Евклід та його внесок у геометрію. Хто такий і чим відомий Евклід: розповідь про стародавнього математика, його відкриття та внесок у науку

Евклідабо Евклід(ін.-грец. Εὐκλείδης , від « добра слава», Час розквіту - близько 300 року до н. е.) - давньогрецький математик, автор першого з теоретичних трактатів з математики, що дійшли до нас. Біографічні відомості про Евкліда вкрай убогі. Достовірним вважатимуться лише те, що його наукова діяльність протікала Олександрії в III в. до зв. е.

Біографія

До найбільш достовірних відомостей про життя Евкліда прийнято відносити те, що наводиться в коментарях Прокла до першої книги ПочавЕвкліда (хоча слід взяти до уваги, що Прокл жив майже через 800 років після Евкліда). Зазначивши, що «що писали з історії математики» не довели виклад розвитку цієї науки до часу Евкліда, Прокл вказує, що Евклід був молодший за Платонівський гурток, але старший за Архімеда і Ератосфена, «жив за часів Птолемея I Сотера», «бо і Архімед, який жив при Птолемеї Першому, згадує про Евкліда і, зокрема, розповідає, що Птолемей запитав його, чи є більше короткий шляхвивчення геометрії, ніж Початок; а той відповів, що немає царського шляху геометрії» .

Додаткові штрихи до портрета Евкліда можна отримати у Паппа і Стобея. Папп повідомляє, що Евклід був м'який і люб'язний з усіма, хто міг хоча б найменшою мірою сприяти розвитку математичних наук, а Стобей передає ще один анекдот про Евкліда. Приступивши до вивчення геометрії та розібравши першу теорему, один юнак запитав у Евкліда: «А яка мені вигода від цієї науки?». Евклід покликав раба і сказав: «Дай йому три оболи, раз він хоче отримувати прибуток з навчання». Історичність оповідання сумнівна, оскільки аналогічну розповідають про Платона.

Деякі сучасні авторитрактують твердження Прокла – Евклід жив у часи Птолемея I Сотера – у тому сенсі, що Евклід жив при дворі Птолемея і був засновником Олександрійського Мусейона. Слід, проте, відзначити, що це утвердження утвердилося у Європі XVII столітті, середньовічні ж автори ототожнювали Евкліда з учнем Сократа філософом Евклідом з Мегар .

Арабські автори вважали, що Евклід жив у Дамаску і видав там Початок» Аполлонія. Анонімний арабський рукопис XII століття повідомляє:

Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям «Геометра», вчений старого часу, за своїм походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом із Тіра.

З ім'ям Евкліда також пов'язують становлення олександрійської математики (геометричної алгебри), як науки. Загалом кількість даних про Евкліда настільки мізерно, що існує версія (щоправда, малопоширена) що йдеться про колективний псевдонім групи олександрійських вчених.

« Початок» Евкліда

Основний твір Евкліда називається Почала.Книги з такою самою назвою, в яких послідовно викладалися всі основні факти геометрії та теоретичної арифметики, складалися раніше Гіппократом Хіоським, Леонтом та Февдієм. Однак ПочатокЕвкліда витіснили всі ці твори з ужитку і протягом більш як двох тисячоліть залишалися базовим підручником геометрії. Створюючи свій підручник, Евклід включив у нього багато з того, що було створено його попередниками, обробивши цей матеріал і звівши його докупи.

Початокскладаються із тринадцяти книг. Перші та деякі інші книги передуються списком визначень. Першій книзі подано також список постулатів та аксіом. Як правило, постулати задають базові побудови (напр., «потрібно, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму»), а аксіоми - загальні правилависновку при оперуванні з величинами (напр., «якщо дві величини дорівнюють третій, вони рівні між собою»).

