Хвильова функція та її властивості. §4 Хвильова функція та її фізичний сенс

Експериментальне підтвердженняідеї Луї де Бройля про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму, обмеженість застосування класичної механікидо мікрооб'єктів, що диктується співвідношенням невизначеностей, а також протиріччя низки експериментів із застосовуваними на початку XX століття теоріями призвели до нового етапу розвитку квантової фізики- Створенню квантової механіки, що описує закони руху та взаємодії мікрочастинок з урахуванням їх хвильових властивостей Її створення та розвиток охоплює період з 1900 р. (формулювання Планком квантової гіпотези) до 20-х років XX століття та пов'язане, перш за все, з роботами австрійського фізика Е. Шредінгера, німецького фізика В. Гейзенберга та англійського фізика П. Дірака.

Необхідність імовірнісного підходудо опису мікрочастинок є найважливішою відмінною особливістюквантової теорії. Чи можна хвилі де Бройля тлумачити як хвилі ймовірності, тобто. вважати, що ймовірність виявити мікрочастинку в різних точкахпростору змінюється за хвильовим законом? Таке тлумачення хвиль де Бройля вже неправильне, хоча б тому, що тоді ймовірність виявити частинку в деяких точках простору може бути негативною, що не має сенсу.

Щоб усунути ці труднощі, німецький фізик М. Борн у 1926 р. припустив, що за хвильовим законом змінюється не сама ймовірність,а величина,названа амплітудою ймовірності і позначається. Цю величину називають також хвильовою функцією (або-функцією). Амплітуда ймовірності може бути комплексною, і ймовірність Wпропорційна квадрату її модуля:

(4.3.1)

де , Де - Функція комплексно-пов'язана з Ψ.

Таким чином, опис стану мікрооб'єкта за допомогою хвильової функції має статистичний, імовірніснийхарактер: квадрат модуля хвильової функції (квадрат модуля амплітуди хвилі де Бройля) визначає ймовірність знаходження частки в момент часу в області з координатами xі d x, yі d y, zі d z.

Отже, у квантовій механіці стан частки описується принципово по-новому – за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформації про їх корпускулярні та хвильові

Величина (квадрат модуля Ψ-функції) має сенс щільності ймовірності , тобто. визначає ймовірність знаходження частки в одиниці об'єму в околиці точки,має координатиx, y, z. Таким чином, фізичний сенс має не сама Ψ-функція, а квадрат її модуля, яким визначається інтенсивність хвиль де Бройля .

Імовірність знайти частинку в момент часу tу кінцевому обсязі V, згідно з теоремою про складання ймовірностей, дорівнює:

.

Т.к. визначається як ймовірність, необхідно хвильову функцію Ψ представити так, щоб ймовірність достовірної події зверталася в одиницю, якщо за обсяг Vприйняти нескінченний обсяг всього простору. Це означає, що при даній умовічастка повинна бути десь у просторі. Отже, умова нормування ймовірностей:

де цей інтеграл обчислюється у всьому нескінченному простору, тобто. за координатами x, y, zвід до . Таким чином, умова нормування говорить про об'єктивне існування частки у часі та просторі.

Щоб хвильова функція була об'єктивною характеристикою стану мікрочастинки, вона повинна задовольняти низку обмежувальних умов. Функція Ψ, що характеризує ймовірність виявлення мікрочастинки в елементі об'єму, має бути:

· Кінцевою (імовірність не може бути більше одиниці);

· Однозначною (ймовірність не може бути неоднозначною величиною);

· Безперервний (ймовірність не може змінюватися стрибком).

Хвильова функціязадовольняє принцип суперпозиції: якщо система може перебувати в різних станах, що описуються хвильовими функціями , , … , то вона може перебувати в стані, що описується лінійною комбінацією цих функцій:

де ( n= 1, 2, 3 ...) - Довільні, взагалі кажучи, комплексні числа.

Складання хвильових функцій(амплітуд ймовірностей, що визначаються квадратами модулів хвильових функцій) принципово відрізняє квантову теоріювід класичної статистичної теорії , в якій для незалежних подійсправедлива теорема складання ймовірностей.

Хвильова функціяΨ є основною характеристикою стану мікрооб'єктів. Наприклад, середня відстань електрона від ядра обчислюється за формулою

,

У цій статті описується хвильова функція та її фізичний зміст. Також розглядається застосування цього поняття у рамках рівняння Шредінгера.

