Скорочення алгебраїчних дробів є прикладами з рішенням. Алгебраїчний дріб

Перш ніж перейти до вивчення алгебраїчних дробіврекомендуємо згадати, як працювати зі звичайними дробами.

Будь-який дріб, у якому є літерний множникназивається алгебраїчним дробом.

Приклади алгебраїчних дробів.

Як і в звичайного дробу, в дробі алгебри є чисельник (нагорі) і знаменник (внизу).

Скорочення алгебраїчного дробу

Алгебраїчну дріб можна скорочувати. При скороченні користуються правилами скорочення звичайних дробів.

Нагадуємо, що з скороченні звичайного дробу ми ділили і чисельник, і знаменник одне й теж число.

Алгебраїчну дріб скорочують таким же чином, але тільки чисельник і знаменник ділять на той самий багаточлен.

Розглянемо приклад скорочення алгебраїчного дробу.

Визначимо найменший ступінь, у якому стоїть одночлен «a». Найменший ступіньдля одночлена «a» знаходиться у знаменнику – це другий ступінь.

Поділимо, і чисельник, і знаменник на a 2 ». При розподілі одночленів використовуємо властивість приватного ступеня.

Нагадуємо, що будь-яка буква чи число в нульовому ступені – це одиниця.

Немає необхідності щоразу докладно записувати, потім скорочували алгебраїчну дріб. Достатньо пам'ятати ступінь, на який скорочували, і записувати тільки результат.

Короткий запис скорочення алгебраїчного дробу виглядає так.

Скорочувати можна лише однакові літерні множники.

Не можна скорочувати

Можна скорочувати

Інші приклади скорочення алгебраїчних дробів.

Як скоротити дріб із багаточленами

Розглянемо інший приклад алгебраїчного дробу. Потрібно скоротити алгебраїчну дріб, у якої в чисельнику стоїть багаточлен.

Скорочувати багаточлен у дужках можна тільки з таким же багаточленом у дужках!

Ні в якому разі не можна скорочувати частинубагаточлена всередині дужок!

Неправильно

Визначити, де закінчується багаточлен дуже просто. Між многочленами може лише знак множення. Весь многочлен знаходиться усередині дужок.

Після того, як ми визначили багаточлени алгебраїчного дробу, скоротимо багаточлен «(m – n)» у чисельнику з багаточленом «(m–n)» у знаменнику.

Приклади скорочення алгебраїчних дробів із багаточленами.

Винесення загального множника при скороченні дробів

Щоб в алгебраїчних дробах з'явилися однакові багаточлени, іноді потрібно винести загальний множник за дужки.

У такому вигляді скоротити алгебраїчну дріб не можна, оскільки багаточлен
"(3f + k)" можна скоротити тільки з многочленом "(3f + k)".

Тому, щоб у чисельнику отримати «(3f + k)», винесемо загальний множник «5».

Скорочення дробів за допомогою формул скороченого множення

В інших прикладах для скорочення алгебраїчних дробів потрібно
застосування формул скороченого множення.

У первісному вигляді скоротити алгебраїчну дріб не можна, тому що немає однакових багаточленів.

Але якщо застосувати формулу різниці квадратів для многочлена «(a 2 − b 2) », то однакові багаточлени з'являться.

Інші приклади скорочення дробів алгебри за допомогою формул скороченого множення.

Скорочення алгебраїчних (раціональних) дробів засноване на їхній основній властивості: якщо чисельник і знаменник дробу розділити на один і той же ненульовий багаточлен, то вийде рівний їй дріб.

Скорочувати можна лише множники!

Члени багаточленів скорочувати не можна!

Щоб скоротити алгебраїчну дріб, багаточлени, які стоять у чисельнику і знаменнику, потрібно попередньо розкласти на множники.

Розглянемо приклади скорочення дробів.

У чисельнику та знаменнику дробу стоять одночлени. Вони є твір(чисел, змінних та їх ступенів), множникискорочувати можемо.

Числа скорочуємо на їхній найбільший спільний дільник, тобто на найбільша кількість, на яку ділиться кожне з цих чисел. Для 24 і 36 це – 12. Після скорочення від 24 залишається 2, від 36 – 3.

