Відносність стаціонарних електричних та магнітних полів. Відносність електричних та магнітних полів

Основи теорії електро магнітного поляВивчаючи електромагнітну індукцію, ми бачили, що при розгляді цього явища у певній інерційній системі відліку можливі дві різні причинивиникнення індукційного струму: або поява вихрового електричного поля, або дія сили Лоренца на електричні заряди, що рухаються разом з провідником з боку магнітного поля. Однак при аналізі виникнення ЕРС індукціїза рахунок сили Лоренца в досліді з металевою рамкою, що рухається в магнітному полі (рис. 9.1), ми можемо міркувати й інакше. Перейдемо в систему відліку, пов'язану з рамкою, що рухається. У ній заряди нерухомі і, отже, з боку магнітного поля сила ними не діє. Як пояснити виникнення ЕРС індукції в цій системі відліку? Єдине, що залишається припустити,-це наявність у цій системі електричного поля, спрямованого перпендикулярно магнітному вздовж сторони ab рамки, якого не було у вихідній системі відліку. Дійсно, в будь-якій інерційній системі відліку діюча на заряд сила визначається формулою (9.4), і, оскільки в системі відліку, пов'язаної з рамкою, v=0, сила може бути обумовлена ​​тільки електричним полем Е, що існує в цій системі. Приходимо до висновку про відносний характер електричного та магнітного полів, згідно з принципом відносності, з яким докладніше познайомимося нижче (див. стор. 484), всі інерційні риси 10.1 До пояснення виникнення ЕРС індукції різних системахВідліки системи відліку рівноправні. В обговорюваному тут досвіді спостерігається величиною ЕРС індукції в рамці, і вона існує незалежно від того, в якій інерційній системі цей досвід розглядається. Як ми бачили, в одній системі відліку, де електричне поле відсутнє, існування ЕРС пояснюється силою Лоренца (рис. 10.1а), у той час як в іншій, де рамка нерухома, лише наявністю електричного поля (рис. 10.1 б). При малих швидкостях (t>«;c), коли можна знехтувати зміною сили F при переході від однієї системи відліку до іншої, з формули (9.^ слід, що напруженість електричного поля Е в системі, де рамка нерухома, повинна дорівнювати Е "= rx В. (10. Отже, магніт, що рухається, крім магнітного утвору і електричне поле. Звернемо увагу на те, що відносний характер електричного і магнітного полів ми могли помітити і раніше. Справді, нерухомий заряд створює тільки електричне поле. Однак заряд, нерухомий в будь-якій одній системі відліку, oi щодо інших систем відліку рухається.Такий рухається заряд подібний електричному струму і тому створює магнітне поле.Таким чином, якщо в будь-якій системі відліку є тільки електричне поле, то в будь-якій Інший системі буде ще й магнітне.Отримаємо формулу для індукції магнітного поля в цьому випадку, аналогічну формулі (10.1).Розглянемо систему відліку, що рухається зі швидкістю щодо заряду q.У цій системі відліку заряд рухається зі швидкістю - v. Скористаємося законом Біо - Савара Лапласа (8.2) для знаходження індукції магнітного поля В", створюваного рухомим зі швидкістю - i зарядом q. Струм / виражається через концентрацію п елементарних зарядів q0, швидкість їх руху площу перерізу провідника S наступним чином: I-q0nSv. Підставляючи цей вислів до закону Біо - Савара Лапласа (8.2) і враховуючи, що вектори А/ і - паралельні, отримуємо 4п г. Оскільки q0nSAI є повний заряд q, що знаходиться в об'ємі провідника SAI, що розглядається, то створюване цим зарядом при русі магнітне поле естг Але в цій же точці заряд q створює електричне поле Е, рівне (10.3). в тій системі відліку, де він нерухомий, співвідношенням В = - еоІоух Е. Ця формула, отримана для точкового заряду, справедлива і для поля, створюваного будь-яким розподілом зарядів. Таким чином, якщо в деякій системі відліку існує тільки електричне поле Е, то в іншій системі відліку, що рухається зі швидкістю відносно вихідної, існує ще й магнітне поле В", яке обчислюється за формулою (10.4). Формули (10.1) і (10.4) є окремими випадками перетворення полів при переході від однієї інерційної системивідліку до іншої. Вони справедливі за малої відносної швидкості систем відліку (v

Ласкаво просимо на наш освітній та пізнавальний ресурс сайт! Наша мета — дати можливість учням шкіл та вузів отримати найбільш лаконічну та інформативну відповідь на їхню наукове питання. Для цього ми використовуємо різні методивикладення матеріалу: художні, публіцистичні та наукові форми. Сподіваємося, що наші методичні матеріалидопоможуть Вам освоїти те чи інше питання. На сайті Ви можете знайти все: лекції, шпаргалки, конспекти, реферати та семінари. Успіхів!

Відносність електричних та магнітних полів

Максвел переклав мовою рівнянь все відомі фактита положення, що стосуються електричних та магнітних явищ. Ця система рівнянь для електричних та магнітних полів називають сьогодні «рівняннями Максвелла». Опишемо ці рівняння вербально, звівши їх у таблицю.

1. Електричне та магнітне поля перетворюються один на одного при переході з однієї інерційної системи на іншу. Можна сміливо сказати, що розподіл поля на електричне і магнітне досить відносний залежить від системи отсчета.

2. Вибір системи відліку - суб'єктивний акт, від якого залежить саме існування поля.

Електромагнітне поле — ось та об'єктивна реальність, яка існує незалежно від того, ставимо ми досвід і в якій системі відліку або взагалі його не проводимо. Тому електромагнітне поле не можна розглядати як «сукупність» електричних та магнітних полів. Електричне та магнітне поля - прояв єдиного цілого ( електромагнітного поля) за різних умов.

1. Електромагнітне поле. Інваріантність заряду та теореми Гауса для електричного поля.

