Значення математичного моделювання. §1

Зміст Предмет математичного моделювання. Основи моделювання. Концепція моделі. Принцип моделювання. Моделювання як метод наукового пізнання. Етапи моделювання. Характеристика 1-2 етапів. Етапи моделювання. Характеристика 3-4 етапів. Класифікація моделей. Загальний огляд. Класифікація економіко-математичних моделей. Етапи економіко-математичного моделювання. Математична модель. Лінійне програмування. Постановка задачі лінійного програмування. Геометрична інтерпретація та графічне розв'язання задачі лінійного програмування. Симплексний метод. Побудова початкового опорного плану. Симплексні таблиці. Ознака оптимальності опорного плану. Поняття двоїстості. Побудова двоїстих завдань та їх властивості. Транспортне завдання. Побудова вихідного опорного плану. Транспортне завдання. Метод потенціалів.

Основні поняття та визначення теорії графів. Впорядкування елементів орграфа. Алгоритм Фалкерсон. Розв'язання задач про знаходження найкоротших шляхів у графі. Завдання про максимальний потік та її застосування. Транспортне завдання у мережній постановці. Елементи планування мереж. Принципи динамічного програмування, метод обчислювальної процедури. Метод Монте-Карло. Суть методу. Розв'язання задач методом Монте-Карло. Елементи теорії матричних ігор. Парні матричні ігри із нульовою сумою. Методи розв'язання матричних ігор. Ігри із природою. Критерії до ухвалення рішення. Пакет Maple 7. Загальний огляд пакету. Його можливості. Інтерфейс програми, робота з командами. Використання змінних. Робота із таблицями.

Предмет математичного моделювання. Основи моделювання Математичне моделювання - це дослідження явищ, процесів, систем або об'єктів шляхом побудови та вивчення їх моделей та використання останніх для визначення або уточнення характеристик та раціональних способів побудови новостворених технологічних процесів, систем та об'єктів. Математична модель – це абстракція реального світу, в якій цікаві дослідники відносини між реальними елементами замінені відповідними відносинамиміж математичними категоріями Ці відносини, як правило, представлені у формі рівнянь і (або) нерівностей, що характеризують функціонування реальної системи, що моделюється. Мистецтво побудови математичних моделей полягає в тому, щоб поєднати якнайбільшу лаконічність у її математичному описі з достатньою точністю модельного відтворення саме тих сторін аналізованої реальності, які цікавлять дослідника. Меню Моделювання творчий процес, що вимагає серйозної підготовки та переробки великого обсягу інформації, що поєднує в собі трудомісткість та евристичні засади і що носить імовірнісний характер.

Концепція моделі. Моделювання як метод наукового пізнання Модель – це деяка спрощена подоба реального об'єкта, явища чи процесу. Модель - це такий матеріальний або уявний об'єкт, який заміщає об'єкт-оригінал з метою його дослідження, зберігаючи деякі важливі для даного дослідженнятипові риси та властивості оригіналу. Добре побудована модель, як правило, доступніша для дослідження, ніж реальний об'єкт (наприклад, такий, як економіка країни, Сонячна система тощо). Інше, щонайменше важливе призначення моделі у тому, що з її допомогою виявляються найбільш істотні чинники, формують ті чи інші властивості об'єкта. Модель також дозволяє вчитися керувати об'єктом, що важливо в тих випадках, коли експериментувати з об'єктом буває незручно, важко або неможливо (наприклад, коли експеримент має велику тривалість або існує ризик привести об'єкт у небажаний або незворотний стан). Отже, можна дійти невтішного висновку, що модель необхідна у тому, щоб: зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт - які його структура, основні властивості, закони розвитку та взаємодії з навколишнім світом; навчитися керувати об'єктом чи процесом та визначити найкращі способиуправління при заданих цілях та критеріях (оптимізація); Меню прогнозувати прямі та непрямі наслідки реалізації заданих способів та форм впливу на об'єкт, процес.

Етапи моделювання Характеристика 1 етапу І етап. Постановка задачі Під завданням у самому загальному сенсірозуміється якась проблема, яку треба вирішити. Головне - визначити об'єкт моделювання і зрозуміти, що собою має бути результатом. За характером постановки завдання можна розділити на дві основні групи. До першої групи можна віднести завдання, у яких потрібно досліджувати, як змінюється характеристика об'єкта за певного впливу нею. Таку постановку завдання прийнято називати "що буде, якщо...". Друга група завдань має таке узагальнене формулювання: яке треба вплинути на об'єкт, щоб його параметри задовольняли деякому заданою умовою? Така постановка завдання часто називається "як зробити, щоб...". Цілі моделювання визначаються розрахунковими параметрами моделі. Найчастіше це пошук відповіді питання, поставлений у формулюванні завдання. Далі переходять до опису об'єкта чи процесу. У цій стадії виявляються чинники, яких залежить поведінка моделі. При моделюванні в електронних таблицях можна враховувати лише ті параметри, які мають кількісні характеристики. Іноді завдання може бути вже сформульовано у спрощеному вигляді, і в ньому чітко поставлено цілі та визначено параметри моделі, які треба врахувати. При аналізі об'єкта необхідно відповісти на таке запитання: чи можна досліджуваний об'єкт чи процес розглядати як єдине ціле або це система, що складається з більш простих об'єктів? Якщо це єдине ціле, можна перейти до побудови інформаційної моделі. Якщо система - треба перейти до аналізу об'єктів, її складових, визначити зв'язок між ними. Меню

Етапи моделювання Характеристика 2 етапу ІІ етап. Розробка моделі За результатами аналізу об'єкта складається інформаційна модель. У ній детально описуються всі властивості об'єкта, їх параметри, дії та взаємозв'язки. Далі інформаційна модель має бути виражена в одній із знакових форм. Враховуючи, що ми працюватимемо в середовищі електронних таблиць, то інформаційну модель необхідно перетворити на математичну. На основі інформаційної та математичної моделей складається комп'ютерна модель у формі таблиць, у якій виділяються три області даних: вихідні дані, проміжні розрахунки, результати. Вихідні дані вводяться "вручну". Розрахунки, як проміжні, і остаточні, проводяться за формулами, записаним за правилами електронних таблиць. Меню

Етапи моделювання Характеристика 3 етапу ІІІ етап. Комп'ютерний експеримент Щоб дати життя новим конструкторським розробкам, впровадити нові технічні рішення у виробництво чи перевірити нові ідеї, потрібен експеримент. У недалекому минулому такий експеримент можна було провести або в лабораторних умовна спеціально створених йому установках, чи з натурі, т. е. на реальному зразку вироби, піддаючи його всіляким випробуванням. Це потребує великих матеріальних витрат та часу. На допомогу прийшли комп'ютерні дослідження моделей. Під час проведення комп'ютерного експерименту перевіряють правильність побудови моделей. Вивчають поведінку моделі за різних параметрів об'єкта. Кожен експеримент супроводжується осмисленням результатів. Якщо результати комп'ютерного експерименту суперечать сенсу задачі, що вирішується, то помилку треба шукати в неправильно обраній моделі або в алгоритмі і методі її вирішення. Після виявлення та усунення помилок комп'ютерний експеримент повторюється. Меню