Наука на порозі відкриття квантової фізики

Наприкінці дев'ятнадцятого століття молоді люди, які хотіли пов'язати своє життя з наукою, відмовляли ставати фізиками. Існувала думка, що всі явища вже відкриті і великих проривів у цій галузі вже не може бути. Зараз, незважаючи на повноту знань людства, подібним чином говорити ніхто не наважиться. Тому що так буває часто: явище або ефект передбачені теоретично, але людям не вистачає технічної та технологічної сили, щоб довести чи спростувати їх. Наприклад, Ейнштейн передбачив понад сто років тому, але довести їхнє існування стало можливим лише рік тому. Це стосується і світу (а саме до них застосовується таке поняття, як хвильова функція): поки вчені не зрозуміли, що будова атома складна, вони не мали необхідності вивчати поведінку таких маленьких об'єктів.

Спектри та фотографія

Поштовхом до розвитку квантової фізики став розвиток техніки фотографії. До початку ХХ століття зйомка зображень була справою громіздкою, довгою і дорогою: фотоапарат важив десятки кілограмів, а моделям доводилося стояти по півгодини в одній позі. До того ж найменша помилкапри поводженні з тендітними скляними пластинами, покритими світлочутливою емульсією, призводила до незворотної втрати інформації. Але поступово апарати ставали дедалі легшими, витримка - дедалі менше, а отримання відбитків - дедалі досконаліше. І нарешті, стало можливо отримати спектр різних речовин. Питання та невідповідності, які виникали в перших теоріях про природу спектрів, і породили цілу нову науку. Основою для математичного описуповедінки мікросвіту стали хвильова функція частинки та її рівняння Шредінгера.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм

Після визначення будови атома постало питання: чому електрон не падає на ядро? Адже, згідно з рівняннями Максвелла, будь-яка заряджена частка, що рухається, випромінює, отже, втрачає енергію. Якби це було так для електронів у ядрі, відомий нам всесвіт проіснував би недовго. Нагадаємо, нашою метою є хвильова функція та її статистичний зміст.

На допомогу прийшла геніальна гіпотеза вчених: елементарні частки одночасно і хвилі, і частки (корпускули). Їхніми властивостями є і маса з імпульсом, і довжина хвилі з частотою. Крім того, завдяки наявності двох раніше несумісних властивостей елементарні частинки набули нових характеристик.

Однією з них є важко уявний спин. У світі більше дрібних частинок, кварків, цих властивостей настільки багато, що їм дають зовсім неймовірні назви: аромат, колір. Якщо читач зустріне їх у книзі з квантової механіки, нехай пам'ятає: вони зовсім не те, чим здаються на перший погляд. Однак як же описати поведінку такої системи, де всі елементи мають дивний набір властивостей? Відповідь – у наступному розділі.

Рівняння Шредінгера

Знайти стан, в якому знаходиться елементарна частка (а в узагальненому вигляді і квантова система), дозволяє рівняння:

i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.

Позначення у цьому співвідношенні такі:

• ħ=h/2 π, де h - постійна Планка.
• Ĥ - Гамільтоніан, оператор повної енергії системи.

Змінюючи координати, в яких вирішується ця функція, та умови відповідно до типу частки та поля, в якому вона знаходиться, можна отримати закон поведінки системи, що розглядається.

Поняття квантової фізики

Нехай читач не спокушається простотою використаних термінів. Такі слова та висловлювання, як «оператор», «повна енергія», «елементарний осередок», - це фізичні терміни. Їхні значення варто уточнювати окремо, причому краще використовувати підручники. Далі ми дамо опис та вид хвильової функції, але ця стаття має оглядовий характер. Для глибшого розуміння цього поняття необхідно вивчити математичний апаратна певному рівні.

Хвильова функція

Її математичний вираз має вигляд

|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.

Хвильова функція електрона або будь-якої іншої елементарної частки завжди описується грецькою літероюΨ, тому іноді її ще називають псі-функцією.

Для початку треба зрозуміти, що функція залежить від усіх координат та часу. Тобто Ψ(x, t) - це фактично Ψ(x 1 x 2 … x n t). Важливе зауваження, оскільки координат залежить рішення рівняння Шредингера.

