Формула піку знаходження площі багатокутника. Наукова робота "формула піку"

Бібліографічний опис:Татьяненко А. А., Тетьяненко С. А. Обчислення площ фігур, зображених на картатий папір// Молодий учений. 2016. №3..03.2019).

При підготовці до основного державному екзаменуя зустрівся із завданнями, в яких потрібно обчислити площу фігури, зображеної на картатий листпаперу. Як правило, ці завдання не викликають великих труднощів, якщо фігура є трапецією, паралелограмом або трикутником. Досить добре знати формули обчислення площ цих фігур, порахувати кількість клітинок і обчислити площу. Якщо фігура є деяким довільним багатокутником, то тут необхідно використовувати особливі прийоми. Мене зацікавила дана тема. І природно виникли питання: де в повсякденному життіможуть виникнути завдання на обчислення площ на папері? У чому особливість таких завдань? Чи існують інші методи або універсальна формула для обчислення площ геометричних фігур, зображених на папері?

Вивчення спеціальної літературита інтернет джерел показало, що існує універсальна формула, що дозволяє обчислити площу фігури, зображеної на клітці. Ця формула називається формулою Піка. Однак, у рамках шкільної програми дана формулане розглядається, незважаючи на свою простоту у застосуванні та отриманні результату. Більше того, мною проведено опитування друзів та однокласників (у двох формах: при особистій розмові та в соціальних мережах), у якому взяли участь 43 учнів шкіл міста Тобольська. Дане опитування показало, що лише одна людина (учень 11 класу) знайома з формулою Піка для обчислення площ.

Нехай задана прямокутна системакоординат. У цій системі розглянемо багатокутник, який має цілі координати. У навчальної літературиточки з цілими координатами називаються вузлами. Причому багатокутник не обов'язково має бути опуклим. І нехай потрібно визначити його площу.

Можливі такі випадки.

1. Фігура є трикутником, паралелограм, трапецією:

1) підраховуючи клітини необхідно визначити висоту, діагоналі або сторони, які потрібні для обчислення площі;

2) підставити знайдені величини формулу площі.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 1 з розміром клітини 1см на 1 див.

Мал. 1. Трикутник

Рішення. Підраховуємо клітини і знаходимо: . За формулою отримуємо: .

2 Фігура є багатокутником

Якщо фігура є багатокутником, то можна використовувати такі методи.

Метод розбиття:

1) розбити багатокутник на трикутники, прямокутники;

2) обчислити площі одержаних фігур;

3) визначити суму всіх площ отриманих фігур.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см методом розбиття.

Мал. 2. Багатокутник

Рішення. Способів розбиття існує безліч. Ми розіб'ємо фігуру на прямокутні трикутники і прямокутник, як показано на малюнку 3.

Мал. 3. Багатокутник. Метод розбиття

Площі трикутників рівні: , , , площа прямокутника - . Складаючи площі всіх фігур отримаємо:

Метод додаткової побудови

1) добудувати фігуру до прямокутника

2) знайти площі отриманих додаткових фігур та площу самого прямокутника

3) від площі прямокутника відняти площі всіх «зайвих» фігур.

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, зображеної малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см методом додаткової побудови.

Рішення. Добудуємо нашу фігуру до прямокутника, як показано на малюнку 4.

Мал. 4. Багатокутник. Метод доповнення

Площа великого прямокутника дорівнює прямокутника, розташованого всередині - , площі «зайвих» трикутників , , Тоді площа шуканої постаті.

При обчисленні площ багатокутників на картатому папері можливо використовувати ще один метод, який носить назву формула Піка на прізвище вченого, який її відкрив.

Формула Піка

Нехай у багатокутника, зображеного на картатому папері, лише цілочисленні вершини. Точки у яких обидві координати цілі називаються вузлами ґрат. Причому багатокутник може бути як опуклим, так і непуклим.

Площа багатокутника з цілими вершинами дорівнює , де B - кількість цілих точок всередині багатокутника, а Г - кількість цілих точок на межі багатокутника.

