Олімпіадні завдання а. Критерії оцінювання олімпіадних робіт

Участь в олімпіадах з математики – це чудова можливістьперевірити свої знання та здібності, проявити та відточити навички нестандартного мислення, які дуже знадобиться підлітку у дорослого життя. І хоча головний девіз будь-яких олімпійських ігор у тому, що головне не перемога, а участь, кожен атлет хоче стати переможцем. Саме тому підготовка до олімпіад з математики – це дуже важливо. Причому, як для спортсменів, які готуються до олімпійським іграм, дуже важлива підтримка особистого тренера, так і для школярів при підготовці до олімпіад з математики дуже важлива допомога.

Головним завданнямпроведення олімпіад є перевірка рівня знань найкращих учнівшколи, а також виявлення серед них найрозумнішої та обдарованої дитини. Крім цього, олімпіади стимулюють учнів більш поглиблено вивчати матеріал і шукати додаткові джерелазнань із предмета.

Організація та проведення олімпіад з математики серед школярів має такі цілі:

• виявлення найрозумніших, кмітливих та обдарованих учнів;
• розвиток творчих здібностейта нестандартного мислення;
• підвищення інтересу до поглибленого вивчення предмета;
• створення умов підтримки та заохочення обдарованих дітей;
• популяризація математики серед учнів шкіл

Участь в олімпіадах з математики готує учнів до життя сучасному суспільстві. Це своєрідний трамплін у чудове майбутнє. Перемога в олімпіаді з математики надає пільгові умови вступу до провідних вишів країни на безкоштовне навчання. Плюс до того це додаткова переваганавіть під час вступу на загальних підставах.

Як здобути перемогу в олімпіаді з математики?

Для того, щоб учень зміг здобути перемогу в олімпіаді з математики, потрібне поєднання наступних найважливіших факторів:

• Знання матеріалу шкільної програми. Це найперша та базова сходинка. Якщо учня є навіть незначні прогалини зі знанням шкільної програми, то ні про яку перемогу на олімпіаді й мови не може бути. Ці прогалини потрібно заповнити необхідними знаннями у найкоротший термін.
• Знання матеріалу, що за межі шкільної програми. Для перемоги в олімпіаді мало лише тих знань, які пропонує вчитель під час уроку. Потрібно більше поглиблене вивченнятим. У такому разі не обійтися без підготовки до олімпіад з математики з репетитором. Тільки він, займаючись з учнем додатково та індивідуально, зможе дати йому повний обсяг необхідної інформації. Це не обов'язково має бути стороння людина, цілком імовірно шкільний вчительз радістю впорається з таким завданням. До того ж він знає рівень підготовки дитини та можливі прогалини.
• Кмітливість. Не всі завдання, особливо олімпіадні, вирішуються за певною опрацьованою схемою. Досить часто, щоб вирішити завдання з високим рівнемскладності, потрібно виявити ще й кмітливість. Саме гнучкість розуму допомагає учнями знаходити нестандартний вихід у тих ситуаціях, у яких інші просто губляться.
• практика. Тільки за наявності постійної практики у вирішенні завдань різних форм, видів, тим самим, учень зможе повноцінно підготуватися до олімпіади. Благо зараз є велика кількістьзбірників олімпіадних завдань, приклади завдань за минулі роки Також варто активно використовувати мережу інтернет, яка постійно поповнюється новими завданнями.

Завдання репетитора полягає у тому, щоб сформувати освітнє середовищета забезпечити розвиток одночасно всіх цих здібностей. Тільки в такому випадку підготовка до олімпіад з математики пройдена найвищому рівні.

Особливості підготовки до олімпіад з математики

Складність олімпіади для учнів полягає в першу чергу в тому, що протягом дуже обмеженого проміжку часу учень повинен вирішити кілька складних і нестандартних завдань. Це можливо тільки в тому випадку, якщо дитина добре підготовлена. Серед завдань, що зустрічаються в олімпіадах з математики, часто трапляються такі.

Завдання на складання прикладу рішення

Наприклад, така олімпіадна задача: «Існує така фігура, яку не можна розділити на прямокутники з двох клітин (доміношки), але якщо до неї додати доміношку – вже можна. Намалюйте цю фігуру на клітинному папері (це має бути одна фігура, що не складається з окремих частин), додайте до неї одну доміношку і розкажіть, як розділити отриману фігуру на доміношки.

Підготовлений учасник легко зможе знайти рішення. Воно може виглядати, наприклад, ось так:

Логічні завдання

Завдання на логічне мислення. Цікаво, що часто такі завдання легко вирішуються за допомогою стандартних підходів, які вивчаються у школі, але, на жаль, у старших класах. В результаті учневі доводиться вигадувати нетривіальне рішеннящо вимагає від нього нестандартного мислення. Наприклад, таке завдання: «У Маші є монети номіналом 2 рублі і 5 рублів. На всі монети номіналом 2 рублі Маша не може купити 4 пиріжки, тому що їй не вистачає 60 рублів. На всі монети номіналом 5 рублів вона не може купити 5 пиріжків, тому що їй також не вистачає 60 рублів. На всі свої гроші вона не може купити шість пиріжків, тому що їй знову не вистачає 60 рублів. Скільки коштує один пиріжок?

