Концепція стохастичного процесу. Значення стохастичний процес у сучасному тлумачному словнику, бсе

Стохастичні процеси поділяються на стаціонарні та нестаціонарні процеси. Стохастичний процес є стаціонарним, якщо він знаходиться в певному сенсіу статистичному рівновазі, тобто. його властивості з імовірнісної точки зору не залежать від часу. Процес не стаціонарний, якщо умови порушуються.

Важливе теоретичне значеннямають гауссівські процеси. Це такі процеси, у яких будь-який набір спостережень має спільне нормальний розподіл. Як правило, термін "тимчасовий ряд" сам по собі має на увазі, що цей ряд є одномірним (скалярним).

При аналізі економічних часових рядів зазвичай розрізняють різні видиеволюції (динаміки). Ці види динаміки можуть, власне кажучи, комбінуватися. Тим самим задається розкладання тимчасового ряду на складові або компоненти, які з економічної точкизору несуть різне змістовне навантаження. Розрізняють два види компонентів: систематичні (це результат впливу на тимчасовий ряд постійно чинних факторів) і випадкові (це випадковий шум або помилка, що нерегулярно впливають на ряд).

Перерахуємо найбільш важливі компоненти. До систематичних належать такі:

тенденція - відповідає повільному зміні, що у деякому напрямі, яке зберігається протягом значного проміжку часу. Тенденцію називають також трендом чи довготривалим рухом;

циклічні коливання - це швидше, ніж тенденція, квазипериодическая динаміка, яка виходить за рамки одного періоду і в якій є фаза зростання і фаза спадання. Проміжок часу між двома вершинами чи западинами вважається довжиною циклу. На циклічні компоненти впливають фактори, що важко ідентифікуються формальними методами (зміна політичної ситуації, Приріст або виснаження ресурсів та ін). Найчастіше цикл пов'язані з флуктуаціями економічної активності;

сезонні коливання- відповідають змінам, які відбуваються регулярно протягом року, тижня чи доби, тобто. усередині одного виділеного періоду. Вони пов'язані з сезонами та ритмами людської активності;

календарні ефекти - це відхилення, пов'язані з певними передбачуваними календарними подіями, такими як святкові днікількість робочих днів за місяць, високосний рікі т.п.

Систематичні компоненти можуть одночасно все бути присутніми у часовому ряді.

Випадкові компоненти включають такі види:

випадкові флуктуації – безладні рухи щодо великої частоти. Вони породжуються впливом різнорідних подій на величину, що вивчається (несистематичний або випадковий ефект). Часто таку складову називають шумом (цей термін прийшов із технічних додатків).

викиди - це аномальні рухи тимчасового ряду, пов'язані з подіями, що рідко відбуваються, які різко, але лише дуже короткочасно відхиляють ряд від загального закону, яким він рухається.

структурні зрушення - це аномальні рухи часового ряду, пов'язані з подіями, що рідко відбуваються, мають стрибкоподібний характер і змінюють тенденцію.

Деякі економічні ряди можна вважати такими, що представляють ті чи інші види таких рухів майже в чистому вигляді. Але більша частинаїх має дуже складний вигляд. Вони можуть виявлятися, наприклад, як загальна тенденціязростання, так і сезонні зміни, куди можуть накладатися випадкові флуктуації. Часто для аналізу часових рядів виявляється корисним ізольований розгляд окремих компонентів.

Для того, щоб можна було розкласти конкретний рядна ці складові, потрібно зробити якісь припущення про те, які властивості вони повинні мати. Бажано побудувати спочатку формальну статистичну модель, яка включала б у якомусь вигляді ці складові, потім оцінити її, а після цього на підставі отриманих оцінок вичленувати складові. Однак побудова формальної моделі є складним завданням. Зокрема, зі змістовного опису який завжди ясно, як моделювати ті чи інші компоненти. Наприклад, тренд може бути детермінованим чи стохастичним. Аналогічно, сезонні коливання можна комбінувати за допомогою детермінованих змінних або стохастичного процесу певного виду. Компоненти часового ряду можуть входити до нього адитивно або мультиплікативно, або у змішаному вигляді. Більше того, далеко не всі часові лави мають достатньо просту структурущоб можна було розкласти їх на зазначені складові. Існує два основних підходи до розкладання часових рядів на компоненти. Перший підхід заснований на використанні множинних регресій з факторами, що є функціями часу, другий на основі застосування лінійних фільтрів.

