Яку коливальну систему називають гармонійним осцилятором. Закон руху гармонійного осцилятора

Коливання гармонійного осцилятора Гармонійним осциляторомназивається фізичний об'єкт, еволюція якого згодом описується диференціальним рівнянням

Де q- Узагальнена координата гармонійного осцилятора, t- Час,? - Характерна частота гармонійного осцилятора. Дві точки над змінною означають другу похідну за часом. Величина qздійснює гармонійні коливання.
Завдання про гармонійний осцилятор грає центральну роль як у класичній, так і в квантової фізики.
Велика кількість фізичних системведуть себе як гармонійні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них відносяться математичний та фізичний маятники, коливання атомів у молекулах і твердих тілах, електричні коливальні контури та багато інших.
Малі коливання маятника є гармонічними.

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона
Кінетична енергія гармонійного осцилятора задається виразом

Потенційна енергія гармонійного осцилятора задається виразом

Відповідно, рахуючи величину qузагальненою координатою, функція Лагранжа гармонійного осцлятора записується

.

Узагальнений імпульс

Функція Гамільтона

.

Вимушені коливання
Під дією зовнішньої періодичної сили з частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонійного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили та співвідношенням зовнішньої частоти та власної частоти осцилятора.
Вимушені коливання гармонійного осцилятора із частотою? 0 під дією сили з частотою? описуються рівнянням

Де f 0 – амплітуда зовнішньої сили.
Приватне вирішення цього рівняння, що описує вимушені коливання має вигляд

.

Гармонійний осцитор під дією зовнішньої сили, що здійснює гармонічні коливання з амплітудою. . При амплітуді вимушених коливаньпрагне нескінченності. Це називається резонансом.
Гармонійний осцилятор із загасанням
При обліку сил тертя або опору іншого роду, що призводить до диссипації енергії осцилятора та перетворення її на тепло, рівняння гармонійного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили опору пропорційні швидкості зміни величини q.Тоді рівняння гармонійного осцилятора набуває вигляду

Такі коливання згасають згодом згідно із законом

Вимушені коливання гармонійного осцилятора із загасанням
При дії періодичної зовнішньої сили навіть при згасанні осцилятора встановлюються гармонійні коливання з амплітудою, що залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини згасання.
Амплітуда вимушених коливань з урахуванням згасання визначається формулою

.

Це кінцева величина за всіх частотах зовнішньої сили.
Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі, що здійснює гармонічні коливання з частотою

Коливальний контургармонічним осцилятором, із частотою

Де L – індуктивність, C – ємність.
Докладніше див. Квантовий осцилятор.
Спектр власних значеньта власних функціях
Хвильові функціїперших шести станів із квантовими числами від n= 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата Гамільтоніан гармонійного осцилятора виходить заміною функції Гамільтона імпульсу pна

.

Спектр гармонійного осцилятора знаходиться з стаціонарного рівнянняШредінгера і задається формулою

.

Тут n – квантове число, пробігає значення від нуля до нескінченності Енергетичні рівнігармонійного еквідистантного осцилятора. Характерною особливістюгармонійного осцилятора є те, що навіть в основному стані гармонійний осцилятор має відмінну від нуля енергію

Ця низька енергія називається енергією нульових коливань.
Власні функціїгармонійного осцилятора, що відповідають квантовому числу nзадаються формулами

,

Де , А H n (x)– поліноми Ерміта.
При парному nвласні функції гармонійного осцилятора парні, при Непрану – непарні. Гамільтоніан гармонійного осцилятора комутує з оператором заміни xна – x(оператором парності), тому має спільні власні функції з цим оператором.
Оператори народження та знищення
Якщо визначити оператор народження

І оператор знищення

,

.

Оператори народження та знищення задовольняють комутаційному співвідношенню:

Власні функції гармонійного осцилятора мають вигляд

Або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

Усього дія оператора народження на гармонійне оператор може | n> призводить до переходу у стан | n+1>:

Дія оператора знищення стану | n> призводить до переходу у стан | n-1>:

Оператор

Називають оператором числа частинок, оскільки йому справедливе співвідношення.

