Готова лабораторна робота 3 за числовими методами. Численні методи практикум

Нижче представлені лабораторні роботи з рішеннямиза чисельними методами (виконані МатБюро). Ви можете завантажити готові файли робіт нижче за посиланнями, а також отримати більше інформації про вирішення подібних завдань із методичок та практикумів.

Чисельні методи (або Обчислювальна математика) - розділ прикладної математики, в якому розробляються, математично обґрунтовуються (збіжність, стійкість) та реалізуються (у спеціальних програмахабо мовами програмування високого рівня) методи наближеного рішення математичних завдань: рішення не лінійних рівнянь, СЛАУ, звичайних диференціальних рівнянь та систем, рівнянь у приватних похідних, крайових задачі, задачі чисельного інтерполювання, апроксимації, інтегрування тощо.

Готові лабораторні з обчислювальної математики

• Контрольна за основами чисельних методів .
  

  Завдання 1. Здійснити інтерполяцію за допомогою полінома Ньютона та обчислити значення цього полінома у точці х = 0,0014.

  Завдання 2. Уточнити значення кореня на інтервалі трьома ітераціями

  Завдання 3. Методами прямокутників, трапеції та Cімпсона обчислити інтеграл

• Завдання на апроксимацію Паде з рішенням , 2 сторінки
  

  Застосувати апроксимацію Паде для наближення функції $f(x)=x^2*e^(1-x)$ раціональним дробом.

• , 4 сторінки
  

  1. Визначити, яка рівність точніша.

  2. Округлити сумнівні цифри числа, залишивши вірні знаки.

  3. Знайти граничну абсолютну та відносну похибкичисла, якщо вони мають лише вірні цифри.

  4. Обчислити та визначити похибки результату.

  5. Відокремити коріння нелінійного рівняння аналітично

  6. Відокремити коріння нелінійного рівняння аналітично та уточнити один з них методом проб з точністю до 0,01

• Чисельні методи: вирішена лабораторна 3 завдання, 11 сторінок
  

  Завдання 1. Розглянемо функцію
  Провести математичне дослідженняграфік функції f(x). Побудувати ескіз графіка функції.
  Ізолювати нулі функції f(x), тобто знайти інтервали, у яких f(x) змінює знак. На кожному інтервалі зробити 4 кроки шляхом половинного поділу.
  Знайти наближені значення коренів методом Ньютона (дотичних). Як початкові наближення брати середини знайдених вище інтервалів. Зробити по 2 кроки.
  Усі обчислення повинні проводитись з точністю не менше 5 знаків після коми.

  Завдання 2. Розглянемо матриці
  Знайти зворотну матрицю$P^(-1)$ і обчислити добуток матриць $W=P\cdot R \cdot P^(-1)$
  Знайти $\det W$ методом Гауса.
  Вирішити систему лінійних рівнянь алгебри методом Гауса з виділенням головних елементів по стовпцях $Wx=b$

  Завдання 3. Дано таблицю експериментальних даних
  Припускаючи, що лінійна залежність, тобто $y=ax+b$, знайти $a$ і $b$ методом найменших квадратів.
  На тому самому аркуші міліметрівки нанести точки таблиці і побудувати графік отриманої прямої.
  Усі обчислення проводяться з точністю 5 знаків після коми.

• Розв'язання задачі Коші чисельними методами , 5 сторінок
  

  Розв'язати завдання методом Ейлера, методом Адамса, методом Рунґе-Кутта.

• Контрольна робота за чисельними методами з розв'язком , 6 завдань, 9 сторінок
  

  Завдання 1. На відрізку методом Ньютона визначити корінь рівняння з точністю 0,01.

  Завдання 2. Методом хорд визначити негативний корінь рівняння з точністю 0,0001. Потрібна попередня побудова графіка функції та відділення коріння.

  Завдання 3. Визначити значення коренів системи рівнянь методом Зейделя

  Завдання 4. Методом прямокутників обчислити інтеграл із кроком 0,02:

  Завдання 5. Методом Ейлера-Коші знайти рішення диференціального рівнянняна інтервалі x = , початкові умови y(x=0) = 0. Крок інтегрування h = 0.02.

  Завдання 6. Дана таблиця значень функції. Використовуючи інтерполяційний багаточлен Ньютона, обчислити значення функції при x = 0.077.

• Контрольна робота з обчислювальної математики в MathCad + файл розрахунків xmcd
  

  Завдання 1. За допомогою вбудованих функцій MathCad виконайте прості обчислення.

  Завдання 2. За допомогою вбудованих функцій MathCad розв'яжіть рівняння. Використовувати метод відділення коріння, отримати графічну інтерпретацію, використовувати вбудовані функції Mathcad, отримати рішення методом половинного поділу та методом Ньютона.

  Завдання 3. За допомогою вбудованих функцій MathCad розв'яжіть системи лінійних рівнянь, а потім перевірте чисельним методом. Метод Гауса.

  Завдання 4. За допомогою вбудованих функцій MathCad вирішіть систему нелінійних рівнянь, а потім перевірте чисельним методом. Метод Ньютон.

  Завдання 5. Розв'яжіть задачу чисельного диференціювання функції.

  Завдання 6. Порівняйте результати чисельного інтегрування. Метод правих прямокутників із методом трапецій

  Завдання 7. Вирішити звичайне диференціальне рівняння чисельними способами: Метод Ейлера

  Завдання 8. Розв'язати задачу знаходження інтерполяційного многочлена функції заданої таблично. Знайти значення функції в заданій точці: 2-го та 6-го ступеня

Транскрипт

1 Федеральне агентствоза освітою РФ Національний дослідницький ядерний університет"МІФІ" В.І. Ращиков КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ. КОМП'ЮТЕРНИЙ ПРАКТИКУМ Москва 009

2 УДК 519. (075) ББК.193я7 А Р8 Ращиков В.І. Чисельні методи. Комп'ютерний практикум: Навчально-методичний посібник М.: НІЯУ МІФІ, с. У цьому посібнику представлені основні чисельні методи вирішення фізичних завдань: апроксимація та інтерполяція функцій, чисельне інтегруваннята диференціювання, розв'язання нелінійних рівнянь та систем, завдання лінійної алгебри, Прості диференціальні рівняння та рівняння у приватних похідних, методи оптимізації. Для ілюстрації кожного методу підібрано велику кількість типових завдань, що найчастіше зустрічаються в інженерно-фізичних розрахунках. Наведені блок-схеми програм та практичні рекомендаціїза їх написанням, дозволяють детально розібратися в алгоритмі розв'язання задачі та полегшити процес програмування. Посібник призначений для студентів денного та вечірнього факультетів МІФІ, а також може бути корисним студентам інших вузів фізичного профілю. Затверджено редрадою НДЯУ МІФІ як навчально-методичний посібник. Рецензент канд. техн. наук, доц. В.М. Барбашов ISBN Національний дослідницький ядерний університет "МІФІ", 009

3 ЗМІСТ Передмова... 4 Завдання 1. Аналіз послідовності даних... 7 Завдання. Розв'язання нелінійних рівнянь Завдання 3. Інтерполування... 1 Завдання 4. Апроксимація... 7 Завдання 5. Чисельне диференціювання Завдання 6. Чисельне інтегрування Завдання 7. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло Завдання 8. Рішення систем . Часткова проблема власних значеньЗавдання 10. Пошук мінімуму функції однієї змінної Завдання 11. Пошук мінімуму функції двох змінних Завдання 1. Чисельне рішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь Завдання 15. 17. Чисельне рішення одновимірного хвильового рівнянняЗавдання 18. Чисельне рішення рівняння Пуассона прямокутнику Бібліографічний список

4 ПЕРЕДМОВА Дане навчально-методичний посібникскладено на основі багаторічного досвіду проведення автором практичних занять та читання лекцій з курсу «Кількісні методи» на денному та вечірньому факультетах МІФІ. Комп'ютерний практикум є одним із основних факторів для практичного оволодіння чисельними методами вирішення фізичних завдань, внаслідок чого для нього виділено більша частинавідведеного курсу навчального часу Посібник складається з 18 завдань, які охоплюють практично всі основні розділи курсу: інтерполяція та апроксимація функцій, чисельне інтегрування та диференціювання, розв'язання нелінійних рівнянь та систем, завдання лінійної алгебри, звичайні диференціальні рівняння та рівняння у приватних похідних, кількох змінних. У кожному завданні наводяться необхідні розуміння методу теоретичні відомості, варіанти завдань для самостійного виконаннята практичні рекомендації щодо складання програм, підкріплені блок-схемами обчислювальних алгоритмів. Наприкінці кожного завдання наведено список контрольних питань, що дозволяють перевірити ступінь засвоєння матеріалу, що вивчається. Блок-схеми потрібні для наочнішого представлення алгоритму завдання, що дозволяє суттєво полегшити розуміння методу рішення та написання самої програми. При виконанні схем використовувався ГОСТ, який регулює правила побудови схем і зовнішній виглядїх елементів. Основні елементи, які надалі використовуватимуться у посібнику, мають такий вигляд: - термінатор; елемент відображає вхід з зовнішнього середовищаабо вихід із неї (найчастіше застосування початок і кінець програми). Усередині фігури записується відповідна дія; 4

5 – процес; виконання однієї чи кількох операцій, обробка даних будь-якого виду (зміна значення даних, форми подання, розташування). Усередині фігури записують безпосередньо самі операції; - Рішення; відображає рішення або функцію перемикального типу з одним входом і двома або більшими альтернативними виходами, з яких тільки один може бути обраний після обчислення умов, визначених усередині цього елемента. Вхід елемент позначається лінією, що входить зазвичай у верхню вершину елемента. Якщо виходів два або три, то зазвичай кожен вихід позначається лінією, що виходить з вершин, що залишилися (бічних і нижньої). Використовується для ілюстрації умовних операторів f (два виходи: true, false) і case (множина виходів); - Зумовлений процес; символ відображає виконання процесу, що складається з однієї або декількох операцій, визначених в іншому місці програми (у підпрограмі, модулі). Усередині символу записується назва процесу і дані, що передаються в нього. Використовується для визначення виклику процедури або функції; - Дані (введення-виведення); перетворення даних у форму, придатну для обробки (введення) або відображення результатів обробки (виведення). Цей символ не визначає носія даних (для вказівки типу носія даних використовуються специфічні символи); - межа циклу; символ складається з двох частин відповідно до початку і кінець циклу, операції, що виконуються всередині циклу, розміщуються між ними. Умови циклу та збільшення записуються всередині символу початку або кінця циклу в залежності від типу організації циклу. Часто для зображення на блок-схемі циклу замість цього символу використовують символ рішення, вказуючи в ньому 5

