Гармонійний коливальний рух та хвилі.

12.1 Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A = 5 см, якщо за час t = 1 хв відбувається 150 коливань та початкова фаза коливань π/4. Накреслити графік цього руху.
РІШЕННЯ

12.2 Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A = 0,1 м, періодом T = 4 с та початковою фазою 0
РІШЕННЯ

12.3 Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A = 50 мм, періодом T = 4 с та початковою фазою π/4 . Знайти зміщення точки, що коливається від положення рівноваги при t = 0 і t = 1,5 c. Накреслити графік цього руху.
РІШЕННЯ

12.4 Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою А = 5 см та періодом Т = 8 c, якщо початкова фаза коливань дорівнює 0; vπ/2; π; 3π/2; 2π. Накреслити графік цього руху у всіх випадках
РІШЕННЯ

12.5 Накреслити на одному графіку два гармонійні коливання з однаковими амплітудами A1 = A2 = 5 см і однаковими періодами T1 = T2 = 8 c, але з різницею фаз, що дорівнює π/4; π/2; π; 2π
РІШЕННЯ

12.6 Через якийсь час від початку руху точка, яка виконує гармонійні коливання, чи зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань T = 24 c початкова фаза 0
РІШЕННЯ

12.7 Початкова фазагармонійного коливання 0. Через яку частку періоду швидкість точки дорівнюватиме половині її максимальної швидкості
РІШЕННЯ

12.8 Через якийсь час від початку коливання точка, яка виконує коливальний рухза рівнянням x = 7sin π/2t, проходить шлях від положення рівноваги до максимального усунення
РІШЕННЯ

12.9 Амплітуда гармонійного коливання A = 5 см, період T = 4 c. Знайти максимальну швидкістьколивальної точки та її максимальне прискорення
РІШЕННЯ

12.10 Рівняння руху точки дано як x = 2sin(п/2t + п/4). Знайти період коливань, максимальну швидкість та максимальне прискорення точки
РІШЕННЯ

12.11 Рівняння руху точки дано як x = sin п/6t. Знайти моменти часу, в які досягаються максимальна швидкість та максимальне прискорення
РІШЕННЯ

12.12 Крапка виконує гармонійні коливання. Період коливань Т = 2с, амплітуда А = 50 Гц, початкова фаза 0. Знайти швидкість у момент часу, коли зміщення точки стану рівноваги x = 25 мм
РІШЕННЯ

12.13 Написати рівняння гармонійного коливального руху, якщо максимальне прискорення точки 49,3 см/с2, період коливань T = 2 с та зміщення точки від положення рівноваги початковий моментчасу x0 = 25 мм.
РІШЕННЯ

12.14 Початкова фаза гармонійного коливання φ = 0. При зміщенні точки від положення рівноваги x1 = 2,4 см швидкість точки v1 = 3 см/с, а при зміщенні x2 = 2,8 см її швидкість v2 = 2 см/с. Знайти амплітуду та період цього коливання
РІШЕННЯ

12.15 Рівняння коливання матеріальної точкимасою m = 16 г має вигляд x = 0,1sin(π/8t + π/4) м. Побудувати графік залежності від часу t в межах одного періоду сили F, що діє на точку. Знайти максимальну силу
РІШЕННЯ

12.16 Рівняння коливань матеріальної точки масою m = 10 г має вигляд x = 5sin(π/5 t + π/4) см. Знайти максимальну силу, що діє на точку, і повну енергію точки, що коливається
РІШЕННЯ

12.17 Рівняння коливання матеріальної точки масою m = 16 г має вигляд x = 2sin(π/4t + π/4) см. Побудувати графік залежності від часу в межах одного періоду кінетичної потенційної та повної W енергій точки
РІШЕННЯ

12.18 Знайти відношення кінетичної енергії точки, що здійснює гармонійне коливання, до її потенційної енергії для моментів часу t = T/12; T/8; T/6. Початкова фаза коливань φ0 = 0
РІШЕННЯ

12.19 Знайти відношення кінетичної енергії точки, яка здійснює гармонійне коливання, до її потенційної енергії для моментів, коли зміщення від положення рівноваги становить x = A/4; A/2; A, де A амплітуда коливань
РІШЕННЯ

12.20 Повна енергія тіла, що здійснює гармонійний коливальний рух, W = 30 мкДж; максимальна силащо діє на тіло, F max = 1,5 мН. Написати рівняння руху цього тіла, якщо період коливань T = 2 с та початкова фаза π /3
РІШЕННЯ

12.21 Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки А = 2 см, повна енергія W = 0,3 мкДж. При якому зміщенні від положення рівноваги на точку, що коливається, діє сила F = 22,5 мкН
РІШЕННЯ

12.22 Кулю, підвішену на нитці, довжиною l = 2 м, відхиляють на кут a = 4 і спостерігають її коливання. Вважаючи коливання незатухаючими гармонійними, знайти швидкість кульки при проходженні ним положення рівноваги. Перевірити отримане рішення, знайшовши швидкість кульки під час проходження ним положення рівноваги з рівнянь механіки.
РІШЕННЯ

12.23 До пружини підвішено вантаж масою m = 10 кг. Знаючи, що пружина під впливом сили F = 9,8 Н розтягується на l = 1,5 см, знайти період вертикальних коливань вантажу
РІШЕННЯ

12.24 До пружини підвісили вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу 1 Дж. Амплітуда коливань A = 5 см. Знайти жорсткість пружини
РІШЕННЯ

12.25 Як зміниться період вертикальних коливань вантажу, що висить на двох однакових пружинах, якщо від послідовного з'єднанняпружин перейти до паралельного
РІШЕННЯ

12.26 Мідна кулька, підвішена до пружини, робить вертикальні коливання. Як зміниться період, якщо до пружини підвісити замість мідної кульки алюмінієвий такого ж радіуса
РІШЕННЯ

12.27 До пружини підвішена чашка терезів з гирями. У цьому період вертикальних коливань T1 = 0,5 з. Після того як на чашку терезів поклали ще додаткові гирі, період вертикальних коливань став рівним T2 = 0,6 c. На скільки подовжилася пружина від додавання додаткового вантажу
РІШЕННЯ

12.28 До гумового шнура довжиною l = 40 см та радіусом r = 1 мм підвішена гиря масою m = 0,5 кг. Знаючи, що модуль Юнга гуми E = 3 МН/м2, знайти період вертикальних коливань гирі
РІШЕННЯ

12.29 Ареометр масою m = 0,2 кг плаває у рідині. Якщо занурити його трохи в рідину і відпустити, він почне робити коливання з періодом T = 3,4 c. Вважаючи коливання незагасаючими, знайти густину рідини, в якій плаває ареометр. Діаметр вертикальної циліндричної трубки d = 1 см
РІШЕННЯ

12.30 Написати рівняння руху, що утворюється в результаті складання двох однаково спрямованих гармонійних коливальних, коливань з однаковим періодом T = 8 с та однаковою амплітудою A = 0,02 м. Різниця фаз між цими коливаннями π/4. Початкова фаза одного з цих коливань дорівнює нулю.
РІШЕННЯ

