Позначення в арифметичній прогресії. Арифметична прогресія на прикладах

Інструкція

Арифметична прогресія – це послідовність виду a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d кроком прогресії.Очевидно, що загальна довільного n-го члена арифметичної прогресіїмає вигляд: An = A1 + (n-1) d. Тоді знаючи один із членів прогресії, член прогресіїта крок прогресії, Можна, тобто номер члена прогресу. Очевидно, він визначатиметься за формулою n = (An-A1+d)/d.

Нехай тепер відомий m-ий член прогресіїі інший член прогресії- n, але n, як і в попередньому випадку, але відомо, що n і m не збігаються. прогресіїможе бути обчислений за такою формулою: d = (An-Am)/(n-m). Тоді n = (An-Am+md)/d.

Якщо відома сума кількох елементів арифметичної прогресії, а також її перший і останній, то кількість цих елементів теж можна визначити. Сума арифметичної прогресіїдорівнюватиме: S = ((A1+An)/2)n. Тоді n = 2S/(A1+An) - чденів прогресії. Використовуючи той факт, що An = A1+(n-1)d, цю формулу можна переписати у вигляді: n = 2S/(2A1+(n-1)d). З цієї можна виразити n, вирішуючи квадратне рівняння.

Арифметичною послідовністю називають такий упорядкований набір чисел, кожен член якого, крім першого, відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину. Ця постійна величинаназивається різницею прогресії або її кроком і може бути розрахована за відомими членами арифметичної прогресії.

Інструкція

Якщо з умов завдання відомі значення першого і другого або будь-якої іншої пари сусідніх членів, для обчислення різниці (d) просто відніміть від наступного члена попередній. Величина, що вийшла, може бути як позитивним, так і негативним числом- це залежить від того, чи є прогресія зростання. У загальної формирішення для довільно взятої пари (aᵢ та aᵢ₊₁) сусідніх членів прогресії запишіть так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пари членів такої прогресії, один з яких є першим (a₁), а інший - будь-яким іншим довільно обраним, також можна скласти формулу знаходження різниці (d). Однак у цьому випадку обов'язково має бути відомий порядковий номер(i) довільного обраного члена послідовності. Для обчислення різниці складіть обидва числа, а отриманий результат розділіть на порядковий номер довільного члена, що зменшився на одиницю. У загальному виглядіцю формулу запишіть так: d = (a + aᵢ) / (i-1).

Якщо крім довільного члена арифметичної прогресії з порядковим номером i відомий інший член з порядковим номером u, змініть формулу з попереднього крокувідповідним чином. У цьому випадку різницею (d) прогресії буде сума цих двох членів, поділена на різницю їх порядкових номерів: d = (a + + a) / (i-v).

Формула обчислення різниці (d) дещо ускладниться, якщо в умовах завдання дано значення першого її члена (a₁) та сума (Sᵢ) заданого числа(i) перших членів арифметичної послідовності. Для отримання потрібного значення розділіть суму на кількість членів, що її склали, відніміть значення першого числа в послідовності, а результат подвоїть. Велику величину розділіть на зменшене на одиницю число членів, що склали суму. Загалом формулу обчислення дискримінанта запишіть так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки що не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (ні, ось так: ТОВООЧЕНЬ!) хочете дізнатися. Тому не мучитиму вас довгими вступами і відразу перейду до справи.

Для початку кілька прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Що спільного в усіх цих наборів? На перший погляд – нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елементвідрізняється від попереднього на одне й те саме число.

Судіть самі. Перший набір — це числа, що просто йдуть поспіль, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом вартими числамивже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно стала. У третьому випадку взагалі коріння. Проте $2sqrt(2)=sqrt(2)+sqrt(2)$, а $3sqrt(2)=2sqrt(2)+sqrt(2)$, тобто. і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).

Так от: усі такі послідовності якраз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:

Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну й ту саму величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $d$.

Позначення: $\left(((a)_(n)) \right)$ - сама прогресія, $ d$ - її різницю.

І одразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх можна читати строго в тому порядку, в якому вони записані — і ніяк інакше. Переставляти та міняти місцями числа не можна.