Ступені скорочуємо на ступінь з найменшим показником. Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на той самий дільник, а при розподілі ступенів показники віднімаємо.

a² та a⁷ скорочуємо на a². При цьому в чисельнику від a² залишається одиниця (1 пишемо тільки в тому випадку, коли окрім неї після скорочення інших множників не залишилося. Від 24 залишилося 2, тому 1, що залишилася від a², не пишемо). Від a⁷ після скорочення залишається a⁵.

b та b скорочуємо на b, отримані в результаті одиниці не пишемо.

c³º та с⁵ скорочуємо на с⁵. Від c³º залишається c²⁵, від с⁵ - одиниця (її не пишемо). Таким чином,

Чисельник і знаменник даного дробу алгебри - багаточлени. Скорочувати члени багаточленів не можна! (Не можна скоротити, наприклад, 8x² і 2x!). Щоб скоротити цей дріб, треба багаточлени розкласти на множники. У чисельнику є загальний множник 4x. Виносимо його за дужки:

І в чисельнику, і в знаменнику є однаковий множник (2x-3). Скорочуємо дріб на цей множник. У чисельнику отримали 4x, у знаменнику - 1. По 1 властивості алгебраїчних дробів, дріб дорівнює 4x.

Скорочувати можна лише множники (скоротити цей дрібна 25x² не можна!). Тому багаточлени, які стоять у чисельнику та знаменнику дробу, потрібно розкласти на множники.

У чисельнику - повний квадратсуми, у знаменнику – різниця квадратів. Після розкладання за формулами скороченого множення отримуємо:

Скорочуємо дріб на (5x+1) (для цього в чисельнику закреслимо двійку у показник ступеня, від (5x+1)² при цьому залишиться (5x+1)):

У чисельнику є загальний множник 2, винесемо його за дужки. У знаменнику - формула різниці кубів:

В результаті розкладання в чисельнику та знаменнику отримали однаковий множник (9+3a+a²). Скорочуємо дріб на нього:

Багаточлен у чисельнику складається з 4 доданків. Групуємо перший доданок з другим, третє - з четвертим і виносимо з перших дужок загальний множник x². Знаменник розкладаємо за формулою суми кубів:

У чисельнику винесемо за дужки загальний множник (x+2):

Скорочуємо дріб на (x+2):

Скорочувати можемо лише множники! Щоб скоротити цей дріб, потрібно багаточлени, що стоять у чисельнику і знаменнику, розкласти на множники. У чисельнику загальний множник a³, у знаменнику - a⁵. Винесемо їх за дужки:

Множники – ступеня з однаковою основою a³ та a⁵ – скорочуємо на a³. Від a³ залишається 1, ми її не пишемо, від a⁵ залишається a². У чисельнику вираз у дужках можна розкласти як різницю квадратів:

Скорочуємо дріб на спільний дільник (1+a):

А як скорочувати дроби виду

у яких вислови, що стоять у чисельнику і знаменнику, відрізняються лише знаками?

Приклади скорочення таких дробів ми розглянемо наступного разу.

2 коментарі

Дуже хороший сайт, щодня ним користуюся, і допомагає.
До того як я натрапив на цей сайт, я не вмів багато що вирішувати з алгебри, геометрії, але завдяки цьому сайту мої оцінки а 3 піднялися на 4-5.
Тепер я можу сміливо здавати ОДЕ, і не бояться що його не здам!
Вчіться, і у Вас все вийде!

Вітю, бажаю Вам успіхів у навчанні та високих результатівна іспитах!

www.algebraclass.ru

Скорочення алгебраїчних дробів правило

Скорочення алгебраїчних дробів

Нове поняття в математиці рідко виникає "з нічого", "на порожньому місці". Воно виникає тоді, як у ньому відчувається об'єктивна необхідність. Саме так з'явилися у математиці негативні числа, Так з'явилися звичайні та десяткові алгебраїчного дробу.

Передумови запровадження нового поняття «алгебраїчна дріб» ми маємо. Повернімося до § 12. Обговорюючи там поділ одночлена на одночлен, ми розглянули ряд прикладів. Виділимо два з них.

1. Розділити одночлен 36а 3 b 5 на одночлен 4ab 2 (див. приклад 1в) §12).
Вирішували ми його так. Замість запису 36а 3 b 5: 4аb 2 використовували межу дробу:

Це дозволило замість записів 36: 4, а 3: а, b 5: b 2 також використовувати межу дробу, що зробило рішення приклад наочнішим:

2. Розділити одночлен 4x3 на одночлен 2ху (див. приклад 1 д) з § 12). Діючи за тим самим зразком, ми отримали:

У § 12 ми зазначили, що одночлен 4x3 не вдалося поділити на одночлен 2ху так, щоб вийшов одночлен. Але ж математичні моделіреальні ситуації можуть містити операцію поділу будь-яких одночленів, не обов'язково таких, що один ділиться на інший. Передбачаючи це, математики запровадили нове поняття - поняття алгебраїчного дробу. Зокрема, алгебраїчний дріб. Тепер повернемося до § 18. Обговорюючи операцію поділу багаточлена на одночлен, ми зазначили, що вона не завжди здійсненна. Так, у прикладі 2 з § 18 йшлося про поділ двочлена 6х3 - 24x2 на одночлен 6х2. Ця операція виявилася здійсненною і в результаті ми отримали двочлен х - 4. Значить, Іншими словами, вираз алгебри вдалося замінити більш простим виразом- багаточлен х - 4.