Ще статті з економіки

Статистичне дослідження ринку праці
Проблема ринку праці, зайнятості та безробіття є однією з найважливіших соціально-економічних проблем нашого часу. В умовах перехідної економіки ці проблеми проявляються особливо особливо...

Комплексний економічний аналіз виробничо-господарської діяльності медичної організації
Аналіз фінансово-господарської діяльності підприємств як наука є системою спеціальних знань, пов'язаних з дослідженням тенденцій господарського розвитку, н...

Кооперативні статути, їх види та зміст
Кооператив - це самодіяльна організація працівників - власників, які організують його діяльність з метою отримання прибутку або реалізації у своїх інтересах різного роду.

Не може бути визначено за первісним станом системи.

Стохастичні системи - це системи, зміна яких носить випадковий характер. При випадкових впливах даних про стан системи недостатньо для передбачення наступного часу.

Стохастичний: Визначення процесу, що визначається рядом спостережень.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Стохастичний" в інших словниках:

- [Гр. stochastikos вміє вгадувати] випадковий, імовірнісний, безладний, непередбачуваний. Словник іноземних слів. Комлєв Н.Г., 2006. стохастичний (гр. stochasis здогад) випадковий, або імовірнісний, напр, с. процес процес, характер… Словник іноземних слів російської мови

Імовірнісний, випадковий; непередбачуваний. Ant. закономірний, обов'язковий Словник російських синонімів. стохастичний дод., кіл у синонімів: 4 хаотичний (44) … Словник синонімів

Великий Енциклопедичний словник

Керований законами теорії ймовірностей, випадковий. Геологічний словник: у 2-х томах. М.: Надра. За редакцією К. Н. Паффенгольця та ін. 1978 … Геологічна енциклопедія

Англ. stochastic; ньому. stochastisch. У статистиці випадковий чи ймовірний; напр., С. процес процес, характер зміни до рого в часі точно передбачити неможливо. Антіназі. Енциклопедія соціології, 2009 … Енциклопедія соціології

стохастичний- ая, ое. stochastique, нім. stochastisch гр. stochasis здогад. мат. Випадковий, що відбувається з ймовірністю, яку неможливо передбачити. С.процес. Стохастичність та, ж. Крисин 1998. Лекс. БСЕ 2: стохасті / чеський … Історичний словникгалицизмів російської мови

стохастичний- Tikimybinis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. stochastic vok. stochastisch rus. стохастичні pranc. stochastique ryšiai: sinonimas – stochastinis … Automatikos terminų žodynas

Ая, ое [грец. stochasis здогад] Книжн. Випадковий, імовірнісний, можливий. Ці зміни в економіці. процес еволюції природи. * * * стохастичний (від грец. stochastikós вміє вгадувати), випадковий, імовірнісний … Енциклопедичний словник

Стохастичний- тобто випадковий, що не має очевидної закономірної причини. Фізична антропологія. Ілюстрований тлумачний словник.

Стохастичний- (Від грец. stochastikos вміючий вгадувати) випадковий, імовірнісний … Початки сучасного природознавства

Книги

• , Ф. С. Насиров. Книга присвячена застосуванню методів теорії функцій речовинної змінної та теорії диференціальних рівняньу стохастичному аналізі. Матеріал охоплює загальну теоріюлокальних часів для…
• Локальні часи, симетричні інтеграли та стохастичний аналіз, Насиров Ф.С.. Книга присвячена застосуванню методів теорії функцій речової змінної та теорії диференціальних рівнянь у стохастичному аналізі. Матеріал охоплює загальну теорію локальних часів для…

"Стохастичний" - це слово, яке фізики, математики та інші вчені використовують для опису процесів, що мають елемент випадковості. Походження його давньогрецьке. У перекладі воно означає "вміє вгадувати".

Значення слова "стохастичний"

"Стохастичний" - це поняття, яке використовується в множині різних областейнауки. Воно означає випадковість, хаотичність, невизначеність чогось. У етиці Аристотеля (його скульптурний портрет представлений вище) поняття " стохастичний " – це визначення, що стосується здатності вгадувати. Очевидно, математики використовували його на тій підставі, що елемент випадковості виникає саме при необхідності вгадувати. Слово "стохастичний" - це поняття, яке визначено в "Новому міжнародному словнику"як "імовірний".

