Стохастичні процеси. Стохастичні, розбіжні та схожі процеси

Це процес, поведінка якого не є детермінованим, і подальший стан такої системи описується як величинами, які можуть бути передбачені, так і випадковими. Однак, за М. Кацу та Е. Нельсоном, будь-який розвиток процесу в часі (неважливо, детерміноване або ймовірнісне) при аналізі в термінах ймовірностей буде випадковим процесом (іншими словами, всі процеси, що мають розвиток у часі, з точки зору теорії ймовірностей, стохастичні ).

Стохастичність у математиці

Використання терміна стохастичністьв математиці відносять до робіт Владислава Борцкевича, який використовував його у значенні висувати гіпотези, яке, у свою чергу, відсилає нас до давньогрецьких філософів, а також до роботи Я. Бернуллі Ars Conjectandi (лат. мистецтво загадувати).

Область досліджень випадкових у математиці, особливо у теорії ймовірностей, відіграє велику роль.

Використання методів Монте-Карло вимагає великої кількості випадкових величин, що, як наслідок, призвело до розвитку

Слово стохастичний використовується математиками та фізиками для опису процесів, у яких є елемент випадковості. Воно походить безпосередньо від грецького слова«Атоааізеоа». У етики Аристотеля це слово використовується у сенсі «здатності вгадувати». Математики застосували це слово, мабуть, на тій підставі, що при необхідності вгадувати з'являється елемент випадковості. У «Новому міжнародному словнику» Вебстер слово стохастичний визначено як імовірний. Ми, таким чином, зауважуємо, що технічне значення цього слова не знаходиться в точній відповідності до його лексичного (словникового) визначення. У тому сенсі, як і «стохастичний процес», деякі автори користуються виразом «випадковий процес». Надалі ми говоритимемо про процеси і сигнали, які є суто випадковими, але містять у собі випадковість у тому чи іншою мірою. З цієї причини ми віддаємо перевагу слову «стохастичний».

Мал. 3.1-1. Порівняння типового стохастичного та передбачуваного сигналів.

На рис. 3.1-1 порівнюються прості формиколивань стохастичного та регулярного сигналів. Якщо повторити експеримент із виміру стохастичного сигналу, ми отримаємо коливання нової форми, відмінною від попередньої, але все ще виявляє деяку подібність у характерних рисах. Запис коливань хвиль океану

є ще одним прикладом стохастичного сигналу. Чому необхідно говорити про ці, досить незвичайні, стохастичні сигнали? Відповідь на це питання засноване на тому факті, що вхідні сигнали систем автоматики часто не є цілком передбачуваними подібно до синусоїди або найпростішого перехідного процесу. Насправді стохастичні сигнали зустрічаються при дослідженнях автоматичних систем частіше, ніж передбачувані сигнали. Проте та обставина, що передбачувані сигнали мають велике значеннядо теперішнього часу, не є серйозним недоглядом. Дуже часто можна дійти прийнятної методики, підбираючи сигнали з класу передбачуваних сигналів так, щоб відобразити характерні особливості істинного сигналу, що є за своєю стохастичним природою. Прикладом такого роду є використання кількох відповідно підібраних синусоїд з метою подати стохастичні змінимоментів, що зумовлюють хитавицю, в задачі про стійкість корабля. З іншого боку, ми зустрічаємо такі завдання, у яких уявлення істинного стохастичного сигналу з допомогою передбачуваної функції дуже складно. Як перший приклад розглянемо схему системи автоматичного стеження за метою та управління вогнем. Тут навідний пристрій радіолокації вимірює помилку наведення не точно, а тільки приблизно. Різницю між істинною помилкою наведення і тим, що вимірює радіолокатор, часто називають шумом радіолокації. Зазвичай дуже важко апроксимувати радіолокаційний шум кількома синусоїдами чи іншими простими функціями. Іншим прикладом є плетіння текстильних волокон. У процесі плетіння з безладно заплутаних зв'язок волокна (пряжів, що називаються) витягується нитка. Товщину нитки, у певному сенсі, можна розглядати як вхідний сигналпри регулюванні процесу плетіння. Відхилення в цьому процесі відбуваються через зміну числа і товщини окремих волокон у різних ділянках пряжі, що переплітаються. Очевидно, цей тип відхилень є за своєю стохастичним, і його важко апроксимувати будь-якими регулярними функціями.