У той же час у прикладі 3 з § 18 не вдалося розділити багаточлен 8a 3 + Ьа 2b — b на 2а 2 , тобто вираз не вдалося замінити більш простим виразом, довелося так і залишити його у вигляді дробу алгебри.

Що ж до операції поділу багаточлена на багаточлен, то ми про неї практично нічого не говорили. Єдине, що ми можемо зараз сказати: один багаточлен можна розділити на інший, якщо цей інший багаточлен є одним із множників у розкладанні першого багаточлена на множники.

Наприклад, х 3 - 1 = (х - 1) (х 2 + х + 1). Значить, х 3 - 1 можна поділити на х 2 + х + 1, вийде х - 1; х 3 - 1 можна розділити на х - 1,

вийде х 2+х+1.
багаточленів Р та Q. При цьому використовують запис
де Р - чисельник, Q - знаменник дробу алгебри.
Приклади алгебраїчних дробів:

Іноді алгебраїчну дріб вдається замінити на багаточлен. Наприклад, як ми вже встановили раніше,

(багаточлен 6x3 - 24x2 вдалося розділити на 6x2, при цьому в приватному виходить x - 4); ми також зазначали, що

Але так буває порівняно рідко.

Втім, схожа ситуація вже зустрічалася вам - щодо звичайних дробів. Наприклад, дріб - можна замінити цілим числом 4, а дріб - цілим числом 5. Однак дріб - цілим числом замінити не вдається, хоча цей дріб можна скоротити, розділивши чисельник і знаменник на число 8 - загальний множник чисельника і знаменника:
Так само можна скорочувати дроби алгебри, розділивши одночасно чисельник і знаменник дробу на їх загальний множник. А для цього треба розкласти і чисельник, і знаменник дробу на множники. Тут нам і знадобиться все те, що ми так довго обговорювали у цьому розділі.

приклад. Скоротити алгебраїчну дріб:

Рішення, а) Знайдемо спільний множник для одночленів
12х 3 у 4 і 8х 2 у 5 так, як ми робили в § 20. Отримаємо 4х 2 у 4 . Тоді 12x3y4 = 4x2y4Зх; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2у.
Значить,

Чисельник та знаменникзаданого дробу алгебри скоротили на загальний множник 4х 2 у 4 .
Рішення цього прикладу можна записати інакше:

б) Щоб скоротити дріб, розкладемо його чисельник та знаменник на множники. Отримаємо:

(Дроб скоротили на загальний множник а + b).

А тепер поверніться до зауваження 2 з § 1. Бачите, цю там обіцянку ми нарешті змогли виконати.
в) Маємо:

(Скоротили дріб на загальний множник чисельника і знаменника, тобто на х (x - у))

Отже, щоб скоротити алгебраїчну до дріб, потрібно передусім розкласти на множники її чисельник і знаменник. Так що ваш успіх у цій новій справі (скорочення алгебраїчних дробів) в основному залежить від того, як ви засвоїли матеріал попередніх параграфів цього розділу.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Якщо у вас є виправлення чи пропозиції до даному уроку, Напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.

Скорочення дробів алгебри: правило, приклади.

Продовжуємо вивчення теми перетворення алгебраїчних дробів. У цій статті ми докладно зупинимося на скорочення алгебраїчних дробів. Спочатку розберемося, що розуміють під терміном «скорочення дробу алгебри», і з'ясуємо, чи завжди алгебраїчна дроб скоротима. Далі наведемо правило, що дозволяє проводити це перетворення. Нарешті, розглянемо рішення характерних прикладів, які дозволять усвідомити все тонкощі процесу.

Навігація на сторінці.

Що означає скоротити алгебраїчну дріб?

Вивчаючи звичайні дроби, ми говорили про їхнє скорочення. Скороченням звичайного дробу ми назвали розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. Наприклад, звичайний дріб 30/54 можна скоротити на 6 (тобто розділити на 6 його чисельник і знаменник), що призведе нас до дробу 5/9 .

Під скороченням дробу алгебри розуміють аналогічну дію. Скоротити алгебраїчну дріб– це означає розділити її чисельник та знаменник на загальний множник. Але якщо загальним множником чисельника і знаменника звичайного дробу може бути тільки число, то загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може бути многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчний дріб можна скоротити на число 3, що дасть дріб . Також можна виконати скорочення на змінну x , що призведе до виразу . Вихідний алгебраїчну дріб можна піддати скорочення на одночлен 3 x, а також на будь-який з багаточленів x + 2 x, 3 x 6 y, x 2 +2 x або y 3 x 2 +6 x y.

