Навіщо потрібні діаграми ейлера венна. Поняття множини, підмножини, порожньої множини

Діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин. Побудова діаграми полягає у зображенні великого прямокутника, що представляє універсальне безліч U, а всередині його – кіл (або якихось інших замкнутих фігур), що представляють безлічі.

Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідне завдання, і повинні бути відповідним чином позначені. Крапки, що лежать усередині різних областейдіаграми можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.

Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з існуючих.

Визначення. Об'єднанням множин А і В називається безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одному з множин А, (рис. 1):

Визначення. Перетином множин А і В називається безліч, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать одночасно як множині А, так і множині В (рис. 2):

Визначення.

Різницею множин А і В називається безліч усіх тих і тільки тих елементів А, які не містяться в (рис. 3):

Визначення. Симетричною різницею множин А і В називається безліч елементів цих множин, які належать або лише множині А, або тільки множині В (рис. 4):

Визначення. Абсолютним доповненням множини А називається множина всіх тих елементів, які не належать множині А (рис. 5):

Федеральне агентство з освіти

Державне освітня установавищої професійної освіти

Національний дослідницький

Томський політехнічний університет

Інститут природних ресурсів

Кафедра ВМ

РЕФЕРАТ

Тема : « Діаграма Ейлера-Венна»

Виконавець:

Студент групи 2У00

Керівник:

Введение……………………………………………………………….………..3

1. З історії…………………………………………………………….….…..4

2. Діаграма Ейлера-Венна……………………………………………….…..4

3. Операції над безліччю діаграми Ейлера-Венна………………….5

a) Об'єднання……………………….. ……………………………….……7

b) Перетин, доповнення………………….……………………………..7

c) Стрілка Пірса, штрих Шеффера і різницю...………………………….8

d) Різниця……………………………………………………………………8

e) Симетрична різниця та еквівалентність…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………………………….………..11

Вступ

Кола Ейлера - геометрична схема, З допомогою якої можна зобразити відносини між підмножинами, для наочного уявлення. Кола було винайдено Леонардом Ейлером. Використовується в математиці, логіці, менеджменті та інших прикладних напрямках.

Важливий окремий випадоккіл Ейлера - діаграми Ейлера - Венна, що зображують усі 2n комбінацій n властивостей, тобто кінцеву булеву алгебру. При n = 3 діаграма Ейлера - Венна зазвичай зображується в вигляді трьохкіл з центрами у вершинах рівностороннього трикутникаі однаковим радіусом, приблизно рівним довжиністорони трикутника.

При вирішенні цілого ряду завдань Леонард Ейлер використав ідею зображення множин за допомогою кіл. Однак цим методом ще до Ейлера користувався видатний німецький філософ та математик (1646-1716). Лейбніц використав їх для геометричної інтерпретації логічних зв'язківміж поняттями, але при цьому все ж таки вважав за краще використовувати лінійні схеми.

Але досить ґрунтовно розвинув цей метод сам Л. Ейлер. Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернст Шредер (1841-1902) у книзі "Алгебра логіки". Особливого розквіту графічні методидосягли у творах англійського логіка Джона Венна (1843-1923), який докладно виклав їх у книзі «Символічна логіка», виданої Лондоні 1881 року. Тому такі схеми іноді називають діаграми Ейлера - Венна.

1.З історії

Леонард Ейлер(1707 - 1783, Санкт-Петербург, російська імперія)-математик, механік, фізик. Ад'юнкт з фізіології, професор фізики, професор вищої математики, який зробив значний внесок у розвиток математики, а також механіки, фізики, астрономії та ряду прикладних наук.

Ейлер - автор більш ніж 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближеним обчисленням, небесної механіки, математичної фізики, оптиці, балістиці, кораблебудуванню, теорії музики та ін.

Майже півжиття провів у Росії, де зробив істотний внесок у становлення російської науки. У 1726 році він був запрошений працювати в Санкт-Петербург, куди переїхав роком пізніше. З 1711 по 1741, а також з 1766 був академіком Петербурзької Академії Наук (у 1741-1766 роках працював у Берліні, залишаючись одночасно почесним членомПетербурзької Академії). Добре знав російську мову і частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки-математики (С. К. Котельников) та астрономи (С. Я. Румовський) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків досі живуть у Росії.