Попередні міркування показують, що стохастичні сигнали щодо систем регулювання грають важливу роль. Поки що ми говорили про стохастичні сигнали як про сигнали, викликані процесами, що містять деякий елемент випадковості. Щоб перейти до подальшого, ми маємо уточнити поняття про такі сигнали. Сучасна фізика, особливо квантова механіка, вчить, що все фізичні процесипри детальному дослідженні

виявляються розривними та недетермінованими. Закони класичної механікизамінюються статистичними законами, заснованими на ймовірності подій. Наприклад, ми зазвичай вважаємо напругу коливань, що виникають на екрані вакуумної трубки осцилографа, гладкою функцією. Однак ми знаємо, що якщо досліджувати ці коливання за допомогою мікроскопа, вони не виглядатимуть настільки гладко через дробовий шум у трубці, що супроводжує збудження коливань. Після деякого міркування неважко схилитися до того, що всі сигнали у природі є стохастичними. Хоча спочатку ми припустили, що в порівнянні з синусоїдою або функцією одиничного стрибка стохастичний сигнал є відносно абстрактним поняттям, Але насправді вірніше протилежне: синусоїда, функція одиничного стрибка і взагалі регулярні сигнали являють абстракцію. Однак, подібно до евклідової геометрії, - це корисна абстракція.

Стохастичний сигнал може бути представлений графічно наперед заданим чином, оскільки він обумовлений процесом, що містить елемент випадковості. Ми не можемо сказати, яка величина стохастичного сигналу в майбутній моментчасу. Про стохастичне сигналі у майбутній час можна сказати лише яка ймовірність, що його величина потрапляє у певний інтервал. Ми, таким чином, бачимо, що поняття функції стохастичного сигналу і регулярного сигналу зовсім різні. Для регулярної змінної величиниідея функції має на увазі певну залежністьзмінною від її аргументу. З кожною величиною аргументу ми пов'язуємо одне чи кілька значень змінної. Що стосується стохастичної функції ми можемо пов'язати єдиним чином величину змінної з деяким приватним значенням аргументу. Все, що ми можемо зробити - це пов'язати з окремими значеннями аргументу деякі розподіли ймовірності. У певному сенсівсі регулярні сигнали є тим граничним випадком стохастичних сигналів, коли розподілу ймовірності мають високими піками, Отже невизначеність положення змінної для приватної величини аргументу дорівнює нулю. На перший погляд, стохастична змінна може здатися настільки невизначеною, що її аналітичний розгляд неможливий. Однак ми побачимо, що аналіз стохастичних сигналів може бути проведений за допомогою функцій щільності ймовірності та інших статистичних характеристик, таких як середні величини, середньоквадратичні величини та функції кореляції. Зважаючи на статистичної природи стохастичні сигнали найчастіше зручно вважати елементами безлічі сигналів, кожен з яких обумовлений одним і тим же процесом. Ця множина сигналів називається ансамблем. Поняття ансамблю для стохастичних сигналів відповідає поняттю населення статистиці. Характеристики стохастичного сигналу

ставляться зазвичай до ансамблю, а чи не до приватного сигналу ансамблю. Таким чином, коли ми говоримо про певні властивості стохастичного сигналу, зазвичай розуміємо, що цими властивостями володіє ансамбль. Загалом неможливо вважати, що окремий стохастичний сигнал має довільні властивості(З можливим винятком несуттєвих властивостей). У наступному параграфі ми обговоримо важливий виняток із цього загального правила.