Етапи моделювання Характеристика 4 етапи IV етап. Аналіз результатів моделювання Заключний етап моделювання – аналіз моделі. За отриманими розрахунковими даними перевіряється, наскільки розрахунки відповідають нашому уявленню та цілям моделювання. На цьому етапі визначаються рекомендації щодо вдосконалення прийнятої моделі та, якщо можливо, об'єкта чи процесу. Меню

Класифікація моделей Класифікація по галузі використання Навчальні: наочні посібники, різні тренажери навчальні програми. Досвідчені: зменшені або збільшені копії досліджуваного об'єкта для подальшого вивчення(моделі корабля, автомобіля, літака, гідростанції). Науково-технічні моделі створюють на дослідження процесів і явищ (стенд для перевірки телевізорів; синхротрон - прискорювач електронів та інших.). Ігрові: військові, економічні, спортивні, ділові ігри. Імітаційні: відображають реальність з тим чи іншим ступенем точності (випробування нового лікарського засобу в ряді дослідів на мишах; експерименти щодо впровадження у виробництво нової технології). Класифікація з урахуванням фактора часу Статична модель - модель об'єкта даний моментчасу. Динамічна модель дозволяє побачити зміни об'єкта у часі. Меню

Класифікація моделей Класифікація за способом подання Матеріальна модель - це фізична подоба об'єкта. Вони відтворюють геометричні та Фізичні властивостіоригіналу (чучела птахів, муляжі тварин, внутрішніх органів людського організму, географічні та історичні карти, схема сонячної системи). Інформаційна модель - це сукупність інформації, що характеризує властивості та стану об'єкта, процесу, явища, а також взаємозв'язок із зовнішнім світом. Будь-яка інформаційна модель містить лише суттєві відомості про об'єкт з урахуванням тієї мети, на яку вона створюється. Інформаційні моделі одного і того ж об'єкта, призначені для різних цілей, можуть бути зовсім різними. Вербальна модель - інформаційна модель у мисленній чи розмовної форми. Знакова модель - інформаційна модель, виражена спеціальними знаками, тобто засобами будь-якого формальної мови. Знакові моделі - це малюнки, тексти, графіки, схеми, таблиці тощо. буд. Комп'ютерна модель - модель, реалізована засобами програмного середовища. Перш ніж побудувати модель об'єкта (яви, процесу), необхідно виділити складові його елементи та зв'язки між ними (провести системний аналіз) та "перевести" отриману структуру в якусь заздалегідь певну форму- Формалізувати інформацію. Меню Формалізація - це процес виділення та переведення внутрішньої структури предмета, явища або процесу у певну інформаційну структуру - форму.

Класифікація економікоматематичних моделей Економіко-математичні моделі – моделі керованих та регульованих економічних процесів, що використовуються для перетворення економічної дійсності Адекватність моделей об'єктам моделювання визначається за збігом результатів дослідження з фактами, що спостерігаються. Практика у разі означає реальність. За цільовим призначенням економіко-математичні моделі бувають Теоретико-аналітичні Прикладні Економіко-математичні моделі діляться на моделі всього народного господарствата її підсистем (галузей, регіонів тощо. буд.) Моделі бувають функціональні і структурні. Моделі бувають дескрептивні та нормативні. Дескрептивні моделі відповідають питанням, як і як може далі розвиватися? Нормативні моделі відповідають питанням як це має бути? Тобто передбачають цілеспрямовану діяльність. Розрізняють моделі жорстко детерміністські та моделі, що враховують випадковість та невизначеність. Моделі бувають статично та динамічні. По тривалості аналізованого періоду розрізняють моделі короткострокового (1 -5 років) і довгострокового (10 -15 років) прогнозування, планування. Саме час у таких моделях може змінюватися або, безперервно чи дискретно. Меню Моделі можуть бути лінійними та нелінійними.

Етапи економіко-математичного моделювання. Постановка економічної проблемита її аналіз. Головне - визначити сутність проблеми, прийняті припущення і ті питання на які потрібно отримати відповіді. Етап включає виділення найважливіших рис та властивостей об'єкта, абстрагування від другорядних. Формування гіпотез, якщо потрібно, що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта. Побудова математичної моделі. Етап формалізації економічної проблеми. Неправильно вважати, що чим більше фактіввраховує модель, тим краще. Зміна складності та громіздкості моделі ускладнює процес дослідження. Потрібно враховувати реальні можливостіінформаційного та математичного забезпечення. Потрібно зіставити витрати на моделювання з ефектом. Однією з найважливіших особливостей математичної моделі є потенційна можливість їх використання для вирішення різних завдань. Меню

Етапи економіко-математичного моделювання. Математичний аналіз моделі. Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Важливий момент- Доказ існування рішення. Підготовка вихідної інформації Треба враховувати які терміни буде зібрано потрібна інформація, враховувати витрати на підготовку інформації. У процесі підготовки широко використовуються методи теорії ймовірності, теоретичної та математичної статистики. Чисельне рішення. Розробка алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм для комп'ютера та проведення розрахунків. Проблема цьому етапі створює велика розмірність економічних завдань і необхідність обробки значних масивів інформації. Меню Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь їх практичної застосування.

Лінійне програмування. Це розділ математичного моделювання, всі залежності якого є лінійними. Математична модель будь-якого завдання лінійного програмування має вигляд Z = max (min). Меню Умови не негативності Xj ≥ 0

Приклад: При виготовленні виробів u 1 і u 2 використовуються токарні та фрезерні верстати, а також сталь та кольорові метали, за технологічними нормами на виробництво одиниці виробу u 1 потрібно 300 та 200 одиниць відповідно токарного та фрезерного обладнання (у годинах), та 10 та 20 одиниць сталі та кольорових металів (в кг.). для виробу u 2 потрібно 400, 100, 70, 50 відповідно одиниць тих самих ресурсів. Цех має в своєму розпорядженні 12400 і 6800 годин, 640 і 840 кг. матеріалу. Прибуток від одиниці вироби u 1=6000 ден. од. u 2 = 16000 ден. од. Потрібно: Звести вихідні дані до таблиці, зручної для побудови моделі. Скласти математичну модель завдання. Визначити план випуску виробів, забезпечити max прибуток за умови, що час роботи фрезерних верстатів має бути використаний повністю.

Рішення: Нехай х1 - кількість виробів u1, а х2 - кількість виробів u2, z - сумарний прибуток.

Лінійне програмування. Ця загальна чи похідна форма запису. Змінні Xj, які задовольняють системі обмежень та умови не негативності, називаються допустимими. Допустимі змінні, які перетворюють цільову функцію на max або min, називаються оптимальними. Методи вирішення таких завдань поділяються на універсальні та спеціальні. Універсальним методомвирішують будь-які ЗЛП. Спеціальні методи враховують особливості моделі. Особливістю ЗЛП і те, що max (min) цільова функція досягає межі області допустимих рішень. До ЗЛП належать: завдання щодо вибору оптимальних технологій; завдання про суміші; завдання про розкрій матеріалу; транспортне завдання; Меню завдання про найкраще використанняресурсів; завдання розміщення замовлення;

Постановка задачі лінійного програмування Будь-яка ЗЛП записується за допомогою математичної моделі. Існує 3 форми запису ЗЛП Меню Загальна (довільна)

Постановка задачі лінійного програмування Усі ці форми еквівалентні. Щоб від max перейти до min (або навпаки) треба поміняти знаки у кожного доданку в записі цільової функції. Щоб перетворити нерівність виду на нерівність виду (і навпаки) потрібно обидві частини нерівності помножити на -1. Меню Канонічна (основна) Щоб нерівність перетворити на рівність (і навпаки) потрібно додати або відібрати від лівої частини додаткову невід'ємну змінну, вона називається балансовою. При записі цільової функції має коефіцієнт =0.

