Коріння рівняння четвертого ступеня. Рівняння четвертого ступеня

2. Рівняння Якщо рівність входить буква, то рівність називається рівнянням.
Рівняння може бути вірним за одних значень цієї літери
і невірним за інших її значень.

Наприклад, рівняння x + 6 = 7
правильно при x = 1
і неправильно за x = 2 .

3. Рівносильні рівняння Лінійне рівняння має вигляд ax+by+c=0.
Наприклад: 5x - 4y + 6 = 0 .
Виразимо y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

⇒ y = 1,25x + 1,5.
Отримане рівняння, рівносильне першому, має вигляд
y = kx + m,
де: x – незалежна змінна (аргумент);
y - залежна змінна (функція);
k і m – коефіцієнти (параметри).

4 Еквівалентні рівняння

Два рівняння і називаються рівносильними (еквівалентними), якщо збігаються безлічі всіх їх рішень або обидва вони не мають рішень і позначають.

5/Рівняння першого ступеня.

Рівняння першого ступеня можна привести до вигляду:

ax + b = 0,

де x- Змінна, aі b- Деякі числа, причому a ≠ 0.

Звідси легко вивести значення x:

b
x = - -
a

Це значення xє коренем рівняння.

Рівняння першого ступеня мають один корінь.

Рівняння другого ступеня.

Рівняння другого ступеня можна привести до вигляду:

ax 2 + bx + c = 0,

де x- Змінна, a, b, c- Деякі числа, причому a ≠ 0.

Число коренів рівняння другого ступеня залежить від дискримінанта:

Якщо D > 0, то рівняння має два корені;

Якщо D = 0, то рівняння має один корінь;

Якщо D< 0, то уравнение корней не имеет.

Рівняння другого ступеня може мати трохи більше двох коренів.

(про те, що таке дискримінант і як знаходити коріння рівняння, див. розділи «Формули коренів квадратного рівняння. Дискримінант» та «Інший спосіб розв'язання квадратного рівняння»).

Рівняння третього ступеня.

Рівняння третього ступеня можна привести до вигляду:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

де x- Змінна, a, b, c, d- Деякі числа, причому a ≠ 0.

Рівняння третього ступеня може мати трохи більше трьох коренів.

Рівняння четвертого ступеня.

Рівняння четвертого ступеня можна привести до вигляду:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

де x- Змінна, a, b, c, d, e- Деякі числа, причому a ≠ 0.

Рівняння третього ступеня може мати трохи більше чотирьох коренів.

Узагальнення:

1) рівняння п'ятої, шостої тощо. ступенів можна легко вивести самостійно, дотримуючись наведеної вище схеми;

2) рівняння n-й ступеня може мати не більше nкоріння.

6/Рівнянням з однією змінною, називається рівність, що містить тільки одну змінну. Коренем (або рішенням) рівняння називається таке значення змінної, при якому рівняння перетворюється на вірну числову рівність.

1. 8/-11/Системи лінійних рівнянь: основні поняттяСистема лінійних рівнянь.

Несумісна та невизначена системи лінійних рівнянь. Сукупність лінійних рівнянь. Спільна та несумісна сукупність лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь- це об'єднання з nлінійних рівнянь, кожне з яких містить kзмінних. Записується це так:

Багато хто, вперше зіштовхуючись із вищою алгеброю, помилково вважають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю змінних. У шкільній алгебрі так зазвичай і буває, проте для вищої алгебрице, взагалі кажучи, не так.

Розв'язання системи рівнянь- це послідовність чисел ( k 1 , k 2 , ..., k n), що рішенням кожного рівняння системи, тобто. при підстановці до цього рівняння замість змінних x 1 , x 2 , ..., x nдає правильну числову рівність.

Відповідно, вирішити систему рівнянь - значить знайти безліч її рішень або довести, що це безліч порожньо. Оскільки кількість рівнянь та кількість невідомих може не збігатися, можливі три випадки:

1. Система несумісна, тобто. множина всіх рішень порожня. Досить рідкісний випадок, який легко можна знайти незалежно від цього, яким методом вирішувати систему.

2. Система спільна та визначена, тобто. має одно рішення. Класичний варіант добре відомий ще зі шкільної лави.

3. Система спільна і визначено, тобто. має безліч рішень. Це найжорсткіший варіант. Недостатньо вказати, що «система має нескінченна безлічрішень» - треба описати, як влаштована ця множина.

Змінна x iназивається дозволеноюякщо вона входить тільки в одне рівняння системи, причому з коефіцієнтом 1. Іншими словами, в інших рівняннях коефіцієнт при змінній x iповинен дорівнювати нулю.