6 умова, а одну з ліній виходу замикають вище у блок-схемі (перед операціями циклу); - З'єднувач; символ відображає вихід до частини схеми та вхід з іншої частини цієї схеми. Використовується для обриву лінії та продовження її в іншому місці (приклад: поділ блок-схеми, що не міститься на аркуші); -Коментар; використовується для більш докладного описукроку, процесу чи групи процесів. Опис міститься з боку квадратної дужки і охоплюється по всій висоті. Пунктирна лінія йдедо описуваного елемента або групи елементів (при цьому група виділяється замкненою пунктирною лінією). Також символ коментаря використовується у тих випадках, коли обсяг тексту в якомусь іншому символі (наприклад, символ процесу, символ даних та ін) перевищує його обсяг. Порядок виконання дій визначається шляхом з'єднання вершин, що дозволяє розглядати блок-схеми не тільки як наочну інтерпретацію алгоритму, зручну для сприйняття людиною, але і як орієнтований граф. При написанні цього посібника використовувався переважно матеріал з [-4]. Для більш повного вивченнячисельних методів у бібліографічному списку наведено необхідні навчальні посібники. 6

7 Завдання 1 АНАЛІЗ НАСЛІДНОСТІ ДАНИХ Мета роботи - побудова розвилок та циклічних конструкцій у програмах, складання програм аналізу потоків даних. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ У роботі аналізується послідовність, що імітує потік експериментальних даних. Нехай f(x) експериментальна залежність, знята на відрізку з фіксованим кроком b a h, N 1 де N число точок експериментальної залежності. Значення абсцис цих точок визначимо за формулою x = a + h, = 0, 1, n. Необхідно обчислити: 1) максимальне значенняфункції fmax max f та номер вузла mах, в якому досягається це значення;) мінімальне значенняфункції fmn mn f; 3) середнє значення f, середній квадрат f і середньоквадратичне значення f функції: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 4) відносне числопозитивних р + та негативних р - значень функції f (= 0, 1,..., n) p n / (n 1), де п + і п числа позитивних і негативних значень f(=0, 1,..., n); 7

8 5) середньоквадратичне відхилення від середнього значення 1 n 1 n (f f). 0 ВАРІАНТИ ФУНКЦІЙ f(х) k m 1) f(x) cos(x/) x; k m) f(x) sn(x/) (1 x); k m 3) f(x) sh x cos(x); k m 4) f (x) 1 x tg (x / 4); k m 5) f (x) (1 x) tg (x / 4); 6) 1 / k m f (x) (1 x) tg (x / 4); 7) () x m f x e sn(x /); x k m 8) f(x) e x sn(x /); m 9) (1 x) x; 10) (1) 1/ m 1/ x x; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x; k m 13) f (x) (1 x) sh x; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x; 1/ k m f (x) (1 x) sh x; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x; m k 17) f (x) arcsn x (1 x); m l 18) f (x) k cos (π x) x (1 x); m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x); m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. У функціях параметри l, k, т набувають значення від 1 до 4, 0 x 1, рекомендовані значення n від 50 до

9 ПРОГРАМУВАННЯ Практично у всіх сучасних реалізаціях універсальних мовпрограмування, таких як Фортран, Сі, Паскаль, присутні однакові структурні елементи, за допомогою яких будуються програми. Основними структурами, що вивчаються у цій програмі, є розвилка та цикл. Розвилку можна представити в блок-схемі як показано на рис

10 Тут P (рішення) деяке логічна умова, яке може набувати значення "істина" (Так, True) або "брехня" (Ні, False). Залежно від цього буде виконано або блок операторів А, або блок операторів B. може бути реалізований за допомогою розвилки, або за допомогою спеціальних операторів циклу з передумовою (умова виконання операторів тіла циклу перевіряється при вході в цикл), з постумовою (умова виконання операторів тіла циклу перевіряється при виході з циклу), з лічильником (змінна, звана лічильником циклу, змінюється із заданим кроком, доки не досягне фіксованого значення). На блок-схемі цикл представляється або розвилкою (рис. 1.), або символом, що складається з двох частин, що відображає початок і кінець циклу (рис. 1.3). Обидві частини символу мають той самий ідентифікатор. Умови для ініціалізації, збільшення, завершення тощо. поміщаються всередині символу на початку або наприкінці в залежності від розташування операції, що перевіряє умову. Рис. Блок-схема розвилки («рішення», «вибір») Рис. 1.. Схема циклу з розвилкою У прикладі на рис. 1. проста змінна цілого типу, звана змінної циклу; т 1 початкове значення змінної циклу, m 3 крок зміни, а т визначає кінцеве значення F тіло циклу. 10

11 Рис Схема циклу зі спеціальним символом У нашому завданні обчислені у вузлах x значення функції u слід помістити в одновимірний масив, заздалегідь описавши його тип та розмірність. Блок-схема програми представлена ​​на рис. У блоці вводяться початкові дані, цикл обчислення основних величин, за винятком середньоквадратичного відхиленнявід середнього, обчислення якого виділено окремий цикл, оскільки воно спирається на результати попередніх операцій. У блоці 9 результати наводяться до необхідного виду і 10 здійснюється їх висновок. 1 Початок 6 =1,N Початкові дані 11 7 (f f)

12 Для перевірки правильності програми рекомендується попередньо дослідити тестову функцію u(x) x(1 x) 1/ 8, N 101, для якої мають бути такі результати: 1

13 umax 0.15, max 51, umn 0.15, mn 1; u u u m p 0.970, p , ζ Рекомендується виконати обчислення для декількох значень п і проаналізувати, як при цьому змінюються результати. ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт повинен містити: формули, параметри та графік функції u(х) для конкретного варіанту; текст програми; результати розрахунків. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як описуються масиви? Як записується та виконується оператор циклу? 3. Які обмеження накладаються на оператор циклу? 4. Як записуються та виконуються оператори введення та виведення інформації? 13

14 Завдання РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Мета роботи: вивчення умовно і безумовно схожих ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Однією з найчастіших завдань, з якими стикається фізик, це вирішення рівнянь виду f(x) = 0. (.1) Рішення шукаються методами послідовних наближень або ітераційними методами. Початкове наближення може бути з фізичних міркувань, з досвіду розв'язання аналогічних завдань, з допомогою графічних методіві т. д. Пошук кореня рівняння математично здійснюється за допомогою побудови послідовності Коші (x ), коли при заданому існує таке N, що для всіх n і p, що перевищують N, виконується x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 він і містить шуканий корінь. Другу половину відрізка не можна розглядати. Потім ділимо новий відрізок навпіл і приходимо знову до двох відрізків, на кінцях одного з яких функція змінює знак, тобто містить корінь. Таким чином, після кожної ітерації вихідний відрізок скорочується вдвічі, тобто після n ітерацій він скоротиться у n разів. Процес ітерацій продовжуватиметься до тих пір, поки значення модуля функції не виявиться менше заданої точності, тобто f(x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 а наступне наближення x 1, що є точкою перетину дотичної з віссю абсцис, дається формулою f(x0) x1 x0. f (x0) Аналогічним чином можна знайти і наближення f(xn) xn 1 x, n f (xn) строю дотичні послідовно з точок М 1,..,М n-1, не забуваючи, що f (x n) 0. Метод дотичних є умовно сходящимся методом, тобто для його збіжності * lm x x має бути виконана наступна умова в області пошуку кореня ff (f), x * - шукане значення кореня. При довільному нульовому наближенні ітерації сходитимуться, якщо скрізь буде виконано отриману умову. В іншому випадку збіжність буде лише в деякій околиці кореня. Для закінчення ітераційного процесу можуть бути використані такі критерії. 1. Максимальна кількість ітерацій. Цей критерій необхідний, якщо методи не сходяться. Проте важко заздалегідь визначити, скільки ітерацій буде необхідно для отримання задовільної точності. Слабка варіація наближення до кореня:< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 Невиконання умови (.) при > 10 зазвичай свідчить про відсутність збіжності, помилку у формулах чи програмі. Метод січень Обчислення похідної функції f (x), необхідної у методі Ньютона, який завжди зручно чи можливо. Заміна похідної першою розділеною різницею, яку знаходять за двома останніми ітераціями (тобто заміна дотичної на січну) призводить до методу сіючих. З точки зору аналітичних методів, як апроксимуюча взята пряма, що проходить через дві останні точки х n і x n 1, тобто замість похідної в методі дотичних необхідно підставити f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 тоді прийдемо до формули методу сіючих: 17 n 1 Метод сіючих є двокроковим методом, тобто вимагає двох початкових (розгінних) точок x 0 і x 1. Графічно метод ілюструється рис.. 3. Спочатку через вибрані точки (x 0, f(x 0)), (x 1, f(x 1)) проводимо пряму до перетину з віссю абсцис і визначаємо x, а вертикальна пряма в точці x дає f(x).Далі пряма проводиться через точки (x1, f(x1)) і (x, f(x)) і т. д., поки не буде виконано одна з трьох умов закінчення ітераційного процесу (.). Зазвичай у методі січучих потрібно більше ітерацій, ніж у методі дотичних, але кожна ітерація виконується значно швидше, тому що не потрібно обчислювати f"(x), і тому часто при тому м ж обсязі обчислю-

18 ній можна зробити більше ітерацій та отримати більш високу точність. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ Використовуючи метод дихотомії, що безумовно сходиться, і один з умовно сходящих методів (дотичних або січучих), знайти на відрізку 0 x 1 корінь однієї з функції, наведених нижче. У функціях параметри l, k, т набувають значення від 1 до 4. Рекомендується досліджувати ту ж функцію, що і в завданні 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x ; k m) f (x) sn (π x /) (1 x); k m 3) f (x) sh x cos (π x); k m 4) f (x) 1 x tg (π x / 4); k m 5) f (x) (1 x) tg (π x / 4); 6) 1 / k m f (x) (1 x) tg (π x / 4); 7) () x m f x e sn(π x /); x k m 8) f(x) e x sn(π x /); m 9) (1 x) x; 10) (1) 1/ m 1/ x x; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x; k m 13) f (x) (1 x) sh x; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x; 1/ k m f (x) (1 x) sh x; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x; m k 17) f (x) arcsn x (1 x); m l 18) f (x) k cos (π x) x (1 x); m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x); m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. 18

19 ПРОГРАМУВАННЯ При складанні програми доцільно поставити максимально допустиме число ітерацій max, перериваючи ітераційний процес, якщо = max. Це оберігає від так званого «зациклювання» програми, яке іноді трапляється внаслідок помилок у формулах чи програмі, а також за невдалого вибору початкової ітерації. У цьому завдання досить покласти max = 30, оскільки за відсутності помилок збіжність досягається набагато раніше. Значення ε рекомендується вибирати в діапазоні Як початкову ітерацію можна прийняти х 0 = 0,. Якщо ітерації не зійдуться, це значення можна зменшити або збільшити, залишаючись у діапазоні 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b = c Рис..4. Блок-схема програми розв'язання нелінійного рівняння методом дихотомії 19