Концепція моделі та моделювання.

Модель у широкому значенні - це будь-який образ, аналог уявний або встановлений зображення, опис, схема, креслення, карта тощо будь-якого обсягу, процесу або явища, що використовується як його замінник або представник. Сам об'єкт, процес чи явище називається оригіналом цієї моделі.

Моделювання - це дослідження якогось об'єкта чи системи об'єктів шляхом побудови та вивчення їх моделей. Це використання моделей для визначення або уточнення характеристик та раціоналізації способів побудови об'єктів, що знову конструюються.

На ідеї моделювання базується будь-який метод наукового дослідження, при цьому, у теоретичних методах використовуються різного родузнакові, абстрактні моделі, в експериментальних – предметні моделі.

При дослідженні складне реальне явище замінюється деякою спрощеною копією або схемою, іноді така копія служить тільки для того, щоб запам'ятати і при наступній зустрічі дізнатися про потрібне явище. Іноді побудована схема відображає якісь істотні риси, дозволяє розібратися в механізмі явища, дає можливість передбачити його зміну. Одному й тому явищу можуть відповідати різні моделі.

Завдання дослідника - передбачати характер явища та перебіг процесу.

Іноді буває, що об'єкт доступний, але експерименти з ним дорогі або призвести до серйозних екологічних наслідків. Знання про такі процеси отримують за допомогою моделей.

Важливий момент - сам характер науки передбачає вивчення одного конкретного явища, а широкого класу родинних явищ. Передбачає необхідність формулювання якихось загальних категоричних тверджень, які називаються законами. Природно, що при такому формулюванні багато подробиць нехтують. Щоб чіткіше виявити закономірність свідомо йдуть на огрубіння, ідеалізацію, схематичність, тобто вивчають не саме явище, а більш менш точну її копію або модель. Всі закони - це закони про моделі, а тому немає нічого дивного в тому, що з часом деякі наукові теоріївизнаються непридатними. Це не призводить до краху науки, оскільки одна модель замінилася іншою. більш сучасною.

Особливу роль науці грають математичні моделі, будівельний матеріал та інструменти цих моделей - математичні поняття. Вони накопичувалися і вдосконалювалися протягом тисячоліть. Сучасна математикадає виключно потужні та універсальні засоби дослідження. Практично кожне поняття з математики, кожен математичний об'єкт, починаючи з поняття числа, є математичної моделлю. При побудові математичної моделі, об'єкта, що вивчається, або явища виділяють ті його особливості, риси і деталі, які з одного боку містять більш-менш повну інформаціюпро об'єкт, з другого допускають математичну формалізацію. Математична формалізація означає, що особливостям та деталям об'єкта можна поставити у відповідність відповідні адекватні математичні поняття: числа, функції, матриці тощо. Тоді зв'язки та відносини, виявлені та передбачувані в об'єкті, що вивчається між окремими його деталями і складовими частинами можна записати за допомогою математичних відносин: рівностей, нерівностей, рівнянь. У результаті виходить математичний опис досліджуваного процесу чи явище, тобто його математична модель.

Вивчення математичної моделі завжди пов'язане з деякими правилами дії над об'єктами, що вивчаються. Ці правила відображають зв'язки між причинами та наслідками.

Побудова математичної моделі – це центральний етап дослідження чи проектування будь-якої системи. Від якості моделі залежить весь аналіз об'єкта. Побудова моделі – це процедура не формальна. Сильно залежить від дослідника, його досвіду та смаку, завжди спирається на певний досвідчений матеріал. Модель має бути досить точною, адекватною і має бути зручною для використання.

Математичне моделювання.

Класифікація математичних моделей.

Математичні моделі можуть бутидетерменованими і стохастичними .

Детерменовані моделей і- це моделі, у яких встановлено взаємно-однозначне відповідність між змінними описують об'єкт чи явища.

Такий підхід ґрунтується на знанні механізму функціонування об'єктів. Об'єкт, що часто моделюється, складний і розшифровка його механізму може виявитися дуже трудомісткою і довгою в часі. У цьому випадку надходять таким чином: на оригіналі проводять експерименти, обробляють отримані результати і, не вникаючи в механізм і теорію об'єкта, що моделюється за допомогою методів математичної статистики і теорії ймовірності, встановлюють зв'язки між змінними, що описують об'єкт. У цьому випадку одержуютьстахостичну Модель . У стахостичну моделі зв'язок між змінними носить випадковий характер, іноді це принципово. Вплив величезної кількостіфакторів, їх поєднання призводить до випадкового набору змінних описують об'єкт або явище. За характером режимів модель буваєстатистичними і динамічними.

СтатистичнаМодельвключає опис зв'язків між основними змінними об'єкта, що моделюється, в встановленому режимі без урахування зміни параметрів у часі.

У динамічноїмоделіописуються зв'язки між основними змінними об'єкта, що моделюється при переході від одного режиму до іншого.

Моделі бувають дискретнимиі безперервними, а також змішаного типу. У безперервних змінні приймають значення з деякого проміжку,дискретнихзмінні набувають ізольованих значень.

Лінійні моделі- всі функції та відносини, що описують модель лінійно залежать від змінних тане лінійнів іншому випадку.

Математичне моделювання.

Вимоги , що пред'являються до моделей.

1. Універсальність- характеризує повноту відображення моделлю досліджуваних властивостей реального об'єкта.

1. Адекватність - здатність відбивати необхідні властивості об'єкта з похибкою не вище заданої.
2. Точність – оцінюється ступенем збігу значень характеристик реального об'єкта та значення цих характеристик, отриманих за допомогою моделей.
3. Економічність - Визначається витратами ресурсів ЕОМ пам'яті та часу на її реалізацію та експлуатацію.

Математичне моделювання.

Основні етапи моделювання.

1. Постановка задачі.

Визначення мети аналізу та шляхи її досягнення та вироблення загального підходудо досліджуваної проблеми. На цьому етапі потрібне глибоке розуміння суті поставленого завдання. Іноді правильно поставити завдання не менш складно, ніж її вирішити. Постановка – процес не формальний, загальних правил немає.

2. Вивчення теоретичних основ та збирання інформації про об'єкт оригіналу.

На цьому етапі підбирається або розробляється відповідна теорія. Якщо її немає, встановлюються причинно-наслідкові зв'язки між змінними описуючими об'єктами. Визначаються вхідні та вихідні дані, приймаються спрощувальні припущення.

3. Формалізація.

Полягає у виборі системи умовних позначень і з допомогою записувати відносини між складовими об'єкта як математичних выражений. Встановлюється клас завдань, до яких можна віднести отримана математична модель об'єкта. Значення деяких параметрів на цьому етапі можуть бути не конкретизовані.

4. Вибір способу решения.

У цьому етапі встановлюються остаточні параметри моделей з урахуванням умови функціонування об'єкта. Для отриманої математичної задачі вибирається будь-який метод розв'язання або розробляється спеціальний метод. При виборі методу враховуються знання користувача, переваги, а також переваги розробника.

5. Реалізація моделі.