12.31 Знайти амплітуду та початкову фазу гармонійного коливання, отриманого від складання однаково спрямованих коливань, заданих рівняннями x1 = 0,02sin(5πt + π /4) та x2 = 0.03sin(5πt + π/4) м.
РІШЕННЯ

12.32 В результаті складання двох однаково спрямованих гармонійних коливань з однаковими амплітудами та однаковими періодами виходить результуюче коливання з тим же періодом і тією самою амплітудою. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.
РІШЕННЯ

12.33 Знайти амплітуду та початкову фазу гармонійного коливання, отриманого від складання однаково спрямованих коливань, даних рівняннями x1 = 4sin πt та x2 = sin(πt + π/2). Написати рівняння результуючого коливання. Дати векторну діаграму складання амплітуд
РІШЕННЯ

12.34 На рис. дано спектр результуючого коливання. Користуючись даними цього малюнка, написати рівняння коливань, у тому числі складено результуюче коливання. Накреслити графік цих вагань. Прийняти, що у момент t = 0 різниця фаз з-поміж них 0. Накреслити графік результуючого.
РІШЕННЯ

12.35 Рівняння двох гармонійних коливань мають вигляд x1 = 3sin4πt та x2 = 6sin10πt див. Побудувати графік цих коливань. Склавши графічно, побудувати графік результуючого коливання. Накреслити його спектр
РІШЕННЯ

12.36 Рівняння коливань має вигляд x = Asin(2 π ν1 · t), причому амплітуда змінюється згодом згідно із законом A = A0(1 + cos2πν2t). З яких гармонійних вагань складається вагання? Побудувати графік доданків та результуючого коливань для A0 = 4 см, ν1 = 2 Гц, ν2 = 1 Гц. Накреслити спектр результуючого коливання
РІШЕННЯ

12.37 Написати рівняння результуючого коливання, що отримується в результаті складання двох взаємно перпендикулярних коливань з однаковою частотою 5 Гц однаковою початковою фазою π /3. Амплітуди коливань дорівнюють A1 = 0,10 та A2 = 0,05 м.
РІШЕННЯ

12.38 Крапка бере участь у двох коливаннях однакового періоду з однаковими початковими фазами. Амплітуди коливань дорівнюють A1 = 3 і A2 = 4 см. Знайти амплітуду результуючого коливання, якщо коливання відбуваються в одному правлінні; у двох взаємно перпендикулярних напрямках.
РІШЕННЯ

12.39 Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x = 2sin ωt і y = 2cos ωt м. Знайти траєкторію результуючого руху точки
РІШЕННЯ

12.40 Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x = cos(πt) і y = cos(π/2t). Знайти траєкторію результуючого руху та накреслити її з нанесенням масштабу
РІШЕННЯ

12.41 Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x = sin(πt) та y = 2sin(πt + π/2). Знайти траєкторію результуючого руху точки
РІШЕННЯ

12.42 Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x = sin(πt) a y = 4sin(πt + π). Знайти траєкторію результуючого руху точки та накреслити її з нанесенням масштабу
РІШЕННЯ

12.43 Період загасаючих коливань T = 4 c; логарифмічний декремент згасання N = 1.6; початкова фаза 0. При t = T/4 усунення точки x = 4,5 см. Написати рівняння руху цього коливання. Побудувати його графік у межах двох періодів.
РІШЕННЯ

12.44 Побудувати графік, що загасає коливання, даного рівнянням x = 5e-0,1tsi *
РІШЕННЯ

12.45 Рівняння загасаючих коливань дано у вигляді x = 5e-0,25t sin(π/2t). Знайти швидкість точки, що коливається в моменти часу, рівні 0, T, 2 T, 3 Т і 4 T
РІШЕННЯ

12.46 Логарифмічний декремент згасання математичного маятника N = 0,2. У скільки разів зменшиться амплітуда коливань за його повне коливання
РІШЕННЯ

12.47 Знайти логарифмічний декремент загасання математичного маятника, якщо за час t = 1 хв амплітуда коливань зменшилась у 2 рази. Довжина l=1 м.
РІШЕННЯ

12.48 Математичний маятник довжиною l = 24,7 см робить загасаючі коливання. Через який час енергія коливань маятника зменшиться у 9,4 рази? Завдання вирішити за значенням логарифмічного декремента згасання N = 0,01; 1
РІШЕННЯ

12.49 Математичний маятник здійснює затухаючі коливання з логарифмічним декрементом загасання N = 0,2. У скільки разів зменшиться повне прискореннямаятника у його крайньому становищі за одне коливання
РІШЕННЯ

12.50 Амплітуда загасаючих коливань математичного маятника за час t = 1 хв зменшилася вдвічі. У скільки разів вона зменшиться амплітуда за t = 3 хв.
РІШЕННЯ

12.51 Математичний маятник довжиною l = 0,5 м, виведений із положення рівноваги, відхилився при першому коливанні на x1 = 5 см, а при другому (в той самий бік) - на x2 = 4 см. Знайти час релаксації, тобто. час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в e раз (основа натуральних логарифмів)
РІШЕННЯ

12.52 До пружини, що вертикально висить, підвішують вантаж. При цьому пружина подовжується на 9,8 см. Відтягуючи цей вантаж вниз і відпускаючи, його змушують коливати. Яким має бути коефіцієнт загасання, щоб коливання припинилися через час t = 10 с (вважати, що вони припинилися, якщо амплітуда впала до 1% від початкової); вантаж повертається в положення рівноваги аперіодично; логарифмічний декремент згасання коливань дорівнював 6
РІШЕННЯ

12.53 Тіло масою m = 10 г згасає коливання з максимальною амплітудою A max = 7 см, початковою фазою 0 і коефіцієнтом загасання 1,6 см-1. На тіло почала діяти зовнішня періодична сила F, під дією якої встановилися вимушені коливання, рівняння яких має вигляд x = 5sin(10πt - 3π/4) див. числовими коефіцієнтамирівняння власних коливань та рівняння зовнішньої періодичної сили.
РІШЕННЯ

12.54 Гиря масою m = 0,2 кг, що висить на вертикальній пружині, здійснює затухаючі коливання з коефіцієнтом загасання 0,75 см-1. Жорсткість пружини k = 0,5 кН/м. Накреслити залежність амплітуди A вимушених коливаньгирки від частоти зовнішньої періодичної сили, якщо максимальне значення зовнішньої сили F0 = 0,98 Н. Для побудови графіка знайти значення A для частот ω = 0, 0.5, 0.75, ω0, 1.5ω0 та ω = 2ω0, де ω0 частота власних коливань підвішеної гирі
РІШЕННЯ