Таким чином, можна помітити, що технічне значення даного поняттяне точно відповідає його словниковому (лексичному) значенню. Деякі автори використовують вираз "стохастичний процес" як синонім поняття "випадковий процес".

Стохастичність у математиці

Вживання даного терміна математики нині широко поширене. Наприклад, існує таке поняття теоретично ймовірності, як стохастичний процес. Його результат не можна визначити за первісним станом цієї системи.

Вживання у математиці поняття " стохастичність " відносять до праць Владислава Борцкевича. Саме він використав даний терміну значенні "висувати гіпотези". У математиці, особливо у розділі цієї науки, як теорія ймовірності, область випадкових досліджень грає велику роль. Існує, наприклад, таке поняття, як стохастична матриця. Колонки чи рядки даної матриці у сумі дають одиницю.

Стохастична математика (фінансова)

Цей розділматематики аналізує фінансові структури, які у умовах невизначеності. Він покликаний знаходити самі раціональні методиуправління фінансовими коштами та структурами, враховуючи такі фактори, як стохастична еволюція, ризик, час та ін.

У науці прийнято виділяти наступні структурита об'єкти, що використовуються у фінансовій математиці в цілому:

• фірми (наприклад, підприємства);
• індивідууми;
• посередницькі структури ( пенсійні фонди, банки);
• фінансових ринків.

Основним об'єктом вивчення фінансової стохастичної математики є саме останній з них. Цей розділ базується на таких дисциплінах, як статистика випадкових процесів, теорія випадкових процесів та ін.

В даний час навіть людям, далеким від науки, добре відомо за численними новинами та публікаціями у ЗМІ, що значення так званих глобальних фінансових індексів (наприклад, індексу Доу Джонса) ціни акцій змінюються хаотично. Л. Башельє зробив першу спробу описати з використанням математики еволюцію вартості акцій. Його стохастичний метод спирається теорію ймовірностей. Дисертацію Л. Башельє, де представлено цю спробу, було опубліковано 1900 року. Вчений довів формулу, відому тепер як формула справедливої ​​вартості опціону-колл. У ньому відбивається стохастична можливість.

Важливі ідеї, які в подальшому призвели до виникнення теорії ефективного ринку, було викладено у праці М. Кендалла, виданому 1953 року. У роботі розглядається питання динаміки цін акцій. Дослідник описує її за допомогою стохастичних процесів.

Стохастичність у фізиці

Завдяки фізикам Е. Фермі, С. Уламу, Н. Метрополісу та Д. Нейману велике поширенняодержав метод Монте-Карло. Його назва походить від казино, розташованого в однойменному місті такої країни, як Монако. Саме тут позичав гроші для гри дядько Улама. Використання природи повторів і випадковостей вивчення процесів є аналогічним що відбувається у казино діяльності.

При застосуванні даного методумоделювання спочатку відбувається пошук імовірнісного аналога. До цього моделювання здійснювалося в протилежному напрямку: воно використовувалося для перевірки результату детермінованої проблеми, отриманої раніше. І хоч і до відкриття методу Монте-Карло існували подібні підходи, вони не були популярними та загальними.

Енріко Фермі в 1930 застосував стохастичні прийоми для розрахунку властивостей нейтрона, в той час щойно виявленого. Методи Монте-Карло надалі використовувалися під час роботи над манхеттенським проектом, хоча на той час були суттєво обмежені можливості обчислювальних машин. З цієї причини вони отримали широке розповсюдженнялише після того, як з'явилися комп'ютери.

Стохастичні сигнали

Регулярні та стохастичні сигнали мають різні формиколивань. Якщо повторно виміряти останні, ми матимемо коливання, що мають нову форму, яка відмінна від попередньої, проте виявляє певну подібність у суттєвих рисах. Приклад стохастичного сигналу – запис коливань хвиль моря.

Чому ж взагалі необхідно вести мову про ці досить незвичайні сигнали? Справа в тому, що при вивченні автоматичних систем вони трапляються навіть частіше, ніж передбачувані.

