Перетворення та невизначений інтеграл. Інтеграли для чайників: як вирішувати, правила обчислення, пояснення

Рішення інтегралів - завдання легкеале тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний і не визначений інтегралы? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знанняоснов математичного аналізу. Саме ці фундаментальні відомості про Ви знайдете у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первісні елементарних функцій, їх зручно звести до таблиці та користуватися вже готовими значеннями:

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русішлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл – це нескінченно сума великої кількостінескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

Барі Алібасов та гурт "Інтеграл"

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює суміінтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значенняпри рішенні прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо Вам самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Запитайте, і вони розкажуть вам про обчислення інтегралів все, що знають самі. З нашою допомогою будь-який потрійний або криволінійний інтегралпо замкнутій поверхні стане вам під силу.

Знайти невизначений інтеграл(Більшість первісних або "антипохідних") означає відновити функцію за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​безліч первісних F(x) + З для функції f(x) враховує константу інтегрування C. За швидкістю переміщення матеріальної точки(похідною) може бути відновлено закон руху цієї точки (первоподібна); щодо прискорення руху точки - її швидкість та закон руху. Як бачимо, інтегрування - широке полі діяльності Шерлоков Холмсов від фізики. Та й в економіці багато понять надаються через функції та їх похідні і тому, наприклад, можна за продуктивністю праці у певний момент часу (похідної) відновити обсяг продукції, випущений у відповідний час.

Щоб знайти невизначений інтеграл, потрібна досить невелика кількість основних формул інтегрування. Але процес його знаходження значно важче, ніж лише застосування цих формул. Вся складність відноситься не до інтегрування, а до приведення інтегрованого виразу до такого виду, що дає можливість знайти невизначений інтеграл за вищезазначеними основними формулами. Це означає, що для початку практики інтегрування потрібно активізувати отримані в середній школінавички перетворення виразів.

Вчитися знаходити інтеграли будемо, користуючись властивостями та таблицею невизначених інтегралівз уроку про основні поняття цієї теми (відкриється у новому вікні).

Існує кілька методів знаходження інтеграла, з яких метод заміни змінноїі метод інтегрування частинами- обов'язковий джентльменський набір кожного, хто успішно здав найвищу математику. Однак починати освоювати інтегрування корисніше і приємніше із застосуванням методу розкладання, заснованому на двох теоремах про властивості невизначеного інтеграла, які для зручності повторимо тут.

Теорема 3.Постійний множник у подинтегральном вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто.

Теорема 4.Невизначений інтеграл суми алгебри кінцевого числафункцій дорівнює алгебраїчній суміневизначених інтегралів цих функцій, тобто.

(2)

Крім того, в інтегруванні може стати в нагоді наступне правило: якщо вираз підінтегральної функції містить постійний множник, то вираз первісної домножується на число, зворотне постійному множнику, тобто

(3)

Оскільки цей урок - вступний у вирішення завдань інтегрування, важливо відзначити дві речі, які або вже насправді початковому етапіабо трохи пізніше можуть вас здивувати. Здивування пов'язане з тим фактом, що інтегрування - операція, зворотна диференціюванню і невизначений інтеграл можна справедливо називати "антипохідною".

Перша річ, якою не слід дивуватися при інтегруванні.У таблиці інтегралів існують формули, які не мають аналогів серед формул похідної таблиці . Це такі формули:

Однак можна переконатися в тому, що похідні виразів, що стоять у правих частинах цих формул, збігаються з відповідними підінтегральними функціями.

Друга річ, якій не слід дивуватися при інтегруванні. Хоча похідна будь-якої елементарної функції є також елементарною функцією, невизначені інтеграли від деяких елементарних функцій вже не є елементарними функціями . Прикладами таких інтегралів можуть бути такі:

Для вироблення техніки інтегрування стануть у нагоді такі навички: скорочення дробів, розподіл багаточлена в чисельнику дробу на одночлен у знаменнику (для отримання суми невизначених інтегралів), перетворення коренів у ступені, множення одночлена на багаточлен, зведення в ступінь. Ці навички потрібні для перетворень підінтегрального виразу, у яких має вийти сума інтегралів, присутніх у таблиці інтегралів.

Знаходимо невизначені інтеграли разом

приклад 1.Знайти невизначений інтеграл

.

