Як помножити число із різними знаками. Множення та поділ раціональних чисел

Цілі уроку:

Навчальні:

формулювання правил множення чисел з однаковими та різними знаками;
оволодіння та вдосконалення навичок множення чисел з різними знаками.

Розвиваючі:

розвиток розумових операцій: порівняння, узагальнення, аналіз, аналогія;
розвиток навичок самостійної роботи;
розширення кругозору учнів.

Виховні:

виховання культури оформлення записів;
виховання відповідальності, уваги;
виховання інтересу до предмета.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Обладнання:комп'ютер, мультимедіапроектор, картки для гри "Математичний бій", тести, карти обліку знань.

На стінах плакати:

Знання - найчудовіше з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить.
Ал-Біруні
У всьому мені хочеться дійти до самої суті.
Б. Пастернак

План уроку

Організаційний момент (1 хв).
Вступне слововчителі (3 хв).
Усна робота(10 хв).
Викладення матеріалу (15 хв).
Математичний ланцюжок (5 хв).
Домашнє завдання(2 хв).
Тест (6 хв).
Підсумок уроку (3 хв).

Хід уроку

I. Організаційний момент

готовність учнів до уроку.

ІІ. Вступне слово вчителя

Хлопці, ми сьогодні з вами зустрілися не дарма, а для плідної роботи: здобуття знань.

З тих пір, як існує світобудова,
Такого немає, хто б не потребував знання.
Який ми не візьмемо мову та вік,
Завжди прагнула до знання людина.
Рудаки

На уроці ми вивчатимемо новий матеріал, закріплювати його, працювати самостійно, оцінювати себе та своїх товаришів. У кожного на столі лежить карта обліку знань, у якій наш урок поділено на етапи. Зароблені вами бали різних етапахуроку ви самі будете заносити до цієї карти. А наприкінці уроку підіб'ємо підсумки. Покладіть ці карти на чільне місце.

ІІІ. Усна робота (у вигляді гри «Математичний бій»)

Хлопці, перш ніж приступити до новій темі, повторимо раніше вивчене. У кожного на парті лежить аркуш із грою «Математичний бій». У вертикальних та горизонтальних стовпцях записані числа, які потрібно скласти. Ці числа відзначені точками. Відповіді запишемо у ті клітини на полі, де й стоять крапки.

Три хвилини виконання. Розпочали роботу.

А тепер обмінялися роботами із сусідом по парті та перевіряємо їх один у одного. Якщо ви вважаєте, що відповідь неправильна, то акуратно закресліть її і поруч впишіть правильну. Перевіряємо.

А зараз звіримо відповіді з екраном ( на екран проектуються правильні відповіді).

За правильно вирішені

5 завдань ставимо 5 балів;
4 завдання – 4 бали;
3 завдання – 3 бали;
2 завдання – 2 бали;
1 завдання – 1 бал.

Молодці. Відклали все убік. Діти, у свої карти обліку знань занесемо кількість балів, набрану за «Математичний бій» ( Додаток 1).

IV. Виклад матеріалу

Відкриваємо робочі зошити. Записуємо число, класна робота.

Які дії над позитивними та негативними числами ви знаєте?
Як скласти два негативні числа?
Як скласти два числа із різними знаками?
Як відняти числа з різними знаками?
Ви завжди вживаєте слово "модуль". А що називається модулем числа а?

Сьогоднішня тема уроку пов'язана з дією над числами різних знаків. Але вона сховалася в анаграмі, в якій необхідно поміняти місцями літери та отримати знайоме слово. Спробуємо розгадати.

ЄНОЖУМНІ

Записуємо тему уроку: «Множення».

Мета нашого уроку: познайомитись з множенням позитивних та негативних чисел та сформулювати правила множення чисел як з однаковими, так і з різними знаками.

Вся увага на дошку. Перед вами таблиця із завданнями, вирішивши які ми сформулюємо правила множення позитивних чи негативних чисел.

2 * 3 = 6 ° С;
-2 * 3 = -6 ° С;
-2 * (-3) = 6 ° С;
2 * (-3) = -6 ° С;

1. Температура повітря підвищується щогодини на 2°С. Зараз термометр показує 0 ° С ( Додаток 2- Градусник) (Слайд 1 на комп'ютері).