2. Закони перетворення полів векторів напруженості Еелектрополя та магнітної індукції Ст.Перетворення Лоренца для векторів Еі У. Релятивістська природа магнетизму .

3. Наслідки із законів перетворення електромагнітного поля. Інваріантність електромагнітного поля.

Фізика коливань та хвиль

Тема 16 Гармонійний осцилятор

1. Вільні коливання. Диференціальне рівняннявільних гармонійних коливаньта його рішення. Амплітуда, період, кругова частота, фаза коливань. Швидкість та прискорення при коливаннях.

2. Пружинний маятник, дайте визначення. Напишіть диференціальне рівняння коливань, пружинного маятника. Отримайте формулу для обчислення частоти малих коливань пружинного маятника. Період коливань.

3. Математичний маятник, Дайте визначення. Напишіть диференціальне рівняння коливань та отримайте формулу для обчислення періоду малих коливань маятника. Частота коливань.

4. Фізичний маятник, дайте визначення. Напишіть диференціальне рівняння коливань та отримайте формулу для обчислення періоду малих коливань маятника. Частота коливань. Наведена довжина фізичного маятника.

5. Зміщення, швидкість та прискорення при гармонійних коливаннях.

6. Енергія гармонійних коливань. Середня за період енергія гармонійного осцилятора.

7. Ідеальний коливальний контур. Диференціальне рівняння вільних ЕМК та його рішення для заряду, струму та напруги. Частота вільних коливань. Енергія коливань: електрична та магнітна складові, повна енергія.

Тема 17 Затухаючі та вимушені коливання

1. Напишіть диференціальне рівняння загасаючих механічних коливань та його розв'язання, поясніть усі величини. Напишіть вираз для амплітуди при загасаючих коливаннях, намалюйте графік. Логарифмічний декремент та коефіцієнт загасання. Період загасаючих коливань.

2. Електромагнітні коливання(ЕМК). Реальний коливальний контур. Баланс напруги на контурі. Диференціальні рівняння загасаючих ЕМК. Частота загасаючих коливань. Коефіцієнт згасання. Час релаксації. Рішення для заряду, струму та падіння напруги на конденсаторі, на опорі, на ємності та на котушці індуктивності.

3. Залежність амплітуди ЕМК для заряду, струму та напруги від часу. Логарифмічний декремент згасання. Енергія загасаючих ЕМК. Добротність контуру та його обчислення для реального коливального контуру.

4. Вимушені механічні коливання. Напишіть диференціальне рівняння та його розв'язання. Розрахунок амплітуди та початкової фази. Намалюйте графік амплітуди коливань залежно від частоти сили, що змушує. Резонанс.

5. Вимушені ЕМК. Рівняння вимушених ЕМК для напруги. Диференціальне рівняння вимушених ЕМК та його рішення для заряду, напруги та струму. Знаходження амплітуди заряду, струму та напруги.

6. Явище резонансу при ЭМК. Умова явища резонансу для заряду, для струму та напруги на опорі, на котушці індуктивності та на ємності. Розрахунок резонансних амплітуд для заряду, струму та напруг.

Тема 18 Хвильові процеси

1. Хвилі, дайте визначення. Поздовжні та поперечні хвилі, наведіть приклади. Хвильовий фронт та хвильова поверхня. Отримайте рівняння плоскої монохроматичної хвилі, що біжить. Довжина хвилі, фаза та частота коливань, фазова швидкість, хвильове число.

2. Енергія хвилі. Об'ємна щільністьенергії хвилі. Векторні умови. Інтенсивність хвилі та її розрахунок. Метод Ґюйгенса. Закони заломлення та відображення для пружних хвиль.

3. Інтерференція пружних хвиль. Розрахунок інтерференційної картини при накладанні двох когерентних хвиль

4. Стоячі хвилі. Отримайте вираз для усунення, намалюйте графік. Вкажіть на графіку вузли та пучності, дайте пояснення.

Розділ 13

МАГНІТОСТАТИКА

§1.Магнітне поле

§2.Електричний струм; збереження заряду

§З. Магнітна сила, що діє на струм

§4.Магнітне поле постійних струмів; закон Ампера

§5.Магнітне поле прямого дроту та соленоїда; атомні струми

§6.Відносність магнітних та електричних полів

§7.Перетворення струмів та зарядів

§8. Суперпозиція; правило правої руки

Повторити:гол. 15 (вип. 2) « Спеціальна теоріявідносності»

§ 1. Магнітне поле

Сила, що діє на електричний зарядзалежить не тільки від того, де він знаходиться, але і від того, з якою швидкістю він рухається. Кожна точка у просторі характеризується двома векторними величинамиякі визначають силу, що діє на будь-який заряд. По-перше, є електрична сила, дає частину сили, яка залежить від руху заряду. Ми описуємо її за допомогою електричного поля Е. По-друге, є ще додаткова компонента сили, яка називається магнітною силою,яка залежить від швидкості заряду. Ця магнітна сила має дивовижна властивість: у будь-якій даній точці простору, як напрямок,так і величинасили залежить від напрямку руху частки; у кожний момент сила завжди перпендикулярна до вектора швидкості; крім того, будь-де сила завжди перпендикулярна певному напрямку у просторі(фіг. 13.1), і, нарешті, величина сили пропорційна компонентішвидкості, перпендикулярної до цього виділеного напрямку. Всі ці властивості можна описати, якщо ввести вектор магнітного поля, який визначає виділений напрямок в просторі і одночасно служить константою пропорційності між силою і швидкістю, і записати магнітну силу у вигляді qvXB. Повна електромагнітна сила, що діє на заряд, може бути записана так:

F=q(E+vXB), (13.1)

Вона називається силою Лоренца.

Фіг. 13.1. Залежна від швидкості компонента сили на заряд, що рухається, спрямована перпендикулярно V і вектору В. Вона пропорційна також компоненті V, перпендикулярної В, тобто vsinq.

