Рівне значення дисперсії 5. Дисперсія, середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

Дисперсієювипадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного очікування(якщо останнє існує):

D(x) = M((x-M(x)) 2).

Для дискретної випадкової величини:

Якщо дискретна випадкова величина може приймати нескінченне числозначень, сума у ​​правій частині буде рядом.

Навіщо підраховують дисперсію? Математичне очікування саме собою дає нам вірного ставлення до характері досліджуваного явища, у тому, як може змінюватися випадкова величина. Ми дізнаємося тільки її середнє значення при великому числіекспериментів, але можемо судити у тому, який у середньому розкид її значень навколо цього числа. Судити звідси дозволяє дисперсія. Відхилення при її обчисленні беруться у квадраті, тому що в іншому випадку відхилення в різні сторони(Значення більше і менше середнього) компенсували б один одного. Вибір для позбавлення знака саме зведення в квадрат, а не будь-якої іншої дії (наприклад, взяття по модулю) пояснюється тим, що на цьому факті ґрунтується доказ деяких важливих властивостейдисперсії, що вивчаються математичною статистикою.

Наведений вираз для дисперсії є незручним при проведенні практичних обчислень, тому виведемо інше.

Наведемо без доказу деякі властивості дисперсії:

1) Дисперсія невід'ємна (за визначенням):

2) Дисперсія постійної дорівнює нулю:

с – const D(c) = 0

Наприклад, якщо працівник отримує постійну зарплату х = 30 (тис. руб.), То її дисперсія дорівнюватиме нулю (справді, характеристика розсіювання нульова).

3) Постійний множникможна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

с – const D(cx) = c 2 D(x)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати працівника дорівнює 4 (х - заробітна плата, D (х) = 4). Інший працівник завжди одержує на 20% більше, ніж перший, тобто. заробітна плата другого працівника дорівнює 1,2 * х. Тоді дисперсія заробітної плати другого працівника дорівнює D(1,2*х) =
= 1,2 2 * D (х) = 1,44 * 4 = 5,76.

4) Для незалежних випадкових величин дисперсія їх суми дорівнює сумі дисперсій:

D(x + y) = D(x) + D(y) (для незалежних х та y)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати одного працівника дорівнює 4 (х – його заробітна плата, D(х) = 4), а іншого – 5 (y – його заробітна плата, D(y) = 5). Тоді дисперсія сумарної заробітної плати становитиме D(x +
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. Однак, виконати розрахунок таким чином можна лише у випадку, коли заробітні платицих працівників залежать друг від друга. Якщо вони залежні, користуватися формулою не можна.

Слід зазначити, що дисперсія різниці двох випадкових величин дорівнюватиме також сумі дисперсій (а не різниці). Це випливає з властивостей (3) і (4), оскільки при зведенні квадрата змножувача (-1) отримують 1.

Властивість (4) буде вірною не тільки для двох, але для будь-кого кінцевого числавипадкових величин.

5) При збільшенні (зменшенні) всіх значень випадкової величини на константу, її дисперсія не зміниться (це випливає з властивостей (2) та (4):

с – const D(x - с) = D(x)

Наприклад, якщо дисперсія середньомісячної зарплати дорівнює 4, і із зарплати щомісяця віднімають 800 руб. на оплату проїзного квитка, то дисперсія зарплати за вирахуванням оплати проїзного буде однакова 4.

Наприклад, розглянемо випадкову величину х – кількість проданих на день автомобілів. Ця величина вимірювалася протягом 100 днів, і за цей час приймала значення (0; 1; 2; 3; 4) відповідно 18, 15, 28, 15 та 24 число разів. Необхідно визначити дисперсію імовірнісного розподілу х.

Вважатимемо, що кількість експериментів – 100 – досить велика, щоб можна було розглядати відносну частоту як емпіричну оцінку ймовірності. Тому, щоб визначити ймовірності, розділимо кожну з частот на 100. ймовірнісний розподілу вигляді табл.2, приписавши до неї два рядки для допоміжних обчислень.