Скільки одержали?(6 ° З).
Хтось запише рішення на дошці, а ми всі у зошитах.
Давайте подивимося на термометр, чи вірний ми отримали відповідь? (Слайд 2 на комп'ютері).

2. Температура повітря знижується щогодини на 2°С. Тепер термометр показує 0°С (Слайд 3 на комп'ютері).Яку температуру повітря показуватиме термометр через 3 години?

Скільки одержали?(–6 ° З).
Запишемо відповідне рішення на дошці та у зошитах. Аналогія із завданням 1.
.(Слайд 4 на комп'ютері).

3. Температура повітря знижується щогодини на 2°С. Тепер термометр показує 0°С (Слайд 5 на комп'ютері).

Скільки одержали?(6 ° З).
Запишемо відповідне рішення на дошці та у зошитах. Аналогія із завданнями 1 та 2.
Порівняємо результат із показанням термометра.(Слайд 6 на комп'ютері).

4. Температура повітря підвищується щогодини на 2°С. Тепер термометр показує 0°С (Слайд 7 на комп'ютері).Яку температуру повітря показував термометр 3 години тому?

Скільки одержали?(–6 ° З).
Запишемо відповідне рішення на дошці та у зошитах. Аналогія із завданнями 1-3.
Порівняємо результат із показанням термометра.(Слайд 8 на комп'ютері).

Подивіться свої результати. При множенні чисел з однаковими знаками(Приклади 1 і 3) який за знаком отримали відповідь? (Позитивний).

Добре. Але ось у прикладі 3 обидва множники негативні, а відповідь отримали позитивну. Яке математичне поняттяЧи дозволяє від негативних чисел переходити до позитивних? (Модуль).

Увага правило:Щоб помножити два числа з однаковими знаками, треба помножити їх модулі та поставити перед отриманим результатом знак плюс. (2 особи повторюють).

Повернемося до прикладу 3. Чому рівні модулі (–2) та (–3)? Перемножимо ці модулі. Скільки одержали? З яким знаком?

При множенні чисел з різними знаками (приклади 2 та 4) яка за знаком отримала відповідь? (Негативний).

Сформулюйте самі правило множення чисел із різними знаками.

Правило: При множенні чисел із різними знаками, треба помножити їх модулі та поставити перед отриманим результатом знак «мінус». (2 особи повторюють).

Повернемося до прикладів №2 та №4. Чому рівні модулі їхніх множників? Перемножимо ці модулі. Скільки одержали? Який знак слід поставити в результаті?

За допомогою цих двох правил можна множити і дроби: десяткові, змішані, прості.

Перед вами на дошці кілька прикладів. Три вирішимо разом зі мною, а решта самостійно. Зверніть увагу на запис та оформлення.

Молодці. Відкриємо підручники та відзначимо правила, які необхідно вивчити до наступного уроку(Сторінка 190, §7(пункт 35)). Знання цих правил допоможе надалі швидко освоїти поділ позитивних та негативних чисел.

V. Математичний ланцюжок

А зараз Незнайко хоче перевірити, як ви засвоїли новий матеріал, і поставить вам кілька запитань. Рішення та відповіді обов'язково записуємо в зошитах ( Додаток 3- Математичний ланцюжок).

Комп'ютерна презентація
Здрастуйте хлопці. Я бачу ви дуже розумні та допитливі, тому хочу поставити вам кілька запитань. Будьте уважні, особливо зі знаками.
Перше моє питання: помножити (-3) на (-13).
Друге питання: помножити те, що отримали у першому завданні на (–0,1).
Третє питання: результат другого завдання помножити на (-2).
Четверте питання: помножити (-1/3) на результат третього завдання.
І останнє, п'яте питання: обчисліть температуру замерзання ртуті, помноживши результат четвертого завдання на 15.
Дякую за роботу. Бажаю успіху.

Діти, давайте перевіримо, як ми впоралися із завданнями. Встали всі.

Скільки отримали у першому завданні?

У когось інша відповідь, сіли, і хтось сів, у карту обліку знань ставимо собі за математичний ланцюжок 0 балів. Решта нічого не ставлять.

Скільки отримали у другому завданні?

У когось інша відповідь, сіли, і ставимо собі в карту обліку знань за математичний ланцюжок 1 бал.

Скільки отримали у третьому завданні?

У когось інша відповідь, сіли, і ставимо собі в карту обліку знань за математичний ланцюжок 2 бали.