Евклід відкриває браму Саду Математики. Ілюстрація з трактату Нікколо Тартальї «Нова наука»

У I книзі вивчаються властивості трикутників та паралелограмів; цю книгу вінчає знаменита теорема Піфагора для прямокутних трикутників. Книга II, висхідна до піфагорійців, присвячена так званій геометричній алгебрі». У III та IV книгах викладається геометрія кіл, а також вписаних та описаних багатокутників; при роботі над цими книгами Евклід міг скористатися творами Гіппократа Хіоського. У V книзі вводиться загальна теоріяпропорцій, побудована Евдоксом Кнідським, а VI книзі вона додається до теорії подібних постатей. VII-IX книги присвячені теорії чисел і сходять до піфагорійців; автором VIII книги, можливо, був Архіт Тарентський. У цих книгах розглядаються теореми про пропорції та геометричних прогресіях, вводиться метод для знаходження найбільшого спільного дільникадвох чисел (відомий нині як алгоритм Евкліда), будується парні досконалі числа, доводиться нескінченність безлічі простих чисел. У X книзі, що представляє собою найбільшу і складну частину Почав, будується класифікація ірраціональностей; можливо, що її автором є Теетет Афінський. ХІ книга містить основи стереометрії. У XII книзі з допомогою методу вичерпування доводяться теореми про відносини площ кіл, і навіть обсягів пірамід і конусів; автором цієї книги за загальним визнанням є Євдокс Кнідський. Нарешті, XIII книга присвячена побудові п'яти правильних багатогранників; вважається, що частина побудов була розроблена Афінським Теететом.

У рукописах, що дійшли до нас, до цих тринадцяти книг додані ще дві. XIV книга належить олександрійцю Гіпсіклу (бл. 200 р. до н. е.), а XV книга створена за життя Ісидора Мілетського, будівельника храму св. Софії в Константинополі (початок VI ст. н. е.).

Початокнадають загальну основу для наступних геометричних трактатів Архімеда, Аполлонія та інших античних авторів; доведені у них пропозиції вважаються загальновідомими. Коментарі до Початківв античності становили Герон, Порфирій, Папп, Прокл, Сімплікій. Зберігся коментар Прокла до I книги, а також коментар Паппа до X книги (у арабському перекладі). Від античних авторів коментаторська традиція переходить до арабів, а потім і до Середньовічної Європи.

У створенні та розвитку науки Нового часу Початоктакож відіграли важливу ідейну роль. Вони залишалися зразком математичного трактату, що суворо і систематично викладає основні положення тієї чи іншої математичної науки.

Інші твори Евкліда

З інших творів Евкліда збереглися:

• Дані (δεδομένα ) - про те, що необхідно, щоб задати фігуру;
• Про поділ (περὶ διαιρέσεων ) - збереглося частково і лише в арабському перекладі; дає поділ геометричних фігурна частини, що рівні або перебувають між собою в заданому відношенні;
• явища (φαινόμενα ) - Додатки сферичної геометрії до астрономії;
• Оптика (ὀπτικά ) - Про прямолінійне поширення світла.

за коротким описамвідомі:

• Поризми (πορίσματα ) - про умови, що визначають криві;
• Конічні перерізи (κωνικά );
• Поверхневі місця (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - про властивості конічних перерізів;
• Псевдарія (ψευδαρία ) - про помилки у геометричних доказах;

Евкліду приписуються також:

Евклід та антична філософія

Тексти та переклади

Старі російські переклади

• Евклідовіелементи з дванадцяти нефтонових книг вибрані і на вісім книг через професора мафематики А. Фархварсона скорочені. / Пер. з лат. І. Сатарова. СПб., 1739. 284 стор.
• Елементи геометрії, тобто перші основи науки про вимір протягом, що складаються з восьми Євклідовихкниг. / Пер. з франц. М. Курганова. СПб., 1769. 288 стор.
• Євклідовихстихій вісім книг, а саме: 1-а, 2-я, 3-я, 4-а, 5-а, 6-а, 11-а та 12-а. / Пер. з грец. СПб.,

Евклід (бл. 300 до н. е.) - давньогрецький математик, який є автором першого трактату з математики, що дійшов до нашого часу.

Життєвий шлях та наукові досягнення

Біографічних відомостей про Евкліда небагато. Достовірно відомо лише те, що його наукова діяльність протікала у 3 ст. до зв. е. в Олександрії.