Джон Венн (1, англійський логік. Працював у галузі логіки класів, де створив особливий графічний апарат (так звані діаграми Венна), який знайшов застосування у логіко-математичній теорії «формальних нейронних мереж». Відень належить обґрунтування зворотних операційу логічному обчисленні Дж. Буля. Основною сферою інтересу Джона була логіка, і він опублікував три роботи з цієї теми. Це були "Логіка випадку", в якій вводиться інтерпретація частоти або частотна теорія ймовірностей у 1866; "Символьна логіка", з якою були введені діаграми Венна у 1881; "Принципи емпіричної логіки" у 1889 р., в якій наводяться обґрунтування зворотних операцій у булевій логіці.

У математиці малюнки у вигляді кіл, що зображають множини, використовуються дуже давно. Одним з перших, хто користувався цим методом, був видатний німецький математик і філософ (1В його чорнових нарисах були виявлені малюнки з такими колами. Потім цей метод досить ґрунтовно розвинув і Леонард Ейлер. Він довгі рокипрацював у Петербурзькій Академії наук. На той час відносяться його знамениті " Листи до німецької принцеси " , написані період із 1761 по 1768 рік. У деяких із цих "Листів..." Ейлер якраз і розповідає про свій метод. Після Ейлера цей же метод розробляв чеський математик Бернард Больцано (1 Тільки на відміну від Ейлера він малював не кругові, а прямокутні схеми. Методом кіл Ейлера користувався і німецький математик Ернест Шредер (1 Цей метод широко використовується в книзі "Алгебра логіки"). методи досягли у творах англійського логіка Джона Венна (1С найбільшою повнотою цей метод викладений їм у книзі "Символічна логіка", виданої в Лондоні в 1881. На честь Венна замість кіл Ейлера відповідні малюнки називають іноді діаграмами Венна; в деяких книгах їх (або колами) Ейлер-Венна.

2.Діаграма Ейлера-Венна

Поняття множини і підмножини використовуються щодо багатьох понять математики і, зокрема, щодо геометричної фігури. Визначимо як універсальну множину площину. Тоді можна дати наступне визначеннягеометричної фігури у планіметрії:

Геометричною фігуроюназивається всяка безліч точок площини. Щоб наочно відображати множини та відносини між ними, малюють геометричні фігури, які перебувають між собою у цих відносинах. Такі зображення множин називають діаграмами Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна роблять наочними різні твердження, що стосуються множин. Там універсальне безліч зображують як прямокутника, яке підмножини – колами. Використовується в математиці, логіці, менеджменті та інших прикладних напрямках.

Діаграми Ейлера-Венна полягає у зображенні великого прямокутника, що представляє універсальну множину U, а всередині його – кіл (чи якихось інших замкнутих постатей), що становлять безлічі. Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідному в завданні, і повинні бути позначені відповідним чином. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.

Основні операції над множинами:

Перетин Об'єднання Різниця

3. Операції над множинами діаграми Ейлера-Венна

Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з існуючих.

Тепер докладніше на прикладах.

Нехай дана деяка сукупність предметів, яку після перерахунку можна було б позначити як

A = (1, 2, 4, 6) і B = (2, 3, 4, 8, 9)

круглих та білих предметів. Можна, можливо вихідна множинаназивати фундаментальним, а підмножини A та B – просто множинами.

В результаті отримаємо чотири класи елементів:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - елементи не мають жодної з названих властивостей,

C 1 = (1, 6) - елементи мають тільки властивість A (круглі),

C 2 = (3, 8, 9) - елементи мають лише властивість B (білі),

C 3 = (2, 4) - елементи мають одночасно дві властивості A і B.

На рис. 1.1. вказані класи зображені за допомогою діаграми Ейлера - Венна.

Мал. 1.1

Часто діаграми немає всієї повноти спільності, наприклад та, що зображено на рис. 1.2. На ній уже безліч A повністю включено до B. Для такого випадку використовується спеціальний символ включення (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6).

Якщо одночасно виконуються дві умови: A B і B A, то A = B, у цьому випадку говорять, що безлічі A і B повністю еквівалентні.