По-друге, сама послідовність може бути як кінцевою, і нескінченної. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати щось на кшталт (1; 2; 3; 4; ...) — це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Безкінечно багато, наприклад.:)

Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими та спадаючими. Зростаючі ми вже бачили той самий набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади спадних прогресій:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Добре Добре: останній прикладможе здатися надто складним. Але решта, думаю, вам зрозуміла. Тому введемо нові визначення:

Визначення. Арифметична прогресія називається:

1. зростаючою, якщо кожен наступний елемент більший за попередній;
2. спадної, якщо, навпаки, кожен наступний елемент менший за попередній.

Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності — вони складаються з одного і того ж числа, що повторюється. Наприклад, (3; 3; 3; ...).

Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, яким є знак числа $d$, тобто. різниці прогресії:

1. Якщо $d \gt 0$, то прогресія зростає;
2. Якщо $d \lt 0$, то прогресія, очевидно, зменшується;
3. Нарешті, є випадок $d = 0 $ - у цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.

Спробуємо розрахувати різницю $d$ для трьох спадних прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть зліва. Виглядати це буде ось так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Як бачимо, у всіх трьох випадкахрізниця справді вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, настав час розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.

Члени прогресії та рекурентна формула

Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Окремі елементи цього набору називають членами прогресії. Там так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.

Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Коротше кажучи, щоб знайти $n$-й член прогресії, потрібно знати $n-1$-й член і різницю $d$. Така формула називається рекурентною, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а за фактом – усі попередні). Це дуже незручно, тому існує хитріша формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члена та різниці:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Напевно, ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках та решібниках. Та й у будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.

Проте пропоную трохи потренуватись.

Завдання №1. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$, якщо $((a)_(1))=8,d=-5$.

Рішення. Отже, нам відомий перший член $((a)_(1))=8$ і різницю прогресії $d=-5$. Скористаємося щойно наведеною формулою і підставимо $n=1$, $n=2$ і $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \& ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Відповідь: (8; 3; −2)

От і все! Зверніть увагу: наша прогресія – спадна.

Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти перший член нам і так відомий. Проте, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. У решті випадків все звелося до банальної арифметики.

Завдання №2. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює –40, а сімнадцятий член дорівнює –50.

Рішення. Запишемо умову завдання у звичних термінах:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\\end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\end(align) \right.\]

Знак системи я поставив тому, що ці вимоги мають виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \& ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \ & 10d=-10; \&d=-1. \\ \end(align)\]

Ось так просто ми знайшли різницю прогресії! Залишилося підставити знайдене число у будь-яке з рівнянь системи. Наприклад, у перше:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \&((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Готово! Завдання вирішено.

Відповідь: (−34; −35; −36)

Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яку ми виявили: якщо взяти $n$-й і $m$-й члени і відняти їх один від одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просте, але дуже корисна властивість, яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань щодо прогресу. Ось яскравий томуприклад:

Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, та її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.

Рішення. Оскільки $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, а потрібно знайти $((a)_(15))$, то зауважимо наступне:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Але за умовою $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, тому $5d=6$, звідки маємо:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4 = 6; \ & ((a)_(15)) = 6 +14,4 = 20,4. \\ \end(align)\]

Відповідь: 20,4

От і все! Нам не потрібно складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все зважилося буквально в пару рядків.

Тепер розглянемо інший вид завдань — пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що й прогресія зростає, у своїй перший член у неї негативний, то рано чи пізно у ній з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.

При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент "в лоб", послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складено так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька аркушів — ми б просто заснули, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання швидшим способом.

Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; −35,8; …?

Рішення. Отже, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, звідки відразу знаходимо різницю:

Зауважимо, що різницю позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише у тому, коли це станеться.

Спробуємо з'ясувати: доки (тобто до якого натурального числа $n$) зберігається негативність членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. &-385+27cdot \left(n-1 \right) \lt 0; &-385+27n-27 \lt 0; \ & 27n \lt 412; \ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Останній рядок вимагає пояснення. Отже, відомо, що $n \lt 15\frac(7)(27)$. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більше того: $n\in \mathbb(N)$), тому найбільший допустимий номер - саме $n=15$, а в жодному разі не 16.

Завдання №5. В арифметичній прогресії $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Знайдіть номер першого позитивного членацієї прогресії.

Це була б точнісінько така ж задача, як і попередня, проте нам невідомо $((a)_(1))$. Зате відомі сусідні члени: $((a)_(5))$ і $((a)_(6))$, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:

Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різницю по стандартною формулою:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \&((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Тепер чинимо за аналогією з попереднім завданням. З'ясовуємо, коли в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; &-162+3n-3 \gt 0; \ & 3n \gt 165; \n n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Мінімальне цілечисленне розв'язання цієї нерівності - число 56.

Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворої нерівностітому варіант $n=55$ нас не влаштує.

Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до складніших. Але для початку давайте вивчимо ще одну дуже корисну властивість арифметичних прогресій, яка в майбутньому заощадить нам купу часу та нерівних клітин.

Середнє арифметичне та рівні відступи

Розглянемо кілька послідовних членів зростання арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:

Я спеціально відзначив довільні члени $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не якісь $((a)_(1)) ,\((a)_(2)),\((a)_(3))$ і т.д. Тому що правило, про яке я зараз розповім, однаково працює для будь-яких відрізків.

А правило дуже просте. Згадаймо рекурентну формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \&((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Однак ці рівності можна переписати інакше:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \&((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \&((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \& ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ну, і що з того? А те, що члени $((a)_(n-1))$ і $((a)_(n+1))$ лежать на тій самій відстані від $((a)_(n)) $. І ця відстань дорівнює $d$. Те саме можна сказати про члени $((a)_(n-2))$ і $((a)_(n+2))$ — вони теж віддалені від $((a)_(n))$ на однакову відстань, що дорівнює $2d$. Продовжувати можна до нескінченності, але сенс добре ілюструє картинка

Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $((a)_(n))$, якщо відомі числа-сусіди:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ми вивели чудове твердження: кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більше того: ми можемо відступити від нашого $((a)_(n))$ ліворуч і праворуч не на один крок, а на $k$ кроків — і все одно формула буде вірною:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тобто. ми спокійно можемо знайти якесь $((a)_(150))$, якщо знаємо $((a)_(100))$ і $((a)_(200))$, тому що $(( a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На перший погляд може здатися, що цей факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточено» під використання середнього арифметичного. Погляньте:

Завдання №6. Знайдіть усі значення $x$, при яких числа $-6((x)^(2))$, $x+1$ і $14+4((x)^(2))$ є послідовними членами арифметичної прогресії (у вказаному порядку).

Рішення. Оскільки вказані числає членами прогресії, їм виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент$x+1$ можна виразити через сусідні елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \& x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \& x+1=7-((x)^(2)); \ \ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \end(align)\]

Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.

Відповідь: −3; 2.

Завдання №7. Знайдіть значення $$, у яких числа $-1;4-3;(()^(2))+1$ становлять арифметичну прогресію (у зазначеному порядку).

Рішення. Знову висловимо середній членчерез середнє арифметичне сусідніх членів:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \& 8x-6=((x)^(2))+x; \((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Знову квадратне рівняння. І знову два корені: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.

Відповідь: 1; 6.

Якщо в процесі розв'язання задачі у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, то є чудовий прийом, який дозволяє перевірити: чи правильно ми вирішили завдання?

Припустимо, у задачі №6 ми отримали відповіді −3 та 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідну умову та подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ і $14+4(()^(2))$), які мають становити арифметичну прогресію. Підставимо $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \ & x + 1 = -2; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \end(align)\]

Отримали числа -54; −2; 50, які відрізняються на 52 — безперечно, це арифметична прогресія. Те саме відбувається і при $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \ & x + 1 = 3; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \end(align)\]

Знову прогресія, але з різницею 27. Отже, завдання вирішено правильно. Бажаючі можуть перевірити друге завдання самостійно, але одразу скажу: там теж все правильно.

В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, який також необхідно запам'ятати:

Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першогоі останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.

У майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись умову завдання. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з розглянутого.

Угруповання та сума елементів

Давайте ще раз повернемося до числової осі. Зазначимо там кілька членів прогресії, між якими можливо. коштує дуже багато інших членів:

Спробуємо виразити "лівий хвіст" через $((a)_(n))$ і $d$, а "правий хвіст" через $((a)_(k))$ і $d$. Це дуже просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \&((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \&((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

А тепер зауважимо, що рівні такі суми:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \& ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Простіше кажучи, якщо ми розглянемо як старт два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $S$, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони(Назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми натикатимемося, теж будуть рівні$S$. Найбільш наочно це можна уявити графічно:

Розуміння даного фактудозволить нам вирішувати завдання принципово більше високого рівняскладності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:

Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, у якій перший член дорівнює 66, а твір другого та дванадцятого членів є найменшим із можливих.