Маші не вистачає 60 рублів, щоб купити чотири пиріжки, якщо вона візьме всі свої монети номіналом 2 рублі. Також Маші не вистачає 60 рублів, щоб купити п'ять пиріжків, якщо вона візьме всі свої монети номіналом 5 рублів. Значить, якщо вона візьме всі свої гроші та ще 120 рублів, то зможе купити 9 пиріжків. З іншого боку, за умови сказано, що на всі свої гроші Маша могла б купити шість пиріжків, якби додала до них 60 рублів. З останніх двох тверджень випливає, що три пиріжки коштують 60 рублів. Тобто один пиріжок коштує 20 рублів.

Для того щоб вирішити такі завдання, учень повинен проявити кмітливість і до чогось здогадатися. Цей здогад з'являється не на порожньому місці, а в результаті роздумів над завданням, але рішення починається саме з здогаду, який потім призводить до вибудовування логічного ланцюжка, Що призводить до результату. Наприклад, розберемо таке завдання: «У команді 38 борців. Кожен слабший борець завжди програє сильнішому, а бій двох борців однакової сили завжди закінчується нічиєю. Чи завжди борців вдасться розбити на пари так, що всі переможці в отриманих парах виявляться не слабшими, ніж усі ті, хто звів поєдинок внічию або програв, а всі ті, хто звів поєдинок, внічию виявиться не слабшим за всіх тих, хто програв?»

Якщо приписати всім борцям число, що відповідає рівню їхньої сили, то вийде безліч з 38 елементів. Припущення полягає в тому, щоб елементи цієї множини записати в порядку невтрати. Після цього формуємо такі пари: перший з останнім, другий з передостаннім і т. д. У кожній парі в порядку формування знаходимо переможця або нічию, що зробив. Отримана послідовність буде незростаючою, причому останній її елемент буде не менше 19-го у вихідній послідовності. Тобто виходить, що потрібна умова виконується.

Завдання, для вирішення яких мало знання лише шкільної програми

Для вирішення таких завдань учень повинен знати більше, ніж викладають під час уроків у школі. Необхідні знанняучень може одержати на основі самоосвіти або за допомогою грамотного репетитора. Наприклад, для вирішення наступного завдання потрібно знання того, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, які пропорційні прилеглими сторонами: «У трикутнику ABCбісектриси AA 1 і BB 1 перетинаються у точці O. Відомо, що 2 AO = 7OA 1 і BO = 2BO 1 . Знайдіть відношення висоти, опущеної з точки Aдо радіуса вписаної в трикутник ABCкола.»

Використовуючи властивість бісектриси, знаходимо, що . Тобто . Аналогічно вважаємо, що . Тобто довжини сторін трикутника виглядають так:

Тоді знову за якістю бісектриси отримуємо, що:

Отже, отримуємо , , . Тоді напівпериметр цього трикутника дорівнює . Тоді з одного боку площа трикутника ABCдорівнює , де - Радіус вписаного кола. З іншого боку він дорівнює , де - Висота, проведена до сторони BC. Звідси отримуємо, що .

Завдання на теми, яким у школі приділяється зовсім мало уваги

Наприклад, завдання з теорії чисел: «Дана послідовність із 2014 натуральних числа. Якщо взяти з цієї послідовності будь-які 100 чисел, то серед них обов'язково буде хоча б одне парне число. Якщо взяти з цієї послідовності будь-які 1916 р. чисел, то серед них обов'язково буде хоча б одне непарне число. Чи може сума всіх цих чисел дорівнювати 2014-2015? Обґрунтуйте свою відповідь.

Підготовлений учень вирішить це завдання без особливих зусиль. Оскільки в будь-якій вибірці зі 100 чисел виявляється хоча б одне парне число, то не парних чиселу наборі не більше 99. Аналогічно, оскільки в будь-якій вибірці з 1916 чисел виявляється хоча б одне непарне число, то парних чисел у наборі не більше 1915. А оскільки всього в наборі 2014 чисел, то в наборі 99 непарних чиселта 1915 парних чисел. Їх сума є непарним числом. А твір 2014-2015 закінчується на 0, отже, є парним числом. Тобто сума не може дорівнювати цьому твору.

Наприкінці зазначимо, що для успішної підготовкидо олімпіад з математики доведеться старанно попрацювати. Намагайтеся максимально підключити до цього процесу вчителів, адже вони зацікавлені у перемозі своїх учнів. Витрачайте більше часу на читання додаткової літературипо предмету. Адже знання, які ви отримаєте, можуть стати в нагоді в найвідповідальніший момент. Ну і не забувайте, що готуватися до олімпіади з математики можна з репетитором. Досвід показує, що це хороший варіантякщо ви серйозно налаштовані на успіх. Удачі вам!

Сергій Валерійович

Завдання та ключі шкільного етапу Всеросійської олімпіадишколярів з математики

Завантажити:

Попередній перегляд:

Шкільний етап

4 клас

1. Площа прямокутника 91

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

5 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

3. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

4. Замініть літеру А

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

6 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

7 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

1. - Різні цифри.

4. Замініть букви Y, E, A та R цифрами так, щоб вийшла правильна рівність:

YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

5. На острові живе щось кількість людей, приче е

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

8 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

АВМ, CLD та ADK відповідно. Знайдіть∠ МKL.

6. Доведіть, що якщо a, b, c і - цілі числа, то й дріббуде цілим числом.