12.55 По ґрунтовій дорозі пройшов трактор, залишивши сліди у вигляді ряду заглиблень, що знаходяться на відстані l = 30 см один від одного. Цією дорогою покотили дитячу коляску, що має дві однакові ресори, кожна з яких прогинається на x0 = 2 см під дією вантажу масою m0 = 1 кг. З якою швидкістю котили коляску, якщо від поштовхів на поглибленнях вона, потрапивши в резонанс, почала сильно розгойдуватися? Маса коляски M = 10 кг
РІШЕННЯ

12.56 Знайти довжину хвилі коливання, період якого T = 10-14 с. Швидкість поширення коливань c = 3 · 10 ^ 8 м/c.
РІШЕННЯ

12.57 Звукові коливання, Що мають частоту v = 500 Гц та амплітуду A = 0,25 мм. поширюються у повітрі. Довжина хвилі λ = 70 см. Знайти швидкість поширення коливань та максимальну швидкість частинок повітря
РІШЕННЯ

12.58 Рівняння незагасаючих коливаньмає вигляд x = 10sin(π/2·t) див. Знайти рівняння хвилі, якщо швидкість поширення коливань c = 300 м/с. Написати і зобразити графічно рівняння коливання точки, віддаленої відстані l = 600 м від джерела коливань. Написати та зобразити графічно рівняння коливання для точок хвилі в момент часу t = 4 с після початку коливань.
РІШЕННЯ

12.59 Рівняння незагасаючих коливань має вигляд x = 4sin(600πt) см. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані l = 75 см від джерела коливань, для моменту часу t = 0,01 після початку коливань. Швидкість їхнього поширення c = 300 м/с.
РІШЕННЯ

12.60 Рівняння незагасних коливань має вигляд x = sin(2,5πt). Знайти усунення положення рівноваги, швидкість і прискорення точки, що знаходиться на відстані l = 20 м від джерела коливань, для моменту часу t = 1 з після початку коливань. Швидкість їхнього поширення c = 100 м/с.
РІШЕННЯ

12.61 Знайти різницю фаз коливань двох точок, що знаходяться від джерела на відстані l1 = 10 м та l2 = 16 м. Період коливань T = 0,04 c, швидкість поширення хвиль = 300 м/с.
РІШЕННЯ

12.62 Знайти різницю фаз коливань двох точок, що лежать на промені і віддалені на відстані l = 2 м одна від одної, якщо довжина хвилі 1 м
РІШЕННЯ

12.63 Знайти зміщення від положення рівноваги точки, що віддаляється від джерела коливань з відривом l = λ/12, на момент часу t = T/6 . Амплітуда коливань A = 0,05 м-коду.
РІШЕННЯ

12.64 Зміщення від положення рівноваги точки, віддаленої джерела коливання на відстані l = 4 см. в момент часу t = T/6 дорівнює половині амплітуди. Знайти довжину хвилі, що біжить
РІШЕННЯ

12.65 Знайти положення вузлів і пучностей і накреслити графік стоячої хвилі, якщо відображення походить від менш щільного середовища; від щільнішого середовища. Довжина хвилі, що біжить λ = 12 см
РІШЕННЯ

12.66 Знайти довжину хвилі коливань, якщо відстань між першою та четвертою пучностями стоячої хвилі l = 15 см

Сторінка 1 з 4

12.1. Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A= 5см, якщо за час t = 1хв відбувається 150 коливань та початкова фаза коливань φ = P/4. Накреслити графік цього руху.

12.2. Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A= 0,1M, періодом T = 4с та початковою фазою φ = 0 .

12.3. Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою A= 50мм, періодом T = 4с та початковою фазою φ = P/4.Знайти усунення хколивальної точки від положення рівноваги при t= 0 та t = 1,5 с. Накреслити графік цього руху.

12.4. Написати рівняння гармонійного коливального руху з амплітудою А = 5 см та періодом Т = 8 с, якщо початкова фаза коливань дорівнює: а) 0; б) P/2; в) P г) 3P/2д) 2P. Накреслити графік цього руху у всіх випадках.

12.5. Накреслити на одному графіку два гармонійні коливання з однаковими амплітудами A 1 = А 2= 2 см та однаковими періодами T 1 = Т 2= 8 с, але мають різницю фаз φ 2 - φ 1 ,

рівну: а) P/4; про) P/2; в) P; г) 2P.

12.6. Через який час від початку руху точка, що здійснює гармонійне коливання, зміститься від рівноваги на половину амплітуди? Період коливань Т = 24 с, початкова фаза = 0 .

12.7. Початкова фаза гармонійного коливання φ= 0. Через яку частку періоду швидкість точки дорівнюватиме половині її максимальної швидкості?

12.8. Через якийсь час від початку руху точка, що здійснює коливальний рух за рівнянням х = 7 sinP/2*t,проходить шлях від положення рівноваги до максимального усунення?

12.9. Амплітуда гармонійного коливання / 4 = 5 см, період Г = 4с. Знайти максимальну швидкість v matколивається Точ кн та її максимальне прискорення a тах.

12.10. Рівняння руху точки дано у вигляді х= 2si>i^(+ СМ "^ аити пе Р П0 "а коливань Г, максимальну швидкість \> тах і максимальне прискорення а таточки.

t2.ll. Рівняння руху точки дано у вигляді x = sin-t.> 6

ahftmмоменти часу /, в які досягаються максимально-

^шГскорість і максимальне прискорення.

12.12. Крапка здійснює гармонійне коливання. Період коливань Т= 2 с, амплітуда А= 50 мм, початкова фаза = 0. .$йти швидкість v точки в момент часу, коли змішання точ- ; віот положення рівноваги х= 25 мм.

12.13. Написати рівняння гармонійного коливання, якщо максимальне прискорення точки a тах=49,3 см/с 2

період коливань T = 2с та зміщення точки від положення рівноваги у початковий момент часу х 0 = 25 мм.

12.14. Початкова фаза гармонійного коливання = 0 . При усуненні точки від положення рівноваги х 1 = 2,4 см швидкість точки v 1 = 3 см/с, а при зміщенні x 2 = 2,8 см її швидкість v 2 = 2 см/с. Знайти амплітуду Ата період Тцього коливання.

12.15. Рівняння коливання матеріальної точки масою

m=16г має вигляд х= 0,1 sin(P/8*t+P/4)- Побудувати графік

залежно від часу t(В межах одного періоду) сили F,що діє на точку. Знайти максимальну силу Fmax.

12.16. Рівняння коливань матеріальної точки масою

m=10гмає вигляд x=5sin(P/5*t+P/4) див. Знайти максимальну силу F mix, що діє на точку, і повну енергію W точки, що коливається.

12.17. Рівняння коливання матеріальної точки масою

m=16гмає вигляд х= 2sin(P/4*t+P/4)див. Побудувати графік залежності від часу t (не більше одного періоду) кінетичної W K ,потенційною W„і повною Wенергії ТОЧКИ.

12.18. Знайти відношення кінетичної W Kенергії точки, що здійснює гармонійне коливання, до її потенційної енергії W nдля моментів часу: a) t = T/12; б) t=T/8 в) t= T/6. Початкова фаза коливань = 0.