Магнітну силу можна легко продемонструвати, якщо піднести магніт впритул до катодної трубки. Відхилення електронного променя вказує на те, що магніт збуджує сили, що діють на електрони перпендикулярно до напрямку їх руху (ми вже про це говорили у вип. 1, гл. 12).

Одиницею магнітного поля, очевидно, є 1 ньютон-секунда, поділена на кулон-метр. Та жодиниця може бути написана як вольт-секунда на квадратний метр. Її називають ще вебер на квадратний метр.

§ 2. Електричний струм; збереження заряду

Подумаємо тепер про те, чому магнітні сили діють на дроти, якими тече електричний струм. Для цього визначимо, що розуміється під густиною струму. Електричний струм складається з електронів, що рухаються, або інших зарядів, які утворюють результуючий перебіг, або потік. Ми можемо уявити потік зарядів вектором, визначальним кількість зарядів, що проходить в одиницю часу через одиничний майданчик, перпендикулярну потоку (точнісінько як ми це робили, визначаючи потік тепла). Назвемо цю величину щільністю струмута позначимо її вектором j. Він спрямований вздовж руху зарядів. Якщо взяти маленький майданчик Dа в даному місці матеріалу, то кількість зарядів, що тече через майданчик в одиницю часу, дорівнює

j· n Da, (13.2)

де n- Поодинокий вектор нормалі до Dа.

Щільність струму пов'язана із середньою швидкістю перебігу зарядів. Припустимо, що є розподіл зарядів, що в середньому дрейфують зі швидкістю v. Коли цей розподіл проходить через елемент поверхні Dа, заряд Dq, що проходить через Dаза час Dt,дорівнює заряду, що міститься в паралелепіпеді з основою D ата заввишки vDt(Фіг. 13.2).

Фіг. 13.2. Якщо розподіл зарядів із щільністю r рухається зі швидкістю v, кількість заряду, що проходить в одиницю часу через майданчик Dа, є rv · nDа.

Об'єм паралелепіпеда є твір проекції Так,перпендикулярною до v, на vDt,а помножуючи його на густину зарядів r, отримуємо Dq.Таким чином,

Dq = r v · nDaDt.

Заряд, що проходить в одиницю часу, тоді дорівнює рv·nDа,звідки отримуємо

j = pv. (13.3)

Якщо розподіл зарядів складається з окремих зарядів, скажімо електронів із зарядом q , що рухаються із середньою швидкістю v, то щільність струму дорівнює

j = Nqv,(13.4)

де N -кількість зарядів в одиниці об'єму.

Повна кількість заряду, що проходить в одиницю часу через якусь поверхню S,називається електричним струмом I.Він дорівнює інтегралувід нормальної складової потоку за всіма елементами поверхні (фіг. 13.3):

Фіг. 13.3. Струм I через поверхню S дорівнює

Фіг. 13.4. Інтеграл від j·n no замкнутої поверхні дорівнює швидкості зміни повного заряду Q усередині.

Струм I із замкнутої поверхні Sявляє собою швидкість, з якою заряди залишають об'єм V,оточений поверхнею 5. Один із основних законів фізики каже, що електричний заряд не знищуємо;він ніколи не губиться і не створюється. Електричні заряди можуть переміщатися з місця на місце, але ніколи не виникають із нічого. Ми говоримо, що заряд зберігається.Якщо із замкнутої поверхні виникає результуючий струм, кількість заряду всередині повинна відповідно зменшуватися (фіг. 13.4). Тому ми можемо записати закон збереження заряду у такому вигляді:

Заряд усередині можна записати як об'ємний інтеграл від густини заряду

Застосовуючи (13.6) до малого обсягу DV, можна врахувати, що інтеграл ліворуч є jDV. Заряд усередині дорівнює rDV, тому збереження заряду ще можна записати і так:

(Знову теорема Гауса з математики!).

§ 3. Магнітна сила, що діє на струм

Тепер ми достатньо підготовлені, щоб визначити силу, що діє на дріт, що знаходиться в магнітному полі, по якій йде струм. Струм складається із заряджених частинок, що рухаються по дроту зі швидкістю v. Кожен заряд відчуває поперечну силу F = qvXB (фіг. 13.5 а).

Фіг. 13.5. Магнітна сила на дріт зі струмом дорівнює сумі сил на окремі заряди, що рухаються.

Якщо в одиничному обсязі таких зарядів є N, тоїх число в малому обсязі всередині дроту DV дорівнює N D V.Повна магнітна сила DV, що діє на об'єм DV, є . сума сил на окремі заряди

Ho Nqvадже якраз j, так що

(Фіг. 13.5, б).Сила, що діє на одиницю об'єму, дорівнює JXB.

Якщо по дроту з поперечним перерізом Арівномірно перерізом тече струм, то можна як елемент об'єму взяти циліндр з основою А і довжиною DL. Тоді

DF = jXBDL. (13.10)

Тепер jA можна назвати вектором струму I у дроті. (Його величина є електричний струм у дроті, яке напрям збігається з напрямом дроту.) Тоді

DF=IXBDL. (13.11)

Сила, що діє на одиницю довжини дроту, є IXB.

Це рівняння містить важливий результат- магнітна

сила, що діє на дріт і виникає від руху в ній зарядів, залежить тільки від повного струму, а не від величини заряду, що переноситься кожною часткою (і навіть не залежить від знаку!). Магнітна сила, що діє на дріт поблизу магніту, легко виявляється за відхиленням дроту при включенні струму, як було нами описано в гол. 1 (див. фіг. 1.6, стор 20).

