Циліндр конус сфера куля формули обсягів. Визначення циліндра як геометричної фігури

Застосовуйте формули об'єму та площі поверхні циліндра, конуса та кулі. Усі вони є у нашій таблиці. Вчіть напам'ять. Звідси починається знання стереометрії.

1. Об'єм конуса дорівнює 16.Через середину висоти паралельно основі конуса проведено переріз, який є основою меншого конусаз тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Очевидно, що об'єм меншого конуса в 8 разів менший за об'єм великого і дорівнює двом.

Для вирішення деяких завдань корисні початкові знаннястереометрії. Наприклад - що таке правильна пірамідачи пряма призма. Корисно пам'ятати, що у циліндра, конуса та кулі є ще загальна назва- Тіла обертання. Що сферою називається поверхня кулі. А, наприклад, фраза «утворююча конуса нахилена до площини основи під кутом 30 градусів передбачає, що ви знаєте, що таке кут між прямою та площиною. Вам також може стати в нагоді теорема Піфагора і прості формулиплощ фігур.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного під правильним чотирикутної пірамідибільше обсягу конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого колау раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде вдвічі більшим.

Вправи для самостійної роботи.

1.Вимірювання прямокутного паралелепіпеда 15, 50 і 36 м. Знайти ребро рівновеликого йому куба.

2.У правильній 4-кутній піраміді висота 3 см, бічне ребро 5 см. Знайти об'єм піраміди.

3. Осевий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 8 дм та 12 дм. Знайти об'єм циліндра.

4.Утворююча конуса нахилена до площини основи під кутом 30°, радіус основи дорівнює 3 дм. Знайти об'єм конуса.

5.Радіус кулі дорівнює 4 м. Знайти обсяг кульового сегмента заввишки, що дорівнює 3 м.

Список літератури

Геометрія, 10-11: Навч. для загальноосвітніх установ/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін-Москва: Просвітництво, 2009 рік

2. Єршова А.П., Голобородько В.В., Єршова А.С. Самостійні та контрольні роботиз геометрії для 10 класу. - 4-е видання, випр. і дод. - М.: Ілекса, 2007, - 175 с.

3. Геометрія. 10-11 класи: тести для поточного та узагальнюючого контролю / авт.сост.Г.І.Ковальова, Н.І.Мазурова. - Волгоград: Вчитель, 2009, 187 стор.

4. Віртуальна школа Кирила та Мефодія. Репетитор з математики. Москва. 2007 рік

5. Навчальне електронне видання. Математика 5-11 класи. Практикум. За редакцією Дубровського В.М., 2004.

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 16

«Використання координат та векторів при вирішенні математичних завдань»

Мета уроку:

1) Узагальнити теоретичні знанняна тему: «Використання координат і векторів під час вирішення математичних завдань».

2) Розглянути алгоритми розв'язання завдань темі «Використання координат і векторів під час вирішення математичних завдань», розв'язати задачі.

3) Формувати потреба до самопізнання, самоконтролю, досягнення поставленої мети.

Теоретичний матеріал

Схожа інформація:

F. Новий максимум цін супроводжується збільшенням обсягу, аналогічно точці А. Продовжуйте утримувати позицію на підвищення

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїу будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тіла обертання, що вивчаються у школі, - це циліндр, конус та куля.

Якщо в задачі на ЄДІ з математики вам треба порахувати обсяг конуса чи площу сфери – вважайте, що пощастило.

Іноді непогано намалювати вид зверху. Або, як у цій задачі, – знизу.

2. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?

Все просто – малюємо вигляд знизу. Бачимо, що радіус більшого кола в раз більше, ніж радіус меншого. Висоти обох конусів однакові. Отже, обсяг більшого конуса буде у рази більшим.

Ще один важливий момент. Пам'ятаємо, що у завданнях частини В варіантів ЄДІз математики відповідь записується у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Тому ніяких або у вас у відповіді в частині бути не повинно. Підставляти наближене значення числа також не потрібно! Воно обов'язково має скоротитися! Саме для цього в деяких завданнях завдання формулюється, наприклад, так: «Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, поділену на».

А де ще застосовуються формули об'єму і площі поверхні тіл обертання? Звісно ж, у задачі С2 (16). Ми теж розповімо про неї.

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємних фігурах.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми повсякденному життідостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точкиотримали назву «утворюючі».