Правила відбору
При випромінюванні або поглинанні фотона дозволеними переходами гармонійного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне числорівнів, у спектрі оптичного поглинаннячи випромінювання гармонійного осцилятора є лише одна лінія з частотою?
У реальних коливальних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалуміжатомної взаємодії, квадрупольними переходами тощо.

Тіла, які під час руху здійснюють гармонійні коливання, називають гармонійними осциляторами. Розглянемо низку прикладів гармонійних осцилляторів.

Приклад1. Пружинний маятник – це тіло масоюm, здатне здійснювати коливання під дією сили пружності невагомої (m пружини  m тіла ) пружини (рис.4.2).

Т

Рис.4.3. Фізичний маятник.

приклад 2. Фізичний маятник - це тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо рухомої горизонтальної осі, яка не збігається з його центром тяжіння (рис. 4. 3). Вісь проходить через точку О. Якщо маятник відхилити від положення рівновагина малий кут  і відпустити, він буде коливати, дотримуючись основного рівняння динаміки обертального рухутвердого тіла
, де J- момент інерціїмаятника щодо осі, М - момент сили, що повертає фізичний маятник у положення рівноваги. Він створюється силою тяжіння, її момент дорівнює
(l= ОС). В результаті отримуємо
. Це диференціальне рівняння коливань для довільних кутіввідхилення. При малих кутах, коли
,
або, приймаючи
, отримаємо диференціальне рівняння коливання фізичного маятника
. Його рішення мають вигляд
або
. Таким чином, при малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою
та періодом
.

Приклад3. Математичний маятник – це матеріальна точказ масоюm(важка кулька малих розмірів), підвішена на невагомій (порівняно зmкульки), пружної, нерозтяжної нитки довгоюl. Якщо вивести кульку з положення рівноваги, відхиливши її від вертикалі на невеликий кут , а потім відпустити, вона буде коливати. Якщо розглядати цю систему як фізичний маятник з моментом інерції матеріальної точки J = ml 2 то з формул для фізичного маятника отримаємо вирази для циклічної частоти і періоду коливань математичного маятника

,
.

4. 4. Затухаючі коливання. @

У розглянутих прикладах гармонійних коливань єдиною силою, що діє матеріальну точку (тіло), була квазіпружна сила F і не враховувалися сили опору, які є у будь-якій реальній системі. Тому розглянуті коливання можна назвати ідеальними незагасаючими гармонійними коливаннями.

Наявність у реальній коливальній системі сили опору середовища призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не поповнювати за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання будуть згасати. Загасаючими називаються коливання з амплітудою, що зменшується в часі.

Розглянемо вільні загасаючі коливання. При невеликих швидкостях сила опору F C пропорційна швидкості v і обернено пропорційна їй у напрямку
, де - коефіцієнт опорусередовища. Використовуючи другий закон Ньютона, отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань
,
,
. Позначимо
,
. Тоді диференціальне рівняння набуває вигляду:

Рис.4.4. Залежність зміщення та амплітуди загасаючих коливань від часу.

Це диференціальне рівняння загасаючих коливань. Тут  0 – власна частота коливань системи, тобто. частота вільних коливань при r=0,  - коефіцієнт загасання визначає швидкість зменшення амплітуди. Розв'язаннями цього рівняння за умови  0 є

або
.

Графік останньої функції подано на рис.4.4. Верхня пунктирна лінія дає графік функції
, А 0 - амплітуда в початковий моментчасу. Амплітуда в часі зменшується за експоненційним законом,  - коефіцієнт загасання за величиною обернений часу релаксації , тобто. часу за яке амплітуда зменшується в e раз, оскільки

,
, = 1, . Частота та період загасаючих коливань
,
; при дуже малому опорі середовища ( 2  0 2) період коливань практично дорівнює
. Зі зростанням  період коливань збільшується і при > 0 рішення диференціального рівняння показує, що коливання не відбуваються, а відбувається монотонний рух системи до положення рівноваги. Такий рух називають аперіодичним.

