Рівняння з двома змінними, ступінь із натуральним показником. Лінійні рівняння

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння- не сама складна тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х ліву частину, Зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками по довгою дорогою. А можна відразу, універсальним і потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. на спільний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне заморочене рівняння до приємному вигляду, Ми використали два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетвореньдо отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, вам трапилося вам елементарне рівняння, щось, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Ну ж бо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А кажучи простою мовою, Неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного рішеннярівняння.)

Знову міркуємо, виходячи з загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ З ОДНІЙ ЗМІННОЮ

Лінійним рівняннямз однією змінною, називається рівність, що містить лише одну змінну.

Наведемо приклади лінійних рівнянь:

3 х = 12 або 10 у -20 = 0 або 8 а + 3 = 0

Вирішити рівняння- Це означає знайти все коріння рівняння або довести, що їх немає. Іншими словами, вирішити лінійне рівняння – це означає знайти всі значення змінної, при кожному з яких рівняння звертається до правильного числова рівність. Коренем(або рішенням) рівняння називається таке значення змінної, при якому рівняння перетворюється на вірну числову рівність.

Так рівняння 3 х = 12 має корінь х =4, оскільки 3*4=12 – правильне рівність, і слід зазначити – інших коренів немає.

Взагалі лінійним рівнянням з однією змінноюх називають рівняння виду ax + b = 0.

b - "Вільний член".

Коефіцієнти це якісь числа, а розв'язати рівняння - це означає знайти значення x, при якому вираз ax + b = 0 правильно.

Наприклад, маємо лінійне рівняння 3 x – 6 = 0. Вирішити його – це означає знайти, чому має дорівнювати x , щоб 3 x – 6 дорівнювало 0. Виконуючи перетворення, отримаємо:

3 x = 6

x = 2

Таким чином вираз 3 x - 6 = 0 вірно при x = 2 (Перевірка 3 * 2 - 6 = 0)

2 – це корінь цього рівняння. Коли вирішують рівняння, то знаходять його коріння.

Коефіцієнти a та b можуть бути будь-якими числами, проте бувають такі їх значення, коли корінь лінійного рівняння з однією змінною не один.

Якщо a = 0 , то ax + b = 0 перетворюється на b = 0 . Тут x "знищується". Сам же вираз b = 0 може бути істинним лише в тому випадку, якщо знання b - Це 0. Тобто рівняння 0 * x + 3 = 0 неправильно, тому що 3 = 0 - це хибне твердження. Проте 0* x + 0 = 0 вірний вираз. Звідси робиться висновок, якщо a = 0 та b ≠ 0 лінійне рівняння з однією змінного корінняне має взагалі, але якщо a = 0 та b = 0 , то коріння у рівняння нескінченна безліч. Якщо b = 0 , а a ≠ 0 , то рівняння набуде вигляду ax = 0 . Зрозуміло, що якщо a ≠ 0 , але в результаті множення виходить 0 , тобто x = 0 . Тобто, коренем цього рівняння є 0.

Розглянемо найпоширеніший випадок, коли a ≠ 0

1) ax + b = 0 , отже ax = - b (Ми просто перенесли доданок b з лівої частини в праву з протилежним знаком) Згадай це правило

2) ax = - b означає

x = -b / a . Згадай це правило

Значення x в даному випадкубуде залежати від значень a та b. При цьому воно буде одним єдиним. Тобто не можна за одних ітих же коефіцієнтах отримати два або більше різних значень x. Наприклад,

-8.5 x - 17 = 0

x = 17 / -8.5

x = -2

Жодне інше число, крім –2 не можна отримати, ділячи 17 на –8.5

Бувають рівняння, які з першого погляду не схожі на загальний виглядлінійного рівняння з однією змінною, проте легко перетворюються на нього. Наприклад,

-4.8 + 1.3 x = 1.5 x + 12

Якщо перенести все до лівої частини, то у правій залишиться 0:

-4.8 + 1.3 x - 1.5 x - 12 = 0

Для школярів алгебра в 7-му класі підносить багато сюрпризів у вигляді систем рівнянь, складання математичної моделі, поняття тотожностей та інших важливих тем. Але переходити від одного ступеня до іншого потрібно послідовно, повністю засвоївши матеріал – у цьому запорука успіху.

Мова науки

Головною умовою розуміння школярем теми є те, що він добре і ясно уявляє, про що йде мова. Для цієї мети іноді непогано замінювати довгі та складні термінибільше простими словами. Математична моває формальною мовоюлюдей, які вивчають точні науки. Він більш короткий у порівнянні з звичним способомвиразів думок, тому що конкретний, логічний і оперує точними поняттями. Слова в математичній мові - це буквене позначеннясимволи, фрази - формули.