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

9 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

2. Числа a та b такі, що рівнянняі також має рішення.

6. При яких натуральних x вираз

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

10 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

3. У рівнянні

5. У трикутнику ABC провели бісектрису BL. Виявилося що . Доведіть, що трикутник ABL – рівнобедрений.

6. За визначенням,

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

11 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

1. Сума двох чисел дорівнює 1. Чи може їхній добуток перевищувати 0,3?

2. Відрізки AM та BH ABC .

Відомо, що AH = 1 і . Знайти довжину сторони BC.

3. а нерівність вірно при всіх значенняхх?

Попередній перегляд:

4 клас

1. Площа прямокутника 91. Довжина однієї з його сторін 13 см. Чому дорівнює сума всіх сторін прямокутника?

Відповідь. 40

Рішення. Довжину не відомої сторонипрямокутника знаходимо з площі та відомої сторони: 91:13 см = 7 см.

Сума всіх сторін прямокутника дорівнює 13+7+13+7=40 см.

2. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

Рішення.

3. Відновіть приклад до додавання, де цифри доданків замінені зірочками: *** + *** = 1997.

Відповідь. 999+998=1997.

4 . Чотири дівчинки їли цукерки. Аня з'їла більше, ніж Юля, Іра – більше, ніж Світлана, але менше, ніж Юля. Розставте імена дівчаток у порядку зростання з'їдених цукерок.

Відповідь. Світлана, Іра, Юля, Аня.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіадипо математиці

5 клас

1. Не змінюючи порядку розташування цифр 1 2 3 4 5, поставте між ними знаки арифметичних дійта дужки так, щоб у результаті вийшла одиниця. "Склеювати" сусідні цифри в одне число не можна.

Рішення. Наприклад, ((1 + 2): 3 + 4): 5 = 1. Можливі інші рішення.

2. на худобному дворігуляли гуси та поросята. Хлопчик порахував кількість голів, їх виявилося 30, а потім він порахував кількість ніг, їх виявилося 84. Скільки гусей та скільки поросят було на шкільному дворі?

Відповідь. 12 поросят та 18 гусей.

Рішення.

1 крок. Уявіть, що всі поросята підняли по дві ноги нагору.

2 крок. На землі залишилося стояти 30 ∙ 2 = 60 ніг.

3 крок. Підняли вгору 84 – 60 = 24 ноги.

4 крок. Підняли 24: 2 = 12 поросят.

5 крок. 30 – 12 = 18 гусей.

3. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

Рішення.

4. Замініть літеру А на ненульову цифру, щоб вийшла вірна рівність. Достатньо навести один приклад.

Відповідь. А = 3.

Рішення. Нескладно показати, щоА = 3 підходить, доведемо, що інших рішень немає. Скоротимо рівність наА. Отримаємо.
Якщо А ,
якщо А> 3, то .

5. Дівчатка та хлопчики дорогою до школи зайшли до магазину. Кожен учень купив по 5 тонких зошитів. Крім цього, кожна дівчинка купила 5 ручок та 2 олівці, а кожен хлопчик купив 3 олівці та 4 ручки. Скільки було куплено зошитів, якщо всього ручок та олівців діти купили 196 штук?

Відповідь. 140 зошитів.

Рішення. Кожен із учнів купив по 7 ручок та олівців. Усього було куплено 196 ручок та олівців.

196: 7 = 28 учнів.

Кожен із учнів купив по 5 зошитів, отже, всього куплено
28 ⋅ 5=140 зошитів.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

6 клас

1. На прямій 30 точок, відстань між будь-якими двома сусідніми дорівнює 2 см. Яка відстань між двома крайніми точками?

Відповідь. 58 см.

Рішення. Між крайніми точками міститься 29 частин по 2 див.

2 см * 29 = 58 см.

2. Чи сума чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 ділитися на 2007? Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь. Буде.

Рішення. Уявимо цю сумуу вигляді наступних доданків:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.

Так як кожен доданок ділиться на 2007, то й вся сума буде ділитися на 2007.

3. Розріжте фігурку на 6 рівних картатих фігурок.

Рішення. Фігурку можна розрізати лише так

4. Настя розставляє у клітинах квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Вона хоче, щоб сума чисел за всіма горизонталями, вертикалями та діагоналями ділилася на 5. Наведіть приклад такої розстановки, за умови, що кожне число Настя збирається використовувати трохи більше двох разів.

Рішення. Нижче наведено одну з розстановок. Існують інші рішення.

5. Зазвичай по Павлика після уроків приїжджає тато на машині. Якось уроки закінчилися раніше, ніж звичайно, і Павлик пішов додому пішки. Через 20 хвилин він зустрів тата, сів у машину та приїхав додому на 10 хвилин раніше. На скільки хвилин раніше закінчилися уроки цього дня?

Відповідь. На 25 хвилин раніше.

Рішення. Машина приїхала додому раніше, тому що їй не довелося доїжджати з місця зустрічі до школи і назад, отже, подвійний шлях машина проїжджає за 10 хвилин, а в один бік – за 5 хвилин. Отже, машина зустрілася із Павликом за 5 хвилин до звичайного закінчення уроків. На цей момент Павлик уже йшов 20 хвилин. Таким чином уроки закінчилися на 25 хвилин раніше.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

7 клас

1. Знайдіть рішення числової ребуса a,bb + bb,ab = 60 , де a і b - Різні цифри.