Розробивши алгоритм, пишеться програма, яка налагоджується, тестується і виходить вирішення потрібної задачі.

6. Аналіз отриманої інформації.

Зіставляється отримане та передбачуване рішення, проводиться контроль похибки моделювання.

7. Перевірка адекватності реальному об'єкту.

Результати, отримані за моделлю зіставляютьсяабо з наявною об'єктом інформацією або проводиться експеримент та його результати зіставляються з розрахунковими.

Процес моделювання є ітеративним. У разі незадовільних результатів етапів 6. або 7. здійснюється повернення до одного з ранніх етапів, що могло призвести до розробки невдалої моделі. Цей етап і всі наступні уточнюються і таке уточнення моделі відбувається доти, доки не будуть отримані прийнятні результати.

Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ чи об'єктів реального світу мовою математики. Основна мета моделювання – дослідити ці об'єкти та передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає змогу керувати ним.

Математичне моделювання та пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент в історії, щоб перевірити, «що було б, якби...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з поширення будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибухвивчити його наслідки. Однак все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі явищ, що вивчаються.

1.1.2 2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі визначається певний «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процесі т. д. У цьому, зазвичай, чітке опис ситуації утруднено.Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Розв'язання математичного завдання, до якого наводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методіврозв'язання задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.

3) Інтерпретація одержаних наслідків з математичної моделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була адекватнішою дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.

1.1.3 3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні, однозначні прогнози. Моделі другого типу ґрунтуються на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають ймовірнісний характер.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ВСІЙ КОМП'ЮТЕРИЗАЦІЯ АБО ІМІТАЦІЙНІ МОДЕЛІ

Зараз, коли в країні відбувається чи не загальна комп'ютеризація, від фахівців різних професій доводиться чути висловлювання: "Ось впровадимо у себе ЕОМ, тоді всі завдання відразу ж будуть вирішені". Ця думка зовсім не вірна, самі по собі ЕОМ без математичних моделей тих чи інших процесів нічого зробити не зможуть і про загальну комп'ютеризацію можна лише мріяти.

На підтвердження вищесказаного спробуємо обґрунтувати необхідність моделювання, в тому числі математичного, розкриємо його переваги у пізнанні та перетворенні людиною зовнішнього світу, Виявимо існуючі недоліки і підемо ... до імітаційного моделювання, тобто. моделювання з використанням ЕОМ. Але все гаразд.

Насамперед відповімо на запитання: що таке модель?

Модель – це матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові властивості.

Добре побудована модель доступніша для дослідження – ніж реальний об'єкт. Наприклад, неприпустимі експерименти з економікою країни з пізнавальною метою, тут без моделі не обійтися.

Резюмуючи сказане, можна відповісти на запитання: для чого потрібні моделі? Для того щоб

• зрозуміти, як влаштований об'єкт (його структура, властивості, закони розвитку, взаємодії з навколишнім світом).
• навчитися керувати об'єктом (процесом) та визначати найкращі стратегії
• прогнозувати наслідки на об'єкт.

Що позитивного у будь-якій моделі? Вона дозволяє отримати нові знання про об'єкт, але, на жаль, тією чи іншою мірою не сповнена.

Модельсформульована мовою математики з використанням математичних методів називається математичною моделлю.

Вихідним пунктом її побудови зазвичай є деяке завдання, наприклад, економічна. Широко поширені як дескриптивні, так і оптимізаційні математичні, що характеризують різні економічні процесита явища, наприклад:

• розподіл ресурсів
• раціональний розкрій
• транспортні перевезення
• укрупнення підприємств
• мережеве планування.

Як відбувається побудова математичної моделі?

• По-перше, формулюється мета та предмет дослідження.
• Во–вторых , виділяються найважливіші показники, відповідні цієї мети.
• По-третє, словесно описуються взаємозв'язки між елементами моделі.
• Далі взаємозв'язок формалізується.
• І проводиться розрахунок з математичної моделі та аналіз отриманого рішення.

Використовуючи цей алгоритм можна вирішити будь-яку оптимізаційну задачу, зокрема і багатокритеріальну, тобто. ту в якій переслідується не одна, а кілька цілей, зокрема суперечливих.

Наведемо приклад. Теорія масового обслуговування- Проблема утворення черг. Потрібно врівноважити два фактори – витрати на утримання обслуговуючих пристроїв та витрати на перебування у черзі. Побудувавши формальний опис моделі проводять розрахунки, використовуючи аналітичні та обчислювальні методи. Якщо модель хороша, відповіді знайдені з її допомогою адекватні моделюючій системіякщо погана, то підлягає поліпшенню та заміні. Критерієм адекватності є практика.

Оптимізаційні моделі, зокрема багатокритеріальні, мають загальна властивість- відома мета (або кілька цілей) для досягнення якої часто доводиться мати справу зі складними системами, де йдеться не стільки про вирішення оптимізаційних завдань, скільки про дослідження та прогнозування станів залежно від стратегій управління, що обираються. І тут ми стикаємося із труднощами реалізації колишнього плану. Вони полягають у наступному:

• складна система містить багато зв'язків між елементами
• реальна система піддається впливу випадкових факторів, облік їх аналітичним шляхом неможливий
• Можливість зіставлення оригіналу з моделлю існує лише на початку та після застосування математичного апарату, т.к. проміжні результати можуть не мати аналогів у реальній системі.

У зв'язку з перерахованими труднощами, що виникають щодо складних систем, практика зажадала більш гнучкий метод, і він виник – імітаційне моделювання " Simujation modeling " .

Зазвичай під імітаційною моделлю розуміється комплекс програм для ЕОМ, що описує функціонування окремих блоків систем та правил взаємодії між ними. Використання випадкових величинробить необхідним багаторазове проведення експериментів з імітаційною системою(на ЕОМ) та наступний статистичний аналізодержаних результатів. Досить поширеним прикладом використання імітаційних моделей є вирішення задачі масового обслуговування методом МОНТЕ-КАРЛО.

Таким чином, робота з імітаційною системою є експериментом, здійснюваним на ЕОМ. У чому полягають переваги?

-Велика близькість до реальної системи, ніж у математичних моделей;

-Блоковий принцип дає можливість верифікувати кожен блок до його включення до загальної системи;

–Використання залежностей складнішого характеру, не описуваних простими математичними співвідношеннями.

Перелічені переваги визначають недоліки

-Побудувати імітаційну модель довше, важче і дорожче;

-Для роботи з імітаційною системою необхідна наявність відповідної за класом ЕОМ;

-взаємодія користувача та імітаційної моделі (інтерфейс) має бути не надто складним, зручним та добре відомим;

-Побудова імітаційної моделі вимагає більш глибокого вивчення реального процесу, ніж математичне моделювання.

Постає питання: чи може імітаційне моделювання замінити методи оптимізації? Ні, але зручно доповнює їх. Імітаційна модель – це програма, що реалізує певний алгоритм, для оптимізації управління яким раніше вирішується оптимізаційне завдання.

Отже, ні ЕОМ, ні математична модель, ні алгоритм її дослідження порізно що неспроможні вирішити достатньо складне завдання. Але разом вони уявляють ту силу, яка дозволяє пізнавати навколишній світкерувати ним на користь людини.