Скільки отримали у четвертому завданні?

У когось інша відповідь, сіли, і ставимо собі в карту обліку знань за математичний ланцюжок 3 бали.

Скільки отримали у п'ятому завданні?

У когось інша відповідь, сіли, і ставимо собі в карту обліку знань за математичний ланцюжок 4 бали. Діти вирішили правильно всі 5 завдань. Сідайте, ви ставите собі карту обліку знань 5 балів за математичну ланцюжок.

Чому ж дорівнює температура замерзання ртуті?(–39 ° С).

VI. Домашнє завдання

§7(пункт 35, сторінка 190), №1121- підручник: Математика. 6 клас: [Н.Я.Віленкін та ін.]

Творче завдання:Скласти завдання на множення позитивних чи негативних чисел.

VII. Тест

Переходимо до наступного етапу уроку: виконання тесту ( Додаток 4).

Вам необхідно вирішити завдання та обвести кружком номер правильної відповіді. За перші два виконані завдання ви отримаєте по 1 балу, за 3 завдання – 2 бали, за 4 завдання – 3 бали. Розпочали роботу.

Δ -1 бал;
o -2 бали;
-3 бали.

А тепер номери правильних відповідей запишемо до таблиці під тестом. Перевіримо отримані результати. У вас у порожніх клітинах має вийти число 1418 (записую на дошці). Хто одержав його – ставить у карту обліку знань 7 балів. Хто припустився помилок, то в карту обліку знань ставить кількість балів, набрану тільки за виконані завдання.

Саме 1418 днів тривала Велика Вітчизняна війна, перемога в якій російському народу дісталася тяжкою ціною. І 9 травня 2010 року ми відзначатимемо 65-річчя Перемоги над фашистською Німеччиною.

VIII. Підсумок уроку

А тепер підрахуємо Загальна кількістьбалів, набраних вами за урок, та результати занесемо до карти обліку знань учнів. Після цього здаємо ці карти.

15 – 17 балів – оцінка «5»;
10 – 14 балів – оцінка «4»;
менше 10 балів – оцінка «3».

Підніміть руки, хто отримав "5", "4", "3".

Яку тему ми розглянули сьогодні?
Як помножити числа із однаковими знаками; із різними знаками?

Отже, наш урок добіг кінця. Я хочу сказати вам ДЯКУЮ за роботу на уроці.

У цій статті ми розберемося з множенням чисел із різними знаками. Тут ми спочатку сформулюємо правило множення позитивного та негативного числа, обґрунтуємо його, а після цього розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.

Навігація на сторінці.

Правило множення чисел із різними знаками

Примноження позитивного числа на негативне, а також негативного на позитивне проводиться за наступним правилу множення чисел із різними знакамиЩоб помножити числа з різними знаками, треба помножити, і перед отриманим твором поставити знак мінус.

Запишемо це правилоу літерному вигляді. Для будь-якого позитивного дійсного числа a і дійсного негативного числа −b справедлива рівність a·(−b)=−(|a|·|b|) , а також для негативного числа −a та позитивного числа b справедлива рівність (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило множення чисел з різними знаками повністю узгоджується з властивостями дій із дійсними числами. Справді, з їхньої основі нескладно показати, що з дійсних і позитивних чисел a і b справедлива ланцюжок рівностей виду a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, яка доводить, що a · (- b) і a · b - протилежні числа, звідки випливає рівність a·(−b)=−(a·b) . А з нього випливає справедливість розглянутого правила множення.

Слід зазначити, що озвучене правило множення чисел із різними знаками справедливе як дійсних чисел, так раціональних чиселі цілих чисел. Це випливає з того, що дії з раціональними і цілими числами мають ті самі властивості, які використовувалися за доказом вище.

Зрозуміло, що множення чисел із різними знаками за отриманим правилом зводиться до множення позитивних чисел.

Залишилося розглянути приклади застосування розібраного правила множення при множенні чисел з різними знаками.

Приклади множення чисел із різними знаками

Розберемо рішення кількох прикладів множення чисел із різними знаками. Почнемо з простого випадку, щоб зосередитись на кроках правила, а не на обчислювальних складностях.

Виконайте множення від'ємного числа −4 на позитивне число 5 .