Тимчасові ряди. Тимчасовий ряд - це безліч спостережень, що генеруються послідовно в часі. Якщо час безперервний, тимчасово ряд називається безперервним. Якщо час змінюється дискретно, тимчасовий ряд дискретний. Спостереження дискретного часового ряду, зроблені в моменти часу, можуть бути позначені через . У цій книзі розглядаються лише дискретні часові ряди, у яких спостереження робляться через фіксований інтервал. Коли є послідовні значення такого ряду, доступних для аналізу, ми пишемо , позначаючи так спостереження, зроблені в рівновіддалені моменти часу. У багатьох випадках значення не важливі, але якщо необхідно точно визначити часи спостережень, потрібно вказати ці два значення. Якщо ми беремо початок і одиницю часу, ми можемо розглядати як спостереження на момент часу .

Дискретні часові лави можуть з'являтися двома шляхами.

1) Вибіркою з безперервних часових рядів, наприклад, у ситуації, показаній на рис. 1.2 де значення безперервних входу і виходу газової печі зчитуються з інтервалом 9 с.

2) Нагромадженням змінної протягом деякого періоду часу; прикладами можуть бути дощові опади, які зазвичай накопичуються за такі періоди, як день або місяць, або вихід партій продукту, що накопичується за час циклу. Наприклад, на рис. 2.1 показаний часовий ряд, що складається зі значень виходу 70 послідовних партій продукту хімічного процесу.

Мал. 2.1 Вихід 70 послідовних партій продукту хімічного процесу .

Детерміновані та випадкові часові ряди. Якщо майбутні значення тимчасового ряду точно визначені будь-якою математичною функцієюнаприклад такий, як

,

тимчасовий ряд називають детермінованим. Якщо майбутні значення можуть бути описані тільки за допомогою розподілу ймовірностей, тимчасовий ряд називають недетермінованим або просто випадковим. Дані про партії продукту на рис. 2.1 – це приклад випадкового часового ряду. Хоча у цьому ряду є чітка тенденція до чергування «вгору-вниз», неможливо точно передбачити вихід наступної партії. У цій книзі ми досліджуватимемо саме такі випадкові часові ряди.

Стохастичні процеси. Статичне явище, що розвивається у часі згідно із законами теорії ймовірності, називається стохастичним процесом. Ми часто називатимемо його просто процесом, опускаючи слово «стохастичний». Часовий ряд, що підлягає аналізу, може бути розглядатися як одна приватна реалізація системи, що вивчається, генерована прихованим імовірнісним механізмом. Іншими словами, аналізуючи часовий ряд, ми розглядаємо його як реалізацію стохастичного процесу.

Мал. 2.2 Спостережений часовий ряд (жирна лінія) та інші часові ряди, що є реалізаціями одного й того ж стохастичного ряду.

Мал. 2. 3. Ізолінії щільності двовимірного розподілу ймовірності, що описує стохастичний процес в моменти часу і там же маргінальний розподіл в момент .

Наприклад, аналізую дані про вихід партії продукту на рис 2.1, ми можемо уявити інші безлічі спостережень (інші реалізації породжує ці спостереження стохастичного процесу), які можуть бути генеровані тією ж самою хімічною системою, за ті ж циклів. Приміром, на рис. 2.2 показані виходи партій продукту з (жирна лінія) разом з іншими тимчасовими рядами, які могли б бути отримані з популяції тимчасових рядів, що визначаються тим же стохастичним процесом. Звідси випливає, що ми можемо розглядати спостереження в даний час, скажімо , як реалізацію випадкової величини із щільністю ймовірності . із щільністю ймовірності .

Стохастичність (др.-грец. στόχος - ціль, припущення) означає випадковість. Стохастичний процес - це процес, поведінка якого не є детермінованим, і подальший стан такої системи описується як величинами, які можуть бути передбачені, так і випадковими. Однак, за М. Кацу та Е. Нельсоном, будь-який розвиток процесу в часі (неважливо, детерміноване або ймовірнісне) при аналізі в термінах ймовірностей буде стохастичним процесом (іншими словами, всі процеси, що мають розвиток у часі, з точки зору теорії ймовірностей, стохастичні ).

Прикладом реального стохастичного процесу у світі може бути моделювання тиску газу з допомогою Вінеровського процесу. Незважаючи на те, що кожна молекула газу рухається своїм суворо певним шляхом (в даній моделі, а не в реальному газі), рух сукупності таких молекул практично не можна прорахувати і передбачити. Досить великий набір молекул матиме стохастичними властивостями, такими як наповнення судини, вирівнювання тиску, рух у бік меншого градієнта концентрації і т. д. Таким чином проявляється емерджентність системи.

