Похідна функції. Вичерпне керівництво (2019)

Початковий рівень

Похідна функції. Вичерпне керівництво (2019)

Уявімо пряму дорогу, що проходить по горбистій місцевості. Тобто вона йде то вгору, то вниз, але праворуч чи ліворуч не повертає. Якщо вісь направити вздовж дороги горизонтально, а вертикально, то лінія дороги буде дуже схожа на графік якоїсь безперервної функції:

Вісь - це певний рівень нульової висоти, в житті ми використовуємо як рівень моря.

Рухаючись вперед такою дорогою, ми також рухаємося вгору або вниз. Також можемо сказати: при зміні аргументу (просування вздовж осі абсцис) змінюється значення функції (рух вздовж осі ординат). А тепер давай подумаємо, як визначити «крутість» нашої дороги? Що може бути за величина? Дуже просто: на скільки зміниться висота під час просування вперед на певну відстань. Адже на різних ділянках дороги, просуваючись вперед (вздовж осі абсцис) на один кілометр, ми піднімемося або опустимося на різна кількістьметрів щодо рівня моря (вздовж осі ординат).

Просування вперед позначимо (читається "дельта ікс").

Грецьку букву (дельта) в математиці зазвичай використовують як приставку, що означає зміну. Тобто – це зміна величини, – зміна; тоді що таке? Правильно, зміна величини.

Важливо: вираз – це єдине ціле, одна змінна. Ніколи не можна відривати «дельту» від «ікса» чи будь-якої іншої літери! Тобто, наприклад, .

Отже, ми просунулися вперед, по горизонталі, на. Якщо лінію дороги ми порівнюємо з графіком функції, як ми позначимо підйом? Звісно, ​​. Тобто, при просуванні вперед на ми піднімаємось вище.

Величину порахувати легко: якщо спочатку ми знаходилися на висоті, а після переміщення опинилися на висоті, то. Якщо кінцева точкавиявилася нижчою за початкову, буде негативною - це означає, що ми не піднімаємося, а спускаємося.

Повернемося до «крутості»: це величина, яка показує, наскільки сильно (круто) збільшується висота при переміщенні вперед на одиницю відстані:

Припустимо, що на якійсь ділянці шляху під час просування на км дорога піднімається нагору на км. Тоді крутість у цьому місці дорівнює. А якщо дорога при просуванні на м опустилася на кілометр? Тоді крутість дорівнює.

А тепер розглянемо вершину якогось пагорба. Якщо взяти початок ділянки за півкілометра до вершини, а кінець через півкілометра після нього, видно, що висота практично однакова.

Тобто за нашою логікою виходить, що крутість тут майже дорівнює нулю, що явно не відповідає дійсності. Просто на відстані в кілометрах може багато чого змінитися. Потрібно розглядати більш маленькі ділянки для більш адекватної та точної оцінки крутості. Наприклад, якщо вимірювати зміну висоти при переміщенні на один метр, результат буде набагато точнішим. Але й цієї точності нам може бути недостатньо - адже якщо посеред дороги стоїть стовп, ми можемо просто проскочити. Яку відстань тоді виберемо? Сантиметр? Міліметр? Чим менше тим краще!

У реального життявимірювати відстань з точністю до міліметра - більш ніж достатньо. Але математики завжди прагнуть досконалості. Тому було вигадано поняття нескінченно малого, тобто величина по модулю менше за будь-яке число, яке тільки можемо назвати. Наприклад, ти скажеш: одна трильйонна! Куди менше? А ти поділи це число на - і буде ще менше. І так далі. Якщо хочемо написати, що величина нескінченно мала, пишемо так: (читаємо «ікс прагне нуля»). Дуже важливо розуміти, що це число не дорівнює нулю!Але дуже близько до нього. Це означає, що на нього можна ділити.

Поняття, протилежне нескінченно малому – нескінченно велике (). Ти вже напевно стикався з ним, коли займався нерівностями: це число за модулем більше за будь-яке число, яке тільки можеш придумати. Якщо ти придумав найбільше з можливих чисел, просто помнож його на два, і вийде ще більше. А нескінченність ще більш тогощо вийде. Фактично нескінченно велике і нескінченно мале обернені один одному, тобто при, і навпаки: при.

