Тетраедр геометричні фігури. Дипломна робота: Вибрані теореми геометрії тетраедра

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери для 1 класу в інтернет-магазині "Інтеграл"
Математика, 1-4 класи, Петерсон Л.Г., електронний навчальний посібник до підручників

З історії

Тетраедр ще одна дивовижна фігура, яка досить часто зустрічається в нашому житті, але зазвичай наші знання про нього обмежуються визначенням, властивостями та формулами шкільного курсугеометрії.

Слово "тетраедр" утворене з двох грецьких слів: tetra - перекладатися як чотири і hedra - означає основу, грань; у кожній вершині тетраедра сходяться по 3 грані. Ця фігура має 4 грані, 6 ребер та 4 вершини.

З найдавніших часів уявлення людей про красу пов'язані з симетрією. Можливо, цим пояснюється інтерес людей до багатогранників - дивовижних символів симетрії, які привертали увагу видатних мислителівта людей усіх епох. Вже за часів Піфагора дивувалися їхній красі та симетрії. Учні Піфагора вважали, що правильні багатогранники- це божественні фігури і використовували їх у філософських творах. Першоосновам буття - вогню, повітрі, воді, землі надавалась форма відповідно октаедра, ікосаедра, тетраедра, куба, а Всесвіт представлявся у формі додекаедра. Учні Платона продовжили вивчення перелічених тілТому ці багатогранники називають Платоновими тілами.

Роль завдань про тетраедри дуже висока у розвитку математичного мисленняшколярів. Ці завдання стимулюють накопичення геометричних уявлень та знань, сприяють розвитку просторового мислення, що особливо важливо у процесі вивчення стереометрії.

Де можна зустріти тетраедр? Тетраедр, така дивовижна геометрична фігура, Що зустрічається нам всюди, але з першого погляду її не так просто помітити. Тетраедр може утворити тверду конструкцію. Виконаний зі стрижнів, його часто використовують як основу для просторових конструкцій балок, ферм мостів, прольотів будівель, перекриттів і т. д. Прямокутний тетраедр давно використовується в оптиці. На велосипедах відбивачі катафоти мають форму тетраедра. Завдяки властивостям тетраедра, катафоти відбивають світло та іншим людям та водіям видно велосипедиста. Якщо уважно придивитися, то всередині катафота видно безліч форм тетраедра.

Види тетраедра

Фігуру тетраедр можна поділити на кілька видів, які вони бувають?

Рівногранний тетраедр, Усі його грані є рівними між собою трикутниками;

Ортоцентричний тетраедр, Висоти, опущені з вершин на протилежні грані, перетинаються в одній точці;

Прямокутний тетраедр, ребра, прилеглі до однієї з вершин, є перпендикулярними між собою;

Правильний тетраедр , це тетраедр, грані якого є рівносторонніми трикутниками,

Інцентричний тетраедрйого відрізки з'єднують вершини з центрами кіл, які вписані в протилежні грані і перетинаються в одній точці.

Виділяють так само каркасний тетраедр, пропорційний тетраедр.

Тетраедр - підказана нам природою ідеальна рівновага, в основі якої ідеальність рівнобедреного трикутника. Тетраедр – трикутник, але тільки в об'ємному вигляді, в наш час його можна назвати 3D трикутником.

Поповнити свою колекцію геометричних фігур новою фігурою – тетраедром, ви можете використовуючи розгортки, представлені на нашому сайті. Тетраедр, зібраний по цих розгортках можна використовувати для навчання, наприклад, щоб навчити дітлахів рахувати, впізнавати кольори, можна пояснити, що таке площину і об'єм, що таке трикутник ін.

Розгортка тетраедра з паперу або з картону

Схема тетраедра з арабськими цифрами 1,2,3,4 (грань 10 см)	Схема тетраедра з арабськими цифрами 5,6,7,8 (грань 10 см)	Схема тетраедра з арабськими цифрами 0,1,2,9 (грань 10 см)
JPG	JPG	JPG

Схема різнокольорового тетраедра №1 (грань 10 см)	Схема різнокольорового тетраедра №2 (грань 10 см)	Схема різнокольорового тетраедра №3 (грань 10 см)
JPG	JPG	JPG

Схема простого тетраедра (грань – 10 см)	Схема тетраедра із формулами (грань 10 см)	Схема тетраедра з героями радянських мультиків (грань – 10 см)

Тетраедр, або трикутна піраміда, - Найпростіший з багатокутників, подібно до того як трикутник - найпростіший з багатокутників на площині. Слово «тетраедр» утворене з двох грецьких слів: tetra – «чотири» та hedra – «основа», «грань». Тетраедр задається чотирма своїми вершинами - точками, що не лежать в одній площині; грані тетраедра – чотири трикутники; ребер у тетраедра шість. На відміну від довільної -вугільної піраміди (при) як підстави тетраедра може бути обрана будь-яка його грань.

