Завдання для контрольної роботи. Номер трамвая дізнаємося за кольором
Оренбург 250300200300600 Замовлення 600500200100 с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150. б) Таблиця 22 Філії Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Обсяг закупівлі Постачальник Гданськ 200 300 250 150 550 Краснодар 300 400 300 250 650 Оренбург 150 250 200 200 1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. в) Таблиця 23 Філії Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Обсяг закупівлі Постачальник Гданськ 200 300 250 150 650 Краснодар 250 400 300 250 750 Оренбург 150 250 50 200 200 1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. Завдання 2. Чотири магазини «Ліга-плюс», «Умка», «Гурман» та «Вулик» торгують молочною продукцією, яку постачають три молокозаводи. Перший завод має угоду з фірмовим магазином "Гурман" про фіксоване постачання йому своєї продукції. Тарифи на доставку молочної продукції та обсяг фіксованого постачання (у ящиках) наведено в таблицях за варіантами. Знайдіть оптимальний план постачання молочної продукції. а) Таблиця 24 Магазин «Ліга-плюс» «Гурман» «Умка» «Вулик» Обсяг закупівлі Завод 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 600 2 «Ліга-плюс» «Гурман» «Умка» «Вулик» Обсяг закупівлі Завод 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 До РОЗДІЛУ № Завдання I а) Комісія складається з голови, його заступника та ще п'яти осіб. Скільки способами члени комісії можуть розподілити між собою обов'язки? б) Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести. в) Дві човни різного кольору розташовані на шахівницітак що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей? II а) Скільки можна вибрати трьох чергових із групи в 20 человек? б) Замок відкривається лише в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер. Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр. Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою? в) Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо? III а) Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків? б) З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети 800 + 400 + 200 + 100. Скільки способів можна розставити спортсменів по етапах естафети? в) На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд? IV а) У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору? б) Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях із плавання, у яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди? в) Поїзд метро робить 16 зупинок, на яких виходять усі пасажири. Скільки способами можуть розподілитися між цими зупинками 100 пасажирів, які увійшли до поїзда на кінцевій зупинці? Продовження табл. 26 Варіант Завдання V а) Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна позначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів? б) Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна човна може взяти іншу, якщо вона знаходиться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці). в) Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, чи можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр? ДО РОЗДІЛУ «ТЕОРІЯ МОЖЛИВОСТЕЙ»: Завдання 4 Таблиця 27 Варіант Завдання а) Класичне і статистичне визначенняймовірності I Кинуті дві гральні кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок на гранях, що випали, парна, причому на межі однієї з кісток з'явиться шістка II При перевезенні ящика, в якому містилася 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, втрачена одна деталь, причому не відомо яка. Наудачу витягнута (після перевезення ящика) деталь виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що було втрачено: а) стандартну деталь; б) нестандартна деталь III Куб, усі грані якого забарвлені, розпиляно на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання витягнутий кубик має: а) одну забарвлену грань; б) дві пофарбовані грані; в) три пофарбовані грані IV У конверті серед 100 фотокарток знаходиться одна розшукувана. З конверту навмання вилучено 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться потрібна V коробці п'ять однакових деталей, причому три з них пофарбовані. Навмання вилучено два вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох виробів виявляться: а) один забарвлений виріб; б) два пофарбовані вироби; в) хоча б один забарвлений виріб б) Теореми складання та множення ймовірностей I На стелажі бібліотеки в випадковому порядкурозставлено 15 підручників, причому 5 з них у палітурці. Бібліотекар навмання вибирає три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один із взятих підручників опиниться в обкладинці Продовження табл. 27 Варіант Завдання II У ящику 10 деталей, з яких 4 пофарбовані. Складальник взяв навмання 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з взятих деталей забарвлена III Для сигналізації про аварію встановлено два незалежно працюючі сигналізатори. Імовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор дорівнює 0,95, а ймовірність того, що при аварії спрацює другий сигналізатор, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює лише один сигналізатор IV Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мету при першому пострілі першого стрілка дорівнює 0,7, а другого – 0,8. Знайти ймовірність того, що при першому залпі в ціль потрапить лише один зі стрільців V З партії товарознавець відбирає вироби вищого ґатунку. Імовірність того, Що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки два вироби вищого ґатунку в) Ймовірність появи хоча б однієї події I В електричний ланцюгпослідовно включено три елементи, що працюють незалежно один від іншого. Ймовірності відмов першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде II Пристрій містить два незалежно працюючі елементи. Імовірності відмови елементів відповідно дорівнюють 0,05 та 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент III. Для руйнування мосту достатньо попадання однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйнований, якщо