Трансформація принципу невизначеності гейзенберга - магістерська робота. Співвідношення невизначеностей гейзенберга

Неможливо одночасно з точністю визначити координати та швидкість квантової частки.

У повсякденному життінас оточують матеріальні об'єкти, розміри яких можна порівняти з нами: машини, будинки, піщинки тощо. буд. Оскільки всі ми маємо за плечима прожите життя, накопичений за його роки досвід підказує нам, що щоразу все спостерігається нами щораз поводиться певним чином, значить і у всьому Всесвіті, у всіх масштабах матеріальні об'єкти повинні поводитися аналогічним чином. І коли з'ясовується, що щось не підкоряється звичним правилам і суперечить нашим інтуїтивним поняттям про світ, нас це не просто дивує, а шокує.

У першій чверті ХХ століття саме такою була реакція фізиків, коли вони почали досліджувати поведінку матерії на атомному та субатомному рівнях. Поява та бурхливий розвиток квантової механіки відкрило перед нами цілий світ, системний пристрій якого просто не укладається в рамки здорового глузду і повністю суперечить нашим інтуїтивним уявленням. Але треба пам'ятати, що наша інтуїція ґрунтується на досвіді поведінки звичайних предметів порівнянних з нами масштабів, а квантова механіка описує речі, які відбуваються на мікроскопічному та невидимому для нас рівні, — жодна людина ніколи безпосередньо з ними не стикалася. Якщо забути про це, ми неминуче прийдемо у стан повного замішання та здивування. Для себе я сформулював наступний підхід до квантово-механічних ефектів: як тільки « внутрішній голос» починає твердити «такого не може бути!», Треба запитати себе: «А чому б і ні? Звідки мені знати, як все насправді влаштовано всередині атома? Хіба я сам туди заглядав? Налаштувавши себе подібним чином, вам буде простіше сприйняти статті цієї книги, присвячені квантовій механіці.

Принцип Гейзенберга взагалі грає у квантовій механіці ключову роль хоча б тому, що досить наочно пояснює, як і чому мікросвіт відрізняється від знайомого нам матеріального світу. Щоб зрозуміти цей принцип, задумайтеся для початку про те, що означає «виміряти» будь-яку величину. Щоб знайти, наприклад, цю книгу, ви, увійшовши в кімнату, окидаєте її поглядом, поки він не зупиниться на ній. На мові фізики це означає, що ви провели візуальний вимір (знайшли поглядом книгу) і отримали результат – зафіксували її просторові координати (визначили розташування книги в кімнаті). Насправді процес виміру відбувається набагато складніше: джерело світла (Сонце або лампа, наприклад) випускає промені, які, пройшовши якийсь шлях у просторі, взаємодіють з книгою, відбиваються від її поверхні, після чого частина з них доходить до ваших очей, проходячи через кришталик, фокусується, потрапляє на сітківку - і ви бачите образ книги та визначаєте її положення у просторі. Ключ до виміру тут – взаємодія між світлом та книгою. Так і при будь-якому вимірі, уявіть собі інструмент вимірювання (у даному випадку, це світло) вступає у взаємодію Космосу з об'єктом виміру (у разі, це книга).

У класичної фізики, побудованої на ньютонівських принципах і застосовною до об'єктів нашого звичайного світу, ми звикли ігнорувати той факт, що інструмент виміру, вступаючи у взаємодію з об'єктом виміру, впливає на нього і змінює його властивості, включаючи власне вимірювані величини. Включаючи світло в кімнаті, щоб знайти книгу, ви навіть не замислюєтеся про те, що під впливом тиску світлових променів книга може зрушити зі свого місця, і ви дізнаєтеся її спотворені під впливом включеного вами світла просторові координати. Інтуїція підказує нам (і, у разі, цілком правильно), що акт виміру впливає вимірювані властивості об'єкта виміру. А тепер подумайте про процеси, що відбуваються на субатомному рівні. Допустимо, мені потрібно зафіксувати просторове місцезнаходження електрона. Мені, як і раніше, потрібен вимірювальний інструмент, який вступить у взаємодію з електроном і поверне моїм детекторам сигнал з інформацією про його місцезнаходження. І відразу виникає складність: інших інструментів взаємодії з електроном визначення його становища у просторі, крім інших елементарних частинок, у мене немає. І, якщо припущення про те, що світло, вступаючи у взаємодію з книгою, на її просторових координатах не позначається, щодо взаємодії електрона, що вимірюється, з іншим електроном або фотонами такого сказати не можна.

На початку 1920-х років, коли стався бурхливий сплеск творчої думки, Який призвів до створення квантової механіки, цю проблему першим усвідомив молодий німецький фізик-теоретик Вернер Гейзенберг. Почавши зі складних математичних формул, Які описують світ на субатомному рівні, він поступово прийшов до дивовижної за простотою формулою, що дає Загальний описефекту впливу інструментів вимірювання на вимірювані об'єкти мікросвіту, про який ми щойно говорили. В результаті їм було сформульовано принцип невизначеності, названий тепер його ім'ям:

невизначеність значення координати x невизначеність швидкості > h/m,

математичний вираз якого називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга:

Δ xх Δ v > h/m

де Δ x -невизначеність (похибка вимірювання) просторової координати мікрочастинки, Δ v- невизначеність швидкості частки, m -маса частинки, а h - постійна Планка, названа так на честь німецького фізика Макса Планка, ще одного із основоположників квантової механіки. Постійна Планка дорівнює приблизно 6,626 x 10 -34 Дж·с, тобто містить 33 нуля до першої значної цифрипісля коми.