Багато властивостей тетраедрів подібні до відповідних властивостей трикутників. Зокрема, 6 площин, проведених через середини ребер тетраедра перпендикулярно до них, перетинаються в одній точці. У цій же точці перетинаються і 4 прямі, проведені через центри описаних біля граней кіл перпендикулярно до площин граней, і є центром описаної біля сфери тетраедра (рис. 1). Аналогічно 6 бісекторних напівплощин тетраедра, тобто. напівплощин, що ділять двогранні кути при ребрах тетраедра навпіл, теж перетинаються в одній точці - в центрі вписаної в тетраедр сфери - сфери, що стосується всіх чотирьох граней тетраедра. Кожен трикутник має, ще до вписаної, ще 3 вписані кола (див. трикутник), тоді як тетраедр може мати будь-яке число – від 4 до 7 - вписаних сфер, тобто. сфер, що стосуються площин всіх чотирьох граней тетраедра. Завжди існують 4 сфери, вписані в усічені тригранні кути, один з яких показано на рис. 2, праворуч. Ще 3 сфери можуть бути вписані (не завжди!) у усічені двогранні кути при ребрах тетраедра – один із них показаний на рис. 2, ліворуч.

Для тетраедра існує ще одна можливість його взаємного розташування зі сферою – торкання з деякою сферою всіма своїми ребрами (рис. 3). Така сфера – іноді її називають «напіввписаною» – існує лише в тому випадку, коли суми довжин протилежних ребер тетраедра дорівнюють: (рис. 3).

Для будь-якого тетраедра справедливий аналог теореми про перетин медіан трикутника в одній точці. Саме 6 площин, проведених через ребра тетраедра та середини протилежних ребер, перетинаються в одній точці - в центроїді тетраедра (рис. 4). Через центроїд проходять також 3 «середні лінії» - відрізки, що з'єднують середини трьох пар протилежних ребер, причому діляться крапкою навпіл. Нарешті, через проходять і 4 "медіани" тетраедра - відрізки, що з'єднують вершини з центроїдами протилежних граней, причому вони діляться в точці 3:1, рахуючи від вершин.

Найважливіша властивість трикутника – рівність (або ) – розумного «тетраедричного» аналога не має: сума всіх 6 двогранних кутівтетраедра може набувати будь-якого значення між і . (Звичайно, сума всіх 12 плоских кутів тетраедра - по 3 при кожній вершині - не залежить від тетраедра і дорівнює.)

Трикутники прийнято класифікувати за рівнем їхньої симетричності: правильні чи рівносторонні трикутники мають три осі симетрії, рівнобедрені – одну. Класифікація тетраедрів за рівнем симетричності багатша. Найсиметричніший тетраедр - правильний, обмежений чотирма правильними трикутниками. Він має 6 площин симетрії - вони проходять через кожне ребро перпендикулярно ребра, що протилежить, - і 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних ребер (рис. 5). Менш симетричні правильні трикутні піраміди (3 площини симетрії, рис. 6) та рівногранні тетраедри (тобто тетраедри з рівними гранями- 3 осі симетрії, рис. 7).

2) ,

де - двогранний кут при ребрі. Є й інші формули обчислення обсягу тетраедра.

На цьому уроці ми розглянемо тетраедр та його елементи (ребро тетраедра, поверхня, грані, вершини). І вирішимо кілька завдань на побудову перерізів у тетраедрі, використовуючи загальний методдля побудови перерізів.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Тетраедр. Завдання на побудову перерізів у тетраедрі

Як побудувати тетраедр? Візьмемо довільний трикутник АВС. Довільну точку D, що не лежить у площині цього трикутника. Отримаємо 4 трикутники. Поверхня, утворена цими 4 трикутниками, називається тетраедром (Рис. 1.). Внутрішні точки, обмежені цією поверхнею, також входять до складу тетраедра.

Мал. 1. Тетраедр АВСD

Елементи тетраедра
А,B, C, D - вершини тетраедра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраедра.
ABC, ABD, BDC, ADC - грані тетраедра.

Примітка:можна прийняти площину АВСза основа тетраедра, і тоді точка Dє вершиною тетраедра. Кожне ребро тетраедра є перетином двох площин. Наприклад, ребро АВ- це перетин площин АВDі АВС. Кожна вершина тетраедра – це перетин трьох площин. Вершина Алежить у площинах АВС, АВD, АDЗ. Крапка А- це перетин трьох зазначених площин. Цей факт записується так: А= АВС ∩ АВD ∩ АСD.

Тетраедр визначення

Отже, тетраедр- Це поверхня, утворена чотирма трикутниками.

Ребро тетраедра- Лінія перечісування двох площин тетраедра.