За правилом множення чисел з різними знаками спочатку потрібно перемножити модулі вихідних множників. Модуль −4 дорівнює 4 а модуль 5 дорівнює 5 а множення натуральних чисел 4 та 5 дає 20 . Нарешті залишилося поставити знак мінус перед отриманим числом, маємо −20 . У цьому множення завершено.

Коротко рішення можна записати так: (−4) · 5 = - (4 · 5) = -20 .

(−4)·5=−20 .

При множенні дробових чиселз різними знаками потрібно вміти виконувати множення звичайних дробів, множення десяткових дробів та їх комбінацій з натуральними та змішаними числами

Проведіть множення чисел із різними знаками 0,(2) і.

Виконавши переведення періодичного десяткового дробу у звичайний дріб, а також виконавши перехід від змішаного числа до неправильного дробу, від вихідного твору ми прийдемо до твору звичайних дробів із різними знаками виду. Цей твір за правилом множення чисел з різними знаками дорівнює. Залишилося лише перемножити прості дроби в дужках, маємо .

Окремо варто сказати про множення чисел з різними знаками, коли один або обидва множники є

Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.

Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?

Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадкуми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.

Ми отримаємо той самий результат, якщо за умовою завдання кожна з чотирьох осіб має борг по 3 долари. Інакше кажучи, (+4)х(-3)=-12. А оскільки порядок співмножників значення не має, отримуємо (-4)х(+3)=-12 та (+4)х(-3)=-12.

Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величинавідповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.

А як перемножити два негативні числа?

На жаль, на цю тему дуже важко придумати відповідний приклад із життя. Легко собі уявити борг у сумі 3 або 4 долари, але неможливо уявити -4 або -3 людини, які залізли в борги.

Мабуть, ми підемо іншим шляхом. У множенні за зміни знака одного з множників змінюється знак твору. Якщо ми змінюємо знаки в обох множників, ми маємо двічі змінити знак твору, Спершу з позитивного на негативний, а потім навпаки, з негативного на позитивний, тобто у твору буде початковий знак.

Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.

Положення знакапри множенні змінюється таким чином:

додатне числох позитивне число = позитивне число;
від'ємне числох позитивне число = від'ємне число;
позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.

Інакше кажучи, перемножуючи два числа з однаковими знаками, ми отримуємо позитивне число. Перемножуючи два числа з різними знаками, ми маємо негативне число.

Таке ж правило справедливе і для дії протилежного множення – для.

Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операціїмноження. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).

Оскільки незабаром зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.

У цій статті дається докладний огляд поділу чисел з різними знаками. Спочатку наведено правило розподілу чисел із різними знаками. Нижче розібрано приклади поділу позитивних чисел на негативні та негативних чисел на позитивні.

Навігація на сторінці.

Правило розподілу чисел із різними знаками

У статті розподіл цілих чисел було отримано правило розподілу цілих чисел із різними знаками. Його можна поширити і на раціональні числа, і на дійсні числа, повторивши всі міркування із зазначеної статті.

Отже, правило поділу чисел з різними знакамимає таке формулювання: щоб розділити позитивне число на негативне або негативне число на позитивне, треба розділити розподіленого на модуль дільника, і перед отриманим числом поставити знак мінус.

Запишемо це правило поділу за допомогою букв. Якщо числа a та b мають різні знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

З озвученого правила зрозуміло, що результатом розподілу чисел із різними знаками є негативне число. Дійсно, оскільки модуль діленого і модуль дільника є позитивнішим за число, то їх приватне є позитивним числом, а знак мінус робить це число негативним.

Зазначимо, що розглянуте правило зводить розподіл чисел із різними знаками до поділу позитивних чисел.

Можна навести інше формулювання правила поділу чисел з різними знаками: щоб розділити число a на число b потрібно число a помножити на число b −1 , зворотне числу b . Тобто, a:b=a·b −1 .

Це правило можна використовувати, коли є можливість виходити за межі множини цілих чисел (оскільки далеко не кожне ціле число має зворотне). Іншими словами, воно застосовується на безлічі раціональних, а також на множині дійсних чисел.

Зрозуміло, це правило поділу чисел із різними знаками дозволяє від поділу перейти до множення.

Це правило використовується при розподілі негативних чисел .

Залишилося розглянути, як це правило поділу чисел з різними знаками застосовується під час вирішення прикладів.