Наприклад, для багатокутника, зображеного малюнку 5.

Мал. 5. Вузли у формулі Піка

Наприклад, потрібно обчислити площу фігури, що зображена на малюнку 2 з розміром клітини 1см на 1 см за формулою Піка.

Мал. 6. Багатокутник. Формула Піка

Рішення. На малюнку 6: В=9, Г=10, тоді за формулою Піка маємо:

Нижче наведено приклади деяких завдань, розроблених автором на обчислення площ фігур, зображених на папері.

1. У дитячому садкудіти зробили аплікації батькам подарунок (рис.7). Знайдіть площу аплікації. Розмір кожної клітини дорівнює 1см  1см.

Мал. 7. Умова задачі 1

2. Один гектар ялинових насаджень може затримувати на рік до 32 т пилу, соснових – до 35 т, в'яза – до 43 т, дуба – до 50 т. Бука – до 68 т. Порахуйте, скільки тонн пилу затримає ялинник за 5 років. План ялинника зображено малюнку 8 (масштаб 1 див. - 200 м.).

Мал. 8. Умова задачі 2

3. В орнаментах хантів та мансі, переважають геометричні мотиви. Часто зустрічаються стилізовані зображення тварин. На малюнку 9 зображено фрагмент мансійського орнаменту "Заячі вушка". Обчисліть площу зафарбованої частини орнаменту.

Мал. 9. Умова задачі 3

4. Потрібно пофарбувати стіну заводської будівлі (рис. 10). Розрахуйте потрібну кількість водоемульсійної фарби (у літрах). Витрата фарби: 1 літр на 7 кв. метрів Масштаб 1см – 5м.

Мал. 10. Умова задачі 4

5. Зірчастий багатокутник – плоска геометрична фігура, складена з трикутних променів, що виходять із загального центру, що зливаються в точці сходження. Особливої увагизаслуговує на п'ятикутну зірку - пентаграма. Пентаграма – це символ досконалості, розуму, мудрості та краси. Це найпростіша формазірки, яку можна зобразити одним розчерком пера, жодного разу не відірвавши його від паперу і при цьому жодного разу не пройшовши двічі по одній лінії. Намалюйте п'ятикутну зірочку не відриваючи олівця від аркуша картатого паперу, так, щоб усі кути багатокутника, що вийшов, знаходилися у вузлах клітини. Обчисліть площу отриманої фігури.

Проаналізувавши математичну літературуі розібравши велика кількістьПрикладів на тему дослідження, я дійшов висновку, що вибір методу обчислення площі фігури на папері залежить від форми фігури. Якщо фігура є трикутником, прямокутником, паралелограмом або трапецією, то зручно скористатися всім відомими формуламидля обчислення площ. Якщо фігура є опуклий багатокутник, то можна використовувати як метод розбиття, так і доповнення (у більшості випадків зручніше - метод доповнення). Якщо фігура є неопуклим або зірчастим багатокутником, то зручніше застосувати формулу Піка.

Оскільки формула Піка є універсальною формулоюдля обчислення площ (якщо вершини багатокутника знаходяться у вузлах ґрат), то її можна використовувати для будь-якої фігури. Однак, якщо багатокутник займає достатньо велику площу(або дрібні клітини), то велика ймовірність припуститися помилки в підрахунках вузлів решітки. Взагалі, в ході дослідження, я дійшов висновку, що при вирішенні подібних завдань ОДЕ кращескористатися традиційними методами(Розбиття або доповнення), а результат перевірити за формулою Піка.

Література:

Вавілов В. В., Устинов А. В. Багатокутники на ґратах. – М.: МЦНМО, 2006. – 72 с.
Васильєв І. Н. Навколо формули Піка// Науково-популярний фізико-математичний журнал «Квант». - 1974. - №12. Режим доступу: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
Жарковська Н., Рісс Е. Геометрія картатого паперу. Формула Піка. // Перше вересня. Математика. – 2009. - № 23. – с.24,25.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Керівники:

Могутова Тетяна Михайлівна
Дерюшкіна Оксана Валеріївна

Девіз проекту:

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду.
а якщо хочете навчитися розв'язувати завдання, то вирішуйте їх”.
Д. Пойя.