Евклід був першим математиком Олександрійської школи. Головна працявченого відомий під назвою «Початки» присвячений стереометрії, планіметрії та питанням теорії чисел. Фактично Евклід створив фундамент розвитку математики. Також зберігся його твір «Про поділ фігур», 4 книги про «Конічні перерізи» та «Поризми». Крім того, Евклід писав про оптику, астрономію та музику.

"Початки" Евкліда протягом 2-х тисячоліть були базовим підручником з геометрії. Працюючи над цим підручником, Евклід обробив і повів воєдино матеріал своїх попередників. Цей підручникскладається із 13 книг. відмінною рисоюпідручника є наявність списку постулатів та аксіом. Розглянемо зміст «Початок»:

• 1-я книга - властивості паралелограмів і трикутників (тут була і теорема Піфагора);
• 3-я та 4-та книги – геометрія кіл, описаних та вписаних багатокутників;
• 5-та книга – теорія пропорцій;
• 6-та книга – теорія подібних постатей;
• 7-а та 9-а книги – теорія чисел, теореми про геометричні прогресії та пропорції;
• 10-та книга – класифікація ірраціональностей;
• 11-та книга – основи стереометрії;
• 12-та книга – теореми про обсяги пірамід та конусів та про відносини площ кіл;
• 13-та книга – особливості побудови правильних багатогранників.

«Початки» стали загальною основоюдля трактатів Архімеда та інших античних авторів. Пропозиції, доведені у них, є загальновідомими. Крім того, цей підручник зіграв не малу рольу розвитку математики Нового часу.

Папп повідомляє, що давньогрецький математик був м'який і завжди люб'язний з тими, хто міг сприяти розвитку математики.

Стобей розповідає, що якось учень запитав у Евкліда: «Яку вигоду я отримаю від науки?». У відповідь Евклід покликав раба і наказав: «Дай цій людині 3 оболи, раз йому хочеться отримувати прибуток із навчання».

за філософським поглядамПершим теоретиком математики був платонік.

У житті Евкліда стався один кумедний випадок. Одного разу цар Птолемей захотів вивчати геометрію, і запитав у Евкліда, чи існує швидший шлях, ніж той, що описаний у «Початках». На це вчений відповів: "У геометрії немає царських доріг".

До кінця 16 ст. «Початки» Евкліда переклали навіть китайською мовою.

Про життя Евкліда майже нічого не відомо. Перший коментатор "Почав" Прокл (V століття нашої ери) не міг вказати, де і коли народився і помер Евклід.

Деякі біографічні дані збереглися на сторінках арабського рукопису XII століття: "Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям "Геометра", вчений старого часу, за своїм походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом з Тіра".

Цар Птолемей I залучав до Єгипту вчених і поетів, створивши їм храм муз - Мусейон. Серед запрошених учених виявився і Евклід, який заснував в Олександрії – столиці Єгипту. математичну школуі написав для її учнів свою фундаментальну працю, об'єднану під загальною назвою"Почала". Він був написаний близько 325 року до н.

"Початки" складаються із тринадцяти книг, побудованих за єдиною логічною схемою. Кожна з тринадцяти книг починається визначенням понять (точка, лінія, площина, фігура і т. д.), які в ній використовуються, а потім на основі небагатьох основних положень (5 аксіом і 5 постулатів), що приймаються без доказу, будується вся система геометрії.

Книги I-IV охоплювали геометрію, їх зміст сягав праці піфагорійської школи. У книзі V розроблялося вчення про пропорції. У книгах VII-IХ містилося вчення про числа, що представляє розробки піфагорійських першоджерел. У книгах Х-ХII містяться визначення площ у площині та просторі (стереометрія), теорія ірраціональності (особливо у Х книзі); у XIII книзі вміщено дослідження правильних тіл.

"Початки" Евкліда є викладом тієї геометрії, яка відома і понині під назвою евклідової геометрії. Вона описує метричні властивості простору, який сучасна науканазиває евклідовим простором. Цей простір порожній, безмежний, ізотропний, що має три виміри. Евклід надав математичну визначеність атомістичної ідеї порожнього простору, у якому рухаються атоми. Найпростішим геометричним об'єктом у Евкліда є точка, що він визначає як те, що немає частин. Іншими словами, точка - це неподільний атомпростору.

