Система рівнянь. Детальна теорія з прикладами (2019)

Системи рівнянь отримали широке застосуванняв економічній галузі при математичне моделювання різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Не існує спільного аналітичного способурішення подібних систем, всі методи ґрунтуються на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, алгебраїчне додавання, підстановка, а також графічний і матричний спосібрішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення даного прикладуне викликає труднощів і дозволяє набути значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем методом додавання виробляють почленное додавання і множення рівнянь на різні числа. Кінцевою метою математичних дійє рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методунеобхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

1. Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної діїодин із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
2. Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
3. Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта з відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - шуканий дискримінант, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більше нуля, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступний прикладпотрібно знайти графічне рішеннясистеми лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовуються для короткого записусистеми лінійних рівнянь Матрицею називають таблицю спеціального виду, Заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно. можливою кількістюрядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - зворотна матриця, А | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи при вирішенні систем великою кількістюзмінних та рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищої математикиМетод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані способи використовують при знаходженні змінних системз великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок і алгебраїчної складанняале більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом алгебраїчних перетвореньі підстановок є значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручникахдля 7 класу приклад рішення методом Гауса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним з найбільш цікавих способівдля розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивченняу математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частинурівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" та продовжують виконувати необхідні алгебраїчні діїдо результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до одиничного вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

Рівняння та системи рівнянь першого ступеня

Два числа або якісь вирази, з'єднані знаком «=», утворюють рівність. Якщо дані числа або вирази при будь-яких значеннях букв дорівнюють, то таку рівність називають тотожністю.

Наприклад, коли стверджують, що за будь-якого адійсному:

а + 1 = 1 + а, тут рівність є тотожністю.

Рівняннямназивається рівність, що містить невідомі числа, позначені літерами. Ці літери називають невідомими. Невідомих у рівнянні може бути декілька.

Наприклад, у рівнянні 2 х + у = 7х– 3 два невідомі: хі у.

Вираз, що стоїть у рівнянні зліва (2 х + у) називають лівою частиною рівняння, а вираз, що стоїть у рівнянні праворуч (7 х- 3), називають правою його частиною.

Значення невідомого, у якому рівняння стає тотожністю, називається рішеннямабо коріннямрівняння.

Наприклад, якщо рівняння 3 х+ 7 = 13 замість невідомого хпідставити число 2, отримаємо тотожність. Отже, значення х= 2 задовольняє даному рівнянню і число 2 є рішення чи корінь цього рівняння.

Два рівняння називаються рівносильними(або еквівалентними), якщо всі рішення першого рівняння є рішеннями другого та навпаки, всі рішення другого рівняння є рішеннями першого. До рівносильним рівняннямналежать також рівняння, які мають рішень.

Наприклад, рівняння 2 х- 5 = 11 і 7 х+ 6 = 62 рівносильні, тому що вони мають один і той самий корінь х= 8; рівняння х + 2 = х+ 5 та 2 х + 7 = 2хрівносильні, тому що обидва не мають рішень.

Властивості рівносильних рівнянь

1. До обох частин рівняння можна додати будь-який вираз, що має сенс при всіх допустимих значенняхневідомого; отримане рівняння буде рівносильне даному.

приклад. Рівняння 2 х- 1 = 7 має корінь х= 4. Додавши до обох частин по 5 отримаємо рівняння 2 х- 1 + 5 = 7 + 5 або 2 х+ 4 = 12, яке має той самий корінь х = 4.

2. Якщо в обох частинах рівняння є однакові члени, їх можна опустити.

приклад. Рівняння 9 х + 5х = 18 + 5хмає один корінь х= 2. Опустивши в обох частинах 5 х, отримаємо рівняння 9 х= 18, яке має той самий корінь х = 2.

3. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

приклад. Рівняння 7 х - 11 = 3 має один корінь х= 2. Якщо перенести 11 праву частинуз протилежним знаком, отримаємо рівняння 7 х= 3 + 11, яке має те саме рішення х = 2.