Термін «невизначеність просторової координати» якраз і означає, що ми не знаємо точного розташування частки. Наприклад, якщо ви використовуєте глобальну системуРекогнозування GPS, щоб визначити місце розташування цієї книги, система обчислить їх з точністю до 2-3 метрів. (GPS, Global Positioning System — навігаційна система, в якій задіяні 24 штучних супутникаЗемлі. Якщо у вас, наприклад, на автомобілі встановлено приймач GPS, то приймаючи сигнали від цих супутників і зіставляючи час їх затримки, система визначає ваші географічні координатина Землі з точністю до кутової секунди.) Однак, з точки зору вимірювання, проведеного інструментом GPS, книга може з деякою ймовірністю перебувати будь-де в межах зазначених системою декількох квадратних метрів. У такому разі ми й говоримо про невизначеність просторових координат об'єкта (у даному прикладі, Книги). Ситуацію можна покращити, якщо взяти замість GPS рулетку — у цьому випадку ми зможемо стверджувати, що книга знаходиться, наприклад, за 4 м 11 см від однієї стіни та за 1 м 44 см від іншої. Але й тут ми обмежені в точності виміру мінімальним розподілом шкали рулетки (нехай це буде навіть міліметр) і похибками виміру та самого приладу, — і в самому найкращому випадкунам вдасться визначити просторове становище об'єкта з точністю до мінімального поділу шкали. Чим точніший прилад ми будемо використовувати, тим точніше будуть отримані нами результати, тим нижчою буде похибка виміру і тим меншою буде невизначеність. В принципі, у нашому повсякденному світі звести невизначеність до нуля та визначити точні координати книги можна.

І тут ми підходимо до самого принципової відмінностімікросвіту від нашого повсякденного фізичного світу. У звичайному світі, вимірюючи положення та швидкість тіла у просторі, ми на нього практично не впливаємо. Таким чином, в ідеалі ми можемо одночасновиміряти і швидкість, і координати об'єкта абсолютно точно (іншими словами, з нульовою невизначеністю).

У світі квантових явищ, однак, будь-який вимір впливає на систему. Сам факт проведення нами виміру, наприклад, розташування частки, призводить до зміни її швидкості, причому непередбачуваному (і навпаки). Ось чому у правій частині співвідношення Гейзенберга стоїть не нульова, а позитивна величина. Чим менша невизначеність щодо однієї змінної (наприклад, Δ x), тим більше невизначеною стає інша змінна (Δ v), оскільки добуток двох похибок у лівій частині співвідношення не може бути меншим за константу у правій його частині. Насправді, якщо нам вдасться з нульовою похибкою (абсолютно точно) визначити одну з вимірюваних величин, невизначеність іншої величини дорівнюватиме нескінченності, і про неї ми не знатимемо взагалі нічого. Іншими словами, якби нам удалося абсолютно точно встановити координати квантової частки, про її швидкість ми не мали б ні найменшого уявлення; якби нам вдалося точно зафіксувати швидкість частки, ми б уявлення не мали, де вона знаходиться. На практиці, звичайно, фізикам-експериментаторам завжди доводиться шукати якийсь компроміс між двома цими крайнощами та підбирати методи вимірювання, що дозволяють з розумною похибкою судити і про швидкість, і про просторовому становищічастинок.

Насправді принцип невизначеності пов'язує не тільки просторові координати і швидкість — на цьому прикладі він просто проявляється найнаочніше; в рівною міроюневизначеність пов'язує інші пари взаємно ув'язаних характеристик мікрочастинок. Шляхом аналогічних міркувань ми приходимо до висновку про неможливість безпомилково виміряти енергію квантової системиі визначити момент часу, в який вона має цю енергію. Тобто, якщо ми проводимо вимірювання стану квантової системи щодо визначення її енергії, цей вимір займе деякий відрізок часу — назвемо його Δ t. За цей проміжок часу енергія системи випадково змінюється — відбуваються її флуктуація, - І виявити її ми не можемо. Позначимо похибку вимірювання енергії Δ е.Шляхом міркувань, аналогічних вищенаведеним, ми прийдемо до аналогічного співвідношення для Δ Еі невизначеності часу, яким квантова частка ця енергія мала:

Δ ЕΔ t > h

Щодо принципу невизначеності потрібно зробити ще два важливі зауваження:

він не має на увазі, що якусь одну з двох характеристик частинки - просторове місце розташування або швидкість - не можна виміряти як завгодно точно;

принцип невизначеності діє об'єктивно і залежить від присутності розумного суб'єкта, проводить вимірювання.

Іноді вам можуть зустрітися твердження, що принцип невизначеності передбачає, що у квантових частинок відсутніпевні просторові координати і швидкості, або ці величини абсолютно непізнавані. Не вірте: як ми щойно бачили, принцип невизначеності не заважає нам із будь-якою бажаною точністю виміряти кожну з цих величин. Він стверджує лише, що ми не в змозі достовірно дізнатися про те й інше одночасно. І, як і багато в чому, ми змушені йти на компроміс. Знову ж таки, письменники-антропософи з числа прихильників концепції. Нової ери» іноді стверджують, що, нібито, оскільки виміри мають на увазі присутність розумного спостерігача, то, значить, на певному фундаментальному рівні людська свідомістьпов'язаний із Вселенським розумом, і саме цей зв'язок зумовлює принцип невизначеності. Повторимо з цього приводу ще раз: ключовим у співвідношенні Гейзенберга є взаємодія між часткою-об'єктом виміру та інструментом виміру, що впливає на його результати. А той факт, що при цьому є розумний спостерігач в особі вченого, відношення до справи не має; інструмент вимірювання у будь-якому випадку впливає на його результати, присутній при цьому розумна істотачи ні.

Вернер Карл Гейзенберг
Werner Karl Heisenberg, 1901-76

Німецький фізик-теоретик. Народився у Вюрцбурзі. Його батько був професором візантології Мюнхенського університету. Крім блискучих математичних здібностейз дитинства виявляв схильність до музики та цілком відбувся як піаніст. Ще школярем був членом народної міліції, яка підтримувала порядок у Мюнхені смутний час, що настала після поразки Німеччини у І світовій війні. У 1920 році став студентом кафедри математики Мюнхенського університету, однак, зіткнувшись з відмовою в відвідуванні семінару, що цікавить його, з актуальних у ті роки питань вищої математики, досяг перекладу на кафедру теоретичної фізики. У ті роки весь світ фізиків жив під враженням нового погляду на будову атома, і всі теоретики з-поміж них розуміли, що всередині атома відбувається щось дивне.