§ 4. Магнітне поле постійного струму; закон Ампера

Ми бачили, що на дріт у магнітному полі, створюваному, скажімо, магнітом, діє сила. З закону про те, що дія дорівнює протидії, можна очікувати, що коли по дроту протікає струм, виникає сила, що діє на джерело магнітного поля, тобто на магніт. Такі сили справді існують; у цьому можна переконатися по відхилення стрілки компаса поблизу дроту зі струмом. Далі, ми знаємо, що магніти зазнають дії сил з боку інших магнітів, а звідси випливає, що коли по дроту тече струм, він створює власне магнітне поле. Отже, заряди, що рухаються створюютьмагнітне поле. Спробуємо зрозуміти закони, яким підпорядковуються такі магнітні поля. Питання ставиться так: даний струм, яке магнітне поле він створить? Відповідь на це питання було отримано експериментально трьома дослідами та підтверджено блискучим теоретичним доказом Ампера. Ми не будемо зупинятися на цій цікавої історії, а просто скажемо, що велике числоекспериментів наочно показало справедливість рівнянь Максвелла. Їх ми і візьмемо як відправну точку. Опускаючи в рівняннях члени з похідними за часом, ми отримуємо рівняння магнітостатики

Ці рівняння справедливі лише за умови, що всі щільності електричних зарядів і всі струми постійні, так що електричні та магнітні поля не змінюються згодом – усі поля статичні.

Можна тут помітити, що вірити в існування статичного магнітного поля досить небезпечно, тому що взагалі для отримання магнітного поля потрібні струми, а струми виникають тільки від зарядів, що рухаються. Отже, «магнітостатика» – лише наближення.

Вона пов'язана з особливим випадком динаміки, коли рухається велике числозарядів, які можна наближено описувати як постійнийпотік зарядів. Тільки в цьому випадку можна говорити про щільність струму j, яка не змінюється з часом. Більш точно цю область слід назвати вивченням постійних струмів. Припускаючи, що всі поля є постійними, ми відкидаємо члени з d E/dtі dB/dtв повних рівнянняхМаксвелла [Рівняння (2.41)] і отримуємо два написані вище рівняння (13.12) і (13.13). Зауважте також, що оскільки дивергенція ротора будь-якого вектора завжди нуль, то рівняння (13.13) вимагає, щоб j=0. В силу рівняння (13.8) це правильно, тільки якщо дr/дt=0. Але таке може бути, якщо Е не змінюється з часом, отже наші припущення внутрішньо узгоджені.

Умова, що СJ = 0, означає, що у нас можуть бути тільки заряди, що йдуть замкнутими шляхами. Вони можуть, наприклад, текти по проводах, що утворюють замкнуті петлі, які називаються ланцюгами.Ланцюги можуть, звичайно, містити генератори або батареї, що підтримують струм зарядів. Але в них не повинно бути конденсаторів, які заряджаються або розряджаються. (Ми, звичайно, розширимо теорію, включивши змінні поля, але спочатку ми хочемо взяти простіший випадок постійних струмів.)

Звернемося тепер до рівнянь (13.12) та (13.13) і подивимося, що вони означають. Перше каже, що дивергенція В дорівнює нулю. Порівнюючи його з аналогічним рівнянням електростатики, яким С·Е=r/e 0 , можна зробити висновок, що магнітного аналога електричного заряду немає. Не буває магнітних зарядів, з яких могли б виходити лінії В. Якщо говорити про «лінії» векторного поляВ, то вони ніде не починаються і ніде не закінчуються. Але звідки ж вони беруться? Магнітні поля «з'являються» в присутностіструмів; ротор,взятий від нього, пропорційний щільності струму. Коли є струми, є лінії магнітного поля, що утворюють петлі навколо струмів. Оскільки лінії не мають ні кінця, ні початку, вони часто повертаються в вихідну точку, утворюючи замкнуті петлі. Але можуть виникнути і більше складні випадки, коли лінії не являють собою простих петель. Однак як би вони не йшли, вони ніколи не виходять із крапок. Жодних магнітних зарядів ніхто ніколи не знаходив, тому С В=0. Це ж твердження справедливе не тільки для магнітостатики, але справедливе завжди -навіть динамічних полів.

Зв'язок між полем і струмами дається рівнянням (13.13). Положення тут зовсім інше, докорінно від електростатики, де в нас було СXЕ = 0. Це рівняння означало, що лінійний інтеграл від Е по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю:

Фіг. 13.6. Контурний інтеграл від тангенціальної складової В дорівнює поверхневому інтегралу від нормальної складової вектора

(СX B).

Ми отримали цей результат за допомогою теореми Стокса, згідно з якою інтеграл будь-яким замкнутим шляхом від будь-якоговекторного поля дорівнює поверхневому інтегралу від нормальної компоненти ротора цього вектора (інтеграл береться за дюбою поверхні, натягнутої на цей контур). Застосовуючи цю теорему до вектора магнітного поля і використовуючи позначення, показані на фіг. 13.6, отримуємо

Знайшовши rot В із рівняння (13.13), маємо

Інтеграл від j по S,згідно (13.5), є повний струм I через поверхню S.Оскільки для постійних струмів струм через Sне залежить від форми S,якщо вона обмежена кривою Г, то зазвичай говорять про «струм через замкнуту петлю Г». Ми маємо, таким чином, загальний закон: циркуляція В по будь-якій замкнутій кривій

дорівнює струму I крізь петлю, поділеному на e 0 з 2:

Цей закон, званий законом Ампера,грає таку ж роль у магнітостатиці, як закон Гауса в електростатиці. Один лише закон Ампера не визначає через струми; ми повинні, взагалі кажучи, використовувати також С В = 0. Але, як ми побачимо в наступному параграфі, він може бути використаний для знаходження поля в тих особливих випадках, які мають деяку просту симетрію.