Тепер повернемось до нашої дороги. Ідеально порахована крутість - це куртизна, обчислена для нескінченно малого відрізка шляху, тобто:

Зауважу, що при нескінченно малому переміщенні зміна висоти теж буде нескінченно малою. Але нагадаю, нескінченно мале - не означає рівне нулю. Якщо поділити один на одного нескінченно малі числа, може вийти цілком звичайне числонаприклад, . Тобто одна мала величина може бути рівно в рази більша за іншу.

Навіщо все це? Дорога, крутість… Адже ми не в автопробіг вирушаємо, а математику вчимо. А в математиці все так само, тільки називається по-іншому.

Поняття похідної

Похідна функції це відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу.

Збільшенняму математиці називають зміну. Те, наскільки змінився аргумент () при просуванні вздовж осі, називається збільшенням аргументуі позначається Те, наскільки змінилася функція (висота) при просуванні вперед уздовж осі на відстань, називається збільшенням функціїта позначається.

Отже, похідна функції – це відношення до при. Позначаємо похідну тією ж літерою, що й функцію, тільки зі штрихом зверху праворуч: або просто. Отже, запишемо формулу похідної, використовуючи ці позначення:

Як і в аналогії з дорогою тут при зростанні функції похідна позитивна, а при зменшенні негативна.

А чи похідна буває дорівнює нулю? Звісно. Наприклад, якщо ми їдемо рівною горизонтальною дорогою, крутість дорівнює нулю. І справді, висота ж не зовсім змінюється. Так і з похідною: похідна постійної функції(Константи) дорівнює нулю:

оскільки збільшення такої функції дорівнює нулю за будь-якого.

Давай згадаємо приклад із вершиною пагорба. Там виходило, що можна так розташувати кінці відрізка по різні сторонивід вершини, що висота на кінцях виявляється однаковою, тобто відрізок розташовується паралельно осі:

Але великі відрізки – ознака неточного виміру. Підніматимемо наш відрізок вгору паралельно самому собі, тоді його довжина буде зменшуватися.

Зрештою, коли ми будемо нескінченно близькі до вершини, довжина відрізка стане нескінченно малою. Але при цьому він залишився паралельний осі, тобто різниця висот на його кінцях дорівнює нулю (не прагне, а саме дорівнює). Значить, похідна

Зрозуміти це можна так: коли ми стоїмо на самій вершині, дрібне зміщення вліво чи вправо змінює нашу висоту мізерно мало.

Є й суто алгебраїчне пояснення: лівіше вершини функція зростає, а правіше - зменшується. Як ми вже з'ясували раніше, у разі зростання функції похідна позитивна, а при зменшенні - негативна. Але змінюється вона плавно, без стрибків (бо дорога ніде не змінює нахил різко). Тому між негативними та позитивними значеннямиобов'язково має бути. Він і буде там, де функція не збільшується, не зменшується - у точці вершини.

Те саме справедливо і для западини (область, де функція зліва зменшується, а праворуч - зростає):

Трохи докладніше про збільшення.

Отже, ми змінюємо аргумент на величину. Змінюємо від якого значення? Яким він (аргумент) тепер став? Можемо вибрати будь-яку точку, і зараз від неї танцюватимемо.

Розглянемо точку з координатою. Значення функції у ній одно. Потім робимо те саме збільшення: збільшуємо координату на. Чому тепер рівний аргумент? Дуже легко: . А чому тепер дорівнює значення функції? Куди аргумент, туди та функція: . А що із збільшенням функції? Нічого нового: це, як і раніше, величина, на яку змінилася функція:

Потренуйся знаходити збільшення:

1. Знайди збільшення функції в точці при збільшенні аргументу, що дорівнює.
2. Те саме для функції в точці.

Рішення:

У різних точкахпри тому самому збільшенні аргументу збільшення функції буде різним. Значить, і похідна у кожній точці своя (це ми обговорювали на самому початку - крутість дороги у різних точках різна). Тому коли пишемо похідну, треба зазначати, в якій точці:

Ступінна функція.

Ступіньною називають функцію, де аргумент певною мірою (логічно, так?).