Якщо в кожному рівнянні вибрати одну дозволену змінну, отримаємо набір дозволених змінних для всієї системи рівнянь. Сама система, записана в такому вигляді, теж називатиметься дозволеною. Взагалі кажучи, ту саму вихідну систему можна звести до різних дозволених, проте зараз нас це не хвилює. Ось приклади дозволених систем:

Обидві системи є дозволеними щодо змінних x 1 , x 3 та x 4 . Втім, з тим самим успіхом можна стверджувати, що друга система - дозволена щодо x 1 , x 3 та x 5 . Достатньо переписати останнє рівняння у вигляді x 5 = x 4 .

Тепер розглянемо більше загальний випадок. Нехай у нас kзмінних, з яких rє дозволеними. Тоді можливі два випадки:

1. Число дозволених змінних rдорівнює загальному числу змінних k: r = k. Отримуємо систему з kрівнянь, у яких r = kдозволених змінних. Така система є спільною та певною, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Число дозволених змінних rменше загальної кількостізмінних k: r < k. Інші ( k − r) змінних називаються вільними - вони можуть набувати будь-яких значень, з яких легко обчислюються дозволені змінні.

Так, у наведених вище системах змінні x 2 , x 5 , x 6 (для першої системи) та x 2 , x 5 (для другої) є вільними. Випадок, коли є вільні змінні, краще сформулювати як теореми:

Зверніть увагу: це дуже важливий момент! Залежно від того, як ви запишете підсумкову систему, та сама змінна може бути як дозволеної, і вільної. Більшість репетиторів з вищої математикирекомендують виписувати змінні лексикографічному порядку, тобто. за зростанням індексу. Однак ви зовсім не зобов'язані дотримуватися цієї поради.

Теорема. Якщо в системі з nрівнянь змінні x 1 , x 2 , ..., x r- дозволені, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- вільні, то:

1. Якщо встановити значення вільним змінним ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k), а потім знайти значення x 1 , x 2 , ..., x r, Отримаємо одне з рішень.

2. Якщо двох рішеннях значення вільних змінних збігаються, то значення дозволених змінних теж збігаються, тобто. рішення рівні.

У чому сенс цієї теореми? Щоб отримати всі рішення дозволеної системи рівнянь, достатньо виділити вільні змінні. Потім, присвоюючи вільним змінним різні значення, отримуватимемо готові рішення. Ось і все – таким чином можна отримати всі рішення системи. Інших рішень немає.

Висновок: дозволена система рівнянь завжди спільна. Якщо кількість рівнянь у дозволеній системі дорівнює кількості змінних, система буде певною, якщо менше - невизначеною.

Декілька рівнянь утворюють Сукупність рівнянь

2. 12,13/ Лінійна нерівність./ Суворі та нестрогі нерівності Що таке нерівність?Береться будь-яке рівняння, знак = = (рівно) замінюється на інший значок ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) і виходить нерівність.) Рівняння може бути будь-яким: лінійним, квадратним,дрібним, показовим, тригонометричним, логарифмічним, і т.д. і т.п. Відповідно, і нерівності у нас вийдуть лінійні, квадратні, тощо.

Що потрібно знати про значки нерівностей? Нерівності зі значком більше (> ), або менше (< ) називаються суворими.Зі значками більше або дорівнює (≥ ), менше або дорівнює (≤ ) називаються несуворими.Значок не дорівнює (≠ ) стоїть окремо, але вирішувати приклади з таким значком теж доводиться постійно. І ми вирішуємо.)

Сам значок не надає особливого впливуна процес розв'язання. А ось наприкінці рішення, при виборі остаточної відповіді, сенс значка проявляється у повну силу! Що ми побачимо нижче, на прикладах. Є там свої приколи.

Нерівності, як і рівності, бувають вірні та невірні.Тут просто, без фокусів. Скажімо, 5 > 2 - правильна нерівність. 5 < 2 – неправильне.

Лінійні, квадратні, дробові, показові, тригонометричні та інші нерівності вирішуються по-різному. На кожен вид – свій спосіб, свій спеціальний прийом. Але! Всі ці спеціальні прийоми можна застосовувати лише до якогось стандартного виду нерівності.Тобто. нерівність будь-якого виду потрібно спочатку підготуватидо застосування власного методу.

3. 14,16/Основні властивості нерівностей/. Події з двома нерівностями.