§ 5. Магнітне поле прямого дроту та соленоїда; атомні струми

Можна показати, як користуватися законом Ампера, визначивши магнітне поле поблизу дроту. Задамо питання: чому одно поле поза довгим прямолінійного дротуциліндричного перерізу? Ми зробимо одне припущення, можливо, не настільки вже очевидне, але правильне: лінії поля В йдуть навколо дроту по колу. Якщо ми зробимо таке припущення, закон Ампера [рівняння (13.16)] говорить нам, яка величина поля. В силу симетрії завдання поле має однакову величину у всіх точках кола, концентричної з проводом (фіг. 13.7). Тоді можна легко взяти лінійний інтеграл від Bds. Він дорівнює просто величині, помноженої на довжину кола. Якщо радіус кола дорівнює r , то

Повний струм через петлю є просто струмом I у проводі, тому

Напруженість магнітного частка спадає обернено пропорційно r, відстані від осі дроту. За бажання рівняння (13.17) можна записати в векторної форми. Згадуючи, що направлено перпендикулярно як I, так і r, маємо

Фіг. 13.7. Магнітне поле поза довгим дротом із струмом I.

Фіг. 13.8. Магнітне поле довгого соленоїда.

Ми виділили множник 1/4pe 0 з 2 тому, що він часто з'являється. Варто запам'ятати, що він дорівнює точності 10 -7 (у системі одиниць СІ), тому що рівняння виду (13.17) використовується для визначенняодиниці струму, ампера. На відстані 1 мструм 1а створює магнітне поле, що дорівнює 2·10 -7 вебер/м 2 .

Якщо струм створює магнітне поле, то він діятиме з деякою силою на сусідній провід, яким також проходить струм. У гол. 1 ми описували простий досвід, що показує сили між двома проводами, якими тече струм. Якщо дроти паралельні, то кожен з них перпендикулярний полю іншого проводу; тоді дроти відштовхуватимуться чи притягуватимуться один до одного. Коли струми течуть в одну сторону, дроти притягуються, коли струми протилежно спрямовані, вони відштовхуються.

Візьмемо інший приклад, який теж можна проаналізувати за допомогою закону Ампера, якщо ще додати деякі відомості про характер поля. Нехай є довгий провід, згорнутий тугу спіраль, перетин якої показано на фіг. 13.8. Така спіраль називається соленоїдом.На досвіді ми спостерігаємо, що коли довжина соленоїда дуже велика в порівнянні з діаметром, поле поза його дуже мало в порівнянні з полем всередині. Використовуючи цей факт і закон Ампера, можна знайти величину поля всередині.

Оскільки поле залишаєтьсявсередині (і має нульову дивергенцію), його лінії повинні йти паралельно до осі, як показано на фіг. 13.8. Якщо це так, ми можемо використовувати закон Ампера для прямокутної «кривої» Р малюнку. Ця крива проходить відстань Lвсередині соленоїда, де поле, скажімо, рівне У 0 , потім йде під прямим кутом до поля і повертається назад по зовнішній ділянці, де полем можна знехтувати.

Фіг. 13.9. Магнітне поле поза соленоїдом.

Лінійний інтеграл від уздовж цієї кривої дорівнює точності B 0 L,і це має дорівнювати 1/e 0 з 2 , помноженому на повний струм усередині Г, тобто на NI(де N - число витків соленоїда на довжині L).Ми маємо

Або ж, вводячи n - кількість витків на одиницю довжинисоленоїда (так що n=N/L),ми отримуємо

Що відбувається з лініями, коли вони доходять до кінця соленоїда? Очевидно, вони якось розходяться і повертаються в соленоїд з іншого кінця (фіг. 13.9). В точності таке ж поле спостерігається поза магнітною паличкою. Ну а що ж такемагніт? Наші рівняння кажуть, що поле виникає від присутності струмів. А ми знаємо, що звичайні залізні бруски (не батареї та не генератори) теж створюють магнітні поля. Ви могли б очікувати, що в правій частині (13.12) або (13.13) мали б бути інші члени, які мають «щільність намагніченого заліза» або якусь подібну величину. Але такого члена нема. Наша теорія каже, що магнітні ефекти заліза виникають від якихось внутрішніх струмів, які вже враховані членом j.

Речовина влаштована дуже складно, якщо розглядати її з глибокої точкизору; у цьому ми вже переконалися, коли намагалися зрозуміти діелектрики. Щоб не переривати нашого викладу, відкладемо докладне обговорення внутрішнього механізму магнітних матеріалівтипу заліза. Поки доведеться прийняти, що будь-який магнетизм виникає за рахунок струмів і що в постійному магнітіє постійні внутрішні струми. У разі заліза ці струми створюються електронами, що обертаються навколо власних осей. Кожен електрон має такий спин, який відповідає крихітному циркулюючому струму. Один електрон, звичайно, не дає великого магнітного поля, але у звичайному шматку речовини містяться мільярди та мільярди електронів. Зазвичай вони обертаються будь-яким чином, тому сумарний ефект зникає. Дивно те, що в небагатьох речовинах, подібних до залози, більша частинаелектронів крутиться навколо осей, спрямованих в один бік, - у заліза два електрони з кожного атома беруть участь у цьому спільному русі. У магніті є велика кількість електронів, що обертаються в одному напрямку, і, як ми побачимо, їх сумарний ефект еквівалентний струму, що циркулює поверхнею магніту. (Це дуже схоже на те, що ми знайшли в діелектриках, - однорідно поляризований діелектрик еквівалентний розподілу зарядів на його поверхні.) Тому не випадково, що магнітна паличка еквівалентна соленоїду.

§ 6. Відносність магнітнихі електричних полів

Коли ми сказали, що магнітна сила на заряд пропорційна його швидкості, ви напевно подумали: «Якій швидкості? Щодо якої системи відліку?» З визначення, даного на початку цього розділу, насправді ясно, що цей вектор буде різним залежно від вибору системи відліку, в якій ми визначаємо швидкість зарядів. Але ми нічого не сказали про те, яка система підходить для визначення магнітного поля.