Причому - будь-якою мірою: .

Найпростіший випадок- це коли показник ступеня:

Знайдемо її похідну у точці. Згадуємо визначення похідної:

Отже, аргумент змінюється з до. Яке збільшення функції?

Приріст – це. Але функція у будь-якій точці дорівнює своєму аргументу. Тому:

Похідна дорівнює:

Похідна від рівна:

b) Тепер розглянемо квадратичну функцію (): .

А тепер згадаємо, що. Це означає, що значення приросту можна знехтувати, оскільки воно нескінченно мало, і тому незначно на тлі іншого доданку:

Отже, у нас народилося чергове правило:

c) Продовжуємо логічний ряд: .

Цей вираз можна спростити по-різному: розкрити першу дужку за формулою скороченого множення куб суми, або розкласти весь вираз на множники за формулою різниці кубів. Спробуй зробити це сам будь-яким із запропонованих способів.

Отже, у мене вийшло таке:

І знову пригадаємо, що. Це означає, що можна знехтувати всіма складовими, що містять:

Отримуємо: .

d) Аналогічні правила можна отримати і для більших ступенів:

e) Виявляється, це правило можна узагальнити для статечної функціїз довільним показником, навіть не цілим:

Можна сформулювати правило словами: "ступінь виноситься вперед як коефіцієнт, а потім зменшується на".

Доведемо це правило пізніше (майже наприкінці). А зараз розглянемо кілька прикладів. Знайди похідну функцій:

1. (двома способами: за формулою та використовуючи визначення похідної - порахувавши збільшення функції);

1. . Не повіриш, але це статечна функція. Якщо у тебе виникли питання на кшталт «Як це? А де ж ступінь?», Згадуй тему «»!
   Так-так, корінь - це теж ступінь, лише дрібна: .
   Отже, наш квадратний корінь - це лише ступінь із показником:
   .
   Похідну шукаємо за нещодавно вивченою формулою:

   Якщо тут знову стало незрозуміло, повторюй тему « »!!! (про ступінь з негативним показником)

2. . Тепер показник ступеня:

   А тепер через визначення (не забув ще?):
   ;
   .
   Тепер, як завжди, нехтуємо доданком, що містить:
   .

3. . Комбінація попередніх випадків: .

Тригонометричні функції.

Тут будемо використовувати один факт із вищої математики:

При виразі.

Доказ ти дізнаєшся на першому курсі інституту (а щоб там опинитися, треба добре здати ЄДІ). Зараз лише покажу це графічно:

Бачимо, що при функції не існує - точка на графіку виколота. Але що ближче до значення, то ближче функція до. Це і є те саме «прагне».

Додатково можна перевірити це правило за допомогою калькулятора. Так-так, не соромся, бери калькулятор, адже ми не на ЄДІ ще.

Отже, пробуємо: ;

Не забудь перевести калькулятор у режим Радіани!

і т.д. Бачимо, що менше, тим ближче значення ставлення до.

a) Розглянемо функцію. Як завжди, знайдемо її збільшення:

Перетворимо різницю синусів на твір. І тому використовуємо формулу (згадуємо тему « »): .

Тепер похідна:

Зробимо заміну: . Тоді при нескінченно малому і нескінченно мало: . Вираз для набуває вигляду:

А тепер згадуємо, що при виразі. А також, що якщо нескінченно малою величиною можна знехтувати суму (тобто при).

Отже, отримуємо таке правило: похідна синуса дорівнює косінусу:

Це базові («табличні») похідні. Ось вони одним списком:

Пізніше ми до них додамо ще кілька, але ці найважливіші, оскільки використовуються найчастіше.

Потренуйся:

1. Знайди похідну функції у точці;
2. Знайди похідну функцію.

Рішення:

1. Спершу знайдемо похідну в загальному вигляді, а потім підставимо замість його значення:
   ;
   .
2. Тут у нас щось схоже на статечну функцію. Спробуємо привести її до
   нормальному вигляду:
   .
   Відмінно тепер можна використовувати формулу:
   .
   .
3. . Ееєєєє….. Що це????