Вибір теми проекту не випадковий. Способи знаходження площі багатокутника намальованого на клітинах дуже цікава тема.

Ми знаємо різні способи виконання таких завдань: спосіб додавання, спосіб віднімання та ін.

Нас дуже зацікавила ця тема, ми вивчили багато літератури і на нашу величезну радість знайшли ще один спосіб, спосіб не відомий за шкільною програмою, але чудовий спосіб! Обчислення площі, використовуючи формулу, виведену австрійським ученим – математиком Георгом Піком.

Ми вирішили вивчити формулу Піка, за допомогою якої виконувати завдання знаходження площі дуже легко!

Мета дослідження

1. Вивчення формули Піка.

2. Розширення знань про різноманіття завдань на папері, про прийоми і методи вирішення цих завдань.

Завдання:

1. Відібрати матеріал для дослідження, вибрати головну, цікаву, зрозумілу інформацію

2. Проаналізувати та систематизувати отриману інформацію

3. Створити електронну презентаціюроботи для представлення зібраного матеріалу однокласникам

4. Зробити висновки щодо результатів роботи.

5. Підібрати найцікавіші, наочні приклади.

Методи дослідження:

1. Моделювання

2. Побудова

3. Аналіз та класифікація інформації

4. Порівняння, узагальнення

5. Вивчення літературних та Інтернет-ресурсів

Георг Пік – австрійський вчений – математик. Пік вступив до університету у Відні 1875 року. Свою першу працю опублікував у віці 17 років. Коло його математичних інтересів було надзвичайно широким. 67 його робіт присвячені багатьом розділам математики, таким як: лінійна алгебра, інтегральне числення, геометрія, функціональний аналіз, теорія потенціалу.

Широко відома Теорема з'явилася у збірнику робіт Піка у 1899 році.

Теорема залучила досить велика увагаі почала викликати захоплення своєю простотою та елегантністю.

Формула Піка, формула обчислення площі багатокутника, зображеного на папері в клітину, корисна при вирішенні завдань ЄДІ та ОГЕ. Саме тому вона нас дуже зацікавила.

Формула Піка – класичний результат комбінаторної геометрії та геометрії чисел.

По теоремі Піка площа багатокутника дорівнює:

Г: 2 + В – 1

Г – кількість вузлів решітки на межі багатокутника

У – число вузлів решітки усередині багатокутника.

Насамперед ми поставили завдання: вивчити, що таке вузли грат і як правильно обчислювати їх кількість. Виявилося, що це дуже просто. Наведемо кілька прикладів.

Нехай даний довільний трикутник. Вузли на кордоні зображені помаранчевим кольором, вузли всередині зображені синім кольором. Знайти вузли та підрахувати їх кількість дуже легко.

У даному випадкуГ = 15, В = 35

Приклад №2Вузлів межі 18, тобто. Г = 18, вузлів усередині 20, В = 20.

І ще один приклад. Дано довільний багатокутник. Вважаємо вузли на кордоні. Їх 14. Вузлом усередині багатокутника 43. Р = 14, В = 43.

З першим завданням ми впоралися!

Другий етап нашої роботи: обчислення площ багатокутників.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 - 1 = 49

Приклад №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 - 1 = 9,5

Приклад №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 - 1 = 28,5

Приклад №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 - 1 = 19

Приклад №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 - 1 = 34

На розгляд п'яти прикладів ми витратили лише 1-2 хвилини. Обчислювати площу за формулою Піка не лише швидко, а й дуже легко!

Але перед нами постало дуже серйозне питання:

Чи можна довіряти теоремі Піка?

Чи виходять однакові результати при обчисленні площ різними способами?

Знайдемо площі багатокутників за формулою Піка та звичайним способом, застосовуючи формули геометрії та способи добудування чи розбиття на частини. Ось які результати ми отримали:

Приклад №1.