12.19. Знайти відношення кінетичної енергії W Kточки, що здійснює гармонійне коливання, до її потенційної енергії W aдля моментів, коли усунення точки від положення рівноваги становить: а) х = A/4; б) х = A/2;в) х = А,де А- Амплітуда коливань.

12.20. Повна енергія тіла, що здійснює гармонійний коливальний рух W=30 мкДж; максимальна сила, що діє на тіло, F mm.= 1,5 мН. Написати рівняння руху цього тіла, якщо період коливань Т = 2ста початкова фаза φ=P/3

лекція 12.Механічні коливання та хвилі.

План лекції

Гармонічні коливання та його характеристики.

Вільні механічні коливання.

Вільні загасаючі та вимушені механічні коливання.

Пружні хвилі.

Гармонічні коливання та його характеристики.

Коливанняминазиваються процеси, що характеризуються певною повторюваністю у часі, тобто. коливання - періодичні зміни будь-якої величини.

Залежно від фізичної природи розрізняють механічні та електромагнітні коливання. Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання і параметричні коливання.

Коливання називаються періодичними, якщо значення всіх фізичних величин, що змінюються під час коливань системи, повторюються через рівні проміжки часу.

Період- цей час, за який відбувається одне повне коливання:

де
- Число коливань за час .

Частота коливань- Число повних коливань, скоєних за одиницю часу.

Циклічна чи кругова частота - число повних коливань, Здійснених за час 2 (одиниць часу):

.

Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання, За яких зміна величини відбувається за законом синуса або косинуса (рис.1):

,

де - Значення величини, що змінюється;

- амплітуда коливань, максимальне значення величини, що змінюється;

- фаза коливань у момент часу (кутова міра часу);

 0 - початкова фаза, що визначає значення у початковий момент часу при
,.

Коливальна система, що здійснює гармонічні коливання, називається гармонічним осцилятором.

Швидкість та прискорення при гармонійних коливаннях:

Вільні механічні коливання.

Вільними чи власниминазиваються коливання, які здійснює система близько положення рівноваги після того, як вона якимось чином була виведена зі стану стійкої рівноваги та представлена ​​сама собі.

Як тільки тіло (або система) виводиться із положення рівноваги, відразу ж з'являється сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги. Ця сила називається повертаючою, вона завжди спрямована до положення рівноваги, походження її по-різному:

а для пружинного маятника- Сила пружності;

б) для математичного маятника – складова сила тяжіння.

Вільні або власні коливання - це коливання, що відбуваються під дією сили, що повертає.

Якщо в системі відсутні сили тертя, коливання продовжуються нескінченно довго з постійною амплітудою і називаються власними коливаннями.

Пружинний маятник- Матеріальна точка масою m, Підвішена на абсолютно пружній невагомій пружині і коливання під дією пружної сили.

Розглянемо динаміку своїх незагасних коливань пружинного маятника.

За II законом Ньютона,

за законом Гука,

де k- Жорсткість,
;

або
.

Позначимо циклічна частота своїх коливань.

-диференціальне рівняннявільних незагасних коливань.

Рішенням цього рівняння є вираз: .

період коливань пружинного маятника.

При гармонійних коливаннях повна енергія системи залишається постійною, відбувається безперервний перехід в і навпаки.

Математичний маятник- Матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці (рис.2).

Можна довести, що в цьому випадку

Пружинний та математичний маятники є гармонічними осциляторами (як і коливальний контур). Гармонічним осцилятором називається система, що описується рівнянням:

.

Коливання гармонійного осцилятора є важливим прикладомперіодичного руху і є наближеною моделлю у багатьох завданнях класичної та квантової фізики.

Вільні загасаючі та вимушені механічні коливання.

У всякій реальній системі, що здійснює механічні коливання, завжди діють ті чи інші сили опору (тертя в точці підвісу, опір навколишнього середовища і т.п.), на подолання яких система витрачає енергію, внаслідок чого реальні вільні механічні коливання завжди затухають.

Затухаючі коливання- це коливання, амплітуда яких зменшується з часом.

Знайдемо закон зміни амплітуди.

Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пружної сили
сила тертя пропорційна швидкості:

де r-коефіцієнт опору середовища; знак мінус означає, що
завжди спрямована протилежно до швидкості.

Відповідно до II закону Ньютона рівняння руху маятника має вигляд:

Позначимо:

диференціальне рівняння вільних загасаючих коливань.

Рішенням цього рівняння є вираз:

,

де циклічна частота вільних загасаючих коливань,

 0 - циклічна частота вільних незагасних коливань,

 - коефіцієнт загасання,

A 0 - амплітуда в початковий час (t=0).

- Закон зменшення амплітуди.

З часом амплітуда зменшується за експоненційному закону(Рис. 3).

Час релаксації - це час, за який амплітуда зменшується в разів.

.

Таким чином, є величина, обернена до часу релаксації.

Найважливішою характеристикою загасаючих коливань є логарифмічний декремент згасання .

Логарифмічним декрементом згасанняназивається натуральний логарифм відношення двох амплітуд, що відрізняються один від одного за часом на період:

.

З'ясуємо його фізичне значення.

З а час релаксації система встигне зробити N коливань:

тобто. - це величина, обернена числуколивань, протягом яких амплітуда зменшується в е раз.

Для характеристики коливальної системи використовують поняття добротності:

.

Добротність- фізична величина, пропорційна числу коливань, протягом яких амплітуда зменшується в раз (рис. 4,
).

Вимушениминазиваються коливання, які відбуваються в системі під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється.

Нехай зовнішня сила змінюється за гармонійному закону:

Крім зовнішньої сили на систему, що коливається, діють повертаюча сила і сила опору, пропорційна швидкості коливань:

Вимушені коливання відбуваються з частотою, рівної частотізмушує сили. Експериментально встановлено, що зміщення відстає у своїй зміні від сили, що змушує. Можна довести, що

де - амплітуда вимушених коливань,

- Різниця фаз коливань і
,

;
.

Графічно вимушені коливання представлені на рис.5.

Е якщо сила, що змушує, змінюється за гармонійним законом, то і самі коливання будуть гармонійними. Їх частота дорівнює частоті сили, що змушує, а амплітуда пропорційна амплітуді змушує сили.

Залежність амплітуди від частоти сили, що змушує. призводить до того, що з деякою, визначеної даної системи частоті, амплітуда досягає максимуму.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти системи (до резонансної частоти) називається резонансом(Рис.6).

Пружні хвилі.