Складіть із 6 сірників 4 рівних трикутника. На площині вирішити завдання не виходить. А у просторі це зробити легко. Візьмемо тетраедр. 6 сірників – це його ребра, чотири грані тетраедра і будуть чотирма рівними трикутниками. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка Mналежить ребру тетраедра АВ, крапка Nналежить ребру тетраедра УDі крапка Рналежить ребру DЗ(Мал. 2.). Побудуйте перетин тетраедра площиною MNP.

Мал. 2. Малюнок до задачі 2 - Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо грань тетраедра DНД. У цій межі точки Nі Pналежать грані DНД, А значить, і тетраедру. Але за умовою точки N, Pналежать січній площині. Значить, NP- це лінія перетину двох площин: площини грані DНДта січній площині. Припустимо, що прямі NPі НДне паралельні. Вони лежать в одній площині DНД.Знайдемо точку перетину прямих NPі НД. Позначимо її Е(Мал. 3.).

Мал. 3. Малюнок задачі 2. Знаходження точки Е

Крапка Еналежить площині перерізу MNP, так як вона лежить на прямий NР, а пряма NРповністю лежить у площині перерізу MNP.

Також точка Ележить у площині АВСтому, що вона лежить на прямий НДз площини АВС.

Отримуємо, що ЇМ- лінія перетину площин АВСі MNP,так як точки Еі Млежать одночасно у двох площинах - АВСі MNP.З'єднаємо точки Мі Е, і продовжимо пряму ЇМдо перетину з прямої АС. Точку перетину прямих ЇМі АСпозначимо Q.

Отже, у цьому випадку NPQМ- Перетин, що шукається.

Мал. 4. Малюнок задачі 2.Рішення задачі 2

Розглянемо тепер випадок, коли NPпаралельна BC. Якщо пряма NPпаралельна до якої-небудь прямої, наприклад, прямої НДз площини АВС, то пряма NPпаралельна всій площині АВС.

Шукана площина перерізу проходить через пряму NP, паралельну площині АВС, і перетинає площину прямою МQ. Значить, лінія перетину МQпаралельна прямий NP. Отримуємо, NPQМ- Перетин, що шукається.

Крапка Млежить на бічній грані АDУтетраедра АВСD. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точку Мпаралельно підставі АВС.

Мал. 5. Малюнок до задачі 3 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Поточна площина φ паралельна площині АВСза умовою, отже, ця площина φ паралельна прямим АВ, АС, НД.
У площині АВDчерез точку Мпроведемо пряму PQпаралельно АВ(Рис. 5). Пряма PQлежить у площині АВD. Аналогічно у площині АСDчерез точку Рпроведемо пряму РRпаралельно АС. Отримали крапку R. Дві прямі, що перетинаються PQі РRплощині РQRвідповідно паралельні двом прямим прямокутним прямим АВі АСплощині АВСотже, площині АВСі РQRпаралельні. РQR- Перетин, що шукається. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка М- точка внутрішня, точка грані тетраедра АВD. N - внутрішня точкавідрізка DЗ(Мал. 6.). Побудувати точку перетину прямої NMта площині АВС.

Мал. 6. Малюнок завдання 4

Рішення:
Для вирішення збудуємо допоміжну площину DМN. Нехай пряма DМперетинає пряму АВ у точці До(Мал. 7.). Тоді, СКD- це переріз площини DМNта тетраедра. У площині DМNлежить і пряма NM, та отримана пряма СК. Значить, якщо NMне паралельна СК, то вони перетнуться в деякій точці Р. Крапка Рі буде шукана точка перетину прямий NMта площині АВС.

Мал. 7. Малюнок задачі 4. Розв'язання задачі 4

Дан тетраедр АВСD. М- Внутрішня точка грані АВD. Р- Внутрішня точка грані АВС. N- Внутрішня точка ребра DЗ(Мал. 8.). Побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Nі Р.

Мал. 8. Малюнок до задачі 5 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо перший випадок, коли пряма MNне паралельна площині АВС. У минулому завданніми знайшли точку перетину прямий MNта площині АВС. Це точка До, вона отримана за допомогою допоміжної площини DМN, тобто. ми проводимо DМі отримуємо точку F. Проводимо СFі на перетині MNотримуємо крапку До.

Мал. 9. Малюнок задачі 5. Знаходження точки К

Проведемо пряму КР. Пряма КРлежить і в площині перерізу, і в площині АВС. Отримуємо точки Р 1і Р 2. З'єднуємо Р 1і Мі на продовженні отримуємо крапку М 1. З'єднуємо точку Р 2і N. В результаті отримуємо шуканий переріз Р 1 Р 2 NМ 1. Завдання у першому випадку вирішено.
Розглянемо другий випадок, коли пряма MNпаралельна площині АВС. Площина МNРпроходить через пряму МNпаралельну площині АВСі перетинає площину АВСза деякою прямою Р 1 Р 2тоді пряма Р 1 Р 2паралельна даній прямий MN(Мал. 10.).

