Знаходження невизначеного інтегралу. Невизначений інтеграл онлайн

Наведено огляд методів обчислення невизначених інтегралів. Розглянуто основні методи інтегрування, які включають інтегрування суми і різниці, винесення постійної за знак інтеграла, заміну змінної, інтегрування частинами. Також розглянуто спеціальні методита прийоми інтегрування дробів, коренів, тригонометричних та показових функцій.

Первісна і невизначений інтеграл

Первісна F(x) від функції f(x) - це така функція, похідна якої дорівнює f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
де Δ - Проміжок, на якому виконується дане рівняння.

Сукупність всіх первісних називається невизначеним інтегралом:
,
де C - постійна, яка залежить від змінної x .

Основні формули та методи інтегрування

Таблиця інтегралів

Кінцева метаобчислення невизначених інтегралів - шляхом перетворень, привести заданий інтеграл до виразу, що містить найпростіші або табличні інтеграли.
Див. Таблиця інтегралів >>>

Правило інтегрування суми (різниці)

Винесення постійної за знак інтегралу

Нехай c - постійна, що не залежить від x. Тоді її можна винести за знак інтегралу:

Заміна змінної

Нехай x - функція від змінної t x = φ(t) тоді
.
Або навпаки, t = φ(x) ,
.

За допомогою заміни змінної можна обчислити прості інтеграли, а й спростити обчислення складніших.

Правило інтегрування частинами

Інтегрування дробів (раціональних функцій)

Введемо позначення. Нехай P k (x), Q m (x), R n (x) позначають багаточлени ступенів k, m, n відповідно щодо змінної x .

Розглянемо інтеграл, що складається з дробу багаточленів (так званий раціональна функція):

Якщо k ≥ n, то спочатку потрібно виділити цілу частину дробу:
.
Інтеграл від многочлена S k-n(x) обчислюється за таблицею інтегралів.

Залишається інтеграл:
де m< n .
Для його обчислення, підінтегральний вираз слід розкласти на найпростіші дроби.

Для цього потрібно знайти коріння рівняння:
Q n (x) = 0.
Використовуючи отримане коріння, потрібно уявити знаменник у вигляді твору співмножників:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Тут s-коефіцієнт при x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Після цього розкласти дріб на найпростіші:

Інтегруючи, отримуємо вираз, що складається з більш простих інтегралів.
Інтеграли виду

приводяться до табличних підстановкою t = x - a.

Розглянемо інтеграл:

Перетворимо чисельник:
.
Підставляючи в підінтегральний вираз, отримуємо вираз, до якого входять два інтеграли:
,
.
Перший, підстановкою t = x 2 + ex + f наводиться до табличного.
Другий, за формулою приведення:

наводиться до інтегралу

Наведемо його знаменник до суми квадратів:
.
Тоді підстановкою, інтеграл

також наводиться до табличного.

Інтегрування ірраціональних функцій

Введемо позначення. Нехай R(u 1 , u 2 , ... , u n ) означає раціональну функцію від змінних u 1 , u 2 , ... , u n . Тобто
,
де P, Q - многочлен від змінних u 1 , u 2 , ... , u n .

Дробно-лінійна ірраціональність

Розглянемо інтеграли виду:
,
де - раціональні числа, m 1 , n 1 , ..., m s , ns - цілі числа.
Нехай n - спільний знаменникчисел r 1, ..., r s.
Тоді інтеграл зводиться до інтегралу від раціональних функцій підстановкою:
.

Інтеграли від диференціальних біномів

Розглянемо інтеграл:
,
де m, n, p - раціональні числа, a, b - дійсні числа.
Такі інтеграли зводяться до інтегралів від раціональних функцій у трьох випадках.

1) Якщо p – ціле. Підстановка x = t N де N - загальний знаменник дробів m і n .
2) Якщо – ціле. Підстановка a x n + b = t M де M - знаменник числа p .
3) Якщо – ціле. Підстановка a + b x - n = t M де M - знаменник числа p .

Якщо жодне з трьох чисел не є цілим числом, то за теоремою Чебишева інтеграли цього виду не можуть бути виражені кінцевою комбінацією елементарних функцій.