Виявляється, що годиться будь-якаінерційна система. Ми побачимо також, що магнетизм та електрика - не незалежні речі, вони завжди повинні бути взяті в сукупності як однеповне електромагнітне поле Хоча в статичному випадку рівняння Максвелла поділяються на дві окремі пари: одна пара для електрики та одна для магнетизму, без видимого зв'язку між обома полями, проте в самій природі існує дуже глибокий взаємозв'язок між ними, що виникає з принципу відносності. Історично принцип відносності було відкрито після рівнянь Максвелла. Насправді саме вивчення електрики і магнетизму призвело Ейнштейна до відкриття принципу відносності. Але подивимося, що наше знання принципу відносності підкаже нам про магнітних силах, якщо припустити, що принцип відносності можна застосувати (а насправді так воно і є) до електромагнетизму.

Давайте подумаємо, що станеться з негативним зарядом, що рухається зі швидкістю v 0 паралельно дроту, яким тече струм (фіг. 13.10).

Фіг. 13.10. Взаємодія дроту зі струмом та частинки із зарядом q,

розглядається у двох системах координат.

а - в системі S лежить дріт; б - у системі S" лежить заряд.

Постараємося розібратися в тому, що відбувається, використовуючи дві системи відліку: одну, пов'язану з дротом, як на фіг. 13.10, а,а іншу - з часткою, як на фіг. 13.10, б.Ми називатимемо першу систему відліку S,а другу S".

В системі Sна частку явно діє магнітна сила. Сила спрямована до дроту, тому якщо заряду нічого не заважає, його траєкторія загнеться у бік дроту. Але в системі S"магнітної сили на частинку бути не може, тому що швидкість частки дорівнює нулю. Що ж, отже, вона так і стоятиме на місці? Чи побачимо ми у різних системах різні речі? Принцип відносності стверджує, що у системі S"ми побачили б також, як частка наближається до дроту. Ми повинні спробувати зрозуміти, чому таке могло статися.

Повернемося до нашого атомного опису дроту, яким йде струм. У звичайному провіднику, на кшталт міді, електричні струми виникають за рахунок руху частини негативних електронів (званих електронами провідності), тоді як позитивні ядерні зарядита інші електрони залишаються закріпленими всередині матеріалу. Нехай щільність електронів провідності є r, а їх швидкість у системі Sє v. густина нерухомих зарядівв системі Sє r + , що має дорівнювати r - зі зворотним знаком, тому що ми беремо незаряджений дріт. Тому поза дротом електричного поля немає, і сила на частинку, що рухається, дорівнює просто

Використовуючи результат, знайдений нами в рівнянні (13.18) для магнітного поля на відстані від осі дроту, ми укладаємо, що сила, що діє на частинку, спрямована до дроту і дорівнює за величиною

За допомогою рівнянь (13.4) та (13.5) струм I може бути записаний як r + vA, де А - площа поперечного перерізудроту. Тоді

Ми могли б продовжити розгляд загального випадкудовільних швидкостей vі v 0 , але нітрохи не гірше буде взяти окремий випадок, коли швидкість v 0 частинки збігаються зі швидкістю vелектронів провідності. Тому ми запишемо v=v 0 , і рівняння (13.20) набуде вигляду

Тепер звернемося до того, що відбувається в системі S",де частка спочиває і дріт біжить повз неї (вліво на фіг. 13.10, б) зі швидкістю v.Позитивні заряди, що рухаються разом із дротом, створять біля частки деяке магнітне поле В".Але частка тепер спочиває,так що магнітнасила на неї не діє! Якщо й виникає якась сила, вона повинна з'явитися з допомогою електричного поля. Виходить, що дріт, що рухається, створює електричне поле. Але вона може це зробити тільки якщо вона здається зарядженою;повинно виходити так, щоб нейтральний дріт зі струмом здавався зарядженим, якщо його привести в рух.

Потрібно в цьому дати раду. Спробуємо обчислити щільність зарядів у дроті у системі S", користуючись тим, що ми знаємо про неї в системі S.На погляд можна було б подумати, що щільності однакові, але з гол. 15 (вип. 2) знаємо, що з переході від однієї системи до іншої довжини змінюються, отже, обсяги також зміняться. Оскільки щільностізарядів залежать від обсягу, займаного зарядами, щільності також змінюватимуться.

Перш ніж визначити щільність зарядів у системі S",потрібно знати, що відбувається з електричним зарядомгрупи електронів, коли рухаються заряди. Ми знаємо, що маса частки, що здається, набуває множник 1/Ц(1-v 2 /c 2). Чи відбувається щось подібне до її заряду? Ні! Зарядиніколи не змінюютьсянезалежно від того, рухаються вони чи ні. Інакше ми не могли б спостерігати за досвідом збереження повного заряду.

Візьмемо шматок речовини, наприклад провідника, і нехай спочатку незаряджений. Тепер нагріємо його. Оскільки маса електронів інша, ніж протонів, швидкості електронів і протонів зміняться по-різному. Якби заряд частки залежав від швидкості частинки, яка його переносить, то в нагрітому шматку заряди електронів та протонів не були б компенсовані. Шматок матеріалу при нагріванні ставав би зарядженим.

Фіг. 13.11 . Якщо розподіл заряджених частинок має густину зарядівр 0 , то з точки зору системи, що рухається з відносною швидкістю v, щільність зарядів дорівнюватиме r=r 0 /Ц (1 - v 2 /с 2).

Ми бачили раніше, що дуже мала зміна заряду у кожного з електронів у шматку призвела б до величезних електричних полів. Нічого такого ніколи не спостерігалося.

Крім того, можна помітити, що Середня швидкістьелектронів у речовині залежить від його хімічного складу. Якби заряд електрона змінювався зі швидкістю, сумарний заряд у шматку речовини змінювався б у ході хімічної реакції. Як і раніше, пряме обчисленняпоказує, що навіть дуже мала залежність заряду від швидкості привела б до найпростіших хімічних реакціяхдо величезних полів. Нічого схожого не спостерігалося і ми приходимо до висновку, що електричний заряд окремої частки не залежить від стану руху чи спокою.