Вчення про паралельні прямі і знаменитий п'ятий постулат ("Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути менші двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих") визначають властивості евклідова простору та його геометрію, відмінну від неевклідових геометрій.

Упродовж чотирьох століть "Початки" публікувалися 2500 разів: у середньому виходило щороку 6-7 видань. До XX століття книга вважалася основним підручником з геометрії не лише для шкіл, а й для університетів.

Евкліду належать частково збережені, частково реконструйовані надалі математичні твори. Саме він увів алгоритм для отримання найбільшого спільного дільника двох довільно взятих натуральних чиселта алгоритм, названий "рахунком Ератосфена", - для знаходження простих чиселвід цього числа.

Евклід заклав основи геометричної оптики, викладені ним у творах "Оптика" та "Катоптрика". У Евкліда ми також зустрічаємо опис монохорда - однострунного приладу визначення висоти тону струни та її частин. Винахід монохорду мало важливе значенняу розвиток музики. Поступово замість однієї струни почали використовувати дві чи три. Так було започатковано створення клавішних інструментів, спочатку клавесина, потім піаніно.

Звичайно, всі особливості простору Евкліда були відкриті не відразу, а в результаті багатовікової роботи наукової думки, але відправним пунктомцій роботі послужили "Початки" Евкліда. Знання основ евклідової геометрії є нині необхідним елементом загальної освітив усьому світі.

ЕВКЛІД (Eukleides)

ІІІ століття до н. е.

Евклід (інакше Евклід) – давньогрецький математик, автор першого теоретичних трактатів з математики, що дійшли до нас. Біографічні відомості про Евкліда вкрай убогі. Відомо лише, що вчителями Евкліда в Афінах були учні Платона, а правління Птолемея I (306-283 до н.е.) він викладав в Олександрійській академії. Евклід – перший математик олександрійської школи.

Головна робота Архімеда - "Початки" (лат. Elementa) – містить виклад планіметрії, стереометрії та низки питань теорії чисел (наприклад, алгоритм Евкліда); складається з 13 книг, до яких приєднують дві книги про п'ять. правильних багатогранниках, що іноді приписуються Гіпсиклу Олександрійському. У "Початках" він підбив підсумок попереднього розвитку грецької математики і створив фундамент подальшого розвитку математики. Протягом понад двох тисячоліть евклідови "Початку" залишалися основною працею з елементарної математики.

З інших математичних творів Евкліда треба відзначити "Про поділ фігур", що збереглося в арабському перекладі, чотири книги "Конічні перерізи", матеріал яких увійшов в однойменний твір Аполлонія Пергського, а також "Поризми", уявлення про які можна отримати з "Математичних зборів" Паппа Олександрійського.

У працях Евкліда дано систематичний виклад т. зв. евклідової геометрії, система аксіом якої спирається на такі основні поняття: точка, пряма, площина, рух і наступні відносини: "крапка лежить на прямій на площині", "крапка лежить між двома іншими". У сучасному викладісистему аксіом евклідової геометрії розбивають на п'ять наступних груп.

I. Аксіоми поєднання. 1) Через кожні дві точки можна провести пряму і лише одну. 2) На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існують хоча б три точки, що не лежать на одній прямій. 3) Через кожні три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж лише одну. 4) На кожній площині є принаймні три точки і існують хоча б чотири точки, що не лежать в одній площині. 5) Якщо дві точки даної прямої лежать у цій площині, те й сама пряма лежить у цій площині. 6) Якщо дві площини мають загальну точку, Вони мають ще одну загальну точку (і, отже, загальну пряму).

ІІ. Аксіоми порядку. 1) Якщо точка лежить між А і С, то всі три лежать на одній прямій. 2) Для кожних точок А, існує така точка С, що В лежить між А і С. 3) З трьох точокпрямий тільки одна лежить між двома іншими. 4) Якщо пряма перетинає одну сторону трикутника, то вона перетинає ще іншу сторону або проходить через вершину (відрізок AB визначається як безліч точок, що лежать між А і В; відповідно визначаються сторони трикутника).