У ряді випадків, спочатку буває корисним привести інтеграл до зручніших значень m і p. Це можна зробити за допомогою формул приведення:
;
.

Інтеграли, що містять квадратний корінь із квадратного тричлена

Тут ми розглядаємо інтеграли виду:
,

Підстановки Ейлера

Такі інтеграли можуть бути зведені до інтегралів від раціональних функцій однієї з трьох підстановок Ейлера:
, при a > 0;
при c > 0 ;
де x 1 - корінь рівняння a x 2 + b x + c = 0. Якщо це рівняння має дійсне коріння.

Тригонометричні та гіперболічні підстановки

Прямі методи

Найчастіше, підстановки Ейлера призводять до довшим обчислень, ніж прямі методи. За допомогою прямих методів інтеграл наводиться до одного з наведених нижче видів.

І тип

Інтеграл виду:
,
де P n (x) - багаточлен ступеня n .

Такі інтеграли є методом невизначених коефіцієнтів, використовуючи тотожність:

Диференціюючи це рівняння та прирівнюючи ліву та праву частини, знаходимо коефіцієнти A i .

II тип

Інтеграл виду:
,
де P m (x) - багаточлен ступеня m.

Підстановкою t = (x - α) -1цей інтеграл наводиться до попереднього типу. Якщо m ≥ n, то у дробу слід виділити цілу частину.

III тип

Третій і найскладніший тип:
.

Тут потрібно зробити підстановку:
.
Після чого інтеграл набуде вигляду:
.
Далі постійні α, β потрібно вибрати такими, щоб коефіцієнти при t звернулися в нуль:
B = 0, B 1 = 0.
Тоді інтеграл розпадається на суму інтегралів двох видів:
;
,
які інтегруються, відповідно до підстановок:
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.

Загальний випадок

Інтегрування трансцендентних (тригонометричних та показових) функцій

Заздалегідь зазначимо, що ті методи, які застосовуються для тригонометричних функцій, також застосовні і для гіперболічних функцій. З цієї причини ми не розглядатимемо інтегрування гіперболічних функцій окремо.

Інтегрування раціональних тригонометричних функцій від cos x та sin x

Розглянемо інтеграли від тригонометричних функцій виду:
,
де R – раціональна функція. Сюди також можуть входити тангенси та котангенси, які слід перетворити через синуси та косинуси.

При інтегруванні таких функцій корисно мати на увазі три правила:
1) якщо R( cos x, sin x)множиться на -1 від зміни знака перед однією з величин cos xабо sin x, то корисно іншу з них позначити через t.
2) якщо R( cos x, sin x)не змінюється від зміни знака одночасно перед cos xі sin x, то корисно покласти tg x = tабо ctg x = t.
3) підстановка у всіх випадках призводить до інтегралу від раціонального дробу. На жаль, ця підстановка призводить до більш довгих обчислень, ніж попередні, якщо вони застосовні.

Добуток статечних функцій від cos x і sin x

Розглянемо інтеграли виду:

Якщо m і n – раціональні числа, то однією з підстановок t = sin xабо t = cos xінтеграл зводиться до інтегралу диференціального бінома.

Якщо m і n - цілі числа, то інтеграли обчислюються інтегруванням частинами. При цьому виходять такі формули:

;
;
;
.

Інтегрування частинами

Застосування формули Ейлера

Якщо підінтегральний вираз лінійний щодо однієї з функцій
cos axабо sin ax, то зручно застосувати формулу Ейлера:
e iax = cos ax + isin ax(Де i 2 = - 1 ),
замінивши цю функцію на e iaxта виділивши дійсну (при заміні cos ax) або уявну частину (при заміні sin ax) з отриманого результату.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Процес вирішення інтегралів у науці під назвою "математика" називається інтегруванням. За допомогою інтегрування можна знаходити деякі фізичні величини: площа, об'єм, масу тіл та багато іншого.

Інтеграли бувають невизначеними та певними. Розглянемо вигляд певного інтеграла та спробуємо зрозуміти його фізичний сенс. Видається він у такому вигляді: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Відмінна рисанаписання певного інтеграла від невизначеного у цьому, що є межі інтегрування a і b. Зараз дізнаємося для чого вони потрібні, і що ж означає певний інтеграл. У геометричному сенсітакий інтеграл дорівнює площіфігури, обмеженою кривою f(x), лініями a та b, і віссю Ох.

