Які вам відомі форми уявлення залежностей. §36 Моделювання залежностей між величинами

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійної швидкостіпройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежністьвід зворотного можна використати прислів'я: «Чим далі в ліс, тим більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числадо меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямі від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

Тема уроку "Залежність між величинами".

Цілі уроку:

1.Дати поняття залежності між величинами, з'ясувати способи їхнього завдання.

2.Розвивати здатність учнів аналізувати та синтезувати навчальний матеріал.

3.Виховувати творче ставленнядо навчальної праці.

4.Поднести навчальний матеріал через емоційно - переживальну сферу учня.

А тепер опишемо з технології побудови вчителем методики уроку з технології діяльнісного методу.

1. Етап самовизначення норми N

На цьому етапі визначається тема та навчальна мета уроку: «На уроці ми розглянемо залежність між різними величинами», тобто оголошується операція без уточнення умов її застосування.

2. Етап актуалізації знань та фіксація утруднення в діяльності.

У цьому етапі вчитель пропонує список завдань, виконання яких передбачає виконання відомої раніше норми.

Як знайти:

Площа прямокутника?

Периметр прямокутника?

Об `єм прямокутного паралелепіпеда?

Швидкість за течією?

Швидкість проти течії?

Останнім питанням на етапі актуалізації знань має бути питання, яке фіксує труднощі у діяльності учнів, тобто раніше вивчених знань не вистачає, виникає навчальна проблема. У даному випадкуце питання: «Для чого потрібні ці правила та відповідні формули?».

3. Етап постановки навчального завдання.

Вчитель ставить перед учнями проблему: Як виміряти площу ділянки прямокутної формиякщо ми не знаємо формулуS=ав? Можна розбити ділянку на прямокутники розміром 1 кв. метр і порахувати їхню кількість. Чи це зручно?

Учні відповідають, що це можливо, але незручно. Отже, формули потрібні обчислення величин, вимір яких важко.

Вчитель ставить ще переконливішу проблему: як виміряти відстань від Землі до Сонця? Отже, очевидна криза раніше відомої нормиN.

4. Етап побудови проекту виходу із скрути.

Вчені встановили, що відстань від Землі до Сонця становить 150 млн. км. А як вони довідалися про це? Спільно з дітьми з'ясовується формула обчислення відстані від Землі до Сонцяs= ct, Де с = 300000км,t=8 хв, час, протягом якого світло сягає Землі. Обчислення показують, щоs=2400000 км. Чому у нас вийшла розбіжність з відомим фактом?

Висновок: Формулу можна застосувати тільки в тому випадку, коли одиниці вимірювання величин, що входять до неї, узгоджені між собою.

На цьому етапі доречний вплив на емоційно-переживальну сферу учня за допомогою невеликої виховної бесіди. « Світло від Землі до Сонце йдепротягом 8 хвилин, отже, бачимо Сонце таким, яким воно було 8 хвилин тому. Є зірки, світло від яких іде до нас мільйони років: зірка може вже згасла, а світло від неї йде досі. Так само бувають і люди: людини вже немає з нами, а її тепло, світло зігрівають нас усе життя. Такою людиною був народний поетБашкортостану Мустай Карім, день пам'яті якого ми відзначаємо сьогодні. Його духовна енергія, тепло його серця служитиме нам моральним орієнтиром багато років».

На цьому етапі уроку учням пропонуються різні способизавдання залежностей між величинами: табличний, графічний та с допомогою формули.

Діти цьому етапі входять у ситуацію вибору методу рішення навчальної завдання: вони порівнюють різні способи завдання залежностей між величинами. Результати порівняння фіксуються на опорно-вузловій матриці.

Методи завдання Формула графік таблиця

1-універсальність, 2-точність, 3-наочність;

(Умовні позначення"Д" - так, "Н" - ні)

На основі аналізу опорно - вузлової матриці учні роблять висновок про те, що найкращим є завдання залежності між величинами за допомогою формули, тому що він має властивість універсальності: з формули можна отримати таблицю залежності і побудувати графік залежності між величинами.

5. Етап первинного закріплення у зовнішній мові.

