Перетин випадкової функції. Комплексні випадкові функції та їх характеристики

Нехай над випадковою функцією X(t)проведено пнезалежних дослідів (спостережень) та в результаті отримано преалізацій випадкової функції (рис. 15.4.1).

Мал. 15.4.1

Потрібно знайти оцінки для характеристик випадкової функції: її математичного очікування m x (t),дисперсії D x (t)та кореляційної функції K x (t, t).

Для цього розглянемо ряд перерізів випадкової функції для моментів часу

та зареєструємо значення, прийняті функцією X(t)у ці моменти часу. Кожному з моментів /, t 2 , ..., t mбуде відповідати пзначень випадкової функції

Значення /, I, t mзазвичай задаються рівновіддаленими; величина інтервалу між сусідніми значеннями вибирається в залежності від виду експериментальних кривих так, щоб за вибраними точками можна було відновити основний перебіг кривих. Часто буває так, що інтервал між сусідніми значеннями tвизначається незалежно від завдань обробки частотою роботи реєструючого приладу (наприклад, темпом кіноапарата).

Зареєстровані значення X(t)заносяться до таблиці, кожен рядок якої відповідає певній реалізації, а число стовпців дорівнює кількості опорних значень аргументу (табл. 15.4.1).

Таблиця 15.4.1

У таблиці 15.4.1 у /-Й рядку вміщено значення випадкової функції, спостеріганої в /-й реалізації (/-м досвіді) при значеннях аргументу, / 2, ..., t m.Символом Xj( 4) позначено значення, що відповідає /-й реалізації в момент t k .

Отриманий матеріал є не що інше, як результати пдослідів над системою твипадкових величин

та обробляється абсолютно аналогічно (див. підрозділ 14.3). Насамперед знаходяться оцінки для математичних очікувань за формулою

потім – для дисперсій

та, нарешті, для кореляційних моментів

У ряді випадків буває зручно при обчисленні оцінок для дисперсій та кореляційних моментів скористатися зв'язком між початковими та центральними моментамиі обчислювати їх за формулами:

При користуванні останніми варіантамиформул, щоб уникнути різниці близьких чисел, рекомендується заздалегідь перенести початок відліку по осі ординат ближче до математичного очікування.

Після того, як ці характеристики обчислені, можна, користуючись рядом значень m x (t (), m x (t 2), m x (t m),побудувати залежність m x (t)(Рис. 15.4.1). Аналогічно будується залежність Прох (/). Функція двох аргументів K x (t, t")відтворюється за її значеннями прямокутної сітці точок. У разі потреби всі ці функції апроксимуються будь-якими аналітичними виразами.

15.5. Методи визначення характеристик перетворених випадкових функцій за характеристиками вихідних функцій

У попередньому підрозділі ми познайомилися з методом безпосереднього визначення характеристик випадкової функції досвіду. Такий метод застосовується далеко не завжди. По-перше, постановка спеціальних дослідів, призначених для дослідження цікавих для нас випадкових функцій, може виявитися дуже складною і дорогою.

По-друге, часто нам потрібно досліджувати випадкові функції, що характеризують помилки приладів, прицільних пристосувань, систем управління і т.д., ще не існуючих, а проектованих або розроблюються. При цьому зазвичай дослідження цих помилок робиться саме для того, щоб раціонально вибрати конструктивні параметри системи так, щоб вони призводили до мінімальних помилок.

Зрозуміло, що при цьому безпосереднє дослідження випадкових функцій, що характеризують роботу системи, є недоцільним, а в ряді випадків взагалі неможливим. У разі як основних робочих методів застосовуються не прямі, а непрямі методи дослідження випадкових функцій. Подібними опосередкованими методами ми вже користувалися при дослідженні випадкових величин: ряд розділів нашого курсу -10,11,12 - був присвячений знаходженню законів розподілу та числових характеристик випадкових величин побічно, за законами розподілу та числовим характеристикамінших випадкових величин, пов'язаних з ними. Користуючись абсолютно аналогічними методами, можна визначати характеристики випадкових функцій опосередковано, за характеристиками інших випадкових функцій, пов'язаних з ними. Розвиток таких непрямих методів становить головний зміст прикладної теорії випадкових функцій.

Завдання непрямого дослідження випадкових функцій практично зазвичай виникає у наступній формі.

Мал. 15.5.1

Є деяка динамічна система А;під «динамічної системою» ми розуміємо будь-який прилад, приціл, лічильно-розв'язуючий механізм, систему автоматичного керування тощо. Ця система може бути механічною, електричною або містити будь-які інші елементи. Роботу системи будемо уявляти наступним чином: на вхід системи безперервно надходять якісь вхідні дані; система переробляє їх і безперервно видає певний результат. Умовимося називати що надходять на вхід системи дані «впливом», а результат «реакцією» системи на цей вплив. Як впливи можуть фігурувати напруги, що змінюються, кутові і лінійні координатибудь-яких об'єктів, сигнали або команди, що подаються на систему керування тощо. Так само і реакція системи може вироблятися в тій чи іншій формі: у вигляді напруг, кутових переміщеньі т.д. Наприклад, для прицілу повітряної стрільби впливом є кутова координата мети, що рухається, безперервно вимірювана в процесі стеження, реакцією - кут попередження. Розглянемо найпростіший випадок: коли на вхід системи Аподається тільки одна дія, що є функцією часу х(/); реакція системи на цей вплив є іншою функцією часу у(/). Схема роботи системи Аумовно зображено на рис. 15.5.1. Говоритимемо, що система Аздійснює над вхідним впливом деяке перетворення, внаслідок якого функція x(f)перетворюється на іншу функцію у(/). Запишемо це перетворення символічно у вигляді:

Перетворення Аможе бути будь-якого виду та будь-якої складності. У найбільш простих випадкахце, наприклад, множення на заданий множник (підсилювачі, механізми розмноження), диференціювання або інтегрування (диференціюючі або інтегруючі пристрої). Однак на практиці системи, які здійснюють чистому виглядітакі найпростіші перетворення майже не зустрічаються; як правило, робота системи описується диференціальними рівняннями, та перетворення Азводиться до рішення диференціального рівняння, що пов'язує вплив х (/) з реакцією у (I).

При дослідженні динамічної системинасамперед вирішується основне завдання: по заданому впливу x(t)визначити реакцію системи y(t).Однак для повного дослідженнясистеми та оцінки її технічних якостей такий елементарний підхід є недостатнім. Насправді вплив х(/) ніколи не надходить на вхід системи у чистому вигляді; воно завжди спотворене деякими випадковими помилками (обуреннями), у яких на систему фактично впливає не задана функція x(t),а випадкова функція X(t)відповідно до цього система виробляє як реакцію випадкову функцію Y(t),також відрізняється від теоретичної реакціїу (/) (рис. 15.5.2).

Мал. 15.5.2

Природно постає питання: наскільки великі будуть випадкові спотворення реакції системи за наявності випадкових збурень на її вході? І далі: як слід вибрати параметри системи, щоб ці спотворення були мінімальними?

Рішення подібних завданьне може бути отримано методами класичної теоріїймовірностей; єдиним підходящим математичним апаратомз цією метою є апарат теорії випадкових функцій.

З двох поставлених вище завдань, природно, простішою є перша - пряма - завдання. Сформулюємо її в такий спосіб.

На вхід динамічної системи Анадходить випадкова функція Х(1 ); система піддає її відомому перетворенню, у результаті на виході системи з'являється випадкова функція:

Відомі характеристики випадкової функції X(t):математичне очікування та кореляційна функція. Потрібно знайти аналогічні характеристики випадкової функції Y(t).Коротше, по заданим характеристикамвипадкової функції на вході динамічної системи знайти характеристики випадкової функції на виході.

Поставлена ​​задача може бути вирішена точно в одному приватному, але дуже важливому для практики випадку: коли перетворення Аналежить до класу про лінійних перетвореньі відповідно система Аналежить до класу лінійних систем.

Лекція 13. Випадкові процеси Основні поняття. Закон розподілу та . Стаціонарні, ергодичес

Визначення

Класифікація випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Основні характеристики випадкових процесів

Стаціонарні випадкові процеси

Властивості кореляційної функції стаціонарного СП

Ергодичні випадкові процеси

Елементарні випадкові процеси

До цього часу ми вивчали лише скалярні або векторні випадкові величини, кожна з яких у результаті досвіду приймає одне певне значення, скалярне чи векторне, відповідно. Однак у додатках доводиться зустрічатися ще з такими випадковими величинами, значення яких у кожному даному досвідізмінюються залежно від часу чи інших аргументів. Кожна така випадкова величина приймає в результаті досвіду незліченну (загалом незліченну) безліч значень - по одному для кожного значення аргументу або для кожної сукупності значень аргументів. Так, наприклад, в результаті вимірювання величини, що безперервно змінюється, ми отримуємо функцію, що визначає закон зміни результату вимірювання з часом у процесі вимірювання. Ця функція має одне певне значення для кожного моменту часу в інтервалі, протягом якого проводиться вимірювання. Повторюючи вимір, здавалося б в однакових умовах, ми отримуватимемо внаслідок неточності вимірювальних приладів різні функції. Таким чином, результат вимірювання величини, що безперервно змінюється, є такою випадковою величиною, яка в кожному даному досвіді являє собою певну функціючасу, а різних дослідах, вироблених начебто у цілком однакових умовах, є різні функції часу. Подібні випадкові величини є випадковими функціями. Результат одночасного вимірювання кількох безперервно змінюваних величин (наприклад, координат будь-якого об'єкта, що рухається) може служити прикладом векторної випадкової функції, тобто сукупності декількох випадкових функцій.

Випадковою функцією називається функція, значення якої при кожному даному значенні аргументу (або кількох аргументів)

є випадковою величиною. В результаті досвіду випадкова функція може набувати різних конкретних форм. Будь-яка функція, якою може бути рівною випадкова функція в результаті досвіду, називається реалізацією випадкової функції (або можливим значенням випадкової функції). Відповідно до прийнятого в справжній книзіправилом позначення випадкових величин та їх можливих значень ми позначатимемо випадкові функції великими літерами латинського алфавіту, наприклад Реалізації випадкових функцій позначатимемо відповідними малими літерами, наприклад х, у і т. д.