Отже, заряд частки qє інваріантна скалярна величина, яка залежить від системи відліку. Це означає, що в будь-якій системі щільність зарядів у деякого розподілу електронів просто пропорційна числу електронів в одиниці об'єму. Нам потрібно лише врахувати той факт, що обсяг можезмінюватися через релятивістське скорочення відстаней.

Застосуємо тепер ці ідеї до нашого дроту, що рухається. Якщо взяти дріт довжиною L 0 , в якій щільність нерухомихзарядів є r 0 то в ній буде міститися повний заряд Q- r 0 L 0 A 0 . Якщо ті ж самі заряди рухаються в іншій системі зі швидкістю v,то вони всі будуть перебувати в шматку матеріалу

меншоюдовжини

але того ж перерізу A 0 оскільки розміри в напрямку, перпендикулярному русі, не змінюються (фіг. 13.11).

Якщо через r позначити густину зарядів у системі, де вони рухаються, то повний заряд Qбуде r LA 0 . Але це має бути також r 0 L 0 А,тому що заряд у будь-якій системі однаковий, отже, rL=r 0 L 0 або за допомогою (13.22)

густиназарядів, що рухається сукупностізарядів змінюється так само, як і релятивістська масачастки. Застосуємо тепер цей результат до густини позитивних зарядів r + у нашому дроті. Ці заряди спочивають у системі S.Однак у системі S", де дріт рухається зі швидкістю v,щільність позитивних зарядів стає рівною

Негативнізаряди у системі S"спочивають, тому їх щільність у цій системі є «щільністю спокою» r 0 . У рівнянні (13.23) r 0 =r - , тому що їх щільність зарядів дорівнює r - якщо дрітспочиває, тобто в системі S, де швидкість негативних зарядів дорівнює v.Тоді для електронів провідності ми отримуємо

Тепер ми можемо зрозуміти, чому у системі S"виникають електричні поля: тому що в цій системі в дроті є результуюча щільність зарядів r", що дається формулою

За допомогою (13.24) та (13.26) маємо

Оскільки дріт нейтральний, що лежить, r - = -r + , отримуємо

Наш дріт, що рухається, заряджений позитивно і повинен створювати поле Е"у точці, де знаходиться зовнішня частинка, що покоїться. Ми вже вирішували електростатичну задачу про однорідно заряджений циліндр. Електричне поле з відривом r від осі циліндра є

Сила, що діє на негативно заряджену частинку, спрямована до дроту. Ми маємо силу, спрямовану однаково обох системах; електрична сила у системі S"спрямована так само, як магнітна сила в системі S.Розмір сили у системі S" дорівнює

Порівнюючи цей результат для F"з нашим результатом для F врівняння (13.21), бачимо, що величини сил із погляду двох спостерігачів майже однакові. Точніше,

тому для малих швидкостей, які ми розглядаємо, обидві сили однакові. Ми можемо сказати, що щонайменше для малих швидкостей магнетизм та електрика суть просто «дві різні сторониоднієї й тієї речі».

Але виявляється, що все ще навіть краще, ніж ми сказали. Якщо взяти до уваги той факт, що силитакож перетворюються при переході від однієї системи до іншої, то виявиться, що обидва способи спостереження за тим, що відбувається, дають насправді однакові фізичнірезультати за будь-якої швидкості.

Щоб це побачити, можна, наприклад, поставити запитання: який поперечний імпульс набуде частка, на яку протягом деякого часу діяла сила? Ми знаємо з вип. 2, гол. 16, що поперечний імпульс частинки повинен бути один і той же як у системі S,так і в системі S". Позначимо поперечну координату уі порівняємо Dр yі Dр y ’ . Використовуючи релятивістські правильне рівнянняруху F-dp/dt,ми очікуємо, що за час Dtнаша частка набуде поперечного імпульсу Dр yв системі S,дається виразом

У системі S" поперечний імпульс дорівнюватиме

Фіг. 13.12. У системі S густина зарядів є нуль, а густина струму дорівнює j. Є лише магнітне поле. У системі S" щільність зарядів дорівнюєр", а щільність струму j". Магнітне поле тут одноВ" і існує електричне полеЕ".

Ми повинні порівнювати Dр y та Dр y ", звичайно, для відповідних інтервалів часу Dt і Dt". У гол. 15 (вип. 2) ми бачили, що інтервали часу, що відносяться до частки, що рухається, здаються довшеінтервалів у системі спокою частки. Оскільки наша частка спочатку була в спокої в системі S",то

ми очікуємо, що для малих D t

і все виходить чудово. Згідно (13.31) та (13.32),

і якщо скомбінувати (13.30) та (13.33), то це відношення дорівнює одиниці.

Ось і виходить, що ми отримуємо один і той же результат, незалежно від того, чи аналізуємо ми рух частинки, що летить поряд з дротом, в системі спокою дроту або в системі спокою частинки. У першому випадку сила була чисто «магнітною», у другому – чисто «електричною». Обидва способи спостереження показано на фіг. 13.12 (хоча в другій системі ще є і магнітне поле В, воно не впливає на нерухому частинку).

Якби ми вибрали ще одну систему координат, ми знайшли б якусь іншу суміш полів E і В. Електричні та магнітні сили становлять частини одногофізичного явища - електромагнітної взаємодії частинок. Поділ цієї взаємодії на електричну та магнітну частини в великого ступенязалежить від системи відліку, у якій ми описуємо взаємодію. Але повний електромагнітний опис інваріантний; електрика та магнетизм, разом узяті, узгоджуються з принципом відносності, відкритим Ейнштейном.