Остаточна метаскорочення алгебраїчного дробу полягає в отриманні дробу більш простого виду, найкращому випадку- Нескоротного дробу.

Чи будь-який алгебраїчний дріб підлягає скороченню?

Нам відомо, що звичайні дроби поділяються на скорочені та нескоротні дроби. Нескоротні дроби не мають відмінних від одиниці загальних множників у чисельнику та знаменнику, отже, не підлягають скороченню.

Алгебраїчні дроби також можуть мати спільні множникичисельника та знаменника, а можуть і не мати. За наявності загальних множників можливе скорочення дробу алгебри. Якщо ж загальних множників немає, то спрощення алгебраїчного дробу за допомогою його скорочення неможливе.

У загальному випадкупо зовнішньому виглядуалгебраїчної дробу досить складно визначити, чи можливо виконати її скорочення. Безперечно, у деяких випадках загальні множники чисельника та знаменника очевидні. Наприклад, добре видно, що чисельник і знаменник дробу алгебри мають загальний множник 3 . Також неважко помітити, що алгебраїчну дріб можна скоротити на x, на y або відразу на x y. Але набагато частіше загального множника чисельника і знаменника алгебраїчного дробу відразу не видно, а ще частіше його просто немає. Наприклад, дріб можна скоротити на x−1 , але це загальний множник явно немає у записи. А алгебраїчний дріб скоротити неможливо, оскільки її чисельник і знаменник немає спільних множників.

Загалом питання про скоротливість алгебраїчного дробу дуже непросте. І часом простіше вирішити завдання, працюючи з алгебраїчним дробом у вихідному вигляді, ніж з'ясувати, чи можна цей дріб попередньо скоротити. Але все ж таки існують перетворення, які в деяких випадках дозволяють з відносно невеликими зусиллями знайти загальні множники чисельника і знаменника, якщо такі є, або зробити висновок про нескоротність вихідного дробу алгебри. Ця інформація буде розкрита у наступному пункті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Інформація попередніх пунктів дозволяє природним чиномсприйняти наступне правило скорочення алгебраїчних дробів, Що складається з двох кроків:

спочатку знаходяться загальні множники чисельника та знаменника вихідного дробу;
якщо такі є, проводиться скорочення на ці множники.

Зазначені кроки озвученого правила потребують роз'яснення.

Самий зручний спосібЗнаходження загальних полягає в розкладанні на множники многочленів, що знаходяться в чисельнику і знаменнику вихідного алгебраїчного дробу. При цьому одразу стають видні загальні множники чисельника і знаменника, або стає видно, що загальних множників немає.

Якщо загальних множників немає, можна робити висновок про нескоротність алгебраїчної дробу. Якщо ж загальні множники виявлено, то на другому етапі вони скорочуються. В результаті виходить новий дріб більш простого вигляду.

В основі правила скорочення алгебраїчних дробів лежить основна властивість дробу алгебри, яке виражається рівністю , де a, b і c - деякі многочлени, причому b і c - ненульові. На першому кроці вихідний алгебраїчний дріб приводиться до виду, з якого стає видно загальний множник c, а на другому кроці виконується скорочення - перехід до дробу.

Переходимо до вирішення прикладів із використанням цього правила. На них ми і розберемо всі можливі нюанси, що виникають при розкладанні чисельника і знаменника дробу алгебри на множники і подальшому скороченні.

Характерні приклади

Для початку слід сказати про скорочення алгебраїчних дробів, чисельник і знаменник яких однакові. Такі дроби тотожно рівні одиниці на всій ОДЗ змінних, що входять до неї, наприклад,
і т.п.

Тепер не завадить згадати, як виконується скорочення звичайних дробів – адже вони є окремим випадком алгебраїчних дробів. Натуральні числа в чисельнику та знаменнику звичайного дробу розкрадаються на прості множники, після чого загальні множники скорочуються (за наявності). Наприклад, . Добуток однакових простих множників можна записувати у вигляді ступенів, а при скороченні користуватися властивістю поділу ступенів однаковими підставами. У цьому випадку рішення виглядало б так: тут ми чисельник і знаменник розділили на загальний множник 2 2 ·3 . Або для більшої наочності на підставі властивостей множення та поділу рішення подають у вигляді.

За абсолютно аналогічними принципами проводиться скорочення дробів алгебри, в чисельнику і знаменнику яких знаходяться одночлени з цілими коефіцієнтами.

Скоротіть алгебраїчну дріб .