Таблиця 2

6,46-2,12 2 1,97.

Використовувати отриману оцінку все ж таки важко. Її не можна порівняти з математичним очікуванням, оскільки її одиниці виміру немає економічного сенсу (“автомобілі у квадраті”). Тому, щоб визначити, чи справді розкид кількості продажів навколо величини 2,12 такий великий, витягнемо корінь з дисперсії . Отриманий результат має самі одиниці виміру, як і аналізована випадкова величина (в даному випадкувін вимірюється у кількості автомобілів, тобто. у штуках).

Цю величину називають середнім квадратичним відхиленням(СКО) та позначають .

СКО = 1,4 (шт.) – багато це чи мало? Ймовірно, якби обсяг продажів становив у середньому, наприклад, 10 машин на день, то така величина характеризувала невеликий розкид. У цьому випадку
М = 2,12 (прим.). Щоб оцінити отриманий результат, необхідно підрахувати відносний показникщо дозволить порівняти СКО з математичним очікуванням.

Ставлення СКО до математичного очікування випадкової величини називають коефіцієнтом варіації: . Він є безрозмірною величиною (можна перевести його у відсотки, помноживши на 100%).

Для розглянутого прикладу коефіцієнт варіації дорівнює 1,4/2,12 =
= 0,66 чи 66%.

Розглянуті вище математичне очікування, дисперсія, СКО та коефіцієнт варіації є числові характеристики довільної величини. Крім них, існують і інші числові характеристики, які поки що розглядати не будемо.

Нехай проводиться пнезалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події Апостійна. Чому дорівнює дисперсія числа події у цих випробуваннях? Відповідь це питання дає така теорема.

Теорема.Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в одному випробуванні:

D(X)= npq.

Доведення. Розглянемо випадкову величину X- Число появи події Ав пнезалежних випробувань. Очевидно, загальне числопояви події в цих випробуваннях дорівнює сумі появи події в окремих випробуваннях:

X = Х 1 + X 2 + …+ Х п,

де Х 1 - число настань події у першому випробуванні, Х 2 - у другому, ..., Х п- у п-м .

Величини Х 1 , Х 2 , ..., Х пвзаємно незалежні, оскільки результат кожного випробування залежить від результатів інших, тому ми можемо скористатися наслідком 1 (див. § 5):

D(X)= D(X 1)+ D(X 2)+ ...+D(Х п). (*)

Обчислимо дисперсію X 1 за формулою

D(X 1)=M( )- [M(X 1)] 2 . (**)

Величина Х 1-число появи події Ау першому випробуванні, тому (див. гл. VII, § 2, приклад 2) М(Х 1)=р.

Знайдемо математичне очікування величини , яка може набувати лише двох значень, а саме: 1 2 c ймовірністю рі Про 2 з ймовірністю q:

M( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

Підставляючи знайдені результати у співвідношення (**), маємо

D(X 1)=p-p 2 =p(1-p)= pq

Очевидно, дисперсія кожної з інших випадкових величин також дорівнює pq.Замінивши кожне доданок правої частини (*) через pq,остаточно отримаємо

D(X)= npq.

Зауваження. Оскільки величина Xрозподілена за біноміальним законом, то доведену теорему можна сформулювати ітак: дисперсія біномного розподілуз параметрами п і р дорівнює добутку npq.

приклад.Виробляються 10 незалежних випробувань, у кожному у тому числі ймовірність появи події дорівнює 0,6. Знайти дисперсію випадкової величини X-числа появи події у цих випробуваннях.