Мал. 10. Малюнок задачі 5. Шуканий перетин

Тепер проведемо пряму Р 1 Мі отримаємо точку М 1.Р 1 Р 2 NМ 1- Перетин, що шукається.

Отже, ми розглянули тетраедр, вирішили деякі типові завданняна тетраедр. на наступному уроціми розглянемо паралелепіпед.

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні)

2. Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів

3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики

Додаткові веб-ресурси

2. Як побудувати перетин тетраедра. Математика ().

3. Фестиваль педагогічних ідей ().

Зроби вдома завдання на тему "Тетраедр", як знаходити ребро тетраедра, грані тетраедра, вершини та поверхню тетраедра

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. Завдання 18, 19, 20 стор.

2. Крапка Есередина ребра МАтетраедра МАВС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки В, Сі Е.

3. У тетраедрі МАВС точка М належить грані АМВ, точка Р – грані ВМС, точка К – ребру АС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Р, До.

4. Які фігури можуть вийти внаслідок перетину площиною тетраедра?

Всі грані його є рівними між собою трикутниками. Розгорткою рівногранного тетраедра є трикутник, розділений трьома середніми лініями на чотири рівні трикутники . В рівногранному тетраедрі основи висот, середини висот та точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок) (Аналог кола Ейлера для трикутника).

Властивості рівногранного тетраедра:

• Усі його межі рівні (конгруентні).
• Ребра, що схрещуються, попарно рівні.
• Тригранні кути рівні.
• Протилежні двогранні кути рівні.
• Два плоскі кути, що спираються на одне ребро, рівні.
• Сума плоских кутів за кожної вершини дорівнює 180°.
• Розгортка тетраедра – трикутник або паралелограм.
• Описаний паралелепіпед прямокутний.
• Тетраедр має три осі симетрії.
• Загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються, попарно перпендикулярні.
• Середні лінії попарно перпендикулярні.
• Периметри граней рівні.
• Площі граней рівні.
• Висоти тетраедра рівні.
• Відрізки, що з'єднують вершини з центрами протилежних граней, рівні.
• Радіуси описаних біля граней кіл рівні.
• Центр тяжкості тетраедра збігається із центром описаної сфери.
• Центр тяжкості збігається із центром вписаної сфери.
• Центр описаної сфери збігається із центром вписаної.
• Вписана сфера стосується граней у центрах описаних біля цих граней кіл.
• Сума зовнішніх одиничних нормалей (поодиноких векторів, перпендикулярних до граней) дорівнює нулю.
• Сума всіх двогранних кутів дорівнює нулю.

Ортоцентричний тетраедр

Усі висоти, опущені з вершин на протилежні грані, перетинаються лише у точці.

Властивості ортоцентричного тетраедра:

• Висоти тетраедра перетинаються в одній точці.
• Підстави висот тетраедра є ортоцентрами граней.
• Кожні два протилежні ребра тетраедра перпендикулярні.
• Суми квадратів протилежних ребер тетраедра дорівнюють.
• Відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, дорівнюють.
• Твори косінусів протилежних двогранних кутів рівні.
• Сума квадратів площ граней вчетверо менше сумиквадратів творів протилежних ребер.
• У ортоцентричного тетраедракола 9 точок (кола Ейлера) кожної грані належать одній сфері (сфері 24 точок).
• У ортоцентричного тетраедрацентри ваги та точки перетину висот граней, а також точки, що ділять відрізки кожної висоти тетраедра від вершини до точки перетину висот щодо 2:1, лежать на одній сфері (сфері 12 точок).

Прямокутний тетраедр

Усі ребра, що належать до однієї з вершин, перпендикулярні між собою. Прямокутний тетраедр виходить відсіканням тетраедра площиною від прямокутного паралелепіпеда.

Каркасний тетраедр

Це тетраедр, що відповідає будь-якій з наступних умов:

• існує сфера, що стосується всіх ребер,
• суми довжин ребер, що схрещуються, рівні,
• суми двогранних кутів при протилежних ребрах дорівнюють,
• кола, вписані в межі, попарно торкаються,
• всі чотирикутники, що виходять на розгортці тетраедра, - описані,
• перпендикуляри, відновлені до граней із центрів вписаних у них кіл, перетинаються лише у точці.

Пропорційний тетраедр

Властивості пропорційного тетраедра:

• Бивисоти рівні. Бивысотами тетраедра називають загальні перпендикуляри до двох ребрам, що схрещуються (ребрам, що не мають загальних вершин).
• Проекція тетраедра на площину, перпендикулярну до будь-якої бімедіаниє ромб. Бімедіанамитетраедра називають відрізки, що з'єднують середини його ребер, що схрещуються (не мають загальних вершин).
• Грані описаного паралелепіпеда рівновеликі.
• Виконуються співвідношення: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, де $a$і $a\_1$, $b$і $b\_1$, $c$і $c\_1$- Довжини протилежних ребер.
• Для кожної пари протилежних ребер тетраедра площини, проведені через одне з них та середину другого, перпендикулярні.
• У описаний паралелепіпед пропорційного тетраедра можна вписати сферу.