Приклади поділу чисел із різними знаками

Розглянемо рішення кількох характерних прикладів поділу чисел із різними знаками, щоб засвоїти принцип застосування правил попереднього пункту.

Розділіть від'ємне число −35 на позитивне число 7 .

Правило поділу чисел з різними знаками наказує спочатку знайти модулі діленого та дільника. Модуль числа −35 дорівнює 35 а модуль числа 7 дорівнює 7 . Тепер нам потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника, тобто треба розділити 35 на 7 . Згадавши, як виконується розподіл натуральних чисел, отримуємо 35:7=5. Залишився останній крок правила розподілу чисел з різними знаками – поставити мінус перед отриманим числом, маємо −5.

Ось усі рішення: .

Можна було виходити з іншого формулювання правила розподілу чисел із різними знаками. І тут спочатку знаходимо число, зворотне дільнику 7 . Цим числом є звичайний дріб 1/7. Таким чином, . Залишилося виконати множення чисел із різними знаками: . Очевидно, ми дійшли такого самого результату.

(−35):7=−5 .

Обчисліть частки 8:(−60) .

За правилом поділу чисел з різними знаками маємо 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Отриманому виразу відповідає негативний звичайний дріб (дивіться знак поділу як риса дробу), можна провести скорочення дробу на 4 .

Запишемо рішення коротко: .

При розподілі дробових раціональних чисел з різними знаками їх зазвичай поділяється і дільник представляють у вигляді звичайних дробів. Це пов'язано з тим, що з числами в іншому записі (наприклад, у десятковому) не завжди зручно виконувати поділ.

Модуль діленого дорівнює, а модуль дільника дорівнює 0(23) . Щоб провести розподіл модуля поділеного на модуль дільника, перейдемо до звичайних дробів.

У даному уроцірозглядається множення та розподіл раціональних чисел.

Зміст уроку

Збільшення раціональних чисел

Правила множення цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Іншими словами, щоб множити раціональні числа, потрібно вміти

Також необхідно знати основні закони множення, такі як: переміщувальний законмноження, сполучний закон множення, розподільчий закон множення та множення на нуль.

приклад 1.Знайти значення виразу

Це множення раціональних чисел із різними знаками. Щоб перемножити раціональні числа з різними знаками, потрібно перемножити їх модулі і перед відповіддю поставити мінус.

Щоб добре побачити, що ми маємо справу з числами, у яких різні знаки, заключимо кожне раціональне число у дужки разом зі своїми знаками.

Модуль числа дорівнює, а модуль числа дорівнює. Перемноживши отримані модулі, як позитивні дробиМи отримали відповідь, але перед відповіддю поставили мінус, як від нас вимагало правило. Щоб забезпечити цей мінус перед відповіддю, множення модулів виконувалося в дужках, перед якими і поставлений мінус.

Коротке рішення виглядає так:

приклад 2.Знайти значення виразу

приклад 3.Знайти значення виразу

Це множення негативних раціональних чисел. Щоб перемножити негативні раціональні числа, потрібно перемножити їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити плюс

Рішення для даного прикладуможна записати коротше:

приклад 4.Знайти значення виразу

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

Приклад 5.Знайти значення виразу

Це множення раціональних чисел із різними знаками. Перемножимо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус

Коротке рішення виглядатиме значно простіше:

Приклад 6.Знайти значення виразу

Перекладемо змішане число в неправильний дріб. Решту перепишемо, як є

Отримали множення раціональних чисел із різними знаками. Перемножити модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

Рішення для цього прикладу можна записати коротше

Приклад 7.Знайти значення виразу

Спочатку у відповіді вийшов неправильний дріб, але ми виділили в ньому цілу частину. Зверніть увагу, що ціла частинабула виділена від модуля дробу. Змішане число, що вийшло, було укладено в дужки, перед якими поставлений мінус. Це зроблено у тому, щоб виконувалася вимога правила. А правило вимагало, щоб перед отриманим відповіддю стояв мінус.

Рішення для цього прикладу можна записати коротше:

Приклад 8.Знайти значення виразу

Спочатку перемножимо і отримане число перемножимо з числом 5, що залишилося. Запис з модулями пропустимо, щоб не захаращувати вираз.

Відповідь:значення виразу −2.