Відповідь. 4,55 + 55,45 = 60

2. Після того, як Наталка з'їла половину персиків із банки, рівень компоту знизився на одну третину. На яку частину (від отриманого рівня) знизиться рівень компоту, якщо з'їсти половину від персиків, що залишилися?

Відповідь. На одну чверть.

Рішення. Із умови ясно, що половина персиків займає третину банки. Отже, після того, як Наташа з'їла половину персиків, у банку персиків і компоту залишилося порівну (по одній третині). Значить, половина від числа персиків, що залишилися, становить чверть від усього обсягу вмісту.

банки. Якщо з'їсти цю половину персиків, що залишилися, рівень компоту знизиться на чверть.

3. Розріжте по лініях сітки прямокутник, зображений на малюнку, на п'ять прямокутників різної площі.

Рішення. Наприклад, так

4. Замініть літери Y, E, A та R цифрами так, щоб вийшла вірна рівність: YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

Відповідь. При Y=2, E=1, A=9, R=5 отримуємо 2222 ─ 111 ─ 99 + 5 = 2017.

5. На острові живе щось кількість людей, приче м кожен із них або лицар, який завжди говорить правду, або брехун, який завжди брехаєе т. Якось усі лицарі заявили: ― «Я дружу тільки з одним брехуном», а всі брехуни: ― «Я не дружу з лицарями». Кого на острові більше, лицарів чи брехунів?

Відповідь. Лицарів більше

Рішення. Кожен брехун дружить хоч би з одним лицарем. Але оскільки кожен лицар дружить рівно з одним брехуном, у двох брехунів не може бути спільного друга-лицаря. Тоді кожному брехуні можна поставити у відповідність його друга лицаря, звідки виходить, що лицарів принаймні стільки ж, скільки і брехунів. Бо всього жителів на острові ніче тне число, то рівність неможлива. Значить, лицарів більше.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

8 клас

1. У сім'ї 4 особи. Якщо Маші подвоїть стипендію, загальний дохід усієї родини зросте на 5%, якщо натомість мамі подвоїть зарплату – на 15%, якщо ж зарплату подвоїть татові – на 25%. На скільки відсотків зросте дохід усієї родини, якщо дідусеві подвоїть пенсію?

Відповідь. на 55%.

Рішення . При подвоєнні стипендії Маші загальний дохід сім'ї збільшується на величину цієї стипендії, тому вона становить 5% від доходу. Аналогічно, зарплати мами та тата становлять 15% та 25%. Значить, пенсія дідуся становить 100 - 5 - 15 - 25 = 55%, і якщо ее подвоїть, то дохід сім'ї зросте на 55%.

2. На сторонах АВ, CD та AD квадрата АВСD зовні збудовані рівносторонні трикутникиАВМ, CLD та ADK відповідно. Знайдіть∠ МKL.

Відповідь. 90 °.

Рішення. Розглянемо трикутник MAK: кут MAK дорівнює 360 ° - 90 ° - 60 ° - 60 ° = 150 °. MA = AK за умовою, отже, трикутник MAK рівнобедрений,∠ AMK = ∠ AKM = (180 ° - 150 °): 2 = 15 °.

Аналогічно отримуємо, що кут DKL дорівнює 15 °. Тоді шуканий кут MKL дорівнює сумі ∠ MKA + ∠ AKD + ​​∠ DKL = 15 ° + 60 ° + 15 ° = 90 °.

3. Ніф-Ніф, Наф-Наф і Нуф-Нуф ділили три шматочки трюфеля масами 4 р, 7 і 10 р. Вовк вирішив їм допомогти. Він може від будь-яких двох шматочків одночасно відрізати та з'їсти по 1 г трюфеля. Чи зможе вовк залишити поросятам рівні шматочки трюфеля? Якщо так, то як?

Відповідь. Так.

Рішення. Вовк може спочатку три рази відрізати по 1 г від шматочків у 4 г і 10 г. Вийдуть один шматок в 1 г і два шматки по 7 г. Тепер залишилося шість разів відрізати і з'їсти по 1 г від шматочків у 7 г., тоді поросятам дістанеться по 1 р. трюфеля.

4. Скільки всього є чотирицифрових чисел, які діляться на 19 і закінчуються на 19?

Відповідь. 5 .

Рішення. Нехай - Таке число. Тодітеж кратно 19. Але
Оскільки 100 та 19 взаємно прості, то двозначне числоділиться на 19. А таких лише п'ять: 19, 38, 57, 76 та 95.

Легко переконатися, що всі числа 1919, 3819, 5719, 7619 та 9519 нам підходять.

5. Команда з Петі, Васі та одномісного самокату бере участь у гонці. Дистанцію поділено на ділянки однакової довжини, їх кількість дорівнює 42, на початку кожного – контрольний пункт. Петя пробігає ділянку за 9 хв, Вася – за 11 хв, а на самокаті будь-який з них проїжджає ділянку за 3 хв. Стартують вони одночасно, а на фініші враховується час того, хто прийшов останнім. Хлопці домовилися, що один проїжджає першу частину шляху самокатом, залишок бігом, а інший - навпаки (самокат можна залишити на будь-якому контрольному пункті). Скільки ділянок Петя має проїхати самокатом, щоб команда показала найкращий час?