Обчислимо площу багатокутника за формулою Піка:

Підрахуємо кількість вузлів на кордоні та всередині. Р = 3, В = 6.

Обчислимо площу: S = 6 + - 1 = 6,5

Добудуємо багатокутник до прямокутника. Площа прямокутника дорівнює: 3*5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат однаковий.

Приклад №2.

Г = 4, В = 9, S = 9 + - 1 = 10

Добудуємо до прямокутника.

Площа прямокутника дорівнює: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,

S = = 2, S = = 1,5, S = = 2,5

Площа прямокутника дорівнює

S = 20 - 2 - 3 - 2 - 1,5 - 2,5 = 10

Ми знову здобули однакові результати.

Розглянемо ще один приклад.

Приклад №3

Обчислимо площу за формулою Піка.

Г = 5, В = 6, S = 6 + - 1 = 7,5

Обчислимо площу, використовуючи спосіб добудови.

Площа прямокутника дорівнює 5 4 = 20

S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5

S = 20 - 2 -1 - 2 - 1 - 1 - 2,5 - 3 = 7,5

Результат однаковий.

У презентації ми розглянули три приклади, але насправді ми розглянули дуже багато різних прикладів. Результат завжди був той самий: Обчислення площі за формулою Піка та іншими способами дає однаковий результат.

Висновок: формулі Піка можна довіряти! Вона дає чіткий результат.

Ми задоволені!

І ще одне питання постало перед нами: який спосіб обчислення найбільш раціональний, найбільш зручний для використання?

Щоб відповісти на це питання, достатньо використати всю попередню роботу. Але розглянемо ще три приклади, які дозволять отримати відповідь на наше запитання.

Приклад №2

Приклад №3

За допомогою формули Піка легко обчислити площу багатокутника навіть найхимернішої форми. Розглянемо приклад:

Висновок однозначний: найбільш раціональний спосіб обчислення площі багатокутника, зображеного на папері клітину: формула Піка!

Пропонуємо кожному з вас обчислити площу багатокутника, використовуючи формулу Піка:

Обчисліть кількість вузлів на кордоні. Вони зображені жовтим кольором.

Обчисліть кількість вузлів усередині, червоний колір.

Підставте у формулу, назвіть результат. Ви за одну хвилину вирахували площу.

Отже, формула Піка має ряд переваг над іншими способами обчислення площ багатокутників на папері:

Для обчислення площі багатокутника, потрібно знати лише одну формулу:

S = Г:2 + В – 1.

Формула Піка дуже проста для запам'ятовування.

Формула Піка дуже зручна та проста у застосуванні.

Багатокутник, площу якого необхідно обчислити, може бути будь-якої, навіть найхимернішої форми.

Застосовуючи формулу Піка легко виконувати завдання ЄДІ та ОДЕ.

Наведемо кілька прикладів обчислення площі з варіантів ЄДІ – 2015.

Ми вирішили навчити користуватися формулою Піка учнів 9 – 11 класів нашої школи. Провели фестиваль "Формула Піка".

Усі учні з великою цікавістю познайомилися з презентацією, навчилися користуватися формулою Піка.

За 30 хвилин практичної роботиучні виконали велику кількість завдань. Кожен учень отримав пам'ятку "Формула Піка".

Ми допомогли їм у підготовці до ЄДІ та ОДЕ!

Через місяць роботи ми провели опитування учнів 9–11 класом.

Задали наступні питання:

Питання №1:

Формула Піка - це раціональний спосіб обчислення площі багатокутника?

"Так" - 100% учнів.

Питання №2:

Ви користуєтесь формулою Піка?

"Так" - 100% учнів

Наша робота не пройшла даремно! Ми задоволені!

Презентацію нашого проекту ми розмістили у мережі Інтернет. Багато переглядів та завантажень нашої роботи.

Ми оформили альбом “Формула Піка”. Ним постійно, особливо спочатку, користувалися учні нашої школи.

Результати роботи над проектом:

У процесі роботи над проектом вивчили довідкову, науково-популярну літературу на тему дослідження.