Будь-яке пружне тілоскладається з великої кількості частинок (атомів, молекул), що взаємодіють одна з одною. Сили взаємодії проявляються за зміни відстані між частинками (при розтягуванні виникають сили тяжіння, при стисканні – відштовхування) і мають електромагнітну природу. Якщо якась частка зовнішнім впливом виводиться з положення рівноваги, то вона потягне за собою в тому ж напрямку іншу частинку, ця друга - третю, і обурення буде поширюватися від частинки до частки в середовищі з певною швидкістю, що залежить від властивостей середовища. Якщо частка була зрушена вгору, то під дією верхніх частинок, що відштовхують, і нижніх, що притягають, вона почне рухатися вниз, пройде положення рівноваги, інерції зміститися вниз і т.д., тобто. здійснюватиме гармонійний коливальний рух, змушуючи до коливань сусідню частинку, і т.д. Тому при розповсюдженні обурення в середовищі всі частки здійснюють коливання з однаковою частотою, кожна біля положення рівноваги.

Процес поширення механічних коливань у пружному середовищіназивається пружною хвилею. Цей процес періодичний у часі та просторі. При поширенні хвилі частки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частки до частки середовища передається лише стан коливального руху та його енергія. Тому основна властивість усіх хвиль – перенесення енергії без перенесення речовини.

Розрізняють поздовжні та поперечні пружні хвилі.

Пружна хвиля називається поздовжньою, якщо частинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі (рис.7).

Для взаємного розташуванняколивальних точок характерні згущення та розрядження.

При поширенні такої хвилі в середовищі виникають згущення та розрядження. Поздовжні хвилі виникають у твердих, рідких і газоподібних тілах, В яких виникають пружні деформації при стисканні або розтягуванні.

Пружна хвиля називається поперечною, якщо частинки середовища коливаються перпендикулярно до напряму поширення хвилі (рис. 8).

П ри поширення поперечної хвилі в пружному середовищі утворюються гребені та западини. Поперечна хвиля можлива серед, де деформація зсуву викликає пружні сили, тобто. у твердих тілах. На межі розділу 2-х рідин або рідини та газу виникають хвилі на поверхні рідини, вони викликаються або силами натягу, або силами тяжіння.

Таким чином, всередині рідини та газу виникають тільки поздовжні хвилі, у твердих тілах – поздовжні та поперечні.

Швидкість поширення хвиль залежить від пружних властивостей середовища та його щільності. Швидкість поширення поздовжніх хвиль у 1,5 рази більша за швидкість поперечних.

Поширюючись від одного джерела, обидві хвилі приходять до приймача у різний час. Вимірюючи різницю часів поширення поздовжніх і поперечних хвиль, можна визначити місце джерела хвиль ( атомного вибуху, епіцентр землетрусу і т.д.).

З іншого боку, швидкість поширення хвиль у земної коризалежить від порід, що залягають між джерелом та приймачем хвиль. Це є основою геофізичних методів дослідження складу земної кори та пошуку корисних копалин.

Поздовжні хвилі, що розповсюджуються в газах, рідині та твердих тілах і сприймаються людиною, називаються звуковими хвилями. Їх частота лежить у межах від 16 до 20000 Гц, нижче 16 Гц – інфразвук, вище 20000 Гц – ультразвук.

Соколов С.Я., член кореспондент АН СРСР, у 1927-28 рр. виявив здатність ультразвукових хвиль проникати крізь метали та розробив методику УЗ дефектоскопії, сконструювавши перший УЗ генератор на 109 Гц. У 1945 році він першим розробив метод перетворення механічних хвиль у видимі світлові та створив ультразвуковий мікроскоп.

Хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює дедалі нові області простору.

Геометричне місце точок, до яких поширилися коливання на даний момент часу t, називається фронтом хвилі.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею.

Хвильових поверхонь можна провести нескінченно багато, але їхній вид для даної хвилі однаковий. Хвильовий фронт є хвильову поверхню в даний момент часу.

У принципі хвильові поверхні може бути будь-якої форми, а найпростішому разі це сукупність паралельних площин чи концентричних сфер (рис. 9).

Хвиля називається плоский, якщо її фронт є площиною.

У олна називається сферичній, якщо її фронт є поверхнею сфери.

У Хвилі, що поширюються в однорідному ізотропному середовищі від точкових джерел, є сферичними. На великій відстані джерела сферична хвиля може розглядатися як плоска.

Принцип Гюйгенса: кожна точка фронту хвилі (тобто кожна коливається частка середовища) є джерелом вторинних сферичних хвиль. Нове становище фронту хвилі є огинаючої цих вторинних хвиль.

Це твердження висловив 1690 року голландський вчений Гюйгенс. Справедливість його можна проілюструвати за допомогою хвиль на поверхні води, що імітують сферичні хвилі, що виникають в обсязі пружного середовища.

а 1 в 1 - фронт в момент t 1

а 2 - 2 - фронт в момент t 2 .

Перегородивши поверхню води перепоною з малим отвором і направивши на перешкоду плоску хвилю, переконуємося, що за перешкодою – сферична хвиля (рис. 10).

Ті, що біжатьназиваються хвилі, які переносять у просторі енергію.

Отримаємо рівняння плоскої хвилі, що біжить, припускаючи, що коливання носять гармонійний характер, а вісьYзбігається з напрямом поширення хвилі.

Рівняння хвилі визначає залежність зміщення коливається частинки середовища від координат і часу.

Нехай деяка частка середовища У(Рис. 11) знаходиться на відстані увід джерела коливань, розташованого у точці Про. У точці Проусунення частки середовища від положення рівноваги відбувається за гармонійним законом,

де t- Час, що відраховується від початку коливань.

У точці Cде
- час, за який хвиля від крапки Oдоходить до точки C, - Швидкість поширення хвилі.

-рівняння плоскої хвилі, що біжить.

Це рівняння визначає величину зміщення хколивальної точки, що характеризується координатою у, у будь-який момент часу t.

Якщо плоска хвиляпоширюється над позитивному напрямку осі Y, а протилежному напрямку, то

Т.к. рівняння хвилі можна записати у вигляді

Відстань між найближчими точками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі.

Довжина хвилі- відстань, яким поширюється хвиля у період коливань частинок середовища, тобто.

.

Т.к.

де – хвильове число.

У загальному випадку
.

850. Властивістю повторюваності мають коливання маятника годин, сезонні змінитемператур, рух стрілки годинника, коливання струни, вібрація крил літака, рух Землі навколо Сонця, коливання напруги в мережі електричного струму. Які з цих процесів можна назвати механічними коливальними процесами?
До механічним коливаннямвідносяться: хитання маятника, рух стрілки годинника, коливання струни, вібрація крил літака, рух Землі навколо Сонця.

851. Чи можливі коливання кульки, закріпленої на пружині, якщо вся система прийде в стан невагомості?
Так, оскільки коливання цієї системи не залежить від сили тяжіння.

852. Маятник годинника робить незагасаючі гармонічні коливання. Які з величин – зміщення, амплітуда, період, частота, швидкість, прискорення – є постійними та які змінними?
Постійні: амплітуда, період, частота.
Змінні: усунення, швидкість, прискорення.