Захистивши диплом у 1923 році, Гейзенберг розпочав роботу в Геттінгені над проблемами будови атома. У травні 1925 року у нього стався гострий напад сінної лихоманки, який змусив молодого вченого провести кілька місяців у повній самоті на маленькому, відрізаному від зовнішнього світуострові Гельголанд, і цією вимушеною ізоляцією від зовнішнього світу він скористався так само продуктивно, як Ісаак Ньютон багатомісячним ув'язненням у карантинному чумному бараку в далекому 1665 році. Зокрема, за ці місяці вченим було розроблено теорію матричної механіки- новий математичний апаратзароджується квантової механіки . Матрична механіка, як показав час, у математичному розумінні еквівалентна тому, що з'явилася через рік. квантово-хвильової механіки, закладеної в рівнянні Шредінгер, з точки зору опису процесів квантового світу. Однак на практиці використовувати апарат матричної механіки виявилося важче, і сьогодні фізики-теоретики переважно користуються уявленнями хвильової механіки.

У 1926 році Гейзенберг став помічником Нільса Бора в Копенгагені. Саме там у 1927 році він і сформулював свій принцип невизначеності — і можна з основою стверджувати, що це стало його найбільшим внеском у розвиток науки. Того ж року Гейзенберг став професором Лейпцизького університету – наймолодшим професором в історії Німеччини. Починаючи з цього моменту, він впритул зайнявся створенням єдиної теоріїполя, за великим рахунком, безуспішно. За провідну роль у розробці квантово-механічної теорії у 1932 році Гейзенберг був удостоєний Нобелівської преміїз фізики створення квантової механіки.

Згідно з двоїстою корпускулярно-хвильовою природою частинок речовини, для опису мікрочастинок використовуються то хвильові, то корпускулярні уявлення. Тому приписувати їм всі властивості частинок і властивості хвиль не можна. Природно, що необхідно внести деякі обмеження щодо об'єктів мікросвіту понять класичної механіки.

У класичній механіці стан матеріальної точки (класичної частки) визначається завданням значень координат, імпульсу, енергії тощо. (перелічені величини називаються динамічними змінними). Строго кажучи, мікрооб'єкт не можуть бути приписані зазначені динамічні змінні. Однак, інформацію про мікрочастинки ми отримуємо, спостерігаючи їхню взаємодію з приладами, що являють собою макроскопічні тіла. Тому результати вимірів мимоволі виражаються термінах, розроблених для характеристики макротіл, тобто. через значення динамічних характеристик. Відповідно до цього виміряні значення динамічних змінних приписуються мікрочастинкам. Наприклад, говорять про стан електрона, в якому він має таке значення енергії, і т.д.

Хвильові властивості частинок та можливість задати для частки лише ймовірність її перебування в данійточці простору призводять до того, що самі поняття координати частки та її швидкості (або імпульсу) можуть застосовуватися у квантовій механіці в обмеженій мірі. У цьому взагалі немає нічого дивного. У класичній фізиці поняття координати часом теж непридатне визначення становища об'єкта у просторі. Наприклад, немає сенсу говорити, що електромагнітна хвилязнаходиться в даній точці простору або що положення фронту хвильової поверхні на воді характеризується координатами x, y, z.

Корпускулярно-хвильова двоїстість властивостей частинок, що вивчаються в квантовій механіці, призводить до того, що у ряді випадків виявляється неможливим , в класичному сенсі, одночасно характеризувати частину її становищем у просторі (координатами) та швидкістю (або імпульсом). Так, наприклад, електрон (і будь-яка інша мікрочастка) не може мати одночасно точних значень координати xта компоненти імпульсу. Невизначеності значень xі задовольняють співвідношення:

З (4.2.1) випливає, що менше невизначеність однієї величини ( xабо ), тим більша невизначеність іншої. Можливо, такий стан, в якому одна з змінних має точне значення (), інша змінна при цьому виявляється абсолютно невизначеною ( – її невизначеність дорівнює нескінченності), і навпаки. Таким чином, для мікрочастинки немає станів,у яких її координати та імпульс мали б одночасно точні значення. Звідси випливає і фактична неможливість одночасного виміру координати та імпульсу мікрооб'єкта з будь-якою заданою точністю.

Співвідношення, аналогічне (4.2.1), має місце для yі для zта , а також для інших пар величин (у класичній механіці такі пари називаються канонічно пов'язаними ). Позначивши канонічно пов'язані величини літерами Aі B, можна записати:

Співвідношення (4.2.2) називається співвідношенням невизначеностей для величин Aі B. Це співвідношення ввів у 1927 Вернер Гейзенберг.

Твердження про те, що добуток невизначеностей значень двох сполучених змінних не може бути по порядку меншим за постійну Планкаh,називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга .

Енергія та часє канонічно сполученими величинами. Тому для них також справедливе співвідношення невизначеностей:

Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю має зайняти інтервал часу, рівний щонайменше

Співвідношення невизначеностей отримано при одночасному використанні класичних характеристик руху частки (координати, імпульсу) та наявності у неї хвильових властивостей. Т.к. в класичній механіці приймається, що вимір координати та імпульсу може бути зроблено з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностейє, таким чином, квантовим обмеженням застосування класичної механіки до мікрооб'єктів.

Співвідношення невизначеностей показує, якою мірою можна скористатися поняттями класичної механіки стосовно мікрочастинок, зокрема з яким ступенем точності можна говорити про траєкторії мікрочастинок. Рух траєкторією характеризується цілком певними значеннями координат і швидкості у кожний момент часу. Підставивши (4.2.1) замість твір , отримаємо співвідношення:

З цього співвідношення випливає, що чим більше масачастинки, тим менше невизначеності її координати та швидкості,Тому з більшою точністю можна застосовувати до цієї частки поняття траєкторії.Так, наприклад, вже для порошинки масою кг і лінійними розмірами м, координата якої визначена з точністю до 0,01 її розмірів (м), невизначеність швидкості (4.2.4),

тобто. не позначатиметься при всіх швидкостях, з якими порошинка може рухатися.