Вивчили теорему Піка, навчилися знаходити площі постатей, зображених на папері в клітину просто і раціонально.
Розширили свої знання про розв'язання завдань на папері, визначили для себе класифікацію досліджуваних завдань, переконалися в їх різноманітті.
Провели для учнів 9–11 фестиваль “Формула Піка”, навчили їх знаходити площу, використовуючи цю формулу. Підібрали багато цікавих прикладів.
Створили електронну презентацію на допомогу своїм ровесникам.
Оформили альбом Формула Піка, який постійно використовують учні школи.

Пропонує вам виконати два завдання, щоб переконалися в раціональності нашої роботи.

Спасибі за увагу!

Урок геометрії у 8 класі на тему «Обчислення площ фігур на картатому папері. Формула Піка.

Цілі уроку:

Освітні: повторення формул знаходження площ, продовження формування навичок обчислення площ, застосування формул під час вирішення завдань різної складності, вивчення формули Піка.

Розвиваючі: розвинути творчі здібностіу учнів під час виконання самостійних завдань, розвивати вміння доводити своє рішення.

Виховні: розвивати вміння вести самостійний пошук рішення, конструювання узагальненого способу вирішення нового завдання,вивчати працьовитості, акуратності, уважності.

Тип уроку: комбінований урок.

Методи навчання: репродуктивний, словесно-наочний, частково-пошуковий.

Форми організації: загальнокласна, індивідуальна.

Обладнання уроку: мультимедійні засоби навчання, аркуш із друкованою основою у кожного учня (завдання на готових кресленнях, самостійна робота).

Хід уроку.

I Організація початку уроку (слайд 1)

На столі лежать картки для роботи на уроці. Що ви бачите на них?

(Різні багатокутники)

Які постаті вам знайомі?

Що ми вчилися знаходити у цих фігур? (Площі)

Що спільного цих малюнках? (Зображені на папері).

Як ви вважаєте, чим ми займатимемося сьогодні на уроці? (Сьогодні на уроці ми обчислюватимемо площі різних фігур на картатому папері).

А ще ми з вами познайомимося з однією дуже цікавою формулою, яка дозволить нам дуже швидко обчислювати площі різних фігур на папері.

Отже, тема уроку…Слайд 1.

II Актуалізація знань та способів діяльності

Повторимо основні формули знаходження площ, які нам знадобляться на сьогоднішньому уроці.«Не бійтеся формул! Вчіться володіти цим інструментом людського генія! У формулах полягає велич і могутність розуму ... »Марков А. А.

Виконуємо тест. ( слайди 3-8 )

Знаходження площі багатокутника, «намальованого на клітинах», дуже цікава тема. Такі завдання зустрічаються в екзаменаційних завданнях ОДЕта ЄДІ.

(Слайди 9 - 10)

III Закріплення знань та способів діяльності.

А як вчинимо в цьому випадку?

Знайти площі фігур, використовуючи один із двох способів:

розбити фігуру на прямокутні трикутники та прямокутники, площі яких вже неважко обчислити та скласти отримані результати

спробувати доповнити наш багатокутник до "хорошого", потрібного нам, тобто до такого, площу якого ми зможемо обчислити, потім від отриманого числа відняти площі доданих частин.

(Солоди 11-14) ( Додаток 1 )

А чи завжди зручно у такий спосіб знаходити площі фігур?

IV Засвоєння нових знань та способів діяльності. Формула Піка

Формула Піка дозволить вам з надзвичайною легкістю знаходити площу будь-якого багатокутника на картатому папері з цілими вершинами.

Формула Піка дуже зручна, коли складно здогадатися, як розбити фігуру на зручні багатокутники або добудувати… (слайд 17)

а) Біографія

Герг Олександр Пік - . Народився 10 серпня 1859 року у Відні у єврейській родині. Мати – Йозефа Шляйзінгер, батько – Адольф Йозеф Пік.

