазвичай значення – комплексне число. Найбільш поширеними символами хвильової функції виступають ψ(x) або Ψ(x). Хоча ψ – комплексне число, |ψ| 2 - речове і відповідає щільності ймовірності знаходження частки в конкретному місці та часі.

Тут відображені траєкторії гармонійного осциляторав класичній (А-В) та квантовій (C-H) механіки. У квантовій кулі має хвильову функцію, відображену з реальною частиноюу синьому та уявному у червоному. ТраєкторіїC-F – приклади стоячих хвиль. Кожна така частота буде пропорційною до можливого рівня енергії осцилятора

Закони квантової механіки еволюціонують згодом. Хвильова функція нагадує інші, на зразок хвиль у воді чи струні. Справа в тому, що формула Шредінгера виступає типом хвильового рівнянняу математиці. Це призводить до двоїстості хвильових частинок.

Хвильова функція має відповідати обмеженням:

завжди кінцева.
завжди безперервна і безперервно диференційована.
задовольняє відповідну умову нормування, щоб частка існувала зі 100% визначеністю.

Якщо вимоги не задоволені, то хвильову функцію не можна інтерпретувати як амплітуду ймовірності. Якщо ми проігноруємо ці позиції і скористаємося функцією хвиль, щоб визначити спостереження квантової системи, то не отримаємо кінцевих і певних значень.

Для опису корпускулярно- хвильових властивостейелектрона в квантовій механіці використовують хвильову функцію, що позначається грецькою літероюпсі (Т). Основні характеристики хвильової функції такі:

у будь-якій точці простору з координатами х, у, zвона має певні знак та амплітуду: ЧДд:, у, г);
квадрат модуля хвильової функції ЧДх, y,z) | 2 дорівнює ймовірностізнаходження частки одиниці обсягу, тобто. густини ймовірності.

Щільність ймовірності виявлення електрона різних відстанях від ядра атома зображують декількома способами. Часто її характеризують кількістю точок в одиниці обсягу (рис. 9.1, а).Точкове зображення щільності ймовірності нагадує хмару. Говорячи про електронну хмару, слід мати на увазі, що електрон - це частка, що виявляє одночасно і корпускулярні, і хвильові

Мал. 9.1.

властивості. Область ймовірності виявлення електрона немає чітких кордонів. Однак можна виділити простір, де ймовірність його виявлення велика чи навіть максимальна.

На рис. 9.1, аштриховою лінією позначено сферичну поверхню, всередині якої ймовірність виявлення електрона становить 90%. На рис. 9.1 б наведено контурне зображення електронної щільності в атомі водню. Найближчий до ядра контур охоплює область простору, в якій ймовірність виявлення електрона 10%, ймовірність виявлення електрона всередині другого від ядра контуру становить 20%, всередині третього - 30% і т.д. На рис. 9.1 в електронну хмару зображено у вигляді сферичної поверхні, всередині якої ймовірність виявлення електрона становить 90%.

Зрештою, на рис. 9.1 г і б двома способами показана ймовірність виявлення електрона Is на різних відстанях гвід ядра: вгорі показаний «розріз» цієї ймовірності, що проходить через ядро, а внизу - сама функція 4лг 2 | 2 .

Рівняння Шредінгсра. Це фундаментальне рівнянняквантової механіки було сформульовано австрійським фізиком Е. Шредінгером у 1926 р. Воно пов'язує повну енергію частки Е, рівну суміпотенційною та кінетичної енергії, потенційну енергію?„, масу частки тта хвильову функцію 4*. Для однієї частинки, наприклад електрона масою т е,воно має такий вигляд:

З математичної точки зору це рівняння з трьома невідомими: У, Еі?„. Вирішити його, тобто. знайти ці невідомі, можна, якщо вирішувати його разом із двома іншими рівняннями (для перебування трьох невідомих потрібно три рівняння). Як такі рівняння використовують рівняння для потенційної енергіїта граничних умов.

Рівняння потенційної енергії не містить хвильової функції У. Воно описує взаємодію заряджених частинок за законом Кулона. При взаємодії одного електрона з ядром, що має заряд +z, потенційна енергія дорівнює

де г =У* 2 + у 2+ z 2 .

Це випадок так званого одноелектронного атома. У більш складних системах, коли заряджених часток багато, рівняння потенційної енергії складається із суми таких самих кулонівських членів.

Рівнянням граничних умов є вираз

Воно означає, що хвильова функція електрона прагне нуля на великих відстаняхвід ядра атома.

Рішення рівняння Шредінгера дозволяє знайти хвильову функцію електрона? = (х, у, z) як функцію координат. Цей розподіл називається орбіталлю.

Орбіталь -це задана у просторі хвильова функція.