Розбирається завдання №90

За однією формулою залежності ширини прямокутника від його довжини при постійній площі:b=12/а скласти таблицю цієї залежності та побудувати її графік.

1 ,5

1,5

Графік залежності довжини прямокутника від ширини

Отже, ми пов'язали 3 способи завдання залежностей між величинами:

За допомогою формули,

Графічний,

Табличний.

6. Етап самостійної роботиіз самоперевіркою за зразком.

Учні самостійно вирішують завдання на новий спосібдій, виконують самоперевірку за зразком і оцінюють свої результати. Створюється ситуація успіху, знову задіяна емоційно-переживальна сфера учня. На одному етапі учням пропонують завдання №133, №140. Задля реалізації принципу мінімаксу діяльнісної технології навчання учням пропонують завдання двох рівнів: М, А й У.

Рівень М: №133, А: №140. Рівень В: №145

7. Включення нових знань до знань.

На даному етапі учні переконуються, що новонабуті знання мають цінність для подальшого навчання. Виконуючи вправу №139, вони встановлюють залежність між

Об'ємомVкуба та його ребром а;

ПлощеюS прямокутного трикутникаі катетами а іb

ДіаметромDта радіусомRцього кола;

Довжиною сторони прямокутника, його периметром Р і площеюS;

Sкуба та його ребром а

Площею повної поверхніSпрямокутного паралелепіпеда та його вимірами а,bта с.

8. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)

Учні виконують самооцінку власної діяльності(Що нового дізналися, який метод використовували, успішність виконаних кроків). Відбувається фіксація успішності діяльності та висновок про наступні кроки. Виявляються учні, які виконали завдання рівня А та В.

Примітка.

Урок проведено за підручником Г.В.Дорофєєва, Л.Г.Петерсон. Математика, підручник для 6 класів. Частина 2. Ювента. 2011р