Гаразд, ти маєш рацію, такі похідні знаходити ми ще не вміємо. Тут ми маємо комбінацію кількох типів функцій. Щоб працювати з ними, потрібно вивчити ще кілька правил:

Експонента та натуральний логарифм.

Є в математиці така функція, похідна якої за будь-якого дорівнює значенню самої функції при цьому. Називається вона «експонента» і є показовою функцією

Підстава цієї функції – константа – це нескінченна десятковий дрібтобто число ірраціональне (таке як). Його називають число Ейлера, тому і позначають буквою.

Отже, правило:

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм- Функції унікально прості з точки зору похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того як пройдемо правиладиференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число(Константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

Для цього скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто ніяк не записати до більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні діїв зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми проробляємо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливістьскладних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для першого прикладу .

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягаємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це щодо прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, вже не особливо елементарні, але також диференційовані по певним правилам. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніший, але загальна схемавід цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна з самих складних формул- Без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретні приклади.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще сумніше, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, докладним описомкожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює суміштрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. В якості останнього прикладуповернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дробове число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольні роботита екзаменах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

1- Похідна, сенс у різних завданняхта властивості

1.1. Поняття похідної

Нехай функція у– f(x) визначено на проміжку D. Візьмемо деяке значення X0 Dі розглянемо приріст ∆ х: х0 + ∆х D. Якщо існує межа відношення зміни (прирощення) функції до відповідного збільшення аргументу, коли останнє прагне донулю, то він називається похідної функції у= f(x) у точці х =х0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Процес знаходження похідних називається диференціюванням .

Якщо f"(x) кінцева при кожному x D, то функція у= f(x) називається диференційованої в D. Точне формулювання диференційності функції та критерій диференційності функції будуть дані в п. 1.5.

Користуючись визначенням похідної, отримаємо деякі правила диференціювання та похідні основних елементарних функцій, які потім зведемо до таблиць.

10. Похідна константи є нуль:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Справді,

Зокрема,

30 . Для функції у = х2похідна у '=2х.

Для виведення цієї формули знайдемо збільшення функції:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Використовуючи формулу бінома Ньютона, можна показати, що для статечної функції

1.2. Поняття односторонньої похідної

В основах математичного аналізудля функції у=f(х) були введені поняття лівої та правої меж у точці а:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

правостороння похідна -

Нагадаємо, що для існування кінцевої межіфункції у= f(x) у точці х = анеобхідно і достатньо, щоб лівий та правий межі функції в цій точці були кінцеві та рівні:

(x - 0) = f’(x + 0).

1.3. Поняття похідних вищих порядків

Нехай для функції у= f(x) , визначеної на безлічі D, існує похідна у"= f"(x) при кожному x D,Т. e. похідна є функцією і для неї можна порушувати питання про існування похідної. Похідна від першої похідної, якщо вона існує - друга похідна цієї функціїабо похідна другого порядку

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

похідна п - го порядку

0, у "" = 0,...у(n) = 0. Для функції у = х2похідна у’= 2х.Тоді у"= 2, у ""= 0,.., у (n) = 0.

1.4. Геометричне та механічне тлумачення похідної

1.4.1. Механічний сенс похідної. Завдання про швидкість та прискорення нерівномірного руху

Нехай залежність шляху, пройденого тілом за час t, описується функцією s = s(t), а швидкість руху та прискорення відповідно до функцій v = v(t), a = a(t). Якщо тіло рухається рівномірно, то, як відомо з фізики, s = vּt, т. е. v = s/ t. Якщо тіло рухається рівноприскорено і vo= 0, то прискорення a = v/ t.

Якщо ж рух не є рівномірним та рівноприскореним, то середня величинашвидкості та прискорення за проміжок часу Δ t, Очевидно, рівні відповідно.

Нехай v(t)- швидкість руху, a(t)- прискорення у момент часу t.

Тоді, таким чином,

За умови, що останні межі існують.

Механічний зміст похідної: похідна шляхиs = s(t) noчасуtє миттєва швидкістьруху матеріальної точки, тобто.v(t)= s"(t). Друга похідна шляхи за часом- прискорення, тобто.s""(t)= v"(t)=а(t).