З рис.1 видно, що певний інтеграл - це та є та сама площа, що зафарбована сірим кольором. Давайте перевіримо це на найпростішому прикладі. Знайдемо площу фігури на зображенні, представленому нижче за допомогою інтегрування, а потім обчислимо її звичайним способом множення довжини на ширину.

З рис.2 видно, що $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Тепер підставимо їх у визначення інтеграла, отримуємо, що $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(од)^2 $$ Зробимо перевірку звичайним способом. У нашому випадку довжина = 3, ширина фігури = 1. $$ S = \text(довжина) \cdot \text(ширина) = 3 \cdot 1 = 3 \text(од)^2 $$ Як бачимо, все відмінно збіглося .

Постає питання: як вирішувати інтеграли невизначені і який у них сенс? Рішення таких інтегралів – це знаходження первісних функцій. Цей процес протилежний до знаходження похідної. Для того, щоб знайти первісну можна використовувати нашу допомогу у вирішенні задач з математики або необхідно самостійно безпомилково визубрувати властивості інтегралів та таблицю інтегрування найпростіших елементарних функцій. Знаходження виглядає так $$ \ int f (x) dx = F (x) + C \ text (де) F (x) $ - первісна $ f (x), C = const $.

Для вирішення інтеграла необхідно інтегрувати функцію $f(x)$ за змінною. Якщо функція таблична, записується відповідь у відповідному вигляді. Якщо ж ні, то процес зводиться до отримання табличні функціїз функції $ f(x) $ шляхом хитрих математичних перетворень. Для цього є різні методита властивості, які розглянемо далі.

Отже, тепер складемо алгоритм, як вирішувати інтеграли для чайників?

Алгоритм обчислення інтегралів

1. Дізнаємось певний інтеграл чи ні.
2. Якщо невизначений, то потрібно знайти первісну функцію$ F (x) $ від підінтегральної $ f (x) $ за допомогою математичних перетворень, що призводять до табличного виду функцію $ f (x) $.
3. Якщо певний, потрібно виконати крок 2, а потім підставити межі $ а $ і $ b $ в первісну функцію $ F (x) $. За якою формулою це зробити дізнаєтесь у статті "Формула Ньютона Лейбніца".

Приклади рішень

Отже, ви дізналися, як вирішувати інтеграли для чайників, приклади рішення інтегралів розібрали по поличках. Дізналися фізичний та геометричний їхній зміст. Про методи рішення буде викладено у інших статтях.

Знайти невизначений інтеграл (безліч первісних або "антипохідних") означає відновити функцію за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​безліч первісних F(x) + З для функції f(x) враховує константу інтегрування C. За швидкістю переміщення матеріальної точки (похідної) то, можливо відновлено закон руху цієї точки (первообразная); щодо прискорення руху точки - її швидкість та закон руху. Як бачимо, інтегрування - широке полі діяльності Шерлоков Холмсов від фізики. Та й в економіці багато понять надаються через функції та їх похідні і тому, наприклад, можна за продуктивністю праці у певний момент часу (похідної) відновити обсяг продукції, випущений у відповідний час.

Щоб знайти невизначений інтеграл, потрібна досить невелика кількість основних формул інтегрування. Але процес його знаходження значно важче, ніж лише застосування цих формул. Вся складність відноситься не до інтегрування, а до приведення інтегрованого виразу до такого виду, що дає можливість знайти невизначений інтеграл за вищезазначеними основними формулами. Це означає, що для початку практики інтегрування потрібно активізувати отримані в середній школінавички перетворення виразів.

Вчитися знаходити інтеграли будемо, користуючись властивостями та таблицею невизначених інтегралівз уроку про основні поняття цієї теми (відкриється у новому вікні).

Існує кілька методів знаходження інтеграла, з яких метод заміни змінноїі метод інтегрування частинами- обов'язковий джентльменський набір кожного, хто успішно здав найвищу математику. Однак починати освоювати інтегрування корисніше і приємніше із застосуванням методу розкладання, заснованому на двох теоремах про властивості невизначеного інтеграла, які для зручності повторимо тут.