Інцентричний тетраедр

Цей тип відрізки, що з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних в протилежні грані, перетинаються в одній точці. Властивості інцентричного тетраедра:

• Відрізки, що з'єднують центри тяжіння граней тетраедра з протилежними вершинами (медіани тетраедра), завжди перетинаються лише у точці. Ця точка – центр тяжкості тетраедра.
• Зауваження. Якщо в останній умові замінити центри тяжіння граней на ортоцентри граней, воно перетвориться на нове визначення ортоцентричного тетраедра. Якщо ж замінити їх на центри вписаних у межі кіл, званих іноді інцентрами, ми отримаємо визначення нового класу тетраедрів. інцентричних.
• Відрізки, що з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних у протилежні грані, перетинаються в одній точці.
• Бісектриси кутів двох граней, проведеного до загального ребра цих граней, мають загальну основу.
• Добутки довжин протилежних ребер рівні.
• Трикутник, утворений іншими точками перетину трьох ребер, що виходять з однієї вершини, з будь-якою сферою, що проходить через три кінці цих ребер, є рівностороннім.

Правильний тетраедр

Це рівногранний тетраедр, у якого всі грані правильні трикутники. Є одним із п'яти тіл Платона.

Властивості правильного тетраедра:

• всі ребра тетраедра рівні між собою,
• всі грані тетраедра рівні між собою,
• периметри та площі всіх граней рівні між собою.
• Правильний тетраедр є одночасно ортоцентричним, каркасним, рівногранним, інцентричним та пропорційним.
• Тетраедр є правильним, якщо він належить до двох будь-яких видів тетраедрів з: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний, рівногранний.
• Тетраедр є правильним, якщо він є рівнограннимі належить до одного з наступних видівтетраедрів: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний.
• У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть поєднані з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести ребер тетраедра.
• Правильний тетраедр складається з одного вписаного октаедра (в центрі) і чотирьох тетраедрів (по вершинах), причому ребра цих тетраедрів і октаедра вдвічі менше ребер правильного тетраедру.
• Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, до того ж чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами куба.
• Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.
• Ребра правильного тетраедра, що схрещуються, взаємно перпендикулярні.

Об'єм тетраедра

• Обсяг тетраедра (з урахуванням знака), вершини якого перебувають у точках $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$дорівнює

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),або

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

де $S$– площа будь-якої грані, а $H$- Висота, опущена на цю грань.

• Об'єм тетраедра через довжини ребер виражається за допомогою визначника Келі-Менгера:

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24) ^ 2 & d_ (34) ^ 2 & 0

\ end (vmatrix).

• Ця формула має плоский аналог для площі трикутника у вигляді варіанта Герона формули через аналогічний визначник.
• Об'єм тетраедра через довжини двох протилежних ребер aі b, як схрещуються ліній, які видалені на відстань hодин від одного і утворюють один з одним кут $\backslash phi$, знаходиться за формулою:

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.$

де $$D=\; \backslash begin(vmatrix)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Аналогом для площини останньої формули є формула площі трикутника через довжини двох сторін aі b, що виходять з однієї вершини і утворюють між собою кут $\backslash gamma$:

де $D=\; \backslash begin(vmatrix)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \end(vmatrix).

Тетраедри в мікросвіті

• Правильний тетраедр утворюється при sp 3 -гібридизації атомних орбіталей (їх осі направлені у вершини правильного тетраедра, а ядро ​​центрального атома розташоване в центрі описаної сфери правильного тетраедра), тому чимало молекул, в яких така гібридизація центрального атома має місце, мають вигляд цього багатогранника
• Молекула метану СН 4
• Сульфат-іон SO 4 2- , фосфат-іон PO 4 3- , перхлорат-іон ClO 4 - і багато інших іонів
• Алмаз C - тетраедр з ребром рівним 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF 2 , тетраедр з ребром рівним 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраедр з ребром рівним 3,823 ангстрем
• Комплексні іони - , 2- , 2- , 2+
• Силікати , в основі структур яких лежить кремнекисневий тетраедр 4-

Тетраедри у живій природі

Деякі плоди, перебуваючи вчотирьох на одному пензлі, розташовуються у вершинах тетраедра, близького до правильного. Така конструкція обумовлена ​​тим, що центри чотирьох однакових куль, що стосуються один одного, знаходяться у вершинах правильного тетраедра. Тому схожі на кулю плоди утворюють подібне. взаємне розташування. Наприклад, таким чином можуть розташовуватися волоські горіхи.