на нього скинути чотири бомби, ймовірності влучення яких відповідно дорівнюють: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Імовірність хоча б одного влучення стрільцем у ціль при трьох пострілах дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі V Ймовірність успішного виконання вправи для кожного з двох спортсменів дорівнює 0,5. Спорт- зміни виконують вправу по черзі, причому кожен робить дві спроби. Той, хто виконав вправу, першим отримує приз. Знайти ймовірність отримання призу спортсменами г) Формула повної ймовірності I У урну, що містить дві кулі, спущено білу кулю, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором). Продовження табл. 27 Закінчення таб Варіант Завдання II У піраміді п'ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Імовірність того, що стрілець вразить мету при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95 для гвинтівки без оптичного прицілу, ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що буде вражена, якщо стрілець зробить один постріл з удачу взятої гвинтівки III. У першій урні міститься 10 куль, з них 8 білих, у другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль було навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля IV У кожній з трьох урн міститься б чорних з 4 білих кулі. З першої урни навмання вилучено одну кулю і перекладено в другу урну, після чого з другої урни навмання вилучено одні кулю і перекладено в третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання витягнута з третьої урни, виявиться білим V У ящику міститься 12 деталей, виготовлених на заводі 1, 20 деталей, виготовлених на заводі 2 і 18 деталей, виготовлених на заводі 3. Імовірність того, що деталь виготовлена на заводі 1 відмінної якості, що дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених на заводах 2 і 3, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання деталь виявиться відмінної якості д) Основні формули теорії ймовірностей I У піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Імовірність того, що стрілець вразить ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець вразив мішень із навмання взятої гвинтівки. Що ймовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього? II До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50 % хворих із захворюванням А, 30 % – із захворюванням Б, 20 % – із захворюванням С. Ймовірність повного лікування хвороби А дорівнює 0,7; для хвороб Б і С ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 та 0,9. Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання А III Два рівносильні противники грають у шахи. Що ймовірніше: а) виграти одну партію із двох або дві партії з чотирьох; б) виграти не менше двох партій із чотирьох чи не менше трьох партій із п'яти? В сім'ї п'ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей: а) два хлопчики; б) трохи більше двох хлопчиків; в) понад два хлопчики; г) не менше двох та не більше трьох хлопчиків. Імовірність народження хлопчика прийняти 0,51 V Монету кидають п'ять разів. Знайти ймовірність, що орел випаде: а) менше двох разів; б) не менше двох разів Завдання 5 Таблиця 28 Варіант Завдання а) Дискретні випадкові величини числові характеристикидискретних випадкових величин I 1.1 Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0,1 0,4 0,3 Побудувати багатокутник розподілу. 1.2 Підручник видано тиражем 100 000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить п'ять бракованих книг. 1.3 Для дискретної випадкової величини X п. 1.1. знайти: а) математичне очікування та дисперсію; б) початкові моментипершого, другого та третього порядків; в) центральні моментипершого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити для дискретної випадкової величини X з п. 1.1 ймовірність того, що │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок мінеральної води. Імовірність того, що пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин отримає розбитих пляшок: а) рівно 2; б) менше двох; в) понад два; г) хоча б одну. 1.3 Для дискретної випадкової величини X з п. 1.1 знайти: а) математичне очікування та дисперсію; б) початкові моменти першого, другого та третього порядків; в) центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити для дискретної випадкової величини X з п. 1.1. ймовірність того, що │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x >Π/2. Знайти густину розподілу f(x). 1.2 Випадкова величина X задана густиною розподілу f(x) = 2x на інтервалі (0; 1); поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування та дисперсію величини X. 1.3 Випадкова величина X задана щільністю розподілу f(x) = 0,5x в інтервалі (0; 2), поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти початкові та центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхиленнявипадкової величини X, рівномірно розподіленої в інтервалі (2; 8) Продовження табл. 28 Варіант Завдання II 1.1 Дана функція розподілу безперервної випадкової величини X 0 x ≤ 0; F(X) = sin 2x, 0< x ≤ Π /4;
1, x >Π/4. Знайти густину розподілу f(x). 1.2 Випадкова величина X задана густиною розподілу f(x) = (1/2)x на інтервалі (0; 2); поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування та дисперсію величини X. 1.3 Випадкова величина X задана щільністю розподілу f(x) = 2x в інтервалі (0; 1), поза цим інтервалом f(x) = 0 Знайти початкові та центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Випадкові величини X та Y незалежні та розподілені рівномірно: X в інтервалі (a, b), Y – в інтервалі (c, d). Знайти математичне очікування та дисперсію твору XY III 1.1 Дано функцію розподілу безперервної випадкової величини X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0
Завдання з комбінаторики
| Найменування параметру | Значення |
| Тема статті: | Завдання з комбінаторики |
| Рубрика (тематична категорія) | Математика |
1. Розклад одного дня містить 5 уроків. Визначити кількість таких розкладів під час вибору з одинадцяти дисциплін.