Аргумент випадкової функції або сукупність всіх її аргументів будемо позначати буквою або буквою 5 і писати, як зазвичай прийнято, у дужках за позначенням самої функції, наприклад Якщо аргумент випадкової функції є сукупністю скалярних змінних, то його можна розглядати як -мірний вектор. Таким чином, аргументами випадкових функцій у теорії, що викладається далі, можуть бути довільні скалярні або векторні величини

Випадкову функцію можна також розглядати як нескінченну (в загальному випадку незліченну) сукупність випадкових величин, що залежить від одного або декількох параметрів, що безперервно змінюються Кожному даному значеннюпараметра (або параметрів) відповідає одна випадкова величина Разом усі випадкові величини визначають випадкову функцію Таке трактування випадкової функції показує, що випадкова функція як об'єкт математичного дослідженнязначно складніше звичайної випадкової величини, А саме рівноцінна нескінченному (загалом незліченному) безлічі випадкових величин.

У фізичних та технічних програмах часто доводиться розглядати випадкові функції часу. Такі випадкові функції зазвичай називаються випадковими чи стохастичними процесами. Відповідно теорія випадкових функцій однієї незалежної змінної часто називається теорією випадкових (стохастичних) процесів. Прикладом випадкової функції часу може бути помилка вимірювання величини, що безперервно змінюється. На рис. 18 наведено запис помилки вимірювання кутової координати літака радіолокатором, запозичена з .

У фізиці часто доводиться розглядати довільні функції координат точки простору. Простір із заданим у ньому розподілом значень деякої величини називається полем цієї величини. Випадкова функція координат точки простору наводить

(Клацніть для перегляду скана)

у відповідність кожній точці простору деяку випадкову величину. Внаслідок цього, вивчаючи випадкову функцію координат точки простору, можна говорити про випадкове поле. Тому теорію випадкових функцій координат точки простору часто називають теорією випадкових полів. прикладом випадкового поляможе служити поле вектора швидкості вітру в турбулентній атмосфері, що встановилася. У загальному випадку атмосфери вектор швидкості вітру є випадковою функцією координат точки простору і часу.

Так як при кожному даному значенні аргументу значення випадкової функції є звичайною випадковою скалярною величиною, то повною імовірнісною характеристикою цього значення є його закон розподілу. Цей закон розподілу називається одномірним законом розподілу випадкової функції Одномірний закон розподілу випадкової функції в загальному випадку залежить від як від параметра і може бути заданий одномірною щільністю ймовірності Одномірний закон розподілу випадкової функції є достатньою характеристикою випадкової функції для тих завдань, у яких значення випадкової функції при різних значення аргументу розглядаються ізольовано один від одного. Для вирішення завдань, у яких доводиться розглядати спільно значення випадкової функції при двох чи більше значення аргументу, необхідно ввести спільні закони розподілу значень випадкової функції при декількох значеннях аргументу.

Двовимірним закономрозподілу випадкової функції називається спільний закон розподілу її значень при двох довільно взятих значеннях аргументу Взагалі -мірним законом розподілу випадкової функції називається закон розподілу сукупності її значень при довільно взятих значеннях аргументу У разі залежить від значень аргументу як від параметрів.

Знаючи двовимірну густину ймовірності випадкової функції, можна визначити її одномірну густину ймовірності за формулою (15.8). В результаті отримаємо співвідношення

Взагалі, знаючи -мірну густину ймовірності випадкової функції, можна визначити всі її густини ймовірності чисел вимірювань, менших ніж користуючись формулою (15.17). В результаті

Таким чином, задаючи -мірну густину ймовірності випадкової функції, ми тим самим задаємо і всі її густини ймовірності менших чисел вимірювань. Закон розподілу випадкової функції більшого числа вимірів є повнішою характеристикою випадкової функції, ніж будь-який закон розподілу меншого числа вимірів. Однак закон розподілу будь-якого кінцевого числа вимірювань не може служити в загальному випадку вичерпною характеристикою випадкової функції, так як знання мірного закону розподілу в загальному випадку недостатньо для визначення законів розподілу більших, ніж чисел вимірювань. Лише у окремих випадках закон розподілу кінцевого числа вимірів може бути вичерпною характеристикою випадкової функції. У випадку для повної характеристики випадкової функції необхідно задати всю послідовність її законів розподілу, т. е. щільності ймовірності всім значень

Якщо значення випадкової функції при будь-яких різних значеннях аргументу є незалежними випадковими величинами, то мірна щільність ймовірності випадкової функції згідно з формулою (16.9) і визначення незалежності випадкових величин (§ 16), при будь-якому виражається через її одномірну щільність ймовірності формулою

Ця формула показує, що вичерпною характеристикою випадкової функції із незалежними значеннями є її одномірний закон розподілу.