853. Кулька, підвішена на нитці, здійснює обертання в горизонтальній площині, Описуючи коло діаметром d (рис. 244). Якщо спостереження проводиться у площині обертання, рух кульки сприймається як гармонійне коливання. Чому дорівнює амплітуда коливань? Що можна сказати про частоту обігу кульки та частоту коливань?
Амплітуда дорівнює d/2; частота обігу дорівнює частоті коливань кульки.

854. Частота коливань напруги в електричної мережідорівнює 50 Гц. Визначте період коливання.

855. При вимірі пульсу людини було зафіксовано 75 пульсацій крові за 1 хв. Визначте період скорочень серцевого м'яза.

856. Біля валу електричної швейної машинки частота обертання дорівнює 1200 об/хв. За один оберт голка здійснює одне коливання. Визначте період коливання голки.

857. Фреза має частоту обертання з 600 об/хв. Число зубів на фрезі дорівнює 40. З якою частотою вібрує верстат? Визначте період вібрацій.

858. Яка частота коливань поршня двигуна автомобіля, якщо за 0,5 хв поршень здійснює 600 коливань?

859. Частота коливань крил ворони у польоті дорівнює середньому 3 Гц. Скільки помахів крилами зробить ворона, пролетівши шлях 650 м зі швидкістю 13 м/с?

860. Для тіла, що здійснює вільні коливання, графік залежності усунення від часу представлений на малюнку 245. Визначте період, частоту та амплітуду коливань.

861. Коливання матеріальної точки описуються наступним рівнянням: x = 70 sin 0,5 t. Визначте амплітуду коливань та усунення точки від положення рівноваги в наступні моменти часу: t1 = π/2 та t2 = π/3. При яких фазах усунення по модулю дорівнює половині амплітуди?

862. Чому дорівнює різниця фаз вільних коливань рук людини під час ходьби?
Різниця фаз становить?

863. Гармонійне коливання описується рівнянням х = 2 sin (π/2t + π/4). Чому рівні циклічна частота коливань, лінійна частотаколивань, початкова фаза коливань?

864. Чи можна припустити, що те саме коливання може бути описано за допомогою наступних рівнянь:
x = 3 sin (π/4 t+π/6), x = 3 cos(π/4 t + π/3), x = 3 cos (π/4 t – π/3)?
Так.

865. У які моменти часу швидкість матеріальної точки, що коливається, дорівнює нулю, якщо коливання описується рівнянням х = 4 sin π/2 t ?

866. Максимально або мінімально прискорення в ті моменти часу, коли швидкість пружинного маятника, що коливається, дорівнює 0?
Максимально.

867. Що можна сказати про прискорення, яке відчуває вантаж, що коливається, підвішений на пружині, в момент проходження положення рівноваги?
Прискорення максимальне.

868. У момент початку спостереження нитка маятника довжиною l (рис. 246) утворює з вертикаллю малий кут α, а вантаж знаходиться у крайньому положенні. Чи можна вважати кут початковою фазою коливань? Як визначити амплітуду коливань?
α не можна вважати початковою фазою. А =l sin α де А - амплітуда коливань.

869. Який напрямок рівнодіючої сил, прикладених до вантажу маятника (рис. 246), коли цей вантаж знаходиться в крайніх положеннях; проходить становище рівноваги?
При знаходженні вантажу в крайніх положеннях рівнодіюча сила спрямована по дотичній до дуги, що описується вантажами. У положенні рівноваги вона дорівнює 0.

870. Чому на дошку гойдалок стати в повний зрістнайважче в той момент, коли гойдалка проходить положення рівноваги?
Тому що в цей момент дошка має максимальну швидкість.

871. Чому дорівнює періодколивання математичного маятника, якщо довжина нитки дорівнює 9,8 м?

872. Два математичні маятники здійснюють вільні коливання. Графіки залежності усунення часу представлені малюнку 247. Визначте період коливання кожного з маятників і відношення довжин маятників.

873. Математичний маятник довжиною 0,99 м здійснює 50 повних коливань за 1 хв. 40 с. Чому дорівнює прискорення вільного падінняу цьому місці лежить на поверхні Землі?

874. У скільки разів треба змінити довжину математичного маятника, щоб період коливання змінився у 2 рази?
Оскільки період пропорційний кореню квадратному з довжини, то подвоєння періоду довжину слід збільшити вчетверо.

875. З двох математичних маятників в тому самому місці Землі один здійснює 40 коливань за деякий час, а інший за той же час - 20 коливань. Визначте довжину кожного з маятників, якщо один з них довший за інший на 90 см.

876. У ракеті, що покоїться, коливається математичний маятник. Під час руху ракети вгору з деяким прискоренням період коливання маятника зменшився вдвічі. У скільки разів прискорення, з яким рухається ракета, більше за прискорення вільного падіння?

877. Вантаж масою 50 г, прикріплений до пружини, жорсткість якої дорівнює 0,49 Н/м, здійснює коливання. Якої довжини треба взяти математичний маятник, щоб його частота коливань дорівнювала частоті коливань пружинного маятника?

878. Як зміниться період і частота коливань пружної дошки, встановленої на вежі для стрибків у воду, якщо після дорослої людини на дошці розгойдується хлопчик, готуючись до стрибка?
Період зменшиться, частота збільшиться.

879. Коли вантаж нерухомо висів на вертикальній пружині, її подовження дорівнювало 5 см. Потім вантаж відтягнули вниз і відпустили, внаслідок чого він почав вагатися. Який період коливання?

880. Кулька з отвором, прикріплена до легкої пружини жорсткістю 250 Н/м, може здійснювати коливання, що незатухають, уздовж стрижня (рис. 248). Чому дорівнює прискорення, яке зазнає кулька (Рис. 248) у положенні рівноваги та в крайніх положеннях, якщо амплітуда коливань дорівнює 4 см, а маса 50 г?

881. Опишіть перетворення механічної енергії, що відбуваються у процесі вільних незатухаючих коливань пружинного маятника у горизонтальному напрямку; у вертикальному напрямку. Чи зберігається повна механічна енергіяу процесі коливань?
У горизонтальному напрямку: у положенні рівноваги: ​​Еп пр = 0; Єкін – мах. У крайніх положеннях: Єкін = 0; Еп пр - мах. У вертикальному напрямку: положення рівноваги зміститься вниз від точки підвісу маятника за рахунок потенційної енергії вантажу, компенсованої потенційною енергією пружини. Перетворення енергії здійснюються так само, як і в горизонтальному напрямку. Повна механічна енергія залишається постійною.

882. Вантаж масою 400 г робить коливання на пружині жорсткістю 250 Н/м. Амплітуда коливань дорівнює 15 см. Чому рівні повна механічна енергія коливань і найбільша швидкістьруху вантажу?

883. За умовою задачі 880 визначте повну енергію коливань кульки, а також потенційну і кінетичну енергіюу той момент, коли кулька знаходиться в точці з координатою х = 2 см. За початок відліку прийміть положення рівноваги кульки.

