Корінь n ого ступеня приклади розв'язування рівнянь. Зауваження щодо порядку дій

Урок та презентація на тему: "Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"

Властивості кореня n-ого ступеня. Теореми

Теорема 1. Корінь n-ого ступеня з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює творукоренів n-ого ступеня цих чисел: $ \ sqrt [n] (a * b) = \ sqrt [n] (a) * \ sqrt [n] (b) $ .

Давайте доведемо теорему.
Доведення. Діти, для доказу теореми давайте введемо нові змінні, позначимо:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$ \ sqrt [n] (b) = z $.
Нам треба довести, що $ x = y * z $.
Зауважимо, що виконуються такі тотожності:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тоді виконується така тотожність: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ступені двох невід'ємних чисел та його показники рівні, тоді й самі підстави ступенів рівні. Значить $x=y*z$, що потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо $а≥0$, $b>0$ та n – натуральне число, яка більша за 1, тоді виконується наступна рівність: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$.

Тобто корінь n-ого ступеня частки дорівнює приватному коріння n-ого ступеня.

Доведення.
Для доказу скористаємось спрощеною схемою у вигляді таблиці:

Приклади обчислення кореня n-ого ступеня

приклад.
Обчислити: $ \ sqrt (7 \ frac (19) (32)) $.
Рішення. Уявимо підкорене виразу вигляді неправильного дробу: $7\frac(19)(32)=frac(7*32+19)(32)=frac(243)(32)$.
Скористаємося теоремою 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) (2) $.

приклад.
Обчислити:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) $.
б) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Рішення:
а) $ \ sqrt (24) * \ sqrt (54) = \ sqrt (24 * 54) = \ sqrt (8 * 3 * 2 * 27) = \ sqrt (16 * 81) = \ sqrt (16) * \ sqrt (81) = 2 * 3 = 6 $.
б) $ frac (sqrt (256)) ( sqrt (4)) = sqrt (frac (256) (4)) = sqrt (64) = 24 $.

Теорема 3. Якщо $a≥0$, k і n – натуральні числа більше 1, то справедлива рівність: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Щоб звести корінь у натуральний ступінь, Досить звести в цей ступінь підкорене вираз.

Доведення.
Давайте розглянемо окремий випадокдля $k=3$. Скористаємося теоремою 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a * a) = \ sqrt [n] (a ^ 3) $.
Також можна довести і для будь-якого іншого випадку. Діти, доведіть самі для випадку, коли $k=4$ і $k=6$.

Теорема 4. Якщо $a≥0$ b n,k – натуральні числа більші 1, то справедлива рівність: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.

Доведення.
Доведемо знову стисло, використовуючи таблицю. Для доказу скористаємось спрощеною схемою у вигляді таблиці:

приклад.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Теорема 5. Якщо показники кореня та підкореного виразу помножити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$.

Доведення.
Принцип доказу нашої теореми такий самий, як і в інших прикладах. Введемо нові змінні:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (за визначенням).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (за визначенням).
Остання рівність зведемо в ступінь p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Отримали:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Тобто $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, що потрібно було довести.

Приклади:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (розділили показники на 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (розділили показники на 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (помножили показники на 3).

приклад.
Виконати дії: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Рішення.
Показники коренів – це різні числатому ми не можемо скористатися теоремою 1, але застосувавши теорему 5, ми можемо отримати рівні показники.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (помножили показники на 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (помножили показники на 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Завдання для самостійного вирішення

зта натуральне число n 2 .

Комплексне число Zназивається коріннямn– c, якщо Z n = c.

Знайдемо всі значення кореня n– ого ступеня з комплексного числа з. Нехай c=| c|·(cos Arg c+ i· sin Argс),а Z = | Z|·(зos Arg Z + i· sin Arg Z) , де Zкорінь n- ого ступеня з комплексного числа з. Тоді має бути = c = | c|·(cos Arg c+ i· sin Argс). Звідси слідує що
і n· Arg Z = Argз
Arg Z =
(k=0,1,…) . Отже, Z =
(cos
+ i· sin
), (k=0,1,…) . Легко побачити, що будь-яке значення
, (k=0,1,…) відрізняється від одного з відповідних значень
,(k = 0,1,…, n-1) на кратне 2π. Тому , (k = 0,1,…, n-1) .

приклад.

Обчислимо корінь з (-1).