Таким чином, для макроскопічних тіл їх хвильові властивості не відіграють жодної ролі; координати та швидкості можуть бути виміряні досить точно. Це означає, що для опису руху макротіл з абсолютною достовірністю можна скористатися законами класичної механіки.

Припустимо, що пучок електронів рухається вздовж осі xзі швидкістю м/с, яка визначається з точністю до 0,01% (м/с). Якою є точність визначення координати електрона?

За формулою (4.2.4) отримаємо:

.

Таким чином, положення електрона може бути визначено з точністю до тисячних часток міліметра. Така точність достатня, щоб можна було говорити про рух електронів певною траєкторією іншими словами, описувати їх рухи законами класичної механіки.

Застосуємо співвідношення невизначеностей до електрона, що рухається в атомі водню. Припустимо, що невизначеність координати електроном (порядку розмірів самого атома), тоді, згідно (4.2.4),

.

Використовуючи закони класичної фізики, можна показати, що при русі електрона навколо ядра по круговій орбіті радіуса приблизно м швидкість м/с. Таким чином, невизначеність швидкості в кілька разів більша за саму швидкість.Очевидно, що в даному випадку не можна говорити про рух електронів в атомі певною траєкторією. Іншими словами, для опису руху електронів в атомі не можна скористатися законами класичної фізики.

Неможливо одночасно з точністю визначити координати та швидкість квантової частки.

У повсякденному житті нас оточують матеріальні об'єкти, розміри яких можна порівняти з нами: машини, будинки, піщинки тощо. буд. Оскільки всі ми маємо за плечима прожите життя, накопичений за його роки досвід підказує нам, що щоразу все спостерігається нами щораз поводиться певним чином, значить і у всьому Всесвіті, у всіх масштабах матеріальні об'єкти повинні поводитися аналогічним чином. І коли з'ясовується, що щось не підкоряється звичним правилам і суперечить нашим інтуїтивним поняттям про світ, нас це не просто дивує, а шокує.

У першій чверті ХХ століття саме такою була реакція фізиків, коли вони почали досліджувати поведінку матерії на атомному та субатомному рівнях. Поява та бурхливий розвиток квантової механіки відкрило перед нами цілий світ, системний устрій якого просто не вкладається в рамки здорового глузду і повністю суперечить нашим інтуїтивним уявленням. Але треба пам'ятати, що наша інтуїція заснована на досвіді поведінки звичайних предметів порівнянних з нами масштабів, а квантова механіка описує речі, які відбуваються на мікроскопічному і невидимому для нас рівні, - жодна людина ніколи безпосередньо з ними не стикалася. Якщо забути про це, ми неминуче прийдемо у стан повного замішання та здивування. Для себе я сформулював наступний підхід до квантово-механічних ефектів: як тільки «внутрішній голос» починає твердити «такого не може бути!», Спитати себе: «А чому б і ні? Звідки мені знати, як все насправді влаштовано всередині атома? Хіба я сам туди заглядав? Налаштувавши себе подібним чином, вам буде простіше сприйняти статті цієї книги, присвячені квантовій механіці.

Принцип Гейзенберга взагалі грає у квантовій механіці ключову роль хоча б тому, що досить наочно пояснює, як і чому мікросвіт відрізняється від знайомого нам матеріального світу. Щоб зрозуміти цей принцип, задумайтеся для початку про те, що означає «виміряти» будь-яку величину. Щоб знайти, наприклад, цю книгу, ви, увійшовши в кімнату, окидаєте її поглядом, поки він не зупиниться на ній. На мові фізики це означає, що ви провели візуальний вимір (знайшли поглядом книгу) і отримали результат – зафіксували її просторові координати (визначили розташування книги в кімнаті). Насправді процес виміру відбувається набагато складніше: джерело світла (Сонце або лампа, наприклад) випускає промені, які, пройшовши якийсь шлях у просторі, взаємодіють з книгою, відбиваються від її поверхні, після чого частина з них доходить до ваших очей, проходячи через кришталик, фокусується, потрапляє на сітківку - і ви бачите образ книги та визначаєте її положення у просторі. Ключ до виміру тут – взаємодія між світлом та книгою. Так і при будь-якому вимірі, уявіть собі, інструмент виміру (в даному випадку, це світло) вступає у взаємодію з об'єктом виміру (в даному випадку, це книга).

У класичній фізиці, побудованій на ньютонівських принципах і застосовною до об'єктів нашого звичайного світу, ми звикли ігнорувати той факт, що інструмент вимірювання, вступаючи у взаємодію з об'єктом вимірювання, впливає на нього і змінює його властивості, включаючи, власне, величини, що вимірюються. Включаючи світло в кімнаті, щоб знайти книгу, ви навіть не замислюєтеся про те, що під впливом тиску світлових променів книга може зрушити зі свого місця, і ви дізнаєтеся її спотворені під впливом включеного вами світла просторові координати. Інтуїція підказує нам (і, у разі, цілком правильно), що акт виміру впливає вимірювані властивості об'єкта виміру. А тепер подумайте про процеси, що відбуваються на субатомному рівні. Допустимо, мені потрібно зафіксувати просторове місцезнаходження електрона. Мені, як і раніше, потрібен вимірювальний інструмент, який вступить у взаємодію з електроном і поверне моїм детекторам сигнал з інформацією про його місцезнаходження. І тут виникає складність: інших інструментів взаємодії з електроном для визначення його положення в просторі, крім інших елементарних частинок, у мене немає. І, якщо припущення про те, що світло, вступаючи у взаємодію з книгою, на її просторових координатах не позначається, щодо взаємодії електрона, що вимірюється, з іншим електроном або фотонами такого сказати не можна.