Для дітей у 7-му класі математична мова ускладнюється з кожною темою, але водночас стає цікавішою та багатшою. З'являються нові поняття, такі як ступінь з натуральним показником і багато інших, дітям належить як навчитися правильно розуміти їх, а й застосовувати.

Недоліки сучасної освіти

Щоб не заплутатися в різноманітті термінів, до вивчення алгебри потрібно підходити серйозно і без зайвого поспіху, яким так грішать сучасні урокив школі. Мала кількість навчальних годин, що відводиться шкільною програмоюна ту чи іншу тему рано чи пізно дає сумні результати- Багато школярів не розуміють пройдений матеріал, відстають. Це небезпечно, тому що в математиці недостатнє засвоєння однієї теми веде до того, що дитина не зможе добре засвоїти наступні.

Лінійні рівняння

Дітям у рамках навчальної програминалежить познайомитися і вивчити рівняння з двома змінними. Воно є математичну «фразу» a*x + b*y = с, рішенням якої є будь-яка пара чисел х і у, яка відповідає цьому рівнянню, тобто звертають рівняння з цими змінними у правильну числову рівність. З основних властивостейТреба запам'ятати таке.

1. Будь-яке з доданків у рівнянні можна перемістити з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний. Отримана рівність буде рівносильна вихідному.
2. Обидві частини рівняння можна ділити будь-яке число, крім нуля.

Рівняння з двома зміннимимає багато різних рішень. Добре, коли вчитель може легко донести до дитини. Адже надалі всі базові «математичні фрази» ускладнюватимуть, у старших класах там почне фігурувати ступінь із натуральним показником тощо. Завдання викладача максимально зрозуміло пояснити це школяреві. Насправді часто трапляється так, що учневі доводиться вдаватися до додаткових занять, щоб засвоїти матеріал.

Гідна альтернатива

Батьки знають, що додаткові заняттяз репетитором – це недешеве задоволення. Шкільні викладачіне завжди можуть запропонувати позакласні заняттядля відстаючих. Як же бути? Вихід є навчання на спеціальних інтернет-ресурсах. Воно має низку серйозних переваг, адже школяр може подивитися відеоурок на проблемну для нього тему в будь-який зручний час вдома, затишно, причому безкоштовно. Якщо дитина не змогла зрозуміти матеріал з першого перегляду, вона легко може ще раз переглянути відео, не боячись при цьому критики та глузувань, що часто буває в класі. Всі уроки математики можна знайти на нашому порталі у вільному доступі.

Дружба з математикою є запорукою розвиненого мислення, яке буде відрізнятися блискучою логікою та завершеністю думки.

Самостійні на теми: "Числові та алгебраїчні вирази", "Математична мова та математична модель", "Лінійне рівняння з однією змінною", "Координатна пряма та площина", "Лінійні рівняння з двома змінними", "Лінійна функція та її графік", "Системи двох лінійних рівнянь з двома змінними" , "Ступінь з натуральним показником та її властивості", " Стандартний виглядодночлена", "Складання та віднімання одночлена", "Умноження одночленів", "Зведення одночлена в натуральний ступінь", "Поділ одночлена на одночлен", "Розкладання многочлена на множники"

Самостійна робота №1 (1 чверть), "Числові та алгебраїчні вирази"

$8\frac(5)(9)*4,8 -\frac(2)(9)* 2,1$.

$3х - 6у + 5$, якщо задані $x= 0,5$ і $y=\frac(2)(3)$.

3.Знайдіть значення $x$, при якому вираз $5х-3$ дорівнюватиме виразу $х - 4$.

Варіант ІІ.

1. Обчисліть значення виразу найбільш раціональним способом.
$3\frac(3)(4) * 5,6 -\frac(1)(4)* 1,9$.

2. Знайдіть значення цього виразу.
$х - 8у - 9$, якщо задані $x= 0,9$ і $y=\frac(5)(6)$.

3. Знайдіть значення $ x $, при якому вираз $ 6х - 7 $ буде дорівнює виразу $ х - 5 $.

Варіант ІІІ.

1. Обчисліть значення виразу найбільш раціональним способом.
$1\frac(7)(9)* 7,6 -\frac(1)(9)* 4,9$.

2. Знайдіть значення цього виразу.
$х - 8у - 11$, якщо задані $x= 2,4$ і $y=\frac(6)(8).$

3. Знайдіть значення $y$, при якому вираз $3у - 2$ дорівнюватиме виразу $y + 8$.

Самостійна робота №2 (1 чверть)
"Математична мова", "Математична модель"

1. Перекладіть пропозицію на математична мова: різниця кубів чисел $a$ та $b$.

Твір числа на себе дорівнює зведенню цього числа в квадрат.

Сума числа $3\frac(3)(4)$ і добутку чисел $5\frac(4)(8)$ і $\frac(1)(8)$.