Для характеристики швидкості загасання коливань є ще два параметри: декремент загасання D і логарифмічний декремент . Декремент згасання показує у скільки разів зменшується амплітуда коливань протягом одного періоду Т.

Н

Рис.4.5. Вид резонансних кривих.

Так як , то
де N - число коливань за час.

Гармонічні коливання

Лекція 1

КОЛИВАННЯ

КОЛИВАННЯ. ХВИЛИ. ОПТИКА

Коливання – один із найпоширеніших процесів у природі та техніці. Коливання – це процеси, що повторюються у часі. Вагаються висотні будівліі високовольтні дротипід дією вітру, маятник заведеного годинника та автомобіль на ресорах під час руху, рівень річки протягом року та температура людського тілапри хворобі. Звук – це коливання тиску повітря, радіохвилі – періодичні зміни напруженості електричного та магнітного поля, світло - це теж електромагнітні коливання. Землетруси - коливання грунту, припливи і відливи - зміна рівнів морів і океанів, що викликаються тяжінням місяця і т.д.

Коливання бувають механічні, електромагнітні, хімічні, термодинамічні та інших. Незважаючи на таке різноманіття, всі коливання описуються одними й тими самими диференціальними рівняннями.

Першими вченими, які вивчали коливання, були Галілео Галілей та Християн Гюйгенс. Галілей встановив незалежність періоду коливань від амплітуди. Гюйгенс винайшов годинник із маятником.

Будь-яка система, яка, злегка виведена з положення рівноваги, робить стійкі коливання, називається гармонійним осцилятором. У класичної фізикитакими системами є математичний маятнику межах малих кутів відхилення, вантаж у межах малих амплітуд коливань, електричний контур, що складається з лінійних елементів ємності та індуктивності.

Гармонічний осцилятор можна вважати лінійним, якщо зміщення від положення рівноваги прямо пропорційно силі, що обурює. Частота коливань гармонійного осцилятора залежить від амплітуди. Для осцилятора виконується принцип суперпозиції - якщо діють кілька сил, що обурюють, то ефект їх сумарної дії може бути отриманий як результат складання ефектів від діючих силокремо.

Гармонічні коливання описуються рівнянням (рис.1.1.1)

(1.1.1)

де х-зміщення коливається від положення рівноваги, А- Амплітуда коливань, рівна величинімаксимального зміщення - фаза коливань, що визначає зміщення в момент часу - початкова фаза, Яка визначає величину зміщення в початковий момент часу, - циклічна частота коливань

Час одного повного коливання називається періодом, де - число коливань, скоєних за час .

Частота коливань визначає число коливань, що здійснюються в одиницю часу, вона пов'язана з циклічною частотою співвідношенням тоді період .

Швидкість матеріальної точки, що коливається

прискорення

Таким чином, швидкість і прискорення гармонійного осцилятора також змінюються гармонійному законуз амплітудами та відповідно. У цьому швидкість випереджає по фазі зміщення на , а прискорення – на (рис.1.1.2).

Зі порівняння рівнянь руху гармонійного осцилятора (1.1.1) і (1.1.2) випливає, що , або

Це диференціальне рівняння другого порядку називається рівнянням гармонійного осцилятора. Його рішення містить два постійні ата , які визначаються завданням початкових умов

.

Якщо періодично повторюваний процес описується рівняннями, що не збігаються з (1.1.1), він називається ангармонічним. Система, що здійснює ангармонічні коливання, називається ангармонічним осцилятором.

1.1.2 . Вільні коливання систем із одним ступенем свободи. Комплексна формауявлення гармонійних коливань

У природі дуже поширені малі коливання, які система здійснює поблизу свого положення рівноваги. Якщо система, виведена з положення рівноваги, надана собі, тобто на неї не діють зовнішні сили, то така система здійснюватиме вільні незатухаючі коливання. Розглянемо систему з одним ступенем свободи.