1.2 Класифікація моделей

ЕОМ міцно увійшла в наше життя, і практично немає такої галузі людської діяльності, де не застосовувалася б ЕОМ ЕОМ зараз широко використовується в процесі створення та дослідження нових машин, нових технологічних процесів та пошуку їх оптимальних варіантів; під час вирішення економічних завдань, під час вирішення завдань планування і управління виробництвом різних рівнях. Створення великих об'єктів у ракетотехніці, авіабудуванні, суднобудуванні, і навіть проектування гребель, мостів, та інших. взагалі неможливе без застосування ЕОМ.

Для використання ЕОМ під час вирішення прикладних завдань, передусім прикладна завдання має бути " перекладена " формальний математичну мову, тобто. для реального об'єкта, процесу чи системи має бути побудована його математична модель.

Слово "Модель" походить від латинського modus (копія, образ, контур). Моделювання - це заміщення деякого об'єкта А іншим об'єктом Б. Об'єкт А, що заміщується, називається оригіналом або об'єктом моделювання, а заміщаючий Б - моделлю. Іншими словами, модель – це об'єкт-замінник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу.

Метою моделювання є отримання, обробка, подання та використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою та зовнішнім середовищем; а модель тут постає як пізнання якостей і закономірності поведінки об'єкта.

Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкта, процесу чи системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.

Математичне моделювання - процес побудови та вивчення математичних моделей реальних процесів та явищ. Всі природні та громадські науки, що використовують математичний апарат, По суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об'єкт його моделлю і потім вивчають останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище, що повністю вивчається, і питання про застосовність отриманих таким чином результатів є дуже змістовними. Математична модель – це спрощений опис реальності за допомогою математичних понять.

Математична модель виражає суттєві риси об'єкта або процесу мовою рівнянь та інших математичних засобів. Власне, сама математика зобов'язана своїм існуванням з того що вона намагається відобразити, тобто. промоделювати, своєю специфічною мовою закономірності навколишнього світу.

При математичне моделюванняВивчення об'єкта здійснюється за допомогою моделі, сформульованої мовою математики з використанням тих чи інших математичних методів.

Шлях математичного моделювання в наш час набагато більш всеосяжний, ніж моделювання натурного. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання дало появу ЕОМ, хоча сам метод зародився одночасно з математикою тисячі років тому.

Математичне моделювання як таке не завжди вимагає комп'ютерної підтримки. Кожен фахівець, який професійно займається математичним моделюванням, робить все можливе для аналітичного дослідження моделі. Аналітичні рішення(тобто представлені формулами, що виражають результати дослідження через вихідні дані) зазвичай зручніше та інформативніше чисельних. Можливості аналітичних методів вирішення складних математичних завдань, однак, дуже обмежені і, як правило, ці методи набагато складніші за чисельні.

Математична модель є наближеним уявленням реальних об'єктів, процесів або систем, вираженим у математичних термініві що зберігає істотні риси оригіналу. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу або системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки

Усі моделі можна розділити на два класи:

1. речові,
2. ідеальні.

У свою чергу речові моделі можна розділити на:

1. натурні,
2. фізичні,
3. математичні.

Ідеальні моделі можна поділити на:

1. наочні,
2. знакові,
3. математичні.

Речовинні натурні моделі - це реальні об'єкти, процеси та системи, над якими виконуються експерименти наукові, технічні та виробничі.

Речові фізичні моделі – це макети, муляжі, що відтворюють фізичні властивості оригіналів (кінематичні, динамічні, гідравлічні, теплові, електричні, світлові моделі).

Речові математичні – це аналогові, структурні, геометричні, графічні, цифрові та кібернетичні моделі.

Ідеальні наочні моделі – це схеми, карти, креслення, графіки, графи, аналоги, структурні та геометричні моделі.

Ідеальні знакові моделі – це символи, алфавіт, мови програмування, впорядкований запис, топологічний запис, мережеве уявлення.

Ідеальні математичні моделі – це аналітичні, функціональні, імітаційні, комбіновані моделі.

У наведеній класифікації деякі моделі мають подвійне тлумачення (наприклад аналогові). Усі моделі, крім натурних, можна поєднати до одного класу уявних моделей, т.к. є продуктом абстрактного мислення людини.

Елементи теорії гри

У загальному випадкуРозв'язання гри представляє досить важке завдання, причому складність завдання та обсяг необхідних для вирішення обчислень різко зростає зі збільшенням. Однак це проблеми не носять принципового характеру і пов'язані лише дуже великим обсягом розрахунків, який у ряді випадків може виявитися практично нездійсненним. Важлива сторона способу пошуку рішення залишається за будь-якого однієї й тієї ж.

Проілюструємо це на прикладі гри. Дамо їй геометричну інтерпретацію – вже просторову. Три наші стратегії, зобразимо трьома точками на площині ; перша лежить на початку координат (рис.1). друга та третя - на осях Охі Оуна відстані 1 від початку.

Через точки проводяться осі I-I, II-II та III-III, перпендикулярні до площини. . На осі I-I відкладаються виграші за стратегії на осях II-II і III-III - виграші при стратегіях. Кожна стратегія противника зобразиться площиною, що відсікає на осях І-І, ІІ-ІІ та ІІІ-ІІІ, відрізки, рівні виграшам

при відповідних стратегія та стратегія . Побудувавши, таким чином, всі стратегії супротивника, ми отримаємо сімейство площин над трикутником (рис2).

Для цього сімейства також можна побудувати нижню межу виграшу, як ми це робили у випадку, і знайти на цьому кордоні точку N з максимальною висотоюнал площиною . Ця висота і буде ціною гри.

Частоти стратегій в оптимальній стратегії будуть визначатися координатами (x, у)точки N, а саме:

Однак така геометрична побудова навіть для випадку нелегко здійсненна і потребує великої витрати часу та зусиль уяви. У загальному випадку гри воно переноситься в - мірний простір і втрачає будь-яку наочність, хоча вживання геометричної термінології в ряді випадків може виявитися корисним. При вирішенні ігор практично зручніше користуватися не геометричними аналогіями, а розрахунковими аналітичними методамиТим більше, що для вирішення задачі на обчислювальних машинах ці методи єдино придатні.

Всі ці методи по суті зводяться до розв'язання задачі шляхом послідовних проб, але впорядкування послідовності проб дозволяє побудувати алгоритм, що веде до вирішення найбільш економічним способом.

Тут ми коротко зупинимося на одному розрахунковому методі вирішення ігор - на так званому методі "лінійного програмування".

Для цього дамо спочатку загальну постановку задачі про знаходження рішення гри. Нехай дана гра з тстратегіями гравця Аі nстратегіями гравця Ута задана платіжна матриця

Потрібно знайти рішення гри, тобто дві оптимальні змішані стратегії гравців А та В

де (деякі з чисел можуть бути рівними нулю).

Наша оптимальна стратегія S* Aповинна забезпечувати нам виграш, не менший, за будь-якої поведінки противника, і виграш, рівний, при його оптимальній поведінці (стратегія S* B). Аналогічно стратегія S* Bповинна забезпечувати противнику програш, не більший, при будь-якій нашій поведінці і рівний при нашій оптимальній поведінці (стратегія S* A).

Величина ціни гри в даному випадкунам невідома; будемо вважати, що вона дорівнює деякому позитивному числу. Вважаючи так, ми не порушуємо спільності міркувань; щоб було > 0, очевидно, достатньо, щоб усі елементи матриці були неотрицательными. Цього завжди можна досягти, додаючи до елементів досить велику позитивну величину L; при цьому ціна гри збільшиться на L, а рішення не зміниться.