Георга, який був обдарованою дитиною, навчав батько, який очолював приватний інститут У 16 років Георг закінчив школу і вступив до. У 20 років отримав право викладати фізику та математику. 1880 р. захистив докторську дисертацію. У 1885 р. поїхав до Праги і почав викладати у Німецькому університеті.

1910 року Георг Пік був у комітеті, створеному Німецьким університетом Праги для розгляду питання про прийняттяпрофесор в університеті. Пік та фізикбули головними ініціаторами цього призначення, і завдяки їхнім зусиллям Ейнштейн, з яким Пік згодом здружився, 1911 року очолив кафедру теоретичної фізикиу Німецькому університеті у Празі. Пік та Ейнштейн не тільки мали спільні наукові інтереси, але й пристрасно захоплювалися музикою. Пік, який грав у квартеті, що складався з університетських професорів, ввів Ейнштейна до наукового та музичного товариства Праги.

Коло математичних інтересів Піка було надзвичайно широким. Зокрема, їм написано роботи в областіі , та абелевих функцій, теоріїі , всього понад 50 тем. Широку популярність отримала відкрита ним 1899 рокудля розрахунку площі багатокутника. У Німеччині ця теорема включена до шкільних підручників.

Після того, як Пік вийшов у відставку в 1927 році, він отримав звання почесного професора і повернувся до Відня - міста, в якому він народився. Однак у 1938 році він знову повернувся до Праги.

13 липня 1942 року Пік був депортований у створений нацистами у північній Чехії, де помер через два тижні у віці 82 років. (Слайд 17)

б) Формула Піка

Площа багатокутника з цілими вершинами дорівнює
В + Г/2 − 1 , деУ - є кількість цілих точок усередині багатокутника, а
Г - кількість цілих точок на межі багатокутника. (Слайд 18)

Насамперед розберемося, що означає цілі точки всередині трикутника і на межі трикутника і як правильно обчислювати їхню кількість. Виявилося, що це дуже просто. Наведемо кілька прикладів.

в) Розв'язання задач ( слайди 20-22) (додаток 2)

А чи можна довіряти теоремі Піка? Чи вийдуть однакові результати при обчисленні площ різними способами?

V Первинна перевірка засвоєння

Самостійна робота: розв'язати задачі двома способами. ( слайди 23-27) (додаток 3)

VI Підбиття підсумків, інструктаж за домашнім завданням.

Домашнє завдання: на листочках. (слайд 28) (додаток 4)

Література та інтернет – ресурси:

ЄДІ. Математика. Тематична робочий зошит/ І.В.Ященко, С.А. Шестаков та ін. - М: «Іспит», 201

Самоаналіз з отриманих знань

Ім'я учня: _______________________________________

Самоаналіз з отриманих знань

Ім'я учня: _______________________________________

Самоаналіз з отриманих знань

Ім'я учня: _______________________________________

Самоаналіз з отриманих знань

Ім'я учня: _______________________________________

Додаток 1

Знайдіть площі фігур, зображених на папері паперу з розміром клітини 1см*1см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Я, учень 6 класу. Вивчати геометрію почав ще з минулого року, адже займаюся я у школі за підручником «Математика. Арифметика. Геометрія» за редакцією Є.А. Бунимович, Л.В.Кузнєцова, С.С. Мінаєва та інші.

Найбільшу мою увагу привернули теми «Площі фігур», «Упорядкування формул». Я помітив, що площі тих самих фігур можна знаходити у різний спосіб. У побуті ми часто стикаємося із завданнями знаходження площі. Наприклад, знайти площу підлоги, яку доведеться пофарбувати. Адже цікаво, щоб купити необхідна кількістьшпалер для ремонту, треба зазначити розміри кімнати, тобто. площа стін. Обчислення площі квадрата, прямокутника і прямокутного трикутника не викликало в мене труднощів.

Зацікавившись цією темою, я почав шукати додатковий матеріалв інтернеті. В результаті пошуків я натрапив на формулу Піка - це формула для обчислення площі багатокутника, намальованого на папері. Обчислення площі за цією формулою мені здалося доступним учню. Саме тому я вирішив провести дослідницьку роботу.