Рішення. За умовою, n =10, р= 0,6. Очевидно, ймовірність непояви події

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

Шукана дисперсія

D(X)= npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

Середнє квадратичне відхилення

Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення, крім дисперсії, служать і деякі інші характеристики. До них належить середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Xназивають квадратний корінь із дисперсії:

Легко показати, що дисперсія має розмірність, рівну квадратурозмірності випадкової величини Оскільки середнє квадратичне відхилення одно квадратного кореняз дисперсії, розмірність s( X)збігається зрозмірністю X.Тому тоді, коли бажано, щоб оцінка розсіяння мала розмірність випадкової величини, обчислюють середнє квадратичне відхилення, а чи не дисперсію. Наприклад, якщо Xвиражається в лінійних метрах, то а ( X)виражатиметься також в лінійних метрах, a D(X) - у квадратних метрах.

приклад.Випадкова величина Xзадана законом розподілу

Знайти середнє квадратичне відхилення s( X).

Рішення. Знайдемо математичне очікування X:

М(Х) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

Знайдемо математичне очікування X 2 :

М(Х 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

Знайдемо дисперсію:

D(X)= М(X 2) - [М(X)] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

Шукане середнє квадратичне відхилення

s (X) = =

Середнє квадратичне відхилення суми взаємно незалежних випадкових величин

Нехай відомі середні відхилення квадратичних кількох взаємно незалежних випадкових величин. Як знайти середнє відхилення суми цих величин? Відповідь це питання дає така теорема.

Кроки

Обчислення дисперсії вибірки

1. Запишіть значення вибірки.Найчастіше статистикам доступні лише вибірки певних генеральних сукупностей. Наприклад, як правило, статистики не аналізують витрати на утримання сукупності всіх автомобілів у Росії – вони аналізують випадкову вибіркуіз кількох тисяч автомобілів. Така вибірка допоможе визначити середні витрати на автомобіль, але швидше за все отримане значення буде далеко від реального.

   • Наприклад, проаналізуємо кількість булочок, проданих у кафе за 6 днів, взятих у випадковому порядку. Вибірка має наступний вигляд: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Це вибірка, а не сукупність, тому що у нас немає даних про продані булочки за кожен день роботи кафе.
   • Якщо вам дано сукупність, а не вибірка значень, перейдіть до наступного розділу.

2. Запишіть формулу обчислення дисперсії вибірки.Дисперсія є мірою розкиду значень певної величини. Чим ближче значення дисперсії до нуля, тим ближчі значення згруповані один до одного. Працюючи з вибіркою значень, використовуйте таку формулу для обчислення дисперсії:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))– це дисперсія. Дисперсія вимірюється в квадратних одиницяхвимірювання.
   • x i (\displaystyle x_(i))– кожне значення у вибірці.
   • x i (\displaystyle x_(i))треба відняти x̅, звести у квадрат, та був скласти отримані результати.
   • x̅ – вибіркове середнє (середнє значення вибірки).
   • n – кількість значень вибірці.

3. Обчисліть середнє значення вибірки.Воно позначається як x. Середнє значення вибірки обчислюється як звичайне середнє арифметичне: складіть усі значення у вибірці, а потім отриманий результат поділіть на кількість значень у вибірці.

   • У нашому прикладі складіть значення у вибірці: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Тепер результат поділіть на кількість значень у вибірці (у нашому прикладі їх 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Вибіркове середнє x = 14.
   • Вибіркове середнє – це центральне значення, навколо якого розподілені значення вибірці. Якщо значення вибірці групуються навколо вибіркового середнього, то дисперсія мала; інакше дисперсія велика.

4. Відніміть середнє вибіркове з кожного значення у вибірці.Тепер обчисліть різницю x i (\displaystyle x_(i))- x̅, де x i (\displaystyle x_(i))– кожне значення у вибірці. Кожен отриманий результат свідчить про відхилення конкретного значення від вибіркового середнього, тобто як далеко це значення перебуває від середнього значення вибірки.

   • У нашому прикладі:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Правильність отриманих результатів легко перевірити, оскільки їх сума має дорівнювати нулю. Це з визначенням середнього значення, оскільки від'ємні значення(відстань від середнього значення до менших значень) повністю компенсуються позитивними значеннями(Відстанями від середнього значення до великих значень).