4. Обидві частини рівняння можна помножити на будь-який вираз (число), що має сенс і відмінне від нуля при всіх допустимих значеннях невідомого, отримане рівняння буде рівнозначним даному.

приклад. Рівняння 2 х - 15 = 10 – 3хмає корінь х= 5. Помноживши обидві частини на 3, отримаємо рівняння 3(2 х – 15) = 3(10 – 3х) або 6 х – 45 =30 – 9х, яке має той самий корінь х = 5.

5. Знаки всіх членів рівняння можна змінити протилежні (це рівнозначно множенню обох частин на (-1)).

приклад. Рівняння – 3 х + 7 = – 8 після множення обох частин на (-1) набуде вигляду 3 х - 7 = 8. Перше та друге рівняння мають єдиний корінь х = 5.

6. Обидві частини рівняння можна розділити на те саме число, відмінне від нуля (тобто, не дорівнює нулю).

Приклад..gif" width="49 height="25" height="25">.gif" width="131" height="28">, рівносильне даному, тому що воно має ті ж два корені: і https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> після множення обох частин на 14 набуде вигляду:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, де довільні числа, х– невідоме, називається рівнянням першого ступеня з одним невідомим(або лінійнимрівнянням із одним невідомим).

приклад. 2 х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.

Рівняння першого ступеня з одним невідомим має одне рішення; лінійне рівнянняможе не мати рішень () або мати їх нескінченна безліч(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Рішення. Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Згрупуємо в одній частині (лівій) члени, які містять невідоме, а в іншій частині (правій) - вільні члени:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" Розділивши обидві частини на (-22), отримаємо х = 7.

Системи двох рівнянь першого ступеня із двома невідомими

Рівняння виду називається https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" рівнянням першого ступеня з двома невідомими хі у. Якщо знаходять загальні рішення двох і більше рівнянь то кажуть, що ці рівняння утворюють систему, їх зазвичай записують одне під іншим і об'єднують фігурною дужкою, наприклад .

Кожна пара значень невідомих, яка одночасно задовольняє обидва рівняння системи, називається рішенням системи. Вирішити систему- Це означає знайти всі рішення цієї системи або показати, що вона їх не має. Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо всі рішення однієї з них є рішеннями іншої та навпаки, всі рішення іншої є рішеннями першою.

Наприклад, рішенням системи є пара чисел х= 4 та у= 3. Ці числа також єдиним рішеннямсистеми . Отже, ці системи рівнянь є рівносильними.

Способи розв'язання систем рівнянь

1. Спосіб алгебраїчної складання.Якщо коефіцієнти при якомусь невідомому в обох рівняннях рівні по абсолютній величині, то складаючи обидва рівняння (або віднімаючи одне з іншого), можна отримати рівняння з одним невідомим. Вирішуючи це рівняння, визначають одне невідоме, а підставляючи їх у одне із рівнянь системи, знаходять друге невідоме.

Приклади: Розв'язати системи рівнянь: 1) .

Тут коефіцієнти при упо абсолютній величині рівні між собою, але протилежні за знаком. Для отримання рівняння з одним невідомим рівняннясистеми почленно складаємо:

Отримане значення х= 4 підставляємо в якесь рівняння системи, наприклад у перше, і знаходимо значення у: .

Відповідь: х = 4; у = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Спосіб підстановки.З будь-якого рівняння системи одну з неізестних виражаємо через інші, а потім підставляємо значення цієї невідомої до інших рівнянь. Розглянемо цей спосіб на конкретних прикладах:

1) Вирішимо систему рівнянь. Виразимо з першого рівняння одне з невідомих, наприклад х: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Підставимо у= 1 у вираз для х, отримаємо .

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. У цьому випадку зручно висловити уз другого рівняння:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Підставимо значення х= 5 у вираз для у, Отримаємо https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Вирішимо систему рівнянь. Підставивши це значення у друге рівняння, отримаємо рівняння з одним невідомим. у: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Перепишемо систему у вигляді: . Замінимо невідомі, поклавши , отримаємо лінійну систему ..gif" width="11 height="17"> у друге рівняння, отримаємо рівняння з одним невідомим:

Підставивши значення vу вираз для t, Отримаємо: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height="51"> знаходимо .