Рішення. Бачимо у знаменнику підінтегрального виразу багаточлен, у якому ікс у квадраті. Це майже вірна ознака того, що можна застосувати табличний інтеграл 21 (з арктангенсом у результаті). Виносимо із знаменника множник-двійку (є така властивість інтеграла - постійний множник можна виносити за знак інтеграла, вище воно було згадано як теорема 3). Результат всього цього:

Тепер у знаменнику є сума квадратів, а це означає, що можемо застосувати згаданий табличний інтеграл. Остаточно отримуємо відповідь:

.

приклад 2.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Знову застосовуємо теорему 3 - властивість інтеграла, на підставі якого постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Застосовуємо формулу 7 з таблиці інтегралів (змінна до ступеня) до підінтегральної функції:

.

Скорочуємо дроби і перед нами кінцева відповідь:

приклад 3.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Застосовуючи спочатку теорему 4, а потім теорему 3 про властивості знайдемо даний інтеграл як суму трьох інтегралів:

Усі три отримані інтеграли – табличні. Використовуємо формулу (7) з таблиці інтегралів при n = 1/2, n= 2 і n= 1/5, і тоді

об'єднує всі три довільні постійні, які були введені при знаходженні трьохінтегралів. Тому в аналогічних ситуаціяхслід вводити лише одну довільну постійну (константу) інтегрування.

приклад 4.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Коли знаменнику подинтегральной дробу - одночлен, можемо почленно розділити чисельник на знаменник. Вихідний інтеграл перетворився на суму двох інтегралів:

.

Щоб застосувати табличний інтеграл, перетворимо коріння в міру і ось вже остаточна відповідь:

Продовжуємо знаходити невизначені інтеграли разом

Приклад 7.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Якщо ми перетворимо підінтегральну функцію, звівши двочлен у квадрат і розділивши почленно чисельник на знаменник, то вихідний інтеграл стане сумою трьох інтегралів.

Інтегральне обчислення.

Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцієюфункції f (x) на відрізку , якщо в будь-якій точці цього відрізка правильна рівність:

Слід зазначити, що первісних однієї й тієї функції може бути нескінченно багато. Вони відрізнятимуться один від одного на деяке постійне число.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Невизначений інтеграл.

Визначення: Невизначеним інтеграломфункції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на певному відрізку є безперервність функції цьому відрізку.

Властивості:

1.

2.

3.

4.

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язане головним чином із знаходженням первісної функції. Для деяких функцій це досить складне завдання. Нижче буде розглянуто способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді дуже об'ємними. У них включені різні комбінації функцій, що найчастіше зустрічаються. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками один одного, тому наведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна отримати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Методи інтегрування.

Розглянемо три основні методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первісної функції із подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Загалом, зауважимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього на прикладі:

Потрібно знайти значення інтегралу . На основі відомої формулидиференціювання
можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює
, де С - деяке постійне число. Однак, з іншого боку
. Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Зауважимо, що на відміну диференціювання, де знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, призводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться переважно спиратися на знання таблиць похідних та первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна відразу знайти первинну дуже мало. Тому здебільшого застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл
, але складно відшукати первісну, то за допомогою заміниx=(t) іdx=(t)dtвиходить:

Доказ : Продиференціюємо пропоновану рівність:

За розглянутою вище якістю №2 невизначеного інтеграла:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

що з урахуванням введених позначень є вихідним припущенням. Теорему доведено.

приклад.Знайти невизначений інтеграл
.

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

приклад.

Заміна
Отримуємо:

Нижче буде розглянуто інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної праці:

(uv)=uv+vu

де uіv - деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, отримуємо:
, а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або
;

Отримали формулу інтегрування частинами, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його до лівої частини рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж докладно розглянути методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I.
ІІІ.

ІІ.
IV.

m,n- натуральні числа(m2,n2) іb 2 – 4ac<0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановок t=ax+b.

Розглянемо спосіб інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної формули на прикладах.

приклад.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax 2 +bx+cвираз b 2 – 4ac>0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте, проте його можна інтегрувати вказаним вище способом.

приклад.

приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду
можна шляхом виділення у знаменнику повного квадрата подати у вигляді
. Зробимо таке перетворення:

Другий інтеграл, що входить до цієї рівності, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекурентної.Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл
.

Повернемося тепер до інтегралу від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u 2 + sнаводиться до табличного а до другого інтегралу застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на складність інтегрування елементарного дробу виду IV, що здається, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, А універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього на ЕОМ.

приклад:

Інтегрування оптимальних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо
- правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників (зазначимо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:

де A i, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідного дробу елементарні. Для знаходження величинA i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів , Суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього розглянемо на конкретному прикладі.