5. Як зазначалося вище, сума різниць x i (\displaystyle x_(i))- x̅ повинна дорівнювати нулю. Це означає, що середня дисперсіязавжди дорівнює нулю, що дає уявлення про розкид значень деякої величини. Для вирішення цієї проблеми зведіть у квадрат кожну різницю x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Це призведе до того, що ви отримаєте лише позитивні числа, які при додаванні ніколи не дадуть 0.

   • У нашому прикладі:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2)))- x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Ви знайшли квадрат різниці - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення у вибірці.

6. Обчисліть суму квадратів різниці.Тобто знайдіть ту частину формули, яка записується так: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Тут знак Σ означає суму квадратів різниць для кожного значення x i (\displaystyle x_(i))у вибірці. Ви вже знайшли квадрати різниць (x i (\displaystyle (x_(i)))- x̅) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення x i (\displaystyle x_(i))у вибірці; Тепер просто складіть ці квадрати.

   • У нашому прикладі: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Отриманий результат розділіть на n - 1, де n – кількість значень вибірки.Якийсь час тому для обчислення дисперсії вибірки статистики ділили результат просто на n; у цьому випадку ви отримаєте середнє значення квадрата дисперсії, що ідеально підходить для опису дисперсії даної вибірки. Але пам'ятайте, що будь-яка вибірка – це лише невелика частина генеральної сукупностізначень. Якщо взяти іншу вибірку і виконати такі самі обчислення, ви отримаєте інший результат. Як з'ясувалося, розподіл на n - 1 (а не просто на n) дає більш точну оцінку дисперсії генеральної сукупності, в чому ви зацікавлені. Розподіл на n – 1 став загальноприйнятим, тому воно включено до формули для обчислення дисперсії вибірки.

   • У прикладі вибірка включає 6 значень, тобто n = 6.
     Дисперсія вибірки = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Відмінність дисперсії стандартного відхилення.Зауважте, що у формулі є показник ступеня, тому дисперсія вимірюється у квадратних одиницях вимірювання аналізованої величини. Іноді такою величиною досить складно оперувати; у таких випадках користуються стандартним відхиленням, яке дорівнює квадратному кореню з дисперсії. Саме тому дисперсія вибірки позначається як s 2 (\displaystyle s^(2)), а стандартне відхиленнявибірки – як s (\displaystyle s).

   • У прикладі стандартне відхилення вибірки: s = √33,2 = 5,76.

   Обчислення дисперсії сукупності

   1. Проаналізуйте деяку сукупність значень.Сукупність включає всі значення аналізованої величини. Наприклад, якщо ви вивчаєте вік мешканців Ленінградської області, Сукупність включає вік всіх жителів цієї області. У разі роботи із сукупністю рекомендується створити таблицю та внести до неї значення сукупності. Розглянемо наступний приклад:

      • У деякій кімнаті є 6 акваріумів. У кожному акваріумі мешкає така кількість риб:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Запишіть формулу обчислення дисперсії генеральної сукупності.Так як в сукупність входять всі значення деякої величини, то наведена нижче формула дозволяє отримати точне значеннядисперсії сукупності. Для того щоб відрізнити дисперсію сукупності від дисперсії вибірки (значення якої є лише оцінним), статистики використовують різні змінні:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))- Дисперсія сукупності (читається як "сигма в квадраті"). Дисперсія вимірюється у квадратних одиницях виміру.
      • x i (\displaystyle x_(i))- Кожне значення в сукупності.
      • Σ – знак суми. Тобто з кожного значення x i (\displaystyle x_(i))потрібно відняти μ, звести у квадрат, та був скласти отримані результати.
      • μ – середнє значення сукупності.
      • n – кількість значень у генеральній сукупності.

   3. Обчисліть середнє значення сукупності.Працюючи з генеральною сукупністю її середнє значення позначається як μ (мю). Середнє значення сукупності обчислюється як звичайне середнє арифметичне: складіть усі значення в генеральній сукупності, а потім отриманий результат розділіть на кількість значень у генеральній сукупності.