20 1 Початок Початкові дані 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) Ні x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 max 5 x x f f (x) 1 Так Так ξ<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт повинен містити: формулу функції f(x) для конкретного варіанту; задане значення ε і початкові значення х 0; текст програми; знайдені наближені значення кореня та кількість ітерацій для обох методів; побудований у попередньому завданні графік функції f(x). КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як будується рішення нелінійних рівнянь шляхом дотичних, які його властивості?. Отримайте умову збіжності методу дотичних. 3. Отримайте оцінку швидкості (порядку) збіжності методу дотичних. 4. Як будується розв'язання нелінійних рівнянь методом січучих, які його характеристики? 5. Які ще існують методи розв'язання нелінійних рівнянь? 6. Як будується рішення нелінійних рівнянь шляхом дихотомії, які його властивості? 7. Порівняйте методи розв'язання нелінійних рівнянь зі швидкістю збіжності з прикладу отриманих вами результатів. 1

22 Завдання 3 ІНТЕРПОЛІРУВАННЯ Мета роботи вивчення методів інтерполювання, побудова інтерполяційного багаточлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Чисельне моделювання більшості фізичних завдань, як правило, пов'язане з необхідністю обліку факторів, які не можуть бути описані аналітично. Є лише ряд експериментальних залежностей, отриманих у фіксованому числі точок цікавого для нас діапазону змінних. Так, при вирішенні широко поширеної задачі про динаміку макро-і мікрооб'єктів у зовнішніх гравітаційних або електромагнітних полях інформацію про поле часто буває неможливо отримати у вигляді аналітичних функцій без введення додаткових спрощуючих припущень, які можуть суттєво вплинути на результат. У цьому випадку необхідно вдатися до експериментальних характеристик, причому експеримент може бути проведений лише кілька разів. Таким чином, ми приходимо до фізичного завдання, в якому ряд функцій заданий на кінцевому числі точок x фіксованої області зміни аргументу x . Чисельний метод, однак, може вимагати знання цих функцій для всіх значень аргументу цієї галузі. У цьому випадку виникає завдання відновлення функції y(x) для всіх значень x якщо відомі її значення в деякому фіксованому числі точок x цього відрізка. Найбільш простим і поширеним способом вирішення цього завдання є інтерполяція між сусідніми значеннями, яка зводиться до побудови функції (х), що збігається з функцією y(x) у точках x, тобто (x) = y(x) = y, = 0, 1, n де n + 1 число заданих на відрізку точок, а x вузли інтерполяції.

23 При виборі інтерполюючої функції (x) необхідно обмежити пошук функціями, які легко та швидко обчислюються на комп'ютері, оскільки їх, як правило, доводиться обчислювати багаторазово. Існує багато інтерполяційних багаточленів та способів їх побудови, придатних для різного розташування вузлів. При побудові інтерполяційних багаточленів зазвичай мається на увазі, що безліч вузлів, що використовуються відомо. Проте часто відома лише необхідна точність, а кількість вузлів не фіксовано. Інтерполяційний поліном Ньютона, вивченню якого і присвячена дана робота, відрізняється тим, що кількість вузлів, що використовуються, можна легко збільшити або зменшити без повторення всього циклу обчислень, змінюючи тим самим точність інтерполяції. Інтерполяція проводиться за таблицею з рівновіддаленими вузлами, хоча інтерполяційний багаточлен Ньютона застосовується при будь-якому розташуванні вузлів. Завдання включає такі етапи. 1. Обчислити таблицю значень y(x) заданої функціїу(х) у рівновіддалених вузлах x h (0,1,..., n), h 1/ n, відрізка .. Скласти таблицю перших різниць функції y 1 y y 1 y y(x 1, x) (0,1,. .., n 1). x x h 1 3. Скласти таблицю других розділених різниць y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) За цими таблицями, використовуючи інтерполяційний багаточлен Ньютона другого порядку P(x) y(x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x)(x x 1), h h

24 обчислити значення Р(х) у точках (вузлах) з напівцілими індексами x 1/(1/) h (0,1,..., n). 5. Знайти похибку інтерполювання у цих вузлах ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ максимальну похибку ε mах, середній квадрат похибки та середньоквадратичну похибку ε m: n 1 εmax max ε 1/, ε ε 1/, εm ε. n 1 6. Дослідити, як змінюються похибки ε mах та ε m зі зміною n. 0 ВАРІАНТИ ФУНКЦІЙ у(х) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/ m sn (π x); 4) y(x) k 1/ m cos (π x); 5) y(x) k m tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/m tg (π x / 4); 7) y(x) 4 ax 3 bx; 8) y(x) (a m k bx); 9) y(x) (a m 1/k bx); 10) y(x) (a 1/m k bx); 11) y(x) (a 1/m 1/k bx); 1) y(x) k x /(a m bx); 13) y(x) k x /(a m bx); 14) y(x) 1/ k x /(a bx) ; 15) y(x) k x /(a 1/ m bx); 16) y(x) 1/ k x /(a 1/ m bx); 17) y(x) (a k x) / (b 4 m x) ; 18) y(x) (a 1/k x) / (b 4 m x) ; 19) y(x) (a k x) / (b 4 1/ m x) ; 0) y(x) (a 1/k x) / (b 4 1/ m x) ; 1) y(x) k x / (a ​​bx);) y(x) 1/ k x / (a ​​bx); 3) y(x) k x / (a ​​1/m bx); 4) y(x) 1/ k x / (a ​​1/ m bx); k m 1/ k m 5) yx () ln (1 x); 6) y(x) ln (1 x); 4

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x) ln (1 x); k x 1/ k x 9) y(x) x e; 30) y(x) x e; 1/ m 1/ m k x 1/ k x 31) y(x) x e; 3) y(x) x e; 8(x 0.5) k 8(x 0.5) 33) y(x) e; 34) y(x) x e; 1/ k 8(x 0.5) m 1/ k 35) y(x) x e; 36) y(x) (a bx); 1/ m 1/ k m k 37) y(x) (a bx) ; 38) y(x) (a bx); m 1/ k 1/ m 1/ k 39) y(x) (a bx) ; 40) y(x) (a bx); k m k m 41) y(x) arcsn; 4) y(x) arccos; k 1/ m k m 43) y(x) arcsn; 44) y(x) arccos; m 1/ m 45) y(x) arctg(a bx); 46) y(x) arctg(a bx); 47) y(x) sh(a m bx); 48) y(x) sh(a 1/ m bx); 47) y(x) ch(a m bx); 50) y(x) ch(a 1/m bx). ПРОГРАМУВАННЯ Блок-схема програми представлена ​​на рис. Основу програми складають три послідовні цикли блоку, 6-7-8, Для зберігання обчислюваних у цих циклах значень функції, перших і других різниць, а також похибок слід описати відповідні масиви. Для перевірки правильності програми рекомендується попередньо виконати обчислення для тестової функції y(x) x, для якої max і m повинні звертатися в нуль. 5

26 1 Початок 9 =1,n- Початкові дані 3 =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, max 1/ 4 y 11 по 5 по 1, m 6 =1,n-1 13 Графіки Результати 7 y(x +1, x) 14 Кінець 8 по Рис.3.1. Блок-схема програми інтерполяції 6

27 ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт повинен містити: формулу та графік функції у(х) для конкретного варіанту; текст програми; таблицю похибок ε 1/ (0,1,..., n); значення ε max та ε т. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як ставиться завдання інтерполювання? Які інтерполяційні багаточлени ви знаєте? 3. Як визначаються розділені різниці різних порядків? 4. Як будувався інтерполяційний багаточлен Ньютона? 5. Яка похибка (залишковий член) інтерполяційного багаточлена? 6. Як можна оцінити похибку інтерполювання? 7

28 Завдання 4 АППРОКСИМАЦІЯ Мета роботи: вивчення апроксимації функцій з прикладу методу найменших квадратів. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ При заміні функції інтерполяційним багаточленом необхідною умовою є проходження інтерполяційного багаточлена через значення функції у вузлах інтерполяції. У разі використання експериментальних залежностей значення функції у вузлах отримано з певною похибкою (часто досить великою), тому недоцільно вдаватися до інтерполяції, змушуючи інтерполяційний поліном повторювати ці помилки. У цьому випадку краще скористатися апроксимацією, тобто підбором функції, що близько проходить від заданих точок, заздалегідь визначивши критерії «поблизу». Залежно від обраного способу наближення можна отримати результати, що сильно відрізняються один від одного: крива може точно проходити через всі задані точки і в той же час сильно відрізнятися від згладженої апроксимуючої функції рис Рис Ілюстрація апроксимації та інтерполяції Апроксимуватимемо функції багаточленного ступеня m: (x) = c 0 + c 1 x + c x + + c m x ​​m, коефіцієнти якого c підберемо те щоб мінімізувати відхилення многочлена від цієї функції. 8

29 Скористаємося середньоквадратичним наближенням функції y(x) багаточленом (x) на множині (x, y), (= 0, 1, n), при якому мірою відхилення є величина S, що дорівнює сумі квадратів різниць між значеннями багаточлена та функції в даних точках : n n 0 1 m 0 0 S [(x, c, c, ..., c) y]. Для побудови апроксимуючого багаточлена потрібно підібрати коефіцієнти c0, c1, cm так, щоб величина S була найменшою. У цьому полягає метод найменших квадратів. Якщо відхилення підпорядковується нормальному закону розподілу, отримані в такий спосіб значення параметрів найімовірніші. Як згадувалося, середньоквадратичне наближення згладжує неточності функції, даючи правильне уявлення про неї. Оскільки c виступають у ролі незалежних змінних функції S, то мінімум знайдемо, прирівнюючи нулю приватні похідні за цими змінними: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1 тобто приходимо до системи рівнянь для визначення с. Якщо як апроксимуючу функцію взяти многочлен, то вираз для квадратів відхилень набуде вигляду: n m (m). 0 S c c x c x c x y Прирівнюючи нулю похідні, приходимо до системи: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x ... c x y) 0; 0 n m (c c x... c x y) x 0; n 0 1 m m (c c x ... c x y) x m m m 9 n

30 Збираючи коефіцієнти при невідомих c 0, c 1, c m, отримуємо систему рівнянь: n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y; Вирішуючи систему, знаходимо невідомі параметри c0, c1, cm. У компактнішому вигляді можна записати: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; b 10 c 0 + b 11 c b 1m c m = a 1; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k якщо ввести позначення b x, a x y; k, l 0,1,..., m. kl k 0 0 У цій роботі, щоб полегшити рішення системи, обмежимося значенням m =. Позначимо рисою усереднення за множиною вузлів х 1 u n 1 і введемо також позначення: n 0 k mk x (k 1,...), K x y. Тоді систему (4.1) можна записати як: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. Систему рівнянь можна вирішити будь-яким із прямих методів, що розглядаються далі. Оскільки система має симетричну матрицю, то можна скористатися методом квадратного коріння, розрахункові формулиякого наведені нижче: n; 30