На початку 1920-х років, коли стався бурхливий сплеск творчої думки, що призвів до створення квантової механіки, цю проблему першим усвідомив молодий фізик-теоретик Вернер Гейзенберг. Почавши зі складних математичних формул, що описують світ на субатомному рівні, він поступово прийшов до дивовижної за простотою формули, що дає загальний опис ефекту впливу інструментів вимірювання на об'єкти мікросвіту, про які ми тільки що говорили. В результаті їм було сформульовано принцип невизначеності, названий тепер його ім'ям:

невизначеність значення координати

Де - невизначеність (похибка виміру) просторової координати мікрочастинки, - невизначеність швидкості частинки, - маса частинки, а - постійна Планка, названа так на честь німецького фізика Макса Планка, ще одного з основоположників квантової механіки. Постійна Планка дорівнює приблизно 6,626 x 10 -34 Дж·с, тобто містить 33 нуля до першої значущої цифри після коми.

Термін «невизначеність просторової координати» якраз і означає, що ми не знаємо точного розташування частки. Наприклад, якщо ви використовуєте глобальну систему розвідки GPS, щоб визначити місце розташування цієї книги, система обчислить їх з точністю до 2-3 метрів. (GPS, Global Positioning System - навігаційна система, в якій задіяні 24 штучні супутники Землі. Якщо у вас, наприклад, на автомобілі встановлено приймач GPS, то, приймаючи сигнали від цих супутників і зіставляючи час їх затримки, система визначає ваші географічні координати на Землі з точністю до кутової секунди.) Однак, з точки зору вимірювання, проведеного інструментом GPS, книга може з деякою ймовірністю перебувати будь-де в межах зазначених системою декількох квадратних метрів. У разі ми й говоримо про невизначеності просторових координат об'єкта (у цьому прикладі, книги). Ситуацію можна покращити, якщо взяти замість GPS рулетку - у цьому випадку ми зможемо стверджувати, що книга знаходиться, наприклад, за 4 м 11 см від однієї стіни та за 1м 44 см від іншої. Але й тут ми обмежені в точності виміру мінімальним розподілом шкали рулетки (нехай це буде навіть міліметр) і похибками виміру і самого приладу, - і в найкращому разі нам вдасться визначити просторове положення об'єкта з точністю до мінімального розподілу шкали. Чим точніший прилад ми будемо використовувати, тим точніше будуть отримані нами результати, тим нижчою буде похибка виміру і тим меншою буде невизначеність. В принципі, у нашому повсякденному світі звести невизначеність до нуля та визначити точні координати книги можна.

І тут ми підходимо до найважливішої відмінності мікросвіту від нашого повсякденного фізичного світу. У звичайному світі, вимірюючи положення та швидкість тіла у просторі, ми на нього практично не впливаємо. Таким чином, в ідеалі ми можемо одночасно виміряти і швидкість і координати об'єкта абсолютно точно (іншими словами, з нульовою невизначеністю).

У світі квантових явищ, однак, будь-який вимір впливає на систему. Сам факт проведення нами виміру, наприклад, розташування частки, призводить до зміни її швидкості, причому непередбачуваному (і навпаки). Ось чому у правій частині співвідношення Гейзенберга стоїть не нульова, а позитивна величина. Чим менша невизначеність щодо однієї змінної (наприклад, ), тим більше невизначеною стає інша змінна (), оскільки добуток двох похибок у лівій частині співвідношення не може бути меншим за константу у правій його частині. Насправді, якщо нам вдасться з нульовою похибкою (абсолютно точно) визначити одну з вимірюваних величин, невизначеність іншої величини дорівнюватиме нескінченності, і про неї ми не знатимемо взагалі нічого. Іншими словами, якби нам вдалося абсолютно точно встановити координати квантової частки, про її швидкість ми не мали б найменшого уявлення; якби нам вдалося точно зафіксувати швидкість частки, ми б уявлення не мали, де вона знаходиться. На практиці, звичайно, фізикам-експериментаторам завжди доводиться шукати якийсь компроміс між двома цими крайнощами та підбирати методи вимірювання, що дозволяють з розумною похибкою судити і про швидкість, і просторове положення частинок.

Насправді принцип невизначеності пов'язує не тільки просторові координати і швидкість - на цьому прикладі він просто проявляється найнаочніше; однаково невизначеність пов'язує та інші пари взаємно ув'язаних характеристик мікрочастинок. Шляхом аналогічних міркувань ми приходимо до висновку про неможливість безпомилково виміряти енергію квантової системи та визначити момент часу, в який вона має цю енергію. Тобто, якщо ми проводимо вимірювання стану квантової системи щодо визначення її енергії, цей вимір займе деякий відрізок часу - назвемо його . За цей проміжок часу енергія системи випадково змінюється - відбуваються її флуктуація, - і виявити її ми не можемо. Позначимо похибку вимірювання енергії. Шляхом міркувань, аналогічних вищенаведеним, ми прийдемо до аналогічного співвідношення для і невизначеності часу, яким квантова частка ця енергія мала:

Щодо принципу невизначеності потрібно зробити ще два важливі зауваження:

1. він не передбачає, що якусь одну з двох характеристик частинки - просторове місце розташування або швидкість - не можна виміряти як завгодно точно;
2. принцип невизначеності діє об'єктивно і залежить від присутності розумного суб'єкта, проводить вимірювання.

Енциклопедія Джеймса Трефіла «Природа науки. 200 законів світобудови».

Джеймс Трефіл - професор фізики університету Джорджа Мейсона (США), один із найвідоміших західних авторів науково-популярних книг.

Якщо Ви раптом зрозуміли, що призабули основи та постулати квантової механіки або взагалі не знаєте, що це за механіка така, то саме час освіжити в пам'яті цю інформацію. Адже ніхто не знає, коли квантова механіка може стати в нагоді в житті.

Даремно ви посміхаєтеся і ехидствуете, думаючи, що вже з цим предметом вам у житті взагалі ніколи не доведеться стикатися. Адже квантова механіка може бути корисною практично кожній людині, навіть нескінченно далекій від неї. Наприклад, у Вас безсоння. Для квантової механіки це проблема! Почитайте перед сном підручник – і Ви спите міцним сномсторінці вже так на третій. Або можете назвати так свій крутий рок гурт. Чому б і ні?

Жарти убік, починаємо серйозну квантову розмову.

З чого почати? Звісно, ​​з того, що таке квант.

Квант

Квант (від латинського quantum – ”скільки”) – це неподільна порція якоїсь фізичної величини. Наприклад, кажуть – квант світла, квант енергії чи квант поля.