Далі потрібно пояснити, що під |мається на увазі базовий вектор обраної системи координат. Тобто залежно від того, що саме треба отримати, імпульс чи ймовірність |x> матиме вигляд | x 1 x 2 … x n >. Очевидно, що n також залежатиме від мінімального векторного базисуобраної системи. Тобто у звичайному тривимірному просторі n=3. Для недосвідченого читача пояснимо, що всі ці значки біля показника x - це не просто забаганка, а конкретне математична дія. Зрозуміти його без найскладніших математичних викладок не вдасться, тому ми щиро сподіваємося, що ті, хто цікавиться, самі з'ясують його сенс.

І, нарешті, необхідно пояснити, що Ψ(x, t)= .

Фізична сутність хвильової функції

Незважаючи на базове значенняцієї величини, вона сама не має на підставі явища чи поняття. Фізичний зміст хвильової функції полягає у квадраті її повного модуля. Формула виглядає так:

|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,

де має значення щільності ймовірності. У разі дискретних спектрів (а не безперервних) ця величина набуває значення просто ймовірності.

Наслідок фізичного сенсу хвильової функції

Такий фізичний сенс має далекосяжні наслідки для всього квантового світу. Як стає зрозуміло зі значення величини ω, всі стани елементарних частинок набувають імовірнісного відтінку. Самий наочний приклад- це просторовий розподілелектронних хмар на орбіталі навколо атомного ядра.

Візьмемо два види гібридизації електронів в атомах з найбільш простими формамихмар: s та p. Хмари першого типу мають форму кулі. Але якщо читач пам'ятає з підручників з фізики, ці електронні хмари завжди зображуються як розпливчасте скупчення точок, а не як гладка сфера. Це означає, що на певній відстані від ядра є зона з найбільшою ймовірністю зустріти s-електрон. Однак трохи ближче і трохи далі ця ймовірність не нульова, просто менша. При цьому для p-електронів форма електронної хмари зображується у вигляді дещо розпливчастої гантелі. Тобто існує досить складна поверхня, на якій можливість знайти електрон найвища. Але й поблизу цієї «гантелі» як далі, так і ближче до ядра така ймовірність не дорівнює нулю.

Нормування хвильової функції

З останнього випливає необхідність нормувати хвильову функцію. Під нормуванням мається на увазі таке «припасування» деяких параметрів, при якій вірне деяке співвідношення. Якщо розглядати просторові координати, то можливість знайти цю частинку (електрон, наприклад) в існуючого Всесвітуповинна дорівнювати 1. Формула вигладить так:

ʃ V Ψ* Ψ dV=1.

Таким чином, виконується закон збереження енергії: якщо ми шукаємо конкретний електрон, він має бути цілком у заданому просторі. Інакше вирішувати рівняння Шредінгера просто не має сенсу. І неважливо, чи знаходиться ця частка всередині зірки або в гігантському космічному увійді, вона має десь бути.

Трохи вище ми згадували, що змінними, яких залежить функція, може бути і непросторові координати. У такому разі нормування проводиться за всіма параметрами, від яких залежить функція.

Миттєве пересування: прийом чи реальність?

У квантовій механіці відокремити математику від фізичного сенсу неймовірно складно. Наприклад, квант був запроваджений Планком зручності математичного висловлювання однієї з рівнянь. Тепер принцип дискретності багатьох величин та понять (енергії, моменту імпульсу, поля) лежить в основі сучасного підходудо вивчення мікросвіту. Ψ теж має такий парадокс. Згідно з одним із рішень рівняння Шредінгера, можливо, що при вимірі квантовий стан системи змінюється миттєво. Це зазвичай позначається як редукція чи колапс хвильової функції. Якщо таке можливе насправді, квантові системи здатні переміщатися з нескінченною швидкістю. Але обмеження швидкостей для речових об'єктів нашого Всесвіту непорушне: ніщо не може рухатися швидше світла. Це явище зафіксовано жодного разу не було, але й спростувати його теоретично поки не вдалося. Згодом, можливо, цей парадокс вирішиться: або в людства з'явиться інструмент, який зафіксує таке явище, або знайдеться математичне хитрощі, які доведуть неспроможність цього припущення. Є третій варіант: люди створять такий феномен, але при цьому сонячна системазвалиться в штучну чорну дірку.