31 s 1, s m, s m; s m m, s (m m m) / s; s m (s s) m (m s); zK, z(KmK)/s; z [K (s z z)] / s; (для системи трьох лінійних рівнянь замість методу квадратного коріння нескладно скористатися відомою схемою Крамера.) Знайшовши коефіцієнти c 0, с 1, с, обчислимо значення полінома (x) (= 0,1,. .., n) та похибка апроксимації εmax max ε, ε y(x) φ(x), εm ε, де середній квадрат похибки ε S / (n 1). ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ Параметри: a 0, b 1, n Вузли: x h(0,1,..., n), h 1/ n. ВАРІАНТИ ФУНКЦІЙ у(х) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/q) y(x) sn x (q,3); 3) y(x) x e; 4) y(x) ln(1 q x)(q 1 3); 1/ q 5) y(x) cos x (q,3); q 6) y(x) cos x (q 1 3); 1/ q x 7) y(x) e (q,3); 1/ q 8) y(x) ln(1 x)(q 1 3); 31

32 q 9) y(x) x(1 x) 0.01 x (q 3 5); 1/ q 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/ q 11) y(x) tg x (q 1 3); q 1) y(x) 1 x (q 1 4); 13) y(x) (1 q 1 x) (q 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/q x) (q 4); x 17) y(x) e; x 18) y(x) e; 19) y(x) 1/ q arcsn x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/q x) (q 4); 1) y(x) (1 1/q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/q x) (q 4); q 3) y(x) x / (1 x)(q 1 4); x q 4) y(x) x e (q 1,). ПРОГРАМУВАННЯ Блок-схема програми представлена ​​на рис. 4.. Для зберігання у, θ(х) слід відвести масиви, що мають не менше n+1 елементів. Обчислення рекомендується виконати для кількох значень n, звертаючи увагу зміну похибки зі зростанням n. На екран достатньо видати результати для одного значення п. Для перевірки правильності програми рекомендується як тестове завдання апроксимувати функцію y(x) (1 x), для якої похибки max, ε т, повинні дорівнювати нулю. 3

33 1 3 Початок Початкові дані =1,n 7 8 =1,n (x(x),), max max 4 y, m k, k l, 9 по 5 по 10 m 6 S, z k, c, c, з Результати 1 Кінець Мал. 4..Блок-схема програми апроксимації 33

34 ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт повинен містити: формулу функції у(х) та параметри для конкретного варіанту; текст програми; значення c 0, 1, с; масиви та графіки у, θ(х); похибки max, ε т, ε. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як ставиться завдання апроксимування функцій? Що таке середньоквадратичне апроксимування? 3. Що таке рівномірне апроксимування? 4. Як будується метод найменших квадратів? 5. Чому дорівнює похибка (залишковий член) апроксимування статечними функціями? 6. Якими є умови повноти системи функцій? 34

35 Завдання 5 ЛІКАРСЬКЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ Мета роботи вивчення методів чисельного диференціювання, обчислення першої та другої похідних заданої функції з використанням інтерполяційного багаточлена Ньютона. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Однією з найпоширеніших завдань обчислювальної математики, що має різноманітні додатки, є чисельне диференціювання. Нехай задана сіточна функція y y(x) (0,1,..., n), визначена на множині вузлів х, (= 0, 1,...,n). Для обчислення похідної у (k) (х) порядку k (k=1,...) у деякій течці х виберемо т+1 (m k) вузлів в околиці цієї точки та побудуємо інтерполяційний багаточлен Р т (х) ступеня т (наприклад , багаточлен Ньютона (див. завдання 3)), що проходить через усі вибрані вузли: (5.) y(x) P (x) R (x), m де R m (х) залишковий член (похибка) інтерполяційного багаточлена Р т (х). Диференціюючи рівність (5.), знаходимо (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1, ...). (5.3) Приймемо тепер як наближене значення похідної y) (x) похідну багаточлена: (k (k) (k) y (x) P (x). (5.4) Тоді залишковий член (похибка) похідної Q m,k ( x) дорівнює похідній залишкового члена (похибки) інтерполяційного багаточлена: m (5.1) 35

36 Похідні (5.4) називаються звичайно різницевими. Насправді найчастіше використовуються рівномірні сітки, тобто. сітки з рівновіддаленими вузлами. На таких сітках отримані зазначеним методом перша і друга кінцево-різницеві похідні у вузлах х з похибкою О(h) щодо кроку сітки h даються формулами: y 1 y 1 y y (x), y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (1, ..., n 1). У граничних вузлах з номерами = 0 і =n доводиться обчислювати звані односторонні похідні, вибираючи вузли інтерполювання лише з одного боку від граничного вузла. На рівномірній сітці формули другого порядку для першої та другої похідних мають вигляд: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); h yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y(x0) O(h); 6h 6y 4y 30y 1y y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). Як видно з формул, односторонніх похідних для досягнення тієї ж точності потрібно більше вузлів. Для виконання лабораторної роботи попередньо складається таблиця значень (5.1) однієї із заданих нижче функцій у(х) у рівновіддалених вузлах 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, на відрізку 0 x 1. Значення п вибираються в діапазоні n = Потім обчислюються точні у", у" (аналітично) та наближені y та y значення першої і другий похідних, отримані за наведеними вище формулами. k 1,) значення похибки чисельного диференціювання, а також номери вузлів kmax, у яких досягаються значення ε kmax (k=1,) ВАРІАНТИ ФУНКЦІЙ y(x) 1) x; 4) cos(π x /); x 5) x e; 6) xch x; x / 7) sh x; ) x ch x ;13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x ;16) x cos x; 17) cos x; ) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x; 3) xcos x; 4) xln(x 1); arcsn(x /); x / 8) arctg x ; 9) xe ; 30)(x 1) ln(x 1).

Для зберігання значень сіткової функції, точних і наближених значень похідних, а також їх похибок слід відвести масиви завдовжки не менше n + l. Оскільки у цій роботі n<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 Початок 6 =1,n Початкові дані 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 =1,n k,max, k, k,max y, y, y, y , 41 x, y 8 по 5 по 9 k 10 Результати 11 Кінець Рис Блок-схема програми чисельного диференціювання. 39

40 КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як ставиться завдання чисельного диференціювання? Як будуються формули чисельного диференціювання, яка їхня похибка? 3. Оцініть похибку формул, які ви використовуєте. 4. Як знижується порядок похибки чисельного диференціювання зі зростанням порядку похідної у тому числі вузлів? 5. Як можна побудувати формули чисельного диференціювання підвищеної точності? 6. У чому проявляється некоректність постановки завдання чисельного диференціювання? 40

41 Завдання 6 ЛІКАРСЬКЕ ІНТЕГРУВАННЯ Мета роботи вивчення методів чисельного інтегрування, обчислення певного інтеграла від заданої функції методами прямокутників та Гаусса. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Нехай на відрізку у точках x 0 = a, x 1, x n = b задана функція y = f(x). Нам необхідно обчислити певний інтеграл виду b a f(x) dx. Використовуючи визначення інтеграла як межі інтегральної суми, маємо: b a n 1 f(x) dx lm f() x, x x x, max x (6.1) де x x +1 якась середня точка інтервалу x, x +1. Завдання інтегрування графічно зводиться до знаходження площі під графіком функції f(x) на заданому відрізку рис.

42 точці значення функції f(). Площа визначається сумою площ одержаних прямокутників. Коли довжина відрізків x 0, сума площ прямокутників прагне значення інтеграла. Для чисельного інтегрування функцію f(x) замінюють такою апроксимуючою функцією (х), інтеграл від якої легко обчислювався. Найчастіше як апроксимуючі виступають узагальнені інтерполяційні багаточлени. Оскільки така апроксимація лінійна щодо параметрів, то функцію при цьому замінюють деяким лінійним виразом, коефіцієнтами якого є значення функції у вузлах: n f (x) f (x) (x) r(x), 0 де r(x) залишковий член апроксимації. Підставляючи цей вираз для функції вихідний інтеграл (6.1), отримаємо b a n f (x) dx q f (x) R, де q (x) dx, R r (x) dx. b a b a 0 Формула (6.) називається квадратурною формулою з вагами q та вузлами x. Як очевидно з формули, ваги q залежить лише від розташування вузлів, але з виду функції f(x). Кажуть, що квадратурна формула точна для багаточленів ступеня m, якщо при заміні функції f(x) довільним багаточленом алгебри ступеня m залишковий член стає рівним нулю. Найбільш відомі квадратурні формули виходять, якщо вибирати вузли x рівновіддаленими на відрізку інтегрування. Такі формули називаються формулами Ньютона Котеса. До формул цього типу відносяться відомі формули прямокутників, трапецій, парабол (Сімпсона) та деякі інші. У методі прямокутників рис. 6. функцію f(x) апроксимуємо поліномом нульового ступеня f(x) f(x) f. 0 0 (6.) 4

43 Для обчислення інтеграла на відрізку [а, b] розіб'ємо його на маленькі відрізки довжиною h, а інтеграл у сумі інтегралів на окремих ділянках. Тоді для однієї ділянки h / h / f (x) dx hf де f 0 значення функції в середині відрізка. Таким чином, площа криволінійної трапеції апроксимується прямокутником, причому функція обчислена в середній точці відрізка. 0 Мал. 6.. Метод прямокутників Для -го відрізка x 1 x f(x) dx hf, 43 1/ де f+1/ = f(a+(+1/)h). Тоді, остаточно, значення інтеграла на [a, b] b a f(x) dx h(f f... f) r(x). 1/ 3/ n 1/ Якщо вузли x фіксовані (розташовані рівномірно на ), то квадратурної формулі (6.) і ваги q фіксовані. Тоді для побудови інтерполяційного полінома, що апроксимує функцію f(x) на , залишається лише (n + 1) незалежна умова, тобто відомі значення функції у вузлах інтерполяції f(x). Таким чином, використовуючи ці умови, можна побудувати багаточлен не вище n-го ступеня. Якщо ж не фіксувати положення вузлів, а отже, і q, то в нашому розпорядженні виявляються (n+)