Відповідь 55 440.
2. Комісія складається з голови, як заступника і ще п'яти человек. Скільки способами члени комісії можуть розподіляти між собою обов'язки?
Відповідь 42.
3. Скільки можна вибрати трьох чергових із групи в 20 чоловік?
Відповідь 1 140.
4. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків?
Відповідь 968.
5. У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору?
Відповідь 253.
6. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна позначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
Відповідь 64.
7. Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести.
Відповідь 240.
8.
Замок відкривається тільки в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер.
Розміщено на реф.
Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр.
Розміщено на реф.
Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою?
Відповідь 124.
9. З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети 800+400+200+100. Скільки можна розставити спортсменів по етапах естафети?
Відповідь 32 760.
10. Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях із плавання, в яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди?
Відповідь 25!/20!.
11. Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна тура може взяти іншу, якщо вона знаходиться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці.)
Відповідь 3 126.
12. Дві човни різного кольору розташовані на шахівниці так, що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей?
Відповідь 896.
13. Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо?
Відповідь 8!.
14. Тридцять чоловік розбито на три групи по десять осіб у кожній. Скільки має бути різних складівгруп?
Відповідь 30!/(10!) .
15. Скільки чотиризначних чисел, що діляться на 5, можна становити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр?
Відповідь 42.
16. Скільки різних кілець, що світяться, можна зробити, розташувавши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими при однаковому порядку проходження кольорів)?
Відповідь 9!.
17. На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд?
18. Чотири стрілки повинні вразити вісім мішеней (кожен по дві). Скільки способами вони можуть розподілити мішені між собою?
Завдання з комбінаторики - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Завдання з комбінаторики" 2015, 2017-2018.
ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ.
Правила суми та твори.
Комбінаторика (чи теорія сполук) – розділ математики, у якому вивчаються питання, скільки різних комбінацій, які задовольняють тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів.
У разі, коли перетин множин А і В не порожній, справедлива рівність: n(АÈВ) = n(А) + n(В) – n(АÇВ).
Число елементів в поєднанні трьох множин можна знайти за формулою
n(АÈВÈС) = n(А) + n(В) + n(С) - n(АÇВ) -n(АÇС) - n(ВÇС) - - n(АÇВÇС)
приклад.З 40 студентів групи 35 осіб успішно склали іспит з математики, а 37 – з російської мови. Двоє студентів отримали незадовільні оцінки з обох предметів. Скільки студентів мають академічну заборгованість?
Рішення.Нехай А – безліч студентів, які отримали незадовільну оцінку математики, тоді n(А) = 40 – 35 = 5; а В – безліч студентів, які отримали незадовільну оцінку з російської мови, тоді n(В) = 40 – 37 = 3. Тоді кількість студентів, які мають академічну заборгованість, є n(АІВ). Значить, n(AÈB) = n(A) + n(B) - n(AÇB) = 5 + 3 – 2 = 6.
Якщо АÇВ = Æ, то n(АÈВ) = n(А) + n(В)
правилом сумиі формулюється наступним чином: якщо елемент х можна вибрати k способами, а елемент у - m способами і, причому жоден спосіб вибору елемента х не збігається з будь-яким способом вибору елемента у, то вибір "х або у" можна зробити k + m способами.
Для множин також справедливо n(А'В) = n(А) × n(В)
У комбінаториці це правило називається правилом творуі формулюється так: якщо елемент х можна вибрати k способами, і якщо після кожного такого вибору елемент у можна вибрати m способами, то вибір упорядкованої пари (х,у) , тобто вибір «і х, і у» можна здійснити k × m способами.
приклад.З міста А до міста В ведуть 3 дороги, а з В в С ведуть 2 дороги. Скільки способами можна проїхати з А в С через В?
Рішення.Якщо позначити числами 1, 2, 3, а дороги з У в С – літерами х і у, кожен варіант шляху з А в З задається впорядкованою парою і числа і букви. Але число ми можемо вибрати трьома способами, а літеру – двома, тому кількість таких упорядкованих пар дорівнює 3×2 = 6.
Розміщення.
Нехай n(А) = m. Кортеж довжини k (k£m), компонентами якого є елементи множини А, причому всі компоненти є різними попарно, називається розміщенням без повторень
Для будь-якої множини А такої, що n(А) = m число все можливих розміщеньз m елементів по k позначається
І обчислюється за формулою
приклад.У шаховому турнірі беруть участь 5 школярів та 15 студентів. Скільки способами можуть розподілитися місця, зайняті в турнірі школярами, якщо відомо, що жодні два учасники не набрали однакової кількості очок?