Хвильова функція багаточасткової системи (атома водню)

Як ми стверджували протягом всієї статті, псі-функція описує одну елементарну частинку. Але при найближчому розгляді атом водню схожий на систему лише з двох частинок (одного негативного електрона і одного позитивного протона). Хвильові функції атома водню можуть бути описані як двочастинний або оператором типу матриці щільності. Ці матриці зовсім точно є продовженням пси-функции. Вони скоріше показують відповідність ймовірностей знайти частинку в одному та іншому стані. При цьому важливо пам'ятати, що завдання вирішене лише для двох тіл одночасно. Матриці щільності застосовні до пар частинок, але неможливі для більш складних системнаприклад, при взаємодії трьох і більше тіл. У цьому факті простежується неймовірна подоба між найбільш «грубою» механікою та дуже «тонкою» квантовою фізикою. Тому не варто думати, що коли існує квантова механіка, у звичайній фізиці нових ідей не може виникнути. Цікаве ховається за будь-яким поворотом математичних маніпуляцій.

3. ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ

3.1.Хвильова функція

Будь-яка мікрочастинка - це утворення особливого роду, що поєднує в собі властивості і частинки, і хвилі. Відмінність мікрочастинки від хвилі полягає в тому, що вона виявляється як неподільне ціле. Наприклад, ніхто не спостерігав півелектрона. У той же час хвилю можна розділити на частини, а потім сприймати кожну частину окремо.

Відмінність мікрочастинки в квантовій механіці від звичайної мікрочастинки полягає в тому, що вона не має одночасно певних значень координат і імпульсу, тому поняття траєкторії для мікрочастинки втрачає сенс.

Розподіл ймовірності знаходження частки в даний момент часу в деякій області простору описуватимемо хвильовою функцією (x, y, z , t) (Псі-функція). Ймовірність dPтого, що частка знаходиться в елементі об'єму dV, пропорційна
та елементу обсягу dV:

dP=
dV.

Фізичний сенс має сама функція
, А квадрат її модуля – це густина ймовірності. Вона визначає можливість перебування частки у цій точці простору.

Хвильова функція
є основною характеристикою стану мікрооб'єктів (мікрочастинок). З її допомогою в квантовій механіці можуть бути обчислені середні значення фізичних величин, які характеризують даний об'єкт, що перебуває у стані, що описується хвильовою функцією
.

3.2. Принцип невизначеності

У класичній механіці стан частинки задають координатами, імпульсом, енергією тощо. Це динамічні змінні. Мікрочастинку описувати такими динамічними змінними не можна. Особливість мікрочастинок у тому, що для всіх змінних виходять при вимірах певні значення. Наприклад, частка не може мати одночасно точних значенькоординати хта компоненти імпульсу р х. Невизначеність значень хі р хзадовольняє співвідношення:

(3.1)

– чим менша невизначеність координати Δ хтим більше невизначеність імпульсу Δ р х, і навпаки.

Співвідношення (3.1) називається співвідношенням невизначеності Гейзенберга і було отримано 1927 року.

Величини Δ хта Δ р хназиваються канонічно сполученими. Такими ж канонічно пов'язаними є Δ ута Δ р у, і т.п.

Принцип невизначеності Гейзенберга говорить: добуток невизначеностей значень двох сполучених змінних не може бути по порядку величини меншою за постійну Планка ħ.

Енергія та час теж є канонічно сполученими, тому
. Це означає, що визначення енергії з точністю Δ Емає зайняти інтервал часу:

Δ t ~ ħ/ Δ Е.

Визначимо значення координати хмікрочастинки, що вільно летить, поставивши на її шляху щілину шириною Δ х, розташовану перпендикулярно напрямку руху частинки. До проходження частки через щілину її складова імпульсу р хмає точне значення, р х= 0 (щілина перпендикулярна вектору імпульсу), тому невизначеність імпульсу дорівнює нулю, Δ р х= 0, зате координата хчастинки є невизначеною (рис.3.1).

У момент проходження частки через щілину положення змінюється. Замість повної невизначеності координати хз'являється невизначеність Δ х, і з'являється невизначеність імпульсу Δ р х .

Дійсно, внаслідок дифракції є деяка ймовірність того, що частка рухатиметься в межах кута 2 φ , де φ - Кут, що відповідає першому дифракційному мінімуму (максимумами вищих порядків нехтуємо, тому що їх інтенсивність мала в порівнянні з інтенсивністю центрального максимуму).