44 умови, за допомогою яких можна побудувати багаточлен (n + 1)-го ступеня. Так постало завдання знаходження серед усіх квадратурних формул з (n + 1) вузлами формули з таким розташуванням вузлів x на і з такими вагами q, при яких вона точна для багаточленів максимального ступеня. Інтуїтивно ясно, що похибка методу тим менша, що вищий порядок многочлена, при чисельному інтегруванні якого виходить точний результат. Виконаємо заміну змінної інтегрування у вихідному інтегралі (6.1) x a (ba) t (0 t 1) і перетворимо його до виду I = (ba) J, де 1 J f (t) dt, f (t) f (x(t )). 0 Таким чином, ми наводимо інтеграл на будь-якому відрізку до фіксованого інтервалу , де шукатимемо оптимальне розташування вузлів. Таке завдання успішно вирішено, і в довідниках для даного інтервалу наведено розташування вузлів t і ваги A, де =1,m. Для обчислення інтеграла скористаємося квадратурною формулою наступного виду: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m Залишковий член формули Гауса з т вузлами має вигляд R M f t M (m) m m max (), m 0 t 1 (m!) (m 1) (m)! 4 3. Зокрема M 3 = , М 5 = , M 7 = , М 9 = , М 10 = і т.д. Ваги A і вузли t квадратурних формул Гауса мають значення: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 m = 5 t 1 = 1 t 5 = , t = 1 t 4 = , A 1 = A 5 = , A = A 4 ​​= , t 3 = , A 3 = m = 7 t 1 = 1 t 7 = , t = 1 t 6 = , t 3 =1 t 5 = , t 4 = , А 1 = А 7 = , А = А 6 = , А 3 = А 5 = , А 4 = m = 9 t 1 = 1 t 9 = , t = 1 t 8 = , t 3 = 1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , А 1 = А 9 = , А = А 8 = , А 3 = А 7 = , A 4 = A 6 = m = 11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , А 1 = А 11 = , А = A 10 = , A 3 = A 9 = , А 4 = А 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ Для обчислення інтегралу використовуємо метод прямокутників із числом вузлів від m до 100 і квадратурну формулу Гауса cm=5 11 вузлами. До вихідних даних включаються: функція f(x); межі інтегрування а, b; число вузлів m, ваги A та вузли t квадратурної формули Гауса. Обчислити інтеграл виду табл b a E (ξ) ξ 0 d за даними, наведеними в 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn(ξ / ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 ξ arctg ξ sh ξ ξ ch ξ ξ / ПРОГРАМУВАННЯ Для зберігання ваг A, вузлів t квадратурної формули Гауса і значень функцій у центрах вибраних відрізків f +1/ у методі прямокутників, слід описати масиви відповідної довжини. Значення A, t, (= 1,...,11) повинні бути попередньо введені в масиви А() і Т() за допомогою операторів присвоювання або оператора введення початкових даних.

47 1 Початок Початкові дані 7 =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 =1,n 9 по 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 по 11 Результати 6 A,t 1 Кінець Рис Блок-схема програми інтегрування 47

48 Блок-схема програми обчислення інтеграла методом прямокутників і методом Гаусса наведено на рис У циклі реалізовано метод прямокутників, а метод Гаусса. Правильність інтегрування можна перевірити, обчислюючи як тест інтеграл 1 n I (n 1) x dx (n m 1), для якого має вийти точне значення 1, або I 1 4 (1 1 x) dx, значення якого дорівнює π. 0 0 ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт повинен містити: підінтегральну функцію та межі інтегрування конкретного варіанту; число вузлів у методах прямокутників та Гаусса; текст програми; графік підінтегральної функції; значення інтеграла отримане двома методами. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ 1. Як ставиться завдання чисельного інтегрування? Як будуються інтерполяційні квадратурні формули, яка їхня похибка (залишковий член)? 3. Як будуються квадратурні формули Гауса, яка їхня похибка (залишковий член)? 4. Як будуються складові (великі) квадратурні формули (прямокутників, трапецій, парабол), яка їхня похибка (залишковий член)? 5. Порівняти за точністю метод прямокутників і метод Гауса за однакової кількості вузлів. 48

49 Завдання 7 ВИЧИСЛЕННЯ КРАТНИХ ІНТЕГРАЛІВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО Мета роботи знайомство з чисельними методами Монте-Карло, обчислення методом Монте-Карло кратного інтеграла від заданої функції у опуклій області. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Розглянемо задачу обчислення n-вимірного інтеграла I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 в області V з кордоном Р, вкладеної в n-вимірний паралелепіпед має об'єм Рис Область інтегрування у випадку двох змінних W = за формулою t 1 T T(x1, x, x3, t) 3 3 R - об'єм кулі. 51

52 Як T(x,t) прийняти T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t), де ρ(х) одна з функції попереднього завдання, g 1 =0.l 0.9 (= 1,3). 3. Обчислити об'єм V тіла, обмеженого шестивимірним еліпсоїдом 6 x Г() 1 0 (c 0.1). c 1 Обчислення виконати методом Монте-Карло за формулою V dx dx dx dx dx dx. (V) (V) ПРОГРАМУВАННЯ Обчислення інтеграла проведемо для кількох значень N, заданих окремим масивом N (L) у головній програмі. Відповідно, у програмі слід організувати видачі результатів після досягнення числа випадкових чисел чергового значення N з масиву. Це дасть можливість спостерігати за зміною результатів та збіжністю інтегрування зі зростанням N. Блок-схема програми представлена ​​на рис. 7.. Основу програми становить цикл (блоки 3-10) по l від l до L, де L задана кількість варіантів з різною кількістю випадкових чисел N l, для яких здійснюється видача результатів. У блоці 4 відбувається звернення до датчика випадкових чисел обчислення ξ. На малюнку поточне число випадкових точок, М число випадкових точок в області V, I è V оцінки інтеграла I і обсягу області V. Як тест необхідно обчислити обсяг еліпсоїда в тривимірній області відповідно до пункту 3 завдання. Відомо аналітичне рішення V 4 π c. 1cc 3 3 5

1. Чисельні методи розв'язування рівнянь 1. Системи лінійних рівнянь. 1.1. Прямі методи. 1.2. Ітераційні методи. 2. Нелінійні рівняння. 2.1. Рівняння з одним невідомим. 2.2. Системи рівнянь. 1.

Лекція 5. Апроксимація функцій методом найменших квадратів. В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами, заданими таблично

РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. полягає в знаходження значень

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» Методичні вказівкидо лабораторної роботи «Обчислення коренів трансцендентних рівнянь»

Чисельні методи Тема 2 Інтерполяція В І Пасхальний 2011 2012 рік 1 Поняття інтерполяції Інтерполяція це спосіб наближеного або точного знаходження будь-якої величини за відомими окремими значеннями

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ЧИСЛІВІ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ТА ІНТЕГРУВАННЯ У цьому розділі розглянуто завдання наближення функцій за допомогою багаточленів Лагранжа та Ньютона з використанням сплайн інтерполяції

Міністерство освіти і науки РФ Державне освітня установавищого професійної освітиТомський державний університетсистем управління та радіоелектроніки ТУСУР Кафедра

Лабораторна робота Методи мінімізації функцій однієї змінної, що використовують інформацію про похідні цільової функції Постановка задачі: Потрібно знайти безумовний мінімум функції однієї змінної (

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ Державна освітня установа вищої професійної освіти «Пензенський державний університет» Квадратурні та кубатурні формули Методичні

Лекція 9 3. КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Нехай дано нелінійне рівняння (0, (3.1 де (функція, визначена і безперервна на деякому проміжку. У деяких випадках)

Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь -1- Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь 4.0. Постановка задачі Завдання знаходження коріння нелінійного рівняння виду y=f() часто зустрічається в наукових

КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ У ГІРНИЧОМУ ВИРОБНИЦТВІ Математичні моделі та чисельні методи Математичні моделі містять співвідношення, складені на основі теоретичного аналізу досліджуваних процесів або отримані

РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ виду Чисельне рішення нелінійних алгебраїчних або трансцендентних) рівнянь f =) полягає в знаходженні значень,

1 Багаточлен Лагранжа Нехай з експерименту отримано значення невідомої функції (x i = 01 x [ a b] i i i Виникає завдання наближеного відновлення невідомої функції (x у довільній точці x

Завдання на практичні заняття з дисципліни «Обчислювальна математика» Практичне заняттяна тему Теорія похибок Контрольні питанняДайте визначення обчислювального експериментуНамалюйте схему

Державна бюджетна освітня установа середньої професійної освіти «Володимирський авіамеханічний коледж» МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з дисципліни

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ Державна освітня установа вищої професійної освіти «ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра інформатики та методики

Варіант 1. 1. Поле комплексних чисел. Його конструкція. Алгебраїчна та тригонометрична форма запису комплексних чисел. Формула Муавра і формула отримання коренів n ого ступеня з комплексного числа.

Під чисельним інтегруванням розуміють набір чисельних методів знаходження значення певного інтеграла. При вирішенні інженерно-технічних завдань часом буває необхідно обчислити середнє значення

2 Чисельні методи розв'язання рівнянь. 2.1 Класифікація рівнянь, їх систем та методів розв'язання. Рівняння та системи рівнянь діляться на: 1) алгебраїчні: рівняння називається алгебраїчним, якщо над

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, до якого невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала.

Міністерство освіти та науки Російської ФедераціїФедеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «НИЖЕМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Р.

Постановка задачі, основні поняття Кінцеві різниці та їх властивості Інтерполяційні багаточлени Оцінка залишкового члена інтерполяційних багаточленів Постановка задачі основні поняття Нехай, тобто

Лекція3. 3. Метод Ньютона (дотичних. Задамо деяке початкове наближення[,b] і лінеаризуємо функцію f(в околиці за допомогою відрізка ряду Тейлора f(= f(+ f ")((-. (5 Замість рівняння)

Розділ Обчислення певних інтегралів! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx. У загальному вигляді завдання вирішується шляхом апроксимації функції іншою функцією, для якої інтеграл обчислюється аналітично.

Різнісні схеми для нелінійних завдань. Квазилінійне рівняння перенесення. Для чисельного розв'язання нелінійних завдань у різних ситуаціях використовують як лінійні, і нелінійні схеми. Стійкість відповідних

Оціночні засоби для поточного контролюуспішності, проміжної атестаціїза підсумками освоєння дисципліни та навчально-методичне забезпечення самостійної роботистудентів 1 Розрахункові завдання Варіанти

1 1.57.5-5-.5 РІШЕННЯ РІВНЯНЬ З ОДНОЮ ЗМІННОЮ Завдання: Знайти рішення рівняння з точністю 0. 0001 наступними методами: дихотомії; пропорційних частин (хорд); дотичних (Ньютона); модифікованим

Лекція 2. Розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі: Знайти коефіцієнт похибки приладу при проведенні геодезичних вимірювань з рівняння: cos σ σ 2 + η = 0 Значення δ = 0,186, υ = 4,18,

Основні поняття теорії різницевих схем. Приклади побудови схем для початково-крайових задач. Велика кількість завдань фізики і техніки призводить до крайових або початкових завдань для лінійних.