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120", де - коефіцієнти при невідомих, 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, то система має єдинеРішення.

Б) Якщо https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, то система має нескінченна безлічрішень.

Приклад..gif" width="47" height="48 src=">), отже система має єдине рішення.

Справді, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Приклад..gif" width="91 height="48" height="48"> або після скорочення, отже, система не має рішень.

Приклад..gif" width="116 height=48" height="48"> або після скорочення Отже, система має безліч рішень.

Рівняння, що містять модуль

При розв'язанні рівнянь, що містять модуль, використовується поняття модуля дійсного числа. Модулем (абсолютною величиною ) дійсного числа аназивається саме це число, якщо і протилежне число (– а), Якщо http://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif"

Отже, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, тому що число 3 > 0; , так як число - 5< 0, поэтому ; , так як (); , так як .

Властивості модулів:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73".

Враховуючи, що вираз, що стоїть під модулем, може набувати двох значень, то дане рівняннязводиться до розв'язання двох рівнянь: або і ..gif" width="52" height="20 src=">. Зробимо перевірку, підставивши кожне значення хза умови: якщо https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height="28 src=">.

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Приклад..gif" width="408" height="55">

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Приклад..gif" width="137" height="20"> і . Відкладаємо отримані значення хна числовій осі, розбиваючи її на інтервали:

Якщо в цьому інтервалі, обидва вирази під знаком модуля менше нуля, і , прибираючи модуль, знак виразу ми повинні поміняти на протилежний.

Gif" width="75 height=24" height="24">. Граничне значення можна включити, як у перший, так і в другий інтервал, так само як значення можна включити, як у другий, так і в третій. У другому інтервалі наше рівняння набуде вигляду: - цей вираз не має сенсу, тобто на даному інтервалі рівняння рішень не має тих, що під знаком модуля, прирівнюємо їх до нуля.

Наступний інтервал https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, де a, b, c- довільні числа ( a≠ 0), а x- Змінна, називається квадратним. Щоб вирішити таке рівняння, потрібно обчислити дискримінант D = b 2 – 4ac. Якщо D> 0, то квадратне рівняннямає два рішення (кореня): і .

Якщо D= 0, квадратне рівняння, очевидно, має два однакових рішень(кратного кореня).

Якщо D< 0, квадратное уравнение не имеет дійсних коренів.

Якщо один із коефіцієнтів bабо cдорівнює нулю, то квадратне рівняння можна вирішити, не враховуючи дискримінанта:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(ax+ b)=0

2)ax 2 + c = 0 ax 2 = – c; якщо https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif "width="101".

Між коефіцієнтами та корінням квадратного рівняння існує залежності, відомі як формули або теорема Вієта:

Біквадратнірівняння це рівняння виду, тоді з початкового рівняння отримуємо квадратне рівняння, з якого знаходимо у, а потім х, за формулою .

приклад. Вирішити рівняння . Наведемо висловлювання в обох частинах рівності до спільному знаменнику..gif" width="212" height="29 src=">. Вирішуємо отримане квадратне рівняння: , у цьому рівнянні a= 1, b= –2,c= -15, тоді дискримінант дорівнює: D = b 2 – 4ac= 64. Коріння рівняння: , ..gif" width="130 height="25" height="25">. Робимо заміну . Тоді рівняння набуває вигляду – квадратне рівняння, де a= 1, b= – 4,c= 3, його дискримінант дорівнює: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Коріння квадратного рівняння дорівнює відповідно: і .

Коріння вихідного рівняння , , , ..gif" width="78" height="51">, де Pn(x) та Pm(x) – багаточлени ступенів nі mвідповідно. Дроб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник - ні, але таке багаточленне рівняння переважно отримують лише після тривалих перетворень, переходів від одного рівняння до іншого. У процесі рішення, таким чином, кожне рівняння замінюють на якесь нове, а в нового може бути нове коріння. Простежити за цими змінами коріння, не допустити втрат коріння і зуміти відкинути зайві з них - завдання правильного рішеннярівнянь.