Кравець пошив 3 сукні. На кожну сукню знадобилося $х$ метр тканини. Потім він пошив ще 10 костюмів. На кожен костюм знадобилося на 2 метри більше тканини, ніж плаття. Скільки тканини знадобилося на пошиття всіх суконь та костюмів?

Варіант ІІ.

1. Перекладіть речення математичною мовою. сума квадратів чисел x та y.

2. Перекладіть на математичну мову таку властивість.
Якщо помножити число на $-1$, отримаємо теж число, але з протилежним знаком.

3. Перепишіть пропозицію у вигляді числового виразу. Обчисліть його значення.

Різниця числа $3\frac(5)(8)$ і частки $2\frac(5)(8)$ і $1\frac(1)(2)$.

4. Складіть математичну модельцієї ситуації.
а) Два пішохід пішли в протилежних напрямках. Швидкість першого пішохода дорівнює $х$ км/год. Швидкість другого пішохода – більша на 2 км/год. Яку відстань вони пройдуть за 3 години? За який час другий пішохід пройде 10 км?

Варіант ІІІ.

1. Перекладіть речення математичною мовою: добуток числа 3 і різниці чисел $n$ і $m$.

2. Перекладіть на математичну мову таку властивість: якщо розділити одиницю на дріб, то в результаті ми отримаємо дріб, зворотний даній.

3. Перепишіть речення у вигляді числового виразу. Обчисліть його значення:
Сума числа $6\frac(5)(8)$ і приватне чисел $1\frac(5)(9)$ і $\frac(2)(9)$.

4. Складіть математичну модель цієї ситуації.
Катер відплив від пристані вниз за течією. Швидкість річки дорівнює $ x $ км / год. Швидкість катера – більше на 2 км/година. За який час катер пройде 10 км? Скільки часу йому знадобиться повернення назад?

Самостійна робота №3 (1 чверть)
"Лінійне рівняння з однією змінною"

а) $ 5z - 4 = 2 frac (3) (4) z + 2 $.

Б) $ frac (4х + 2) (3) = frac (5х + 1) (6) $.

Спортсмен пробігає деяку дистанцію за 18 хвилин. Якщо він збільшить швидкість на 3 км/год, то ту саму дистанцію він пробіжить на 4 хвилини швидше. Знайдіть швидкість спортсмена.

Варіант ІІ.

1. Розв'яжіть рівняння з однією змінною.
а) $ 3z - 2 = 1 \ frac (3) (6) z + 1 $.

Б) $ frac (5y + 3) (7) = frac (3y + 8) (4) $.

2. Складіть рівняння до даної задачі та розв'яжіть її.
Машина проїжджає із міста до села за 4 години. Якщо він збільшить швидкість на 20 км/год, то цю дорогу він проїжджає за 3 години. Знайдіть швидкість автомобіля.

Варіант ІІІ.

1. Розв'яжіть рівняння з однією змінною.
а) $ 4х - 6 = 2 \ frac (5) (8) х + 3 $.

Б) $ frac (2y + 7) (2) = frac (4y + 3) (5) $.

2. Складіть рівняння до даної задачі та розв'яжіть її.
Катер пропливає від пристані до порту за 30 хвилин. Якщо він збільшить швидкість на 10 км/год, то пропливе таку ж відстань за 20 хвилин. Знайдіть швидкість катера.

Самостійна робота №4 (1 чверть) "Координатна пряма"

X(-2); Y (-6,5); Z (3,8).

2. Вкажіть на координатній прямий вказаний проміжок.
а) [-2,5; 0]; б); [-∞; 0].

3. Скільки натуральних чиселналежать заданому проміжку [-30; -5]?

Варіант ІІ.

1. Вкажіть на координатній прямій наступні три точки:
X(3); Y (-5); Z (-3,8).

а); б); .

3. Скільки натуральних чисел належать заданому проміжку?

Варіант ІІІ.

1. Вкажіть на координатній прямій наступні три точки:
X(-7); Y(2); Z (3,8).

2. Вкажіть на координатній прямий вказаний проміжок:
а); б) [-2; 4]; [-1; +∞].

3. Скільки натуральних чисел належить заданому проміжку [-52; -4]?

Самостійна робота №5 (1 чверть) "Координатна площина"

E (-2; 5); F (5; -3); H (-3; -5).

А (-4; 0); (5; 8); З (-5; -4).

3. Побудуйте на координатної площини XOY пряму з координатами С(-4;2) та D(3;0).

Варіант ІІ.

1. Без побудови малюнка вкажіть, у якій координатній площині є точки?
E (3; 6); F (-8; 7); H(4; 4).

2. Побудуйте трикутник, якщо відомі координати його вершин
А (5; 3); В (-5; -2); З (-3; 0).

3. Побудуйте на координатній площині XOY пряму з координатами С(-2;6) та D(7;-2).

Варіант ІІІ.

1. Без побудови малюнка вкажіть, у якій координатній площині є точки?
E (-2; -4); F (4; 6); H(3; -2).