Математичне моделювання об'єктів теплоенергетики Лекція 1 Нелінійні рівняння алгебри та трансцендентні. Терміни та поняття 2 Моделювання це дослідження об'єкта або системи об'єктів шляхом

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Після вивчення даної теми ви зможете: проводити чисельне вирішення завдань лінійної алгебри. До вирішення систем лінійних рівнянь зводяться численні практичні завдання, розв'язання

Інтеграл. 8 Методи чисельного інтегрування. У цьому розділі будуть розглянуті методи обчислення певного методу чисельного інтегрування знаходять широке застосування при автоматизації рішення наукових

ЛЕКЦІЯ 11 БАГАТОМІРНА ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ На минулій лекції були розглянуті методи розв'язання нелінійних рівнянь Були розглянуті двоточкові методи, що використовують локалізацію кореня,

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «НІЖЕМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ДЕРЖАВ. Р.Є.

Глава 4. КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ У цьому розділі розглядаються основні чисельні методи розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Державний освітній заклад вищої професійної освіти "Іжевський державний технічний університетСТВЕРДЖУЮ Ректор І.В. Абрамов

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ (ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладної математики М.В. Лукіна МЕТОДИ ПРИБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ

ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ОСВІТИ «НІЖЕМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Р.Є. АЛЕКСЄЄВА» ІНСТИТУТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ

ЛЕКЦІЯ 3 Методи обробки експериментальних даних Інтерполювання В інженерних розрахунках часто потрібно встановити функцію f(x) для всіх значень х відрізка , якщо відомі її значення в деякому

Pascal 13. Розв'язання нелінійних рівнянь. Нелінійні рівняння можна розділити на 2 класи - алгебраїчні та трансцендентні. Алгебраїчними рівнянняминазивають рівняння, що містять лише алгебраїчні

Метод Ритца Виділяють два основні типи методів розв'язання варіаційних завдань. До першого типу належать методи, що зводять вихідне завдання до розв'язання диференціальних рівнянь. Ці методи дуже добре розвинені

1. Цілі та завдання дисципліни. Мета дисципліни: вивчення методів побудови чисельних алгоритмів та дослідження чисельних методів вирішення математичних завдань, що моделюють різні фізичні процеси.

Синтаксис оператора: УЗАГАЛЬНИЙ ОПЕРАТОР ЦИКЛУ DO [( WHILE UNTIL ) ] ... LOOP [( WHILE UNTIL ] ] де ключові слова перекладаються наступним

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «КУБАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Степенні ряди a a a Ряд виду a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний рядбільше загального вигляду: a(a) a(a) a(a) (), де

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Курганський державний університет» Кафедра

А.П.Попов Методи оптимальних рішеньПосібник для студентів економічних спеціальностей вузів Ростов-на-Дону 01 1 прикладної математикиє кілька напрямів, націлених насамперед

46 Практичне заняття 6 Чисельне інтегрування Тривалість роботи - 2 години Мета роботи: закріплення знань про чисельне інтегрування за узагальненими формулами середніх прямокутників, трапецій,

УДК 004.9 ББК 32.97 Т47 Електронний аналог друкованого видання: Інформатика та математика: о 3 ч. Ч. 2: Розв'язання рівнянь / В. І. Тишин. М.: БІНОМ. Лабораторія знань, 2013. 112 с. : іл. Тишин Ст І. Т47

Лекція 4 8 КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Розглядається проблема вирішення систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку зв'язуючих

Численні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь.. Розв'язання задачі Коші... Завдання Коші для одного звичайного диференціального рівняння. Розглядається завдання Коші для одного диференціального

Глава 1 Численні методи обчислення певного інтеграла Мета роботи вивчення чисельних методів інтегрування та його практичне застосування для наближеного обчислення одноразових інтегралів. Тривалість

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Інформатика» семестр 3 Новосибірськ 008 Міністерство науки і освіти РФ Новосибірський технологічний інститут Московського державного

Methods.doc Методи наближених обчислень Стор.1 з 6 Загальна умоваЗавдання: Двома заданими чисельними методами обчислити наближене значення кореня 1 функціонального рівняння виду f()=0 для N значень

ФДБОУ ВО «Саратовський національний дослідницький державний університет імені М.Г. Чернишевського» А.І. Зініна В.І. Чисельні методи лінійної та нелінійної алгебри Навчальний посібникСаратов

Кафедра Обчислювальні системи та технології (найменування кафедри) ЗАТВЕРДЖЕН на засіданні кафедри "4" березня 2016 р. протокол 6 Завідувач кафедри Кондратьєв В. В. (підпис) Фонд оціночних засобів з навчальної

Транскрипт

1 Алексєєва О.А. КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ Практикум Челябінськ

2 УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексєєва О.А. Численні методи: практикум. Челябінськ: НОУВПО РБІУ,. 77 с. Розглядаються найбільш поширені методи чисельного аналізу: метод простої ітерації та метод Зайделя для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри, чисельні методи знаходження коренів трансцендентних рівнянь, формула Лагранжа, широко застосовуваний на практиці метод найменших квадратів. У кожній лабораторній роботі виводяться робочі формули, що використовуються для подальшої реалізації на комп'ютері. Розглянуті алгоритми ілюструються прикладами. У кожній лабораторній роботі наведено близько 8 варіантів індивідуальних завдань та контрольні приклади. Практикум призначений для організації практичних занять та самостійної роботи з дисципліни «Кількісні методи» студентам напрямів «Прикладна інформатика» та «Бізнес-інформатика». Рецензенти: Турлакова С.У. кандидат фіз-.мат. наук, доцент кафедри Прикладна математика ФДБОУ ВПО «ЮУрГУ» (НДУ УДК 59.6 ББК.9 Алексєєва О.А., НОУВПО РБІУ,

3 Зміст Лабораторна робота. Ітераційні методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри Постановка задачі Класифікація методів вирішення систем лінійних рівнянь алгебри Метод простої ітерації (метод Якобі Умови збіжності та елементарні перетворенняматриці Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя метод послідовних заміщень Контрольні завдання... 4 Контрольні питання... Лабораторна робота. Методи відшукання розв'язків нелінійних рівнянь з одним невідомим.... Постановка задачі.... Методи розв'язання нелінійних рівнянь.... Контрольні завдання... 7 Контрольні питання... 9 Лабораторна робота. Інтерполяційна формула Лагранжа Постановка задачі Приватні випадки полінома Лагранжа Оцінка похибок Контрольні завдання Контрольні питання... 5 Лабораторна робота 4. Метод найменших квадратів Опис методу Лінійна функція Квадратична функція Ступінна функція Контрольні питання... 75

4 Лабораторна робота. Ітераційні методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри Мета роботи: вирішити систему лінійних рівнянь алгебри методом простої ітерації і методом Зейделя із заданою точністю. Порядок виконання. Вивчити теоретичний матеріал.. Вирішити заданий варіант контрольного завдання (див. п. 6.. Скласти звіт. 4. Відповісти на контрольні питання. 5. Захистити лабораторну роботу.. Постановка задачі Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими: a a... a b, a a... a b, a a... a b. Позначимо через матрицю А з коефіцієнтів системи (: a a... a a a... a A, a a... a стовпець вільних членів системи ( через вектор b: b b b.... b (4

5 Розв'язання системи рівнянь (шуканий вектор позначимо через стовпець невідомих:.... Якщо матриця А неособлива, то система (має єдине рішення). тотожність, називається рішенням цієї системи, а самі числа її корінням.В реальних умовах обчислення на ЕОМ практично завжди супроводжуються похибками.Вони обумовлені похибками вихідних даних, похибками округлення, похибками переведення чисел з десяткової системи числення в двійкову при записі інформації на згадку про ЕОМ і похибки , пов'язаними з обмеженістю розрядної сітки Способи розв'язання систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи: точні та ітераційні методи. рішення після виконання заздалегідь відомої кількості операцій, наприклад, правило До рамера, метод Гауса, метод квадратного коріння та ін. Ці методи порівняно прості найбільш універсальні, тобто. придатні на вирішення широкого класу лінійних систем. Точні методи використовують для розв'язання систем лінійних рівнянь, у яких кількість невідомих, щільно заповнена матриця та визначник не близький до нуля. Внаслідок неминучих округлень результати навіть точних методів є наближеними, причому оцінка похибок коренів у загальному випадкускрутна. 5

6 .. Ітераційні методи Вони дозволяють отримувати коріння системи із заданою точністю шляхом процесів, що сходяться, наприклад, метод простої ітерації, метод Зейделя, метод релаксації та ін. У цих методах необхідно задати деяке наближене рішення початкове наближення. Після цього за допомогою алгоритму проводиться один цикл обчислень, що називається ітерацією. Внаслідок ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводяться до отримання рішення з необхідною точністю. Алгоритми вирішення лінійних систем з використанням ітераційних методів зазвичай складніші в порівнянні з прямими методами. Об'єм обчислень заздалегідь визначити точно не вдається. Ефективне застосування ітераційних методів залежить від успішного вибору початкового наближення і швидкості збіжності процесу. Ітераційні методи застосовують для вирішення систем великої розмірності (при >, коли використання прямих методів неможливе через обмеження оперативної пам'ятіЕОМ. Великі системирівнянь, які у додатках, зазвичай, є розрядженими, тому використання точних методів не ефективним, оскільки незалежно від цього дорівнює нулюелемент чи ні, його потрібно зберігати у пам'яті. В ітераційних методах матриця залишається розрядженою. Ці методи застосовуються і для уточнення коренів, отриманих точними методами. матричного рівняння: Ах = b. У вихідній системі виділимо діагональні коефіцієнти а (де =,. 6

7 Припустимо, що діагональні коефіцієнти задовольняють умовам: a a a a a a. a a a Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то слід провести елементарні перетворення матриці (див. п.4. Дозволимо перше рівняння системи (щодо х, друге щодо х, третє щодо х.) (a (a (a /(a / (a / (a ​​(a (a 7 / (a ​​/ (a ​​/ (a ​​b b b)) В результаті отримаємо еквівалентну систему: де b / a, a / a при j (, j =,. a / (a ​​Систему (можемо записати в матричній формі:. Систему (розв'язуватимемо методом простої ітерації. Як нульове наближення (приймемо елементи стовпця вільних членів: (=, тобто. (=, (=, (=.). Далі, знаходимо перше наближення х), підставляючи знайдені значення нульового наближення в систему). (: (((, (((, (((, підставляючи значення наближення х) ( праву частинусистеми (, отримаємо: (((, (((, друге наближення.) (((,.