Актуальність теми:

Ця тема є доповненням та поглибленням вивчення курсу геометрії.

Вивчення цієї теми допоможе краще підготуватися до олімпіад та іспитів.

Мета роботи:

Ознайомитись із формулою Піка.

Опанувати прийоми рішень геометричних завданьз використанням формули Піка.

Систематизувати та узагальнити теоретичний та практичний матеріали.

Завдання дослідження:

Перевірити ефективність і доцільність застосування формули під час вирішення завдань.

Навчитися застосовувати формулу Піка у завданнях різної складності.

Порівняти завдання, вирішені за допомогою формули Піка та традиційним способом.

Основна частина

1.1. Історична довідка

Георг Олександр Пік - австрійський математик, народився 10 серпня 1859 року. Він був обдарованою дитиною, його навчав батько, який очолював приватний інститут. У 16 років Георг закінчив школу і вступив до Віденського університету. У 20 років отримав право викладати фізику та математику. Всесвітню популярність йому принесла формула визначення площі решітки полігонів. Свою формулу він опублікував у статті 1899 року. Вона стала популярною, коли польський вчений Х'юго Штейнгауз включив її у 1969 році у видання математичних знімків.

Георг Пік здобув освіту у Віденському університеті та захистив кандидатську у 1880 році. Після отримання докторського ступенявін був призначений помічником Ернеста Маха у Шерльсько-Фердинандському університеті в Празі. Там він став викладачем. Він залишався у Празі до своєї відставки у 1927 році, а потім повернувся до Відня.

Пік очолював комітет у німецькому університеті Праги, який призначив Ейнштейна професором кафедри математичної фізики 1911 року.

Він був обраний членом Чеської академії наук та мистецтв, але був виключений після захоплення нацистами Праги.

Коли нацисти увійшли до Австрії 12 березня 1938 року, він повернувся до Праги. У березні 1939 року нацисти вторглися до Чехословаччини. 13 липня 1942 року Пік був депортований у створений нацистами в північній Чехії табір Терезієнштадт, де помер через два тижні у віці 82 років.

1.2. Дослідження та доказ

Свою дослідницьку роботу я почав із з'ясування питання: площі яких фігур я зможу знайти? Скласти формулу для обчислення площі різних трикутниківі чотирикутників я міг. А як бути з п'яти-, шести-, і взагалі з багатокутниками?

У ході дослідження на різних сайтах я побачив вирішення завдань на обчислення площі п'яти-, шести- та інших багатокутників. Формула, що дозволяє вирішувати ці завдання, називалася формулою Піка. Вона виглядає так:S =B+Г/2-1, де У- кількість вузлів, що лежать усередині багатокутника, Г- кількість вузлів, що лежать на межі багатокутника. Особливість цієї формули у тому, що її можна використовувати лише багатокутників, намальованих на картатому папері.

Будь-який такий багатокутник легко розбити на трикутники з вершинами у вузлах ґрат, які не містять вузлів ні всередині, ні на сторонах. Можна показати, що площі всіх цих трикутників однакові і дорівнюють ½, а отже, площа багатокутника дорівнює половині їх числа Т.

Щоб знайти це число, позначимо через n число сторін багатокутника, через У- Число вузлів всередині нього, через Г- Число вузлів на сторонах, включаючи вершини. Загальна сума кутів усіх трикутників дорівнює 180 °. Т.

Тепер знайдемо суму в інший спосіб.

Сума кутів з вершиною у кожному внутрішньому вузлі становить 2.180°, тобто. Загальна сумакутів дорівнює 360 °. В;загальна сума кутів при вузлах на сторонах, але не у вершинах дорівнює ( Г-n) 180°, а сума кутів при вершинах багатокутника дорівнюватиме ( Г-2) 180°. Таким чином, Т= 2.180 °. В+(Г-n)180°+(n -2)180 °. Виконавши розкриття дужок і розділивши на 360 °, отримуємо формулу для площі багатокутника S, відому як формула Піка.