Важливо, що основи циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множиниутворюючих - не що інше, як бічна поверхняциліндра - один із елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндраутворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо даний кутвідрізняється від 90 °, циліндр - похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

У даному випадку, В результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ та бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі основи (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частинаємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична формачастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

\[(\Large(\text(Циліндр)))\]

Розглянемо коло \(C\) з центром \(O\) радіусу \(R\) на площині \(\alpha\). Через кожну точку кола \(C\) проведемо пряму перпендикулярно до площини \(\alpha\) . Поверхня, утворена цими прямими, називається циліндричною поверхнею.
Самі прямі називаються утворюючимиданої поверхні.

Проведемо тепер через деяку точку деякої утворює площину (betaparallelalfa). Безліч точок, якими утворюють пересічуть площину \(\beta\) , утворює коло \(C"\) , рівну колу\ (C \).
Частина простору, обмежена двома колами \(K\) і \(K"\) з межами \(C\) та \(C"\) відповідно, а також частиною циліндричної поверхні, укладеної між площинами \(\alpha\) і \(\beta\), називається циліндром.

Круги \(K\) і \(K"\) називаються основами циліндра; відрізки утворюючих, укладених між площинами, – утворюючими циліндра; частина циліндричної поверхні, утворена ними, - бічною поверхнею циліндра. дорівнює висотіциліндра ((l = h)).

Теорема

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює \

де \(R\) - радіус основи циліндра, \(h\) - висота (утворююча).

Теорема

Площа повної поверхніциліндра дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ обох основ \

Теорема

Об'єм циліндра обчислюється за формулою \

\[(\Large(\text(Конус)))\]

Розглянемо площину (alpha) і на ній окружність (C) з центром (O) і радіусом (R). Через точку \(O\) проведемо пряму, перпендикулярну площині\(\alpha\) . Зазначимо на цій прямій деяку точку (P). Поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через точку \(P\) і кожну точку кола \(C\), називається конічною поверхнею, А ці прямі - утворюють конічної поверхні. Частина простору, обмежена навколо з кордоном (C) і відрізками утворюють, укладеними між точкою (P) і точкою на колі, називається конусом. Відрізки \(PA\) , де \(A\in \text(окр.) C\) називаються утворюючими конуса; точка (P) - вершина конуса; коло з кордоном (C) - основа конуса; відрізок (PO) - висота конуса.

Зауваження

Зауважимо, що у конуса висота і утворює не рівні один одному, як було у випадку з циліндром.

Теорема

Площа бічної поверхні конуса дорівнює \

де \(R\) - радіус основи конуса, \(l\) - утворює.

Теорема

Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площ основи \

Теорема

Обсяг конуса обчислюється за формулою \

Зауваження

Зауважимо, що циліндр у якомусь сенсі є призмою, лише на підставі знаходиться не багатокутник (як у призми), а коло.
Формула об'єму циліндра така сама, як і формула об'єму призми: добуток площі підстави на висоту.

Аналогічно конус у сенсі є пірамідою. Тому формула обсягу конуса така сама, як і в піраміди: третина площі основи на висоту.

\[(\Large(\text(Сфера та куля)))\]

Розглянемо безліч точок простору, рівновіддалених від деякої точки \(O\) на відстань \(R\). Це безліч називається сфероюз центром у точці \(O\) радіусу \(R\) .
Відрізок, що з'єднує дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром сфери.

Сфера разом зі своєю начинкою називається кулею.

Теорема

Площа сфери обчислюється за формулою \

Теорема

Об'єм кулі обчислюється за формулою \

Визначення

Кульовий сегмент - це частина кулі, що відсікається від нього деякою площиною.
Нехай площина перетнула кулю по колу \(K\) з центром у точці \(Q\) . З'єднаємо точки \(O\) (центр кулі) і \(Q\) і продовжимо цей відрізок до перетину зі сферою - отримаємо радіус \(OP\). Тоді відрізок (QP) називається висотою сегмента.

Теорема

Нехай \(R\) - радіус кулі, \(h\) - висота сегмента, то обсяг кульового сегмента дорівнює \

Визначення

Кульовий шар – це частина кулі, укладена між двома паралельними площинами, що перетинають цю кулю. Кола, за якими площини перетинають кулю, називаються основами шарового шару, відрізок, що з'єднує центри основ – висотою шарового шару.
Дві частини кулі, що залишилися, є в цьому випадку кульовими сегментами.

Об'єм шарового шару дорівнює різниціобсягу кулі та обсягів кульових сегментів з висотами \(AP\) і \(BT\).