Рішення.Загалом у турнірі 20 учасників. Отже, з 20 місць школярам належать 5. Тому розв'язання завдання пов'язане з утворенням різноманітних кортежів довжини 5 з елементів множини, в якому 20 елементів, тобто мова йдепро розміщення без повторень із 20 елементів по 5 елементів.
Нехай n(А) = m. Кортеж довжини k, компонентами якого є елементи множини А, називаються розміщенням із повтореннямиз m елементів до k елементів.
Для будь-якої множини А такого, що n(А) = m, число можливих розміщень з повтореннями з m елементів k позначається і обчислюється за формулою .
приклад.Є 5 різних стільців та 7 рулонів оббивної тканини різних кольорів. Скільки способами можна здійснити оббивку стільців?
Рішення.Так як стільці різні, то кожен спосіб оббивки є кортеж довжини 5, складений з елементів даної множини кольорів тканини, що містить 7 елементів. Отже, всього способів оббивки стільців стільки, скільки є таких кортежів, тобто розміщень з повтореннями з 7 елементів по 5. Отримаємо .
Перестановки.
Нехай n(А) = m. Перестановка без повтореньз m елементів називається всяке впорядковане m – елементна множина.
Число різних перестановокз m елементів дорівнює добутку послідовних натуральних чиселвід 1 до m включно, тобто
приклад.Скільки різних п'ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо жодна цифра в записі числа не повторюється двічі?
Рішення.Число всіх можливих перестановок з п'яти цифр дорівнює Р 5 = 5! А оскільки цифра нуль не може займати перше місце, то число, що шукається, є:
Р 5 – Р 4 = 5! - 4! = 120 - 24 = 96.
Перестановкою із повтореннямиз елементів a, b,…,l,у якій ці елементи повторюються відповідно m 1 , m 2 , …, m k разів, називається кортеж довжини m = m 1 + m 2 +…+ m k , серед компонент якого aзустрічається m 1 раз, b - m 2 рази і так далі l- m k разів.
Позначають кількість перестановок із повтореннями символом
Число різних перестановок із повтореннями з елементів a, b,…,l,у якій ці елементи повторюються відповідно m 1 , m 2 , …, m k разів, визначається за формулою
приклад.Скільки восьмизначних чисел можна записати за допомогою цифр 1, 3, 5 за умови, що цифра 1 повторюється у кожному числі чотири рази, цифри 3 та 5 – по 2 рази?
Рішення.Число, що шукається, є числом різних перестановок з повтореннями з цифр 1, 3, 5, в яких цифра 1 повторюється чотири рази, а цифри 3 і 5 – по два рази. Тому за формулою маємо: 
.
Поєднання.
Будь-яке k-елементне підмножина m-елементної множини (k£m) називається поєднанням без повтореньз m елементів з k.
Число різних поєднаньз m елементів по k позначається символом
приклад.Скільки можна вибрати з 30 учнів трьох чергових?
Рішення.Так як порядок вибору чергових не відіграє ролі, то в задачі йдеться про виділення з множини, в якому 30 елементів підмножин, що містять по три елементи, тобто про поєднання без повторень із тридцяти елементів по три.
Отже, 
.
Поєднанням із повтореннямиз даних m різних типівелементів по k елементів називається всяка сукупність що містить k елементів, кожен із яких одна із елементів зазначених типів.
Число різних поєднань з повтореннями з m елементів по k елементів будемо позначати символом.
Число різних поєднань з повтореннями з m типів елементів по k елементів визначається за формулою
приклад. У поштовому відділенніпродаються листівки чотирьох видів. Скільки можна купити тут 9 листівок?
Рішення. Число способів купити листівки дорівнює кількості різних поєднань з повтореннями з 4 елементів по 9, тобто дорівнює 
.
Число підмножин кінцевої множини.
Нехай n(А) = m.
Число всіх підмножин множини А дорівнює 2 n.
Вправа 6.
1. У класі 30 осіб, які відвідують факультативні заняттяз фізики та математики. Відомо, що поглиблено вивчають обидва предмети 10 осіб, а математику – 25. Скільки людей відвідують факультативні заняття лише з фізики?
2. З 50 студентів 20 знають німецька мова, а 15 – англійська. Якою може бути кількість студентів, які знають обидві мови; знають хоча б одну мову?
3. Зі 100 осіб англійська мовавивчають 28, німецьку – 30, французьку – 10 осіб, німецьку та французьку – 5, німецьку та англійську – 15, англійську та французьку – 6 осіб. Усі три мови вивчають 3 студенти. Скільки студентів вивчає лише одну мову? Скільки студентів не вивчає жодної мови?