Стійкій рівновазівідповідає таке становище системи, у якому її потенційна енергія має мінімум ( q- Узагальнена координата системи). Відхилення системи від положення рівноваги призводить до виникнення сили, яка прагне повернути систему назад. Значення узагальненої координати, що відповідає положенню рівноваги, позначимо тоді відхилення від положення рівноваги

Відраховуватимемо потенційну енергію від мінімального значення. Отриману функцію розкладемо в ряд Маклорена і залишимо перший член розкладання, маємо: о

КОЛИВАННЯ. ХВИЛИ. ОПТИКА

КОЛИВАННЯ

Лекція 1

Гармонічні коливання

Ідеальний гармонійний осцилятор. Рівняння ідеального осцилятората його рішення. Амплітуда, частота та фаза коливань

Коливання – один із найпоширеніших процесів у природі та техніці. Коливання – це процеси, що повторюються у часі. Коливаються висотні будівлі та високовольтні дроти під дією вітру, маятник заведеного годинника та автомобіль на ресорах під час руху, рівень річки протягом року та температура людського тіла при хворобі. Звук – це коливання тиску повітря, радіохвилі – періодичні зміни напруженості електричного та магнітного поля, світло – це також електромагнітні коливання. Землетруси - коливання грунту, припливи і відливи - зміна рівнів морів і океанів, що викликаються тяжінням місяця і т.д.

Коливання бувають механічні, електромагнітні, хімічні, термодинамічні та інших. Незважаючи на таке різноманіття, всі коливання описуються одними й тими самими диференціальними рівняннями.

Першими вченими, які вивчали коливання, були Галілео Галілей та Християн Гюйгенс. Галілей встановив незалежність періоду коливань від амплітуди. Гюйгенс винайшов годинник із маятником.

Будь-яка система, яка, злегка виведена з положення рівноваги, робить стійкі коливання, називається гармонійним осцилятором. У класичній фізиці такими системами є математичний маятник у межах малих кутів відхилення, вантаж у межах малих амплітуд коливань, електричний контур, що складається з лінійних елементів ємності та індуктивності.

Гармонічний осцилятор можна вважати лінійним, якщо зміщення від положення рівноваги прямо пропорційно силі, що обурює. Частота коливань гармонійного осцилятора залежить від амплітуди. Для осцилятора виконується принцип суперпозиції - якщо діють кілька сил, що обурюють, то ефект їх сумарної дії може бути отриманий як результат складання ефектів від діючих сил окремо.

Гармонічні коливання описуються рівнянням (рис.1.1.1)

(1.1.1)

де х-зміщення коливається від положення рівноваги, А- Амплітуда коливань, рівна величині максимального зміщення, - фаза коливань, що визначає зміщення в момент часу, - Початкова фаза, що визначає величину зміщення в початковий момент часу, - циклічна частота коливань.

Час одного повного коливання називається періодом, де - число коливань, скоєних за час .

Частота коливань визначає число коливань, що здійснюються в одиницю часу, вона пов'язана з циклічною частотою співвідношенням тоді період .

Швидкість матеріальної точки, що коливається

прискорення

Таким чином, швидкість та прискорення гармонійного осцилятора також змінюються за гармонічним законом з амплітудами та відповідно. У цьому швидкість випереджає по фазі зміщення на , а прискорення – на (рис.1.1.2).

Зі порівняння рівнянь руху гармонійного осцилятора (1.1.1) і (1.1.2) випливає, що , або

Це диференціальне рівняння другого порядку називається рівнянням гармонійного осцилятора. Його рішення містить два постійні ата , які визначаються завданням початкових умов

.

Якщо періодично повторюваний процес описується рівняннями, що не збігаються з (1.1.1), він називається ангармонічним. Система, що здійснює ангармонічні коливання, називається ангармонічним осцилятором.

1.1.2 . Вільні коливання систем із одним ступенем свободи. Комплексна форма подання гармонійних коливань

У природі дуже поширені малі коливання, які система здійснює поблизу свого положення рівноваги. Якщо система, виведена з положення рівноваги, надана собі, тобто на неї не діють зовнішні сили, то така система буде здійснювати вільні коливання. Розглянемо систему з одним ступенем свободи.