ІІІ. Аксіоми руху. 1) Рух ставить у відповідність точкам точки, прямими прямі, площинам площині, зберігаючи належність точок прямим і площинам. 2) Два послідовні рухи дають знову рух, і для будь-якого руху є зворотне. 3) Якщо дані точки А, A"та напівплощини a, a", обмежені продовженими напівпрямими а, а", які виходять з точок А, A", то існує рух, і до того ж єдине, що перекладає А, а, aв A", a", a"(напівпряма і напівплощина легко визначаються на основі понять поєднання та порядку).

IV. Аксіоми безперервності. 1) Аксіома Архімеда: всякий відрізок можна перекрити будь-яким відрізком, відкладаючи його на першому достатньо разів (відкладення відрізка здійснюється рухом). 2) Аксіома Кантора: якщо дана послідовність відрізків, вкладених один в інший, всі вони мають хоча б одну загальну точку.

V. Аксіома паралельності Евкліда.Через точку Апоза прямою ау площині, що проходить через Аі а, можна провести лише одну пряму, що не перетинає а.

Виникнення евклідової геометрії тісно пов'язане з наочними уявленнями про навколишній світ (прямі лінії - натягнуті нитки, промені світла і т. п.). Тривалий процес поглиблення наших уявлень призвів до абстрактнішого розуміння геометрії. Відкриття Н. І. Лобачевським геометрії, відмінної від евклідової, показало, що наші уявлення про простір не є апріорними. Іншими словами, евклідова геометрія не може претендувати на роль єдиної геометрії, що описує властивості навколишнього простору. Розвиток природознавства (головним чином фізики та астрономії) показало, що евклідова геометрія описує структуру навколишнього простору лише з певним ступенем точності і не придатна для опису властивостей простору, пов'язаних з переміщеннями тіл зі швидкостями, близькими до світлової. Т. о., евклідова геометрія може розглядатися як перше наближення до опису структури реального фізичного простору.

Важко уявити, що науки, зокрема математика, якою ми її знаємо нині, зародилися понад дві тисячі років тому. Епоха еллінізму стала благодатним ґрунтомдля розвитку галузей знань природного напряму: землезнавство, астрономія, фізика, а також математика та її похідні. З вчення про вимір земель і виросла наука геометрія (грец. γεωμετρία).

До когорти найбільш уславлених математиків тієї епохи можна сміливо віднести вченого Евкліда, якого багато хто звати батьком усієї нинішньої математичної теорії. Минав час, народи змінювали один одного, цілі цивілізації йшли в небуття, міста втрачали свої обриси, а його «Початки», накреслені на тендітному та недовговічному папірусі, пройшли крізь віки. Спробуймо розібратися, ким був цей чоловік насправді і які видатні заслуги змушують нас пам'ятати про нього.

Зміст

Різносторонній Евклід: біографія першого математика-подвижника

Це ім'я напевно чула кожна людина старше семи років, незалежно від статі та віросповідання. Наукова діяльність стародавнього мислителярозвивалася бурхливо і стрімко: він заклав основи цілої галузі знань, а також звів її на належний рівень. Такій плідній кар'єрі може позаздрити будь-який наш сучасник. Закони однієї з найскладніших дисциплін на той час він, граючи, відкрив суспільству, цим вказуючи зовсім нові шляхи розвитку, раніше приховані сповиванням загадок і таємниць.

Цікаво

Вважається, що саме цей учений підбив підсумки розвитку давньогрецької математики, при цьому даючи їй напрямок нових витків руху. Його основна праця містить колосальні знання в галузі теорії чисел, планіметрії та стереометрії. Внесок Евкліда в науку неоціненний, адже, крім вищезазначеного, існують його роботи і в інших галузях знань: музиці, оптиці та астрономії.

Коротко про батька геометрії

Незважаючи на минулі сторіччя з моменту його смерті, цей великий грецький вчений недарма вважається світилом світової науки навіть у наші дні. Він примудрився значно випередити свій час і створити струнку систему аксіом, а ще й викласти власне бачення та розуміння в фундаментальній праці під назвою «Початки». Він виявився настільки високим за рівнем, що багато століть викладання основ геометрії велося саме за розробленою ним системою. Та й сьогодні геометрія евклідова злободенна і популярна.