Прикладом випадкових функцій, вичерпною характеристикою яких є двовимірні закони розподілу, можуть бути марківські. випадкові процеси. Марківським випадковим процесом, або випадковим процесом без наслідку, називається випадкова функція скалярної змінної значенняякої при значеннях змінної за будь-якого утворюють простий ланцюгМаркова. Згідно з визначенням простого ланцюга Маркова,

даному в § 47, умовний закон розподілу значення випадкової функції залежить тільки від значення випадкової величини і не залежить від значень випадкових величин. загальну формулу(16.17), отримаємо для -мірної густини ймовірності марковського випадкового процесу формулу

Але умовна щільність ймовірності виходячи з формули (16.6) дорівнює:

Формули (48.4) та (48.5) дають:

Формули (48.1) і (48.6) показують, що -мірна густина ймовірності марковського випадкового процесу при будь-якому може бути визначена, якщо відома його двовимірна густина ймовірності. Отже двомірний закон розподілу є вичерпною характеристикою марковського випадкового процесу.

Другим прикладом випадкових функцій, котрим вичерпною характеристикою є двовимірний закон розподілу, можуть бути нормально розподілені випадкові функції. Ми вважатимемо, що випадкова функція розподілена нормально, якщо сукупність її значень за будь-якого і за будь-яких області зміни аргументу утворює нормально розподілений випадковий вектор. У § 23 ми бачили, що -мірний нормальний законрозподіл повністю визначається математичними очікуваннями, дисперсіями і кореляційними моментами випадкових величин. Але математичні очікування і дисперсії випадкових величин цілком визначаються одновимірним законом розподілу випадкової функції, а їх кореляційні моменти - двомірним законом розподілу випадкової функції.

Дещо загальнішою, ніж випадкова функція з незалежними значеннями, є випадкова функція з некорельованими значеннями. Однак випадкова функція з некорельованими значеннями в загальному випадку не може бути повністю охарактеризована кінцевим законом розподілу. Незважаючи на це,

випадкові функції з некорельованими значеннями відіграють велику рольу прикладній теорії випадкових функцій.

Легко зрозуміти, що інтеграл від випадкової функції з некорельованими (в окремому випадку незалежними) значеннями є випадковою функцією з некорельованими (відповідно незалежними) приростами на областях, що не перекриваються, зміни аргументу. У § 54 буде показано, що інтеграл від випадкової функції з некорельованими значеннями має кінцеву дисперсію лише в тому випадку, якщо дисперсія цієї випадкової функції є нескінченною. Внаслідок цього особливо важливими для додатків є випадкові функції з некорельованими значеннями та нескінченною дисперсією, які зазвичай називають білими шумами. Ми називатимемо білим шумом будь-яку випадкову функцію з некорельованими значеннями, що має нескінченну дисперсію і кінцеву дисперсію інтеграла від неї по будь-якій кінцевій області зміни аргументу. В основі цього терміна лежать фізичні уявлення, пов'язані з величинами, що швидко змінюються, значення яких, розділені дуже малими проміжками часу, практично незалежні. Ми побачимо далі, що при розкладанні таких випадкових функцій на елементарні гармонійні коливаннягармоніки всіх частот виявляються однаковими інтенсивністю. Ця аналогія з білим світлом і спричинила те, що такі випадкові функції називаються білими шумами. Цю назву зручно поширити на всі випадкові функції, що мають перелічені властивості, незалежно від фізичної (або математичної) природи їх аргументів.

Білий шум у чистому вигляді у природі не існує. Як побачимо в § 74, для реалізації білого шуму необхідна нескінченна потужність. Тому поняття білого шуму є математичною абстракцією, зручною побудови теорії. Практично ж можна говорити лише про більшу або меншу міру наближення до білого шуму, про те, що мінімальний проміжок часу, що розділяє значення випадкової функції, які можна вважати практично некорельованими, досить малий для того, щоб його можна було не враховувати.

Очевидно, замість того, щоб характеризувати випадкову функцію послідовністю її законів розподілу різних чиселвимірів, можна характеризувати її одномірним законом розподілу та послідовністю умовних законів розподілу, які можна задати відповідними умовними щільностями ймовірності

Так само, як було визначено двомірний закон розподілу випадкової функції, визначається двомірний закон розподілу двох випадкових функцій. випадкового вектора, складовими якого

є значення випадкової функції за даного значення аргументу і значення випадкової функції при даному значенні аргументу Аналогічно визначаються спільні закони розподілу інших чисел вимірювань двох або декількох випадкових функцій.

Вичерпною характеристикою випадкової функції є її імовірнісний захід, визначення якого було дано в § 14 для будь-яких випадкових об'єктів, у тому числі для випадкових функцій. Імовірнісні міри випадкової функції можна визначити, якщо відомі її закони розподілу всіх чисел вимірювань. Виділимо спочатку з множини всіх можливих реалізацій випадкової функції X множина всіх реалізацій, значення яких у точках належать даним числовим множинам.