приклад.

Приводячи до спільного знаменника та прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

приклад.

Т.к. дріб неправильний, то попередньо слід виділити в неї цілу частину:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що за х = 3 знаменник дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x-3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x-2

Таким чином, 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання та вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу у тому, що у отримане вище вираз підставляються почергово кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень x. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, у яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто. у разі – 3, -2, 1/3. Отримуємо:

Остаточно отримуємо:

=

приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтегралу:

Інтегрування деяких тригонометричних

функцій.

Інтегралів від тригонометричних функційможе бути нескінченно багато. Більшість із цих інтегралів взагалі не можна вирахувати аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типифункцій, які можуть бути інтегровані завжди.

Інтеграл виду
.

Тут R - позначення деякої раціональної функції від змінних sinxіcosx.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки
. Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію на раціональну.

,

Тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

приклад.

Безперечною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну та обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу та сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдино результативним.

приклад.

Інтеграл виду
якщо

функціяRcosx.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sinx.

Функція
може містити cosx тільки в парних ступенях, а, отже, може бути перетворена на раціональну функцію щодо sinx.

приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна лише непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію, може бути будь-якою, як цілою, так і дробовою.

Інтеграл виду
якщо

функціяRє непарною щодоsinx.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

приклад.

Інтеграл виду

функціяRпарна щодоsinxіcosx.

Для перетворення функції Rв раціональну використовується підстановка

t = tgx.

приклад.

Інтеграл твору синусів та косинусів

різних аргументів.

Залежно від типу твору застосовується одна з трьох формул:

приклад.

приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули зниження порядку функцій.

приклад.

приклад.

Іноді застосовують деякі нестандартні прийоми.

приклад.

Інтегрування деяких ірраціональних функций.

Не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію на раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

Інтеграл виду
деn- натуральне число.

За допомогою підстановки
функція раціоналізується.

приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то як нова змінна раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшому загальному кратному ступенів коренів, що входять у вираз.

Проілюструємо це з прикладу.

приклад.

Інтегрування біномінальних диференціалів.

Визначення: Біномінальним диференціаломназивається вираз

x m (a + bx n ) p dx

де m, n, і p– раціональні числа.

Як було підтверджено академіком Чебишевим П.Л. (1821-1894), інтеграл від біномінального диференціала може бути виражений через елементарні функції лише у наступних трьох випадках:

Якщо р- ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки

, де- спільний знаменникmі n.

Наведено огляд методів обчислення невизначених інтегралів. Розглянуто основні методи інтегрування, які включають інтегрування суми і різниці, винесення постійної за знак інтеграла, заміну змінної, інтегрування частинами. Також розглянуто спеціальні методита прийоми інтегрування дробів, коренів, тригонометричних та показових функцій.

Первісна і невизначений інтеграл

Первісна F(x) від функції f(x) - це така функція, похідна якої дорівнює f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
де Δ - Проміжок, на якому виконується дане рівняння.

Сукупність всіх первісних називається невизначеним інтегралом:
,
де C - постійна, яка залежить від змінної x .

Основні формули та методи інтегрування

Таблиця інтегралів

Кінцева метаобчислення невизначених інтегралів - шляхом перетворень, привести заданий інтеграл до виразу, що містить найпростіші або табличні інтеграли.
Див. Таблиця інтегралів >>>

Правило інтегрування суми (різниці)

Винесення постійної за знак інтегралу

Нехай c - постійна, що не залежить від x. Тоді її можна винести за знак інтегралу:

Заміна змінної

Нехай x - функція від змінної t x = φ(t) тоді
.
Або навпаки, t = φ(x) ,
.

За допомогою заміни змінної можна обчислити прості інтеграли, а й спростити обчислення складніших.

Правило інтегрування частинами

Інтегрування дробів (раціональних функцій)

Введемо позначення. Нехай P k (x), Q m (x), R n (x) позначають багаточлени ступенів k, m, n відповідно щодо змінної x .

Розглянемо інтеграл, що складається з дробу багаточленів (так звана раціональна функція):

Якщо k ≥ n, то спочатку потрібно виділити цілу частину дробу:
.
Інтеграл від многочлена S k-n(x) обчислюється за таблицею інтегралів.

Залишається інтеграл:
де m< n .
Для його обчислення, підінтегральний вираз слід розкласти на найпростіші дроби.