Відповідь. 18

Рішення. Якщо час одного стане меншим за час іншого з хлопців, то збільшиться час іншого і, отже, час команди. Значить, час хлопців має співпадати. Позначивши кількість ділянок, що проїжджають Петей, через x і вирішивши рівняння, Отримаємо x = 18.

6. Доведіть, що якщо a, b, c і - цілі числа, то й дріббуде цілим числом.

Рішення.

Розглянемо за умовою це число ціле.

Тоді і буде теж цілим числом як різниця N та подвоєного цілого числа.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

9 клас

1. Сашкові та Юрі зараз разом 35 років. Саші зараз удвічі більше роківЩо було Юрі тоді, коли Сашкові було стільки років, скільки Юркові зараз. Скільки років зараз Сашка і скільки – Юрко?

Відповідь. Саші 20 років, Юрі 15 років.

Рішення. Нехай Сашка зараз x років, тоді Юрій , а коли Саші булороків, то Юрій, за умовою,. Але часу і для Сашка, і для Юри пройшло порівну, тому отримуємо рівняння

з котрого .

2. Числа a та b такі, що рівнянняі мають рішення. Доведіть, що рівняннятакож має рішення.

Рішення. Якщо перші рівняння мають рішення, їх дискримінанти неотрицательны, звідкиі . Перемножуючи ці нерівності, отримуємоабо , звідки випливає, що дискримінант останнього рівняння також невід'ємний і має рішення.

3. Рибалка виловив велике числориб вагою 3,5 кг. та 4,5 кг. Його рюкзак вміщує трохи більше 20 кг. Яку максимальну вагу риби він може взяти із собою? Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь. Вага: 19.5 кг.

Рішення. У рюкзак можна помістити 0, 1, 2, 3 чи 4 риби вагою 4,5 кг.
(не більше, оскільки). Для кожного з цих варіантів залишок місткості рюкзака не ділиться націло на 3,5 і в найкращому випадкувдасться запакуватикг. риби.

4. Стрілець десять разів вистрілив по стандартній мішені і вибив 90 очок.

Скільки попадань було в сімку, вісімку та дев'ятку, якщо десяток було чотири, а інших попадань та промахів не було?

Відповідь. У сімку – 1 влучення, у вісімку – 2 влучення, у дев'ятку – 3 влучення.

Рішення. Так як стрілок потрапляв лише в сімку, вісімку і дев'ятку в інші шість пострілів, то за три постріли (бо принаймні по одному разу в сімку, вісімку та дев'ятку стрілок влучив) він набереокуляри. Тоді за 3 постріли, що залишилися, треба набрати 26 очок. Що можливо при єдиній комбінації 8 + 9 + 9 = 26. Отже, у сімку стрілок потрапив 1 раз, у вісімку – 2 рази, у дев'ятку – 3 рази.

5 . Середини сусідніх сторінв опуклому чотирикутникуз'єднані відрізками. Доведіть, що площа чотирикутника, що вийшов, в два рази менше площіпервісного.

Рішення. Позначимо чотирикутник за ABCD , а середини сторін AB, BC, CD, DA за P, Q, S, T відповідно. Зауважимо, що у трикутнику ABC відрізок PQ є середньою лінієюотже, вона відсікає від нього трикутник PBQ у чотири рази менше площі, ніж площа ABC. Аналогічно, . Але трикутники ABC та CDA у сумі становлять весь чотирикутник ABCD , значить Аналогічно отримуємо, щоТоді сумарна площа цих чотирьох трикутниківстановить половину площі чотирикутника ABCD і площа чотирикутника, що залишився PQST дорівнює також половині площі ABCD.

6. При яких натуральних x вираз чи є квадратом натурального числа?

Відповідь. За x = 5.

Рішення. Нехай. Відмітимо, що – також квадрат деякого цілого числаменшого t. Отримуємо, що . Числа та - натуральні та перше більше за друге. Значить, а . Вирішивши цю систему, отримуємо, що дає .

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

10 клас

1. Розставте знаки модуля так, щоб вийшла правильна рівність

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

Рішення. Наприклад,

2. Коли Вінні-Пух прийшов у гості до Кролика, він з'їв 3 тарілки меду, 4 тарілки згущеного молока і 2 тарілки варення, а після цього не зміг вийти назовні через те, що сильно погладшав від такої їжі. Але відомо, що якби він з'їв 2 тарілки меду, 3 тарілки згущеного молока і 4 тарілки варення або 4 тарілки меду, 2 тарілки згущеного молока і 3 тарілки варення, то спокійно зміг би залишити нору гостинного Кролика. Від чого більше гладшають: від варення або від згущеного молока?

Відповідь. Від згущеного молока.

Рішення. Позначимо через М – поживність меду, через З – поживність згущеного молока, через В – поживність варення.

За умовою 3М + 4С + 2В > 2М + 3С + 4В, звідки М + З > 2В. (*)

А за умовою 3М + 4С + 2В > 4М + 2С + 3В, звідки 2С > М + В (**).

Складаючи нерівність (**) з нерівністю (*), отримуємо М + 3С > М + 3В, звідки З > У.

3. У рівнянні одне із чисел замінено точками. Знайти це число, якщо відомо, що один із коренів дорівнює 2.

Відповідь. 2.