Таким чином, з'являється невизначеність:

Δ р х =р sin φ ,

але sin φ = λ / Δ х- Це умова першого мінімуму. Тоді

Δ р х ~рλ/Δ х,

Δ хΔ р х ~рλ= 2πħ ≥ħ/ 2.

Співвідношення невизначеностей показує, якою мірою можна користуватися поняттями класичної механіки стосовно мікрочастинок, зокрема, з яким ступенем точності можна говорити про траєкторію мікрочастинок.

Рух по траєкторії характеризується певними значеннями швидкості частки та її координат у кожен час. Підставивши у співвідношення невизначеностей замість р хвираз для імпульсу
, маємо:

–

чим більша маса частинки, тим менше невизначеності її координати та швидкості, тим з більшою точністю застосовні до неї поняття траєкторії.

Наприклад, для мікрочастинки розміром 1·10 -6 м невизначеності Δх та Δ виходять за межі точності вимірювання цих величин, і рух частинки невіддільний від руху траєкторією.

Співвідношення невизначеностей є фундаментальним становищем квантової механіки. Воно, наприклад, дозволяє пояснити те що, що електрон не падає на ядро ​​атома. Якби електрон упав на точкове ядро, його координати та імпульс прийняли б певні (нульові) значення, що несумісне з принципом невизначеності. Цей принцип вимагає, щоб невизначеність координати електрона Δ rта невизначеність імпульсу Δ рзадовольняли співвідношенню

Δ rΔ p ≥ ħ/ 2,

та значення r= 0 неможливо.

Енергія електрона в атомі буде мінімальна при r= 0 і р= 0, тому для оцінки найменшої можливої ​​енергії покладемо Δ r ≈ r, Δ p ≈ p. Тоді Δ rΔ p ≥ ħ/ 2, і для найменшого значенняневизначеності маємо:

нас цікавить лише порядок величин, що входять у це співвідношення, тому множник можна відкинути. У цьому випадку маємо
, звідси р = ħ/r. Енергія електрона в атомі водню

(3.2)

Знайдемо r, при якому енергія Емінімальна. Продиференціюємо (3.2) та прирівняємо похідну до нуля:

,

чисельні множники у цьому виразі ми відкинули. Звідси
- Радіус атома (радіус першої борівської орбіти). Для енергії маємо

Можна подумати, що з допомогою мікроскопа вдасться визначити становище частки і цим повалити принцип невизначеності. Однак мікроскоп дозволить визначити положення частки в найкращому випадкуіз точністю до довжини хвилі використовуваного світла, тобто. Δ х ≈ λ, Але т.к. Δ р= 0, то Δ рΔ х= 0 та принцип невизначеності не виконується?! Чи так це?

Ми користуємося світлом, а світло, згідно з квантовою теорією, складається з фотонів з імпульсом. р =k/λ . Щоб виявити частинку, на ній повинен розсіятися або поглинути хоча б один із фотонів пучка світла. Отже, частинці буде переданий імпульс, що принаймні досягає h/λ . Таким чином, у момент спостереження частки з невизначеністю координати х ≈ λневизначеність імпульсу має бути Δ р ≥h/λ .

Перемножуючи ці невизначеності, отримуємо:

–

принцип невизначеності виконується.

Процес взаємодії приладу з об'єктом, що вивчається, називається вимірюванням. Цей процес протікає у просторі та в часі. Існує важлива різниця між взаємодією приладу з макро- та мікрооб'єктами. Взаємодія приладу з макрооб'єктом є взаємодія двох макрооб'єктів, досить точно описується законами класичної фізики. При цьому можна вважати, що прилад не робить на об'єкт впливу, що вимірювається, або цей вплив мало. При взаємодії пристрою з мікрооб'єктами виникає інша ситуація. Процес фіксації певного положення мікрочастинки вносить до її імпульсу зміну, яку не можна зробити рівним нулю:

Δ р х ≥ ħ/ Δ х.

Тому вплив приладу на мікрочастинку не можна вважати малим і несуттєвим, прилад змінює стан мікрооб'єкта – у результаті виміру певні класичні характеристики частки (імпульс та ін.) виявляються заданими лише у межах, обмежених співвідношенням невизначеностей.