2. Побудуйте трикутник, якщо відомі координати його вершин
А (7; -3); (2; 6); З (-2; 1).

3. Побудуйте на координатній площині XOY пряму з координатами С(6;-4) та D(-3;6).

Самостійна робота №6 (1 чверть) "Лінійні рівняння із двома змінними"

1. Побудуйте графік функції $5x + y -4 = 0$.

2. Побудуйте графіки двох функцій та знайдіть точку перетину: $х + 5у = ​​7$; $ x - 4y = -2 $.

3. Для рівняння: $х + 2y - 4 = 0$ знайдіть ординату точки з абсцисою, що дорівнює 4.

Варіант ІІ.

1. Побудуйте графік функції: $3x – y + 6 = 0$.

2. Побудуйте графіки двох функцій та знайдіть точку перетину: $2х - 5у = ​​8$; $ 2x - y = 0 $.

3. Для рівняння: $2х + 4y - 5 = 0$ знайдіть ординату точки з абсцисою, що дорівнює 5.

Варіант ІІІ.

1. Побудуйте графік функції: $2x – 2y – 6 = 0$.

2. Побудуйте графіки двох функцій та знайдіть точку перетину: $2х + 2у = 10$; $ x - 2y = 5 $.

3. Для рівняння: $х + 4y - 2 = 0$ знайдіть ординату точки з абсцисою, що дорівнює 5.

Самостійна робота №7 (1 чверть) "Лінійна функція та її графік"

1. Встановлено лінійне рівняння: $x - 2y - 4 = 0$. Перетворіть його на вигляд: $ y = kx + m $. Знайдіть значення $k$ та $m$.

а) $ y = 6х - 2 $, при $ х = 2 $; б) $ y = -3x + 5 $, при $ х = 3 $.

3. Побудуйте графік функції: $у = 3\frac(5)(8)х -frac(1)(2)$.

4. Встановлено лінійне рівняння: $у = 4 - 3х$. Обчисліть значення аргументу, у якому воно набуває значення:
а) 3; б) -2; в) -1,1.

5. У якій точці перетинаються дві лінійні функції: $y = 3х - 12 $ і $ y = -2x + 3 $?

6. На заданому проміжку $[-3; +3]$ знайдіть найбільше та найменше значенняфункції $ y = -5x + 4 $.

Варіант ІІ.

1. Встановлено лінійне рівняння: $2x - 3y - 5 = 0$. Перетворіть його на вигляд: $ y = kx + m $. Знайдіть значення $k$ та $m$.

2. Знайдіть значення функції, якщо відомо значення аргументу.
а) $ y = 2х + 2 $, при $ х = 1 $; б) $ y = 3x - 6 $, при $ х = 4 $.

3. Побудуйте графік функції: $у = 4\frac(2)(3)х - \frac(3)(6)$.

4. Встановлено лінійне рівняння: $у = 5 + 2х$. Обчисліть значення аргументу, у якому воно набуває значення:
а) -2; б) -4; в) -2,6.

5. У якій точці перетинаються дві лінійні функції: $ y = 2х - 5 $ і $ y = -3 x + 10 $?

6. На заданому проміжку $[-2; +6]$ знайдіть найбільше та найменше значення функції $y=-2x - 2$.

Варіант ІІІ.

1. Встановлено лінійне рівняння: $3x - y + 2 = 0$. Перетворіть його на вигляд $y = kx + m$. Знайдіть значення $k$ та $m$.

2. Знайдіть значення функції, якщо відомо значення аргументу.
а) $ y = -2 x +5 $, при $ x = 3 $; б) $ y = -2x + 6 $, при $ x = -1 $.

3. Побудуйте графік функції: $у = 2\frac(1)(4)х + \frac(2)(3)$.

4. Задано лінійне рівняння: $у = 3+2х$. Обчисліть значення аргументу, у якому воно набуває значення:
а) -1; б) -4; в 2.

5. У якій точці перетинаються дві лінійні функції: $ y = -2 x +4 $ і $ y = -4 x - 2 $?

6. На заданому проміжку $$ знайдіть найбільше та найменше значення функції $y=3x-5$.

Самостійна робота №1 (2 чверть) "Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними"

1. Задано систему рівнянь. З'ясуйте, яка пара чисел (4; 0), (3; 4), (0; 5) є розв'язком даної системи рівнянь.
$\begin (cases) 2x+y=10, 4x-2y=4. \end (cases)$

$\begin (cases) x-y=2, 3x+3y=6. \end (cases)$

а) $ \ begin (cases) x = -y, \ 3x-y = 8. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x = 2y, \ 2x + 4y = 40. \end (cases)$

а) $ \ begin (cases) x = y + 4, \ - x = -3y-4. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x = 4y, \ 2x + 4y = 24. \end (cases)$

5. Розв'яжіть завдання.
Сума двох чисел дорівнює 9, а різниця дорівнює 1. Знайдіть ці числа.