Зрозуміло, що найкращий спосіб- щоразу замінювати одне рівняння на рівнозначне, тоді коріння останнього рівняння і буде корінням вихідного. Проте такий ідеальний шлях важко здійснити на практиці. Як правило, рівняння замінюють його наслідком, взагалі не обов'язково йому рівнозначним, при цьому всі корені першого рівняння є корінням другого, тобто втрата коріння не відбувається, але можуть з'явитися сторонні (а можуть і не з'явитися). У разі коли хоча б раз у процесі перетворень рівняння замінювалося на нерівнозначне, потрібна обов'язкова перевірка отриманих коренів.

Отже, якщо рішення здійснювалося без аналізу рівнозначності та джерел появи сторонніх коренів, перевірка є обов'язковою частиноюрішення. Без перевірки рішення не вважатиметься повноцінним, якщо навіть стороннє коріння не з'явилося. Коли ж вони з'явилися і не відкинуті, це рішення просто неправильне.

Наведемо деякі властивості многочлена:

Коренем багаточленаназивають значення x, При якому багаточлен дорівнює нулю Будь-який багаточлен ступеня n має рівно nкоріння. Якщо багаточленне рівняння записано у вигляді, то , де x 1, x 2,…, xn- Коріння рівняння.

У будь-якого багаточлена не парного ступеняіз дійсними коефіцієнтами є хоча б один дійсний корінь, а взагалі у нього завжди непарне числодійсних коренів. Багаточлен парного ступеня може не мати дійсних коренів, і коли вони є - їхня кількість парна.

Багаточлен за будь-яких обставин можна розкласти на лінійні множники та квадратні тричлениз негативним дискримінантом. Якщо знаємо його корінь x 1, то Pn(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Якщо Pn(x) = 0 - рівняння парного ступеня, то крім способу розкладання його на множники можна спробувати ввести заміну змінної, за допомогою якої ступінь рівняння знизиться.

приклад. Вирішити рівняння:

Це рівняння третього (непарного) ступеня означає, що ввести допоміжну змінну, що знизить ступінь рівняння, - неможливо. Його треба вирішувати методом розкладання на множники лівої частини, для чого спочатку розкриємо дужки, а потім запишемо його у стандартній формі.

Отримаємо: x 3 + 5x – 6 = 0.

Це наведене рівняння (коефіцієнт при вищого ступеня дорівнює одиниці), тому шукаємо його коріння серед множників вільного члена – 6. Це числа ±1,±2,±3,±6. Підставляючи x = 1 в рівняння, бачимо, що x = 1 є його коренем, тому багаточлен x 3 + 5x-6 = 0 ділиться на ( x – 1) без залишку. Виконаємо цей поділ:

x 3 + 5x –6 = 0 x – 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x – 6

x 2- x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x – 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x – 6

Тому x 3 + 5x –6 = 0; (x – 1)(x 2+ x + 6) = 0

Перше рівняння дає корінь x = 1, який вже підібраний, а у другому рівнянні D< 0 воно не має дійсних рішень. Оскільки ОДЗ цього рівняння , можна не перевіряти.

Приклад..gif" width="52" height="21 src=">. Якщо перемножити перший множник з третім, а другий з четвертим, то в цих творах будуть однакові частини, які залежать від x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Нехай x 2 + 4x = y, Тоді рівняння запишемо у вигляді ( y – 5)(y – 21) – 297 = 0.

Це квадратне рівняння має рішення: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ОДЗ: x ≠ – 9.

Якщо зведемо дане рівняння до спільного знаменника, у чисельнику з'явиться багаточлен четвертого ступеня. Отже, допускається заміна змінної, яка знизить рівень рівняння. Тому не треба відразу зводити це рівняння до спільного знаменника. Тут можна побачити, що ліворуч коштує сума квадратів. Отже, можна доповнити її до повного квадратасуми чи різниці. Насправді віднімемо і додамо подвоєний добуток цих квадратів: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, тоді y 2 + 18y- 40 = 0. По теоремі Вієта y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, а в другому D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Відповідь: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Отримаємо квадратне рівняння a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Ірраціональні рівняння

Ірраціональнимназивають рівняння, у якому змінна міститься під знаком радикала (кореня ) або під знаком зведення в дробовий ступінь()..gif" width="120" height="32"> та мають ту саму область визначення невідомої. При зведенні першого і другого рівняння в квадрат отримаємо одне й те саме рівняння . Рішення цього рівняння є рішення обох ірраціональних рівнянь.