884. Вантаж, підвішений на пружині жорсткістю 1 кН/м, коливається з амплітудою 2 см згідно із законом: х = A sin (ώt + φ0). Визначте кінетичну та потенційну енергіюпри фазі π/6 рад.

885. Чому легше йти у взутті на товстій пружній підошві за певної частоти кроків? Поясніть із точки зору перетворення енергії.
При певній частоті кроків циклічна частота з силою наближається до циклічної частоти со0 коливальної системи- Пружної підошви. Виникає резонанс.

886. Як змінюється амплітуда і які перетворення зазнає енергія при коливаннях дерева при пориві одиночного вітру; автомобіля під час роботи двигуна на холостому ходу; коромисла терезів при зважуванні?
При коливанні дерева, при одиночному пориві вітру та коромисла ваг при зважуванні амплітуда та енергія зменшуються з кожним подальшим коливанням.

887. Вода, яку хлопчик несе у відрі, починає сильно розхлюпуватися. Хлопчик змінює темп ходьби або просто "збиває ногу", і розхлюпування припиняється. Чому так відбувається?
Хлопчик змінює фазу своїх вагань. Коливання води гасяться за рахунок коливань хлопчика.

888. Максимальну амплітуду вертикальних коливань м'ячика, підвішеного на тонкій гумці, можна отримати, якщо його нести, роблячи за 1 хв 48 кроків. Визначте коефіцієнт пружності гумки, якщо маса м'ячика дорівнює 60 г.

Тема. Вирішення завдань на тему "Гармонічні, вимушені, загасаючі коливання. Резонанс".

Цілі:

• - звернути увагу учнів на загальні закономірності, властиві різним коливальним процесам;
• - Розглянути способи вирішення завдань на коливальний рух.

Хід заняття

• Проаналізуйте сили, що діють на тіло, що здійснює гармонійні, загасаючі чи вимушені коливання.
• Оскільки розглядаються лише одномірні коливання, то їх описи досить однієї координати. Залежно від характеру руху використовується лінійна, або кутова координата. Слід записати рівняння, що описують залежність координати від часу за різних коливань.

Якісні завдання

1. Чи збережеться період коливань годин-ходиків, якщо їх із Землі перенести на Місяць?
2. Чи продовжуватимуться коливання маятника при вільному падінні?
3. Матеріальна точка робить незагасні гармонійні коливання. Які з величин, що характеризують цей рух: усунення, амплітуда, період, частота, фаза, швидкість, прискорення – є постійними і які – змінними?
4. Яким чином за допомогою математичного маятника можна визначити прискорення вільного падіння у цьому місці?
5. Щоб відвести гойдалку з людиною, що сидить на них на великий кутнеобхідно додати значну силу. Чому ж розкачати гойдалку до такого ж кута відхилення можна значно меншим зусиллям?
6. Один і той же камертон один раз закріплений у лещатах, а інший раз – на резонаторному ящику. В обох випадках камертон збуджується однаковими по силі ударами. У якому разі камертон звучатиме довше? Відповідь: у випадку, коли камертон затиснутий у лещатах, так як він звучить слабше, а, отже, втрачає енергію повільніше.

Приклади вирішення розрахункових завдань

Завдання 1.На ідеально гладкої поверхнілежить вантаж масою m, Розтягнутий пружинами 1 і 2 з коефіцієнтами пружності відповідно k 1 і k 2 (рис. 1). Якщо вантаж вивести із положення рівноваги (відхилити убік), він почне вагатися з періодом Т. Чи зміниться період коливань, якщо ті ж пружини закріпити не в точках А1 і А2, а В1 і В2?

Рішення:

Рівняння руху вантажу, виведеного з положення рівноваги, якщо пружини закріплені в А1 і А2 мають вигляд

ma = -(k 1 +k 2)x,
або

.
У цьому рівнянні - Власна частота коливань вантажу. Як видно, вона не залежить від усунення вантажу. Період коливань пов'язаний із власною частотою співвідношенням. Отже, період також залежить від усунення вантажу. Оскільки при зміні розтягування пружин залежність сили, що діє на вантаж m, Від усунення не змінюється, то й період коливань не залежатиме від цього розтягування. Переміщення точок закріплення з А 1 і А 2 В 1 і В 2 призведе лише до зміни положення рівноваги, біля якого коливатиметься вантаж.

Відповідь: період коливань не зміниться

Завдання 2.Кінці недеформованої пружини жорсткості k= 13 Н/м закріплено. У точці, що віддалена від одного з кінців пружини на її довжини, зміцнили невелике тіло маси m= 25г. Нехтуючи масою пружини, знайдіть період малих поздовжніх коливань даного тіла. Сили важкості немає.

Рішення:

Коефіцієнт жорсткості залежить від розмірів недеформованого тіла, отже коефіцієнти жорсткості для ділянок 1 і 2 - k 1і k 2будуть різні (рис. 2). Тіло буде коливати під дією двох квазіпружних сил і . Рівняння руху тіла можна записати так:

ma = k 1 x - k 2 x = -x(k 1 + k 2). (1)
Тут враховано, що будь-якої миті часу сили і спрямовані в один бік. Поділимо обидві частини рівняння (1) на mі перетворимо його до наступного виду:

.
З останнього рівняння видно, що власна частота коливань дорівнюватиме

. (2)
Щоб знайти k 1і k 2, скористаємося тим, що для пружини коефіцієнт жорсткості та модуль Юнга Епов'язані між собою співвідношенням

,
де l 0 – довжина недеформованої пружини. Тоді

.
Підставимо значення k 1 і k 2 (2), тоді отримаємо

.
Період коливань дорівнюватиме

Відповідь:

Завдання 3.Визначте період малих коливань математичного маятника, що має довжину lта масу m.

Рішення:

Маятник робить обертальний рух, яке можна описати рівнянням

Iβ = M,
де М- результуючий момент сил щодо осі обертання, які діють маятник. На маятник діють сила тяжіння та пружна силадеформованої нитки (рис. 3). Вісь обертання проходить через точку підвісу. Лінія дії пружної сили проходить через вісь обертання, отже, її момент щодо цієї осі. дорівнює нулю. Момент сили тяжіння щодо осі обертання M = mgl sinφ. Момент інерції маятника дорівнюватиме I = ml 2 . Для малих кутів відхилення
sinφ≈φ. З урахуванням всього сказаного рівняння руху набуде вигляду

ml 2 β = - mglφ. (3)
Знак мінус означає, що момент сили тяжіння завжди повертає систему у положення рівноваги. Рівняння (3) можна переписати так:

. (4)
При коливаннях маятника періодично змінюється кут відхилення φ. Рівняння (4) є типовим рівнянням коливань для змінної φ з власною частотою , а отже, період коливань математичного маятника дорівнюватиме .

Відповідь: .

Завдання 4.;

Як змінюватиметься період коливань маятника, що складається з посудини, підвішеної на довгій нитці, якщо посудина наповнена водою, яка поступово витікає з отвору в дні посудини (рис. 4)?