Для цього потрібно знайти коріння рівняння:
Q n (x) = 0.
Використовуючи отримане коріння, потрібно уявити знаменник у вигляді твору співмножників:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Тут s-коефіцієнт при x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Після цього розкласти дріб на найпростіші:

Інтегруючи, отримуємо вираз, що складається з більш простих інтегралів.
Інтеграли виду

приводяться до табличних підстановкою t = x - a.

Розглянемо інтеграл:

Перетворимо чисельник:
.
Підставляючи в підінтегральний вираз, отримуємо вираз, до якого входять два інтеграли:
,
.
Перший, підстановкою t = x 2 + ex + f наводиться до табличного.
Другий, за формулою приведення:

наводиться до інтегралу

Наведемо його знаменник до суми квадратів:
.
Тоді підстановкою, інтеграл

також наводиться до табличного.

Інтегрування ірраціональних функцій

Введемо позначення. Нехай R(u 1 , u 2 , ... , u n ) означає раціональну функцію від змінних u 1 , u 2 , ... , u n . Тобто
,
де P, Q - многочлен від змінних u 1 , u 2 , ... , u n .

Дробно-лінійна ірраціональність

Розглянемо інтеграли виду:
,
де - раціональні числа, m 1 , n 1 , ..., m s , ns - цілі числа.
Нехай n - загальний знаменник чисел r1, ..., rs.
Тоді інтеграл зводиться до інтегралу від раціональних функцій підстановкою:
.

Інтеграли від диференціальних біномів

Розглянемо інтеграл:
,
де m, n, p - раціональні числа, a, b - дійсні числа.
Такі інтеграли зводяться до інтегралів від раціональних функцій у трьох випадках.

1) Якщо p – ціле. Підстановка x = t N де N - загальний знаменник дробів m і n .
2) Якщо – ціле. Підстановка a x n + b = t M де M - знаменник числа p .
3) Якщо – ціле. Підстановка a + b x - n = t M де M - знаменник числа p .

Якщо жодне з трьох чисел не є цілим числом, то за теоремою Чебишева інтеграли цього виду не можуть бути виражені кінцевою комбінацією елементарних функцій.

У ряді випадків, спочатку буває корисним привести інтеграл до зручніших значень m і p. Це можна зробити за допомогою формул приведення:
;
.

Інтеграли, що містять квадратний корінь із квадратного тричлена

Тут ми розглядаємо інтеграли виду:
,

Підстановки Ейлера

Такі інтеграли можуть бути зведені до інтегралів від раціональних функцій однієї з трьох підстановок Ейлера:
, при a > 0;
при c > 0 ;
де x 1 - корінь рівняння a x 2 + b x + c = 0. Якщо це рівняння має дійсне коріння.

Тригонометричні та гіперболічні підстановки

Прямі методи

Найчастіше, підстановки Ейлера призводять до довшим обчислень, ніж прямі методи. За допомогою прямих методів інтеграл наводиться до одного з наведених нижче видів.

І тип

Інтеграл виду:
,
де P n (x) - багаточлен ступеня n .

Такі інтеграли є методом невизначених коефіцієнтів, використовуючи тотожність:

Диференціюючи це рівняння та прирівнюючи ліву та праву частини, знаходимо коефіцієнти A i .

II тип

Інтеграл виду:
,
де P m (x) - багаточлен ступеня m.

Підстановкою t = (x - α) -1цей інтеграл наводиться до попереднього типу. Якщо m ≥ n, то у дробу слід виділити цілу частину.

III тип

Третій і найскладніший тип:
.

Тут потрібно зробити підстановку:
.
Після чого інтеграл набуде вигляду:
.
Далі постійні α, β потрібно вибрати такими, щоб коефіцієнти при t звернулися в нуль:
B = 0, B 1 = 0.
Тоді інтеграл розпадається на суму інтегралів двох видів:
;
,
які інтегруються, відповідно до підстановок:
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.

Загальний випадок

Інтегрування трансцендентних (тригонометричних та показових) функцій

Заздалегідь зазначимо, що ті методи, які застосовуються для тригонометричних функцій, також застосовуються і для гіперболічних функцій. З цієї причини ми не розглядатимемо інтегрування гіперболічних функцій окремо.

Інтегрування раціональних тригонометричних функцій від cos x та sin x

Розглянемо інтеграли від тригонометричних функцій виду:
,
де R – раціональна функція. Сюди також можуть входити тангенси та котангенси, які слід перетворити через синуси та косинуси.