3.3.Рівняння Шредінгера

У 1926 р. Шредінгер отримав своє знамените рівняння. Це основне рівняння квантової механіки, основне припущення, у якому заснована вся квантова механіка. Усі слідчі узгоджуються з досвідом – у цьому його підтвердження.

Імовірнісне (статистичне) тлумачення хвиль де Бройля і співвідношення невизначеностей вказують, що рівняння руху в квантовій механіці має бути таким, щоб воно дозволило пояснити, що спостерігаються на досвіді. хвильові властивостічастинок. Положення частки у просторі в даний момент часу визначається у квантовій механіці завданням хвильової функції
(x, y, z, t), а точніше квадратом модуля цієї величини.
- Це ймовірність знаходження частки в точці x, y, zу момент часу t. Основне рівняння квантової механіки має бути рівнянням щодо функції
(x, y, z, t). Далі, це рівняння має бути хвильовим, з нього мають отримати своє пояснення експерименти з дифракції мікрочастинок, що підтверджують їхню хвильову природу.

Рівняння Шредінгера має такий вигляд:

. (3.3)

де m- Маса частки, i – уявна одиниця,
- Оператор Лапласа,
,U- Оператор потенційної енергіїчастки.

Вигляд Ψ-функції визначається функцією U, тобто. характером сил, що діють на частку. Якщо силове поле стаціонарне, то рішення рівняння має вигляд:

, (3.4)

де Е- Повна енергія частинки, вона залишається постійною при кожному стані, Е=const.

Рівняння (3.4) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Його ще можна записати у вигляді:

.

Це рівняння можна застосувати до нерелятивістським системам за умови, що розподіл ймовірностей не змінюється у часі, тобто. коли функції ψ мають вигляд стоячих хвиль.

Рівняння Шредінгера можна отримати в такий спосіб.

Розглянемо одновимірний випадок - вільно рухома частка по осі х. Їй відповідає плоска хвиляде Бройля:

,

але
, тому
. Продиференціюємо цей вираз за t:

.

Знайдемо тепер другу похідну від псі-функції за координатою

,

У нерелятивістській класичній механіці енергія та імпульс пов'язані співвідношенням:
де Е- кінетична енергія. Частка рухається вільно, її потенційна енергія U= 0, і повна Е=Е k.

,

Тому

- Це рівняння Шредінгера для вільної частки. ЕЯкщо частка рухається у силовому полі, то

,

- вся енергія (і кінетична, і потенційна), тому:
тоді отримаємо
,

, або

та остаточно

Це рівняння Шредінгера.

Наведені міркування - не висновок рівняння Шредінгера, а приклад того, як це рівняння можна встановити. Саме ж рівняння Шредінгера постулюється.

У виразі ліва частина позначає оператор Гамільтона
і U- Гамільтоніан - це сума операторів ψ . Гамільтоніан – це оператор енергії. Детально про операторів фізичних величин говоритимемо надалі. (Оператор виражає деяку дію під функцією

.

, що стоїть під знаком оператора). З урахуванням сказаного маємо: ψ -функція, а квадрат її модуля, що визначає щільність ймовірності знаходження частки у цьому місці простору. Квантова механіка має статистичний зміст. Вона не дозволяє визначити місцезнаходження частинки у просторі або траєкторію, якою рухається частка. Пси-функція лише дає можливість, з якою частка може бути виявлена ​​у цій точці простору. У зв'язку з цим псі-функція повинна задовольняти такі умови:

Вона має бути однозначною, безперервною і кінцевою, т.к. визначає стан частки;

Вона повинна мати безперервну та кінцеву похідну;

Функція I ψ I 2 має бути інтегрована, тобто. інтеграл

повинен бути кінцевим, оскільки він визначає можливість виявлення частки.

Інтеграл

,

Це умова нормування. Воно означає, що ймовірність того, що частка знаходиться в якійсь із точок простору, дорівнює одиниці.

4.4.1. Гіпотеза де Бройля

Важливим етапом у створенні квантової механіки стало виявлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості була спочатку висловлена ​​як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем.

У фізиці протягом багатьох років панувала теорія, за якою світло є електромагнітна хвиля. Однак після робіт Планка ( теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та інших стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.