Приклад 9.Знайти значення виразу:

Перекладемо змішані числау неправильні дроби:

Набули множення негативних раціональних чисел. Перемножити модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо плюс. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

приклад 10.Знайти значення виразу

Вираз складається з кількох співмножників. Згідно сполучному законумноження, якщо вираз складається з кількох співмножників, то твір не залежатиме від порядку дій. Це дозволяє нам обчислити цей вираз у будь-якому порядку.

Не будемо винаходити велосипед, а обчислимо цей вираз зліва направо в порядку прямування співмножників. Запис із модулями пропустимо, щоб не захаращувати вираз

Третя дія:

Четверта дія:

Відповідь:значення виразу дорівнює

Приклад 11.Знайти значення виразу

Згадуємо закон множення на нуль. Цей закон свідчить, що твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю.

У нашому прикладі один із співмножників дорівнює нулю, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що значення виразу дорівнює нулю:

Приклад 12Знайти значення виразу

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із співмножників дорівнює нулю.

У нашому прикладі один із співмножників дорівнює нулю, тому не втрачаючи часу відповідаємо, що значення виразу одно нулю:

приклад 13.Знайти значення виразу

Можна скористатися порядком дій і спочатку обчислити вираз у дужках і отриману відповідь перемножити з дробом.

Ще можна скористатися розподільчим законом множення - помножити кожне доданок суми на дріб та отримані результати скласти. Цим способом і скористаємось.

Відповідно до порядку дій, якщо у виразі є додавання і множення, то в першу чергу потрібно виконувати множення. Тому в новому виразі візьмемо в дужки ті параметри, які повинні бути перемножені. Так ми добре побачимо, які дії виконати раніше, а які пізніше:

Третя дія:

Відповідь:значення виразу одно

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Видно, що цей приклад можна було вирішити навіть у думці. Тому слід розвивати у собі навичку аналізу висловлювання на початок його рішення. Цілком ймовірно, що його можна вирішити в умі і заощадити багато часу та нервів. А на контрольних та іспитах, як відомо, час дуже дорого коштує.

приклад 14.Знайти значення виразу -4,2 × 3,2

Зверніть увагу, як множилися модулі раціональних чисел. У разі, щоб перемножити модулі раціональних чисел, знадобилося .

приклад 15.Знайти значення виразу -0,15 × 4

Зверніть увагу, як множилися модулі раціональних чисел. У разі, щоб перемножити модулі раціональних чисел, знадобилося зуміти .

Приклад 16Знайти значення виразу -4,2 × (-7,5)

Це множення негативних раціональних чисел. Перемножимо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо плюс

Розподіл раціональних чисел

Правила поділу цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Іншими словами, щоб вміти поділяти раціональні числа, потрібно вміти

У іншому застосовуються самі методи поділу звичайних і десяткових дробів. Щоб розділити звичайний дріб на інший дріб, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

А щоб поділити десятковий дрібна інший десятковий дріб, потрібно в ділимому і в дільнику перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику, потім виконати поділ, як на звичайне число.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити такий вираз, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

Отже, помножимо перший дріб на другий дріб.

Отримали множення раціональних чисел із різними знаками. А як обчислювати такі вирази, ми вже знаємо. Для цього потрібно перемножити модулі цих раціональних чисел та перед отриманою відповіддю поставити мінус.

Дорішаємо цей приклад до кінця. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз

Таким чином, значення виразу дорівнює

Докладне рішення виглядає так:

Коротке рішення виглядатиме так:

приклад 2.Знайти значення виразу

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий.

Зворотний для другого дробу це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Коротке рішення виглядатиме так:

приклад 3.Знайти значення виразу

Це розподіл негативних раціональних чисел. Щоб обчислити цей вираз, знову ж таки потрібно перший дріб помножити на дріб зворотний другий.

Зворотний для другого дробу це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Набули множення негативних раціональних чисел. Як обчислюється подібний виразми вже знаємо. Потрібно перемножити модулі раціональних чисел та перед отриманою відповіддю поставити плюс.

Дорішаємо цей приклад до кінця. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:

приклад 4.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перше число −3 помножити на дріб, зворотні дроби.

Зворотний для дробу це дріб. На неї і помножимо перше число -3

Приклад 6.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дроб помножити на число, протилежне числу 4.