Можна уявити чисельник і знаменник вихідного алгебраїчного дробу у вигляді добутку простих множників та змінних, після чого провести скорочення:

Але раціональніше рішення записати у вигляді виразу зі ступенями:

Щодо скорочення алгебраїчних дробів, що мають дробові числові коефіцієнтиу чисельнику і знаменнику, можна поступати двояко: або окремо виконувати розподіл цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбавлятися від дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на деяке натуральне число. Про останнє перетворення ми говорили у статті приведення алгебраїчної дробу до нового знаменника, його можна проводити через основну властивість алгебраїчного дробу. Розберемося з цим на прикладі.

Виконайте скорочення дробу.

Можна скоротити дріб так: .

А можна було попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто, на НОК (5, 10) = 10 . У цьому випадку маємо .

Можна переходити до алгебраїчних дробів загального вигляду, у яких у чисельнику та знаменнику можуть бути як числа та одночлени, так і багаточлени.

При скороченні таких дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності потрібно чисельник і знаменник дробу алгебри розкласти на множники.

Скоротіть раціональний дріб .

Для цього розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Почнемо з винесення за дужки: . Очевидно, вирази у дужках можна перетворити, використовуючи формули скороченого множення: . Тепер добре видно, що можна провести скорочення дробу на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо це .

Коротке рішеннябез пояснень зазвичай записують у вигляді ланцюжка рівностей:

Іноді загальні множники можуть бути приховані числовими коефіцієнтами. Тому при скороченні раціональних дробівдоцільно числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Скоротіть дріб , якщо це можливо.

На перший погляд чисельник та знаменник не мають спільного множника. Але все ж таки, спробуємо виконати деякі перетворення. По-перше, можна винести за дужки множник x у чисельнику: .

Тепер проглядається деяка схожість виразу в дужках і вирази у знаменнику за рахунок x 2 · y. Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

Після виконаних перетворень видно загальний множник, який і проводимо скорочення. Маємо

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів зауважимо, що успіх багато в чому залежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

www.cleverstudents.ru

Математика

Рядок навігації

Скорочення алгебраїчних дробів

Спираючись на вищевказану властивість, ми можемо спрощувати алгебраїчні дроби так само, як це роблять з арифметичними дробамискорочуючи їх.

Скорочення дробів у тому, що чисельника і знаменника дроби ділять одне й те число.

Якщо алгебраїчна дріб одночленна, то чисельник і знаменник представляється у вигляді добутку кількох множників, і відразу видно, на які однакові числа їх можна розділити:

Той самий дріб ми можемо написати докладніше: . Ми, що послідовно можна ділити і чисельника і знаменника 4 десь у a , т. е. зрештою розділити кожного їх на a 4 . Тому; також і т. п. Отже, якщо в чисельнику та знаменнику є множниками різні ступеніоднієї і тієї ж літери, то можна скоротити цей дріб на менший ступінь цієї літери.

Якщо дріб багаточленний, то доводиться спочатку ці багаточлени розкласти, якщо можливо, на множники, і тоді з'явиться можливість побачити, які однакові множники можна ділити і чисельника і знаменника.

…. чисельник легко розкладається на множники «за формулою» – він є квадратом різниці двох чисел, саме (x – 3) 2 . Знаменник до формул не підходить і доведеться його розкладати прийомом, що вживається для квадратного тричлена: знайдемо 2 числа, так, щоб їх сума дорівнювала –1 та їх добуток = –6, – ці числа суть –3 та + 2; тоді x 2 - x - 6 = x 2 - 3x + 2x - 6 = x (x - 3) + 2 (x - 3) = (x - 3) (x + 2).

Поняття алгебраїчного дробу

Почнемо з визначення. Під алгебраїчним дробомрозуміється вирази P/Q, де P є чисельником, а Q - знаменником. Під літерним записом може ховатися число, числове вираз, чисельно-літерний вираз.

Перш ніж ставити питання, як вирішувати алгебраїчні дроби, для початку потрібно розуміти, що подібний вираз- Частина цілого.

Як правило, ціле – це 1. Число у знаменнику показує, на скільки частин розділили одиницю. Чисельник необхідний у тому, щоб дізнатися, скільки елементів взято. Дробова характеристика відповідає знаку поділу. Допускається запис дробового виразуяк математичну операцію «Поділ». У такому разі чисельник – ділене, знаменник – дільник.

Основне правило звичайних дробів

Коли учні проходять цю темуу школі їм дають приклади на закріплення. Щоб правильно їх вирішувати і знаходити різні шляхи з складних ситуацій, Необхідно використовувати основну властивість дробів.