Рішення:

У міру витікання рідини з судини центр тяжкості рідини, а значить і центр тяжкості маятника, буде знижуватися, тобто збільшуватиметься довжина маятника. Оскільки період коливань математичного маятника пов'язані з довжиною співвідношенням , період буде збільшуватися. Але так буде, якщо центр мас судини без води лежить у дні судини. Якщо центр мас порожньої судини розташований вище дна судини, то такої монотонної залежності періоду коливань від рівня рідини в судині спостерігатися не буде. У цьому випадку, коли води в посудині виявиться мало, центр мас почне підвищуватися і період зменшуватиметься.

Завдання 5.Матеріальна точка бере участь одночасно у двох коливальних процесах, що відбуваються в одному напрямку за гармонічним законом з однаковою частотою, амплітудами x 01 = 5смі x 02 = 10 смі зрушенням фаз. Визначте амплітуду та початкову фазу результуючого коливального процесу.

Рішення:

Для вирішення цього завдання доцільно скористатися графічним способомуявлення коливань. Закони руху для аналізованих коливальних процесів запишуться так:

x 1 = x 01 cosω t,

x 2 = x 02 cos(ω t + Δφ)

де x 01і x 02- Зміщення коливається частки з положення рівноваги, викликані кожним коливальним процесом. Початкова фаза першого коливального процесу обрана рівною нулю. Так як частоти коливань однакові, то кут між векторами, що зображують коливання, з часом змінюється. Тому векторну діаграму можна побудувати на момент часу t= 0 (рис. 6). З рис. 6 видно, що

x 0 2 = x 01 2 + x 02 2 + 2x 01 x 02 cosΔφ.

Останній вираз випливає з теореми косінусів. Підставивши чисельне значення, отримаємо x 0 = 13 см. Початкова фаза результуючого коливання дорівнюватиме куту між напрямком вектора результуючого коливання і віссю Х. З геометричних міркувань ясно, що

.
Звідси ψ = 0,23.
Остаточно результуюче коливання запишеться таким чином:

x= 13 cos(ω t+ 0,23 π).

Відповідь: x 0 = 13 см; .

Завдання 6.Визначте період малих коливань кульки, підвішеної на нерозтяжній нитці довжини l= 20 см, якщо він знаходиться в рідині, щільність якої в η = 3,0 разів менше щільностікульки. Опір рідини дуже мало.

Рішення:

На кульку, що коливається в рідині, діє сила тяжіння, сила Архімеда та пружна сила деформованої нитки (рис. 7). Кулька обертається навколо нерухомої горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу маятника. Рух маятника описуватиметься рівнянням

, (5)
де I- момент інерції маятника, β - Кутове прискорення.

Оскільки лінія дії сили пружності проходить через вісь обертання, її момент щодо цієї осі дорівнює нулю. Момент сили тяжіння дорівнюватиме M 1 = mgl sinα, момент сили Архімеда - (тут l- Довжина нитки). Моменти сили тяжіння і сили Архімеда розкручують кульку протилежні сторонитому у рівняння руху (5) вони увійдуть з протилежними знаками. Момент інерції кульки щодо осі обертання дорівнюватиме. З урахуванням всього сказаного рівняння руху кульки запишеться у вигляді

ml 2 β = ( mg - F A)l sinα. (6)

Сила Архімеда дорівнюватиме , де ρ ж- Щільність рідини, V- Об'єм кульки. Маса кульки дорівнює m = ρ V, де ρ - щільність матеріалу, з якого виготовлена ​​кулька. Підставимо значення сили Архімеда, маси кульки в рівняння (6) і врахуємо, що у разі малих значень кута відхилення sinα ≈ α тоді рівняння (6) можна переписати в наступному вигляді:

.

Останнє рівняння є типовим рівнянням коливального процесу з частотою .

Отже, період коливань кульки дорівнюватиме с.

Відповідь: .

Завдання 7.До невагомої пружини підвісили грузик, і вона розтяглася на Δ х= 9,8 см. З яким періодом коливатиметься грузик, якщо йому дати невеликий поштовх у вертикальному напрямку? Логарифмічний декремент згасання λ = 3,1.

Рішення:

Оскільки коливання будуть загасаючими, їх період можна вважати за формулою

, (7)
де ω 0 - Власна частота коливань без згасання. Коефіцієнт загасання β пов'язаний із періодом Тспіввідношенням. Власна частота коливань пружинного маятника, де k- Коефіцієнт жорсткості пружини. Коефіцієнт жорсткості можна знайти з умови, що під дією вантажу масою mпружина розтягнулася на Δ х.

Умова рівноваги грузика має вигляд kΔ x = mg.

З цього співвідношення видно, що .

Отже, власна частота коливань грузика дорівнюватиме

.
Підставляючи значення ω 0 і β у формулу (7), після нескладних математичних перетвореньотримаємо

Відповідь:

Завдання 8.Дерев'яний брусок масою m= 3,2 кг із площею основи S= 400 см 2 плаває у воді. Брусок трохи занурили у воду глибше і відпустили. Знайдіть частоту коливань бруска. Силою тертя знехтувати. Щільність води = 1 г/см3.

Рішення:

На брусок діють дві сили: сила тяжіння та сила Архімеда (рис. 8). Так як брусок плаває на поверхні, тобто знаходиться в стані рівноваги, то сили, що діють на нього, врівноважують один одного, отже,

Спроектуємо це рівняння на вертикально спрямовану вісь Х

mg = ρ gV 1 , (8)
де V 1- Об'єм зануреної частини бруска. Якщо глибину занурення бруска збільшити на х, то сила Архімеда стане рівною . Рівновага порушиться, і на брусок діятиме сила, проекція якої на вісь Хбуде рівна

F = mg - ρ g(V 1 + xS).
Підставивши із (8) значення сили тяжіння, отримаємо

F x = -ρ gSx,
тобто на брусок буде діяти сила, пропорційна зсуву бруска з положення рівноваги, і рівняння його руху набуде вигляду

.
Отже, власна кругова частота коливання бруска дорівнюватиме

,
а період коливань

.
Частота коливань бруска

Гц.

Відповідь:

Завдання 9.До верхнього кінця циліндричної судини, в яку поступово наливають воду, піднесли камертон. Звук, що видається камертоном, помітно посилюється, коли відстань від поверхні рідини до верхнього краюсудини досягає значень h 1 = 25 смі h 2 = 75 см. Визначте частоту коливань камертону. Швидкість звуку прийняти дорівнює 340 м/с.

Рішення:

Коли частота коливань камертону збігається із частотою власних коливань повітряного стовпа, у посудині виникає явище резонансу, і звучання камертону посилюється. Власні коливанняповітряного стовпа в закритій з одного кінця трубі сприяють встановленню стоячої хвилі в ній. При цьому довжина хвилі повинна бути така, щоб у закритого кінця був вузол зміщених частинок повітря, а у відкритого - пучність. Це означає, що у вільній частині труби укладається ,