, очевидно |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 · (cos π + i· sin π )

, (K = 0, 1).

= i

Ступінь із довільним раціональним показником

Візьмемо довільне комплексне число з. Якщо nнатуральне число, то з n = | c| n · (Зos nArgз +i· sin nArgс)(6). Ця формула вірна і у разі n = 0 (с≠0)
. Нехай n < 0 і n Zі з ≠ 0тоді

з n =
(cos nArgз+i·sin nArgз) = (cos nArgз+ i·sin nArgз) . Таким чином, формула (6) справедлива для будь-яких n.

Візьмемо раціональне число , де qнатуральне число, а рє цілим.

Тоді під ступенем c rбудемо розуміти число
.

Ми отримуємо, що ,

(k = 0, 1, …, q-1). цих значень qштук, якщо дріб не скоротний.

Лекція №3 Межа послідовності комплексних чисел

Комплексно-значна функція натурального аргументуназиваються послідовністю комплексних чисел і позначається (з n ) або з 1 , з 2 , ..., з n . з n = а n + b n · i (n = 1,2, ...) комплексні числа.

з 1 , з 2 , … - Члени послідовності; з n - Загальний член

Комплексне число з = a+ b· iназивається межею послідовності комплексних чисел (c n ) , де з n = а n + b n · i (n = 1, 2, …) , де для будь-кого

, що за всіх n > Nвиконується нерівність
. Послідовність, що має кінцеву межу називається схожійпослідовністю.

Теорема.

Для того, щоб послідовність комплексних чисел (з n ) (з n = а n + b n · i) сходилася до = a+ b· iнеобхідно і достатньо, щоб виконувалася рівністьlim a n = a, lim b n = b.

Доведення.

Ми будемо доводити теорему виходячи з наступної очевидної подвійної нерівності

, де Z = x + y· i (2)

Необхідність.Нехай lim(з n ) = с. Покажемо, що вірні рівності lim a n = aі lim b n = b (3).

Очевидно (4)

Так як
, коли n → ∞ , то з лівої частини нерівності (4) випливає, що
і
, коли n → ∞ . тому виконуються рівність (3). Необхідність доведена.

Достатність.Нехай тепер виконуються рівність (3). З рівності (3) випливає, що
і
, коли n → ∞ тому через праву частину нерівності (4) буде
, коли n→∞ , значить lim(з n )=с. Достатність доведено.

Отже, питання про збіжність послідовності комплексних чисел еквівалентний збіжності двох речових числових послідовностей, тому на послідовності комплексних чисел поширюються всі основні властивості меж речових числових послідовностей.

Наприклад, для послідовностей комплексних чисел справедливий критерій Коші: для того, щоб послідовність комплексних чисел (з n ) сходилася, необхідно і достатньо, щоб для будь-кого

, що за будь-якогоn, m > Nвиконується нерівність
.

Теорема.

Нехай послідовність комплексних чисел (з n ) та (z n ) сходяться відповідно до с іzтоді справедливо рівностіlim(з n z n ) = c z, lim(з n · z n ) = c· z. Якщо відомо, щоzне дорівнює 0, то справедлива рівність
.

Сценарій уроку в 11 класі на тему:

« Корінь n-го ступеняіз дійсного числа. »

Мета уроку:Формування в учнів цілісного ставлення до корені n-ого ступеня та арифметичного корінь n-ого ступеня, формування обчислювальних навичок, навичок свідомого та раціонального використаннявластивостей кореня під час вирішення різних завдань, що містять радикал. Перевірити рівень засвоєння учнями теми.

Предметні:створити змістовні та організаційні умовидля засвоєння матеріалу на тему «Числові та буквені вирази» на рівні сприйняття осмислення та первинного запам'ятовування; формувати вміння застосовувати дані відомості при обчисленні кореня n-го ступеня із дійсного числа;

Метопредметні:сприяти розвитку обчислювальних навичок; вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;

Особистісні:виховувати вміння висловлювати свою думку, слухати відповіді інших, брати участь у діалозі, формувати здатність до позитивного співробітництва.

Запланований результат.

Предметні: вміти в процесі реальної ситуації застосовувати властивості кореня n-го ступеня з дійсного числа при обчисленні коренів, розв'язання рівнянь.

Особистісні: формувати уважність та акуратність у обчисленнях, вимогливе ставлення до себе та до своєї роботи, виховувати почуття взаємодопомоги.