Зворотне для числа 4 це дріб. На неї і помножимо перший дріб

Приклад 5.Знайти значення виразу

Щоб обчислити цей вираз, потрібно перший дроб помножити на число, обернене до −3

Зворотний для числа −3 це дріб. На неї і помножимо перший дріб:

Приклад 6.Знайти значення вираз −14,4: 1,8

Це розподіл раціональних чисел із різними знаками. Щоб обчислити цей вираз, потрібно модуль поділеного розділити на модуль дільника і перед отриманою відповіддю поставити мінус

Зверніть увагу, як модуль поділеного був поділений на модуль дільника. У цьому випадку, щоб зробити це правильно, знадобилося зуміти.

Якщо немає бажання возитися з десятковими дробами (а це буває часто), то ці, потім перевести ці змішані числа в неправильні дроби, а потім зайнятися безпосередньо розподілом.

Обчислимо попередній вираз -14,4: 1,8 цим способом. Переведемо десяткові дроби до змішаних цифр:

Тепер переведемо отримані змішані числа до неправильних дробів:

Тепер можна зайнятися безпосередньо розподілом, а саме розділити дріб на дріб. Для цього потрібно перший дріб помножити на дріб, зворотний другий:

Приклад 7.Знайти значення виразу

Переведемо десятковий дріб −2,06 у неправильний дріб, і помножимо цей дріб на дріб, зворотний другий:

Багатоповерхові дроби

Часто можна зустріти вираз, у якому розподіл дробів записано за допомогою дробової межі. Наприклад, вираз може бути записаний таким чином:

У чому різниця між висловлюваннями і ? Насправді різниці жодної. Ці два вирази несуть одне й те саме значення і між ними можна поставити знак рівності:

У першому випадку знак поділу є двокрапкою і вираз записано в один рядок. У другому випадку поділ дробів записано за допомогою дробової межі. В результаті виходить дріб, який у народі домовилися називати багатоповерховий.

При зустрічі з такими багатоповерховими виразами потрібно застосовувати ті ж правила поділу звичайних дробів. Перший дріб необхідно множити на дріб, зворотний другий.

Використовувати у вирішенні подібні дробивкрай незручно, тому можна записати їх у зрозумілому вигляді, використовуючи як знак розподілу не дробову межу, а двокрапку.

Наприклад, запишемо багатоповерховий дріб у зрозумілому вигляді. Для цього спочатку потрібно розібратися, де перший дріб і де другий, тому що зробити це правильно вдається не завжди. У багатоповерхових дробах є кілька дробових характеристик, які можуть заплутати. Головна дробова риса, яка відокремлює перший дріб від другого, зазвичай буває довшою за інші.

Після визначення головної дробової риси можна легко зрозуміти, де перший дріб і де другий:

приклад 2.

Знаходимо головну дробову межу (вона найдовша) і бачимо, що здійснюється розподіл цілого числа −3 на звичайний дріб

А якби ми помилково прийняли другу дробову межу за головну (ту, що коротше), то вийшло б, що ми ділимо дріб на ціле число 5. У цьому випадку, навіть якщо цей вираз обчислити правильно, завдання буде вирішено неправильно, оскільки ділимо в даному У разі є число −3, а дільником — дріб .

приклад 3.Запишемо у зрозумілому вигляді багатоповерховий дріб

Знаходимо головну дробову межу (вона найдовша) і бачимо, що здійснюється розподіл дробу на ціле число 2

А якби ми помилково прийняли першу дробову межу за головну (ту, що коротше), то вийшло б, що ми ділимо ціле число −5 на дріб. у разі є дріб , а дільником — ціле число 2.

Незважаючи на те, що багатоповерхові дроби незручні в роботі, ми стикаємося з ними дуже часто, особливо при вивченні вищої математики.

Природно, на переведення багатоповерхового дробу до зрозумілого вигляду йде додатковий часта місце. Тому можна скористатися більше швидким методом. Даний метод зручний і на виході дозволяє отримати готовий вираз, в якому перший дріб вже помножений на дріб, зворотний другий.

Реалізується цей метод так:

Якщо дріб чотириповерховий, наприклад як , то цифру на першому поверсі піднімають на верхній поверх. А цифру, що знаходиться на другому поверсі, піднімають на третій поверх. Отримані цифри потрібно поєднати значками множення (×)

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримуємо новий вираз, в якому перший дріб вже помножено на дріб, зворотний другий. Зручність та й годі!