1) Якщо

2) Властивість транзитивності. Якщо

3) Якщо до обох частин правильної нерівності додати те саме число, то вийде правильне нерівність, тобто. якщо

4) Якщо з однієї частини правильної нерівності перенести на іншу якесь доданок, змінивши його знак на протилежний, то вийде правильне нерівність, тобто. якщо

5) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на те саме додатне число, то вийде правильна нерівність. Наприклад, якщо

6) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на те саме від'ємне числоі змінити знак нерівностіна протилежний, то вийде правильна нерівність. Наприклад, якщо

7) Аналогічно правилам 5) і 6) діють правила для розподілу на те саме число. Якщо

Рівняння - це рівність, яка виконується лише при деяких значеннях літер, що входять до нього. Літери, що входять до рівняння, за умовою завдання можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення(їх називають параметрами чи коефіцієнтами рівняння); інші, значення яких потрібно знайти, називають невідомими.

Залежно від числа невідомих рівнянняназивають рівнянням з одним, двома і т. д. невідомими.

Значення невідомих, які обертають рівняння у тотожність, називають рішеннями рівняння.

Вирішити рівняння - це означає знайти множину його рішень або довести, що рішень немає. Залежно від виду рівняння безліч розв'язків рівняння може бути нескінченним, кінцевим і порожнім.

Значення невідомого х, що обертають рівняння алгебри в тотожність, називаються корінням (рідше рішеннями) рівняння алгебри.

Так ось, Головна задачапри вирішенні будь-якого рівняння – звести його до найпростіших.

Визначення 1.

Рівняння f(x)=ф(x) де функції f і ф задані цілими раціональними виразами, називають цілим раціональним рівнянням. ОДЗ цього рівняння – безліч усіх дійсних чисел.

Відомо що алгебраїчна сумаі добуток багаточленів є багаточлен, тому за допомогою тотожних перетворенькожне ціле раціональний виразможна уявити як многочлена і, отже, перейти від рівняння до рівносильного рівняння

Р(х)=Q(х), де Р(х) і Q(х) - деякі багаточлени з однією змінною х.

Переносячи Q(х) у рівнянні ліву частину, отримаємо рівносильне рівнянняР(х)-Q(х)=0, де у лівій частині многочлен, а правої частини 0. Ступінь многочлена, що стоїть у лівій частині рівняння, називають ступенем цілого раціонального рівняння.

Так, якщо в рівнянні розкрити дужки, перенести всі члени в ліву частину і навести подібні, то отримаємо рівносильне рівняння.

Визначення 2.

Цілим раціональним рівнянням ступеня n стандартного виглядуназивають рівняння a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 де а0!=0.

Як показано вище, будь-яке ціле раціональне рівнянняможна привести до рівносильного рівняння стандартного виду.

У разі коли a0=1, рівняння має вигляд: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, його називають наведеним цілим раціональним рівнянням ступеня n.

Наприклад, x2+ px+q=0 - наведене квадратне рівняння.

З визначення 2 випливає, що рішення цілого раціонального рівняння зводиться до знаходження коріння багаточлена, що стоїть у лівій частині рівняння.

Існують формули обчислення коренів і для рівнянь третього та четвертого ступенів. Однак ці формули настільки складні, що вони практично не користуються. Для рівнянь п'ятого ступеня та вище не існує загальних формулобчислення коренів. Тому в сучасної математикирозроблені різні методи, що дозволяють знаходити з будь-яким ступенем точності наближені значення коренів рівнянь.

1. 2. Основні методи вирішення цілих раціональних рівнянь

Процес вирішення рівнянь полягає у відомості даного рівняннядо лінійних чи квадратних рівнянь. Для цього застосовують два основних методи: 1) розкладання на множники та 2) введення нової змінної.

1. 2. 1. Метод розкладання на множники

Теорема 1. Рівняння fxxфx=0, визначене на всій числовій осі, рівносильне сукупності рівнянь f(x)=0 та ф(x)=0.

Теорема 2. Якщо ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі коріння, вони є дільниками вільного члена цього рівняння.

Теорема 3. Якщо рівняння a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь x0 = pq, де pq - нескоротний дріб, p - дільник вільного члена an, а q - дільник старшого коефіцієнта a0.

1. 2. 2. Введення нової змінної

Мабуть, самим важливим методомрозв'язання рівнянь будь-якого типу є введення нового невідомого, щодо якого рівняння має більш простий вигляд, що легко приводиться до елементарного типу.

Перерахуємо типи замін, що найчастіше зустрічаються.

Заміна y = x n (ступенева заміна)

Зокрема, за допомогою заміни y = x2 так зване біквадратне рівняння ax 4 + bx 2 + c = 0, a! = 0 приводиться до квадратного.