Ця формула визначає імовірнісний захід випадкової функції X для всіх множин розглянутого типу за будь-яких і при будь-якому виборі числових множин Поставимо тепер у відповідність кожному значенню аргументу випадкової функції X числове безлічі розглянемо безліч А всіх реалізацій випадкової функції значення яких при всіх належать відповідним множинам Для того щоб визначити значення ймовірнісної міри випадкової функції X для такої множини її реалізацій, поставимо у відповідність кожному цілому позитивному розбиття області зміни аргументу випадкової функції X на осередків таким чином, щоб розміри всіх осередків прагнули до нуля при . У кожному осередку розбиття виберемо довільну точку так, щоб безліч точок містило всі точки, що відповідають попереднім розбиттям. Позначимо через безліч реалізацій випадкової функції X, значення яких у точках належать відповідно до множин тоді отримаємо послідовність множин реалізацій випадкової функції X, кожна з яких включає всі наступні множини. Припустимо, що добуток всіх множин (тобто безліч реалізацій випадкової функції X, що належать всім множинам збігається з вихідною множиноюреалізацій А, якщо не вважати деяких виняткових реалізацій, що мають нульову сумарну ймовірність появи, при будь-якому виборі такої множини реалізацій А. Це припущення накладає певні обмеженняна характер можливих реалізацій випадкової функції. А саме, необхідно, щоб будь-яка безліч її реалізацій можна було визначити з будь-яким ступенем точності, накладаючи на них обмеження кінцевому числідосить близьких один до одного крапок. Вважаючи у формулі (48.7)

знайдемо значення ймовірнісної міри випадкової функції для множин Числа утворюють монотонну послідовність невід'ємних чисел, що не зростає. Отже, існує межа

який і є значенням ймовірнісної міри випадкової функції X для розглянутої множини її реалізацій А.

Формули (48.7) і (48.8) визначають ймовірнісну міру випадкової функції для всіх циліндричних множин реалізацій. Цього достатньо для того, щоб визначити її для будь-яких множин реалізацій.

Для випадкової функції можна визначити функціонал розподілу, який є природним узагальненням функції розподілу випадкової величини. Відповідно до визначення функції розподілу (14.13) функціоналом розподілу випадкової функції X називається ймовірність виконання нерівності при всіх значеннях аргументу

де довільно задана функція. Величина є функціоналом, так як вона залежить від виду функції Очевидно, що функціонал розподілу випадкової функції є значенням її ймовірнісної міри, що відповідає безлічі всіх реалізацій, значення яких при кожному належать відповідному напівнескінченному інтервалу Тому на підставі (48.8) і (48.7) випадкової функції X виражається формулою

Імовірнісний захід та функціонал розподілу випадкової функції поки що не мають великого практичного значення, внаслідок того, що методи обчислення інтегралів типу (18.12) для довільно заданого ймовірнісного заходу в даний час ще дуже мало розроблені.

Абсолютно аналогічно можна узагальнити поняття характеристичної функціїна випадкові функції. Розглядаючи випадкову функцію як сукупність нескінченної множинивипадкових величин залежить від безперервно змінного параметра і узагальнюючи визначення характеристичної функції -мірного випадкового вектора (28.1), ми повинні будемо поширити суму в показнику ступеня на всі можливі значення параметра, що безперервно змінюється При цьому замість доведеться взяти і замінити суму інтегралом. В результаті отримаємо визначення характеристичного функціоналу дійсної випадкової функції

де інтеграл поширюється всю область зміни аргументу Характеристичний функціонал випадкової функції залежить від функції (т. е. від значень цієї функції при всіх значеннях аргументу

Характеристичний функціонал є вичерпною характеристикою випадкової функції Дійсно, задаючи функцію як лінійну комбінацію імпульсних -функцій:

отримаємо на підставі властивостей-функції:

Порівнюючи цей вираз з (28.1), приходимо до висновку, що величина являє собою характеристичну функцію -вимірного випадкового вектора з складовими. випадкової функції його значення при приватних видах функції визначають всі закони розподілу випадкової функції.

Можна дати більше загальне визначенняхарактеристичного функціоналу Для цього необхідно заздалегідь дати визначення лінійного функціоналу. Лінійним функціоналом називається така величина, яка залежить від функції та задовольняє умові

де довільні постійні, а довільні функції. Інтеграл у показнику у формулі (48.11), очевидно, є лінійним функціоналом від випадкової функції. Сума у ​​показнику формули (48.13) також є лінійним функціоналом від випадкової функції.

Узагальнюючи визначення (48.11) можна визначити характеристичний функціонал випадкової функції формулою

де А – довільний лінійний функціонал. Задаючи у формулі (48.15), лінійний функціонал А у вигляді інтеграла або суми, отримаємо формули (48.11) та (48.13) як окремі випадки формули (48.15). Формула (48.15) визначає характеристичний функціонал і в тому випадку, коли аргумент випадкової функції X є вектором, одні складові якого являють собою змінні, що безперервно змінюються, а інші складові є дискретними змінними, у той час як формула (48.11) визначає характеристичний функціонал тільки в приватному випадку, коли всі складові вектора є змінними, що безперервно змінюються.