Рішення. Оскільки 2 є коренем рівняння, маємо:

звідки отримуємо, що, отже замість крапки було записано число 2.

4. З міста до села вийшла Марія Іванівна, а назустріч їй із села до міста одночасно вийшла Катерина Михайлівна. Знайти відстань між селом та містом, якщо відомо, що відстань між пішоходами дорівнювала 2 км двічі: спочатку, коли Марія Іванівна пройшла половину шляху до села, а потім, коли Катерина Михайлівна пройшла третину шляху до міста.

Відповідь. 6 км.

Рішення. Позначимо відстань між селом та містом за S км, швидкості Марії Іванівни та Катерини Михайлівни за S км x та y , і порахуємо час, витрачений пішоходами у першому та другому випадках. Отримаємо у першому випадку

У другому . Звідси, крім x та y , маємо
, Звідки S = ​​6 км.

5. У трикутнику ABC провели бісектрису BL. Виявилося що . Доведіть, що трикутник ABL – рівнобедрений.

Рішення. За властивістю бісектриси маємо BC: AB = CL: AL. Помножуючи цю рівність на, Отримуємо , звідки BC:CL = AC:BC . Остання рівність спричиняє подібність трикутників ABC та BLC по куту C та прилеглим до нього сторонам. З рівності відповідних кутів у подібних трикутникахотримуємо, звідки в

трикутнику ABL кути при вершинах A та B рівні, тобто. він рівнобедрений: AL = BL.

6. За визначенням, . Який помножувач потрібно викреслити з творущоб залишок твір став квадратом деякого натурального числа?

Відповідь. 10!

Рішення. Зауважимо, що

2. Відрізки AM та BH - відповідно медіана та висота трикутника ABC.

Відомо, що AH = 1 і . Знайти довжину сторони BC.

Відповідь. 2 див.

Рішення. Проведемо відрізокМН, він буде медіаною прямокутного трикутника BHC , проведеної до гіпотенузи BC і дорівнює її половині. Тоді– рівнобедрений, тому, Отже, , Тому, AH = HM = MC = 1 і BC = 2MC = 2 см.

3. При яких значеннях числового параметраа нерівність вірно при всіх значенняхх?

Відповідь. .

Рішення . При маємо, що не так.

При 1 скоротимо нерівність на, зберігаючи знак:

Така нерівність правильна для всіхх тільки за .

При скоротимо нерівність назмінюючи знак на протилежний:. Але квадрат числа ніколи не буває негативним.

4. Є один кілограм 20%-ного соляного розчину. Лаборант помістив колбу з цим розчином в апарат, в якому випаровується вода з розчину і одночасно з цим в нього постійною швидкістю, що дорівнює 300 г./год., підливається 30%-ний розчин цієї ж солі. Швидкість випарювання також постійна і становить 200 г/год. Процес зупиняється, як тільки в колбі виявиться 40% розчин. Якою буде маса отриманого розчину?

Відповідь. 1,4 кілограми.

Рішення. Нехай t – час, протягом якого працював апарат. Тоді після закінчення роботи в колбі вийшло 1+(0,3 – 0,2)t = 1+0,1t кг. розчину. При цьому маса солі в цьому розчині дорівнює 1 · 0,2 + 0,3 · 0,3 · t = 0,2 + 0,09 t. Оскільки отриманий розчин містить 40% солі, отримуємо
0,2 + 0,09t = 0,4 (1 + 0,1t), тобто 0,2 + 0,09t = 0,4 + 0,04t, звідси t = 4 год. Отже, маса отриманого розчину дорівнює 1 + 0,1 · 4 = 1,4 кг.

5. Скільки способами серед усіх натуральних чисел від 1 до 25 можна вибрати 13 різних так, щоб сума будь-яких двох вибраних чисел не дорівнювала 25 або 26?

Відповідь. Єдиним.

Рішення. Запишемо всі наші числа у такому порядку: 25,1,24,2,23,3,…,14,12,13. Зрозуміло, що будь-які з них рівні у сумі 25 або 26 тоді і тільки тоді, коли є в цій послідовності сусідніми. Таким чином, серед обраних нами тринадцяти чисел не повинно бути сусідніх, звідки одразу отримуємо, що це мають бути всі члени цієї послідовності з непарними номерами – вибір єдиний.

6. Нехай k – натуральне число. Відомо, що серед 29 послідовних чисел 30k+1, 30k+2, ..., 30k+29 є 7 простих. Доведіть, що перше та останнє з них – прості.

Рішення. Викреслимо з цього ряду числа, кратні 2, 3 або 5. Залишиться 8 чисел: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23, 30k+29. Припустимо, що серед них є складова кількість. Доведемо, що це число кратне 7. Перші сім цих чисел дають різні залишки при розподілі на 7, тому що числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дають різні залишки при розподілі на 7. Значить, одне з цих чисел кратно 7. Зауважимо, що число 30k+1 не кратно 7, інакше 30k+29 також буде кратно 7, а складова кількість має бути одно. Значить, числа 30k+1 та 30k+29 – прості.

Опис:матеріал є завданням для олімпіади з математики з 1 по 4 класи. Після завдань по паралелях дано відповіді та бали за них. Дані завдання можна використовувати на уроках математики з метою розвитку логічного мислення.