Рішення. Запишемо все, що нам відомо:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \&d=? \\ ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Отже, нам невідома різниця прогресії $d$. Власне, навколо різниці і будуватиметься все рішення, оскільки добуток $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \& ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \& ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Для тих, хто у танку: я виніс загальний множник 11 із другої дужки. Таким чином, шуканий твір є квадратичною функцією щодо змінної $d$. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, т.к. якщо розкрити дужки, ми отримаємо:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11cdot 72d+11cdot 66cdot 6 \end(align)\]

Як бачимо, коефіцієнт при старшому доданку дорівнює 11 - це додатне числотому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:

графік квадратичні функції- Парабола

Зверніть увагу: мінімальне значенняця парабола приймає у своїй вершині з абсцисою $((d)_(0))$. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсцису за стандартною схемою (є ж формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), але куди розумніше буде помітити, що вершина, що шукається, лежить на осі симетрії параболи, тому точка $((d)_(0))$ рівновіддалена від коренів рівняння $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \ \ & 11 \ cdot \ left (d +66 \ right) \ cdot \ left (d +6 \ right) = 0; \&((d)_(1))=-66;\quad((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Саме тому я не надто поспішав розкривати дужки: у вихідному вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсцис дорівнює середньому арифметичному чисел −66 і −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Що нам дає виявлене число? При ньому необхідний твір приймає найменше значення(ми, до речі, так і не вважали $((y)_(\min ))$ — від нас це не потрібно). Водночас це число є різницею вихідної прогресії, тобто. ми знайшли відповідь.:)

Відповідь: −36

Завдання №9. Між числами $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)(6)$ вставте три числа так, щоб вони разом з цими числами склали арифметичну прогресію.

Рішення. По суті нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо недостатні числа змінними $x$, $y$ і $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Зазначимо, що число $y$ є "серединою" нашої послідовності - воно рівновіддалено і від чисел $x$ і $z$, і від чисел $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)( 6) $. І якщо з чисел $x$ і $z$ ми в Наразіне можемо отримати $y$, то ось з кінцями прогресії справа інакша. Згадуємо про середнє арифметичне:

Тепер, знаючи $y$, ми знайдемо числа, що залишилися. Зауважимо, що $x$ лежить між числами $-\frac(1)(2)$ і щойно знайденим $y=-\frac(1)(3)$. Тому

Аналогічно розмірковуючи, знаходимо число, що залишилося:

Готово! Ми знайшли усі три числа. Запишемо їх у відповіді у тому порядку, в якому вони мають бути вставлені між вихідними числами.

Відповідь: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте кілька чисел, які разом із даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого та останнього із вставлених чисел дорівнює 56.

Рішення. Ще більш складна задача, Яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що й попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо скільки конкретно чисел треба вставити. Тому припустимо для певності, що після вставки всього буде рівно $n$ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. У цьому випадку шукана арифметична прогресія представима у вигляді:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Зауважимо, проте, що числа $((a)_(2))$ і $((a)_(n-1))$ виходять із чисел 2 і 42, що стоять по краях, шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Але тоді записане вище вираз можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \ & 44+((a)_(3))=56; \ & ((a)_(3)) = 56-44 = 12. \\ \end(align)\]

Знаючи $((a)_(3))$ і $((a)_(1))$, ми легко знайдемо різницю прогресії:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \& ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \end(align)\]

Залишилося лише знайти інші члени:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \ & ((a)_(2))=2+5=7; \ & ((a)_(3)) = 12; \ & ((a)_(4)) = 2 +3 \ cdot 5 = 17; \ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \ & ((a)_(8)) = 2 +7 \ cdot 5 = 37; \ & ((a)_(9)) = 2 +8 \ cdot 5 = 42; \\ \end(align)\]

Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності — число 42. Усього потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстові завдання з прогресіями

На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися жерстю. Проте саме такі завдання трапляються в ОДЕ та ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.

Завдання №11. Бригада виготовила у січні 62 деталі, а кожного наступного місяця виготовляла на 14 деталей більше, ніж у попередній. Скільки деталей виготовила бригада у листопаді?

Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписана по місяцях, являтиме собою зростаючу арифметичну прогресію. Причому:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Листопад - це 11-й місяць на рік, тому нам потрібно знайти $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Отже, у листопаді буде виготовлено 202 деталі.

Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а кожного наступного місяця вона переплітала на 4 книги більше, ніж у попередній. Скільки книг переплела майстерня у грудні?