Що це означає? Це означає, що менше бути просто не може. Коли говорять, що якась величина квантується, розуміють, що дана величинаприймає низку певних, дискретних значень. Так, енергія електрона в атомі квантується, світло поширюється "порціями", тобто квантами.

Сам термін «квант» має багато застосувань. Квантом світла ( електромагнітного поля) є фотон. За аналогією квантами називаються частинки або квазічастинки, що відповідають іншим полям взаємодії. Тут можна згадати знаменитий бозон Хіггса, який є квантом поля Хіггса. Але в ці нетрі ми поки що не ліземо.

Як механіка може бути квантовою?

Як Ви вже помітили, у нашій розмові ми багато разів згадували про частинки. Можливо, Ви і звикли до того, що світло – це хвиля, яка просто поширюється зі швидкістю. з . Але якщо подивитися на все з погляду квантового світу, тобто світу частинок, все змінюється до невпізнання.

Квантова механіка – це розділ теоретичної фізики, що становить квантової теорії, що описує фізичні явищана самому елементарному рівні- Рівень частинок.

Дія таких явищ за величиною порівнянна з постійною Планкою, а класична механікаНьютона та електродинаміка виявилися зовсім непридатними для їх опису. Наприклад, згідно з класичною теорією електрон, обертаючись з великою швидкістюнавколо ядра повинен випромінювати енергію і врешті-решт впасти на ядро. Цього, як відомо, не відбувається. Саме тому і вигадали квантову механіку – відкриті явищатреба було якось пояснити, і вона виявилася саме тією теорією, у межах якої пояснення було найбільш прийнятним, проте експериментальні дані " сходилися " .

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Трішки історії

Зародження квантової теорії сталося 1900 року, коли Макс Планк виступив на засіданні німецького фізичного товариства. Що тоді повідомив Планк? А те, що випромінювання атомів дискретне, а найменша порціяенергії цього випромінювання дорівнює

Де h – постійна Планка, ню – частота.

Потім Альберт Ейнштейн, ввівши поняття "квант світла", використовував гіпотезу Планка для пояснення фотоефекту. Нільс Бор постулював існування у атома стаціонарних енергетичних рівнів, а Луї де Бройль розвинув ідею про корпускулярно-хвильовий дуалізм, тобто про те, що частка (корпускула) має також і хвильовими властивостями. До справи приєдналися Шредінгер і Гейзенберг, і ось, 1925 року публікується перше формулювання квантової механіки. Власне, квантова механіка далеко не закінчена теорія, вона активно розвивається і в даний час. Також слід визнати, що квантова механіка з її припущеннями не має можливості пояснити всі питання, що стоять перед нею. Цілком можливо, що на зміну їй прийде досконаліша теорія.

При переході від світу квантового до світу звичних нам речей закони квантової механіки природним чиномтрансформуються у закони механіки класичної. Можна сказати, що класична механіка – це окремий випадокквантової механіки, коли дія має місце бути у нашому з Вами звичному та рідному макросвіті. Тут тіла спокійно рухаються в неінерційних системах відліку зі швидкістю, набагато меншою за швидкість світла, і взагалі - все навколо спокійно і зрозуміло. Хочеш дізнатися про положення тіла в системі координат – немає проблем, хочеш виміряти імпульс – завжди будь ласка.

Цілком інший підхід до питання має квантова механіка. У ній результати вимірювань фізичних величин мають імовірнісний характер. Це означає, що з зміні якоїсь величини можливо кілька результатів, кожному у тому числі відповідає певна ймовірність. Наведемо приклад: монета крутиться на столі. Поки вона крутиться, вона не перебуває в певному стані (орел-решка), а має лише ймовірність в одному з цих станів опинитися.

Тут ми плавно підходимо до рівняння Шредінгераі принципом невизначеності Гейзенберга.

Згідно з легендою Ервін Шредінгер, у 1926 році виступаючи на одному науковому семінаріз доповіддю на тему корпускулярно-хвильового дуалізму, було піддано критиці з боку якогось старшого вченого. Відмовившись слухати старших, Шредінгер після цього випадку активно зайнявся розробкою хвильового рівняння для опису частинок у рамках квантової механіки. І впорався блискуче! Рівняння Шредінгера (основне рівняння квантової механіки) має вигляд:

Цей вид рівняння – одномірне стаціонарне рівняння Шредінгера – найпростіший.

Тут x – відстань або координата частинки, m – маса частинки, E та U – відповідно її повна та потенційна енергії. Вирішення цього рівняння – хвильова функція (псі)

Хвильова функція – ще одне фундаментальне поняття у квантовій механіці. Так, у будь-якої квантової системи, яка знаходиться в якомусь стані, є хвильова функція, що описує цей стан.

Наприклад, при вирішенні одновимірного стаціонарного рівнянняШредінгера хвильова функція визначає положення частки у просторі. Точніше, ймовірність знаходження частки у певній точці простору.Іншими словами, Шредінгер показав, що ймовірність може бути описана хвильовим рівнянням! Погодьтеся, до цього треба було здогадатися!

Але чому? Чому ми повинні мати справу з цими незрозумілими ймовірностями та хвильовими функціями, Коли, здавалося б, немає нічого простіше, ніж просто взяти і виміряти відстань до частки або її швидкість.

Все дуже просто! Адже в макросвіті це справді так – ми з певною точністю вимірюємо відстань рулеткою, а похибка виміру визначається характеристикою приладу. З іншого боку, ми можемо практично безпомилково визначити відстань до предмета, наприклад, до столу. Принаймні ми точно диференціюємо його положення в кімнаті щодо нас та інших предметів. У світі частинок ситуація принципово інша – у нас просто фізично немає інструментів вимірювання, щоб з точністю виміряти шукані величини. Адже інструмент вимірювання входить у безпосередній контакт з об'єктом, що вимірювається, а в нашому випадку і об'єкт, і інструмент – це частинки. Саме це недосконалість, принципова неможливість врахувати всі фактори, що діють на частинку, а також сам факт зміни стану системи під дією виміру та лежать в основі принципу невизначеності Гейзенберга.