З введенням поняття похідної функції, за словами Ф. Енгельса, в математику прийшов рух, оскільки похідна означає швидкість зміни будь-якого процесу, наприклад: процесу нагрівання або охолодження тіла, швидкість протікання хімічної або ядерної реакціїі т.д.

приклад 1.1. Кількість електрики (у кулонах), що протікає через провідник, визначається законом Q = 2 t2 + 3 t + 4 . Знайдіть силу струму наприкінці третьої секунди.

Рішення. Сила струму I = Q" = 4 t+3. При t = 3 I=15 k/с = 15 А.

1.4.2.3адача про дотичну. Геометричний зміст похідної

Нехай функція у= f(x) визначена і безперервна у точці х= х0 і в деякій околиці цієї точки. З'ясуємо геометричне значення похідної функції.

Для вирішення даної задачі надійде так. Візьмемо на графіку функції (рис. 1.1) точку М(х0 + Δх, у0 + Δу)і проведемо січну М0М.Спрямуємо точку Мдо точки М0, тобто Δ х → 0. Крапка М()нерухома, тому січка в межі займе положення дотичної До.

Щодо графіку функції у= f(x) eточціM0 називається граничне становищесіче М0М за умови, що точка М прагне до точки М0 по кривій Гf- графіку функціїy = f(x).

Тоді кутовий коефіцієнт січної М0М

у межі стане рівним кутовому коефіцієнтудотичної:

{ x0 ) = tgα, де α - кут між дотичним та позитивним напрямком осі Ох(Див. рис. 1.1).

Як відомо з аналітичної геометрії, Рівняння прямої, що проходить через точку ( х0, у0) і має кутовий коефіцієнт kбуде

у – у0 =k(х-х0).

Тоді, з урахуванням геометричного сенсупохідний, рівняння дотичної (К)до графіку функції у= f(x) у точці (х0, у0)має вигляд

(К) у =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

Рівняння нормалі (N) - перпендикуляра до дотичної в точці дотику:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(О(х)- о-мале від Δх).

Теорема. Для того, щоб функція у= f(х) була диференційованою в точці x D), необхідно і достатньо, щоб вона в цій точці мала кінцеву похідну у’ =f"(x).

Доведення . Необхідність.Нехай функція y= f(x) диференційована в точці x D, Т. е. виконано співвідношення (1.1). Тоді, за визначенням похідної, з урахуванням (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Тоді на підставі теореми про зв'язок між функцією, її межею та нескінченно малою величиною

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

може бути представлено у вигляді суми двох доданків, перше з яких пропорційно до збільшення аргументу Δхз коефіцієнтом пропорційності f'(х),а друге - є нескінченно малою більше високого порядкучим Δх, Т. е виконано (1.1), і, отже, функція диференційована в точці x D.

Зауважимо, що співвідношення

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , у"(+0)=1, але функція безперервна при х= 0.

1.6. Правила диференціювання

1 . Диференціювання суми алгебри функцій. Алгебраїчна сума кінцевого числадиференційованих функцій є функція, що диференціюється, при цьому похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній суміпохідних. Наприклад: для двох функцій

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Розглянемо зміну функції та ±vза зміни аргументу Δ х:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Так як межа кожного доданку за умовою існує і кінцевий, то межа суми алгебри дорівнює алгебраїчній сумі меж. тобто функція (і ±v) диференційована в довільній точці хі (u± v)" = u’ ± v’ . Твердження доведене.

2 °. Диференціювання добутку функцій . Добуток двох функцій, що диференціюються, є функція диференційована, при цьому похідна твори дорівнює твору похідної першого співмножника на другий без зміни плюс перший співмножник, помножений на похідну другого:

(іv) = і"v + uv".

Наведене правило легко може бути узагальнено і добуток будь-якого кінцевого числа функцій, що диференціюються, наприклад.

Доведення. За умовою у довільній точці x D

За зміни Δ хзміна функції

представимо у вигляді

Бо в силу диференційності, а

lim Δ v = 0 через безперервність функції, то за властивостями меж

Δх→ Про

(uv)" = u"v + uv".