Стійкій рівновазі відповідає таке положення системи, в якому її потенційна енергія має мінімум ( q- Узагальнена координата системи). Відхилення системи від положення рівноваги призводить до виникнення сили, яка прагне повернути систему назад. Значення узагальненої координати, що відповідає положенню рівноваги, позначимо тоді відхилення від положення рівноваги

Будемо відраховувати потенційну енергію від мінімального значення. Отриману функцію розкладемо в ряд Маклорена і залишимо перший член розкладання, маємо: о

,

де . Тоді з урахуванням введених позначень:

, (1.1.4)

З урахуванням виразу (1.1.4) для сили, що діє на систему, отримуємо:

Відповідно до другого закону Ньютона, рівняння руху системи має вигляд:

Вирази (1.1.5) збігаються з рівнянням (1.1.3) вільних гармонійних коливань за умови, що

і має два незалежних рішення: і , так що загальне рішення:

,

З формули (1.1.6) випливає, що частота визначається лише власними властивостями механічної системиі не залежить від амплітуди та від початкових умов руху.

Залежність координати коливається від часу можна визначити у вигляді речової частини комплексного виразу , де A=Xe-iα- Комплексна амплітуда, її модуль збігається зі звичайною амплітудою, а аргумент - з початковою фазою.

1.1.3 . Приклади коливальних рухів різної фізичної природи

Коливання вантажу на пружині

Розглянемо коливання вантажу на пружині, за умови, що пружина не деформована межі пружності. Покажемо, що такий вантаж здійснюватиме гармонійні коливання щодо положення рівноваги (рис.1.1.3). Справді, згідно із законом Гука, стиснена або розтягнута пружина створює гармонійну силу:

де - Коефіцієнт жорсткості пружини, - Координата положення рівноваги, х- Координата вантажу (матеріальної точки) в момент часу , - Зміщення від положення рівноваги.

Помістимо початок відліку координати положення рівноваги системи. В цьому випадку .

Якщо пружину розтягнути на величину хпісля відпустити в момент часу t=0, то рівняння руху вантажу згідно з другим законом Ньютона набуде вигляду -kx =ma, або , і

(1.1.6)

Це рівняння збігається на вигляд з рівнянням руху (1.1.3) системи, що здійснює гармонічні коливання, його рішення будемо шукати у вигляді:

. (1.1.7)

Підставимо (1.17) у (1.1.6), маємо: тобто вираз (1.1.7) є рішенням рівняння (1.1.6) за умови, що

Якщо в початковий момент часу положення вантажу було довільним, то рівняння руху набуде вигляду:

.

Розглянемо, як змінюється енергія вантажу, що здійснює гармонійні коливання без зовнішніх сил (рис.1.14). Якщо у момент часу t=0 вантажу повідомити зсув х = А, то його повна енергія стане рівною потенційній енергії деформованої пружини . кінетична енергіядорівнює нулю (крапка 1).

На вантаж діє сила F=-kx, що прагне повернути його в положення рівноваги, тому вантаж рухається з прискоренням і збільшує свою швидкість, а отже, і кінетичну енергію. Ця сила скорочує усунення вантажу х,потенційна енергія вантажу зменшується, переходячи в кінетичну. Система «вантаж – пружина» замкнута, тому її повна енергія зберігається, тобто:

. (1.1.8)

У момент часу вантаж перебуває у положенні рівноваги (точка 2), його потенційна енергія дорівнює нулю, а кінетична максимальна. Максимальну швидкістьвантажу знайдемо із закону збереження енергії (1.1.8):

За рахунок запасу кінетичної енергії вантаж робить роботу проти пружної сили – і пролітає положення рівноваги. Кінетична енергія поступово перетворюється на потенційну. При вантажі має максимальне негативне зміщення – А,кінетична енергія Wk=0, вантаж зупиняється і починає рух до положення рівноваги під дією пружної сили F=-kx. Далі рух відбувається аналогічно.

Маятники

Під маятником розуміють тверде тіло, Яке здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої точки або осі. Розрізняють фізичний та математичний маятники.

Математичний маятник – це ідеалізована система, що складається з невагомої нерозтяжної нитки, де підвішена маса, зосереджена лише у матеріальної точці.