6. Розв'яжіть завдання.
Задано 2 числа. Сума цих чисел дорівнює 80. Якщо перше число зменшити у 2 рази, а друге число збільшити у 2 рази, то у сумі отримаємо 115. Чому рівні ці числа?

Варіант ІІ

1. Задано систему рівнянь. З'ясуйте, яка пара чисел (2;6), (-3;4), (2;4) є розв'язком цієї системи рівнянь.
$\begin (cases) 5x-3y=-2, 3x+y=10. \end (cases)$

2. Задану систему рівнянь розв'яжіть графічним способом.
$\begin (cases) 2x-2y=6, \x-y=1. \end (cases)$

3. Задано системи рівнянь. Вирішіть їх шляхом постановки.
а) $ begin (cases) x = -0,5y, 3x-y = 15. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x = -3y, \ 3x + 4y = 10. \end (cases)$

4. Вирішіть задані системирівнянь методом алгебраїчної складання.
а) $ begin (cases) x = 2y-1, x - 3y = -4. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x = 4y, \ 2x-4y = 4. \end (cases)$

5. Розв'яжіть завдання.
Сума двох чисел дорівнює 10, а різниця потроєного першого числа та другого дорівнює 2. Знайдіть ці числа.

6. Розв'яжіть завдання.
Два фермери за липень зібрали 300 кг ягід. У серпні перший фермер зібрав у 2 рази більше ягід, а другий - у два рази менше, ніж він зібрав за липень. По скільки кг ягід збирали фермери щомісяця, якщо за серпень вони разом зібрали 450 кг?

Варіант ІІІ

1. Задано систему рівнянь. З'ясуйте, яка пара чисел (2;6), (3;-2), (2;4) є розв'язком цієї системи рівнянь.
$\begin (cases) 2x-4y=14, \-3x+y=-11. \end (cases)$

2. Задану систему рівнянь розв'яжіть графічним способом.
$\begin (cases) 5x+5y=-5, \\5x+y=3. \end (cases)$

3. Задано системи рівнянь. Вирішіть їх шляхом постановки.
а) $ \ begin (cases) x = -y, \ 3x-2y = 5. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x + y = 4, \ 3x + 4y = 12. \end (cases)$

4. Розв'яжіть задані системи рівнянь методом алгебраїчної складання.
а) $\begin (cases) x=y+1, x-2y=1. \end (cases)$

Б) $ \ begin (cases) x = 2y, \ x - 4y = 12. \end (cases)$

5. Розв'яжіть завдання.
Сума двох чисел дорівнює 10, а різниця дорівнює -2. Знайдіть ці цифри.

6. Розв'яжіть завдання.
Катер пропливає відстань між двома селами за 4 години за течією та за 6 годин проти течії. Знайдіть швидкість катера і течії річки, якщо відстань між селами дорівнює 60 км.

Самостійна робота №2 (2 чверть) "Ступінь з натуральним показником та її властивості"

а) 3,4*3,4*3,4*3,4.
б) а * а * а * а * а * а * а.

2. Обчисліть:
а) $ 5 ^ 3 $.
б) $7^3- 4^4$.

3. Розв'яжіть рівняння:
а) $ 5x ^ 3 = 320 $.
б) $ 3 ^ (x-3) = 81 $.

4. Знайдіть об'єм куба та його площу, якщо його ребро дорівнює 4 см.

а) $ x ^ 3 * x ^ 5 $.
б) $ x ^ 6 * x ^ 4 $.
в) $ (a ^ 3) ^ 6 $.

6. Обчисліть: $\frac(2^6*(2^3)^2)(2^4)$.

7. Задано вирази. Зведіть їх у ступінь.
а) $ (4z ^ 3) ^ 3 $.
б) $(6x^3y^3)^2$.
в) $\frac((2a^3)^4)((b^2)^3)$.

Варіант ІІ.

1. Запишіть дані вирази у вигляді ступеня:
а) 5,1*5,1*5,1*5,1.
б) d * d * d * d * d * d * d * d.

2. Обчисліть:
а) $ 4 ^ 5 $.
б) $ 8 ^ 2-6 ^ 3 $.

3. Розв'яжіть рівняння:
а) $ 2y ^ 2 = 162 $.
б) $ 4 ^ (x-3) = 64 $.

4. Знайдіть об'єм куба та довжину його ребра, якщо площа поверхні дорівнює 216 см 2 .

5. Задано вирази. Подайте їх у вигляді ступеня:
а) $ y ^ 4 * y ^ 3 $.
б) $ z ^ 6 * z ^ 2 $.
в) $ (b ^ 4) ^ 5 $.

6. Обчисліть: $\frac(3^6*(3^2)^3)(3^4)$.