8 8 Продовжуючи цей процес далі, отримаємо послідовність х (, (, (, (k,... наближень, що обчислюються за робочими формулами:.,) ((((((,(((k, k, k, k, k, k, k) У загальному вигляді робочі формули для системи - рівнянь: , (((((((, (((((k k k k k k k k k k k k (4 Якщо послідовність наближень має межу), (lm k k то ця межа є рішенням системи)). можна не робити величезну кількість ітерацій, а задати певну точність рішення, при досягненні якої ітераційний процес завершується.Умову закінчення ітераційного процесу можна записати у вигляді: ((k k де =,. Приклад. Методом простої ітерації вирішити систему з точністю = = -). 49,7.,5,9 8,76, 9,8,5, 7,46,5,5,7,9, Рішення. Приведемо систему до виду (. Для цього необхідно всі діагональні елементи системи залишити в лівій частині рівняння, а інші елементи перенести з протилежним знакому праву частину. Розділимо кожне із рівнянь системи на відповідний коефіцієнт, що стоїть у лівій частині рівняння:

9 4 /,9(,7, /,(7,46, /9,8(8,76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,..) Як початковий вектор (беремо елементи стовпця вільних членів, округливши їх значення до двох знаків після коми:,4 (,.,45,55.) Обчислення будемо вести доти, доки не буде виконано умова (k (k, де = - , =, 4. Послідовно обчислюємо: при k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/ 9,8(8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6. Порівнюючи отримані (з (, бачимо, що умови збіжності не виконуються)) k = : ((((4 6,94 /,9,86,45 /,8,99 /9,8,7, 45,88 /,477. Порівнюючи отримані (з (, бачимо, що умови збіжності не виконуються)) .При k = 9

10 ((((4 6,6744 /,9,7978,548 /,9977,7 /9,8,975, 44,88575 /,98. Порівнюючи отримані (з (бачимо, що умови збіжності не виконуються.) При k = 4 : (4 6,795 /,9,84, (4,6 /,5, (4,77 /9,8,5, (4 4 44,95 /,4)) Для порівняння (4 с (, знайдемо модулі різниць значень) (4 (: (4 (4 (4 (4 4 ((((4,6,8, так як всі знайдені значення модулів більше)) заданого числа= -, продовжуємо ітерацію. Отримуємо за k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6,788 /,9,7999,98 /,9999,758 /9,8,999, 44,9774 /,999)).

11 Знаходимо модулі різниць значень: (5 (4 (5 (4,5, (5 (4,6), (5) (4,6), (5 (4,4, 4 4)). : =,7999, =,9999, =,999, 4 =, Умови збіжності та елементарні перетворення матриці Теорема Якщо для наведеної системи (виконано, щонайменше, одну з умов:, j, або j j, j то процес ітерації сходиться до єдиному рішеннюцією системою, незалежно від вибору початкового наближення. Слідство. Для системи j, (=,..., j b j метод ітерації сходиться, якщо виконані нерівності: a j a j, (=,..., j тобто якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів решти всіх коефіцієнтів (не вважаючи вільних членів Елементарними перетвореннями матриці називаються наступні її перетворення: транспонування, тобто заміна кожного рядка стовпцем з тим же номером, перестановка двох рядків або двох стовпців, множення всіх елементів рядка або стовпця на будь-яке число c, відмінне від нуля; до всіх елементів рядка або стовпця відповідних елементів паралельного ряду, помножених на те саме число.

12 5. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод послідовних заміщень Метод Зейделя є деяку модифікацію методу простої ітерації. Основна його ідея у тому, що з обчисленні (k+-го наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше (k+ е наближення невідомих) х, ..., х -l [, 5] У цьому методі, як і в методі простої ітерації, необхідно привести систему до виду (, щоб діагональні коефіцієнти були максимальними за модулем, і перевірити умови збіжності. Якщо умови збіжності не виконуються , то потрібно зробити елементарні перетворення (див. п. 4. Нехай дана система з трьох лінійних рівнянь. Приведемо її до виду (. Виберемо довільно початкові наближення коренів: х (, х (, х (, намагаючись, щоб вони в якійсь) мірою відповідали шуканим невідомим.За нульове наближення можна прийняти стовпець вільних членів, тобто х (= (тобто (=, (=, (=.)) Знайдемо перше наближення х (за формулами: ((((((( , (((Слід звернути увагу на особливість методу Зейделя, яка полягає в тому, що отримане у першому рівнянні значення х (l відразу ж використовується у другому рівнянні, а значення х ((, х (у третьому рівнянні тощо)). Тобто всі знайдені значення х (підставляються до рівнянь для знаходження х + . Робочі формули для методу Зейделя для системи трьох рівнянь мають такий вигляд: (k (k (k, k (k, k (k (k)

13 (k (k Запишемо в загальному вигляді для системи - рівнянь робочі формули: (k (k (k (k ..., (k (k (k ..., (k) (k (k)))) Зауважимо, що теорема збіжності для методу простої ітерації справедлива і для методу Зейделя Задамо певну точність рішення, після досягнення якої ітераційний процес завершується, тобто рішення триває доти, доки не буде виконана умова для всіх рівнянь:, де =, Приклад Методом Зейделя вирішити систему з точністю = - :,9,9 4,7,5,5 4 7,46,5 9,8, 4 8,76,9,5, 4 49,7. Рішення.. Наведемо систему до вигляду: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8,76,5, 4, 4 /,(49,7) ,9,5,.. Як початковий вектор х (візьмемо елементи стовпця вільних членів, округливши їх значення до двох знаків після коми:,4 (,.,45,55. Проведемо ітерації методом Зейделя. При k = (/,9 (,7,45,9,55,75. (При обчисленні х використовуємо вже отримане значення (х =,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((При обчисленні х використовуємо значення х і х (: (/9,8(8,76,75,5,9674,55,977)) . Нарешті, використовуючи значення х (, х (, х (, отримуємо: (4 /, (49,7,9,75,5,9674,977,47). Аналогічним чином ведемо обчислення при k = і k =. При k = : (6,766 /,9,89, (,9 /,9996, (,758 /9,8,996, (4 44,998 /,4.) При k= : (6,7 /,9,86, (,58 / , (, /9,8,9999, (4 44,9999 /,4. Знайдемо модулі різниць значень (k (k при k = : ((, ((,4, ((,4, ((, 4 4)) менше заданого числа, тому як рішення візьмемо: =, 86, =, =, 9999, 4 =, 4. 6. Контрольні завдання Вирішити задану системулінійних рівнянь алгебри методами простої ітерації і Зейделя. Точність рішення =,.,7, 4, 5,6, 4, 5, 5,8 7,. 4, 4,5 4,8 4,9,.,8, 4, 5,7,8,7. 7,8 5, 6, 5,8. 4

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 Контрольні питання. Що називається рішенням системи лінійних рівнянь алгебри?. Які існують методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри? У яких випадках доцільно використовувати ітераційні методи? 4. До точних чи наближених методів належить метод Крамера? 5. Запишіть робочі формули методу ітерацій. 6. Наведіть приклади ітераційних методів розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри. 7. У чому полягає відмінність методу Зейделя від методу простої ітерації? 8. Як класифікуються методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри? 9. Яким методом краще вирішувати систему рівнянь невисокого порядку, наприклад, третього? Від чого залежить швидкість збіжності методу ітерацій? За якої умови буде сходитися метод простої ітерації? Запишіть робочі формули методу Зейделя для системи -х лінійних рівнянь алгебри.. У чому основна відмінність точних і наближених методів розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри?

21 Лабораторна робота. Методи пошуку рішень нелінійних рівнянь з одним невідомим Мета роботи: вирішити нелінійне рівняння із заданою точністю. Порядок виконання. Познайомитись з описом лабораторної роботи.. Вирішити заданий варіант (див. п. 4: а відділення кореня, б уточнення значення кореня.. Скласти звіт. 4. Відповісти на контрольні питання. 5. Захистити лабораторну роботу.. Постановка задачі рівняння зустрічається в різних областях наукових дослідженьта актуальна у наші дні. Вона часто є елементарним кроком при вирішенні наукових та технічних завдань. Аналітичні методидля знаходження коренів нелінійних рівнянь існують лише окремих рівнянь, наприклад, a b c. Як правило, для знаходження коріння використовуються наближені методи. Нелінійні рівняння можуть бути двох типів: алгебраїчні та трансцендентні. Рівняння виду a b c називаються алгебраїчними, рівняння виду s(трансцендентними, оскільки вони містять трансцендентні функції. До них відносять тригонометричні функціїх s(, cos(, tg(, ctg(, експоненційну функціюе, логарифмічні функції lg(, l(. У загальному випадку нелінійні рівняння з одним невідомим мають вигляд F (.)).

22 Коріння перебувають у два етапи: перший відділення коренів, тобто. знаходження відрізка, що містить один корінь рівняння; друге уточнення значення коренів на знайдених відрізках із заданою точністю. Якщо функція F (безперервна і приймає на кінцях відрізка різні знаки, тобто. F (a* F(b і зберігає на цьому відрізку знак першої похідної, то всередині цього відрізка знаходиться один корінь рівняння. Відділення коренів можна здійснити) у різний спосіб.. Складають таблицю значень функції y F (на вибраному відрізку зміни аргументу. Для відділення кореня необхідно, щоб на кінцях виділеного відрізка функція мала різні знаки і була монотонна. Як ознака монотонності функції можна скористатися умовою знакостійності першої похідної. Від заданої функції F ( знайдемо F (і обчислимо її значення на кінцях відрізка , якщо F (a* F(b, функція F (монотонна.. Будують графік функції y F(на відрізку зміни; точка перетину графіка з віссю)) дасть нам корінь рівняння. Для подальшого уточнення кореня візьмемо околиці кореня і позначимо їх . F (.. Методи розв'язання нелінійних рівнянь.. Метод ділення навпіл (метод бісекцій Завдання. Знайти рішення нелінійного рівняння F (з точністю. Метод полягає в наступному: в результаті відд еления кореня знайдено відрізок , у якому розташоване шукане значення кореня. Як початкове наближення кореня візьмемо значення c o =(b+a/. Далі досліджуємо значення F (на кінцях відрізків і . Той з них, на кінцях якого F (прийме значення різних знаків, містить корінь, що шукається. Тому його приймають як новий відрізок). (Див. рис., тут корінь знаходиться на відріз-

23 ке. Потім отриманий відрізок ділимо навпіл і знову робимо перевірку знаків. F (a, F(b, F(c. Рис. Тепер корінь знаходимо на відрізку .) Потім знаходимо з с і т.д. Ітераційний процес триває до тих пір, поки F (не стане менше заданого числа: F (с.)). Робоча формула для знаходження кореня має вигляд з с. Число ітерацій у цьому методі залежить від попередньо задається точності і довжини відрізка і не залежить від виду функції F (. Метод повільний, завжди сходиться, можна отримати рішення із заданою точністю, широко застосовується на практиці Блок-схема алгоритму методу половинного поділу представлена ​​на рис., де відрізок, в якому знаходиться корінь рівняння, з корінь рівняння, число ітерацій; відповідної точки... Метод хорд Завдання. Знайти корінь рівняння F (з точністю. Нехай маємо відрізок , на кінцях якого F (змінює свій знак, де F (- монотонна функція. Нехай F (a, F(b. На рис. задача відшукання кореня методом хорд представлена ​​графічно. Будь-яка точка відрізка може бути першим наближенням кореня. З'єднаємо точки А і В прямий, тобто проведемо хорду. Таким чином, отримаємо b, яке є наближенням кореня.