Математичним маятником, наприклад, є кулька на довгій тонкій нитці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризується кутом φ , що утворює нитку з вертикаллю (рис.1.15). При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає момент зовнішніх сил (сили тяжіння): , де m- Маса, - Довжина маятника

Цей момент прагне повернути маятник у положення рівноваги (аналогічно квазіпружній силі) і спрямований протилежно до зміщення φ тому у формулі стоїть знак «мінус».

Рівняння динаміки обертального руху для маятника має вигляд: Iε=,

.

Розглянемо випадок малих коливань, тому sin φ ≈φ, позначимо ,

маємо: , або , та остаточно

Це рівняння гармонійних коливань, його розв'язання:

.

Частота коливань математичного маятника визначається лише його довжиною та прискоренням сили тяжіння, і не залежить від маси маятника. Період дорівнює:

Якщо тіло, що коливається, не можна уявити, як матеріальну точку, то маятник називають фізичним (рис.1.1.6). Рівняння його руху запишемо у вигляді:

.

У разі малих коливань , або =0 де . Це рівняння руху тіла, що здійснює гармонійні коливання. Частота коливань фізичного маятника залежить від його маси, довжини та моменту інерції щодо осі, що проходить через точку підвісу.

Позначимо. Величина називається наведеною довгою фізичного маятника. Це довжина математичного маятника, період коливань якого збігається із періодом даного фізичного маятника. Крапка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром мас, що лежить на відстані довжини від осі обертання, називається центром хитання фізичного маятника ( О’). Якщо маятник підвісити в центрі гойдання, то наведена довжина та період коливань будуть тими самими, що й у точці Про. Таким чином, точка підвісу і центр гойдання мають властивості взаємності: при перенесенні точки підвісу в центр кочення колишня точка підвісу стає новим центром кочення.

Математичний маятник, який коливається з таким же періодом, як і фізичний, що розглядається, називається ізохронним даному фізичному маятнику.

1.1.4. Складання коливань (биття, фігури Лісаж). Векторний опис складання коливань

Додавання однаково спрямованих коливань можна проводити методом векторних діаграм. Будь-яке гармонійне коливання можна у вигляді вектора в такий спосіб. Виберемо вісь хз початком відліку у точці Про(Рис.1.1.7)

З точки Пропобудуємо вектор , який складає кут з віссю х. Нехай цей вектор повертається з кутовий швидкістю. Вектор проекції на вісь Хдорівнює:

тобто вона здійснює гармонічні коливання з амплітудою а.

Розглянемо два гармонійні коливання однакового напрямку і однакової циклічної малої задані векторамита . Зміщення по осі Хрівні:

результуючий вектор має проекцію і є результуючим коливанням (рис.1.1.8), за теоремою косінусів Таким чином, додавання гармонійних коливань проводиться додаванням векторів.

Проведемо додавання взаємно перпендикулярних коливань. Нехай матеріальна точка здійснює два взаємно перпендикулярні коливання частотою :

.

Сама матеріальна точка при цьому рухатиметься деякою криволінійною траєкторією.

З рівняння руху випливає: ,

. (1.1.9)

З рівняння (1.1.9) можна отримати рівняння еліпса (рис.1.1.9):

Розглянемо окремі випадки цього рівняння:

1. Різниця фаз коливань α= 0. При цьому тобто. або Це рівняння прямої, і результуюче коливання відбувається вздовж цієї прямої з амплітудою (рис.1.1.10).

її прискорення дорівнює другий похідний від зміщення за часом тоді сила, що діє на точку, що коливається, за другим законом Ньютона дорівнює

Тобто сила пропорційна зміщенню хі спрямована проти усунення положення рівноваги. Ця сила називається силою, що повертає. У разі вантажу на пружині силою, що повертає, є сила пружності, у разі математичного маятника – складова сили тяжіння.

Повертаюча сила за характером підпорядковується закону Гука F=-kx,де

- Коефіцієнт повертає сили. Тоді потенційна енергія точки, що коливається, дорівнює:

(постійну інтеграцію вибирають рівної нулю, щоб при х).

АНГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР

Гармонійний осцилятор

Гармонійний осцилятор(У класичній механіці) - система , яка при зміщенні з положення рівноваги відчуває дію сили, що повертає F, пропорційної зсуву x(згідно із законом Гука):

де k- Коефіцієнт жорсткості системи.

Якщо F- єдина сила, що діє на систему, то систему називають простимабо консервативним гармонічним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичний рухпри стані рівноваги (гармонічні коливання). Частота і амплітуда у своїй постійні, причому частота залежить від амплітуди.

Механічними прикладами гармонійного осцилятора є математичний маятник (з малими кутами відхилення), торсійний маятник та акустичні системи. Серед інших аналогів гармонійного осцилятора варто виділити електричний гармонійний осцилятор (див. LC-ланцюг).

Вільні коливання

Консервативний гармонічний осцилятор

Як модель консервативного гармонійного осцилятора візьмемо вантаж маси m, закріплений на пружині жорсткістю k .

Нехай x- усунення вантажу щодо положення рівноваги. Тоді, згідно із законом Гука, на нього діятиме сила, що повертає:

тоді повна енергія має постійне значення

Простий гармонійний рух- це рух простого гармонійного осцилятора, періодичний рух, який не є ні вимушеним, ні загасаючим. Тіло в простому гармонійному русі піддається впливу єдиної змінної сили, яка по модулю прямо пропорційна зміщенню. xвід положення рівноваги та направлена ​​у зворотний бік.

Цей рух є періодичним: тіло коливається біля положення рівноваги за синусоїдальним законом. Кожне наступне коливання таке ж, як і попереднє, і період частота і амплітуда коливань залишаються постійними. Якщо прийняти, що положення рівноваги знаходиться в точці з координатою, яка дорівнює нулю, то зміщення xтіла від положення рівноваги у будь-який момент часу дається формулою:

де A- амплітуда коливань, f- Частота, φ - Початкова фаза.

Частота руху визначається характерними властивостямисистеми (наприклад, масою тіла, що рухається), у той час як амплітуда і початкова фаза визначаються початковими умовами - переміщенням і швидкістю тіла в момент початку коливань. Кінетична та потенційна енергії системи також залежать від цих властивостей та умов.

Просте гармонійне рух може бути математичними моделями різних видіврухи, таких як коливання пружини. Іншими випадками, які можуть приблизно розглядатися як простий гармонійний рух, є рух маятника і вібрації молекул.

Просте гармонійне рух є основою деяких способів аналізу складніших видів руху. Одним з таких способів є спосіб, заснований на перетворенні Фур'є, суть якого зводиться до розкладання складного виглядуруху до ряду простих гармонійних рухів.

Будь-яка система, в якій відбувається простий гармонійний рух, має дві ключові властивості:

1. Коли система виведена зі стану рівноваги, повинна існувати сила, що повертає, що прагне повернути систему в рівновагу.
2. Повертальна сила повинна точно або приблизно бути пропорційна переміщенню.

Система вантаж-пружина задовольняє обом цим умовам.

Одного разу зміщений вантаж піддається дії сили, що повертає, прискорює його, і прагне повернути в початкову точкутобто в положення рівноваги. У міру того, як вантаж наближається до положення рівноваги, сила, що повертає, зменшується і прагне до нуля. Однак у положенні x = 0 вантаж володіє деякою кількістю руху (імпульсом), набутим завдяки дії сили, що повертає. Тому вантаж проскакує положення рівноваги, починаючи знову деформувати пружину (але вже в протилежному напрямку). Повертаюча сила буде прагнути сповільнити його, доки швидкість стане рівною нулю; і сила знову прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги.

Поки в системі немає втрат енергії, вантаж коливатиметься як описано вище; такий рух називається періодичним.

Подальший аналіз покаже, що у разі системи вантаж-пружина рух є простим гармонійним.

Динаміка простого гармонійного руху

Для коливання в одновимірному просторі, враховуючи Другий закон Ньютона ( F = m d² x/d t² ) та закон Гука ( F = −kx, як описано вище), маємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

Рішення цього диференціального рівняння є синусоїдальним; одне з рішень таке:

де A, ω і φ - постійні величини, та положення рівноваги приймається за початкове. Кожна з цих постійних є важливим фізична властивістьруху: A- це амплітуда, ω = 2π f- кругова частота, і - початкова фаза.