Воно звучить так: Якщо помножити і чисельник, і знаменник на те саме число чи вираз (відмінні від нуля), то значення звичайного дробу не зміниться. Приватним випадком від цього правила є поділ обох частин виразу на те саме число або многочлен. Подібні перетворення називаються тотожними рівностями.

Нижче буде розглянуто, як вирішувати додавання та віднімання алгебраїчних дробів, виробляти множення, розподіл і скорочення дробів.

Математичні операції з дробами

Розглянемо, як вирішувати, основна властивість дробу алгебри, як застосовувати його на практиці. Якщо потрібно перемножити два дроби, скласти їх, розділити один на інший або зробити віднімання, потрібно завжди дотримуватися правил.

Так, для операції додавання та віднімання слід знайти додатковий множник, щоб привести вирази до спільного знаменника. Якщо спочатку дроби дано з однаковими виразами Q, потрібно опустити цей пункт. Коли спільний знаменникзнайдено, як вирішувати алгебраїчні дроби? Потрібно скласти чи відняти чисельники. Але! Потрібно пам'ятати, що за наявності знака "-" перед дробом усі знаки в чисельнику змінюються на протилежні. Іноді не слід проводити будь-які підстановки та математичних операцій. Достатньо поміняти знак перед дробом.

Часто використовується таке поняття, як скорочення дробів. Це означає наступне: якщо чисельник і знаменник розділити на відмінне від одиниці вираз (однакове обох частин), то виходить новий дріб. Подільне і дільник менше колишніх, але з основного правила дробів залишаються рівними первісному прикладу.

Метою цієї операції є отримання нового нескоротного виразу. Вирішити дане завданняможна, якщо скоротити чисельник та знаменник на найбільший спільний дільник. Алгоритм операції складається з двох пунктів:

Знаходження НОД для обох частин дробу.
Розподіл чисельника та знаменника на знайдений вираз та отримання нескоротного дробу, що дорівнює попередньому.

Нижче показано таблицю, в якій розписані формули. Для зручності її можна роздрукувати та носити із собою у зошиті. Однак, щоб у майбутньому при вирішенні контрольної або іспиту не виникло труднощів у питанні, як вирішувати дроби алгебри, зазначені формули потрібно вивчити напам'ять.

Декілька прикладів з рішеннями

З теоретичного погляду розглянуто питання, як вирішувати алгебраїчні дроби. Приклади, наведені у статті, допоможуть краще засвоїти матеріал.

1. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

2. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

Після вивчення теоретичної частини та розглянути практичної питаньбільше виникнути не повинно.

Засноване на їхній основній властивості: якщо чисельник і знаменник дробу розділити на той самий ненульовий багаточлен, то вийде рівний їй дріб.

Скорочувати можна лише множники!

Члени багаточленів скорочувати не можна!

Розглянемо приклади скорочення дробів.

Числа скорочуємо на їхній найбільший спільний дільник, тобто на найбільше число, на яке ділиться кожне з цих чисел. Для 24 та 36 це – 12. Після скорочення від 24 залишається 2, від 36 – 3.

Ступені скорочуємо на ступінь із найменшим показником. Скоротити дріб — значить, розділити чисельник і знаменник на той самий дільник, а показники віднімаємо.

b та b скорочуємо на b, отримані в результаті одиниці не пишемо.

c³º та с⁵ скорочуємо на с⁵. Від c³º залишається c²⁵, від с⁵ — одиниця (її не пишемо). Таким чином,

Чисельник і знаменник даного дробу алгебри — багаточлени. Скорочувати члени багаточленів не можна! (Не можна скоротити, наприклад, 8x² і 2x!). Щоб скоротити цей дріб, треба . У чисельнику є загальний множник 4x. Виносимо його за дужки:

Скорочувати можна лише множники (скоротити цей дріб на 25x² не можна!). Тому багаточлени, які стоять у чисельнику та знаменнику дробу, потрібно розкласти на множники.

У чисельнику - повний квадрат суми, у знаменнику - різниця квадратів. Після розкладання за формулами скороченого множення отримуємо:

У чисельнику є загальний множник 2, винесемо його за дужки. У знаменнику - формула різниці кубів:

Багаточлен у чисельнику складається з 4 доданків. перший доданок з другим, третє - з четвертим і виносимо з перших дужок загальний множник x². Знаменник розкладаємо за формулою суми кубів:

У чисельнику винесемо за дужки загальний множник (x+2):

Скорочуємо дріб на (x+2):

Скорочення дробів потрібне для того, щоб привести дріб до більш простому вигляду, Наприклад, у відповіді отриманому в результаті рішення виразу.

Скорочення дробів, визначення та формула.

Що таке скорочення дробів? Що означає скоротити дріб?