Мал. 1.2

Після того, як визначено чотири класи елементів та надано необхідні відомостіпро діаграми Ейлера - Венна, введемо операції на множинах. Як першу розглянемо операцію об'єднання.

a)Об'єднання

Об'єднанняммножин A = (1, 2, 4, 6) і B = (2, 3, 4, 8, 9)

назвемо безліч

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

де È – символ об'єднання множин. Таким чином, об'єднанням охоплюються три класи елементів - C 1, C 2 та C 3, які на діаграмі (рис. 1.3) заштриховані.

Логічно операцію об'єднання двох множин можна охарактеризувати словами: елемент xналежить множині A або множині B. При цьому зв'язка «або» одночасно означає і зв'язку «і». Факт приналежності елемента xмножині A позначається як xÎ A. Тому те, що xналежить A або/і B, виражається формулою:

xÎ A È B = ( xÎ A) Ú ( xÎ B),

де Ú - символ логічної зв'язки або, яка називається диз'юнкцією.

b) Перетин, доповнення

Перетиноммножин A і B називається безліч A Ç B, що містить ті елементи з A і B, які входять одночасно в обидва множини. Для нашого числового прикладубудемо мати:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Діаграма Ейлера – Венна для перетину зображено на рис. 1.4.

Те, що xналежить одночасно двом множинам A і B можна уявити виразом:

xÎ A Ç B = ( xÎ A) Ù ( xÎ B),

де Ù - символ логічної зв'язки «і», яка називається кон'юнкцією.

Уявімо собі операцію, в результаті якої виявляться заштрихованими області C 1 та C 3, що утворюють множину A (рис. 1.5). Потім ще одну операцію, яка охопить дві інші області. C 0 та C 2, що не входять до A, що позначається як A(Рис.1.6).

Якщо об'єднати заштриховані області на обох діаграмах, отримаємо все заштриховане безліч 1; перетин же A і Aдасть порожню множину 0, в якому не міститься жодного елемента:

A È A= 1, A Ç A = 0.

Безліч A доповнюємножина A до фундаментальної множини V (або 1); звідси назва: додатковебезліч A, або доповненняяк операція. Додаток до логічної змінної x, тобто. x (не- x), називається найчастіше запереченням x.

Після введення операцій перетину та доповнення всі чотири області Ciна діаграмі Ейлера – Венна можна виразити так:

C 0 = A Ç B, C 1 = A Ç B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Шляхом об'єднання відповідних областей Ciможна уявити будь-яку множинну операцію, у тому числі й саме об'єднання:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

На діаграмі Ейлера – Венна для імплікації (рис. 1.10) показано частковевключення множини A до множини B, яке потрібно відрізняти від повноговключення (рис. 1.2).

Якщо стверджується, що «елементи множини A включені до множини B», то область C 3 обов'язково має бути заштрихована, а область C 1 з такою ж необхідністю має бути залишена білою. Щодо областей C 0 та C 1, що знаходяться в A, Зауважимо, що ми не маємо права залишати їх білими, проте, ми зобов'язані все ж таки області, що потрапляють у A, заштрихувати.

Е)Симетрична різниця та еквівалентність

Залишається навести ще дві операції, що взаємно доповнюють - симетричну різницю і еквівалентність. Симетрична різниця двох множин A і B є поєднання двох різниць:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Еквівалентність визначається тими елементами множин A та B, які для них є загальними. Однак елементи, що не входять ні A, ні B, також вважаються еквівалентними:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На рис. 1.11 та 1.12 показано штрихування діаграм Ейлера - Венна.

На закінчення відзначимо, що симетрична різниця має кілька назв: сувора диз'юнкція, виключна альтернатива, сума за модулем два. Цю операцію можна передати словами - «або А, або В», тобто це логічна зв'язка «або», але без включеної до неї зв'язки «і».

Висновок

Діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин. Просте побудова діаграми забезпечує наочне зображення, що представляє універсальне безліч U, а всередині його – кіл (чи якихось інших замкнутих постатей), що становлять безлічі. Фігури перетинаються в найбільш загальному випадку, необхідному в завданні, та відповідають образне зображення. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин. Це дозволяє нам мати найбільш повне уявлення про завдання та її вирішення. Простота діаграм Ейлера-Венна дозволяє використовувати даний прийому таких напрямках, як математика, логіка, менеджмент та інших прикладних напрямках.