Метод Монте-Карло набув поширення завдяки фізикам Станіславу Уламу, Енріко Фермі, Джону фон Нейману та Ніколасу Метрополісу. Назва походить від казино в місті Монте Карло, Монако, де дядько Улама позичав гроші для гри. Використання природи випадковостей і повторів вивчення процесів аналогічно діяльності, що у казино.

Методи проведення розрахунків та експериментів на основі випадкових процесівяк форми стохастичного моделювання застосовувалися ще на зорі розвитку теорії ймовірностей (напр. завдання Буффона і роботах з оцінки малих вибірок Вільяма Госсета), але найбільше розвинулися в передкомп'ютерну еру. відмінною рисоюМетодів моделювання Монте-Карло є те, що спочатку йде пошук імовірнісного аналога (див. алгоритм імітації відпалу). До цього методи моделювання йшли в протилежному напрямку: моделювання використовувалося для того, щоб перевірити результат отриманої детермінованої проблеми. І хоча подібні підходиіснували раніше, вони були загальними і популярними до того часу, доки з'явився метод Монте-Карло.

Можливо, найвідоміше з ранніх застосувань подібних методів належить Енріко Фермі, який у 1930 році використовував стохастичні методи для розрахунку властивостей щойно відкритого нейтрона. Методи Монте-Карло широко використовувалися в ході роботи над манхеттенським проектом, незважаючи на те, що можливості обчислювальних машинбули дуже обмежені. Тому лише з появою комп'ютерів методи Монте-Карло почали широко поширюватися. У 1950-х їх використовує Лос-Аламоська національна лабораторія для створення водневої бомби. Широке поширенняметоди отримали в таких галузях, як Фізика, Фізична хіміята Дослідження операцій.

Використання методів Монте-Карло вимагає великої кількості випадкових величин, що, як наслідок, призвело до розвитку генераторів псевдовипадкових чисел, які були набагато швидшими, ніж табличні методи генерації, які раніше використовувалися для статистичної вибірки.

Вивчення статистичних закономірностей – найважливіша пізнавальне завданнястатистики, що вона вирішує з допомогою спеціальних методів, видозмінюються залежно від характеру вихідної інформації та цілей пізнання. Знання характеру та сили зв'язків дозволяє керувати соціально-економічними процесами та передбачати їх розвиток.

Серед багатьох форм зв'язків найважливішою є причинна, що визначає всі інші форми. Сутність причинності полягає у породженні одного явища іншим. Водночас причина сама по собі ще не визначає слідства, вона залежить також від умов, у яких протікає дія причини. Для виникнення слідства потрібні всі його чинники - причина і умови. Необхідна обумовленість явищ безліччю чинників називається детермінізмом.

Об'єктами дослідження при статистичному вимірі зв'язків є, як правило, детермінованість слідства факторами (причиною та умовами). Ознаки щодо їх значення для вивчення взаємозв'язку діляться на два класи. Ознаки, які є причиною зміни інших, пов'язаних із ними ознак, називають факторними або просто факторами. Ознаки, що змінюються під впливом факторних ознак, називають результативними.

Зв'язки між явищами та їх ознаками класифікують за рівнем тісноти зв'язку, напряму та аналітичного виразу.

Між різними явищами та їх ознаками необхідно, перш за все, виділити два типи зв'язків: функціональну (жорстко детерміновану) та статистичну (стохастично детерміновану).

Зв'язок ознаки "y" з ознакою "x" називається функціональним, якщо кожному можливому значенню незалежної ознаки"x" відповідає одне або кілька строго певних значеньзалежної ознаки "y". Визначення функціонального зв'язкуможе бути легко узагальнено для випадку багатьох ознак x 1 x 2 ... x n .

Характерною особливістюфункціональних зв'язків і те, що у кожному окремому випадку відомий повний перелік чинників, визначальних значення залежного (результативного) ознаки, і навіть точний механізм їхнього впливу, виражений певним рівнянням.