Олімпіадні завдання з математики 1 клас

1.У трьох братівпо дві сестри. Скільки всього дітей у сім'ї? Обведи правильну відповідь:

2. Що важче: 1 кілограм вати чи 1 кілограм заліза? Обведи правильну відповідь:

вата залізо порівну

3. У пакет можна покласти 2 кілограми продуктів. Скільки пакетів має бути у мами, якщо вона хоче купити 4 кілограми картоплі та диню масою 1 кілограм?

Напиши відповідь._________________________

4. З-під воріт видно 8 котячих лап. Скільки кішок у дворі?

Напиши відповідь. __________________

5. Постав знак + або - ,щоб вийшла вірна рівність:

7 * 4 * 2 * 5 = 10

10 * 4 * 3 * 8 = 1

6. Сходи складається з 7 сходинок. Яка сходинка знаходиться на середині?

7. Колоду розпилили на 3 частини. Скільки розпилів зробили? Обведи правильну відповідь:

8.У тварини 2 праві ноги, 2 ліві ноги, 2 ноги ззаду, 2 ноги спереду. Скільки всього ніг у тварини?

Напиши відповідь:_________________________________

9. Три дівчинки готували ялинкові іграшки до Нового року. Утрьох вони працювали 3 години. Скільки годин працювала кожна з них?

Напиши відповідь:_________________________

10. Сума трьох парних чисел дорівнює 12. Напиши ці числа, якщо відомо, що доданки не рівні між собою.

Олімпіадні завдання з математики 2 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1. Індик важить 12 кг. Скільки він важитиме, якщо встане на одну ногу? (1 бал) Відповідь:________________

2. Клітина у кроликів була закрита, але в нижній отвір видно було 24 ноги, у верхнє - 12 кролячих вух. То скільки ж було в клітці кроликів? (3 бали) Відповідь:___________________

3. Аня, Женя та Ніна за контрольну роботуотримали різні оцінкиале двійок у них не було. Відгадайте, яку оцінку одержала кожна з дівчаток, якщо у Ані не “3”, у Ніни не “3” та не “5” (3 бали).

Відповідь: у Ані___, у Ніни ____, у Жені_____.

4. З чисел 21, 19, 30, 25, 12, 7, 15, 6, 27 підберіть такі три числа, сума яких дорівнюватиме 50 (2 бали). Відповідь:___________________________.

5. У Буратіно менше 20 золотих монет. Ці монети він може розкласти в стоси по дві, по три та по чотири монети. Скільки монет у Буратіно? (3 бали) Відповідь:__________.

6.Запиши всі двоцифрові числа, в яких число одиниць на чотири більше числадесятків? (1 випадок – 1 бал)_________________________.

7. Катя, Галя та Оля, граючи, сховали по іграшці. Вони грали з ведмежати, зайчиком і слоником. Відомо, що Катя не ховала кролика, а Оля не ховала ні кролика, ні ведмежа. У кого якась іграшка? (3 бали)

Відповідь: у Каті____________________, у Галі____________________, у Олі_____________________.

8. Три дівчинки на запитання, по скільки їм років відповіли так: Маша: "Мені разом з Наталкою 21 рік", Наталя: "Я молодший за Тамару на 4 роки", Тамара: "Нам трьом разом 34 роки". Скільки років кожній з дівчаток? (5 балів)

Відповідь: Маші _________, Наталі ____________, Тамарі___________.

9. Встав пропущені знаки математичних дій. (1 приклад – 2 бали)

1 2 3 4 5 = 5 1 2 3 4 5 = 7

10. Продовжи ряд чисел (2 бали)

20, 18, 19, 17, 18, 16, 17, ...., ...., ....

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...., ....

Олімпіадні завдання з математики 3 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1.Одне яйце вариться 4 хвилини. Скільки хвилин вариться 5 яєць?

(1 бал) ________________.

2. На руках 10 пальців. Скільки пальців на 10 руках? (1 бал) _________.

3. Лікар дав хворій дівчинці 3 таблетки і велів приймати їх через кожні півгодини. Вона суворо виконала вказівку лікаря. На скільки часу вистачило прописаних лікарем пігулок? (1 бал)_____________.

4. Зі шматка дроту зігнули квадрат зі стороною 6см. Потім розігнули дріт, і зігнули з нього трикутник з рівними сторонами. Яка довжина сторони трикутника? (1 бал)____________________.

5. Коля, Вася та Боря грали в шашки. Кожен із них зіграв лише 2 партії. Скільки всього партій було зіграно? (2 бали) ________________.

6. Скільки всього двоцифрових чисел можна становити з цифр 1,2,3 за умови, що цифри в записі числа не повторюватимуться? Перелічи всі ці числа. (2 бали)___________________________________________.

7. Було 9 аркушів паперу. Деякі їх розрізали на три частини. Усього стало 15 аркушів. Скільки аркушів паперу розрізали? (3 бали)__________.

8. У п'ятиповерховому будинку Віра живе вище Петі, але нижче Слави, а Коля живе нижче Петі. На якому поверсі мешкає Віра, якщо Коля живе на другому поверсі? (3 бали)__________________________________________.