Універсальний рух по колу

Просте гармонійне рух у деяких випадках можна розглядати як одновимірну проекцію універсального руху по колу. Якщо об'єкт рухається з постійною кутовою швидкістю ω по колу радіусу rцентром якої є початок координат площини x − y, такий рух уздовж кожної з координатних осей є простим гармонійним з амплітудою rі круговою частотою?

Вантаж як простий маятник

У наближенні малих кутів рух простого маятника близький до простого гармонійного. Період коливань такого маятника, прикріпленого до стрижня завдовжки ℓ з прискоренням вільного падіння gдається формулою

Це показує, що період коливань не залежить від амплітуди та маси маятника, але залежить від прискорення вільного падіння gТому при тій же довжині маятника, на Місяці він буде гойдатися повільніше, тому що там слабша гравітація і менше значенняприскорення вільного падіння.

Зазначене наближення є коректним лише при невеликих кутах відхилення, оскільки вираз для кутового прискорення пропорційно синусу координати:

що робить кутове прискоренняпрямо пропорційним куту θ , а це задовольняє визначення простого гармонійного руху.

Затухаючий гармонійний осцилятор

Взявши за основу ту саму модель, додамо до неї силу в'язкого тертя. Сила в'язкого тертя спрямована проти швидкості руху вантажу щодо середовища та пропорційна цій швидкості. Тоді повна сила, що діє на вантаж, записується так:

Проводячи аналогічні дії, отримуємо диференціальне рівняння, що описує загасаючий осцилятор:

Тут запроваджено позначення: . Коефіцієнт носить назву постійної згасання. Він також має розмірність частоти.

Рішення ж розпадається на три випадки.

Критичне згасання примітно тим, що саме при критичному згасанні осцилятор найшвидше прагне положення рівноваги. Якщо тертя менше критичного, він дійде до положення рівноваги швидше, проте «проскочить» його за інерцією, і коливатиме. Якщо тертя більше критичного, то осцилятор буде експоненційно прагнути положення рівноваги, але тим повільніше, чим більше тертя.

Тому в стрілочних індикаторах (наприклад, в амперметрах) зазвичай намагаються запровадити саме критичне згасання, щоб прочитати його показання можна було максимально швидко.

Згасання осцилятора також часто характеризують безрозмірним параметром, що називається добротністю. Добротність зазвичай позначають буквою. За визначенням, добротність дорівнює:

Чим більша добротність, тим повільніше загасають коливання осцилятора.

У осцилятора з критичним згасанням добротність дорівнює 0,5. Відповідно, добротність показує характер поведінки осцилятора. Якщо добротність більше 0,5, то вільний рух осцилятора є коливаннями; згодом він перетне положення рівноваги необмежену кількість разів. Добротність, менша або рівна 0,5, відповідає коливанню осцилятора; в вільному русівін перетне положення рівноваги трохи більше одного разу.

Добротність іноді називають коефіцієнтом посилення осцилятора, так як при деяких способах збудження при збігу частоти збудження з резонансної амплітуда коливань виявляється приблизно більше, ніж при збудженні на низькій частоті.

Також добротність приблизно дорівнює кількості коливальних циклів, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз, помноженому на .

В разі коливального рухузгасання ще характеризують такими параметрами, як:

• Час життявагань (воно ж час згасання, воно ж час релаксації) τ - час, за який амплітуда коливань зменшиться в eразів.

Вимушені коливання

Коливання осцилятора називають вимушеними, коли на нього виробляється деяка додаткова дія ззовні. Цей вплив може здійснюватися різними засобамиі по різним законам. Наприклад, силовим збудженням називається вплив на вантаж силою, що залежить тільки від часу за певним законом. Кінематичним збудженням називають вплив на осцилятор рухом точки закріплення пружини по заданим законом. Можливо також вплив тертям, коли, наприклад, середовище, з яким вантаж зазнає тертя, здійснює рух за заданим законом.