I. Звичайні диференціальні рівняння

1.1. Основні поняття та визначення

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує між собою незалежну змінну x, шукану функцію yта її похідні чи диференціали.

Символічно диференціальне рівняннязаписується так:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо потрібна функція залежить від одного незалежного змінного.

Рішенням диференціального рівнянняназивається така функція, яка звертає це рівняння у тотожність.

Порядок диференціального рівнянняназивається порядок старшої похідної, що входить до цього рівняння

приклади.

1. Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку

Розв'язанням цього рівняння є функція y = 5 ln x. Справді, підставляючи y"на рівняння, отримаємо – тотожність.

І це отже, що функція y = 5 ln x– є розв'язання цього диференціального рівняння.

2. Розглянемо диференціальне рівняння другого порядку y" - 5y" +6y = 0. Функція – вирішення цього рівняння.

Справді, .

Підставляючи ці висловлювання на рівняння, отримаємо: , – тотожність.

А це і означає, що функція є рішенням цього диференціального рівняння.

Інтегруванням диференціальних рівняньназивається процес знаходження рішень диференціальних рівнянь.

Загальним рішенням диференціального рівнянняназивається функція виду , До якої входить стільки незалежних довільних постійних, який порядок рівняння.

Приватним розв'язком диференціального рівнянняназивається рішення, отримане із загального рішення при різних числових значеннях довільних постійних. Значення довільних постійних перебуває при певних початкових значеннях аргументу та функції.

Графік приватного розв'язання диференціального рівняння називається інтегральної кривої.

Приклади

1.Знайти приватне рішення диференціального рівняння першого порядку

xdx + ydy = 0, якщо y= 4 при x = 3.

Рішення. Інтегруючи обидві частини рівняння, отримаємо

Зауваження. Довільну постійну, отриману в результаті інтегрування, можна представляти в будь-якій формі, зручній для подальших перетворень. В даному випадку, з урахуванням канонічного рівняння кола довільну постійну З зручно подати у вигляді .

- загальне рішення диференціального рівняння.

Приватне рішення рівняння, що задовольняє початковим умовам y = 4 при x = 3 виходить із загального підстановкою початкових умов у загальне рішення: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Підставляючи С=5 у загальне рішення, отримаємо x 2 +y 2 = 5 2 .

Це приватне рішення диференціального рівняння, отримане із загального рішення за заданих початкових умовах.

2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння

Рішенням цього рівняння є будь-яка функція виду , де З - довільна стала. Справді, підставляючи рівняння , отримаємо: , .

Отже, дане диференціальне рівняння має безліч рішень, так як при різних значеннях постійної С рівність визначає різні рішеннярівняння.

Наприклад, безпосередньою підстановкою можна переконатися, що функції є рішеннями рівняння.

Завдання, в якому потрібно знайти приватне рішення рівняння y" = f(x, y)що задовольняє початковій умові y(x 0) = y 0називається завданням Коші.

Вирішення рівняння y" = f(x, y), що задовольняє початковій умові, y(x 0) = y 0, Називається рішенням завдання Коші.

Розв'язання задачі Коші має просте геометричне значення. Справді, згідно з даними визначеннями, вирішити завдання Коші y" = f(x, y)за умови y(x 0) = y 0, означає знайти інтегральну криву рівняння y" = f(x, y)яка проходить через задану точку M 0 (x 0,y 0).

ІІ. Диференціальні рівняння першого порядку

2.1. Основні поняття

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду F(x,y,y") = 0.

У диференціальне рівняння першого порядку входить перша похідна і входять похідні вищого порядку.

Рівняння y" = f(x, y)називається рівнянням першого порядку, дозволеним щодо похідної.

Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція виду, що містить одну довільну постійну.

приклад.Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку.

Рішенням цього рівняння є функція.

Справді, замінивши у цьому рівнянні, його значенням, отримаємо

тобто 3x = 3x

Отже, функція є загальним рішенням рівняння за будь-якого постійного С.

Знайти приватне рішення даного рівняння, що задовольняє початкову умову y(1)=1Підставляючи початкові умови x = 1, y = 1у загальне рішення рівняння, отримаємо звідки C = 0.

Таким чином, приватне рішення отримаємо із загального підставивши на це рівняння, отримане значення C = 0- Приватне рішення.

2.2. Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду: y"=f(x)g(y)або через диференціали, де f(x)і g(y)- Задані функції.

Для тих y, для яких рівняння y"=f(x)g(y)рівносильно рівнянню, в якому змінна yприсутня лише у лівій частині, а змінна x-тільки у правій частині. Кажуть, «у рівнянні y"=f(x)g(yрозділимо змінні».

Рівняння виду називається рівнянням із розділеними змінними.

Проінтегрувавши обидві частини рівняння по x, отримаємо G(y) = F(x) + C– загальне рішення рівняння, де G(y)і F(x)– деякі первісні відповідно до функцій та f(x), Cдовільна стала.

Алгоритм розв'язання диференціального рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.

Приклад 1

Вирішити рівняння y" = xy

Рішення. Похідну функції y"замінимо на

розділимо змінні

проінтегруємо обидві частини рівності:

Приклад 2

2yy" = 1-3x 2, якщо y 0 = 3при x 0 = 1

Це-рівняння з розділеними змінними. Представимо його у диференціалах. Для цього перепишемо дане рівняння у вигляді Звідси

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, знайдемо

Підставивши початкові значення x 0 = 1, y 0 = 3знайдемо З 9=1-1+C, тобто. З = 9.

Отже, шуканий приватний інтеграл буде або

Приклад 3

Скласти рівняння кривої, що проходить через точку M(2;-3)і має дотичну з кутовим коефіцієнтом

Рішення. Відповідно до умови

Це рівняння з змінними, що розділяються. Розділивши змінні, отримаємо:

Проінтегрувавши обидві частини рівняння, отримаємо:

Використовуючи початкові умови, x = 2і y = - 3знайдемо C:

Отже, шукане рівняння має вигляд

2.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y" = f(x)y + g(x)

де f(x)і g(x)- Деякі задані функції.

Якщо g(x)=0то лінійне диференціальне рівняння називається однорідним і має вигляд: y" = f(x)y

Якщо те рівняння y" = f(x)y + g(x)називається неоднорідним.

Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння y" = f(x)yзадається формулою: де З- Довільна постійна.

Зокрема, якщо =0,то рішення є y = 0Якщо лінійне однорідне рівняннямає вигляд y" = kyде k- деяка стала, його загальне рішення має вид: .

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння y" = f(x)y + g(x)задається формулою ,

тобто. дорівнює сумі загального рішення відповідного лінійного однорідного рівняння та окремого рішення даного рівняння.

Для лінійного неоднорідного рівняння виду y" = kx + b,

де kі b- Деякі числа та приватним рішенням буде постійна функція. Тому загальне рішення має вигляд.

приклад. Вирішити рівняння y" + 2y +3 = 0

Рішення. Уявимо рівняння у вигляді y" = -2y - 3де k = -2, b = -3Загальне рішення задається формулою.

Отже, де С – довільна стала.

2.4. Вирішення лінійних диференціальних рівнянь першого порядку методом Бернуллі

Знаходження загального рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку y" = f(x)y + g(x)зводиться до розв'язання двох диференціальних рівнянь із розділеними змінними за допомогою підстановки y=uv, де uі v- невідомі функції від x. Цей метод рішення називається методом Бернуллі.

Алгоритм розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку

y" = f(x)y + g(x)

1. Ввести підстановку y=uv.