Завдання для самостійної роботина тему «Комбінаторика» .
1. Розклад одного дня містить 5 уроків з різним предметам. Визначити кількість таких розкладів під час вибору з 11 предметів.
2. Комісія складається з голови, його заступника та ще п'яти осіб. Скільки способами члени комісії можуть розподілити між собою обов'язки голови та заступника?
3. Скільки можна вибрати трьох чергових із групи в 20 человек?
4. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десятьох вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків?
5.У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору?
6. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна визначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
7. Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести.
8. Замок відкривається лише в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер. Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр. Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою?
9. З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети 800 + 400 + 200 + 100. Скільки способів можна розставити спортсменів по етапах естафети?
10. Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях із плавання, в яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди?
11. Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна тура може взяти іншу, якщо вона знаходиться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці.)
12. Дві човни різного кольору розташовані на шахівниці так, що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей?
13. Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо?
14. Тридцять осіб розбиті на три групи I, II та III по десять осіб у кожній. Скільки може бути різних складів груп?
15. Скільки чотирицифрових чисел, що діляться на 5, можна становити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр?
16. Скільки різних кілець, що світяться, можна зробити, розташувавши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими при однаковому порядку проходження кольорів)?
17. На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд?
18. Чотири стрілки повинні вразити вісім мішеней (кожен по дві). Скільки способами вони можуть розподілити мішені між собою?
19. З групи у 12 осіб щодня протягом 6 днів обирають двох чергових. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожна людина чергує один раз.
20. Скільки чотиризначних чисел, складених із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, містять цифру 3 (цифри в записі чисел не повторюються)?
21. Десять груп займаються у десяти розташованих поспіль аудиторіях. Скільки існує варіантів розкладу, за яких групи 1 та 2 перебували б у сусідніх аудиторіях?
22. У турнірі беруть участь 16 шахістів. Визначити кількість різних розкладів першого туру (розклади вважаються різними, якщо відрізняються учасниками хоча б однієї партії; колір фігур та номер дошки не враховуються).
23. Шість ящиків різних матеріалівдоставляються на п'ять поверхів будівництва. Скільки способами можна визначити матеріали по поверхах? У скільки варіантів на п'ятий поверх доставлений якийсь один матеріал?
24. Два листоноші мають рознести 10 листів за 10 адресами. Скільки способами вони можуть розподілити роботу?
©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-08-20
Омнібус N 9-10 2007 рік.
Морська душа маршрутних вогнів.
Загадкова річ – традиція. Спочатку її старанно дотримуються, намагаючись витримувати всі нюанси, доводять до забобонів, потім раптом виявляють, що вона не виправдовує очікувань, що покладаються на неї, не відповідає логіці, не має наукового обґрунтування- І з традицією поривають, а згодом із сумом помічають, що з її втратою пішло щось гарне і потрібне. . .
Ще зовсім нещодавно існувала традиція давати трамвайним маршрутам як цифрове, а й колірне позначення - маршрутні вогні запалювалися з обох боків від номера маршруту, спереду і позаду вагона. Вулиці з трамвайним рухом відрізнялися особливою, святковою ошатністю, маршрутними вогнями орієнтувалися в трамвайному потоці водії, пасажири, колійні робітники, диспетчери та стрілочники, багато хто не уявляв собі трамвая без кольорових вогнів. Московська система маршрутних вогнів була побудована на однозначній відповідності цифри та кольору. "1" - завжди червоний колір, "2" - зелений, "5" - оливковий, "7" - блакитний і таке інше. А ось у Ленінграді вогні "говорили" на іншою мовою,
і їх читання "по-московськи" найчастіше призводило до нісенітниці, тому що вогнів було не 10, як у Москві, а лише п'ять. Вони добре розрізнялися, а їх поєднання завжди виглядали дуже красиво. Однак із п'яти вогнів можливі 25 різних поєднаньпо два, тоді як маршрутів у Петербурзі-Ленінграді згодом стало близько 70, тому знаки маршрутів могли повторюватися. Наприклад, два білі - 9, 43; червоний та жовтий – 1, 51, 64; синій та червоний - 33, 52, 54; два червоних - 5, 36, 39, 45, 47. І лише маршрут N 20 позначався за московською та пітерською системою однаково: зелений та білий.
Бувало, що маршрутні вогні у Петербурзі змінювалися. Якщо траплялося так, що після зміни одного з маршрутів він працював на протяжній ділянці з іншим маршрутом, що має такі ж кольори, то в одного з цих маршрутів доводилося змінювати склад вогнів.