Тетраедри в техніці

Див. також

• Симплекс - n-вимірний тетраедр

Напишіть відгук про статтю "Тетраедр"

Примітки

Література

• Матізен Ст Е., Дубровський. З геометрії тетраедра "Квант", № 9, 1988 р. С.66.
• Заславський А. А. // Математичне просвітництво, сірий. 3 (2004) № 8, стор 78-92.

Уривок, що характеризує Тетраедр

Х
8 вересня у сарай до полонених увійшов дуже важливий офіцер, судячи з шанобливості, з якою з ним зверталися караульні. Офіцер цей, мабуть, штабний, зі списком у руках, зробив перекличку всім російським, назвавши П'єра: celui qui n'avoue pas son nom [той, що не каже свого імені]. Офіцерові пристойно одягнути і прибрати їх, перш ніж вести до маршала.Через годину прибула рота солдатів, і П'єра з іншими тринадцятьма повели на Дівоче поле.День був ясний, сонячний після дощу, і повітря було надзвичайно чисте.Дим не стлався низом, як у того дня, коли П'єра вивели з гауптвахти Зубовського валу, дим піднімався стовпами в чистому повітрі. Вогню пожеж ніде не було видно, але з усіх боків піднімалися стовпи диму, і вся Москва, все, що міг бачити П'єр, було одне згарище. З усіх боків виднілися пустирі з печами та трубами і зрідка обгорілі стіни кам'яних будинків. П'єр придивлявся до згарищ і не впізнавав знайомих кварталів міста. Де-не-де виднілися вцілілі церкви. Кремль, не зруйнований, білів здалеку зі своїми вежами та Іваном Великим. Поблизу весело блищав купол Ново-Дівочого монастиря, і особливо дзвінко чувся звідти благовіст. Благовіст цей нагадав П'єру, що була неділя та свято Різдва Богородиці. Але здавалося, не було кому святкувати це свято: скрізь було розорення згарища, і з російського народу зустрічалися лише зрідка обірвані, перелякані люди, які ховалися побачивши французів.
Очевидно, російське гніздо було розорено та знищено; але за знищенням цього російського порядку життя П'єр несвідомо відчував, що з цим розореним гніздом встановився свій, зовсім інший, але твердий французький порядок. Він відчував це з вигляду тих, бадьоро і весело, правильними рядами солдатів, що йшли, які конвоювали його з іншими злочинцями; він відчував це на вигляд якогось важливого французького чиновника в парному візку, керованому солдатом, який проїхав йому назустріч. Він це відчував по веселим звукамполкової музики, що долинало з лівого боку поля, і особливо він відчував і розумів це за тим списком, який, перекликаючи полонених, прочитав французький офіцер, який нині вранці приїжджав. П'єр був узятий одними солдатами, відведений одне, інше місце з десятками інших; здавалося, вони могли забути про нього, змішати його з іншими. Але ні: відповіді його, дані на допиті, повернулися до нього у формі найменування його: і під цією назвою, яка страшна була П'єру, його тепер вели кудись, з безперечною впевненістю, написаною на них обличчях, що всі інші полонені і він були ті самі, яких треба, і що їх ведуть туди, куди треба, П'єр почував себе нікчемною тріском, що потрапив у колеса невідомої йому, але правильно діючої машини.
П'єра з іншими злочинцями привели на правий бік Дівочого поля, неподалік монастиря, на великий білому будинкуз величезним садом. Це був будинок князя Щербатова, в якому П'єр часто раніше бував у господаря і в якому тепер, як він дізнався з розмови солдатів, стояв маршал, герцог Екмюльський.
Їх підвели до ґанку і по одному почали вводити до хати. П'єра запровадили шостим. Через скляну галерею, сіни, передню, знайомі П'єру, його ввели до довгого низького кабінету, біля дверей якого стояв ад'ютант.
Даву сидів на кінці кімнати над столом з окулярами на носі. П'єр близько підійшов до нього. Даву, не підводячи очей, мабуть, справлявся з якимось папером, що лежав перед ним. Не підводячи ж очей, він тихо спитав:
– Qui etes vous? [Хто ви такий?]
П'єр мовчав тому, що не мав сили вимовити слова. Даву для П'єра не був просто французький генерал; для П'єра Даву був відомий своєю жорстокістю людина. Дивлячись на холодне обличчя Даву, який, як суворий вчитель, погоджувався до часу мати терпіння і чекати на відповідь, П'єр відчував, що будь-яка секунда зволікання могла коштувати йому життя; але він не знав, що сказати. Сказати те, що він говорив першому допиті, не наважувався; відкрити своє звання та становище було і небезпечно та соромно. П'єр мовчав. Але перш ніж П'єр встиг на що-небудь зважитися, Даву підняв голову, підняв окуляри на чоло, примружив очі і пильно подивився на П'єра.
- Я знаю цю людину, - мірним, холодним голосом, очевидно розрахованим для того, щоб злякати П'єра, - сказав він. Холод, що пробіг раніше по спині П'єра, охопив його голову, як лещатами.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [Ви не могли мене знати, генерале, я ніколи не бачив вас.]
- C'est un espion russe, - перебив його Даву, звертаючись до іншого генерала, що був у кімнаті і якого не помітив П'єр. І Даву відвернувся. З несподіваним гуркотом у голосі П'єр раптом швидко заговорив.
- Не, Monseigneur, - сказав він, несподівано згадавши, що Даву був герцог. – Non, Monseigneur, vous n'avez pas pu me connaitre. [Ні, ваша високість… Ні, ваша високість, ви не могли мене знати. Я офіцер міліції, і я не виїжджав із Москви.]
- Votre nom? [Ваше ім'я?] – повторив Даву.
- Besouhof. [Безухів.]
– Qu'est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Хто мені доведе, що ви не брешете?]
- Monseigneur! [Ваша високість!] – скрикнув П'єр не скривдженим, але благаючим голосом.
Даву звів очі й пильно глянув на П'єра. Декілька секунд вони дивилися один на одного, і цей погляд врятував П'єра. У цьому погляді, окрім усіх умов війни та суду, між цими двома людьми встановилися людські стосунки. Обидва вони цієї хвилини невиразно перечили незліченну кількість речей і зрозуміли, що вони обидва діти людства, що вони брати.
У першому погляді на Даву, що підняв тільки голову від свого списку, де людські справи і життя називалися нумерами, П'єр був лише обставина; і, не взявши на совість поганого вчинку, Даву застрелив би його; але тепер він бачив у ньому людину. Він замислився на мить.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Чим ви доведете мені справедливість ваших слів?] – сказав Даву холодно.
П'єр згадав Рамбаля і назвав його полк, і прізвище, і вулицю, де був будинок.
– Ви не те, що ви кажете. – знову сказав Даву.
П'єр тремтячим, переривчастим голосом став наводити докази справедливості свого свідчення.
Але в цей час увійшов ад'ютант і щось доповів Даву.
Даву раптом засяяв при повідомленні, повідомленому ад'ютантом, і почав застібатися. Він, мабуть, зовсім забув про П'єра.
Коли ад'ютант нагадав йому про полоненого, він, насупившись, кивнув у бік П'єра і сказав, щоб його вели. Але куди мали його вести – П'єр не знав: назад у балаган чи на підготовлене місце страти, яке, проходячи по Дівочому полюйому показували товариші.
Він обернув голову і бачив, що ад'ютант перепитував щось.
– Oui, sans doute! [Так, зрозуміло!] – сказав Даву, але що так, П'єр не знав.
П'єр не пам'ятав, як довго він ішов і куди. Він, у стані досконалого безглуздя і отуплення, нічого не бачачи навколо себе, пересував ногами разом з іншими, поки всі зупинилися, і він зупинився. Одна думка за цей час була в голові П'єра. Це була думка про те: хто, хто ж нарешті засудив його до страти. Це були не ті люди, які допитували його в комісії: з них жоден не хотів і, мабуть, не міг цього зробити. То був не Даву, який так людсько подивився на нього. Ще б одна хвилина, і Даву зрозумів би, що вони роблять погано, але цій хвилині завадив ад'ютант, який увійшов. І ад'ютант цей, очевидно, не хотів нічого поганого, але міг би не увійти. Хто ж це, нарешті, стратив, убивав, позбавляв життя його - П'єра з усіма його спогадами, прагненнями, надіями, думками? Хто це робив? І П'єр відчував, що то був ніхто.
То справді був порядок, склад обставин.
Порядок якийсь убивав його - П'єра, позбавляв його життя, всього знищував його.