Список літератури

1. Словник з логіки. - М: Туманіт, вид. центр ВЛАДОС. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. "Діаграма Венна" (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Історія

Визначення 1

Леонарду Ейлеру поставили запитання: чи можна, прогулюючись Кенігсбергом, обійти через усі мости міста, двічі не проходячи через них. План міста із сімома мостами додавався.

У листі знайомому італійському математику Ейлер дав коротке і гарне вирішення проблеми кенігсберзьких мостів: при такому розташуванні завдання не вирішене. При цьому він зазначив, що питання видалося йому цікавим, т.к. «для його вирішення недостатні ні геометрія, ні алгебра...».

При вирішенні багатьох завдань Л. Ейлер зображував множини за допомогою кіл, тому вони і отримали назву «кола Ейлера». Цим методом раніше користувався німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц, який використовував їх для геометричного пояснення логічних зв'язків між поняттями, але при цьому частіше використовував лінійні схеми. Ейлер досить грунтовно розвинув метод. Особливо знаменитими графічні методи стали завдяки англійському логікуі філософу Джону Венну, який запровадив діаграми Венна та подібні схеми часто називають діаграмами Ейлера-Венна. Використовуються вони у багатьох областях, наприклад, у теорії множин, теорії ймовірності, логіки, статистики та інформатики.

Принцип побудови діаграм

Досі діаграми Ейлера-Венна широко використовують для схематичного зображення всіх можливих перетинів кількох множин. На діаграмах зображують усі $2^n$ комбінацій n властивостей. Наприклад, при $n=3$ на діаграмі зображують три кола з центрами у вершинах рівностороннього трикутника та однаковим радіусом, який приблизно дорівнює довжині сторони трикутника.

Логічні операції задають таблиці істинності. На діаграмі зображується коло з назвою множини, яке він представляє, наприклад $A$. Область у середині кола $A$ відображатиме істинність виразу $A$, а область поза коло - брехня. Для відображення логічної операціїзаштриховують лише ті області, у яких значення логічної операції при множинах $A$ і $B$ істинні.

Наприклад, кон'юнкція двох множин $A$ і $B$ істинна тільки в тому випадку, коли обидва множини істинні. У такому випадку на діаграмі результатом кон'юнкції $A$ і $B$ буде область в середині кіл, яка одночасно належить множині $A$ і множині $B$ (перетину множин).

Малюнок 1. Кон'юнкція множин $A$ і $B$

Використання діаграм Ейлера-Венна для підтвердження логічних рівностей

Розглянемо, як застосовується спосіб побудови діаграм Ейлера-Венна на підтвердження логічних рівностей.

Доведемо закон де Моргана, який описується рівністю:

Доведення:

Малюнок 4. Інверсія $A$

Малюнок 5. Інверсія $B$

Малюнок 6. Кон'юнкція інверсій $A$ та $B$

Після порівняння області для відображення лівої та правої частини бачимо, що вони рівні. З цього випливає справедливість логічної рівності. Закон де Моргана підтверджено за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Розв'язання задачі пошуку інформації в Інтернеті за допомогою діаграм Ейлера-Венна

Для пошуку інформації в Інтернет зручно використовувати пошукові запити з логічними зв'язками, аналогічними за змістом спілкам "і", "або" російської мови. Сенс логічних зв'язокстає зрозумілішим, якщо проілюструвати їх за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Приклад 1

У таблиці наведено приклади запитів до пошукового сервера. Кожен запит має свій код - буква від $ A $ до $ B $. Потрібно розмістити коди запитів у порядку зменшення кількості знайдених сторінок по кожному запиту.

Малюнок 7.

Рішення:

Побудуємо для кожного запиту діаграму Ейлера-Венна:

Малюнок 8.

Відповідь:БВА.

Розв'язання логічного змісту за допомогою діаграм Ейлера-Венна

Приклад 2

За зимові канікулиіз $36$ учнів класу $2$ не були ні в кіно, ні в театрі, ні в цирку. У кіно сходило $25$ чоловік, у театр - $11$, у цирк - $17$ чоловік; і в кіно, і в театрі - $6 $; і в кіно і в цирк - $ 10 $; і в театр і в цирк - $ 4 $.