Щоб не допускати помилок під час використання даного методу, можна керуватися наступним правилом:

З першого на четвертий. З другого до третього.

У правилі мова йдепро поверхи. Цифру з першого поверху слід піднімати на четвертий поверх. А цифру із другого поверху треба піднімати на третій поверх.

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись вищенаведеним правилом.

Отже, цифру, що знаходиться на першому поверсі, піднімаємо на четвертий поверх, а цифру, що знаходиться на другому поверсі, піднімаємо на третій поверх.

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримуємо новий вираз , в якому перший дріб вже помножено на дріб, зворотний другий. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись новою схемою.

Тут є лише перший, другий та четвертий поверхи. Третій поверх відсутній. Але ми не відходимо від основної схеми: цифру з першого поверху піднімаємо на четвертий поверх. А оскільки третій поверх відсутній, то цифру, що знаходиться на другому поверсі, залишаємо, як є

В результаті, минаючи проміжний запис, ми отримали новий вираз , в якому перше число −3 вже помножено на дріб, зворотний другий. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Спробуємо обчислити багатоповерховий дріб, користуючись новою схемою.

Тут є лише другий, третій та четвертий поверхи. Першого поверху немає. Оскільки перший поверх відсутній, підніматися на четвертий поверх нічому, але ми можемо підняти цифру з другого поверху на третій:

В результаті, минаючи проміжний запис ми отримали нове вираз, в якому перший дріб вже помножено на число, зворотне дільнику. Далі можна скористатися наявними знаннями:

Використання змінних

Якщо вираз складний і вам здається, що він заплутає вас у процесі розв'язання задачі, то частину виразу можна занести в змінну і далі працювати з цією змінною.

Математики часто так і роблять. Складне завданнярозбивають більш легені подзадачи і вирішують їх. Потім збирають вирішені підзавдання в єдине ціле. Це творчий процесі цього навчаються роками, завзято тренуючись.

Використання змінних виправдане при роботі з багатоповерховими дробами. Наприклад:

Знайти значення виразу

Отже, є дрібний вираз у чисельнику і в знаменнику якому дробові вирази. Іншими словами, перед нами знову багатоповерховий дріб, який ми так не любимо.

Вираз, що знаходиться в чисельнику, можна занести в змінну з будь-якою назвою, наприклад:

Але у математиці у разі змінним прийнято давати назву з великих латинських букв. Давайте не порушуватимемо цю традицію, і позначимо перший вираз через велику латинську букву A

А вираз, що знаходиться в знаменнику, можна позначити через велику латинську букву B

Тепер наш початковий вираз набуває вигляду. Тобто ми зробили заміну числового виразуна буквене, попередньо внісши чисельник і знаменник змінні A і B.

Тепер ми можемо окремо обчислити значення змінної A і змінної B. Готові значення ми вставимо у вираз .

Знайдемо значення змінної A

Знайдемо значення змінної B

Тепер підставимо в головне вирази замість змінних A та B їх значення:

Ми отримали багатоповерховий дріб у якому можна скористатися схемою «з першого на четвертий, з другого на третій», тобто цифру, що знаходиться на першому поверсі, підняти на четвертий поверх, а цифру, що знаходиться на другому поверсі, підняти на третій поверх. Подальше обчислення не складе особливих труднощів:

Таким чином, значення виразу дорівнює -1.

Звичайно, ми розглянули найпростіший приклад, але нашою метою було дізнатися, як можна використовувати змінні для полегшення собі завдання, щоб звести до мінімуму припущення помилок.

Зазначимо також, що рішення для цього прикладу можна записати не застосовуючи змінні. Виглядатиме воно як

Це рішення швидше і коротке і в даному випадку його доцільніше так і записати, але якщо вираз виявиться складним, що складається з декількох параметрів, дужок, коренів і ступенів, то бажано обчислювати його в кілька етапів, заносячи частину його виразів у змінні.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.

Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?

Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадку ми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.

Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величина відповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.

А як перемножити два негативні числа?

Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.

Положення знакапри множенні змінюється таким чином:

позитивне число х позитивне число = позитивне число;
від'ємне число х позитивне число = від'ємне число;
позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.

Таке саме правило справедливе й у дії протилежного множенню – для .

Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операції множення. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).

Оскільки скоро зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.