Система рівнянь, що включає рівняння Шредінгера, потенційної енергії та граничних умов, має не одне, а багато рішень. Кожне рішення одночасно включає 4 х = (х, у, г)і Е, тобто. описує електронну хмару та відповідну їй повну енергію. Кожне рішення визначається квантовими числами.

Фізичний зміст квантових чисел можна зрозуміти, розглянувши коливання струни, у яких утворюється стояча хвиля (рис. 9.2).

Довжина стоячої хвилі Xта довжина струни bпов'язані рівнянням

Довжина стоячої хвилі може мати лише суворо певні значення, що відповідають числу п,яке приймає тільки цілочисленні не від'ємні значення 1,2,3 і т.д. Як очевидно з рис. 9.2 число максимумів амплітуди коливань, тобто. форма стоячої хвилі, однозначно визначається значенням п.

Оскільки електронна хвиляв атомі є більш складний процес, ніж стояча хвиля струни, значення хвильової функції електрона визначаються не одним, а че-

Мал. 9.2.

трьома числами, які називаються квантовими числами та позначаються буквами п, /, ті s. Даному наборуквантових чисел п, /, тодночасно відповідають певна хвильова функція Ч"лДл, і повна енергія E„j. Квантове число тпри Ене вказують, оскільки відсутність зовнішнього поляенергія електрона від тне залежить. Квантове число sне впливає ні на 4 * п хт,ні на E n j.

~ elxv dlxv 62*p
Символи --, --- означають другі похідні від fir1 дуг 8z2 Ч"-функції. Це похідні від перших похідних. Сенс першої похідної збігається з тангенсом кута нахилу функції Ч" від аргументу х, уили z на графіках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).

У цій статті описується хвильова функція та її фізичний зміст. Також розглядається застосування цього поняття у рамках рівняння Шредінгера.

Наука на порозі відкриття квантової фізики

Наприкінці дев'ятнадцятого століття молоді люди, які хотіли пов'язати своє життя з наукою, відмовляли ставати фізиками. Існувала думка, що всі явища вже відкриті і великих проривів у цій галузі вже не може бути. Зараз, незважаючи на повноту знань людства, подібним чином говорити ніхто не наважиться. Тому що так буває часто: явище або ефект передбачені теоретично, але людям не вистачає технічної та технологічної сили, щоб довести чи спростувати їх. Наприклад, Ейнштейн передбачив понад сто років тому, але довести їхнє існування стало можливим лише рік тому. Це стосується і світу (а саме до них застосовується таке поняття, як хвильова функція): поки вчені не зрозуміли, що будова атома складна, вони не мали необхідності вивчати поведінку таких маленьких об'єктів.

Спектри та фотографія

Поштовхом до розвитку квантової фізикистав розвиток техніки фотографії. До початку ХХ століття зйомка зображень була справою громіздкою, довгою і дорогою: фотоапарат важив десятки кілограмів, а моделям доводилося стояти по півгодини в одній позі. До того ж найменша помилкапри поводженні з тендітними скляними пластинами, покритими світлочутливою емульсією, призводила до незворотної втрати інформації. Але поступово апарати ставали дедалі легшими, витримка - дедалі менше, а отримання відбитків - дедалі досконаліше. І нарешті, стало можливо отримати спектр різних речовин. Питання та невідповідності, які виникали в перших теоріях про природу спектрів, і породили цілу нову науку. Основою для математичного описуповедінки мікросвіту стали хвильова функція частинки та її рівняння Шредінгера.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм

Після визначення будови атома постало питання: чому електрон не падає на ядро? Адже, згідно з рівняннями Максвелла, будь-яка заряджена частка, що рухається, випромінює, отже, втрачає енергію. Якби це було так для електронів у ядрі, відомий нам всесвіт проіснував би недовго. Нагадаємо, нашою метою є хвильова функція та її статистичний зміст.

На допомогу прийшла геніальна гіпотеза вчених: елементарні частки одночасно і хвилі, і частки (корпускули). Їхніми властивостями є і маса з імпульсом, і довжина хвилі з частотою. Крім того, завдяки наявності двох раніше несумісних властивостей елементарні частинки набули нових характеристик.

Однією з них є важко уявний спин. У світі більше дрібних частинок, кварків, цих властивостей настільки багато, що їм дають зовсім неймовірні назви: аромат, колір. Якщо читач зустріне їх у книзі з квантової механіки, нехай пам'ятає: вони зовсім не те, чим здаються на перший погляд. Однак як же описати поведінку такої системи, де всі елементи мають дивний набір властивостей? Відповідь – у наступному розділі.

Рівняння Шредінгера

Знайти стан, в якому знаходиться елементарна частка (а в узагальненому вигляді і квантова система), дозволяє рівняння:

i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.