Як наслідок правила диференціювання добутку функцій пропонуємо читачам отримати похідну статечної функції іп,n N :

(іn)’ = nun-1 і’

3 °. Наслідок з 2 °. Постійний множникможна винести за знак

похідної:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Доведення. За зміни Δ хрозглянемо зміни функцій, що диференціюються і = і (х),v= v(x) ≠ 0:

Δ і = [і (х+ Δх) - і(х)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)].

Змінені значення функцій будуть: та + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Функції і= w(x),v = v(x) ≠ 0 диференційовані за умовою, отже, і безперервні, тобто.

За властивостями меж

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Диференціювання складної функції . Нехай функція у= f(і) диференційована по х, функція і= і(х)диференційована по х. Тоді складна функція у= f(u(x)) диференційована по х, і

у"=f"(u)∙ u"

Доведення . В силу диференційованості функцій f(u), u(x) та властивостей меж

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Диференціювання зворотної функції . Нехай функція у =f(x) диференційована по хі у"х ≠ 0.Тоді зворотна функція х =g(у) диференційована по уі х"у = 1/у"х

Доведення. Справді,

Для зручності у використанні основні правила диференціювання подаємо у таблиці 1.

Таблиця 1

Правила диференціювання

1.7.

Використовуючи визначення похідної функції та правила диференціювання, знайдемо похідні основних елементарних функцій, які представлені нижче у таблиці 2.

Таблиця 2

Похідні основних елементарних функцій

Визначення.Нехай функція \(y = f(x) \) визначена в деякому інтервалі, що містить у собі точку \(x_0 \). Дамо аргументу приріст (Delta x) таке, щоб не вийти з цього інтервалу. Знайдемо відповідне збільшення функції \(\Delta y \) (при переході від точки \(x_0 \) до точки \(x_0 + \Delta x \)) і складемо відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Якщо існує межа цього відношення при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то вказану межу називають похідної функції\(y=f(x) \) у точці \(x_0 \) і позначають \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Для позначення похідної часто використовують символ y". Зазначимо, що y" = f(x) - це нова функціяале, природно, пов'язана з функцією y = f(x), визначена у всіх точках x, в яких існує зазначена вище межа. Цю функцію називають так: похідна функції у = f(x).

Геометричний зміст похідноїполягає у наступному. Якщо до графіку функції у = f(x) у точці з абсцисою х=a можна провести дотичну, непаралельну осі y, то f(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:
\(k = f"(a) \)

Оскільки \(k = tg(a) \), то вірна рівність \(f"(a) = tg(a) \).

А тепер витлумачимо визначення похідної з погляду наближених рівностей. Нехай функція \(y = f(x) \) має похідну в конкретній точці \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Це означає, що біля точки х виконується наближена рівність \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), тобто \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Змістовний зміст отриманої наближеної рівності полягає в наступному: збільшення функції «майже пропорційно» збільшенню аргументу, причому коефіцієнтом пропорційності є значення похідної в заданій точціх. Наприклад, для функції \(y = x^2 \) справедливо наближена рівність \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Якщо уважно проаналізувати визначення похідної, ми виявимо, що у ньому закладено алгоритм її знаходження.

Сформулюємо його.

Як знайти похідну функції у = f (x)?

1. Зафіксувати значення \(x \), знайти \(f(x) \)
2. Дати аргументу \(x \) збільшення \(\Delta x \), перейти в нову точку\(x+ \Delta x \), знайти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Знайти збільшення функції: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Скласти відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Обчислити $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ця межа і є похідною функцією в точці x.

Якщо функція у = f(x) має похідну в точці х, її називають диференційованою в точці х. Процедуру знаходження похідної функції у = f(x) називають диференціюваннямфункції у = f(x).

Обговоримо таке питання: як пов'язані між собою безперервність та диференційність функції у точці.

Нехай функція у = f(x) диференційована у точці х. Тоді до графіку функції в точці М(х; f(x)) можна провести дотичну, причому, нагадаємо, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(x). Такий графік не може «розриватися» у точці М, тобто функція зобов'язана бути безперервною у точці х.

Це були міркування "на пальцях". Наведемо більш строгу міркування. Якщо функція у = f(x) диференційована в точці х, то виконується наближена рівність \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Якщо в цій рівності \(\Delta x \) спрямувати до нулю, то й \(\Delta y \) прагнутиме до нуля, а це і є умова безперервності функції в точці.