Маршрут N 4 раніше ходив від острова Декабристів до Волкового цвинтаря та позначався двома жовтими (помаранчевими) вогнями. Потім маршрут закрили і під тим самим номером відкрили в іншому місці з іншими вогнями: синій + синій, оскільки він мав спільну ділянку з 35 трамваєм (два жовті).
Маршрут № 43 спочатку мав вогні: червоний + білий. При продовженні порту 1985 року вогні змінилися: білий + білий, оскільки маршрут став мати спільну ділянку з трамваєм N 28 (червоний + білий). 3-й маршрут позначався зеленим та білим кольорами. При відновленні вогнів у 2007 році поєднання замінено на жовтий + зелений. Тоді ж змінилися поєднання і на інших маршрутах: 48 (було: білий + білий, стало: синій + синій); 61 (було: білий + білий, стало: білий + жовтий) тощо.
Петербурзька система маршрутних вогнів, така проста і така заплутана, пов'язана з традицією насамперед європейських трамвайних міст. Так, вже 1907 року в листі до газети "Новий час" міститься прохання від "обивателів Василівського острова" ввести на трамваях кольорові ліхтарі, "як за кордоном, зокрема у Франкфурті-на-Майні". В даний час збереглися залишки колишніх систем у вигляді кольорового підсвічування по діагоналі на маршрутних покажчиках трамваїв в Амстердамі. Ця традиція, своєю чергою, ймовірно, походить від вогнів морської навігації. Чому саме до морських, а не, скажімо, залізничних? Та тому, що маршрутні вогні, як і морські, нікому нічого не забороняють, не змушують, а просто допомагають зорієнтуватися у темний час доби.
Вогні морської навігації розшифровуються у спеціальних морських книгах- лоціях морів. Також і маршрутні вогні описуються у міських путівниках. Першим із них був "Пересувний путівник санкт-петербурзьких трамваїв", випущений видавництвом Е.І. Маркуса (1910).
Склад кольорів, що застосовуються в петербурзьких маршрутних вогнях (білий, червоний, помаранчевий або жовтий, зелений, синій), мало відрізняється від кольорів морських вогнів (білий, червоний, помаранчевий, зелений, синій, фіолетовий).
Придивившись, можна знайти й інші риси подібності, але набагато важливіше зрозуміти, чому в розважливому Петербурзі прижилася така нестрога система маршрутних вогнів, що потребує постійного коригування. Відповідь проста: адже Петербург - приморське місто, і йому в рівного ступенявластиві і строгість архітектурних форм і легковажність карнавалу, отже, і веселе різнобарв'я маршрутних вогнів.
У 2007 році традиція вийшла на новий виток. На вагонах встановлюють світлодіодні лампи для маршрутних вогнів. Вони світитимуть не лише у вечірніх сутінках, а й у світлі дня.
1. Розв'язати задачу
1. Скільки можна вибрати двох чергових із групи в 24 людини?
2. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна визначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
3. З 20 спортсменів вибирається команда на змагання з плавання у кількості 5 осіб. Скільки різних команд можна скласти?
4. Номер кодового замку складається із п'яти цифр. Скільки різних кодів можна скласти за допомогою 10 цифр.
5. Замок відкривається лише в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер. Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти. Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою?
6. Скільки можна вибрати двох студентів з групи в 15 осіб?
7. Скільки можна розподілити три призові місця серед 20 спортсменів?
8. З групи студентів 20 осіб обирають старосту та заступника. Скільки варіантів такого вибору можливо?
9. Номер кодового замку складається із чотирьох цифр. Скільки різних кодів можна скласти за допомогою 10 цифр.
10. Контрольна робота містить 5 завдань. Скільки варіантів можна скласти при виборі 20 завдань?
2. Розв'язати задачу
1. У групі 15 дівчат та 11 хлопців. Випадково обирають одного студента. Якою є ймовірність, що це юнак?
2. На картках написані літери У, Ч, Е, Б, Н, І, К. Картки перемішуються та розкладаються в ряд. Якою є ймовірність того, що вийде слово Підручник?
3. На картках написані літери м, а, т, е, м, а, т, і, к, а. Беруть поспіль чотири картки. Яка ймовірність, що при цьому вийде слово тема?
4. Серед 20 студентів групи, в якій 8 дівчат, складається команда для змагань із 6 учасників. Яка ймовірність, що в команді опиняться дві дівчини?
5. З 15 книг, що стоять на полиці 10 з теорії ймовірностей. Знайти ймовірність того, що серед 5 взятих із полиці книг три за теорією ймовірностей.
6. У ящику знаходяться 10 червоних, 5 блакитних та 5 білих куль. Наудачу виймають 4. Яка ймовірність того, що серед них виявляться 2 червоні, 1 блакитна і 1 біла куля?