Стохастичність та штучний інтелект

Стохастичні програми у сфері штучного інтелекту працюють із застосуванням ймовірнісних методів. Як приклад можна навести такі алгоритми, як стохастична оптимізація або нейронні мережі. Це ж стосується імітації відпалу і генетичним алгоритмам. У всіх цих випадках стохастичність може утримуватися в проблемі як такій або в плануванні чогось за умови невизначеності. Детерміноване оточення для агента моделювання є більш простим, ніж стохастичне.

Отже, як ми бачимо, цікаве для нас поняття використовується в багатьох галузях науки. Ми перерахували та охарактеризували лише основні сфери його застосування. Вивчення всіх цих процесів, погодьтеся, дуже важливе та актуальне. Саме тому поняття, що цікавить нас, ймовірно, буде ще довго використовуватися в науці.

Виявлення сигналів радіолокації невизначено через те, що одночасно з ними присутні і випадкові флуктуації, або "шуми". Якби можна було передбачити точні значенняшумових напруг або струмів, їх можна було б відняти від сумарного сигналу і після цього прийняти певне рішення про наявність, або про відсутність сигналу. Але таке передбачення неможливе, тому що шумова напруга з'являється внаслідок хаотичного теплового рухуіонів - і електронів в елементах приймача та у просторі, що оточує антену. Найкраще, що можна зробити, це описати флуктуацію напруги статистично за допомогою розподілів ймовірностей їх значень і використовувати ці статистичні дані для проектування приймача, в якому досягалося б найбільше можливе числоуспішних виявлень за великої кількості дослідів. У цьому розділі дається статистичний описшуму, а наступному розділі вводяться різні критерії успішного і помилкового виявлення у статистичних ситуаціях, що вказують, якими міркуваннями слід керуватися при пошуках оптимальної конструкції приймача.

Якби напруга в деякій точці радіолокаційного приймача, наприклад, на сітці першої підсилювальної лампи, була записана як функція часу, запис мав би абсолютно безладний вигляді здавалося б, що немає способу обчислення або передбачення значень цієї напруги, що флуктує. Якби одночасно були записані напруги в відповідних точкахкожного з набору однакових приймачів, що знаходяться в однакових умовах,

вони відрізнялися в деталях від приймача до приймача. Проте деякі грубі чи середні властивості записів були майже однакові. Вивчаючи велике числотаких записів та визначаючи відносні частоти, з якими аналізовані величини приймають різні значення, можна описати поведінку флуктуючої напруги статистично. Такий опис проводиться мовою теорії ймовірностей, що дозволяє робити логічні висновки про властивості флуктуючої напруги. Короткий оглядтеорії ймовірностей дано в додатку Б. Для більш повного ознайомлення з нею читачеві слід вивчити один із підручників, зазначених у літературі до додатку Б. У цьому розділі теорія ймовірностей буде використана для аналізу шумових флуктуацій.

Функція часу, подібна до запису флуктуаційної напруги, згаданої вище, називається часовою послідовністю, а набір часових послідовностей, подібний до того, який виходить від великої кількості приймачів, що знаходяться в однакових умовах, відомий як ансамбль. Випадкова функція, Значення якої описуються тільки за допомогою системи розподілів ймовірностей, про що більш докладно буде говорити нижче, часто називається стохастичним процесом. Якщо виміри проводяться безперервно у часі, має місце безперервний стохастичний процес. У багатьох випадках величини вимірюються лише окремі послідовні моменти часу. У цьому виходить дискретний стохастичний процес. Приклад останнього – щогодинні чи щоденні спостереження температури на метеорологічних станціях. Ми будемо мати справу в основному з безперервними процесами, але багато уявлень можуть бути застосовані в тій же мірі і до дискретним процесам. Кожен член ансамблю називається реалізацією стохастичного процесу.

Якщо член ансамблю тимчасових послідовностей обраний випадково, ймовірність, що його значення х у будь-якій Наразічасу лежить в інтервалі між є

де функція густини ймовірності змінної х. Під цим ми розуміємо у застосуванні до вищенаведеного

Наприклад наступне. Якщо напруги виміряні в однакових точках у великій кількості ідентичних приймачів, число значень, що лежать у такому інтервалі, дорівнює довжині інтервалу, помноженої на малій довжині інтервалу). У багатьох випадках не залежатиме від моменту часу, в який вимірюються. Функція щільності ймовірності є основою статистичного опису стохастичного процесу, але сама по собі вона недостатня, тому що нічого не говорить про те, як пов'язане значення х, виміряне в один момент часу, зі значеннями, виміряними в інші моменти часу.