Величини та залежності між ними
Зміст розділу підручника пов'язані з комп'ютерним математичним моделюванням. Застосування математичного моделюванняпостійно вимагає врахування залежностей одних величин від інших. Наведемо приклади таких залежностей:
1) час падіння тіла на землю залежить від його первісної висоти;
2) тиск газу в балоні залежить від його температури;
3) рівень захворюваності жителів міста на бронхіальну астму залежить від концентрації шкідливих домішок у міському повітрі.
Реалізація математичної моделі комп'ютера (комп'ютерна математична модель) вимагає володіння прийомами уявлення залежностей між величинами.
Розглянемо різні методиуявлення залежностей.
Будь-яке дослідження слід розпочинати з виділення кількісних характеристик досліджуваного об'єкта. Такі показники називаються величинами.
З поняттям величини ви вже зустрічалися в базовому курсіінформатики. Нагадаємо, що з будь-якою величиною пов'язані три основні властивості: ім'я, значення, тип.
Ім'я величини може бути смисловим та символічним. Прикладом смислового імені є «тиск газу», а символічне ім'я цієї ж величини — Р. У базах даних величинами є поля записів. Для них, як правило, використовуються смислові імена, наприклад: Прізвище, вага, оцінка і т. п. У фізиці та інших науках, які використовують математичний апарат, застосовуються символічні імена позначення величин. Щоб не губився сенс, для певних величин використовуються стандартні імена. Наприклад, час позначають буквою t, швидкість - V, силу - F та ін.
Якщо значення величини не змінюється, вона називається постійною величиноючи константою. Приклад константи - число Піфагора = 3,14259 ... . Розмір, значення якої може змінюватися, називається змінною. Наприклад, в описі процесу падіння тіла змінними величинами є висота Н та час падіння t.
Третьою властивістю величини є її тип. З поняттям типу величини ви також зустрічалися, знайомлячись із програмуванням та базами даних. Тип визначає безліч значень, які може набувати величина. Основні типи величин: числовий, символьний, логічний. Оскільки в даному розділіми говоритимемо лише про кількісні характеристики, те й розглядатиметься лише величини числового типу.
А тепер повернемося до прикладів 1-3 і позначимо (назвемо) все змінні величини, залежності між якими нас цікавитимуть. Крім імен вкажемо розмірності величин. Розмірності визначають одиниці, у яких надаються значення величин.
1) t(с) - час падіння; Н(м) - висота падіння. Залежність уявлятимемо, нехтуючи обліком опору повітря; прискорення вільного падіння g (м/с 2) вважатимемо константою.
2) Р (н/м 2) - тиск газу (в одиницях системи СІ тиск вимірюється в ньютонах на квадратний метр); t °С - температура газу. Тиск при нулі градусів Ро вважатимемо константою для цього газу.
3) Забрудненість повітря характеризуватимемо концентрацією домішок (яких саме, буде сказано пізніше) - С (мг/м 3). Одиниця виміру - маса домішок, що містяться в 1 кубічному метріповітря, виражена у міліграмах. Рівень захворюваності будемо характеризувати числом хронічних хворих на астму, що припадають на 1000 жителів даного міста- Р (бол. / Тис.).
Відзначимо важливу якісну різницю між залежностями, описаними в прикладах 1 і 2, з одного боку, і в прикладі 3, з іншого. У першому випадку залежність між величинами є цілком визначеною: значення Н однозначно визначає значення t (приклад 1), значення t однозначно визначає значення Р (приклад 2). Але в третьому прикладі залежність між значенням забрудненості повітря та рівнем захворюваності носить значно більше важкий характер; при тому самому рівні забрудненості в різні місяців одному і тому ж місті (або в різних містах в той самий місяць) рівень захворюваності може бути різним, оскільки на нього впливають і багато інших факторів. Відкладемо більш детальне обговорення цього прикладу до наступного параграфа, а поки що лише зазначимо, що на математичною мовоюзалежність у прикладах 1 і 2 є функціональними, а прикладі 3 — немає.
Математичні моделі
Якщо залежність між величинами вдається подати в математичної форми, то ми маємо математичну модель.
Математична модель - це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.
Добре відомі математичні моделі перших двох прикладів. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Це приклади залежностей, представлених у функціональній формі. Першу залежність називають кореневою (час пропорційно квадратного коренявисоти), другу - лінійною.
У більш складних завданняхматематичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь. Наприкінці цього розділу буде розглянуто приклад математичної моделі, що виражається системою нерівностей.
У ще складніших завданнях (приклад 3 — одне з них) залежності теж можна у математичній формі, але з функціональної, а інший.
Табличні та графічні моделі
Розглянемо приклади двох інших, не формульних, способів подання залежностей між величинами: табличного та графічного. Уявіть, що ми вирішили перевірити закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом. Експеримент організуємо наступним чином: кидатимемо сталеву кульку з 6-метрової висоти, 9-метрової і т. д. (через 3 метри), заміряючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту складемо таблицю та намалюємо графік.

Якщо кожну пару значень Н і t з даної таблиці підставити наведену вище формулу залежності висоти від часу, то формула перетвориться на рівність (з точністю до похибки вимірів). Значить, модель добре працює. (Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то рівність не буде досягатися, а якщо надувна кулька, то значення лівої і правої частинформули відрізнятимуться дуже сильно. Як ви вважаєте, чому?)
У цьому вся прикладі ми розглянули три способу моделювання залежності величин: функціональний (формула), табличний і графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Формула універсальніша, вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не тільки для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 6.1. Маючи формулу, можна легко створити таблицю та побудувати графік, а навпаки – дуже проблематично.
Так само трьома способами можна відобразити залежність тиску від температури. Обидва приклади пов'язані з відомими фізичними законами – законами природи. Знання фізичних законівдозволяють проводити точні розрахунки, вони є основою сучасної техніки.
Інформаційні моделі, що описують розвиток систем у часі, мають спеціальну назву: динамічні моделі. У прикладі 1 наведено саме таку модель. У фізиці динамічні інформаційні моделі описують рух тіл, у біології – розвиток організмів чи популяцій тварин, у хімії – перебіг хімічних реакційі т.д.
Система основних понять

Залежність однієї випадкової величини від значень, які приймає інша випадкова величина ( фізична характеристика), у статистиці називається регресією. Якщо цій залежності надано аналітичний вигляд, то таку форму уявлення зображують рівнянням регресії.

Процедура пошуку передбачуваної залежності між різними числовими сукупностями зазвичай включає такі етапи:

встановлення значущості зв'язку між ними;

можливість представлення цієї залежності у формі математичного виразу (рівняння регресії).