Від будинку князя Щербатова полонених повели прямо вниз по Дівочому полю, ліворуч за Дівочий монастир і підвели до городу, на якому стояв стовп. За стовпом була вирита велика яма зі свіжовикопаною землею, і біля ями та стовпа півколом стояв великий натовп народу. Натовп складався з малої кількості росіян і великої кількості наполеонівських військпоза ладом: німців, італійців та французів у різнорідних мундирах. Праворуч та ліворуч стовпа стояли фронти французьких війську синіх мундирах із червоними еполетами, у штиблетах та ківерах.
Злочинців розставили за відомим порядком, який був у списку (П'єр стояв шостим), і підвели до стовпа. Декілька барабанів раптом ударили з двох боків, і П'єр відчув, що з цим звуком ніби відірвалася частина його душі. Він втратив здатність думати і думати. Він тільки міг бачити та чути. І лише одне бажання було в нього – бажання, щоб скоріше стало щось страшне, що мало бути зроблено. П'єр озирнувся на своїх товаришів і розглядав їх.
Двоє людей з краю були голені обережні. Один високий, худий; інший чорний, волохатий, м'язистий, з плескатим носом. Третій був дворовий, років сорока п'яти, з сивілим волоссям і повним, добре відгодованим тілом. Четвертий був мужик, дуже гарний, з окладистою русявою бородою та чорними очима. П'ятий був фабричний, жовтий, худий малий, років вісімнадцяти, у халаті.
П'єр чув, що французи радилися, як стріляти – по одному чи по два? "По два", - холодно спокійно відповів старший офіцер. Зробилося пересування в рядах солдатів, і помітно було, що всі поспішали, - і поспішали не так, як поспішають, щоб зробити зрозумілу для всіх справу, але так, як поспішають, щоб закінчити необхідну, але неприємну і незбагненну справу.
Чиновник француз у шарфі підійшов до правої сторони шеренги злочинців у прочитав російською та французькою вирок.
Потім дві пари французів підійшли до злочинців і взяли за вказівкою офіцера двох обережних, що стояли з краю. Обережні, підійшовши до стовпа, зупинилися і, поки принесли мішки, мовчки дивилися довкола себе, як дивиться підбитий звір на відповідного мисливця. Один усе хрестився, другий чухав спину і робив губами рух, подібний до посмішки. Солдати, поспішаючи руками, стали зав'язувати їм очі, надягати мішки та прив'язувати до стовпа.
Дванадцять чоловік стрільців з рушницями мірним, твердим кроком вийшли із зарядів і зупинилися за вісім кроків від стовпа. П'єр відвернувся, щоб не бачити того, що буде. Раптом почувся тріск і гуркіт, що здалися П'єру гучнішими за найстрашніші удари грому, і він озирнувся. Був дим, і французи з блідими обличчями та тремтячими руками щось робили біля ями. Повели інших двох. Так само, такими ж очима і ці двоє дивилися на всіх, марно, одними очима, мовчки, просячи захисту і, мабуть, не розуміючи і не вірячи тому, що буде. Вони не могли вірити, бо вони одні знали, що таке було для них їхнє життя, і тому не розуміли і не вірили, щоб можна було забрати його.
П'єр хотів не дивитись і знову відвернувся; але знову ніби жахливий вибух вразив його слух, і разом із цими звуками він побачив дим, чиюсь кров і бліді злякані обличчя французів, які знову робили біля стовпа, тремтячими руками штовхаючи один одного. П'єр, важко дихаючи, озирнувся довкола себе, ніби питаючи: що це таке? Те саме питання було й у всіх поглядах, які зустрічалися з поглядом П'єра.