Скільки людей побувало і в кіно, і в театрі, і в цирку?

Рішення:

Позначимо кількість хлопців, які побували і в кіно, і в театрі, і в цирку - $ x $.

Побудуємо діаграму та дізнаємося кількість хлопців у кожній області:

Малюнок 9.

Не були ні в театрі, ні в кіно, ні в цирку - $ 2 $ чол.

Значить, $ 36 - 2 = 34 $ чол. побували на заходах.

У кіно та театр сходило $6$ чол., отже, лише у кіно та театр ($6 - x)$ чол.

У кіно та цирк сходило $10$ чол., отже, лише у кіно та цирк ($10 - x$) чол.

У театр і цирк сходило $4$ чол., отже, лише у театрі й цирк ($4 - x$) чол.

У кіно сходило $ 25 $ чол., Отже, з них тільки в кіно сходило $ 25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9 + x) $.

Аналогічно, лише у театр сходило ($1+x$) чол.

Тільки до цирку сходило ($3+x$) чол.

Отже, сходили до театру, кіно та цирку:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Тобто. тільки одна людина сходила і до театру, і до кіно, і до цирку.

Леонард Ейлер (1707-1783) - відомий швейцарський та російський математик, член Петербурзької академії наук, більшу частину життя прожив у Росії. Найбільш відомим у статистиці, інформатиці та логіці вважається коло Ейлера (діаграма Ейлера-Венна), що використовується для позначення обсягу понять та множин елементів.

Джон Венн (1834-1923) – англійський філософ і логік, співавтор діаграми Ейлера-Венна.

Сумісні та несумісні поняття

Під поняттям у логіці мається на увазі форма мислення, що відображає суттєві ознаки класу однорідних предметів. Вони позначаються однією чи групою слів: «карта світу», «домінантовий квінтсептакорд», «понеділок» та інших.

Якщо елементи обсягу одного поняття повністю або частково належать обсягу іншого, говорять про сумісні поняття. Якщо ж жоден елемент об'єму певного поняттяне належить до обсягу іншого, ми маємо місце з несумісними поняттями.

У свою чергу, кожен із видів понять має власний набір можливих відносин. Для сумісних понятьце такі:

• тотожність (рівнозначність) обсягів;
• перетин (частковий збіг) обсягів;
• підпорядкування (субординація).

Для несумісних:

• підпорядкування (координація);
• протилежність (контрарність);
• протиріччя (контрадикторність).

Схематично відносини між поняттями у логіці прийнято позначати за допомогою кіл Ейлера-Венна.

Відносини рівнозначності

У даному випадкупоняття мають на увазі той самий предмет. Відповідно, обсяги даних понять повністю збігаються. Наприклад:

А – Зигмунд Фрейд;

В – основоположник психоаналізу.

А – квадрат;

В – рівносторонній прямокутник;

С – рівнокутний ромб.

Для позначення використовуються кола Ейлера, що повністю збігаються.

Перетин (частковий збіг)

А – педагог;

В – меломан.

Як очевидно з цього прикладу, обсяги понять частково збігаються: певна групапедагогів може виявитися меломанами, і навпаки – серед меломанів можуть бути представники педагогічної професії. Аналогічне відношення буде у разі, коли в А виступає, наприклад, «городянин», а як В – «автоводій».

Підпорядкування (субординація)

Схематично позначаються як різні за масштабом кола Ейлера. Відносини між поняттями у разі характеризуються тим, що підлегле поняття (менше за обсягом) повністю входить до складу підпорядкованого (більшого за обсягом). У цьому підлегле поняття не вичерпує повністю підпорядковує.

Наприклад:

А – дерево;

В – сосна.

Поняття буде підлеглим по відношенню до поняття А. Оскільки сосна відноситься до дерев, то поняття А стає в даному прикладіпідлеглим, «поглинаючим» обсяг поняття У.

Супідрядність (координація)

Ставлення характеризує два і більше поняття, що виключають одне одного, але належать у своїй певному загальному родовому колу. Наприклад:

А – кларнет;

В – гітара;

С – скрипка;

D – музичний інструмент.

Поняття А, В, С не є такими, що перетинаються по відношенню один до одного, проте всі вони відносяться до категорії музичних інструментів(Поняття D).