Рішення. Все теж саме:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Грудень - це останній, 12-й місяць на рік, тому шукаємо $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Це і є відповідь – 260 книг буде переплетено у грудні.

Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» з арифметичних прогресій ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного урокуде ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі та дуже корисні наслідки з неї.

Або арифметична - це вид упорядкованої числової послідовності, властивості якої вивчають у шкільному курсіалгебри. У статті докладно розглянуто питання, як знайти суму арифметичної прогресії.

Що це за прогрес?

Перш ніж переходити до розгляду питання (як знайти суму арифметичної прогресії), варто зрозуміти, про що йтиметься.

Будь-яка послідовність дійсних чисел, яка виходить шляхом додавання (віднімання) деякого значення з кожного попереднього числа, називається алгебраїчною (арифметичною) прогресією. Це визначення в перекладі на мову математики набуває форми:

Тут i - порядковий номер ряду елемента a i . Таким чином, знаючи лише одне початкове число, можна легко відновити весь ряд. Параметр d у формулі називається різницею прогресії.

Можна легко показати, що для ряду чисел, що розглядається, виконується наступна рівність:

a n = a 1 + d * (n – 1).

Тобто знаходження значення n-го по порядку елемента слід n-1 раз додати різницю d до першого елементу a 1 .

Чому дорівнює сума арифметичної прогресії: формула

Перш ніж наводити формулу для зазначеної суми, варто розглянути простий окремий випадок. Дана прогресія натуральних чиселвід 1 до 10, необхідно знайти їхню суму. Оскільки членів у прогресії небагато (10), можна вирішити завдання в лоб, тобто підсумувати всі елементи по порядку.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Варто врахувати одну цікаву річ: оскільки кожен член відрізняється від наступного на те саме значення d = 1, то попарне підсумовування першого з десятим, другого з дев'ятим і так далі дасть однаковий результат. Дійсно:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Як видно, цих сум всього 5, тобто рівно вдвічі менше, ніж кількість елементів ряду. Тоді, помножуючи число сум (5) на результат кожної суми (11), ви прийдете до отриманого в першому прикладі результату.

Якщо узагальнити ці міркування, можна записати такий вираз:

S n = n*(a 1 + a n)/2.

Цей вираз показує, що зовсім не обов'язково підсумовувати всі елементи, достатньо знати значення першого a 1 і останнього a n , а також загальної кількостідоданків n.

Вважається, що вперше до цієї рівності додумався Гаус, коли шукав рішення на задану його шкільним учителемЗавдання: підсумувати 100 перших цілих чисел.

Сума елементів від m до n: формула

Формула, наведена в попередньому пункті, дає відповідь на питання, як знайти суму арифметичної прогресії (перших елементів), але часто в завданнях необхідно підсумувати ряд чисел, що стоять у середині прогресії. Як це зробити?

Відповісти на це питання найпростіше, розглядаючи наступний приклад: нехай необхідно знайти суму членів від m-го до n-го. Для розв'язання задачі слід подати заданий відрізок від m до n прогресії у вигляді нового числового ряду. У такому поданні m-й член a m буде першим, а a n стане під номером n-(m-1). У цьому випадку, застосовуючи стандартну формулу для суми, вийде такий вираз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n)/2.

Приклад використання формул

Знаючи, як визначити суму арифметичної прогресії, варто розглянути простий приклад використання наведених формул.

Нижче дана числова послідовність, слід знайти суму її членів, починаючи з 5-го та закінчуючи 12-м:

Наведені числа свідчать, що різниця d дорівнює 3. Використовуючи вираз для n-го елемента, можна знайти значення 5-го та 12-го членів прогресії. Виходить:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Знаючи значення чисел, що стоять на кінцях аналізованої алгебраїчної прогресії, а також знаючи, які номери в ряду вони займають, можна скористатися формулою суми, отриманої в попередньому пункті. Вийде:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Варто зазначити, що це значення можна було отримати інакше: спочатку знайти суму перших 12 елементів за стандартною формулою, потім обчислити суму перших 4 елементів за тією ж формулою, після чого відняти з першої другої суми.

Завдання з арифметичної прогресії існували вже в давнину. Вони з'являлися та вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, Що має математичний зміст, - папірусі Райнда (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: розділи десять мір хліба на десять осіб, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму міру».