7. У бригаді 4 жінки та троє чоловіків. Серед членів бригади розігруються 4 квитки до театру. Яка ймовірність, що серед власників квитків виявляться дві жінки?
8. З партії, що містить 10 виробів, серед яких три браковані, навмання витягують три вироби. Знайти ймовірність того, що в отриманій вибірці один бракований виріб?
9. З 10 квитків виграшними є два. Чому дорівнює ймовірність того, що серед взятих навмання п'яти квитків один виграшний?
10. На шести однакових картках написані літери л, м, о, о, о, к. Ці картки навмання розкладені в ряд. Яка ймовірність, що вийде слово молоко?
3. Розв'язати задачу
1. Три стрілки незалежно один від одного стріляють по меті. Імовірність влучення для першого стрілка дорівнює 0,75; для другого – 0,8; для третього – 0,9. знайти ймовірність того, що всі три стрілки одночасно попадуть у ціль.
2. Спортсмен стріляє по мішені. Імовірність влучення у перший сектор у своїй дорівнює 0,4, тоді як у другий – 0,3. Яка ймовірність того, що спортсмен потрапить до одного із секторів?
3. Кожна з чотирьох несумісних подійможе статися відповідно до ймовірностей 0,014, 0,011, 0,009, 0,006. Знайти ймовірність того, що в результаті досвіду станеться хоча б одна з цих подій.
4. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика на верхньої гранівиявиться парне чи кратне трьом число очок.
5. У ящику 6 білих та 8 чорних куль. З шухляди вийняли дві кулі (без повернення). Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
6. Працюючи з трьома апаратами ймовірність виходу з експлуатації першого дорівнює 0,6, другого – 0,72, третього 0,8. Яка ймовірність того, що всі три апарати одночасно вийдуть з ладу?
7. У класі 10 хлопчиків та 15 дівчаток. Потрібно обрати делегацію із двох осіб. Яка ймовірність, що це будуть хлопчик та дівчинка?
8. У вазі 12 червоних та 9 білих троянд. Навмання складають букет з трьох кольорів. Яка ймовірність, що всі троянди червоного кольору?
9. Завод виготовляє продукції першого ґатунку 50%, а вищого 30%. Яка ймовірність, що випадково взятий виріб першого чи вищого гатунку?
10. Імовірності влучення кожного з трьох пострілів відповідно дорівнюють 0,9, 0,8, 0,7. Знайти ймовірність влучення двох пострілів.
4. Розв'язати задачу
1. При механічній обробці верстат зазвичай працює у двох режимах: рентабельному та нерентабельному. Рентабельний режим спостерігається у 80% з усіх випадків роботи, нерентабельний – у 20%. Імовірність виходу з ладу під час t роботи у рентабельному режимі дорівнює 0.1, у нерентабельному – 0,7. Знайти ймовірність виходу верстата з ладу за час t
2. Дві перфораторки набили по однаковому комплекту перфокарт на різних перфораторах. Імовірність того, що перша перфораторка припуститься помилки, дорівнює 0,05; для другої ця ймовірність дорівнює 0,1. При звірянні перфокарт було виявлено помилку. Знайти ймовірність того, що помилилася перша перфораторка
3. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній партії один бракований виріб. Виріб, взятий навмання з першої партії перекладено в другу, після чого вибирається навмання виріб з 2-ої партії. Знайти ймовірність того, що виріб із другої партії буде бракованим
4. На фабриці на машинах трьох видів виробляють відповідно 25, 35, 40% всіх виробів. У їхній продукції шлюб становить відповідно 5,4 і 2%. Знайти ймовірність того, що випадково вибраний виріб фабрики буде дефектним.
5. Однотипні прилади випускаються трьома заводами в кількісному відношенні, причому ймовірності шлюбу цих заводів відповідно дорівнюють 3%, 2%, 1%. Прилад, набутий НДІ, виявився бракованим. Яка ймовірність того, що прилад вироблений першим заводом?
6. Партія деталей виготовлена трьома робітниками, причому перший виготовив 35% всіх деталей, другий 40%, третій решту продукції. Шлюб у їхній продукції становить: у першого 2%, у другого -3%, у третього 4%. Випадково обрана для контролю деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що вона зроблена третім робітником.
7. У продаж надійшла партія запасних деталей, виготовлених на двох верстатах. Причому, 70% продукції вироблено першому верстаті. Серед деталей, виготовлених першим верстатом 4% бракованих, другим -1%. Знайти ймовірність того, що куплена покупцем деталь виявилася бракованою.