Теорема 3.Постійний множнику підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто.

Теорема 4.Невизначений інтеграл суми алгебри кінцевого числафункцій дорівнює алгебраїчній суміневизначених інтегралів цих функцій, тобто.

(2)

Крім того, в інтегруванні може стати в нагоді наступне правило: якщо вираз підінтегральної функції містить постійний множник, то вираз первісної домножується на число, зворотне постійному множнику, тобто

(3)

Оскільки цей урок - вступний у вирішення завдань інтегрування, важливо відзначити дві речі, які або вже насправді початковому етапіабо трохи пізніше можуть вас здивувати. Здивування пов'язане з тим фактом, що інтегрування - операція, зворотна диференціюванню і невизначений інтеграл можна справедливо називати "антипохідною".

Перша річ, якою не слід дивуватися при інтегруванні.У таблиці інтегралів існують формули, які не мають аналогів серед формул похідної таблиці . Це такі формули:

Однак можна переконатися в тому, що похідні виразів, що стоять у правих частинах цих формул, збігаються з відповідними підінтегральними функціями.

Друга річ, якій не слід дивуватися при інтегруванні. Хоча похідна будь-якої елементарної функції є також елементарною функцією, невизначені інтеграли від деяких елементарних функцій не є елементарними функціями . Прикладами таких інтегралів можуть бути такі:

Для вироблення техніки інтегрування стануть у нагоді такі навички: скорочення дробів, розподіл багаточлена в чисельнику дробу на одночлен у знаменнику (для отримання суми невизначених інтегралів), перетворення коренів у ступені, множення одночлена на багаточлен, зведення в ступінь. Ці навички потрібні для перетворень підінтегрального виразу, у яких має вийти сума інтегралів, присутніх у таблиці інтегралів.

Знаходимо невизначені інтеграли разом

приклад 1.Знайти невизначений інтеграл

.

Рішення. Бачимо у знаменнику підінтегрального виразу багаточлен, у якому ікс у квадраті. Це майже вірна ознака того, що можна застосувати табличний інтеграл 21 (з арктангенсом у результаті). Виносимо із знаменника множник-двійку (є така властивість інтеграла - постійний множник можна виносити за знак інтеграла, вище воно було згадано як теорема 3). Результат всього цього:

Тепер у знаменнику є сума квадратів, а це означає, що можемо застосувати згаданий табличний інтеграл. Остаточно отримуємо відповідь:

.

приклад 2.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Знову застосовуємо теорему 3 - властивість інтеграла, на підставі якого постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Застосовуємо формулу 7 з таблиці інтегралів (змінна до ступеня) до підінтегральної функції:

.

Скорочуємо дроби і перед нами кінцева відповідь:

приклад 3.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Застосовуючи спочатку теорему 4, а потім теорему 3 про властивості знайдемо даний інтеграл як суму трьох інтегралів:

Усі три отримані інтеграли – табличні. Використовуємо формулу (7) з таблиці інтегралів при n = 1/2, n= 2 і n= 1/5, і тоді

поєднує всі три довільні постійні, які були запроваджені при знаходженні трьох інтегралів. Тому в аналогічних ситуаціяхслід вводити лише одну довільну постійну (константу) інтегрування.

приклад 4.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Коли знаменнику подинтегральной дробу - одночлен, можемо почленно розділити чисельник на знаменник. Вихідний інтеграл перетворився на суму двох інтегралів:

.

Щоб застосувати табличний інтеграл, перетворимо коріння в міру і ось вже остаточна відповідь:

Продовжуємо знаходити невизначені інтеграли разом

Приклад 7.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Якщо ми перетворимо підінтегральну функцію, звівши двочлен у квадрат і розділивши почленно чисельник на знаменник, то вихідний інтеграл стане сумою трьох інтегралів.

Раніше ми по заданої функції, керуючись різними формулами та правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнтщо стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.

Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання- завдання про відновлення закону руху по відомої швидкості. Розглянемо одне з таких завдань.

приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, Швидкість її руху в момент часу t задається формулою v = gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Значить, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що \(s(t) = \frac(gt^) 2) (2) \).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt \)
Відповідь: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C одержуємо: s(0) = 0 + С, тобто C = s 0 . Тепер закон руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) та витяг квадратного кореня(\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) і арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, а зворотну операцію, Т. е. процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.

Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «по-житейськи»: функція у = f(x) «виробляє світ» нову функціюу "= f"(x). Функція у = f(x) виступає хіба що як «батька», але математики, природно, не називають її «батьком» чи «виробником», вони кажуть, що це стосовно функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.

Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)

Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).

Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 3) "= 3х 2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)

При знаходженні первісних, як і похідних, використовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.

Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.

Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).

Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція \(y=\frac(1)(k)F(kx+m) \)

Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.

Методи інтегрування

Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у запровадженні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методівпідбору підстановок немає. Вміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Зробимо підстановку \(x= \varphi(t) \) де \(\varphi(t) \) - функція, що має безперервну похідну.
Тоді \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)

Інтегрування виразів виду \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.

Інтегрування частинами

Інтегрування частинами - застосування наступної формули для інтегрування:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
або:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

А чи можна під знак диференціала підбивати нелінійну функцію? Так, якщо підінтегральний вираз є твір двох множників: один множник - складна функція від якоїсь нелінійної функціїа інший множник є похідною від цієї нелінійної функції. Розглянемо сказане на прикладах.

Знайти не певні інтеграли.

Приклад 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6+C.

Що являє собою цей підінтегральний вираз? твір статечної функціївід (х 2 + х + 2) та множника (2х + 1), який дорівнює похідній від основи ступеня: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Це дозволило нам підвести (2х + 1) під знак диференціала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Перевірка. (F(x)+C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C) = 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

= (x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 = f (x).

приклад 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

І чим цей приклад відрізняється від прикладу 1? Та нічим! Той самий п'ятий ступінь з основою (х 3 – х 2 + 3х + 1) множиться на тричлен (3х 2 – 2х + 3), який є похідною основи ступеня: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 - 2х + 3. Це підставу ступеня ми і підвели під знак диференціала, від чого значення підінтегрального виразу не змінилося, а потім застосували ту ж формулу 1). Інтеграли)

приклад 3.

Тут похідна від (2х3 – 3х) дасть (6х2 – 3), а у нас

є (12х 2 – 6), тобто вираз у 2 рази більше, значить, підіб'ємо (2х 3 – 3х) під знак диференціала, а перед інтегралом поставимо множник 2 . Застосуємо формулу 2) (лист ).

Ось що вийде:

Зробимо перевірку, враховуючи, що:

приклади. Знайти невизначені інтеграли.

1. ∫(6х+5) 3 dx. Як вирішуватимемо? Дивимося в лист і міркуємо приблизно так: підінтегральна функція є ступенем, а у нас є формула для інтеграла ступеня (формула 1) ), але в ній підстава ступеня uта змінна інтегрування теж u.

А у нас змінна інтеграція х, а основа ступеня (6х+5). Зробимо заміну змінної інтегрування: замість dx запишемо d(6х+5). Що змінилося? Оскільки те, що стоїть після знака диференціала d, за замовчуванням, диференціюється,

то d(6x+5)=6dx, тобто. при заміні змінної х на змінну (6х+5) підінтегральна функція зросла у 6 разів, тому перед знаком інтеграла ставимо множник 1/6. Записати ці міркування можна так:

Отже, ми вирішили цей приклад запровадженням нової змінної (змінну х замінили на змінну 6х+5). А куди записали нову змінну (6х+5)? Під знак диференціалу. Тому, даний методвведення нової змінної часто називають методом (або способом ) підведення(новою змінною ) під знак диференціала.

У другому прикладі ми спочатку отримали ступінь з негативним показником, а потім підвели під знак диференціалу (7х-2) і використали формулу інтеграла ступеня 1) (Інтеграли ).

Розберемо рішення прикладу 3.

Перед інтегралом стоїть коефіцієнт 1/5. Чому? Так як d (5x-2) = 5dx, то, підвівши під знак диференціала функцію u = 5x-2, ми збільшили підінтегральний вираз у 5 разів, тому щоб значення даного виразу не змінилося - треба було розділити на 5, тобто . помножити на 1/5. Далі була використана формула 2) (Інтеграли) .