Позначимо значення часової послідовності виміряні у послідовні моменти часу через функцію щільності спільного розподілуймовірностей

визначається твердженням, що ймовірність виконання нерівностей

дорівнює Для повного описубезперервного стохастичного процесу потрібне завдання функцій розподілу для всіх можливих виборів моментів часу для всіх позитивних цілих Всі ці функції нормовані так, що виконується співвідношення

відповідно до визначення ймовірності. Крім того, вони повинні бути узгоджені так, щоб функцію розподілу нижчого порядку можна було отримати, інтегруючи по

інтервалу зміни "зайвої" змінної. Наприклад,

Будь-які змінні для яких виконується рівність

називаються статистично незалежними.

Функція щільності спільного розподілу операційно визначається за допомогою відносних частот здійснення різних комбінацій значень для і моментів часу, що розглядаються. Але, очевидно, визначити повну системуфункцій розподілу в такий спосіб неможливо. Натомість для отримання гіпотетичних розподілів будується теорія процесів шляхом застосування законів фізики до ситуацій, що виникають у таких галузях науки, як статистична механікаабо термодинаміка. За допомогою теорії стохастичних процесів обчислюються деякі середні значення, доступні для спостереження, і обчислені значення порівнюються зі знайденими досвідом. Коли ситуація надто складна для такого аналізу, як, наприклад, в економіці та, ймовірно, навіть у метеорології, для стохастичного процесу пропонується проста статистична "модель". Ця модель дає функцію розподілу, яка містить кілька невідомих параметрів, значення яких оцінюються на основі доступних даних. Потім будуються логічні висновки і, якщо можливо, порівнюється з результатами подальших спостережень. На щастя, існує велика теоретична базадозволяє розглядати електричні шумові процеси, з якими доводиться зустрічатися в задачах виявлення сигналів. Деякі фізичні основибудуть викладені нижче, в розд. 3. Але спочатку ми маємо обговорити деякі поняття, які застосовуватимуться під час аналізу стохастичних процесів.

Поки радіолокаційний приймач підтримується при постійній температуріі пов'язаний з нерухомою антеною,

яку сигнал не діє, статистичний опис шуму в приймачі нічого очікувати залежати від вибору початку відліку часу. Це означає, що щільність спільного розподілу ймовірностей залежить лише від інтервалів між вимірами, а не від самих моментів часу. Такі стохастичні процеси називають стаціонарними. Якщо не буде зроблено інших тверджень, будемо вважати, що тимчасові послідовності, що вивчаються, мають цю властивість тимчасової інваріантності або стаціонарності.

Довгий запис одиночної реалізації стаціонарної тимчасової послідовності для більшості моментів часу. однаковими властивостями. Мабуть, велика кількість відрізків, взятих з одного члена ансамблю, буде створювати ансамбль з такими ж статистичними властивостямияк і в основного ансамблю. Якщо вимірювана змінна пов'язана з механічною системою, подібної до газу, або електричної, подібної до контуру, і якщо з часом система проходить через всі стани, сумісні з зовнішніми умовами, Створеними експериментатором, зроблене вище припущення є обґрунтованим. Зокрема, середні, знайдені за довгою вибіркою однієї реалізації процесу, рівні середнім значенням за всіма членами ансамблю у час часу. Стохастичні процеси, що мають цю властивість, називаються ергодичними.

Наприклад, середнє або "математичне очікування" стаціонарної тимчасової послідовності визначається рівністю

де функція густини розподілу ймовірностей одиночного спостереження. Це середнє значення x залежить від часу. З іншого боку, середнє за часом х можна визначити формулою

Через умови стаціонарності це середнє за часом залежить від часу у який починається усереднення. Якщо, крім того, стохастичний ергодичний процес, Те ж саме справедливо для математичного очікуванняінших функцій аргументу x.