Отже, якщо функція диференційована у точці х, вона і безперервна у цій точці.

Зворотне твердження не так. Наприклад: функція у = | х | безперервна скрізь, зокрема у точці х = 0, але щодо графіку функції в «точці стику» (0; 0) не існує. Якщо деякій точці до графіку функції не можна провести дотичну, то цій точці немає похідна.

Ще один приклад. Функція \(y=\sqrt(x) \) безперервна на всій числовій прямій, у тому числі в точці х = 0. І дотична до графіка функції існує в будь-якій точці, у тому числі в точці х = 0. Але в цій точці дотична збігається з віссю у, тобто перпендикулярна до осі абсцис, її рівняння має вигляд х = 0. Кутового коефіцієнта у такої прямої немає, значить, не існує і \(f"(0) \)

Отже, ми познайомилися з новою властивістю функції - диференціювання. А як за графіком функції можна дійти невтішного висновку про її диференційованості?

Відповідь фактично отримано вище. Якщо деякій точці до графіку функції можна провести дотичну, не перпендикулярну осі абсцис, то цій точці функція диференційована. Якщо у певній точці дотична до графіку функції немає чи вона перпендикулярна осі абсцис, то цій точці функція не диференційована.

Правила диференціювання

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. За виконання цієї операції часто доводиться працювати з приватними, сумами, творами функцій, і навіть з «функціями функцій», тобто складними функціями. Виходячи з визначення похідної, можна вивести правила диференціювання, що полегшують роботу. Якщо C - постійне число і f = f (x), g = g (x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі наступні правила диференціювання:

Таблиця похідних деяких функцій

• Таблиця похідних експоненційних та логарифмічних функцій

Похідні простих функцій

Пояснення:
Похідна показує швидкість зміни значення функції за зміни аргументу. Оскільки число ніяк не змінюється за жодних умов - швидкість його зміни завжди дорівнює нулю.

2. Похідна змінноїдорівнює одиниці
x' = 1

Пояснення:
При кожному збільшенні аргументу (х) на одиницю значення функції (результату обчислень) збільшується на цю саму величину. Таким чином, швидкість зміни значення функції y = x точно дорівнює швидкості зміни значення аргументу.

3. Похідна змінної та множника дорівнює цьому множнику
сx = с
Приклад:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Пояснення:
У даному випадку, при кожній зміні аргументу функції ( х) її значення (y) зростає в зразів. Таким чином, швидкість зміни значення функції по відношенню до швидкості зміни аргументу точно дорівнює величині з.

Звідки випливає, що
(cx + b)" = c
тобто диференціал лінійної функції y=kx+b дорівнює кутовому коефіцієнту нахилу прямої (k).

5. Похідна змінної у ступенідорівнює добутку числа цього ступеня та змінної до ступеня, зменшеної на одиницю
(x c)" = cx c-1, за умови, що x c і сx c-1 визначені а з ≠ 0
Приклад:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запам'ятовування формули:
Знесіть ступінь змінної "вниз" як множник, а потім зменшіть самий ступінь на одиницю. Наприклад, для x 2 - двійка виявилася попереду ікса, та був зменшена ступінь (2-1=1) просто дала нам 2х. Те саме сталося для x 3 - трійку "спускаємо вниз", зменшуємо її на одиницю і замість куба маємо квадрат, тобто 3x2. Дещо "не науково", але дуже просто запам'ятати.

6.Похідна дроби 1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Приклад:
Оскільки дріб можна уявити як зведення в негативний ступінь
(1/x)" = (x -1)" , Тоді можна застосувати формулу з правила 5 похідних таблиці
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2

7. Похідна дроби зі змінною довільного ступеня у знаменнику
(1 / x c)" = - c/x c+1
Приклад:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Похідне коріння(Похідна змінної під квадратним коренем)
(√x)" = 1 / (2√x)або 1/2 х -1/2
Приклад:
(√x)" = (х 1/2)" означає можна застосувати формулу з правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Похідна змінної під коренем довільного ступеня
(n√x)" = 1 / (nn√xn-1)