При інтегруванні таких функцій корисно мати на увазі три правила:
1) якщо R( cos x, sin x)множиться на -1 від зміни знака перед однією з величин cos xабо sin x, то корисно іншу з них позначити через t.
2) якщо R( cos x, sin x)не змінюється від зміни знака одночасно перед cos xі sin x, то корисно покласти tg x = tабо ctg x = t.
3) підстановка у всіх випадках призводить до інтегралу від раціонального дробу. На жаль, ця підстановка призводить до більш довгих обчислень, ніж попередні, якщо вони застосовні.

Добуток статечних функцій від cos x і sin x

Розглянемо інтеграли виду:

Якщо m і n – раціональні числа, то однією з підстановок t = sin xабо t = cos xінтеграл зводиться до інтегралу диференціального бінома.

Якщо m і n - цілі числа, то інтеграли обчислюються інтегруванням частинами. При цьому виходять такі формули:

;
;
;
.

Інтегрування частинами

Застосування формули Ейлера

Якщо підінтегральний вираз лінійний щодо однієї з функцій
cos axабо sin ax, то зручно застосувати формулу Ейлера:
e iax = cos ax + isin ax(Де i 2 = - 1 ),
замінивши цю функцію на e iaxта виділивши дійсну (при заміні cos ax) або уявну частину (при заміні sin ax) з отриманого результату.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Процес вирішення інтегралів у науці під назвою "математика" називається інтегруванням. За допомогою інтегрування можна знаходити деякі фізичні величини: площа, об'єм, масу тіл та багато іншого.

Інтеграли бувають невизначеними та певними. Розглянемо вигляд певного інтеграла та спробуємо зрозуміти його фізичний сенс. Видається він у такому вигляді: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Характерна рисанаписання певного інтеграла від невизначеного у цьому, що є межі інтегрування a і b. Зараз дізнаємося для чого вони потрібні, і що ж означає певний інтеграл. У геометричному сенсітакий інтеграл дорівнює площіфігури, обмеженою кривою f(x), лініями a та b, і віссю Ох.

З рис.1 видно, що певний інтеграл - це та є та сама площа, що зафарбована сірим кольором. Давайте перевіримо це на найпростішому прикладі. Знайдемо площу фігури на зображенні, представленому нижче за допомогою інтегрування, а потім обчислимо її звичайним способом множення довжини на ширину.

З рис.2 видно, що $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Тепер підставимо їх у визначення інтеграла, отримуємо, що $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(од)^2 $$ Зробимо перевірку звичайним способом. У нашому випадку довжина = 3, ширина фігури = 1. $$ S = \text(довжина) \cdot \text(ширина) = 3 \cdot 1 = 3 \text(од)^2 $$ Як бачимо, все відмінно збіглося .

Постає питання: як вирішувати інтеграли невизначені і який у них сенс? Рішення таких інтегралів – це знаходження первісних функцій. Цей процес протилежний до знаходження похідної. Для того, щоб знайти первісну можна використовувати нашу допомогу у вирішенні задач з математики або необхідно самостійно безпомилково визубрувати властивості інтегралів та таблицю інтегрування найпростіших елементарних функцій. Знаходження виглядає так $$ \ int f (x) dx = F (x) + C \ text (де) F (x) $ - первісна $ f (x), C = const $.

Для вирішення інтеграла необхідно інтегрувати функцію $f(x)$ за змінною. Якщо функція таблична, записується відповідь у відповідному вигляді. Якщо ж ні, то процес зводиться до отримання табличні функціїз функції $ f(x) $ шляхом хитрих математичних перетворень. Для цього є різні методита властивості, які розглянемо далі.

Отже, тепер складемо алгоритм, як вирішувати інтеграли для чайників?

Алгоритм обчислення інтегралів

1. Дізнаємось певний інтеграл чи ні.
2. Якщо невизначений, то потрібно знайти первісну функцію$ F (x) $ від підінтегральної $ f (x) $ за допомогою математичних перетворень, що призводять до табличного виду функцію $ f (x) $.
3. Якщо певний, потрібно виконати крок 2, а потім підставити межі $ а $ і $ b $ в первісну функцію $ F (x) $. За якою формулою це зробити дізнаєтесь у статті "Формула Ньютона Лейбніца".

Приклади рішень

Отже, ви дізналися, як вирішувати інтеграли для чайників, приклади рішення інтегралів розібрали по поличках. Дізналися фізичний та геометричний їхній зміст. Про методи рішення буде викладено у інших статтях.