Функціональний зв'язок можна уявити рівнянням: y i = f (xi), де y i - результативна ознака (i = 1, ..., n); f(x i) - відома функціязв'язку результативної та факторної ознак; x i – факторна ознака.

Найчастіше функціональні зв'язки спостерігаються в явищах, що описуються математикою, фізикою та іншими точними науками. Мають місце функціональні зв'язки й у соціально-економічних процесах, але досить рідко (вони відбивають взаємозв'язок лише окремих сторін складних явищ суспільного життя). В економіці прикладом функціонального зв'язку може служити зв'язок між оплатою праці у і кількістю виготовлених деталей при простої відрядної оплати праці.

У реальному суспільному житті, через неповноту інформації жорстко детермінованої системиможе виникнути невизначеність, через яку ця система за своєю природою повинна розглядатися як імовірнісна, при цьому зв'язок між ознаками стає стохастичним.

Стохастичний зв'язок – це зв'язок між величинами, при якому одна з них, випадкова величинау, реагує зміну інший величини x чи інших величин x 1 ,x 2 ,...,x n , (випадкових чи невипадкових) зміною закону розподілу. Це обумовлюється тим, що залежна змінна (результативна ознака), окрім незалежних, що розглядаються, схильна до впливу низки неврахованих або неконтрольованих (випадкових) факторів, а також деяких неминучих помилок вимірювання змінних. Оскільки значення залежної змінної схильні до випадкового розкиду, вони можуть бути передбачені з достатньої точністю, лише зазначені з певною ймовірністю.

Характерною особливістю стохастичних зв'язків є те, що вони проявляються у всій сукупності, а не в кожній її одиниці (причому не відомий ні повний перелік факторів, що визначають значення результативної ознаки, ні точний механізм їхнього функціонування та взаємодії з результативною ознакою).

Модель стохастичного зв'язку може бути представлена ​​в загальному виглядірівнянням: ŷ i = f(x i) + ε i ,де ŷ i- Розрахункове значення результативної ознаки; f(x i) - частина результативної ознаки, що сформувалася під впливом врахованих відомих факторних ознак (одного або множини), що перебувають у стохастичному зв'язку з ознакою; ε i- Частина результативної ознаки, що виникла внаслідок дії неконтрольованих або неврахованих факторів, а також вимірювання ознак, що неминуче супроводжується деякими випадковими помилками.

Прояв стохастичних зв'язків схильний до дії закону великих чисел: лише достатньо великому числіодиниць індивідуальні особливостізгладяться, випадковості взаємопогасяться і залежність, якщо вона має суттєву силу, виявиться досить чітко.

У соціально-економічному житті доводиться зіштовхуватися з багатьма явищами, які мають імовірнісний характер. Наприклад, рівень продуктивності праці робітників стохастично пов'язаний з цілим комплексом факторів: кваліфікацією, стажем роботи, рівнем механізації та автоматизації виробництва, інтенсивністю праці, простоями, станом здоров'я працівника, його настроєм, атмосферним тискомта іншими. Повний перелік факторів визначити практично неможливо.

Приватним випадком стохастичного зв'язку є кореляційний зв'язок, при якому середнє значення (математичне очікування) випадкової величини результативної ознаки закономірно змінюється в залежності від зміни іншої величини х або інших випадкових величин x 1, x 2, ..., x n. Кореляційний зв'язок проявляється над кожному окремому випадку, а всієї сукупності загалом. Тільки при достатньо велику кількістьвипадків кожному значенню випадкової ознаки х відповідатиме розподіл середніх значень випадкової ознаки у. Наявність кореляційних зв'язків притаманна багатьом суспільним явищам.

Залежно від напряму дії функціональні та стохастичні зв'язки можуть бути прямими та зворотними. При прямому зв'язку напрям зміни результативного ознаки збігаються з напрямом зміни ознаки-фактора, тобто. зі збільшенням факторної ознаки збільшується і результативна, і навпаки, зі зменшенням факторної ознаки зменшується і результативна ознака. В іншому випадку між аналізованими величинами існують зворотні зв'язки. Наприклад, що стоїть кваліфікація робітника (розряд), то вище рівень продуктивність праці – пряма зв'язок. Чим вище продуктивність праці, тим нижча собівартість одиниці виробленої продукції – зворотний зв'язок.