Протилежність (контрарність)

Протилежні відносини між поняттями мають на увазі віднесеність даних понять до того самого роду. При цьому одне з понять має певні властивості (ознаки), тоді як інше їх заперечує, заміняючи протилежними за характером. Таким чином, ми маємо справу з антонімами. Наприклад:

А – карлик;

В – велетень.

Коло Ейлера при протилежних відносинах між поняттями поділяється на три сегменти, перший з яких відповідає поняттю А, другий - поняттю, а третій - всім іншим можливим поняттям.

Протиріччя (контрадикторність)

В даному випадку обидва поняття являють собою види того самого роду. Як і попередньому прикладі, одне з понять свідчить про певні якості (ознаки), тоді як інше їх заперечує. Однак, на відміну від відношення протилежності, друге, протилежне поняття, не замінює заперечувані властивості іншими, альтернативними. Наприклад:

А – складне завдання;

В – нескладне завдання (не-А).

Висловлюючи обсяг понять подібного роду, коло Ейлера поділяється на дві частини - третьої, проміжної ланки у разі немає. Отже, поняття також є антонімами. При цьому одне з них (А) стає позитивним (стверджує будь-яка ознака), а друге (В або не-А) - негативним (що заперечує відповідну ознаку): «білий папір» - «не білий папір», « вітчизняна історія» - « зарубіжна історія" і т.д.

Таким чином, співвідношення обсягів понять стосовно один одного ключовою характеристикою, що визначає кола Ейлера.

Відносини між множинами

Також слід розрізняти поняття елементів та множини, обсяг яких відображають кола Ейлера. Поняття безлічі запозичене з математичної наукита має досить широке значення. Приклади в логіці та математиці відображають його як сукупність об'єктів. Самі ж об'єкти є елементами цієї множини. «Багато є багато, мислиме як єдине» (Георг Кантор, засновник теорії множин).

Позначення множин здійснюється А, В, С, D ... і т. д., елементів множин - малими: а, b, с, d ... та ін Прикладами множини можуть бути студенти, що знаходяться в одній аудиторії, книги, що стоять на певній полиці (або, наприклад, усі книги в якійсь певній бібліотеці), сторінки в щоденнику, ягоди на лісовій галявині тощо.

У свою чергу, якщо певна множина не містить жодного елемента, його називають порожнім і позначають знаком Ø. Наприклад, безліч точок перетину безліч розв'язків рівняння х 2 = -5.

Вирішення задач

Для вирішення великої кількостіЗавдання активно використовуються кола Ейлера. Приклади у логіці наочно демонструють зв'язок із теорією множин. У цьому використовуються таблиці істинності понять. Наприклад, коло, позначене ім'ям А, є область істинності. Таким чином, область поза коло представлятиме брехню. Щоб визначити область діаграми для логічної операції, слід заштрихувати області, що визначають коло Ейлера, в яких значення для елементів А і В будуть істинні.

Використання кіл Ейлера знайшло широке практичне застосуванняу різних галузях. Наприклад, у ситуації із професійним вибором. Якщо суб'єкт стурбований вибором майбутньої професії, може керуватися наступними критеріями:

W – що я люблю робити?

D – що у мене виходить?

P – чим я зможу добре заробляти?

Зобразимо це як схеми: в логіці - ставлення перетину):

Результатом стануть ті професії, які опиняться на перетині всіх трьох кіл.

Окреме місце кола Ейлера-Венна займають у математиці при обчисленні комбінацій та властивостей. Кола Ейлера безлічі елементів укладені у зображенні прямокутника, що означає універсальне безліч (U). Замість кіл також можуть використовуватись інші замкнуті фігури, але суть від цього не змінюється. Фігури перетинаються між собою, згідно з умовами завдання (у найбільш загальному випадку). Також дані фігури мають бути позначені відповідним чином. Як елементи множин можуть виступати точки, розташовані всередині різних сегментів діаграми. На її основі можна заштрихувати конкретні області, Позначивши тим самим новостворені множини.

З цими множинами допустимо виконання основних математичних операцій: додавання (сума множин елементів), віднімання (різниця), множення (твор). Крім того, завдяки діаграмам Ейлера-Венна можна проводити операції порівняння множин за кількістю елементів, що входять до них, не рахуючи їх.