9. 1 гумка, 2 олівці та 3 блокноти коштують 38 руб. 3 гумки, 2 олівці та 1 блокнот коштують 22 руб. Скільки коштує комплект із гумки, олівця та блокнота? (4 бали)__________________________________

10. Нільс летів у зграї на спині гусака Мартіна. Він звернув увагу, що побудова зграї нагадує трикутник: попереду ватажок, потім 2 гусаки, в третьому ряду 3 гусаки і т.д. Зграя зупинилася на нічліг на крижині. Нільс побачив, що розташування гусей цього разу, нагадує квадрат, що складається з рядів, у кожному ряду однакова кількість гусей, причому число гусей у кожному ряді дорівнює числу рядів. Гусей у зграї менше 50. Скільки гусей у зграї? (6 балів)_______________________________

Олімпіадні завдання з математики 4 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1. Сидячи біля вікна вагона поїзда, хлопчик почав вважати телеграфні стовпи. Він нарахував 10 стовпів. Яку відстань пройшов за цей час поїзд, якщо відстань між стовпами 50 м? (1 бал) __________________________.

2. Один годинник відстає на 25 хвилин, показуючи 1 год 50 хв. Який час показує інший годинник, якщо він забігає на 15 хв? (2 бали)_________________________.

3.Чому рівні сторони прямокутника, площа якого дорівнює 12 см, а периметр дорівнює 26 см? (1 бал)__________________________________.

4. Скільки вийде, якщо скласти найбільше непарне двозначне число та найменше парне тризначне число? (1 бал)_______________________.

5. У кожному ланцюжку чисел знайди закономірність і встав пропущені числа

(1 ланцюжок - 1 бал):

1) 3, 6, __, 12, 15, 18.

2) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.

3) 2, 2, 4, 4, ___, 6, 8, 8.

4) 24, 21, ___, 15, 12.

5) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.

6. Напишіть найменше чотиризначне число, де всі цифри різні. (1 бал)____________________________.

7. Три подружки – Віра, Оля та Таня пішли до лісу за ягодами. Для збирання ягід у них були кошик, козуб і відерце. Відомо, що Оля була не з кошиком і не з кошиком, Віра - не з кошиком. Що взяла з собою кожна дівчинка для збирання ягід? (3 бали) Віра – ______________, Таня – ______________, Оля – _______________.

8. Мотоцикліст за три дні проїхав 980 км. За перші два дні він проїхав 725 км, при цьому він другого дня проїхав на 123 км більше, ніж у третій день. Скільки кілометрів він проїхав кожного з цих трьох днів? (4 бали)

І день _______, ІІ день _______, ІІ день ________.

9. Напишіть цифрами число, що складається з 22 мільйонів 22 тисяч 22 сотень та 22 одиниць. (2 бали)________________________________.

10. До туристичного табору прибуло 240 учнів з Москви та Орла. Хлопчиків серед прибулих було 125 осіб, з яких 65 – москвичі. Серед учнів, які прибули з Орла, дівчат було 53. Скільки всього учнів прибуло з Москви? (4 бали)_____________.

Відповіді:

1 клас

1) 5 (1 бал)

2) Порівну (1 бал)

3) 3 пакети (2 бали)

4) 2 кішки (1 бал)

5) 1 приклад – 1 бал

6) четверта (1 бал)

7) 2 (1 бал)

8) 4 ноги (2 бали)

9) 3 години (2 бали)

10) 2+4+6=12 (2 бали)

2 клас

1) 12 кг (1 бал)

2) 6 кроликів (3 бали)

3) У Ані 5, у Ніни 4, у Жені 3 (3 бали)

4) 19+6+25=50 (2 бали)

5) 12 монет (3 бали)

6) 15, 26, 37, 48, 59 (1 випадок – 1 бал)

7) У Олі – слоник, у Каті – ведмежа, у Галі – зайчик (3 бали)

8) Маші 12 років, Наталці 9 років, Тамарі 13 років (5 балів)

9) 9.1+2+3+4-5= 5 1+2+3+-4+5=7 (1 приклад – 2 бали)

10) …10. 15, 16, 14 (2 бали)

3 клас

1) 4 хвилини (1 бал)

2) 50 (1 бал)

3) на 1 годину (1 бал)

4) 8см (1 бал)

5) 3 партії. (К-В, К-Б, В-Б) 2 бали

6) 12,13, 21,23, 31,32 (2 бали)

7) 3 листи (3 бали)

8) 4 поверх - Віра (3 бали)

9) 15 руб., т.к. 4 гумки, 4 олівці та 4 блокноти 38+22=60(руб.) Один комплект коштує 60: 4=15(руб.) (4 бали)

10) 36 гусей (6 балів)

4 клас:

1. 50 х 9 = 450 (м) (1 бал)

2. 1 година 50 хв + 25 хв = 2 години 15 хв (2 бали)

2 години 15 хв. +15 хв. = 2 години 30 хв.

3. Сторони прямокутника 12 см та 1 см. (1 бал)

4.199 (1 бал)

5. 1) 9; 2) 21; 3)6; 4) 18; 5) 50; (1 ланцюжок – 1 бал)

6. 1023 (1 бал)

7. Віра була з кошиком, Оля - з цеберком, Таня - з кошеням. (3 бали)

8. (4 бали)

1) 980 – 725 = 255 (км) – проїхав у третій день;

2) 255 + 123 = 378 (км) – проїхав у другий день;

3) 725 – 378 = 347 (км) – проїхав у перший день.

Відповідь: першого дня мотоцикліст проїхав 347 км, другого — 378, третього — 255 км.