Суть теорії проста: вчений наводить передумови, які потребують доказів, поділяючи їх у своїй постулати і аксіоми. Перших він пропонує п'ять, а других – сім. Грунтуватися вони мають виключно на неупередженій логіці. Наприклад, одне з постулатів говорить: через дві довільні точки на площині чи просторі можна провести пряму (одну), цим з'єднавши їх. У повному творітринадцять книг (томів), присвячених різним розділам геометрії.

Якщо коротко, Евклідові наукові трактати перекладені більшість світових мов, яке система загальноприйнята і концептуальна. Вони видавалися понад дві з половиною тисячі разів на різних країнах, тільки з п'ятнадцятого століття нашої ери. По праву «Початку» посідають друге місце після Біблії за поширеністю, хоча жодного античного екземпляра до наших днів не дійшло. Проте й інші його твори були забуті нащадками.

Вплив теорій стародавнього грекавипробував на собі кожен більш-менш уславлений вчений, який здійснює відкриття в галузях знань, тісно пов'язаних з геометрією зокрема, та математикою– в цілому. Відкриття Евкліда по заслугах оцінював Галілео Галілей. Вони дали поштовх для логічних висновків Миколи Коперника, а Ісаак Ньютон навіть дав власної роботитотожну назву. Альберт Ейнштейн вважав праці грека геніальними, називав їх «настільки точним дивом людської думки, що не викликають у тих, хто вивчає жодних питань».

Дитинство та ранні роки Евкліда

Про ранніх рокахцієї людини відомо зовсім мало, тому що пройшло дуже тривалий час, а багато документів було безнадійно втрачено. Найбільш достовірними для нас є факти, наведені античним філософомПрокляттям Діадохом у його коментарях до «Початків». Однак нічого конкретного не можна очікувати навіть від цих коротких уривківадже сам послідовник неоплатонізму жив через добрих вісім сотень років після Евкліда. Тому знати про нього міг тільки з чуток, отже робити на основі цих записок будь-які висновки буде неправильно.

Прокл вважав, що батько геометрії був старший за Ератосфен і Архімед, тому що в їх творах є посилання на його праці. Очевидно, він народився приблизно 350-320 роках до нашої ери під час правління сатрапа, та був і царя Єгипту – Птолемея I Сотера, який славиться як шанувальника наук і мистецтв.

Стародавні арабські джерела говорять, що він з'явився на світ в Олександрії чи Тирі, був із заможного сімейства, що й дозволило йому здобути блискучу освіту. Існує версія, що предки його мешкали в Нократі, а надалі перебралися до Дамаску.

Варто дізнатися

Відомості та історичні дані про давньогрецького вченого математика і родоначальника геометрії настільки мізерні, а також розрізнені, що у багатьох закрадаються сумніви в їх достовірності. Існує версія, ніби сперечатися, хто такий Евклід, абсолютно марна, адже це зовсім не одна людина, а ціла група. Багато хто вважає, що це свого роду збірний образ усіх вчених тих часів, які зробили свій колосальний внесок у розвиток вчень.

Деякі документи свідчать, що талановитий грек проходив навчання у центрі науки на той час – Афінах, біля самого метра Платона. Додаткові дані про особистість вченого надає математик та інженер епохи пізнього еллінізму Папп Олександрійський, а також віртуозний візантійський письменник-компілятор Іоанн Стобей, незважаючи на те, що жили вони набагато пізніше. Цілком імовірно, що були документи, що підтверджують зазначені ними факти, а ми не маємо підстав не довіряти їхнім словам. Математик Евклід велику частинучасу проводив в Олександрійській бібліотеці, заснованій ще великим Птолемеєм, що «проторив шлях, що йде за ним».

Наукова діяльність засновника геометрії

Найголовніша, фундаментальна праця Евкліда зветься «Початку». Однак цей давньогрецький вчений був далеко не першим, хто саме так назвав свій твір. До нього іменували роботи Февдій з Магнесії, Леонт, і навіть Гіппократ Хіоський. Слід враховувати лише, що висновки грека витіснили більш ранні дослідження уславлених діячів науки і понад дві тисячі років залишалися актуальними. Дотепер їх сміливо можна називати базовими, з яких починають свій шлях у вивченні геометрії та математики ті, хто тільки робить перші кроки.