Нехай ми вибрали свою оптимальну стратегію S*A.Тоді наш середній виграш при стратегії супротивника дорівнюватиме:

Наша оптимальна стратегія S* Aволодіє тим властивістю, що з будь-якій поведінці противника забезпечує виграш не менший, ніж ; отже, будь-яке з чисел може бути менше . Отримуємо низку умов:

(1)

Розділимо нерівності (1) на позитивну величину та позначимо:

Тоді умова (1) запишеться у вигляді

(2)

де - Невід'ємні числа. Так як величини задовольняють умові

Ми хочемо зробити свій гарантований виграш максимально можливим; очевидно, при цьому права частинарівності (3) набуває мінімального значення.

Таким чином, завдання знаходження рішення гри зводиться до наступної математичної задачі: визначити невід'ємні величини , що задовольняють умовам (2), так, щоб їх сума

була мінімальною.

Зазвичай під час вирішення завдань, що з знаходженням екстремальних значень (максимумів і мінімумів), функцію диференціюють і прирівнюють похідні нулю. Але такий прийом у даному випадку некорисний, тому що функція Ф, яку потрібнозвернути в мінімум, лінійна, і її похідні за всіма аргументами дорівнюють одиниці, тобто ніде не звертаються в нуль. Отже, максимум функції досягається десь на межі області зміни аргументів, що визначається вимогою невід'ємності аргументів та умовами (2). Прийом знаходження екстремальних значень за допомогою диференціювання непридатний і в тих випадках, коли для вирішення гри визначається максимум нижньої (або мінімум верхньої) межі виграшу, як ми. наприклад, робили при вирішенні ігор. Дійсно, нижня межа складена з ділянок прямих ліній, і максимум досягається не в точці, де похідна дорівнює нулю (такої точки взагалі немає), а на межі інтервалу або в точці перетину прямолінійних ділянок.

Для вирішення подібних завдань, які досить часто зустрічаються на практиці, в математиці розроблено спеціальний апарат лінійного програмування.

Завдання лінійного програмування ставиться в такий спосіб.

Дана система лінійних рівнянь:

(4)

Потрібно знайти невід'ємні значення величин, що задовольняють умовам (4) і водночас звертають у мінімум задану однорідну лінійну функцію величин (лінійну форму):

Легко переконатися, що поставлене вище завдання теорії ігор є окремим випадком задачі лінійного програмування при

З першого погляду може здатися, що умови (2) не еквівалентні умовам (4), оскільки замість знаків рівності містять знаки нерівності. Однак від знаків нерівності легко позбутися, вводячи нові фіктивні невід'ємні змінні та записуючи умови (2) у вигляді:

(5)

Форма Ф, яку потрібно звернути в мінімум, дорівнює

Апарат лінійного програмування дозволяє шляхом порівняно невеликої кількості послідовних спроб підібрати величини , що задовольняють поставленим вимогам. Для більшої ясності ми продемонструємо застосування цього апарату прямо на матеріалі вирішення конкретних ігор.

Лекція №1

Вступ. Поняття математичних моделей та методів

Розділ 1. Вступ

2. Методи побудови математичних моделей. Поняття про системний підхід. 1

3. Основні поняття математичного моделювання економічних систем.

4. Методи аналітичного, імітаційного та натурного моделювання. 5

Контрольні питання.

1. Зміст, цілі та завдання дисципліни «Методи моделювання»

Ця дисципліна присвячена вивченню методів моделювання та практичному застосуванню отриманих знань. Метою дисципліни є навчання студентів загальним питаннямтеорії моделювання, методів побудови математичних моделей та формального опису процесів та об'єктів, застосування математичних моделей для проведення обчислювальних експериментівта вирішення оптимізаційних завдань, з використанням сучасних обчислювальних засобів.

До завдань дисципліни входить:

Ознайомити студентів з основними поняттями теорії математичного моделювання, теорії систем, теорії подоби, теорії планування експерименту та обробки експериментальних даних, що використовуються для побудови математичних моделей,

Дати студентам навички в галузі постановки задачі моделювання, математичного описуоб'єктів /процесів/, чисельних методів реалізації математичних моделей на ЕОМ та вирішення оптимізаційних завдань.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен освоїти методи математичного моделювання процесів та об'єктів від постановки завдання до реалізації математичних моделей на ЕОМ та оформлення результатів дослідження моделей.

Курс дисципліни розрахований на 12 лекцій та 12 практичних робіт. Через війну вивчення дисципліни студент має освоїти методи математичного моделювання від постановки завдання до реалізації математичних моделей на ЕОМ

2. Методи побудови математичних моделей. Поняття про системний підхід

5. Розв'язання задачі.

Послідовне використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасній інформаційно-обчислювальній техніці дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити так звані вольові рішення, засновані не на строгому та точному обліку об'єктивних обставин, а на випадкових емоціях та особистій зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж не можуть узгодити свої вольові рішення.

Системний аналіз дозволяє врахувати і використовувати в управлінні всю наявну інформацію про об'єкт, що керується, узгодити прийняті рішення з точки зору об'єктивного, а не суб'єктивного, критерію ефективності. Заощаджувати на обчисленнях при управлінні те саме, що економити на прицілюванні при пострілах. Однак ЕОМ не тільки дозволяє врахувати всю інформацію, а й позбавляє управлінця від непотрібної йому інформації, а всю потрібну пускає в обхід людини, представляючи їй лише узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід економіки ефективний і сам собою, без використання ЕОМ, як засіб дослідження, у своїй він змінює раніше відкритих економічних законів, лише вчить, як їх краще использовать.

4. Методи аналітичного, імітаційного та натурного моделювання

Моделювання являє собою потужний метод наукового пізнання, при використанні якого об'єкт, що досліджується, замінюється більш простим об'єктом, званим моделлю. Основними різновидами процесу моделювання можна вважати два його види – математичне та фізичне моделювання. При фізичному (натурному) моделюванні досліджувана система замінюється відповідною їй іншою матеріальною системою, яка відтворює властивості системи, що вивчається, зі збереженням їх фізичної природи. Прикладом цього виду моделювання може бути пілотна мережа, за допомогою якої вивчається важлива можливість побудови мережі на основі тих чи інших комп'ютерів, комунікаційних пристроїв, операційних систем та додатків.

Можливості фізичного моделюваннядосить обмежені. Воно дозволяє вирішувати окремі завдання при заданні невеликої кількості поєднань досліджуваних параметрів системи. Дійсно, при натурному моделюванні обчислювальної мережі практично неможливо перевірити її роботу для варіантів з використанням різних типів комунікаційних пристроїв - маршрутизаторів, комутаторів і т.п. чималими матеріальними витратами.

Але навіть у тих випадках, коли при оптимізації мережі змінюються не типи пристроїв і операційних систем, а лише їх параметри, проведення експериментів у реальному масштабі часу для величезної кількості всіляких поєднань цих параметрів практично неможливо за доступний для огляду час. Навіть проста зміна максимального розміру пакета в якомусь протоколі потребує переконфігурування операційної системи в сотнях комп'ютерів мережі, що вимагає від адміністратора мережі проведення дуже великої роботи.