Визначення:
Скорочення дробів– це поділ у дробу чисельник і знаменник на те саме додатне числоне рівне нулюта одиниці. У результаті скорочення виходить дріб з меншим чисельником і знаменником, що дорівнює попередньому дробу відповідно до .

Формула скорочення дробівосновної властивості раціональних чисел.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Розглянемо приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(9)(15)\)

Рішення:
Ми можемо розкласти дріб на прості множники та скоротити загальні множники.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Відповідь: після скорочення отримали дріб \(\frac(3)(5)\). За основною властивістю раціональних чисел первісний дроб, що вийшов, рівні.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Як скорочувати дроби? Скорочення дробу до нескоротного виду.

Щоб отримати в результаті нескоротний дріб, потрібно знайти найбільший спільний дільник (НДД)для чисельника та знаменника дробу.

Є кілька способів знайти НОД ми скористаємося у прикладі розкладанням чисел на прості множники.

Отримайте нескоротний дріб ((frac(48)(136))).

Рішення:
Знайдемо НОД (48, 136). Розпишемо числа 48 і 136 на прості множники.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Правило скорочення дробу до нескоротного виду.

Потрібно знайти найбільший спільний дільник для чисельників та знаменників.
Потрібно поділити чисельник та знаменник на найбільший спільний дільник у результаті розподілу отримати нескоротний дріб.

Приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(152)(168)\).

Рішення:
Знайдемо НОД (152, 168). Розпишемо числа 152 та 168 на прості множники.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Відповідь: \(\frac(19)(21)\) нескоротний дріб.

Скорочення неправильного дробу.

Як скоротити не правильний дріб?
Правила скорочення дробів для правильних та неправильних дробів однакові.

Розглянемо приклад:
Скоротіть неправильний дріб \(\frac(44)(32)\).

Рішення:
Розпишемо на прості множники чисельник та знаменник. А потім загальні множники скоротимо.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Скорочення змішаних дробів.

Змішані дроби за тими самими правилами як і звичайні дроби. Різниця лише в тому, що ми можемо цілу частину не чіпати, а дробову частинускоротитиабо змішаний дрібперевести в неправильний дріб, скоротити і перевести назад у правильний дріб.

Розглянемо приклад:
Скоротіть змішаний дріб \(2\frac(30)(45)\).

Рішення:
Вирішимо двома способами:
Перший спосіб:
Розпишемо дробову частину на прості множники, а цілу частину не чіпатимемо.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Другий спосіб:
Переведемо спочатку в неправильний дріб, а потім розпишемо на прості множники і скоротимо. Отриманий неправильний дріб переведемо в правильний.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Питання на тему:
Чи можна скорочувати дроби при складанні чи відніманні?
Відповідь: ні, потрібно спочатку скласти або відняти дроби за правилами, а потім скорочувати. Розглянемо приклад:

Обчисліть вираз \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Рішення:
Часто припускаються помилки скорочуючи однакові числа в чисельнику і знаменнику в нашому випадку число 20, але їх скорочувати не можна поки не виконайте додавання і віднімання.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

На які числа можна скорочувати дріб?
Відповідь: можна скорочувати дріб на найбільший спільний дільник або звичайний дільник чисельника та знаменника. Наприклад, дріб \(\frac(100)(150)\).

Розпишемо на прості множники числа 100 та 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Найбільшим спільним дільником буде число НОД(100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Отримали нескоротний дріб \(\frac(2)(3)\).

Але необов'язково завжди ділити на НОД не завжди потрібний нескоротний дріб, можна скоротити дріб на простий дільник чисельника та знаменника. Наприклад, у числа 100 та 150 загальний дільник 2. Скоротимо дріб ((frac(100)(150)) на 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Отримали скоротитий дріб ((frac(50)(75))).

Які дроби можна скорочувати?
Відповідь: можна скорочувати дроби у яких чисельник і знаменник мають спільний дільник. Наприклад, дріб \(\frac(4)(8)\). У числа 4 і 8 є число, на яке обидва діляться це число 2. Тому такий дріб можна скоротити на число 2.

Приклад:
Порівняйте два дроби \(\frac(2)(3)\) і \(\frac(8)(12)\).

Ці два дроби рівні. Розглянемо докладно дріб \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Звідси отримуємо, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Два дроби рівні тоді і лише тоді, коли один з них отриманий шляхом скорочення іншого дробу на загальний множник чисельника і знаменника.