За аналітичним виразом (формою) зв'язку можуть бути прямолінійними та нелінійними (криволінійними). При прямолінійному зв'язку зі зростанням значення факторної ознаки відбувається безперервне зростання (або спадання) значень результативної ознаки. Математично такий зв'язок є рівнянням прямою, а графічно - прямою лінією. Звідси її коротша назва - лінійний зв'язок.

При криволінійних зв'язкахзі зростанням значення факторної ознаки зростання (або спадання) результативної ознаки відбувається нерівномірно або напрям його зміни змінюється на зворотне. Геометрично такі зв'язки видаються кривими лініями (гіперболою, параболою тощо).

За кількістю факторів, що діють на результативну ознаку, зв'язки різняться однофакторні (один фактор) та багатофакторні (два і більше факторів). Однофакторні (прості) зв'язку зазвичай називаються парними (оскільки розглядається пара ознак). Наприклад, кореляційний зв'язок між прибутком та продуктивністю праці. Що стосується многофакторной (множинної) зв'язку мають у вигляді, що це чинники діють комплексно, тобто. одночасно і у взаємозв'язку, наприклад, кореляційний зв'язок між продуктивністю праці та рівнем організації праці, автоматизації виробництва, кваліфікації робітників, виробничим стажем, простоями та іншими факторними ознаками.

За допомогою множинної кореляціїможна охопити весь комплекс факторних ознак і об'єктивно відобразити існуючі численні зв'язки.