8. Безаварійна робота об'єкта забезпечується трьома сигналізаторами. Імовірність того, що першою відмовою буде відмова 1, 2, 3 сигналізатора рівні . У кожному з цих випадків може статися аварія із ймовірностями 0,04; 0,03; 0,012. Знайти ймовірність аварії при першій відмові якогось сигналізатора.
9. У деякому виші 75% юнаків та 25% дівчат. Серед юнаків, що палять 20%, серед дівчат 10%. Навмання обране обличчя виявилося курить. Якою є ймовірність, що це юнак?
10. До торгової фірми надійшли телевізори від трьох постачальників: 10% від першого, 40% від другого та 50% від третього. Практика показала, що телевізори, що надходять від першого, другого та третього постачальників не вимагатимуть ремонту протягом гарантійного терміну відповідно у 98%, 88%, 92% випадків. Знайти ймовірність того, що телевізор, що надійшов у торгову фірму, не вимагатиме ремонту протягом гарантійного терміну.
5. Розв'язати задачу
1. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для даного стрілка 0,7 і залежить від номера пострілу. Знайти ймовірність того, що при 5 пострілах відбудеться рівно 2 влучення в ціль.
2. Підкидається 5 симетричних монет. Знайти ймовірність того, що випало рівно 2 герби.
3. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для даного стрілка 0,7 і залежить від номера пострілу. Знайти ймовірність того, що при 7 пострілах станеться рівно 3 влучення в ціль.
4. Підкидається 5 симетричних монет. Знайти ймовірність того, що випало понад 2 герби.
5. Схожість насіння рослини дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з чотирьох насіння зійдуть три.
6. . Монету підкидають 10 разів. Якою є ймовірність того, що герб випаде 4 рази.
7. У сім'ї троє дітей. Яка ймовірність того, що вони всі хлопчики. Ймовірність народження хлопчика 0,51
8. Схожість насіння рослини дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з п'яти посіяних насіння зійдуть менше трьох.
9. У сім'ї 6 дітей. Якою є ймовірність того, що серед них не більше 2-х дівчаток. Імовірність народження хлопчика 0,51.
10. Схожість насіння рослини дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з п'яти посіяних насіння зійдуть не менше трьох.
6. Розв'язати задачу
1. Імовірність появи події дорівнює 0,7 у кожному з 2100 незалежних випробувань. Знайти ймовірність появи події щонайменше 1470 і трохи більше 1500 раз.
2. Знайти ймовірність того, що серед 500 новонароджених виявиться від 100 до 200 хлопчиків. Імовірність народження хлопчика прийняти 0,51.
3. Імовірність народження дівчинки 0,49. Знайти ймовірність, що серед 100 новонароджених буде 50 дівчаток.
4. Імовірність появи події у кожному з 300 незалежних випробувань постійна та дорівнює 0,7. Знайти ймовірність появи події щонайменше 150 разів.
5. . Завод відправив до торговельну мережу 500 виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено понад 3 вироби
6. Взуттєвий магазин продав 200 пар взуття. Імовірність того, що до магазину буде повернуто браковану пару, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що із проданих пар взуття буде повернено понад три.
7. Підручник виданий тиражем 100 000 примірників. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить 5 бракованих книг.
8. Взуттєвий магазин продав 200 пар взуття. Імовірність того, що до магазину буде повернуто браковану пару, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що із проданих пар взуття буде повернуто не більше трьох.
9. Знайти ймовірність того, що подія А настане у 2000 випробуваннях 1000 разів. Імовірність появи події А у кожному випробуванні дорівнює 0,6.
10. Імовірність ураження мішені за одного пострілу дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що при 90 пострілах мета буде вражена 50 разів.
7. Дискретна с.в. X задана законом розподілу
Потрібно:
1) побудувати функцію розподілу,
2) знайти математичне очікування,
4) дисперсію,
5) середнє квадратичне відхилення,
7) коефіцієнт асиметрії
| Х | -4 | -2 | |||
| Р | 0,3 | ? | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
| Х | ||||
| Р | 0,5 | 0,1 | 0,1 | ? |
| Х | |||||
| Р | 0,3 | ? | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
| Х | -1 | ||||
| Р | 0,1 | ? | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,1 | ? | 0,2 | 0,2 |
| Х | -10 | ||||
| Р | 0,2 | 0,1 | ? | 0,2 | 0,3 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | ? | 0,1 |
| Х | -3 | -1 | |||
| Р | 0,3 | 0,2 | ? | 0,1 | 0,1 |
| Х | |||||
| Р | 0,3 | 0,1 | 0,1 | ? | 0,2 |
| Х | |||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | ? |
8. Безперервна с.в.Х задана густиною розподілу ймовірностей. Потрібно.