«Початку»

Твори Евкліда розділені їм самим рівно тринадцять томів (книг). У першій та парочці інших попередньо дається список скорочень та визначень, які використав учений. Також у початковій праці є список аксіом та постулатів, про які ми вже згадували. Постулати спочатку визначають напрямки логічних побудов, А аксіоми є правила оперування різними величинами.

• У першій книзі трактату геометр вивчає властивості різних паралелограмів та трикутників. Вінцем її можна назвати знамениту Теорему Піфагора, на якій заснована чи не вся сучасна математика. Друга книга присвячується «геометричній алгебрі» і теж сходить знову ж таки до піфагорійців.
• У третій, а також четвертій книзі "Початок" розповідається з поясненнями теорія кіл. У цьому розділі розглядаються описані і вписані багатогранники. При створенні цієї частини твору вчений використав знання, представлені Гіппократом Хіоським.
• П'ята книга повністю висвітлює складні теоріїпропорцій, засновані на висновках Евдокса Кнідського, давньогрецького механіка та математика. У шостому розділі вона практично додається до розрахунків подібних фігур.
• Із сьомої по дев'яту книги знову присвячуються та сягають піфагорійців. Вони містять найпростішу теоріючисел, відомості про геометричні прогресії та пропорції. Мабуть, одним із авторів, а може, просто натхненником цієї роботи став філософ Архіт Тарентський.
• Найбільш об'ємною за кількістю поданого матеріалу вважається десятий том "Початок". За сумісництвом він вважається ще й найбільш складним для розуміння, адже в ньому вибудовується класифікація різноманітних ірраціональностей.
• В одинадцятому розділі праці мова йдепро стереометрію.
• Дванадцята книга присвячена методу вичерпування у пошуку доказів теорем про відносини площ конусів, пірамід та кіл. Загальноприйнятою вважається думка, ніби авторство її належить тому ж знаменитому Евдоксу Книдскому.
• Остання тринадцята книга повністю розглядає питання побудови правильних п'яти багатогранників. Можливо, у роботі з неї математик спирався знання, отримані математиком Теететом Афінським.

Стародавні манускрипти на цьому не завершуються: відомі ще чотирнадцята, а також п'ятнадцята книги, проте їх авторство вже достовірно відоме. Першу з них склав геометр Гіпсікл Олександрійський, а другу візантійський архітектор Ісідор Мілетський. Цей твір зіграв величезну роль у подальший розвитокнауки, а також як приклад для майбутніх поколінь, як викладати свої думки чітко, зрозуміло та доступно.

Інші твори

Завдяки "Початкам" про Евкліда дізнався весь світ. Але в нього були й інші твори, які теж заслуговують на чималу увагу. Вони написані все в тій же лаконічній і сухо-інформативній манері, мають структуру, що добре відчувається, що значно полегшує процес осмислення.

• Дійшли до наших днів трактати «Про поділ», «Дані», «Яви» та «Оптика».
• Тільки за описами відомі такі роботи, як "Псевдарія", "Конічні перерізи", "Поризми" та "Поверхневі місця".
• Існують ще й праці, що приписуються Евкліду: «Поділ канону» про музику і Катоптрика – теорія дзеркал і заломлення сонячних променів(світла).

Які твори справді стосуються самого вченого, а які належать комусь іншому, достеменно невідомо.

Аксіоми як метод пізнання

Історія Евкліда надзвичайно туманна через її давнину. Але достеменно відомо, що метод пізнання, званий аксіоматичним, вигадав саме він. Суть його досить проста – це сукупність розвитку, класифікації та побудови науково-теоретичних даних у формі висновків, у яких певні твердження приймаються як досконалі вихідних положень(Аксіом).

Саме з них за допомогою логічних роздумів і згодом виводяться всі інші твердження (теореми). Ланцюжок висновків не може продовжуватися нескінченно, він повинен десь мати початок, для цього й знадобилося створення такої концепції. У своїх міркуваннях подібного роду Евклід спирався на знання, що даються древнім вченим Аристотелем (можу переказати на статтю про нього).