а) $ (2y ^ 2) ^ 4 $.
б) $(5x^2z^3)^3$.
в) $\frac((3c^4)^5)((d^2)^2)$.

Варіант ІІІ.

1. Запишіть дані вирази у вигляді ступеня:
а) 6,2*6,2*6,2.
б) z * z * z * z.

2. Обчисліть:
а) $6^4$.
а) $5^2-3^4$.

3. Розв'яжіть рівняння:
а) $ 2f ^ 4 = 512 $.
б) $ 3 ^ (x-1) = 81 $.

4. Об'єм куба дорівнює 125 см 3 . Знайдіть довжину ребра куба та його площу.

5. Задано вирази. Подайте їх у вигляді ступеня:
а) $ z ^ 4 * z ^ 2 $.
б) $\frac(y^5)(y^2)$.
в) $ (c ^ 4) ^ 6 $.

6. Обчисліть:
$\frac(4^6*(4^3)^3)(4^5)$.

7. Задано вирази. Зведіть їх у ступінь:
а) $ (3a ^ 2) ^ 2 $.
б) $ (5z ^ 3) ^ 2 $.
в) $\frac((2d^5)^6)((c^2)^3)$.

Самостійна робота №1 (3 чверть) "Стандартний вид одночлена", "Складання та віднімання одночлена"

5 3 x 3 y 4 * (-3x 2 y 4).

2. Спростіть: 5ab 3 – 3ab 3 + 4ab 3 .

3. Спростіть заданий вираз і знайдіть його значення за $y=2$, $t= 0,5$.
-4t 3 y 2 + 3y 2 - 2t 2 + 3t 2 + y 2 .

Автобус із туристами проїхав 2 ⁄ 9 колії на швидкості 60 км/год, 4 ⁄ 9 колії він проїхав зі швидкістю 50 км/год. Інші 18 км він проїхав зі швидкістю 60 км/год. Яку відстань проїхав туристичний автобус?

Варіант ІІ.

1. Заданий одночлен приведіть до стандартного вигляду.

3 4 y 3 x 2 * 3y 4 x 5 .

2. Спростіть: 2CD 4 - 3CD 4 + 7CD 4 .

3. Спростіть заданий вираз і знайдіть його значення за $d=0,3$; $ e = 2 $.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2

4. Розв'яжіть задачу, виділяючи три етапи математичного моделювання.
Спортсмен пробіг 3⁄8 шляху зі швидкістю 12 км/год, 1⁄8 шляху пробіг зі швидкістю 15 км/год. Інші 5 км він пробіг зі швидкістю 10 км/год. Яку відстань пробіг спортсмен?

Варіант ІІІ.

1. Заданий одночлен приведіть до стандартного вигляду.

5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .

2. Спростіть: 4mn 2 + 5mn 2 - 6mn2.

3. Спростіть заданий вираз і знайдіть його значення за t= - 1 ⁄ 2 , $u= 6$.
-3t 3 u 2 + 5t 2 - 7t 3 u 2 + 3t 2 + u 2 .

4. Розв'яжіть задачу, виділяючи три етапи математичного моделювання.
Велосипедист проїхав 1 ⁄ 5 колії зі швидкістю 25 км/год, 3 ⁄ 5 колії зі швидкістю 30 км/год. Інші 10 км він проїхав зі швидкістю 18 км/год. Яку відстань проїхав спортсмен?

Самостійна робота №2 (3 чверть) "Збільшення одночленів", "Зведення одночлена в натуральний ступінь", "Поділ одночлена на одночлен"

1. Обчисліть.
а) 3n 3 m 2 *(- 4m 3 n 4).
б) 2 ⁄ 7 x 2 y 4 * 1 ⁄ 3 x 3 y 4 .

2. Розв'яжіть завдання.
Задано 2 квадрати. Сторона більшого квадратав 1,5 рази більше за сторону меншого квадрата. А площа більшого квадрата на 125 см 2 більше площіменшого квадрата. Знайдіть сторони квадратів.
3. Розділіть одночлен на одночлен: $\frac((-6a^4b)^3)(3a^3)$.
4. Спростіть вираз: $\frac((3x^3d^2)^3)((xd^2)^2)$.

Варіант ІІ.

1. Обчисліть.
а) 5y 2 z 3 * (- 6y 4 z 4).

Б) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3 .

2. Розділіть одночлен на одночлен: $\frac(5b^4d^2)(7b^2)$.

3. Спростіть вираз: $\frac((5c^3z^4)^2)(cz^3)$.

Варіант ІІІ.

1. Обчисліть.
а) - 6tu 2 * 5t 4 u 3 .

Б) 5 ⁄ 9 x 2 y 3 * 1 ⁄ 9 x 2 y 2 .

2. Розділіть одночлен на одночлен: $\frac(14z^4e^3)(7z^3)$.

3. Спростіть вираз: $\frac((8t^5u^5)^2)(4t^3)$.