Розглянемо змінну, що підкоряється марківському стохастичному процесу. Припустимо, що її поточне значення дорівнює 10 а зміна протягом року описується функцією 0(0, 1), де а) - нормальний розподілймовірностей з математичним очікуванням// та стандартним відхиленням о. Який розподіл ймовірностей описує зміну цієї змінної протягом двох років?
Зміна змінної через два роки описується сумою двох нормальних розподілів із нульовими математичними очікуваннями та одиничними стандартними відхиленнями. Оскільки змінна є марківською, ці розподіли не залежать один від одного. Складаючи два незалежні нормальні розподіли, ми отримаємо нормальний розподіл, математичне очікування якого дорівнює сумі математичних очікувань кожного з доданків, а дисперсія - сумі їх дисперсій. Таким чином, математичне очікування змін аналізованої змінної протягом двох років дорівнює нулю, а дисперсія - 2,0. Отже зміна значення змінної через два роки є випадковою величиною з розподілом ймовірностей ф(0, %/2).
Розглянемо далі зміну змінної за шість місяців. Дисперсія змін цієї змінної протягом одного року дорівнює сумі дисперсій цих змін протягом перших та других шести місяців. Припустимо, що це дисперсії однакові. Тоді дисперсія змін змінної протягом шести місяців дорівнює 0,5, а стандартне відхилення – 1/0,5. Отже, розподіл ймовірностей зміни змінної протягом шести місяців дорівнює ф(0, \ДЩ)
Аналогічні міркування дозволяють довести, що зміна змінної протягом трьох місяців має розподіл 0(0, ^/0,25). Взагалі, зміна змінної протягом тимчасового періоду, що має довжину Т, описується розподілом ймовірностей ф(0, \[Т) Зокрема, зміна змінної за дуже короткий проміжок часу, що має довжину АТ, описується розподілом ймовірностей ф(0, л/ДТ) ).
Квадратне коріння в цих виразах може здатися дивним. Вони виникають через те, що з аналізі марківського процесу дисперсії змін змінної у послідовні моменти часу складаються, а стандартні відхилення - немає. У нашому прикладі дисперсія змін змінної протягом одного року дорівнює 1,0, тому дисперсія змін цієї змінної протягом двох років дорівнює 2,0 а через три роки3,0. У той же час стандартні відхилення
ня змін змінних через два і три роки рівні \/2 і \/3 відповідно. Строго кажучи, ми не повинні говорити, що стандартне відхилення змін змінної за рік дорівнює 1,0 на рік. Слід говорити, що воно дорівнює "кореню квадратному з одиниці на рік". Це пояснює, чому величину невизначеності часто вважають пропорційною до квадратного кореня з часу.
Вінєрівські процеси
Процес, якому підпорядковується розглянута вище змінна, називається винеровским (Wiener process). Він є окремий випадокмарковського стохастичного процесу, коли математичне очікування змін змінної дорівнює нулю, які дисперсія дорівнює 1,0. Цей процес широко використовується у фізиці для опису руху частки, що бере участь у великій кількості зіткнень із молекулами (це явище називається броунівським рухом(Brownian motion)).
Говорячи формально, змінна z підпорядковується винеровскому процесу, якщо вона має такі характеристики.
ВЛАСТИВОСТІ 1. Зміна Az протягом малого проміжку часу At задовольняє рівності
Az = ey/At, (12.1)
де е - випадкова величина, що підкоряється стандартизованого нормального розподілу ф(0,1).
Властивість 2. Величини Az двох малих проміжках часу At є незалежними.
З першого властивості випливає, що величина Az має нормальний розподіл, у якого математичне очікування дорівнює нулю, стандартне відхилення дорівнює VAt, а дисперсія дорівнює At. Друга властивість означає, що величина 2 підпорядковується марковському процесу.
Розглянемо збільшення змінної z протягом щодо тривалого часу Т. Цю зміну можна позначити як z(T) - z(0). Його можна подати у вигляді суми збільшення змінної г протягом N щодо малих проміжків часу, що мають довжину At. Тут
Отже,
z(т)z(o) = J2?^t' (12.2)
г=1
де?г,г = 1,2,...,ЛГвипадкові величини, що мають розподіл ймовірностей ф(0,1). З другого властивості вінеровського процесу випливає, що величини?
?; є незалежними один від одного. З виразу (12.2) випливає, що випадкова величина z(T) - z(0) має нормальний розподіл, математичне очікування якого дорівнює нулю, дисперсія дорівнює NAt = Т, а стандартне відхилення - у/Т. Ці висновки відповідають результатам, зазначеним вище. Приклад 12.1
Припустимо, що значення р випадкової змінної, що підпорядковується винеровскому процесу, в початковий час дорівнює 25, а час вимірюється роками. Наприкінці першого року значення змінної має нормальне розподілення з математичним очікуванням, рівним 25, і стандартним відхиленням, рівним 1,0. Наприкінці п'ятого року значення змінної має нормальне розподілення з математичним очікуванням, рівним 25, і стандартним відхиленням, рівним л/5, тобто. 2,236. Невизначеність значення змінної у певний момент у майбутньому, виміряна його стандартним відхиленням, зростає як квадратний коріньіз довжини прогнозованого інтервалу. ?