Якщо характеристичний функціонал випадкової функції X визначається формулою

де - Деякі функції, а індекси у лінійних функціоналів А вказують, до функцій яких аргументів вони застосовуються, то характеристичні функції всіх чисел вимірювань випадкової функції А

будуть нормальними і, отже, випадкова функція X розподілена нормально. Отже, формула (48.16) визначає характеристичний функціонал нормально розподіленої випадкової функції. Ця формула є очевидним узагальненням формули (28.18) для характеристичної функції розподіленого випадкового вектора.

Приклад 1. Знайти щільність ймовірності випадкової функції скалярної незалежної змінної з незалежними приростами, якщо при її значення дорівнює нулю, а її збільшення на будь-якому інтервалі розподілено нормально і має математичне очікування, рівне нулю, та дисперсію

У даному випадкузначення випадкової функції X за будь-якого дорівнює сумі її значення при (рівного нулю) та її збільшення на інтервалі Отже, одномірна щільність ймовірності випадкової функції X визначається формулою

Розглянута випадкова функція, очевидно, є марківський випадковий процес, оскільки її приріст на будь-якому інтервалі не залежить від її значень поза цим інтервалом і, отже, її значення в кінці інтервалу пов'язане лише з її значенням на початку інтервалу і не має безпосередньої статистичного зв'язкуз її значеннями у точках, що передують початку інтервалу. Внаслідок цього визначення всіх щільностей ймовірності випадкової функції X у разі досить знайти умовну щільність ймовірності її значення кінці будь-якого інтервалу щодо її значення на початку інтервалу. Ця умовна щільність ймовірності, очевидно, виражається формулою

Попередні зауваження.Знайдемо зображення Фур'є від d-функції.

Очевидно, справедливо та зворотне перетворенняФур'є:

А також:

1. Нехай процес є постійну величину x(t)=A o .Як було з'ясовано раніше, кореляційна функція такого процесу дорівнює Знайдемо спектральну щільність процесу шляхом прямого перетворенняФур'є функції R(t):

Спектр процесу складається з єдиного піку типу імпульсної функції, розташованої на початку координат. Таким чином, якщо в процесі присутня лише одна частота w=0, це означає, що вся потужність процесу зосереджена цій частоті, як і підтверджує вид функції S(w).Якщо довільна функція містить постійну складову, тобто. середнє значення , то S(w)матиме розрив безперервності на початку координат і характеризуватиметься наявністю d-функції у точці w=0.

2. Для гармонійної функції X = A o sin (w 0 t + j)кореляційна функція:

Спектральна щільність дорівнює

Графік S(w)буде мати два піки типу імпульсної функції, розташованих симетрично щодо початку координат при w=+w 0 та w=-w 0 . Це говорить про те, що потужність процесу зосереджена на двох частотах. w 0 і - w 0 .

Якщо випадкова функція має гармонійні компоненти, то спектральна щільністьмає розриви безперервності в точках w= ± w 0 і характеризується наявністю двох дельта-функцій, розташованих у цих точках.

Білий шум . Під білим шумом розуміють випадковий процес, що має однакові значенняспектральної щільності всіх частотах від -¥ до +¥ : S( w) = Const.

Прикладом такого процесу за певних припущень є теплові шуми, космічне випромінювання та ін. Кореляційна функція такого процесу дорівнює

Таким чином R(t)є імпульсною функцією, розташованою на початку координат.

Цей процес є суто випадковим процесом, т.к. за будь-якого t¹0 відсутня кореляція між наступними та попередніми значеннями випадкової функції. Процес із такою спектральною щільністю є фізично нереальним, т.к. йому відповідають нескінченно великі дисперсіята середній квадрат випадкової величини:

Такому процесу відповідає нескінченно велика потужністьта джерело з нескінченно великою енергією.

2. Білий шум із обмеженою смугою частот. Такий процес характеризується спектральною густиною виду

S(w)=Cпри ½w½<w n,

S(w)=0 при ½w½>w n.

де (- w n, w n) смуга частот для спектральної густини.

Це такий випадковий процес, спектральна щільність якого залишається практично постійною в діапазоні частот, які можуть вплинути на систему управління, тобто. у діапазоні частот, що пропускаються системою. Вид кривої S(w) поза цим діапазоном немає значення, т.к. частина кривої, що відповідає вищим частотам, не вплине на роботу системи. Цьому процесу відповідає кореляційна функція

Дисперсія процесу дорівнює

5. Типовий вхідний сигналстежить системи. Як типовий сигнал приймають сигнал, графік якого показаний на рис.63. Швидкість обертання валу стежить, що задає, зберігає постійне значенняпротягом деяких інтервалів часу t 1 , t 2,...

Перехід від одного значення до іншого відбувається миттєво. Інтервали часу підпорядковуються закону розподілу Пуассона. Математичне очікування

Рис.63. Типовий сигнал

Графік такого виду виходить у першому наближенні під час стеження РЛСза метою, що рухається. Постійні значення швидкості відповідають руху мети прямою. Зміна знака чи величини швидкості відповідає маневру мети.