Тому при оптимізації мереж у багатьох випадках кращим виявляється використання математичного моделювання. Математична модель є сукупністю співвідношень (формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов), що визначають процес зміни стану системи в залежності від її параметрів, вхідних сигналів, початкових умовта часу.

Особливим класом математичних моделей є імітаційні моделі. Такі моделі є комп'ютерну програмуяка крок за кроком відтворює події, що відбуваються в реальній системі. Стосовно обчислювальних мереж їх імітаційні моделі відтворюють процеси генерації повідомлень додатками, розбиття повідомлень на пакети і кадри певних протоколів, затримки, пов'язані з обробкою повідомлень, пакетів і кадрів всередині операційної системи, процес отримання доступу комп'ютером до мережного середовища, що розділяється, процес обробки і т. д. При імітаційному моделюванні мережі не потрібно купувати дороге обладнання - його роботи імітується програмами, що досить точно відтворюють всі основні особливості та параметри такого обладнання.

Перевагою імітаційних моделей є можливість підміни процесу зміни подій у досліджуваній системі в реальному масштабі часу прискорений процесзміни подій у темпі роботи програми. В результаті за кілька хвилин можна відтворити роботу мережі протягом декількох днів, що дає можливість оцінити роботу мережі в широкому діапазоні параметрів, що варіюються.

Результатом роботи імітаційної моделі є зібрані в ході спостереження за подіями, що протікають, статистичні дані про найбільш важливих характеристикахмережі: часи реакції, коефіцієнти використання каналів і вузлів, ймовірність втрат пакетів тощо.

Існують спеціальні мовиімітаційного моделювання, що полегшує процес створення програмної моделі в порівнянні з використанням універсальних мов програмування. Прикладами мов імітаційного моделювання можуть бути такі мови, як SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Існують також системи імітаційного моделювання, які орієнтуються на вузький клас систем, що вивчаються, і дозволяють будувати моделі без програмування.

Контрольні питання

За підручником Радова і Яковлєва: «модель (лат. modulus – міра) – це об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу.» (С. 6) «Заміщення одного об'єкта іншим з метою отримання інформації про найважливіші властивості об'єкта-оригіналу за допомогою об'єкта-моделі називається моделюванням.» (с. 6) «Під математичним моделюванням розумітимемо процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, званого математичною моделлю, і дослідження цієї моделі, що дозволяє отримувати характеристики реального об'єкта, що розглядається. Вид математичної моделі залежить як від природи реального об'єкта, так і завдань дослідження об'єкта та необхідної достовірності та точності вирішення цього завдання.

Нарешті, найбільш лаконічне визначення математичної моделі: "Рівняння, що виражає ідею."

Класифікація моделей

Формальна класифікація моделей

Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій:

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною чи нелінійною, детермінованою чи стохастичною, … Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені (у частині параметрів), в іншому – розподілені моделі тощо.

Класифікація за способом представлення об'єкта

Поряд з формальною класифікацією моделі відрізняються за способом представлення об'єкта:

• Структурні чи функціональні моделі

Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм та механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких уявлень і відображають лише зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. У їхньому граничному вираженні вони називаються також моделями «чорної скриньки». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями «сірої скриньки».

Змістовні та формальні моделі

Майже всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель. Усталеної термінології тут немає, інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель , умоглядна модельабо передмодель. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлюабо просто математичною моделлю, отриманої внаслідок формалізації даної змістовної моделі (передмоделі). Побудова змістовної моделі може здійснюватися за допомогою набору готових ідеалізацій, як у механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища тощо дають готові структурні елементи для змістовного моделювання. Однак у галузях знання, де не існує повністю завершених формалізованих теорій (передній край фізики, біологія, економіка, соціологія, психологія, та більшість інших областей), створення змістовних моделей різко ускладнюється.

Змістовна класифікація моделей

Жодна гіпотеза в науці не буває доведена раз і назавжди. Дуже чітко це сформулював Річард Фейнман:

«У нас завжди є можливість спростувати теорію, але, зверніть увагу, ми ніколи не можемо довести, що вона є правильною. Припустимо, що ви висунули вдалу гіпотезу, розрахували, до чого це веде, і з'ясували, що її наслідки підтверджуються експериментально. Чи це означає, що ваша теорія правильна? Ні, просто це означає, що вам не вдалося її спростувати.

Якщо модель першого типу побудована, то це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але лише часовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише часовим.

Тип 2: Феноменологічна модель (поводимося так, ніби якби…)

Феноменологічна модель містить механізм опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплороду та кваркову модель елементарних частинок.

Роль моделі у дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність із моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені на другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру, пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайєрлс виділяє три типи спрощень у моделюванні.

Тип 3: Наближення (щось вважаємо дуже великим чи дуже малим)

Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад - закон Ома.

А ось і тип 8, поширений в математичних моделях біологічних систем.

Тип 8: Демонстрація можливості (головне - показати внутрішню несуперечність можливості)

Це теж уявні експерименти з уявними сутностями, які демонструють, що передбачуване явищеузгоджується з базовими принципами та внутрішньо несуперечливо. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя.

Один із найзнаменитіших таких експериментів - геометрія Лобачевського (Лобачевський називав її «уявною геометрією»). Інший приклад – масове виробництво формально – кінетичних моделей хімічних та біологічних коливань, автохвиль та ін. Парадокс Ейнштейна – Подільського – Розена був задуманий як модель 7 типу, для демонстрації суперечливості квантової механіки. Абсолютно незапланованим чином він згодом перетворився на модель 8 типу – демонстрацію можливості квантової телепортації інформації.

приклад

Розглянемо механічну систему, що складається з пружини, закріпленої з одного кінця, та вантажу масою m, прикріпленого до вільного кінця пружини Вважатимемо, що вантаж може рухатися тільки в напрямку осі пружини (наприклад, рух відбувається вздовж стрижня). Побудуємо математичну модель цієї системи. Описуватимемо стан системи відстанню xвід центру вантажу до положення рівноваги. Опишемо взаємодію пружини та вантажу за допомогою закону Гука (F = − kx ) після чого скористаємось другим законом Ньютона , щоб висловити його у формі диференціального рівняння :

де означає другу похідну від xпо часу: .

Отримане рівняння визначає математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонічним осцилятором".

За формальною класифікацією ця модель лінійна, детерміністка, динамічна, зосереджена, безперервна. У процесі її побудови ми зробили безліч припущень (про відсутність зовнішніх сил, відсутність тертя, небагато відхилень і т.д.), які насправді можуть не виконуватися.

По відношенню до реальності це найчастіше модель типу 4 спрощення(«опустимо для ясності деякі деталі»), оскільки опущені деякі суттєві універсальні особливості (наприклад, дисипація). У деякому наближенні (скажімо, поки відхилення вантажу від рівноваги невелике, при малому терті, протягом невеликого часу і при дотриманні деяких інших умов), така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки відкинуті фактори мають зневажливо малий вплив на її поведінку. . Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь із цих факторів. Це призведе до нової моделі, з більш широкою (хоч і знову обмеженою) областю застосування.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може значно зрости і зробити модель практично марною. Часто більше проста модельдозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, ніж складніша (і, формально, «правильніша»).

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія(«врахуємо лише деякі особливості»).