2. Продиференціювати цю рівність y" = u"v + uv"

3. Підставити yі y"на дане рівняння: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)або u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Згрупувати члени рівняння так, щоб uвинести за дужки:

5. Зі дужки, прирівнявши її до нуля, знайти функцію

Це рівняння з змінними, що розділяються:

Розділимо змінні та отримаємо:

Звідки . .

6. Підставити отримане значення vрівняння (з п.4):

і знайти функцію Це рівняння з змінними, що розділяються:

7. Записати загальне рішення у вигляді: , тобто. .

Приклад 1

Знайти окреме рішення рівняння y" = -2y +3 = 0якщо y =1при x = 0

Рішення. Вирішимо його за допомогою підстановки y=uv,.y" = u"v + uv"

Підставляючи yі y"у дане рівняння, отримаємо

Згрупувавши другий і третій доданок лівої частини рівняння, винесемо загальний множник u за дужки

Вираз у дужках прирівнюємо до нуля і, вирішивши отримане рівняння, знайдемо функцію v = v (x)

Здобули рівняння з розділеними змінними. Проінтегруємо обидві частини цього рівняння: Знайдемо функцію v:

Підставимо отримане значення vв рівняння Отримаємо:

Це рівняння з розділеними змінними. Проінтегруємо обидві частини рівняння: Знайдемо функцію u = u(x, c) Знайдемо спільне рішення: Знайдемо приватне рішення рівняння, що задовольняє початкові умови y = 1при x = 0:

ІІІ. Диференціальні рівняння вищих порядків

3.1. Основні поняття та визначення

Диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння, що містить похідні не вище за другий порядок. У випадку диференціальне рівняння другого порядку записується як: F(x,y,y",y") = 0

Загальним рішенням диференціального рівняння другого порядку називається функція виду, до якої входять дві довільні постійні C 1і C 2.

Приватним рішенням диференціального рівняння другого порядку називається рішення, отримане із загального за деяких значень довільних постійних C 1і C 2.

3.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами.

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтаминазивається рівняння виду y"+py" +qy = 0, де pі q- Постійні величини.

Алгоритм розв'язання однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами

1. Записати диференціальне рівняння у вигляді: y"+py" +qy = 0.

2. Скласти його характеристичне рівняння, позначивши y"через r 2, y"через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

1. Метод підстановки: з будь-якого рівняння системи виражаємо одне невідоме через інше і підставляємо друге рівняння системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.З першого рівняння системи виражаємо учерез хта підставляємо у друге рівняння системи. Отримаємо систему рівносильну вихідній.

Після приведення подібних членів система набуде вигляду:

З другого рівняння знаходимо: . Підставивши це значення рівняння у = 2 - 2х, отримаємо у= 3. Отже, розв'язком цієї системи є пара чисел .

2. Метод алгебраїчної складання: шляхом складання двох рівнянь отримати рівняння з однією змінною

Завдання.Розв'язати систему рівняння:

Рішення.Помноживши обидві частини другого рівняння на 2, отримаємо систему рівносильну вихідній. Склавши два рівняння цієї системи, прийдемо до системи

Після приведення подібних членів дана система набуде вигляду: З другого рівняння знаходимо. Підставивши це значення рівняння 3 х + 4у= 5, отримаємо звідки. Отже, рішенням цієї системи є пара чисел .

3. Метод запровадження нових змінних: шукаємо в системі деякі вирази, що повторюються, які позначимо новими змінними, тим самим спрощуючи вид системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.Запишемо цю системуінакше:

Нехай х + у = u, ху = v.Тоді отримаємо систему

Вирішимо її методом підстановки. З першого рівняння системи висловимо uчерез vі підставимо на друге рівняння системи. Отримаємо систему тобто.

З другого рівняння системи знаходимо v 1 = 2, v 2 = 3.

Підставивши ці значення до рівняння u = 5 - v, отримаємо u 1 = 3,
u 2 = 2. Тоді маємо дві системи

Вирішуючи першу систему, отримаємо дві пари чисел (1; 2), (2; 1). Друга система рішень немає.

Вправи для самостійної роботи

1. Вирішити системи рівнянь шляхом підстановки.