Позначення у цьому співвідношенні такі:

ħ=h/2 π, де h - постійна Планка.
Ĥ - Гамільтоніан, оператор повної енергії системи.

Змінюючи координати, в яких вирішується ця функція, та умови відповідно до типу частки та поля, в якому вона знаходиться, можна отримати закон поведінки системи, що розглядається.

Поняття квантової фізики

Нехай читач не спокушається простотою використаних термінів. Такі слова та висловлювання, як «оператор», «повна енергія», «елементарний осередок», - це фізичні терміни. Їхні значення варто уточнювати окремо, причому краще використовувати підручники. Далі ми дамо опис та вид хвильової функції, але ця стаття має оглядовий характер. Для глибшого розуміння цього поняття необхідно вивчити математичний апаратна певному рівні.

Хвильова функція

Її математичний вираз має вигляд

|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.

Хвильова функція електрона або будь-якої іншої елементарної частки завжди описується грецькою літерою Ψ, тому іноді її ще називають псі-функцією.

Для початку треба зрозуміти, що функція залежить від усіх координат та часу. Тобто Ψ(x, t) - це фактично Ψ(x 1 x 2 … x n t). Важливе зауваження, оскільки координат залежить рішення рівняння Шредингера.

Далі слід пояснити, що під |мається на увазі базисний вектор обраної системи координат. Тобто залежно від того, що саме треба отримати, імпульс чи ймовірність |x> матиме вигляд | x 1 x 2 … x n >. Очевидно, що n також залежатиме від мінімального векторного базисуобраної системи. Тобто у звичайному тривимірному просторі n=3. Для недосвідченого читача пояснимо, що всі ці значки біля показника x - це не просто забаганка, а конкретне математична дія. Зрозуміти його без найскладніших математичних викладок не вдасться, тому ми щиро сподіваємося, що ті, хто цікавиться, самі з'ясують його сенс.

І, нарешті, необхідно пояснити, що Ψ(x, t)= .

Фізична сутність хвильової функції

Незважаючи на базове значенняцієї величини, вона сама не має на підставі явища чи поняття. Фізичний зміст хвильової функції полягає у квадраті її повного модуля. Формула виглядає так:

|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,

де має значення щільності ймовірності. У разі дискретних спектрів (а не безперервних) ця величина набуває значення просто ймовірності.

Наслідок фізичного сенсу хвильової функції

Такий фізичний сенс має далекосяжні наслідки для всього квантового світу. Як стає зрозуміло зі значення величини ω, всі стани елементарних частинок набувають імовірнісного відтінку. Самий наочний приклад- це просторовий розподілелектронних хмар на орбіталі навколо атомного ядра.

Візьмемо два види гібридизації електронів в атомах з найбільш простими формамихмар: s та p. Хмари першого типу мають форму кулі. Але якщо читач пам'ятає з підручників з фізики, ці електронні хмари завжди зображуються як розпливчасте скупчення точок, а не як гладка сфера. Це означає, що на певній відстані від ядра є зона з найбільшою ймовірністю зустріти s-електрон. Однак трохи ближче і трохи далі ця ймовірність не нульова, просто менша. При цьому для p-електронів форма електронної хмари зображується у вигляді дещо розпливчастої гантелі. Тобто існує досить складна поверхня, на якій можливість знайти електрон найвища. Але й поблизу цієї «гантелі» як далі, так і ближче до ядра така ймовірність не дорівнює нулю.

Нормування хвильової функції

З останнього випливає необхідність нормувати хвильову функцію. Під нормуванням мається на увазі таке «припасування» деяких параметрів, при якій вірне деяке співвідношення. Якщо розглядати просторові координати, то можливість знайти цю частинку (електрон, наприклад) в існуючого Всесвітуповинна дорівнювати 1. Формула вигладить так:

ʃ V Ψ* Ψ dV=1.

Таким чином, виконується закон збереження енергії: якщо ми шукаємо конкретний електрон, він має бути цілком у заданому просторі. Інакше вирішувати рівняння Шредінгера просто не має сенсу. І неважливо, чи знаходиться ця частка всередині зірки або в гігантському космічному увійді, вона має десь бути.

Трохи вище ми згадували, що змінними, яких залежить функція, може бути і непросторові координати. У такому разі нормування проводиться за всіма параметрами, від яких залежить функція.

Миттєве пересування: прийом чи реальність?