Легко можна уявити собі процеси, що не є ергодичними, наприклад такі, де величина х поступово переміщається в область, яку вона потім не може покинути, або якщо є деяка кількість таких областей, що "ловлять". Але в цій книзі буде передбачатися, що всі флуктуаційні процеси, що вивчаються, є ергодичними. Справедливість такого припущення має ґрунтуватися на успіху теорій, у яких воно прийнято, оскільки, хоча це припущення і підтверджується інтуїцією, перевірити його експериментально неможливо. Допущення ергодичності істотно для будь-яких завдань, у яких статистичні параметридоводиться оцінювати з урахуванням одиночної експериментальної реалізації процесу.

Тимчасові ряди. Тимчасовий ряд - це безліч спостережень, що генеруються послідовно в часі. Якщо час безперервний, тимчасово ряд називається безперервним. Якщо час змінюється дискретно, тимчасовий ряд дискретний. Спостереження дискретного часового ряду, зроблені в моменти часу, можуть бути позначені через . У цій книзі розглядаються лише дискретні часові ряди, у яких спостереження робляться через фіксований інтервал. Коли є послідовні значення такого ряду, доступних для аналізу, ми пишемо , позначаючи так спостереження, зроблені в рівновіддалені моменти часу. У багатьох випадках значення не важливі, але якщо необхідно точно визначити часи спостережень, потрібно вказати ці два значення. Якщо ми беремо початок і одиницю часу, ми можемо розглядати як спостереження на момент часу .

Дискретні часові лави можуть з'являтися двома шляхами.

1) Вибіркою з безперервних часових рядів, наприклад, у ситуації, показаній на рис. 1.2 де значення безперервних входу і виходу газової печі зчитуються з інтервалом 9 с.

2) Нагромадженням змінної протягом деякого періоду часу; прикладами можуть бути дощові опади, які зазвичай накопичуються за такі періоди, як день або місяць, або вихід партій продукту, що накопичується за час циклу. Наприклад, на рис. 2.1 показаний часовий ряд, що складається зі значень виходу 70 послідовних партій продукту хімічного процесу.

Мал. 2.1 Вихід 70 послідовних партій продукту хімічного процесу .

Детерміновані та випадкові часові ряди. Якщо майбутні значення тимчасового ряду точно визначені будь-якою математичною функцієюнаприклад такий, як

,

тимчасовий ряд називають детермінованим. Якщо майбутні значення можуть бути описані тільки за допомогою розподілу ймовірностей, тимчасовий ряд називають недетермінованим або просто випадковим. Дані про партії продукту на рис. 2.1 – це приклад випадкового часового ряду. Хоча у цьому ряду є чітка тенденція до чергування «вгору-вниз», неможливо точно передбачити вихід наступної партії. У цій книзі ми досліджуватимемо саме такі випадкові часові ряди.

Стохастичні процеси. Статичне явище, що розвивається у часі згідно із законами теорії ймовірності, називається стохастичним процесом. Ми часто називатимемо його просто процесом, опускаючи слово «стохастичний». Часовий ряд, що підлягає аналізу, може бути розглядатися як одна приватна реалізація системи, що вивчається, генерована прихованим імовірнісним механізмом. Іншими словами, аналізуючи часовий ряд, ми розглядаємо його як реалізацію стохастичного процесу.

Мал. 2.2 Спостережений часовий ряд (жирна лінія) та інші часові ряди, що є реалізаціями одного й того ж стохастичного ряду.

Мал. 2. 3. Ізолінії щільності двовимірного розподілу ймовірності, що описує стохастичний процес в моменти часу і там же маргінальний розподіл в момент .

Наприклад, аналізую дані про вихід партії продукту на рис 2.1, ми можемо уявити інші безлічі спостережень (інші реалізації породжує ці спостереження стохастичного процесу), які можуть бути генеровані тією ж самою хімічною системою, за ті ж циклів. Приміром, на рис. 2.2 показані виходи партій продукту з (жирна лінія) разом з іншими тимчасовими рядами, які могли б бути отримані з популяції тимчасових рядів, що визначаються тим же стохастичним процесом. Звідси випливає, що ми можемо розглядати спостереження в даний час, скажімо , як реалізацію випадкової величини із щільністю ймовірності . із щільністю ймовірності .