Якщо електричні та магнітні поля з'являються в різних співвідношеннях при зміні системи відліку, ми повинні виявляти обережність у поводженні з полями Е та В. Якщо, наприклад, ми говоримо про «лінії» Е або В, то не потрібно перебільшувати реальність їхнього існування. Лінії можуть зникнути, якщо ми захочемо побачити їх в іншій системі координат. Наприклад, у системі S"є лінії електричного поля, однак ми не бачимоїх «які рухаються повз нас зі швидкістю v системі S 1 ». В системі Sліній електричного поля немає взагалі! Тому безглуздо говорити щось на зразок: «Коли я рухаю магніт, він несе своє поле з собою, тому лінії поля теж рухаються». Немає ніякого способу зробити взагалі осмисленим поняття про «швидкість рухомих ліній поля».

Поля є спосіб опису того, що відбувається в деякій точці простору. Зокрема, Е і В говорять нам про сили, які діятимуть на частинку, що рухається. Питання «чому дорівнює сила, що діє на заряд із боку рухаєтьсямагнітного поля? немає скільки-небудь точного змісту. Сила дається величинами Е та В у точці заряду, і формула (13.1) не зміниться, якщо джерелополів Е або В рухається (зміняться в результаті руху якраз значення Е і В). Наше математичний описвідноситься тільки до полів як функцій х, у, zі t,взятим в деякій інерціальній системі відліку.

Пізніше ми говоритимемо про «хвиліелектричного та магнітного полів, що розповсюджується у просторі», наприклад про світлову хвилю. Але це все одно, що говорити про хвилі,біжить по мотузці. Ми при цьому не маємо на увазі, що якась частина мотузкирухається у напрямку хвилі, а маємо на увазі, що зміщеннямотузки з'являється спочатку в одному місці, а потім в іншому. Аналогічно для електромагнітної хвилі- сама хвиляпоширюється, а величина полів змінюється.

Так що в майбутньому, коли ми - або хто-небудь ще - говоритимемо про «рухне» поле, ви повинні розуміти, що мова йдепросто про коротке і зручному способіописи нуля, що змінюється в певних умовах.

§ 7. Перетворення струмів та зарядів

Ви, мабуть, були стурбовані зробленим нами спрощенням, коли ми взяли одну й ту саму швидкість v для частки та електронів провідності у дроті. Можна було б повернутися назад і знову зробити аналіз із двома різними швидкостями, але легше просто помітити, що щільність заряду та струму є компонентами чотиривектора (див. вип. 2, гл. 17).

Ми вже бачили, що якщо r 0 є щільність зарядів у системі спокою, то системі, де вони мають швидкість v, щільність дорівнює

У цій системі їхня щільність струму є

де m 0 - її маса спокою. Ми знаємо також, що Uі р утворюють релятивістський чотиривектор. Оскільки r і j залежить від швидкості v точності, як Uі р, то можна зробити висновок, що r і j такожкомпоненти релятивістського чотиривектора. Ця властивість є ключ до загальному аналізуполя дроту, що рухається з будь-якою швидкістю, і ми могли б його використовувати, якби захотіли вирішити знову завдання зі швидкістю частинки v 0 , рівної швидкостіелектронів провідності.

Якщо нам потрібно перевести r і j в систему координат, що рухається зі швидкістю ів напрямку х,то ми знаємо, що вони перетворюються точно як tі (х, у, z);тому ми маємо (див. вип. 2, гл. 15)

За допомогою цих рівнянь можна зв'язати заряди та струми в одній системі із зарядами та струмами в іншій. Взявши заряди та струми в якійсь системі, можна вирішити електромагнітне завдання в цій системі, користуючись рівняннями Максвелла. Результат, який ми отримаємо для руху частинок,буде одним і тим самим, незалежно від обраної системи відліку. Пізніше ми повернемось до релятивістських перетворень електромагнітних полів.

§ 8. Суперпозиція; правило правої руки

Ми закінчимо цей розділ ще двома зауваженнями з питань магнітостатики. Перше: наші основні рівняння для магнітного поля

лінійні до і j. Це означає, що принцип суперпозиції (накладення) прикладемо і до магнітного поля. Поле, що створюється двома різними постійними струмамиє сума власних полів від кожного струму, що діє окремо. Наше друге зауваження стосується правил правої руки, з якими ми вже стикалися (правило правої руки для магнітного поля, створюваного струмом). Ми вказували також, що намагнічування залізного магнітупояснюється обертанням електронів у матеріалі. Напрямок магнітного поля електрона, що обертається, пов'язане з віссю його обертання тим же самим правилом правої руки. Оскільки визначається правилом певної руки (за допомогою або векторного твору, або ротора), він називається аксіальнимвектор. (Вектори, напрям яких у просторі не залежить від посилань на ліву чи праву руку, називаються полярнимивекторів. Наприклад, зсув, швидкість, сила та Е - полярні вектори.)

Фізично спостерігаютьсявеличини в електромагнетизмі, однак, не пов'язаніз правою чи лівою рукою. З гол. 52 (вип. 4) ми знаємо, що електромагнітні взаємодіїсиметричні по відношенню до відображення. При обчисленні магнітних сил між двома наборами струмів результат завжди інваріантний по відношенню до зміни рук. Наші рівняння, незалежно від умови правої руки, призводять до кінцевого результату, що паралельні струмипритягуються, а протилежні – відштовхуються. (Спробуйте визначити силу за допомогою «правила лівої руки».) Притягання або відштовхування є полярний вектор. Так виходить тому, що при описі будь-якої повної взаємодії ми користуємося правилом правої руки двічі - один раз, щоб знайти з струмів, а потім, щоб знайти силу, що надається полем на другий струм. Двічі користуватися правилом правої руки - однаково двічі користуватися правилом лівої руки. Якби ми домовилися перейти до системи лівої руки, всі наші поля В змінили б знак, але всі сили або (що, мабуть, наочніше) прискорення об'єктів, що спостерігаються, не змінилися б.