У математичний аналізшироко використовується перехід до межі, коли величина малих змін прагне нуля. Наприклад, при At -> 0 величина Ах = aAt перетворюється на величину dx = adt. При аналізі стохастичних процесів використовуються аналогічні позначення. Наприклад, при At -> 0 описаний вище процес Az прагне до винеровскому процесу dz.
На рис. 12.1 показано, як змінюється траєкторія змінної z при At -> 0. Зверніть увагу, що цей графік є “зазубреним”. Це тим, що зміна змінної z під час At пропорційно величині v^Af, і коли величина At стає малою, число \/Аt набагато більше, ніж At. Завдяки цьому, вінерівський процес має дві інтригуючі властивості.
1. Очікувана довжина траєкторії, яку проходить змінна z протягом будь-якого проміжку часу, є нескінченною.
2. Очікувана кількість збігів змінної z з будь-яким конкретним значеннямна будь-якому проміжку часу є нескінченним.
Узагальнений вінерівський процес
Швидкістю дрейфу (drift rate), чи коефіцієнтом зносу, стохастичного процесу називається середня величиназміни змінної величини за одиницю часу, а дисперсією (variance rate), чи коефіцієнтом дифузії - величина коливань за одиницю часу. Швидкість дрейфу основного вініврівського процесу dz, розглянутого вище, дорівнює нулю, а дисперсія дорівнює 1,0. Нульовий дрейф означає, що очікуване значення змінної z будь-якої миті часу дорівнює її поточному значенню. Одинична дисперсія процесу означає, що дисперсія зміни змінної z на інтервалі часу Т дорівнює його довжині.
Мал. 12.1. Зміна ціни акції на прикладі
Узагальнений вінерівський процес (generalized Wiener process) для змінної x можна визначити через величину dz в такий спосіб.
dx - adt + bdz, (12.3)
де а та b - константи.
Щоб зрозуміти зміст рівняння (12.3), корисно розглянути два доданки у правій частині окремо. Доданок a dt означає, що очікувана швидкість дрейфу змінної х дорівнює одиниць в одиницю часу. Без другого члена рівняння (12.3) перетворюється на рівняння
dx = adt,
звідки випливає, що
dx
Інтегруючи це рівняння за часом, отримуємо
х = хо + а?,
де хо – значення змінної х у нульовий момент часу. Таким чином, за період Т змінна х збільшується на величину їй. Член Ь dz можна розглядати як шум або мінливість траєкторії, яку проходить змінна х. Величина цього шуму в Ь разів більше значеннявінеровського процесу. Стандартне відхилення вініврівського процесу дорівнює 1,0. Звідси випливає, що стандартне відхилення величини b dz дорівнює b. На невеликих проміжках часу АЬ зміна Ах змінної х визначається рівняннями (12.1) та (12.3).
Ах = аАЬ + ЬЕУ/АЬ,
де е, як і колись, - випадкова величина, що має стандартизований нормальний розподіл. Отже, величина Ах має нормальне розподілення, математичне очікування якого дорівнює аАЬ, стандартне відхилення - 6л/Д7, а дисперсія - Ь2Д/. Аналогічними міркуваннями можна показати, що зміна змінної x протягом довільного інтервалу часу Т має нормальне розподілення з математичним очікуванням с.Т, стандартним відхиленням Ьу/Т та дисперсією Ь2Т. Таким чином, очікувана швидкість дрейфу узагальненого вініврівського процесу (12.3) (тобто середня зміна дрейфу в одиницю часу) дорівнює а, а дисперсія (тобто дисперсія змінної за одиницю часу) – Ь2. Цей процес зображено на рис. 12.2. Проілюструємо завантажене наступним прикладом.
Приклад 12.2
Розглянемо ситуацію, в якій частка активів компанії, вкладених у короткострокові грошові еквіваленти (cash position), виміряні тисячами доларів, підпорядковується узагальненому вінеровському процесу зі швидкістю дрейфу, що дорівнює 20 тис. дол. на рік, та дисперсією, що дорівнює 900 тис. дол. рік. У перший час частка активів дорівнює 50 тис. дол. Через рік ця частка активів матиме нормальний розподіл з математичним очікуванням, рівним 70 тис. дол., і стандартним відхиленням, рівним л/900, тобто. 30 дол. Через шість місяців вона матиме нормальний розподіл з математичним очікуванням, рівним 60 тис. дол., і стандартним відхиленням, рівним 30\ДЦ> = 21,21 дол. виміряна за допомогою стандартного відхиленнязбільшується як квадратний корінь з довжини прогнозованого інтервалу. Зверніть увагу, що ця частка активів може стати негативною (коли компанія робить позики). ?
Процес Іто
Стохастичним процесом Іто (Ito process) називається узагальнений вінерівський процес, який параметри а і Ь є функціями, що залежать від змінної х і часу t. Процес Іто можна виразити такою формулою.
dx = а (x, t) dt + b (x, t) d, z,?
І очікувана швидкість дрейфу, і дисперсія цього процесу згодом змінюються. За невеликий проміжок часу від t до At змінна змінюється від
х до х + Ах, де
Ах = а(х, t) At + Ь(х, t)e\fAt.
Це ставлення містить невелику натяжку. Вона пов'язана з тим, що ми вважаємо дрейф та дисперсію змінної х постійними величинами, які на інтервалі часу від t до At дорівнюють а(х, t) і b(x, t)2 відповідно.