І на математичних працях древніх греків зустрічаються витончені теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Так, Гіпсікл Олександрійський (ІІ століття склало чимало цікавих завданьі додав чотирнадцяту книгу до «Початків» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне числочленів, сума членів 2-ої половини більша за суму членів 1-ої на квадрату 1/2 числа членів».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 … читається: «a 1», «a 2», «a 3» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною чи кінцевою.

А що таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану додаванням попереднього члена (n) з тим самим числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючою.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються лише кілька її перших членів. При дуже велику кількістьЧленів це вже нескінченна прогресія.

Задається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an =kn+b, причому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірне твердження, яке є зворотним: якщо послідовність задається подібною формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена та наступного.
2. Назад: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто. якщо виконується умова, то дана послідовність- арифметична прогресія. Ця рівність одночасно є ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичною властивістю прогресії.
   Так само правильна теорема, яка відбиває це властивість: послідовність - арифметична прогресія лише тому випадку, якщо це рівність правильне кожного з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член можна знайти, застосовуючи таку формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти треба сорок п'ятий член цієї прогресії. a45 = 1 +4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d(n – k) дозволяє визначити n-й членарифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перші n членів кінцевої прогресії) обчислюється так:

Sn = (a1+an) n/2.

Якщо відомий і перший член, то обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сума арифметичної прогресії, що містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань та вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, таких як 1,2,3,...,n,...- найпростіший прикладарифметичній прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще й геометрична, яка має свої властивості та характеристики.

Арифметична та геометрична прогресії

Теоретичні відомості

	Арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Визначення	Арифметичною прогресією a nназивається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом d (d- Різниця прогресій)	Геометричною прогресією b nназивається послідовність відмінних від нуля чисел, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж число q (q- знаменник прогресії)
Рекурентна формула	Для будь-якого натурального n a n + 1 = a n + d	Для будь-якого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристична властивість
Сума n-перших членів

Приклади завдань із коментарями

Завдання 1

В арифметичній прогресії ( a n) a 1 = -6, a 2

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

За умовою:

a 1= -6, отже a 22= -6 + 21 d.

Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 2

Знайдіть п'ятий член геометричної прогресії: -3; 6;....

1-й спосіб (за допомогою формули n-члена)

За формулою n-ого члена геометричної прогресії:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Так як b 1 = -3,

2-й спосіб (за допомогою рекурентної формули)

Оскільки знаменник прогресії дорівнює -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: b 5 = -48.

Завдання 3

В арифметичній прогресії ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Знайдіть сімдесят п'ятий член цієї прогресії.

Для арифметичної прогресії характеристична властивістьмає вигляд .

З цього випливає:

.

Підставимо дані у формулу:

Відповідь: 95.

Завдання 4

В арифметичній прогресії ( a n ) a n= 3n - 4. Знайдіть суму сімнадцяти перших членів.

Для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії використовують дві формули:

.

Яку з них у даному випадкузручніше застосовувати?

За умовою відома формула n-ого члена вихідної прогресії ( a n) a n= 3n - 4. Можна знайти відразу і a 1, і a 16без знаходження d. Тому скористаємося першою формулою.

Відповідь: 368.

Завдання 5

В арифметичній прогресії( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Знайдіть двадцять другий член прогресії.

За формулою n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

За умовою, якщо a 1= -6, то a 22= -6 + 21d. Необхідно знайти різницю прогресій:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Відповідь: a 22 = -48.

Завдання 6

Записано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

Знайдіть член прогресії, позначений літерою x.

За рішенням скористаємося формулою n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1для геометричних прогресій. Перший член прогресії. Щоб знайти знаменник прогресії q необхідно взяти будь-який із цих членів прогресії та розділити на попередній. У нашому прикладі можна взяти та розділити на. Отримаємо, що q = 3. Замість n у формулу підставимо 3, оскільки необхідно знайти третій член заданої геометричної прогресії.

Підставивши знайдені значення формулу, отримаємо:

.

Відповідь: .

Завдання 7

З арифметичних прогресій, заданих формулою n-го члена, виберіть ту, для якої виконується умова a 27 > 9:

Так як задана умовамає виконуватися для 27-го члена прогресії, підставимо 27 замість n на кожну з чотирьох прогресій. У 4-й прогресії отримаємо:

.

Відповідь: 4.

Завдання 8

В арифметичній прогресії a 1= 3, d = -1,5. Вкажіть найбільше значення n , для якого виконується нерівність a n > -6.