      • Майте на увазі, що середні величини не завжди обчислюються як середнє арифметичне.
      • У прикладі середнє значення сукупності: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Відніміть середнє значення сукупності з кожного значення в генеральній сукупності.Чим ближче значення різниці до нуля, тим ближче конкретне значеннядо середнього значення сукупності. Знайдіть різницю між кожним значенням у сукупності та її середнім значенням, і ви отримаєте перше уявлення про розподіл значень.

      • У нашому прикладі:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Зведіть у квадрат кожен отриманий результат.Значення різниць будуть як позитивними, і негативними; якщо нанести ці значення на числову пряму, всі вони лежатимуть праворуч і ліворуч від середнього значення сукупності. Це не годиться для обчислення дисперсії, так як позитивні та негативні числакомпенсують одне одного. Тому зведіть у квадрат кожну різницю, щоб отримати винятково позитивні числа.

      • У нашому прикладі:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))для кожного значення сукупності (від i = 1 до i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), де x n (\displaystyle x_(n)) – останнє значенняу генеральній сукупності.
      • Для обчислення середнього значення отриманих результатів потрібно знайти їхню суму та розділити її на n:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • Тепер запишемо наведене пояснення з використанням змінних: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n і отримаємо формулу для обчислення дисперсії сукупності.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значення полігону, побудованого по даному вибірковому розподілу, у точці 1280 та моди рівні

DX = 1.5. Використовуючи властивості дисперсії, знайдіть D(2X+5).

MX = 1.5. Використовуючи властивості математичного очікування, знайдіть M(2X+5).

MX = 5, MY = 2. Використовуючи властивості математичного очікування, знайдіть M(2X – 3Y).

x- Стандартна нормальна випадкова величина. Випадкова величинаx2 має розподіл

X та Y – незалежні. DX = 5, DY = 2. Використовуючи властивості дисперсії, знайдіть D(2X+3Y).

Впадає 5 монет. Якою є ймовірність того, що три рази випаде герб?

Впадає 6 монет. Імовірність того, що герб випаде понад чотири рази, дорівнює:

Гістограма "гістограма". Вона має вигляд

DIV_ADBLOCK44">

У результаті чотирьох вимірів деякої фізичної величиниодним приладом отримані такі результати: 8, 9, 11, 12. Вибіркова середня результатіввимірювань, вибіркова та виправлена ​​дисперсії помилок приладу рівні відповідно

У коло радіусом 10 поміщений менший коло радіусом 5. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута в велике коло, потрапить також і до малого кола. Передбачається, що ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола і залежить від його розташування.

У коло радіусом 20 см поміщено менший коло радіусом 10 см так, що їхні центри збігаються. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута у велике коло, потрапить також і в кільце, утворене збудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола і залежить від його розташування.

У піраміді 5 гвинтівок, 3 з яких забезпечені оптичним прицілом. Імовірність попадання для стрільця при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0.95 зі звичайної гвинтівки - 0.7. Стрілець навмання бере гвинтівку і стріляє. Визначити можливість, що мета буде вражена.

У середньому кожен сотий виріб, який виробляється підприємством, дефектний. Якщо взяти два вироби, яка ймовірність, що обидва виявляться справними?

В таблиці статистичного розподілу, побудованого за вибіркою, на одне число потрапила клякса Це число

Ця цифра

У таблиці статистичного розподілу, побудованого за вибіркою, одна цифра написана нерозбірливо Ця цифра

У ящику в 5 разів більше червоних кульок, ніж чорних. Знайти ймовірність того, що вийнята навмання куля виявиться червоною.

Варіаційний рядвибірки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 має вигляд

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

Величинаxмає розподіл N(a,s). Імовірність p(|x-a|<2 s) дорівнює

Величинаxмає розподіл N(a,s). Імовірність p(xs) дорівнює