Жорсткі та м'які моделі

Гармонічний осцилятор – приклад так званої «жорсткої» моделі. Вона отримана внаслідок сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Для вирішення питання про її застосування необхідно зрозуміти, наскільки суттєвими є фактори, якими ми знехтували. Іншими словами, потрібно дослідити «м'яку» модель, що виходить малим обуренням «жорсткою». Вона може задаватися, наприклад, наступним рівнянням:

Тут - деяка функція, у якій може враховуватися сила тертя чи залежність коефіцієнта жорсткості пружини від її розтягування, - деякий малий параметр. Явний вид функції fнас зараз не цікавить. Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі принципово не відрізняється від поведінки жорсткої (незалежно від явного виду факторів, що обурюють, якщо вони досить малі), завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. В іншому випадку застосування результатів, отриманих при вивченні жорсткої моделі, вимагатиме додаткових досліджень. Наприклад, рішенням рівняння гармонійного осцилятора є функції виду, тобто коливання постійної амплітудою. Чи випливає з цього, що реальний осцилятор нескінченно довго вагатиметься з постійною амплітудою? Ні, оскільки розглядаючи систему зі скільки завгодно малим тертям (завжди присутнім у реальній системі), ми отримаємо загасаючі коливання. Поведінка системи якісно змінилася.

Якщо система зберігає свою якісну поведінку при малому обуренні, то кажуть, що вона структурно стійка. Гармонічний осцилятор – приклад структурно-нестійкої (негрубою) системи. Проте, цю модель можна використовуватиме вивчення процесів на обмежених проміжках часу.

Універсальність моделей

Найважливіші математичні моделі зазвичай мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явищаможуть описуватися однією і тією ж математичною моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поведінку вантажу на пружині, але й інші коливальні процеси, що часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини U-подібна посудина або зміна сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, що виражаються математичними моделями у різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення «Загальної теорії систем».

Пряме та зворотне завдання математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних із математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему об'єкта, що моделюється, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється на систему пластин і більше складних тілз різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики міцності), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються, як несуттєві, проводяться розрахунки, порівнюються з вимірами, модель уточнюється, і так далі. Проте розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи завдань, пов'язаних з математичними моделями: прямі та зворотні.

Пряме завдання: структура моделі та всі її параметри вважаються відомими, Головна задача- Провести дослідження моделі для отримання корисного знання про об'єкт. Яке статичне навантаження витримає міст? Як він реагуватиме на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда ні різної швидкості), як літак подолає звуковий бар'єр, чи не розвалиться він від флаттера. типові прикладипряме завдання. Постановка правильного прямого завдання (завдання правильного питання) вимагає спеціальної майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо було побудовано гарну модель для його поведінки. Так, в 1879 р. в Англії обрушився металевий міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про вітри, що постійно дмуть у тих місцях. І через півтора роки він звалився.

У найпростішому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже просте і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотне завдання: відомо безліч можливих моделейтреба вибрати конкретну модельна підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше структура моделі відома, і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати у додаткових емпіричних даних, або у вимогах до об'єкта ( завдання проектування). Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу рішення зворотного завдання (пасивне спостереження) або бути результатом спеціально планованого в ході вирішення експерименту ( активне спостереження).

Одним із перших прикладів віртуозного вирішення зворотного завдання з максимально повним використаннямдоступних даних був побудований І. Ньютоном метод відновлення сил тертя по спостережуваним загасаючим коливанням.

Додаткові приклади

де x s- «Рівноважний» розмір популяції, при якому народжуваність точно компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне рівноважного значення x s, причому така поведінка структурно стійка.

Ця система має рівноважний стан, коли кількість кроликів і лисиць постійно. Відхилення від цього стану призводить до коливань чисельності кроликів і лисиць, аналогічним коливанням гармонійного осцилятора. Як і у випадку гармонійного осцилятора, ця поведінка не є структурно стійкою: мала зміна моделі (наприклад, що враховує обмеженість ресурсів, необхідних кроликам) може призвести до якісної зміни поведінки. Наприклад, рівноважний стан може стати стійким, і коливання чисельності згасатимуть. Можлива і протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який із цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерра – Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.

Примітки

1. "A matematical representation of reality" (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик І. Б., Про філософських питанняхкібернетичного моделювання. М., Знання, 1964.
3. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарський А. А., Михайлов А. П.Математичне моделювання. Ідеї. Методи. приклади. . - 2-ге вид., випр. - М.: Фізматліт, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: mathematical model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches для Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. «Теорія вважається лінійною чи нелінійною залежно від того, який – лінійний чи нелінійний – математичний апарат, які – лінійні чи нелінійні – математичні моделі вона використовує. … ез заперечення останньої. Сучасний фізик, доведися йому заново створювати визначення такої важливої ​​сутності, як нелінійність, швидше за все, вчинив би інакше, і, віддавши перевагу нелінійності як більш важливій та поширеній з двох протилежностей, визначив би лінійність як „не нелінійність“.» Данилов Ю. А., Лекції з нелінійної динаміки. Елементарне запровадження. Серія "Синергетика: від минулого до майбутнього". Вид.2. – M.: URSS, 2006. – 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамічні системи, що моделюються кінцевим числомзвичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими чи точковими системами. Вони описуються з допомогою кінцевого фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна й та система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння у приватних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння із запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченне, і потрібна нескінченна кількість даних для визначення її стану. Аніщенко В. С., Динамічні системи, Соросівський освітній журнал, 1997 № 11, с. 77-84.
11. «Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі S всі види моделювання можуть бути поділені на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, дискретні, безперервні та дискретно-безперервні. Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів; стохастичне моделювання відображає імовірнісні процеси та події. … Статичне моделювання служить для опису поведінки об'єкта у час, а динамічне моделювання відбиває поведінка об'єкта у часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделюваннядозволяє відобразити безперервні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність дискретних, так і безперервних процесів.» Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Зазвичай у математичної моделі відбивається структура (пристрій) моделируемого об'єкта, суттєві з метою дослідження якості та взаємозв'язку компонентів цього об'єкта; така модель називається структурною. Якщо ж модель відображає тільки те, як об'єкт функціонує - наприклад, як він реагує на зовнішні дії, - вона називається функціональною або, образно, чорним ящиком. Можливі моделі комбінованого типу. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. - М: КомКнига, 2007. - 192 з ISBN 978-5-484-00953-4
13. «Очевидний, але найважливіший початковий етаппобудови або вибору математичної моделі - це отримання по можливості більш чіткого уявлення про об'єкт, що моделюється, і уточнення його змістовної моделі, засноване на неформальних обговореннях. Не можна шкодувати часу та зусиль на цей етап, від нього значною мірою залежить успіх всього дослідження. Не раз бувало, що значна праця, витрачена на вирішення математичного завдання, виявлялася малоефективною або навіть витраченою марно через недостатню увагу до цієї сторони справи. Мишкіс А. Д.Елементи теорії математичних моделей. - 3-тє вид., Випр. – М.: КомКнига, 2007. – 192 з ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. « Опис концептуальної моделі системи.На цьому підетапі побудови моделі системи: а) описується концептуальна модель М в абстрактних термінах та поняттях; б) надається опис моделі з використанням типових математичних схем; в) приймаються остаточно гіпотези та припущення; г) обґрунтовується вибір процедури апроксимації реальних процесів при побудові моделі. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Навч. для вузів - 3-тє вид., перераб. та дод. - М: Вищ. шк., 2001. – 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.