Самостійна робота №1 (4 чверть) "Розкладання багаточлена на множники"

1. Обчисліть наступне вираз найбільш раціональним способом: 4,5 2 - 2,5 2 .

2. Вирішіть задане рівняння: $ (3х + 5) (2х - 2) = 0 $.

3. Обчисліть вираз найбільш раціональним способом: $ frac (346 ^ 2-146 ^ 2) (50 * 512) $.

4. Розкладіть наступні вирази на множники:
a) 4y + 8y 2 .
б) 7z 5 - 21z 2 .
в) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3 .

5. Розв'яжіть рівняння: 3y 2 - 9 y =0.

Варіант ІІ.

1. Обчисліть наступне вираз найбільш раціональним способом: 12,5 2 - 7,5 2 .

2. Розв'яжіть задане рівняння: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.

3. Обчисліть вираз найбільш раціональним способом: $\frac((456)^2-(256)^2)(1200 * 1024)$.

a) 2z + 6z 2 .
б) 8y 5 - 24y 3 .
в) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Розв'яжіть рівняння: 6y 2 + 4y =0.

Варіант ІІІ.

1. Обчисліть наступне вираз найбільш раціональним способом: 8,2 2 - 4,2 2 .

2. Розв'яжіть задане рівняння: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.

3. Обчисліть вираз найбільш раціональним способом: $\frac((663)^2-(363)^2)(40 * 243)$.

4. Розкладіть такі вирази на множники.
a) 3x + 9x2.
б) 12y 4 - 26y 2 .
в) 3x2y5z+12xy2z - 9x2y3z.

5. Розв'яжіть задане рівняння: 5a 2 + 10a =0.

Варіант І.
1. 40,6.
2. 2,5.
3. $ х = -0,25 $.
Варіант ІІ.
1. $20,525$.
2. $-14 \ frac (23) (30) $.
3. $ х = 0,4 $.
Варіант ІІІ.
1. $ 12 \ frac (87) (90) $.
2. $-14,6$.
3. $ y = 5 $.

Варіант І.
1. $a^3-b^3$.
2. Для будь-якого числа $a$, правильне твердження $a*a=a^2$.
3. $3\frac(3)(4)+5\frac(4)(8)*\frac(1)(8)=4,4375$.
4. $13x+20$.
Варіант ІІ.
1. $x^2+y^2$.
2. Для будь-якого числа $a$, правильне затвердження $a*(-1)=-a$.
3. $3\frac(5)(8)-2\frac(5)(8):\frac(1)(2)=-1\frac(5)(8)$.
4. Пройдуть відстань $(6х+6)$. Другому пішоходу знадобиться $\frac(10)(x+2)$ годин.
Варіант ІІІ.
1. $3(n-m)$.
2. Для будь-яких чисел $a$, $b$ правильне затвердження $1:(\frac(a)(b))=\frac(b)(a)$.
3. $6\frac(5)(8)+1\frac(5)(9):\frac(2)(9)=-\frac(3)(8)$.
4. Катер пройде 10 км за $ frac (5) (x + 1) $. Для повернення на пристань потрібно 5 годин.

Варіант І.
1.
а) $ z = \ frac (8) (3) $.
б) $ x = -1 $.
2. 10.5 км/год.
Варіант ІІ.
1.
а) $ z = 2 $.
б) $ y = -44 $.
2. 60 км/год.
Варіант ІІІ.
1.
а) $6\frac(6)(11)$.
б) -14,5.20 км/год.
2. 20 км/год.

Варіант І.

Варіант ІІ.
3. 43.
Варіант ІІІ.
3. У цьому проміжку немає натуральних чисел.

Варіант І.
2. $x=2$, $y=1$.
3. $ y = 0 $.
Варіант ІІ.
2. $x=-1$, $y=-2$.
3. $ y = -1,25 $.
Варіант ІІІ.
2. $x=5$, $y=0$.
3. $ y = -0,75 $.

Варіант І.
1. $ y = 0,5 x + 2 $.
2.
a) $ y = 10 $.
б) $ y = -4 $.
4.
a) $ x = \ frac (1) (3) $.
б) $ x = 2 $.
в) $ x = 1,7 $.
5. Крапка з координатами $x=3$, $y=-3$.
6. $y_(min)=-11$, $y_(max)=19$.
Варіант ІІ.
1. $y=\frac(2)(3)x-\frac(5)(3)$.
2.
a) $ y = 4 $.
б) $ y = 6 $.
4.
a) $ x = -3,5 $.
б) $ x = -4,5 $.
в) $ x = -3,8 $.
5. Крапка з координатами $x=3$, $y=1$.
6. $y_(min)=2$, $y_(max)=-14$.
Варіант ІІІ.
1. $y=3x+2$.
2.
a) $ y = -1 $.
б) $ y = 8 $.
4.
a) $ x = -2 $.
б) $ x = 3,5 $.
в) $ x = -0,5 $.
5. Крапка з координатами $x=-3$, $y=10$.
6. $y_(min)=-5$, $y_(max)=16$.