Перший етап у вказаному статистичному аналізістосується виявлення так званої кореляції, або кореляційної залежності. Кореляція сприймається як ознака, що вказує на взаємозв'язок низки числових послідовностей. Інакше висловлюючись, кореляція характеризує силу взаємозв'язку у даних. Якщо це стосується взаємозв'язку двох числових масивів xi та yi, то таку кореляцію називають парною.

При пошуку кореляційної залежності зазвичай виявляється ймовірний зв'язок однієї виміряної величини x (для якогось обмеженого діапазону її зміни, наприклад, від x1 до xn) з іншою виміряною величиною y (також змінюється в якомусь інтервалі y1...yn). У такому разі ми матимемо справу з двома числовими послідовностями, між якими і слід встановити наявність статистичного (кореляційного) зв'язку. На цьому етапі поки не ставиться завдання визначити, чи є одна з цих випадкових величинфункцією, а інша – аргументом. Знаходження кількісної залежності між ними у формі конкретного аналітичного виразу y = f(x) - це вже іншого аналізу, регресійного.

Таким чином, кореляційний аналіздозволяє зробити висновок про силу взаємозв'язку між парами даних х і у, а регресійний аналізвикористовується для прогнозування однієї змінної(у) на підставі іншої(х). Інакше кажучи, у разі намагаються виявити причинно-наслідковий зв'язок між аналізованими сукупностями.

Строго кажучи, прийнято розрізняти два види зв'язку між числовими сукупностями - це може бути функціональна залежність або статистична (випадкова). При наявності функціонального зв'язкукожному значенню впливу чинника (аргументу) відповідає строго певна величина іншого показника (функції), тобто. зміна результативного ознаки цілком зумовлено дією факторного ознаки.

Аналітично функціональна залежність представляється в такому вигляді: y = f (x).

В разі статистичного зв'язкузначення одного фактора відповідає якесь наближене значення досліджуваного параметра, його точна величина є непередбачуваною, непрогнозованою, тому одержувані показники виявляються випадковими величинами. Це означає, що зміна результативного ознаки обумовлено впливом факторного ознаки лише частково, т.к. можлива дія та інших факторів, внесок яких позначений як є: y = ф(x) + є.

За характером кореляційні зв'язку – це співвідносні зв'язку. Прикладом кореляційного зв'язку показників комерційної діяльностіє, наприклад, залежність сум витрат обігу обсягу товарообігу. У цьому крім факторного ознаки х (обсягу товарообігу) на результативний ознака у (суму витрат звернення) впливають та інші чинники, зокрема і невраховані, породжують внесок є.

Для кількісної оцінкиіснування зв'язку між сукупностями випадкових величин, що вивчаються, використовується спеціальний статистичний показник- Коефіцієнт кореляції r.

Якщо передбачається, що цей зв'язок можна описати лінійним рівнянням типу y=a+bx (де a та b - константи), то прийнято говорити про існування лінійної кореляції.

Коефіцієнт r – це безрозмірна величина, вона може змінюватися від 0 до ±1. Чим ближче значення коефіцієнта до одиниці (неважливо, з яким знаком), тим більшою впевненістю можна стверджувати, що між двома аналізованими сукупностями змінних існує лінійний зв'язок. Іншими словами, значення якоїсь однієї з цих випадкових величин (y) істотно залежить від того, яке значення набуває інша (x).

Якщо виявиться, що r = 1 (або -1), то має місце класичний випадок суто функціональної залежності (тобто реалізується ідеальний взаємозв'язок).

При аналізі двовимірної діаграми розсіювання можна знайти різні взаємозв'язки. Найпростішим варіантом є лінійний взаємозв'язок, який виявляється у тому, що точки розміщуються випадковим чином уздовж прямої лінії. Діаграма свідчить про відсутність взаємозв'язку, якщо точки розташовані випадково, і при переміщенні зліва направо неможливо виявити будь-який ухил (ні вгору, ні вниз).

Якщо точки на ній групуються вздовж кривої лінії, діаграма розсіювання характеризується нелінійним взаємозв'язком. Такі ситуації цілком можливі