Заміна y=Pn(x) або y=√Pn(x) (заміна багаточлена)

Найчастіше зустрічається заміна y=ax2+bx+c або y=ax2+bx+c

Заміна y = Pn (x) Qm (x) (дрібно-раціональна заміна). Тут, як і завжди, Pn(x) та Qm(x) – багаточлени ступенів n та m відповідно.

Зокрема, за допомогою широко поширеної заміни y = x + 1x вирішуються так звані поворотні рівняння, тобто рівняння виду ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a! = 0.

Покажемо, як це робиться. Оскільки a != 0, число x = 0 перестав бути коренем цього рівняння. Розділимо рівняння на x 2! = 0, отримаємо

Оскільки x2+1x2=(x+1x)2-2, то після заміни y=x+1x рівняння зводиться до квадратного ay2+by+c-2a=0.

Дамо дві практичні поради.

Порада 1. Заміну змінних потрібно робити відразу, за першої можливості.

Порада 2. Рівняння щодо нової змінної потрібно вирішувати до кінця і лише потім повертатися до старого невідомого

Глава 2: Практична частина

Методи вирішення одного рівняння

Для вирішення рівняння кількома способами виберемо рівняння x4+x3-4x2+x+1=0

І метод: невизначених коефіцієнтів.

Якщо є цілі коріння, то вони є дільниками вільного члена: x = + -1. Підбором переконуємось, що x=1 є рішенням рівняння. Ділимо куточком багаточлен x4+x3-4x2+x+1 на двочлен x-1.

x + x - 4 · x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2 · x - 2 x - 1

2x - 4 · x + x + 1

2∙ x + x + 1

Якщо є цілі коріння, то вони є дільниками вільного члена: x = + -1. Підбором переконуємось, що x=1 є рішенням рівняння. Ділимо куточком багаточлен x3+2x2-2x-1 на двочлен x-1.

x + 2 · x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3 · x + 1

3x - 3 · x x - 1 x - 1

Залишилося розв'язати квадратне рівняння x2+3x+1=0

D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52

Відповідь: x = 1; x=-3+-52

ІІ метод: розкладання на множники.

Розпишемо 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0

(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x- 12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0

Відповідь: x = 1; x=-3+-52

ІІІ метод: як зворотне рівняння.

Дивимося, що коефіцієнти симетричні, отже це поворотне рівняння. Перевіркою можна переконатися, що x = 0 не є коренем рівняння, отже рівняння можна почленно розділити на x2.

x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0

Робимо заміну змінної: t = x + 1x t2 = x + 1x2 = x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2 = t2-2

Тоді рівняння перепишеться у вигляді: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.

Переходимо назад до змінної x.

x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1

Відповідь: x = 1; x=-3+-52

ІV метод: графічний.

Перепишемо рівняння у вигляді: x4-4x2=-x3-x-1

Побудуємо одному кресленні два графіка функций: у=x4-4x2; у=-x3-x-1

Побудуємо першу функцію, використовуючи методи математичного аналізу: у = x4-4x2 у = x4-4x2; у=-x3-x-1 у"=4x3-8x=2x(x2-2) у"=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x=+-2.

Додаткові точки: x

Побудуємо другу функцію, використовуючи методи математичного аналізу: у=-x3-x-1 у"=-3x2-1

Додаткові точки: x

Видно 3 точки перетину, але точне значенняможна визначити лише в однієї з них, це недолік графічного рішення, і навіть його недолік - протяжність у часі.

V метод: загальний аналітичний методрішення алгебраїчних рівняньчетвертого ступеня (відповідно до теореми Вієта вищих ступенів)

Рівняння:

(1) має чотири корені

Відомо що:

Шляхом простих алгебраїчних перетвореньіз співвідношень (2), (3), (4) отримуємо:

Складаємо квадратне рівняння:

Використовуючи ф-ли (5), (6), (7) та позначаючи перепишемо рівняння (8) у вигляді:

Вирішуючи рівняння (8) отримуємо:

Таким чином, використовуючи ф-ли (9), (10) отримуємо:

Враховуючи, що перепишемо формулу (7) у вигляді:

Підставляючи у формулу (12) у формулу (11) отримуємо

Шляхом простих алгебраїчних перетворень із ф-ли (13) отримуємо кубічне рівняннящодо змінної А:

Таким чином, рішення рівняння четвертого ступеня (1) зводиться до розв'язання кубічного рівняння (14), де і двох квадратних рівнянь:

Використовуючи ф-ли (9), (10) та враховуючи, що перепишемо ф-ли (15), (16) у вигляді:

Повне рівняння четвертого ступеня зводиться до рівняння (1) шляхом заміни змінної змінну.

Отже, розв'яжемо рівняння x4+x3-4x2+x+1=0.