Нехай m-Середнє число змін швидкості за 1 с. Тоді Т=1/мбуде середнє значення інтервалів часу, протягом яких кутова швидкість зберігає своє незмінне значення. Стосовно до РЛСце значення буде середнім часом руху мети прямою. Для визначення кореляційної функції необхідно знайти середнє значення твору

При знаходженні цього значення може бути два випадки.

1. Моменти часу tі t+tвідносяться до одного інтервалу. Тоді середнє твори кутових швидкостей дорівнюватиме середньому квадрату кутової швидкості або дисперсії:

2. Моменти часу tі t+tвідносяться до різних інтервалів. Тоді середнє твори швидкостей дорівнюватиме нулю, тому що величини W(t)і W(t+t)для різних інтервалівможна вважати незалежними величинами:

Кореляційна функція дорівнює:

де Р 1 - ймовірність знаходження моментів часу t і t + t в одному інтервалі, а Р 2 =1- Р 1 ймовірність знаходження їх в різних інтервалах.

Оцінимо величину Р1. Імовірність появи зміни швидкості на малому інтервалі часу Dt пропорційна цьому інтервалу і дорівнює mDt або Dt/Т. Імовірність відсутності зміни швидкості для цього ж інтервалу дорівнюватиме 1-Dt/Т. Для інтервалу часу t можливість відсутності зміни швидкості тобто. ймовірність знаходження моментів часу t та t+t в одному інтервалі постійної швидкостідорівнюватиме добутку ймовірності відсутності зміни швидкості кожному елементарному проміжку Dt, т.к. ці події є незалежними. Для кінцевого проміжку отримуємо, що число проміжків дорівнює t/Dt та

Перейшовши до межі, отримаємо

100 рбонус за перше замовлення

Виберіть тип роботи Дипломна робота Курсова роботаМагістерська дисертація Звіт з практики Стаття Доповідь Рецензія Контрольна роботаМонографія Розв'язання задач Бізнес-план Відповіді на запитання Творча роботаЕсе Чертеж Твори Переклад Презентації Набір тексту Інше Підвищення унікальності тексту Кандидатська дисертація Лабораторна роботаДопомога on-line

Дізнатись ціну

Випадкова функція - функція, яка в результаті досвіду може прийняти той чи інший невідомий заздалегідь конкретний вигляд. Зазвичай аргументом випадкової функції (с.ф.) є час, тоді с.ф. називають випадковим процесом(С.П.).

С.Ф. безперервно змінюваного аргументу tназивається така с.в., розподіл якої залежить не лише від аргументу t=t1, Але й від того, які приватні значення набувала ця величина при інших значеннях даного аргументу t=t 2. Ці с.в. кореляційно пов'язані між собою і тим більше, чим ближче одні до інших значення аргументів. У межі при інтервалі між двома значеннями аргументу, що прагне нуля, коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці:

тобто. t 1 та t1+Dt1при Dt1®0 пов'язані лінійною залежністю.

С.Ф. приймає в результаті одного досвіду незліченну (загалом незліченну) безліч значень – по одному для кожного значення аргументу або для кожної сукупності значень аргументів. Ця функція має одне певне значення для кожного моменту часу. Результат вимірювання величини, що безперервно змінюється, є такою с.в., яка в кожному даному досвіді є певною функцією часу.

С.Ф. можна також розглядати як нескінченну сукупність с.в., що залежить від одного або декількох параметрів, що безперервно змінюються t. Кожному даному значенню параметра tвідповідає одна с. Xt. Водночас усі с.в. X t визначають с.ф. X(t).Ці с.в. кореляційно пов'язані між собою і тим сильніше, чим ближчі один до одного.

Елементарна с.ф. - Це твір звичайної с.в. Хна деяку невипадкову функцію j(t): X(t) = X×j(t), тобто. така с.ф., у якої випадковим є не вигляд, а лише її масштаб.

С.Ф. - має м.о. дорівнює нулю. p- Щільність розподілу с.в. Х(Значення с.ф. X(t)), взятої при довільному значенні t 1 аргументу t.

Реалізація с. X(t)– описується рівнянням x = f1 (t)при t=t1та рівнянням x = f2 (t)при t=t2.

Взагалі функції x = f1 (t)і x = f2 (t)- Різні функції. Але ці функції тотожні і лінійні тим більше, що більше ( t1®t2) t 1 ближче до t 2.

Одномірна густина ймовірності с.ф. p(x,t)- залежить від хта від параметра t. Двовимірна щільність імовірності p(x1, x2; t1, t2)– спільний закон розподілу значень X(t1) та X(t2)с. ф. X(t)при двох довільних значеннях tі t¢ аргументу t.

. (66.5)

У загальному випадку функція X(t)характеризується більшим числом n-мірних законів розподілу .

М.о. с.ф. X(t)- невипадкова функція, яка при кожному значенні аргументу tдорівнює м.о. ординати с.ф. у цьому аргументі t.

- функція, яка залежить від xі t.

Аналогічно і дисперсія – невипадкова функція.

Ступінь залежності с.в. для різних значеньаргумент характеризується автокореляційною функцією.