Наведемо найпростіше його формулювання. Уявімо, що є деяка частка, і ми хочемо дізнатися про її швидкість і координату.

У даному контексті принцип невизначеності Гейзенберга говорить: неможливо одночасно точно виміряти положення та швидкість частки . Математично це записується так:

Тут дельта x – похибка визначення координати, дельта v – похибка визначення швидкості. Підкреслимо – даний принципговорить про те, що чим точніше ми визначимо координату, тим менш точно знатимемо швидкість. А якщо визначимо швидкість, не матимемо жодного уявлення про те, де знаходиться частка.

На тему принципу невизначеності існує безліч жартів та анекдотів. Ось один із них:

Поліцейський зупиняє квантового фізика.
- Сер, Ви знаєте, з якою швидкістю рухалися?
- Ні, зате я точно знаю, де я перебуваю

І, звісно, ​​нагадуємо Вам! Якщо раптом з якоїсь причини рішення рівняння Шредінгера для частинки в потенційній ямі не дає Вам заснути, звертайтеся до професіоналів, які були вирощені з квантовою механікоюна вустах!

Принцип невизначеності Гейзенберга(або Гайзенберга) - у квантовій механіці так називають принцип, що дає нижню (ненульову) межу для твору дисперсій величин, що характеризують стан системи.

Зазвичай принцип невизначеності ілюструється так. Розглянемо ансамбль невзаємодіючих еквівалентних частинок, приготовлених у певному стані, кожної з яких вимірюється чи координата q, або імпульс p. У цьому результати вимірів будуть випадковими величинами, дисперсії яких задовольняти співвідношенню неопределенностей . Зазначимо, що, хоча нас цікавлять одночасні значення координати та імпульсу в даному квантовому стані, вимірювати їх в одній і тій же частинці не можна, оскільки будь-який вимір змінить її стан.

У загальному сенсі, співвідношення невизначеності виникає між будь-якими змінними станами, що визначаються некоммутуючими операторами. Це - один із наріжних каменів квантової механіки, який був відкритий Вернером Гейзенбергом у м. Павлоград.

Короткий огляд

Принцип невизначеності в квантовій механіці іноді пояснюється таким чином, що вимірювання координат обов'язково впливає на імпульс частинки. Очевидно, сам Гейзенберг запропонував це пояснення, по крайнього заходу спочатку. Те, що вплив вимірювання на імпульс несуттєво, може бути показано наступним чином: розглянемо ансамбль (невзаємодіючих) частинок, приготованих в тому самому стані; для кожної частки в ансамблі ми вимірюємо імпульс, або координату, але не обидві величини. В результаті виміру ми отримаємо, що значення розподілені з деякою ймовірністю, і для дисперсій d p і d q правильне відношення невизначеності.

Відносини невизначеності Гейзенберга – це теоретична межа точності будь-яких вимірів. Вони справедливі для про ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана . Вони тим паче справедливі для неідеальних вимірів чи вимірів Ландау.

Відповідно, будь-яка частка (загалом сенсі, наприклад несе дискретний електричний заряд) може бути описана одночасно як «класична точкова частка» як і хвиля . (Сам факт того, що будь-який з цих описів може бути справедливим, принаймні в окремих випадках, називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом). Принцип невизначеності, у вигляді, запропонованому спочатку Гейзенбергом, вірний у випадку, коли жоднез цих двох описів не є повністю і виключно підходящим, наприклад частка в коробці з певним значенняменергії; тобто для систем, які не характеризуються нібудь-яким певним «положенням» (якесь певне значення відстані від потенційної стінки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок).

Існує точна, кількісна аналогія між відносинами невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад, звукову хвилю . Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначеннячастоти необхідно спостерігати за сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може мати і точного значеннячасу, як, наприклад, короткий імпульс, і точного значення частоти, як, наприклад, у безперервному чистому тоні. Тимчасове положення та частота хвилі у часі схожі на координату та імпульс частинки у просторі.

Визначення

Якщо підготовлено кілька ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підпорядковуватимуться певному розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину стандартного відхилення Δ xкоординати та стандартного відхилення Δ pімпульсу, ми знайдемо що:

де - постійна Дірака. У деяких випадках «невизначеність» змінної визначається як найменша ширина діапазону, що містить 50 % значень, що, у разі нормального розподілу змінних, призводить до твору невизначеностей до більшої нижньої межі . Зауважте, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що xможе бути виміряний з високою точністю, але тоді pбуде відомий тільки приблизно, або навпаки pможе бути визначений точно, тоді як x- Ні. У всіх інших станах, і xі pможуть бути виміряні з «розумною» (але не довільно високою) точністю.

У повсякденному життіми зазвичай не спостерігаємо невизначеність, тому що значення надзвичайно мало.

Інші характеристики

Було розвинене безліч додаткових характеристик, включаючи такі:

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера – Рао у класичній теорії вимірів. Якщо вимірюється положення частки. Середньо-квадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера. також повна фізична інформація.

Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься лише до координати та імпульсу. У своїй загальній формі, він застосовується до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від випадку координати та імпульсу, обговореного вище, Нижня границятвори невизначеностей двох сполучених змінних залежить стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою теорії операторів, яку ми тут наведемо

Отже, вірна наступна загальна форма принципу невизначеності, вперше виведена в м. Говардом Персі Робертсоном та (незалежно) Ервіном Шредінгером:

Цю нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Оператор AB − BA називають комутатором Aі Bі позначають як [ A,B]. Він визначений для тих x, для яких визначено обидва ABxі BAx .

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно випливає співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, Aі B- дві фізичні величини, пов'язані з самосполученими операторами. Якщо ABψ і BAψ визначено, тоді:

Середнє значення оператора величини Xу стані ψ системи, та

Можливе також існування двох операторів, що не комутують самосполучених. Aі B, які мають той самий власний вектор ψ . У цьому випадку ψ є чистим станом, який є одночасно вимірним для Aі B .