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань

Мотивація до навчальної діяльності:

Східна мудрість каже: «Можна коня привести до води, але не можна змусити його пити». І людину неможливо змусити вчитися добре, якщо вона сама не намагається дізнатися більше, не має бажання працювати над своїм розумовим розвитком. Адже знання лише тоді знання, коли вони набуті зусиллями своєї думки, а чи не однією пам'яттю.

Наш урок пройде під девізом: «Підкоримо будь-яку вершину, якщо будемо до неї прагнути». Нам з вами протягом уроку потрібно встигнути подолати кілька вершин, і кожен із вас має вкласти всі свої зусилля, щоб підкорити ці вершини.

«Сьогодні у нас урок, на якому ми повинні познайомитися з новим поняттям: «Корінь n-го ступеня» та навчитися застосовувати це поняття до перетворення різних виразів.

Ваша мета – на основі різних формроботи активізувати наявні знання, зробити свій внесок у вивчення матеріалу та отримати хороші оцінки»
Корінь квадратний із дійсного числа ми з вами вивчали у 8 класі. Корінь квадратний пов'язаний з функцією виду y=x 2 . Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми обчислювали коріння квадратне, і які в нього були властивості?
а) індивідуальне опитування:

що це за вираз

що називається квадратним коренем

що називається арифметичним квадратним коренем

перерахуйте властивості квадратного кореня

б) робота в парах: обчисліть.

-

2. Актуалізація знань та створення проблемної ситуації:Розв'яжіть рівняння x 4 =1 . Як ми можемо його вирішити? (Аналітично та графічно). Вирішимо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х 4 пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках: А(-1;1) та B(1;1). Абсциси точок А та B, тобто. х 1 = -1,

х 2 = 1, є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х 4 = 16: А тепер спробуємо вирішити рівняння х 4 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Зрозуміло, що рівняння має два корені x 1 і x 2 , причому ці числа, як і двох попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріння було знайдено легко (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не можемо вказати значення коренів, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується лівіше точки -1, а другий - правіше точки 1.

х 2 = - (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Ми говорили про рівняння х 4 = а, де а 0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а де а 0, а n - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь х 1 , який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа х 1 введемо позначення .

Визначення 1. Коренем n-йступеня з невід'ємного числа а (n = 2, 3,4, 5, ...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні до ступеня n дає в результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадок, який ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8-го класу.

Якщо n = 3, то замість «корінь третього ступеня» часто кажуть «корінь кубічний». Перше знайомство із кубічним коренем у вас також відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використали кубічний корінь у курсі алгебри 9-го класу.

Отже, якщо а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Взагалі, = b і b n = а - та сама залежність між неотрицательными числами а і b, але тільки друга описана більш простою мовою(використовує простіші символи), ніж перша.

Операцію знаходження кореня з невід'ємної кількості називають зазвичай вилученням кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. Порівняйте:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це обумовлено у визначенні 1. І хоча, наприклад, (-6) 6 =36 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня, тобто. написати, що не можна. За визначенням - позитивне число, отже = 6 (а чи не -6). Так само, хоч і 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходячи до знаків коріння, ми повинні написати = 2 (і в той же час ≠-2).

Іноді вираз називають радикалом (від латинського словагаdix – «корінь»). У російській термін термінальний використовується досить часто, наприклад, «радикальні зміни» - це означає «корінні зміни». Між іншим, і саме позначення кореня нагадує про слово гаdix: символ – це стилізована літера r.

Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2) 5 = -32 можна переписати в еквівалентній формі =-2. При цьому використовується наступне визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня n із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже, якщо а, n=,5,7,…, то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким чином, корінь парного ступеня має сенс (тобто визначено) тільки для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарної міри має сенс будь-якого підкореного висловлювання.

5. Первинне закріплення знань:

1. Обчислити: №№33.5; 33.6; 33.74 33.8 усно а); б); в); г).

г) На відміну від попередніх прикладів, ми не можемо вказати точне значенняЧисла Ясно лише, що воно більше, ніж 2, але менше, ніж 3, оскільки 24 = 16 (це менше, ніж 17), а З 4 = 81 (це більше, ніж 17). Помічаємо, що 24 набагато ближче до 17, ніж З4, тому є підстави використовувати знак наближеної рівності:
2. Знайти значення наступних виразів.