Автокореляційна функція с.ф. X(t) Kx(ti,tj)яка при кожній парі значень ti, tjдорівнює кореляційному моменту відповідних ординат с.ф. (при i=jкореляційна функція (к.ф.) звертається до дисперсії с.ф.);

де – спільна щільність розподілу двох с.в. (значень с.ф.), взятих при двох довільних значеннях t 1 та t 2 аргументи t. При t1=t2=tотримуємо дисперсію D(t).

Автокореляційна функція – сукупність м.о. творів відхилень двох ординат с.ф. взятих при аргументах t1і t 2 від ординат невипадкової функції м.о. , узятих за тих же аргументів.

Автокореляційна функція характеризує ступінь мінливості с. за зміни аргументу. На рис. видно, що залежність між значеннями с.ф., що відповідає двом даним значенням аргументу t- слабше у першому випадку.

Мал. Кореляційно пов'язані випадкові функції

Якщо дві с. X(t)і Y(t), що утворюють систему не є незалежними, тототожно не дорівнює нулю їх взаємна кореляційна функція:

де – спільна щільність розподілу двох с.в. (Значень двох с.ф. X(t)і Y(t)), взятих при двох довільних аргументах ( t 1 - аргумент функції X(t), t 2 - аргумент функції Y(t)).

Якщо X(t) та Y(t) незалежні, то K XY( t1,t2) = 0. Система із n с.ф. X 1(t), X2(t),...,Xn(t)характеризується nм.о. , nавтокореляційними функціями та ще n(n-1) / 2 кореляційними функціями.

Взаємна кореляційна функція (характеризує зв'язок між двома с.ф., тобто стохастичну залежність) двох с.ф. X(t)і Y(t)- невипадкова функція двох аргументів t i та t j, яка при кожній парі значень t i, t j дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів с.ф. Вона встановлює зв'язок між двома значеннями двох функцій (значення - с.в.), за двох аргументів t 1 та t 2.

Особливого значення мають стаціонарні випадкові функції , Імовірнісні характеристики яких не змінюються за будь-якого зрушення аргументу. М.о. стаціонарної с.ф. постійно (тобто не є функцією), а кореляційна функція залежить лише від різниці значень аргументів t i та t j.

Це парна функція(симетрично OY).

При великому значенніінтервалу часу t=t2-t1відхилення ординати с.ф. від її м.о. у момент часу t 2 стає практично незалежним від значення цього відхилення у момент часу t 1. У цьому випадку функція KX(t),дає значення кореляційного моментуміж X(t1)і X(t2),при ½ t½®¥ прагне нуля.

Багато стаціонарних с.ф. мають ергодичнимвластивістю, що полягає в тому, що при необмежено зростаючому інтервалі спостереження середнє спостережене значення стаціонарної с.ф. з ймовірністю, що дорівнює 1, необмежено наближатися до її м.о. Спостереження стаціонарної с.ф. при різних значеннях t на досить великому інтервалі в одному досвіді рівноцінно спостереженню її значень при тому самому значенні tу низці дослідів.

Іноді потрібно визначити характеристики перетворених с. за характеристиками вихідних с. Так якщо

(70.5),

то тобто. м.о. інтеграла (похідний) від с.ф. і інтегралу (похідної) від м.о. ( y(t)- Швидкість зміни с.ф. X(t), - Швидкість зміни м.о.).

При інтегруванні чи диференціюванні с.ф. отримуємо також с.ф. Якщо X(t)розподілено нормально, то Z(t)і Y(t)розподілені також нормально. Якщо X(t)- стаціонарна с.ф., то Z(t)не стаціонарна с.ф., т.к. залежить від t.

Приклад кореляційних функцій.

1) (З (2) при b®0); 2) ;

3) ; 4) ;

5)(з (3) при b®0); 6) (з (4) при b®0).

На графіках a= 1, b= 5, s= 1.

a- характеризує швидкість зменшення кореляційного зв'язку між ординатами с.ф. зі збільшенням різниці аргументів цих ординат t.

a/b- характеризує "ступінь нерегулярності процесу". При малому a/bординати процесу виявляються сильно корельованими та реалізація процесу схожа на синусоїду; при великому a/b (71.5).

Формула (71) для стаціонарної функціїнабуде вигляду:

Кореляційна функція с. та її похідною . Для диференційованого стаціонарного процесуордината с.ф. та її похідною, взята в той же час є некорельованими с.в. (а для нормального процесу та незалежними).

При множенні с. на детерміновану отримуємо с.ф. Z(t)=a(t)X(t), кореляційна функція якої дорівнює

KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),

де a(t)- Детермінована функція.

Сума двох с. є також с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t)та її кореляційна функція за наявності кореляційного зв'язку між X(t) та Y(t):

KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1, t2),(73.5)

де KXY(t1, t2)- див. (68.5) – взаємна кореляційна функція двох залежних с.ф. X(t)і Y(t).

Якщо X(t)і Y(t)незалежні, то KXY(t1, t2)=0. М.о. с.ф. Z(t): .