Геометрія – допуск до філософії

Ще в шостому столітті до нашої ери в Греції склалася течія піфагорійців, які вважали, що музика, арифметика, астрономія та геометрія – це основа, зразок систематичного мислення. Навіть Платон висловлював думку, що це науки є першою сходинкою перед переходом до вивчення складнішої філософії. Невипадково історія Евкліда зазвичай ілюструється переказом, ніби перед входом до платонівської Академії, де він і навчався, була прибита табличка з написом: «Хай не зможе увійти до цієї будівлі той, хто не знає основ геометрії».

Основа таких висновків зрозуміла - у геометрії за допомогою допоміжних ліній на кресленні неявна істина стає цілком очевидною. Це можна використовувати для ілюстрації пригадування прихованих (завуальованих) фактів у філософських міркуваннях, у яких для розуміння потрібно дивитися на уявну схему не очима, а «очима розуму». Фактично все це можна звести до єдиної фрази: «Ми сприймаємо (бачимо) креслення (фігуру), виробляємо певні логічні міркування, робимо з них висновки та висновки не тільки щодо цього конкретного випадку, а одразу для безлічі фігур такого плану».

Вивчення геометричної оптики

Варто сказати кілька слів про тексти, які умовно вважаються що належать перунашого персонажа. Насамперед це основи оптики та заломлення світла, які були викладені у творі «Катоптрика», що датується приблизно триста роком до нашої ери. Автор дотримується думки, що зір здійснюється (реалізується) за допомогою так званих зорових променів, що недалеко від істини (світлові хвилі).

Однак у ті часи передбачалося, що ці промені випромінює не світило, а людське оконіби обмацуючи навколишні предмети. Кумедна теорія, чи не так? Саме на ній засновував свої напрацювання про перспективу Евкліда. Оригінальний тексттрактату, на превеликий жаль, не зберігся, тому розібратися з деталями досить складно.

У цій праці давалося визначення основного закону відображення світла. Він встановлює напрямок руху променя, який стикається з дзеркальною поверхнею. Відбиваються і падаючі промені лежать в одній площині з нормаллю (перпендикулярною до поверхні, що відбиває прямий), при цьому вона ділить кут між променями на дві рівні частини. Кожен школяр знає цей закон у дещо іншій інтерпретації, яка не повністю відображає картину формулювання: «Кут падіння дорівнює кутувідображення».

Не варто забувати, що від різних типівповерхонь світлові променіможуть відбиватися по-різному. Тому прийнято розділяти дзеркальне та дифузне відображення. У першому випадку йдеться про дзеркало, що прагне до ідеалу, а в другому – про шорстку і нерівну площину, коли промені відбиваються хаотично в різних напрямках.

Спадщина Евкліда

Знання, отримувані звідси стародавнього вченого, настільки мізерні, що про нього мало що відомо, особливо щодо його повсякденних занять, розкладу дня та інших побутових дрібниць. Цілком незрозуміло, як склалася особисте життяЕвкліда, чи був він одружений, чи мав нащадків. Існує припущення, що він організував та відкрив власну приватну школупри багатій Олександрійській бібліотеці, що може свідчити про його спроможність. Вважається, що й після завершення навчання у цьому закладі, наставник завжди допомагав своїм підопічним з розробкою теорій та написанням власних наукових трактатів.

Зовнішність його теж залишається загадкою, а всі портрети та скульптури створені через багато десятків років після смерті. Розібратися, чим відомий Евклід, нескладно, але точних дат у подіях його життя чи визначеності у дні народження чи смерті теж немає. Вважається, що він міг померти вже до 260 року до нашої ери.

Багате наукова спадщина, Яке після себе залишив цей воістину великий грек, у рази перевершує інтерес до того враження, яке він справляв за життя. Роботи математика і філософа пережили його на понад двісті століть, а це колосальна цифра. Його працями зачитувалися та надихалися багато відомі особи, наприклад, Карл Ян чи Авраам Лінкольн. Кажуть, що шістнадцятий президент Сполучених Штатів скрізь носив із собою томик Евкліда і у свої промови любив вставляти цитати з його творів.