Тетраедр у перекладі з грецької означає "чотирьохгранник". Ця геометрична фігура володіє чотирма гранями, чотирма вершинами та шістьма ребрами. Грані є трикутниками. По суті, тетраедр – це перші згадки про багатогранники з'явилися ще задовго до існування Платона.

Сьогодні поговоримо про елементи та властивості тетраедра, а також дізнаємося формули знаходження цих елементів площі, обсягу та інших параметрів.

Елементи чотиригранника

Відрізок, випущений з будь-якої вершини тетраедра і опущений на точку перетину медіан грані, що є протилежною, називається медіаною.

Висота багатокутника є нормальним відрізком, опущеним з вершини навпроти.

Бімедіаною називається відрізок, що з'єднує центри ребер, що схрещуються.

Властивості тетраедра

1) Паралельні площини, які проходять через два ребра, що схрещуються, утворюють описаний паралелепіпед.

2) Відмінною властивістюТетраедра є те, що медіани та бімедіани фігури зустрічаються в одній точці. Важливо, що остання ділить медіани щодо 3:1, а бімедіани – навпіл.

3) Площина розділяє тетраедр на дві рівні за обсягом частини, якщо проходить через середину двох ребер, що схрещуються.

Види тетраедра

Видова різноманітністьпостаті досить широко. Тетраедр може бути:

• правильним, тобто в основі рівносторонній трикутник;
• рівногранним, у якого всі грані однакові за довжиною;
• ортоцентричним, коли висоти мають загальну точкуперетину;
• прямокутним, якщо плоскі кутипри вершині нормальні;
• пропорційним, всі бі висоти рівні;
• каркасним, якщо є сфера, що стосується ребер;
• інцентричним, тобто відрізки, опущені з вершини до центру вписаного кола протилежної грані, мають загальну точку перетину; цю точку називають центром тяжкості тетраедра.

Зупинимося докладно на правильному тетраедрі, властивості якого практично не відрізняються.

Виходячи з назви, можна зрозуміти, що так він називається тому, що грані являють собою правильні трикутники. Усі ребра цієї фігури конгруентні за довжиною, а грані – за площею. Правильний тетраедр – це один із п'яти аналогічних багатогранників.

Формули чотиригранника

Висота тетраедра дорівнює добутку кореня з 2/3 та довжини ребра.

Об'єм тетраедра знаходиться так само, як об'єм піраміди: квадратний корінь з 2 розділити на 12 і помножити на довжину ребра в кубі.

Інші формули для розрахунку площі та радіусів кіл представлені вище.