Варіант І.
1. Крапка з координатами (3; 4).
2. Крапка з координатами (2; 0).
3.
a) $ x = 2 $, $ y = -2 $.
б) $ x = 10 $, $ y = 5 $.
4.
a) $ x = 4 $, $ y = 0 $.
б) $ x = 8 $, $ y = 2 $.
5. Одне число – це 5, інше число – це 4.
6. Одне число – це 30, інше число – це 50.
Варіант ІІ.
1. Крапка з координатами (2; 4).
2. Немає точки перетину.
3.
a) $ x = 3 $, $ y = -6 $.
б) $ x = 6 $, $ y = -2 $.
4.
a) $ x = 5 $, $ y = 3 $.
б) $ x = 4 $, $ y = 1 $.
5. Одне число – це 3, інше число – це 7.
6. У липні перший фермер зібрав 200 кг, другий – 100 кг. Торішнього серпня перший фермер зібрав 400 кг, другий - 50 кг.
Варіант ІІІ.
1. Крапка з координатами (3;-2).
2. Крапка з координатами (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
б) $ x = 4 $, $ y = 0 $.
4.
a) $ x = 1 $, $ y = 0 $.
б) $ x = -12 $, $ y = -6 $.
5. Одне число – це 4, інше число – це 6.
6. Швидкість катера складає 12,5 км/год. Швидкість течії річки становить 2,5 км/год.

Варіант І.
1. а) $ (3,4) ^ 4 $; б) $ a ^ 7 $.
2. а) 125; б) 87.
3. а) $ x = 4 $; б) $ x = 7 $.
4. $ V = 64 (см) ^ 3 $. $ S = 96 (см) ^ 2 $.
5. а) $ x ^ 8 $; б) $ x ^ (10) $; в) $ a ^ (18) $.
6. 256.
7. а) $64z^9$; б) $36x^6y^6$; в) $\frac(16a^(12))(b^6)$.
Варіант ІІ.
1. а) $ (5,1) ^ 4 $; б) $ d ^ 8 $.
2. а) 1024; б) -152.
3. а) $ y = 9 $; б) $ x = 6 $.
4. $ V = 216 (см) ^ 3 $; $a=6 см$.
5. а) $ y ^ 7 $; б) $ z ^ 8 $; в) $ b ^ (20) $.
6. 6561.
7. а) $16y^8$; б) $125x^6z^9$; в) $\frac(243c^(20))(d^4)$.
Варіант ІІІ.
1. а) $ (6,2) ^ 3 $; б) $ z ^ 4 $.
2. а) 1296; б) -56.
3. а) $ f = 4 $; б) $ x = 5 $.
4. $a=5 см$. $ S = 150 (см) ^ 2 $.
5. а) $ z ^ 6 $; б) $ y ^ 3 $; в) $ c ^ 24 $.
6. 64.
7. а) $9a^4$; б) $25z^6$; в) $\frac(64d^(30))(c^6)$.

Варіант І.
1. $-375x^5y^8$.
2. $6ab^3$.
3. 3,25.
4. 54 км.
Варіант ІІ.
1. $243x^7y^7$.
2. $6cd^4$.
3. -2,92.
4. 10 км.
Варіант ІІІ.
1. $-250a^5b^3y^3$.
2. $3mn^2$.
3. 83.
4. 50 км.

Варіант І.
1. а) $-12n^7m^5$; б) $\frac(2)(21)x^5y^8$.
2. 10 см та 15 см.
3. $-72a ^ 9b ^ 3 $.
4. $27x^7d^4$.
Варіант ІІ.
1. a) $-30y^6z^7$ б) $\frac(3)(64)a^6b^5$.
2. $\frac(5)(7)b^2d^2$.
3. $25c^5Z^5$.
Варіант ІІІ.
1. $-30t^5u^5$; б) $\frac(5)(81)x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3. $16t^7u^(10)$.

Варіант І.
1. 14.
2. $3x^2+2x-5=0$.
3. $\frac(123)(32)$.
4. а) $4y(1+2y)$; б) $7z^2(z^3-3)$; в) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5. $ y = 3 $.
Варіант ІІ.
1. 25.
2. $2y^2-3y-9=0$.
3. $ \ frac (89) (768) $.
4. а) $2z(1+3z)$; б) $8y^3(y^2-3)$; в) $ ab (2c-3ab + 4ab ^ 2c) $.
5. $y=-\frac(2)(3)$.
Варіант ІІІ.
1. 49,6.
2. $2z^2+7z-15=0$.
3. $\frac(2565)(81)$.
4. а) $3x(1+3x)$; б) $2y^2(6y^2-13)$; в) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5. $a=-2$.