Зробимо заміну:

Тоді рівняння перепишеться як у4-198у2+258у+125256=0.

Тоді треба розв'язати рівняння:

А також рівняння

Вже на даному етапі видно, що цей спосіб дуже важкий і рішення рівняння (*) нас призводить до перших трьох способів вирішення, тобто ми робимо роботу двічі. Але позитивно в цьому способі те, що він універсальний, тобто підходить до безлічі рівнянь.

VI метод: за формулою Феррарі

Феррарі знаходить спосіб розв'язання рівняння 4-го ступеня.

Нехай ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - загальне рівняння 4-го ступеня.

Якщо покласти x=y-ba, то рівняння (1) можна привести до вигляду y4+2py2+2qy+r=0 , (2) де p,q,r - деякі коефіцієнти, що залежать від a,b,c,d, e. Легко бачити, що це рівняння можна записати у такому вигляді:

(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)

Справді, достатньо розкрити дужки, тоді всі члени, що містять t, взаємно знищується, і ми повернемось до рівняння (2). Виберемо параметр t так, щоб права частинарівняння (3) була повним квадратомщодо y. Як відомо, необхідним і достатньою умовоюцього є звернення до нуля дискримінанта з коефіцієнтів тричлена (щодо y), що стоїть праворуч: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)

Здобули повне кубічне рівняння, яке ми вже можемо вирішити. Знайдемо якийсь його корінь і внесемо його в рівняння (3), тепер набуде вигляду

(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.

Звідси y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.

Це квадратне рівняння. Вирішуючи його, можна знайти корінь рівняння (2), а отже, і (1).

Отже, спробуємо вирішити: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba=y -14 y-144+y-143-4y-142+1=0

(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+ 116

Вже цьому етапі видно, цей спосіб дуже важкий і розв'язання рівняння (*). Його можна використовувати, але він дуже енергоємний. Зате так само, як і формула Вієта, формула Феррарі універсальна для будь-яких рівнянь четвертого ступеня.

Висновок

Одне рівняння можна розв'язати кількома методами. Залежно від прикладу знаходження методів рішення по-різному. Для кожного рівняння є свій оптимальний спосібрішення.

Даний приклад ми вирішили 6 методами. З них мені більше подобається метод розкладання на множники, тому що він коротший і менш трудомісткий.

Для вирішення саме цього рівняння найоптимальніший спосіб вирішити як зворотне рівняння. Але цей метод застосовується не завжди, тому що він не універсальний і не завжди підходить.

Метод невизначених коефіцієнтів також зручний у цьому випадку, але не всі рівняння мають ціле коріння, тому оптимальний у певних випадках.

Графічний спосіб розв'язання рівнянь є енергоємним і не дає точних відповідей. Цей спосіб зручний для вирішення завдань, де необхідно дізнатися скільки коренів має рівняння, а не які.

Теорема Вієта для рівнянь вищих ступенів є універсальним методом. Але його рідко використовують, оскільки він трудомісткий.

Для рівнянь універсальний метод Ferrari. Але для цього випадку він надто енергоємний.

Моя робота значуща для учнів старших класів, які мають зустрітися з подібними завданнямина Єдиному державний іспитабо на вступних іспитіву ВНЗ.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Для початку необхідно шляхом вибору знайти один корінь. Зазвичай він є дільником вільного члена. У даному випадкудільниками числа 12 є ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.Почнемо їх підставляти по черзі:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 є коренем багаточлена

Ми знайшли один з коренів багаточлена. Коренем багаточлена є 2, отже вихідний многочлен повинен ділитися на x - 2. Для того, щоб виконати поділ багаточленів, скористаємося схемою Горнера:

У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена. У першому осередку другого рядка ставиться знайдений нами корінь 2. У другому рядку пишуться коефіцієнти багаточлена, який вийде внаслідок розподілу. Вони вважаються так:

Останнє число - це залишок від розподілу. Якщо він дорівнює 0, то ми всі правильно порахували.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Але це ще не кінець. Можна спробувати розкласти таким же способом багаточлен 2x3+9x2+7x-6.

Знову шукаємо коріння серед дільників вільного члена. Дільниками числа -6 є ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не є коренем багаточлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не є коренем багаточлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 є коренем багаточлена

Напишемо знайдений корінь у нашу схему Горнера і почнемо заповнювати порожні осередки:

Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на множники:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Багаточлен 2x 2 + 5x - 3також можна розкласти на множники. Для цього можна вирішити квадратне рівняння через дискримінант, а можна пошукати корінь серед дільників числа -3. Так чи інакше, ми дійдемо висновку, що корінням цього багаточлена є число -3

Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на лінійні множники:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

А корінням рівняння є.