Щоб пояснити деякі фізичні явищанеобхідно розглядати світло як потік частинок-фотонів. Корпускулярні властивості світла не заперечують, а доповнюють його хвильові властивості.

Отже, фотон-елементарна часткасвітла, що має хвильові властивості.

Формула для імпульсу фотона

За де Бройлем, рух частинки, наприклад, електрона, подібно до хвильового процесу з довжиною хвилі λ , що визначається формулою (4.4.3). Ці хвилі називають хвилями де Бройля. Отже, частинки (електрони, нейтрони, протони, іони, атоми, молекули) можуть проявляти дифракційні властивості.

К.Девіссон та Л.Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю.

Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?

Досліди по дифракції пучків електронів дуже малої інтенсивності, тобто окремих частинок, показали, що при цьому електрон не "розмазується" по різним напрямкам, А поводиться як ціла частка. Однак ймовірність відхилення електрона за окремими напрямками внаслідок взаємодії з об'єктом дифракції різна. Найбільш ймовірно попадання електронів у ті місця, які за розрахунком відповідають максимумам дифракції, менш ймовірне їх попадання в місця мінімумів. Отже, хвильові властивості притаманні як колективу електронів, а й кожному електрону окремо.

4.4.2. Хвильова функція та її фізичний сенс

Так як з мікрочастинкою зіставляють хвильовий процес, що відповідає її руху, то стан частинок у квантовій механіці описується хвильовою функцією, яка залежить від координат і часу: .

Якщо силове поле, що діє на частинку, є стаціонарним, тобто не залежить від часу, то ψ-функцію можна представити у вигляді добутку двох співмножників, один з яких залежить від часу, а інший від координат:

Звідси випливає фізичний зміст хвильової функції:

4.4.3. Співвідношення невизначеностей

Одним з важливих положеньКвантовою механікою є співвідношення невизначеностей, запропоновані В.Гейзенбергом.

Нехай одночасно вимірюють положення та імпульс частинки, при цьому неточності у визначеннях абсциси та проекції імпульсу на вісь абсцис рівні відповідно Δx та Δр x .

У класичної фізикинемає жодних обмежень, що забороняють з будь-яким ступенем точності одночасно виміряти як одну, так і іншу величину, тобто Δx→0 і Δрx→0.

У квантовій механіці положення принципово інше: Δx і Δр x , що відповідають одночасному визначенню x і р x пов'язані залежністю

Формули (4.4.8), (4.4.9) називають співвідношеннями невизначеностей.

Пояснимо їх одним модельним експериментом.

При вивченні явища дифракції було звернено увагу, що зменшення ширини щілини при дифракції призводить до збільшення ширини центрального максимуму. Аналогічне явище буде при дифракції електронів на щілини в модельному досвіді. Зменшення ширини щілини означає зменшення x (рис. 4.4.1), це призводить до більшого "розмазування" пучка електронів, тобто до більшої невизначеності імпульсу і швидкості частинок.

Мал. 4.4.1.Пояснення до співвідношення невизначеності.

Співвідношення невизначеностей можна подати у вигляді

де ΔE – невизначеність енергії деякого стану системи; Δt -проміжок часу, протягом якого воно існує. Співвідношення (4.4.10) означає, що чим менший часіснування будь-якого стану системи, тим більше невизначене значення енергії. Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину (рис.4.4.2)), що залежить від часу перебування системи у стані, що відповідає цьому рівню.

Мал. 4.4.2.Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину.

"Розмитість" рівнів призводить до невизначеності енергії ΔE випромінюваного фотона та його частоти Δν при переході системи з одного енергетичного рівняна іншій:

,

де m-маса частинки; ; Е і Е n -її повна та потенційна енергії (потенційна енергія визначається силовим полем, в якому знаходиться частка, і для стаціонарного випадку не залежить від часу)

Якщо частка переміщається лише вздовж деякої лінії, наприклад вздовж осі ОХ (одномірний випадок), то рівняння Шредінгера істотно спрощується і набуває вигляду

(4.4.13)

Одним з найбільш простих прикладівна використання рівняння Шредінгера є вирішення задачі про рух частинки в одновимірній потенційній ямі.