Загальні змінні, що спостерігаються, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результатипоказують, як знайти відносини невизначеності між фізичними змінними, а саме визначити значення пар змінних Aі Bкомутатор яких має певні аналітичні властивості.

• найвідоміше відношення невизначеності - між координатою та імпульсом частки у просторі:

• відношення невизначеності між двома ортогональними компонентами оператора повного кутового моменту частки:

• наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто подається в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, тому що не існує оператора, який представляє час:

Інтерпретації

Альберту Ейнштейну принцип невизначеності не дуже сподобався, і він кинув виклик Нільсу Бору і Вернеру Гейзенбергу відомим уявним експериментом. детальної інформації): заповнимо коробку радіоактивним матеріалом, який випромінює радіацію випадковим чином. Коробка має відкритий затвор, який негайно після заповнення закривається за допомогою годинника в певний момент часу, дозволяючи піти невеликій кількості радіації. Таким чином, час уже точно відомий. Ми ще хочемо точно виміряти сполучену змінну енергії. Ейнштейн запропонував зробити це зважуючи коробку до і після. Еквівалентність між масою та енергією за спеціальною теорією відносності дозволить точно визначити, скільки енергії залишилося в коробці. Бор заперечив таким чином: якщо енергія піде, тоді коробка, що полегшала, зрушить трохи на терезах. Це змінить положення годинника. Таким чином годинник відхиляється від нашої нерухомої системи відліку спеціальної теоріївідносності, їх вимір часу відрізнятиметься від нашого, призводячи до деякого неминучого значення помилки. Детальний аналіз показує, що неточність дається правильно співвідношенням Гейзенберга.

У межах широко, але не універсально прийнятої Копенгагенської інтерпретації квантової механіки принцип невизначеності прийнятий на елементарному рівні. Фізична всесвіт існує над детерміністичної формі, а скоріш як набір ймовірностей, чи можливостей. Наприклад, картина (розподіл ймовірності) вироблена мільйонами фотонів, що дифрагують через щілину може бути обчислена за допомогою квантової механіки, але точний шлях кожного фотона не може бути передбачений жодним відомим методом. Копенгагенська інтерпретація вважає, що це не може бути передбачено взагалі ніякимметодом.

Саме цю інтерпретацію Ейнштейн ставив під сумнів, коли писав Максу Борну: «я впевнений, що Бог не кидає кістки» ( Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt). Нільс Бор, який був одним з авторів Копенгагенської інтерпретації, відповів: «Ейнштейн, не кажіть Богові, що робити».

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка). Але це не означає, що їх фізичні рухинепередбачувані. Звичайна механіка може визначити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).

Ейнштейн припускав, що існують приховані змінні в квантовій механіці, які лежать в основі ймовірностей, що спостерігаються.

Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з того часу не зміг побудувати задовільні теорії прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частинки випадкова, вона також скоррелирована з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки на великих відстаняхповинні негайно передавати інформацію один одному, щоб гарантувати кореляції у своїй поведінці.

Принцип невизначеності у популярній культурі

Принцип невизначеності часто неправильно розуміється чи наводиться у популярній пресі. Одне часто неправильне формулювання в тому, що спостереження події змінює саму подію. Загалом кажучи, це не має відношення до принципу невизначеності. Майже будь-який лінійний оператор змінює вектор, на якому він діє (тобто майже будь-яке спостереження змінює стан), але для комутативних операторів жодних обмежень на можливе розкидання значень немає (). Наприклад, проекції імпульсу на осі cі yможна виміряти разом як завгодно точно, хоча кожен вимір змінює стан системи. Крім того, в принципі невизначеності йдеться про паралельному вимірівеличин для декількох систем, що знаходяться в одному стані, а не про послідовні взаємодії з однією і тією ж системою.

Інші (також вводять в оману) аналогії з макроскопічними ефектами були запропоновані для пояснення принципу невизначеності: одна з них розглядає придушення насіння кавуна пальцем. Ефект відомий - не можна передбачити, як швидко чи куди насіння зникне. Цей випадковий результат базується повністю на хаотичності, яку можна пояснити у найпростіших класичних термінах.

У деяких науково-фантастичних оповіданнях пристрій для подолання принципу невизначеності називають компенсатором Гейзенберга, найвідоміший використовується на зорельоті «Ентерпрайз» із фантастичного телесеріалу Зоряний Шлях у телепортаторі. Однак невідомо, що означає «подолання принципу невизначеності». На одній із прес-конференцій продюсера серіалу запитали «Як працює компенсатор Гейзенберга?», на що він відповів «Дякую, добре!»

Науковий гумор

Незвичайна природа принципу невизначеності Гейзенберга та його незабутня назва, зробили його джерелом кількох жартів. Кажуть, що популярним написом на стінах фізичного факультетууніверситетських містечок є: "Тут, можливо, був Гейзенберг".

В іншому жарті про принцип невизначеності квантового фізика зупиняє на шосе поліцейський і запитує: «Ви знаєте, як швидко Ви їхали, сер?». На що фізик відповідає: Ні, але я точно знаю, де я!

Література

Використана література

Журнальні статті

• W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172-198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62–84.
• Л. І. Мандельштам, І. Є. Тамм «Співвідношення невизначеності енергія-час у нерелятивістській квантовій механіці», Изв. Акад. Наук СРСР (сер. фіз.) 9 , 122-128 (1945).
• G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207-238.

Про співвідношення невизначеностей Шредінгера

• Шредінгер Е.До принципу невизначеності Гейзенберга. Вибрані праці з квантової механіки. М: Наука, 1976. стор.210-217.
• Додонов В. В., Манько В. І.Узагальнення співвідношень невизначеностей у квантовій механіці. Праці ФІАН СРСР. 1987. Том 183 стор.5-70.
• Суханов А. Д.Співвідношення невизначеностей Шредінгера та фізичні особливості кореляційно-когерентних станів, Теор. Мат. Фіз. Том.132. N.3. (2002) с.449-468.
• Суханов А. Д.Співвідношення невизначеностей Шредінгера для квантового осцилятора в термостаті. Теорія. Мат. Фіз. Том.148. N.2. (2006) с.295-308.