У квантовій механіці відокремити математику від фізичного сенсунеймовірно складно. Наприклад, квант був запроваджений Планком зручності математичного висловлювання однієї з рівнянь. Тепер принцип дискретності багатьох величин та понять (енергії, моменту імпульсу, поля) лежить в основі сучасного підходудо вивчення мікросвіту. Ψ теж має такий парадокс. Згідно з одним із рішень рівняння Шредінгера, можливо, що при вимірі квантовий стан системи змінюється миттєво. Це зазвичай позначається як редукція чи колапс хвильової функції. Якщо таке можливе насправді, квантові системиздатні переміщатися із нескінченною швидкістю. Але обмеження швидкостей для речових об'єктів нашого Всесвіту непорушне: ніщо не може рухатися швидше світла. Це явище зафіксовано жодного разу не було, але й спростувати його теоретично поки не вдалося. Згодом, можливо, цей парадокс вирішиться: або в людства з'явиться інструмент, який зафіксує таке явище, або знайдеться математичне хитрощі, які доведуть неспроможність цього припущення. Є третій варіант: люди створять такий феномен, але при цьому сонячна системазвалиться в штучну чорну дірку.

Хвильова функція багаточасткової системи (атома водню)

Як ми стверджували протягом всієї статті, псі-функція описує одну елементарну частинку. Але при найближчому розгляді атом водню схожий на систему лише з двох частинок (одного негативного електрона і одного позитивного протона). Хвильові функції атома водню можуть бути описані як двочастинний або оператором типу матриці щільності. Ці матриці зовсім точно є продовженням пси-функции. Вони скоріше показують відповідність ймовірностей знайти частинку в одному та іншому стані. При цьому важливо пам'ятати, що завдання вирішене лише для двох тіл одночасно. Матриці щільності застосовні до пар частинок, але неможливі для складніших систем, наприклад при взаємодії трьох і більше тіл. У цьому факті простежується неймовірна подоба між найбільш «грубою» механікою та дуже «тонкою» квантовою фізикою. Тому не варто думати, що раз існує квантова механікаУ звичайній фізиці нових ідей не може виникнути. Цікаве ховається за будь-яким поворотом математичних маніпуляцій.

Виходячи з уявлення про наявність у електрона хвильових властивостей. Шредінгер в 1925 р. припустив, що стан електрона, що рухається в атомі, повинен описуватися відомим у фізиці рівнянням стоячої. електромагнітної хвилі. Підставивши в це рівняння замість довжини хвилі її значення з рівняння де Бройля, він отримав нове рівняння, що зв'язує енергію електрона з просторовими координатами і так званою хвильовою функцією, що відповідає цьому рівнянню амплітуді тривимірного хвильового процесу.

Особливо важливе значенняДля характеристики стану електрона має хвильова функція. Подібно до амплітуди будь-якого хвильового процесу, вона може приймати як позитивні, так і негативні значення. Проте величина завжди позитивна. При цьому вона має чудовою властивістю: чим більше значенняу цій галузі простору, тим вища ймовірність того, що електрон проявить тут свою дію, тобто, що його існування буде виявлено в будь-якому фізичному процесі.

Більш точним буде таке твердження: ймовірність виявлення електрона у певному малому обсязі виражається твором . Таким чином, сама величина виражає густину ймовірності знаходження електрона у відповідній області простору.

Мал. 5. Електронну хмару атома водню.

Для з'ясування фізичного значення квадрата хвильової функції розглянемо рис. 5, на якому зображено деякий об'єм поблизу ядра атома водню. Щільність розміщення точок на рис. 5 пропорційна значенню у відповідному місці: чим більша величина, тим густіше розташовані точки. Якби електрон мав властивості матеріальної точки, то рис. 5 можна було б отримати, багаторазово спостерігаючи атом водню і щоразу відзначаючи місцезнаходження електрона: щільність розміщення точок на малюнку була б тим більшою, чим частіше виявляється електрон у відповідній області простору або, інакше кажучи, чим більша ймовірність виявлення його в цій галузі.

Ми знаємо, однак, що уявлення про електроні як про матеріальної точкине відповідає його істинній фізичної природи. Тому рис. 5 правильніше розглядати як схематичне зображення електрона, «розмазаного» по всьому об'єму атома у вигляді так званої електронної хмари: чим щільніше розташовані точки в тому чи іншому місці, тим більша тут щільність електронної хмари. Інакше висловлюючись, щільність електронної хмари пропорційна квадрату хвильової функції.

Уявлення про стан електрона як про деяку хмару електричного зарядувиявляється дуже зручним, добре передає основні особливості поведінки електрона в атомах та молекулах і часто використовуватиметься в наступному викладі. При цьому, однак, слід мати на увазі, що електронна хмара не має певних, різко окреслених меж: навіть на великій відстанівід ядра існує деяка, хоч і дуже мала, ймовірність виявлення електрона. Тому під електронною хмарою умовно розумітимемо область простору поблизу ядра атома, в якій зосереджена переважна частина (наприклад, ) заряду і маси електрона. Більше точне визначенняцій області простору дано на сторінці 75.