2. Практична частина

Цю формулу вирішив перевірити на завданнях зі збірки ОДЕ-2017. Взяв завдання на обчислення площі трикутника, чотирикутника та п'ятикутника. Вирішив порівняти відповіді, вирішуючи двома способами: 1) доповнив фігури до прямокутника і з площі отриманого прямокутника вирахував площу прямокутних трикутників; 2) застосував формулу Піка.

S = 18-1,5-4,5 = 12 і S = 7+12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 і S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 і S = 43+14/2-1 = 49

Порівнявши отримане, роблю висновок, що обидві формули дають ту саму відповідь. Знайти площу фігури за формулою Піка виявилося швидше і легше, адже обчислень було менше. Легкість рішення та економія часу на обчисленнях мені стануть у нагоді в майбутньому при здачі ОДЕ.

Це підштовхнуло мене до перевірки можливості застосування формули Піка на складніших постатях.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Висновок

Формула Піка проста у розумінні та зручна у застосуванні. По-перше, достатньо вміти рахувати, ділити на 2, складати та віднімати. По-друге, можна знайти площу та складної фігурине витративши багато часу. По-третє, ця формула працює для будь-якого багатокутника.

Недоліком є те, що Формула Піка застосовується тільки для фігур, які намальовані на картатому папері і вершини лежать на вузлах клітин.

Я впевнений, що під час здачі випускних іспитів, Завдання на обчислення площі фігур не будуть викликати труднощі. Адже я вже знайомий із формулою Піка.

Список літератури

Бунимович Є.А., Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б. та ін Математика. Арифметика. Геометрія. 5 клас: навч. для загальноосвіт. організацій із дод. на електрон. носії -3-тє вид.-М.: Просвітництво, 2014.- 223, с. : іл. – (Сфери).

Бунимович Є.А., Кузнєцова Л.В., Мінаєва С.С. та ін Математика. Арифметика. Геометрія. 6 клас: навч. для загальноосвіт. організацій-5-е вид.-М.: Просвітництво, 2016.-240с. : іл.- (Сфери).

Васильєв Н.Б. Навколо формули Піка. //Квант.- 1974.-№2. -С.39-43

Рассолов В.В. Завдання щодо планіметрії. / 5- вид., Випр. І дод. – К.: 2006.-640с.

І.В. Ященко.ОДЕ. Математика: типові екзаменаційні варіанти: О-39 36 варіантів - М.: Видавництво « Національна освіта», 2017. –240 с. - (ОДЕ. ФІПІ-школі).

«Вирішу ОДЕ»: математика. Навчальна система Дмитра Гущина. ОДЕ-2017: завдання, відповіді, рішення [Електронний ресурс]. Режим доступу: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата звернення 02.04.2017)

"Вирішення задач - практичне мистецтво, подібне

плавання, катання на лижах чи грі на фортепіано;

навчитися йому можна, тільки наслідуючи добрих

зразкам і постійно практикуючись»

(Д. Пойя).

Австрійський математик

народився у єврейській родині.

Мати Йозефа Шляйзінгер,

батько Адольф Йозеф Пік.

Пік Георг

10.08.1859 - 13.07.1942

Біографічна довідка

Георг Олександр Пік

був обдарованим дитиною, навчав батько, який очолював приватний інститут. У 16 років Георг закінчив школу і вступив до Віденського університету. У 20 років отримав право викладати фізику та математику. Шістнадцятого квітня 1880 року під керівництвом Лео Кенігсбергера Пік захистив докторську дисертацію «Про клас абелевих інтегралів». У Німецькому університеті в Празі в 1888 Пік отримав місце екстраординарного професора математики, потім в 1892 став ординарним професором. У 1900-1901 роках обіймав посаду декана філософського факультету. З його ім'ям пов'язані матриця Піка, інтерполяція Піка Неванлінни, лема Шварца Піка. 13 липня 1942 року Пік був депортований у створений нацистами в північній Чехії табір Терезієнштадт, де помер через два тижні у віці 82 років.