Поставити біля прикладу відповідну букву.

Невелика інформація про великого вченого. Рене Декарт (1596-1650) французький дворянин, математик, філософ, фізіолог, мислитель. Рене Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів літерні позначення x 2, y 3 . Всім відомі декартові координати, Що визначають функцію змінної величини.

3 . Розв'язати рівняння: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Рішення:а) Якщо = –2, то y = –8. Фактично обидві частини заданого рівняннями маємо звести в куб. Отримаємо: 3х +4 = - 8; 3х = -12; х = -4. б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо: х = 1.

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
До вашої уваги запропоновано кілька завдань. Коли ви виконаєте ці завдання, ви дізнаєтесь ім'я та прізвище великого вченого-математика. Цей учений у 1637 р. першим увів знак кореня.

6. Давайте трохи відпочинемо.

Піднімає руки клас – це «раз».

Повернулася голова – це два.

Руки вниз, вперед дивись – це три.

Руки в сторони ширше розгорнули на «чотири»,

Із силою їх до рук притиснути – це «п'ять».

Всім хлопцям треба сісти - це "шість".

7. Самостійна робота:

варіант: 2 варіант:

б) 3-. б) 12-6.

2. Розв'яжіть рівняння: а) х 4 = -16; б) 0,02 х 6 -1,28 = 0; а) х 8 = -3; б) 0,3 х 9 - 2,4 = 0;

в) = -2; в) = 2

8. Повторення:Знайдіть корінь рівняння = - х. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповідь впишіть менший з коренів.

9. Рефлексія:Чого ви навчилися на уроці? Що було цікаво? Що було важким?

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальним поняття кореня, визначивши корінь n-ого ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний коріньіз нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обґрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь"відокремлюється" від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що мова йдесаме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь із нуля дорівнює нулю, тобто, . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, оскільки ліва його частина є позитивним числом будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 b c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише для невід'ємних чисел a, але зручно також використовувати записи, в яких під знаком арифметичного кубічного кореня знаходяться негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в спільній статтівластивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З даного визначенняВідомо, що корінь першого ступеня з числа a є саме число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показникомми прийняли a 1 = a.

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a та b обидва позитивні або обидва негативні їх твір є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що знаходиться в дужках самої високого ступенявкладеності є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичне коріння n-ого ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.

Відеоурок 2: Властивості кореня ступеня n > 1

Лекція: Корінь ступеня n > 1 та його властивості

Корінь

Припустимо, Ви маєте рівняння виду:

Розв'язанням даного рівняння буде х 1 = 2 та х 2 = (-2). Як відповідь підходять обидва рішення, оскільки числа з рівними модулямипри зведенні в парний ступіньдають однаковий результат.

Це був простий приклад, однак, що ми можемо зробити, якщо, наприклад,

Давайте спробуємо побудувати графік функції y=x 2 . Її графіком є ​​парабола:

На графіку необхідно знайти точки, яким відповідає значення у = 3. Даними точками є:

Це означає, що дане значенняне можна назвати цілим числом, але можна уявити у вигляді кореня квадратного.

Будь-який корінь - це ірраціональне число. До ірраціональним числамвідносяться коріння, неперіодичні нескінченні дроби.

Квадратний корінь- це невід'ємне число "а", підкорене вираз якого дорівнює даному числу"а" у квадраті.

Наприклад,

Тобто в результаті ми отримаємо тільки позитивне значення. Однак як рішення квадратного рівняннявиду

Рішенням буде х 1 = 4, х 2 = (-4).

Властивості квадратного кореня

1. Яке б значення не приймала величина x, цей вираз вірно в будь-якому випадку:

2. Порівняння чисел, що містять квадратний корінь. Щоб порівняти ці числа, необхідно і одне, і друге число внести під знак кореня. Число буде більше, чиє підкорене вираз більше.

Вносимо число 2 під знак кореня

А тепер внесемо число 4 під знак кореня. В результаті цього отримаємо

І тільки тепер два отримані вирази можна порівняти:

3. Винесення множника з-під кореня.

Якщо підкорене вираз може розкластися на два множники, один з яких можна винести з-під знаку кореня, то необхідно користуватися цим правилом.

4. Існує властивість, протилежна цьому - внесення множника під корінь. Цією властивістю ми свідомо скористалися у другій властивості.