Приклад:
Скоротіть якщо можливо такі дроби: а) \(\frac(90)(65)\) б) \(\frac(27)(63)\) в) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)

Рішення:
а) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) нескоротний дріб
г) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ times 5)=\frac(2)(5)\)

Дроби та їх скорочення – ще одна тема, яка починається у 5 класі. Тут формується база цієї дії, а потім ці вміння тягнуться ниточкою в вищу математику. Якщо учень не засвоїв, то у нього можуть виникнути проблеми в алгебрі. Тому краще усвідомити кілька правил раз і назавжди. А ще запам'ятати одну заборону і ніколи її не порушувати.

Дроб та її скорочення

Що це таке знає кожен учень. Будь-які дві цифри розташовані між горизонтальною межею відразу сприймаються, як дріб. Однак не всі розуміють, що нею може стати будь-яка кількість. Якщо воно ціле, його завжди можна розділити на одиницю, тоді вийде неправильний дріб. Але про це згодом.

Початок завжди простий. Спочатку потрібно з'ясувати, як скоротити правильний дріб. Тобто таку, яка має чисельник менше, ніж знаменник. Для цього потрібно згадати основну властивість дробу. Воно стверджує, що з множенні (як і, розподілі) одночасно її чисельника і знаменника на однакове числовиходить, рівноцінний вихідний дріб.

Дії поділу, які виконуються у цій властивості та призводять до скорочення. Тобто максимальному її спрощенню. Дроб можна скорочувати доти, поки над рисою і під нею є спільні множники. Коли їх уже не буде, то скорочення неможливе. І кажуть, що цей дріб нескоротний.

Два способи

1.Покрокове скорочення.У ньому використовується метод прикидки, коли обидва числа поділяються на мінімальний загальний множник, який помітив учень. Якщо після першого скорочення видно, що це не кінець, то поділ триває. Поки що дріб не стане нескоротним.

2. Знаходження найбільшого спільного дільникау чисельника та знаменника.Це самий раціональний спосібтого, як скорочувати дроби. Він має на увазі розкладання чисельника та знаменника на прості множники. Серед них потім потрібно вибрати однакові. Їхній твір дасть найбільший загальний множник, на який скорочується дріб.

Обидва ці способи рівноцінні. Учню пропонується освоїти їх та користуватися тим, який більше сподобався.

Що робити, якщо є букви та дії додавання та віднімання?

З першою частиною питання все більш-менш зрозуміло. Літери можна скорочувати так само, як і числа. Головне, щоб вони виступали у ролі множників. А ось з другого у багатьох виникають проблеми.

Важливо запам'ятати! Скорочувати можна лише числа, які є множниками. Якщо вони доданки — не можна.

Для того щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, що мають вигляд алгебраїчного виразу, Треба засвоїти правило. Спочатку уявити чисельник і знаменник у вигляді твору. Потім можна скорочувати, якщо з'явилися спільні множники. Для представлення у вигляді множників стануть у нагоді такі прийоми:

угруповання;
винесення за дужку;
застосування тотожностей скороченого множення.

Причому останній спосібдає можливість відразу отримати доданки у вигляді множників. Тому його необхідно використовувати завжди, якщо помітна відома закономірність.

Але це ще не страшно, потім з'являються завдання зі ступенями та корінням. Ось тоді потрібно набратися сміливості та засвоїти пару нових правил.

Вираз зі ступенем

Дріб. У чисельнику та знаменнику твір. Є літери та числа. А вони ще й зведені в ступінь, який теж складається з доданків або множників. Є що злякатися.

Для того щоб розібратися в тому, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно вивчити два моменти:

якщо у показнику ступеня коштує сума, то її можна розкласти на множники, ступенями яких будуть вихідні доданки;
якщо різницю, то на ділене і дільник, у першого ступеня буде зменшуване, у другого — віднімається.

Після виконання цих дій стає видно загальні множники. У таких прикладах немає необхідності обчислювати всі ступені. Достатньо просто скоротити ступеня з однаковими показникамита підставами.

Для того, щоб остаточно засвоїти те, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно багато практикуватися. Після кількох однотипних прикладів дії виконуватимуться вже автоматично.

А якщо у виразі стоїть корінь?

Його також можна скоротити. Тільки знову ж таки, дотримуючись правил. Причому вірні всі, описані вище. Загалом, якщо стоїть питання про те, як скоротити дріб із корінням, то треба ділити.

на ірраціональні виразитеж можна поділити. Тобто якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові множники, укладені під знак кореня, їх можна сміливо скорочувати. Це призведе до спрощення виразу та виконання завдання.

Якщо після скорочення під межею дробу залишилася ірраціональність, то її потрібно позбутися. Інакше кажучи, помножити її у чисельник і знаменник. Якщо після цієї операції з'явилися спільні множники, їх знову потрібно буде скоротити.

Ось, мабуть, і все про те, як скорочувати дроби. Правил небагато, а заборона одна. Ніколи не скорочувати доданки!