Усі найпростіші формули інтегралів матимуть вигляд:

∫f(x) dx=F(x)+C, причому, повинна виконуватись рівність:

(F(x)+C)"=f(x).

Формули інтегрування можна отримати зверненням відповідних формул диференціювання.

Справді,

Показник ступеня nможе бути і дрібним. Часто доводиться знаходити невизначений інтеграл від функції у=х. Обчислимо інтеграл від функції f(x)=√x, використовуючи формулу 1) .

Запишемо цей приклад у вигляді формули 2) .

Оскільки (х+С)"=1, то ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Замінюючи 1/х ² на х -2, обчислимо інтеграл від 1/х ².

А можна було отримати цю відповідь зверненням відомої формулидиференціювання:

Запишемо наші міркування у вигляді формули 4).

Помноживши обидві частини набутої рівності на 2, отримаємо формулу 5).

Знайдемо інтеграли від основних тригонометричних функцій, знаючи їх похідні: (sinx) = cosx; (cosx) = sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Отримуємо формули інтегрування 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Після вивчення показової та логарифмічні функції, додамо ще кілька формул.

Основні характеристики невизначеного інтеграла.

I.Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

(∫f(x) dx)"=f(x).

ІІ.Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

d∫f(x) dx=f(x) dx.

ІІІ. Невизначений інтегралвід диференціалу (похідної) деякої функції дорівнює суміцієї функції та довільної постійної З.

∫dF(x)=F(x)+Cабо ∫F"(x) dx=F(x)+C.

Зверніть увагу: у I, II та III властивостізнаки диференціала та інтеграла (інтеграла та диференціала) «з'їдають» один одного!

IV.Постійний множник підінтегрального виразу можна винести знак інтеграла.

∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx,де k - постійна величинане дорівнює нулю.

V.Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій.

∫(f(x)±g(x)) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx.

VI.Якщо F(x) є первісною для f(x), а kі b- Постійні величини, причому, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) є первісною для f (kx+b). Справді, за правилом обчислення похідної складної функціїмаємо:

Можна записати:

Для кожного математичної діїІснує зворотна йому дія. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) також існує зворотна дія- Інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію за заданою похідною або диференціалу. Знайдену функцію називають первісної.

Визначення.Диференційована функція F(x)називається первісною для функції f(x)на заданому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку справедлива рівність: F′(x)=f(x).

приклади. Знайти первісні для функцій: 1) f(x) = 2x; 2) f(x) = 3cos3x.

1) Оскільки (х²)′=2х, то, за визначенням, функція F(x)=x² буде першорядною для функції f(x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Якщо позначити f(x)=3cos3x і F(x)=sin3x, то, за визначенням первісної, маємо: F′(x)=f(x), і, отже, F(x)=sin3x є первісною для f( x) = 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x +5 )′= 3cos3xі (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... у загальному виглядіможна записати: (sin3x +С)′= 3cos3x, де З- Деяка постійна величина. Ці приклади говорять про неоднозначність дії інтегрування, на відміну від дії диференціювання, коли в будь-якій функції, що диференціюється, існує єдина похідна.

Визначення.Якщо функція F(x)є первісною для функції f(x)на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F(x)+Cде С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на проміжку, що розглядається, називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (Знак інтеграла). Записують: ∫f(x) dx=F(x)+C.

Вираз ∫f (x) dxчитають: «інтеграл еф від ікс до де ікс».

f(x) dx- Підінтегральний вираз,

f(x)- Підінтегральна функція,

х- Змінна інтегрування.

F(x)- Первісна для функції f(x),

З- Деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Що означає знак d?

d -знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральну функцію від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака, диференціюється за умовчанням і множиться на підінтегральну функцію.

приклади. Знайти інтеграли: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Після піктограми диференціалу dстоїть хх, а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Порівняйте з прикладом 1).

Зробимо перевірку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Після піктограми диференціалу dстоїть р. Отже, змінна інтеграція р, а множник хслід вважати деякою постійною величиною.

∫ 2хрdр=р²х+С. Порівняйте з прикладами 1) і 3).

Зробимо перевірку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Сторінка 1 з 1 1