4.4.5. Застосування рівняння Шредінгера до атома водню. Квантові числа

Опис станів атомів та молекул за допомогою рівняння Шредінгера є достатньо складним завданням. Найбільш просто вона вирішується для одного електрона, що знаходиться в полі ядра. Такі системи відповідають атому водню та водневим іонам (одноразово іонізований атом гелію, дворазово іонізований атом літію тощо). Однак і в цьому випадку вирішення завдання є складним, тому обмежимося лише якісним викладом питання.

Насамперед у рівняння Шредінгера (4.4.12) слід підставити потенційну енергію, яка для двох взаємодіючих точкових зарядів- e (електрон) і Ze (ядро), - що знаходяться на відстані r у вакуумі, виражається таким чином:

Цей вислів є рішенням рівняння Шредінгера та повністю збігається з відповідною формулою теорії Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показані рівні можливих значень повної енергії атома водню (Е1, Е2, Е3 і т.д.) та графік залежності потенційної енергії Еn від відстані r між електроном та ядром. Зі зростанням головного квантового числа n збільшується r (див.4.2.26), а повна (4.4.15) та потенційна енергії прагнуть нуля. Кінетична енергіятакож прагне нуля. Заштрихована область (Е>0) відповідає стану вільного електрона.

Мал. 4.4.3. Показано рівні можливих значень повної енергії атома водню
та графік залежності потенційної енергії від відстані r між електроном та ядром.

Друге квантове число - орбітальне l, яке при даному n може набувати значення 0, 1, 2, …., n-1. Це число характеризує орбітальний момент імпульсу L i електрона щодо ядра:

Четверте квантове число - спинове m s. Воно може набувати лише двох значень (±1/2) і характеризує можливі значення проекції спина електрона:

Стан електрона в атомі із заданими n та l позначають наступним чином: 1s, 2s, 2p, 3s і т.д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а літера - орбітальне квантове число: символам s, p, d, f відповідають значення l = 0, 1, 2. 3 і т.д.

> Хвильова функція

Читайте про хвильової функціїта теорії ймовірностей квантової механіки: суть рівняння Шредінгера, стан квантової частки, гармонійний осцилятор, схема.

Йдеться про амплітуду ймовірності в квантовій механіці, що описує квантовий стан частки та її поведінку.

Завдання навчання

• Об'єднати хвильову функцію та щільність ймовірності визначення частинки.

Основні пункти

• |ψ| 2 (x) відповідає щільності ймовірності визначення частинки в конкретному місці та моменті.
• Закони квантової механіки характеризують еволюцію хвильової функції. Рівняння Шредінгера пояснює її найменування.
• Хвильова функція повинна задовольняти безліч математичних обмежень для обчислень та фізичної інтерпретації.

Терміни

• Шредінгера – частковий диференціал, що характеризує зміну стану фізичної системи. Його сформулював у 1925 році Ервін Шредінгер.
• Гармонічний осцилятор - система, яка при зміщенні від початкової позиції, відчуває вплив сили F, пропорційної зміщення х.

У межах квантової механіки хвильова функція відображає амплітуду ймовірності, що характеризує квантовий стан частинки та її поведінку. Зазвичай значення – комплексне число. Найбільш поширеними символами хвильової функції виступають ψ(x) або Ψ(x). Хоча ψ – комплексне число, |ψ| 2 - речове і відповідає щільності ймовірності знаходження частки в конкретному місці та часі.

Тут відображені траєкторії гармонійного осциляторав класичній (А-В) та квантовій (C-H) механіки. У квантовій кулі має хвильову функцію, відображену з реальною частиноюу синьому та уявному у червоному. ТраєкторіїC-F – приклади стоячих хвиль. Кожна така частота буде пропорційною до можливого рівня енергії осцилятора

Закони квантової механіки еволюціонують згодом. Хвильова функція нагадує інші, на зразок хвиль у воді чи струні. Справа в тому, що формула Шредінгера виступає типом хвильового рівнянняу математиці. Це призводить до двоїстості хвильових частинок.

Хвильова функція має відповідати обмеженням:

• завжди кінцева.
• завжди безперервна і безперервно диференційована.
• задовольняє відповідну умову нормування, щоб частка існувала зі 100% визначеністю.

Якщо вимоги не задоволені, то хвильову функцію не можна інтерпретувати як амплітуду ймовірності. Якщо ми проігноруємо ці позиції і скористаємося функцією хвиль, щоб визначити спостереження квантової системи, то не отримаємо кінцевих та певних значень.