24 Скористаємося рівнянням пучка прямих, що проходять через точку B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b)). Хорда повинна проходити через точку A(a, F(a, тобто F( a F(b k. ab Запишемо рівняння прямої F(a F(b y F(b (b. a b Початок Введення a, b, =, ε)) Обчислення F (a = + a b F (c b = c F (c Ні Ні F(c* F(a Так Так Висновок c, а = c Кінець Рис.. 4

25 5 Мал. Проведена пряма перетинає вісь ох ((((b a b b F a F b F y. Знайдемо х при у = (((, (((((b F a F b a b F b a F b a b F b)). Далі, порівнюючи знаки F( b і F(b, знайдемо новий відрізок . З'єднаємо новою хордоюточки А та В, таким чином знайдемо нове наближення кореня. Ітераційний процес триває до того часу, поки F(b стане по модулю менше числа: (b F. При вирішенні цим методом втратити корінь неможливо. Робоча формула методу хорд: b b b b b F a F b a b F b b або (((( де b початок відрізка, а кінець (точка а нерухома. Нерухливий той кінець, для якого знак) функції (F збігається зі знаком її другий похідної (F. Блок схема алгоритму методу хорд представлена ​​на рис. 4, де відрізок, в якому знаходиться корінь рівняння; b корінь рівняння; число ітерацій; F(b значення функції у відповідній точці).

26 .. Метод Ньютона (метод дотичних Як і раніше, знаходимо корінь F (. Маємо точність і відрізок , в якому знаходиться ізольований корінь. В якості початкового наближення приймається той кінець відрізка , для якого виконується умова F (F (.)). 5, на якому представлено графічне рішеннязавдання. З точки А проведено дотичну до функції. Точка перетину дотичної з віссю Oх є першим наближенням кореня на рис. 5 вона позначена як а. Потім з точки а проводимо пряму, перпендикулярно до осі ох. Точку перетину цієї прямої з функцією позначимо через А і т.д. Початок Введення b, = b b b = + F (b Так Ні Висновок b, Кінець Мал. (a F (a y F (a. a a. F (a y F a F (a (. (a 6)

27 Мал. 5 Початок Введення a, = а а а = + F (а Так Ні Висновок а, Кінець Рис. 6 Робоча формула методу дотичних: F(a a a, F(a a a a,... 7)

28 Ітераційний процес триває до тих пір, поки F (не стане менше заданого числа: F (a. При роботі з цим методом можлива втрата кореня, але при правильному застосуванніМетод він сходиться швидко, 4-5 ітерацій дають похибку -5, він використовується також для уточнення значення кореня. Блок-схема алгоритму методу дотичних представлена ​​рис. 6, де корінь рівняння; кількість ітерацій; F(a - значення функції у відповідній точці..4. Комбінований метод хорд і дотичних Завдання. Знайти корінь рівняння F (із заданою точністю. У цьому випадку використовується одночасно методи дотичних і хорд. Наближення до кореня відбувається з двох сторін. Розглянемо чотири випадки) , які відповідають можливим комбінаціямзнаків F (і F (. З графіків, представлених на рис. 7, метод хорд застосовується з боку увігнутості, а метод дотичних з боку опуклості графіка. Рис. 7 Спільне застосування обох методів дає відразу надмірне і недостатнє наближення. припускаємо, що F (, F (і F (безперервні на відрізку , причому F (і F (зберігають свій знак. Відомо, що збереження знака 8)

29 у F (говорить про монотонності F (, а збереження знака у F (означає, що опуклість кривої y F(при всіх [ a, b ] звернена в одну сторону. Для зручності розрахунку позначимо через той кінець відрізка , в якому знаки F (і F (збігаються. З можливих випадків розглянемо випадок перший. Нехай F (a* F(b і F (* F (, тобто. знаки першої та другої похідної збігаються)). При вирішенні рівняння кожна ітерація полягає в наступному: з точки А проведемо хорду, яка стягує дугу АВ, і проведемо дотичну до дуги таким чином, щоб точка перетину дотичної з віссю ох виявилося всередині відрізка. у точці А перетинає вісь ох у точці а, що лежить між точками а та шуканим коренем рівняння. .. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a)). доти, доки виконується одна з таких умов: a b, де - задана точність; F; (b або F(a F a b) Рис. 8 9

30 Усі округлення при обчисленнях слід проводити убік від кореня. На рис. 9 представлена ​​блок-схема комбінованого методу хорд та дотичних, де число ітерацій; а, b значення наближення кореня; F(а F(b значення функції в даних точках. Початок Введення a, b, = а а b b b з a b = + F (c Ні Так Висновок c, Кінець Рис Метод простої ітерації (метод послідовних наближень Щоб застосувати метод простої ітерації) рішення нелінійного рівняння F(=, необхідно перетворити його до наступного виду: (. (Це перетворення (приведення рівняння до виду, зручного для ітерації можна виконати різними способами; деякі з них будуть розглянуті нижче. Функція називається ітераційною функцією).

31 Виберемо якимось чином наближене значення кореня (х і підставимо його в праву частину рівняння (. Отримаємо значення х (х. Підставимо тепер х у праву частину (((рівняння (((, маємо х (х. Продовжуючи цей процес необмежено, отримаємо послідовність наближень до кореня, що обчислюються за формулою (((,. (Якщо існує межа побудованої послідовності (х lm, то, переходячи до межі в рівності) і припускаючи функцію безперервної, отримаємо рівність х (х). рівняння (. Метод допускає просту геометричну інтерпретацію. Побудуємо графіки функцій у = і у = (, (рис., а і, б. Коренем рівняння у = (є абсциса точки перетину кривої у = (з прямою у =. Взявши в якості початкової довільну точку, будуємо) ламану лінію. Абсциси вершин цієї ламаної є послідовними наближеннями кореня. З малюнків видно, що якщо "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>, То послідовні наближення сходяться до кореня монотонно. a б Мал.

32 При використанні методу простих ітерацій основним моментом є вибір функції у = (, еквівалентної вихідної. На рис. розглянуто приклад, коли умова закінчення ітераційного процесу y виконується на першому кроці ітераційного процесу, тобто з цього випливає, що х є наближеним значенням шуканого кореня. Однак з рис. видно, що це неправильно, тому що рішенням завдання є. Для методу ітерацій слід підбирати функцію (так, щоб "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 якщо (q, то (y (q. Приклад. Привести рівняння до виду, придатного для вирішення методом простої ітерації на інтервалі [,8; ]). Додамо до правої та лівої частин х і отримаємо:. Перевіримо умову збіжності: ((;;); (при х [,8; ], умова збіжності не виконується. Інший варіант рівняння:. Перевіримо умову збіжності: ((; (4 при х [,8; ]), умова збіжності не виконується. Оскільки жодне з наведених нами рівнянь не задовольняє умові збіжності, то застосовуємо описаний спосіб: ; Застосувати важко або він не дасть потрібного результату, можна використовувати наступний прийом: Нехай дано рівняння з єдиним коренем в. Вважатимемо, що f (, тому що в іншому випадку можна р розглядати рівносильне рівняння: f (. Введемо позначення: m m m f (, M ma f (, k і q -. [c; d] [c; d] M M

34 Ясно, що q. Замінимо рівносильне рівняння рівнянням еквівалентним йому k f (і покажемо, що для функції g(k f (на має місце умова збіжності). Для [ c, d] справедливі нерівності: m f (M.). дробами отримаємо нерівність: f (m q, M M звідки і випливає, що g(k f (q при всіх [ c, d]). Приклад. Привести рівняння l до виду, придатного для вирішення методом простої ітерації на інтервалі [,4;, 7] Оскільки умова збіжності не виконується, то застосуємо другий спосіб приведення рівняння: f (; f (,4,4,4,7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99); m m f (m,99; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44; Таким чином, для уточнення потрібного нам кореня методом простої ітерації можна використовувати рівняння, l Приклад. Привести) рівняння l до виду, придатного для вирішення методом простої ітерації на інтервалі [,7;,].

35 Оскільки умова збіжності не виконується, то застосуємо другий спосіб приведення рівняння: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, mm f (m,4; M ma) f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 Таким чином, для уточнення потрібного нам кореня методом простої ітерації можна використовувати рівняння l,5(. l Приклад. Привести рівняння e на вигляд) , Придатний для вирішення методом простої ітерації на інтервалі [,;, 7].Так як умова збіжності не виконується, то застосуємо другий спосіб приведення рівняння: f f (, (, f (,7 (,7 ((e;, e,7)) e,7 5,5;,7;

36 m m k M f (M ma f (5,5; m,7; M 5,5; m,7 q,9. M 5,5 Таким чином, для уточнення потрібного нам кореня методом простої ітерації можна використовувати рівняння, p align="justify"> Блок схема алгоритму методу простої ітерації представлена ​​на рис., де c корінь рівняння; число ітерацій; 6

37 . Контрольні завдання Розв'язати рівняння з одним невідомим розглянутим методом. l.. cos. l. 4. cos 5. cos. 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg,5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos.

38 7. e 4. 8.,9 s. 9. e. 4. s. 4. e 4.,58 s. 4. s s. 46. ​​cos. 47. ctg. 48. s e. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5) , (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, e))). (e. 8. e... 8

39 Контрольні питання. Метод половинного поділу. Чому цей метод вважається надійним методом розв'язання нелінійних рівнянь? У чому недолік цього методу? Чи завжди потрібно перевіряти умови збіжності для розглянутих методів? Чим пояснюється доцільність застосування комбінованих методів, зокрема методу хорд та дотичних? 4. Умови збіжності методу простих ітерацій. 5. Умови закінчення ітераційного процесу, які у програмі. 6. Назвіть етапи наближеного визначення коріння. 7. Що є коренем чи розв'язанням нелінійного рівняння? 8. Наведіть геометричну інтерпретацію методу половинного поділу. 9. Який кінець хорди нерухомий при реалізації методу хорд? Як вибирається у методі Ньютона перше наближення? Запишіть алгоритм розв'язання задачі методом хорд. Метод половинного поділу. Чому цей метод вважається надійним методом розв'язання нелінійних рівнянь? У чому недолік цього методу? Чи потрібно перевіряти умови збіжності для розглянутих методів? 4. Чим пояснюється доцільність застосування комбінованих методів, зокрема методу хорд та дотичних? 5. Умови збіжності методу простих ітерацій? 6. Умови закінчення ітераційного процесу, які у програмі? 7. Назвіть етапи наближеного визначення коріння. 8. Що є коренем чи розв'язанням нелінійного рівняння? 9. Наведіть геометричну інтерпретацію методу половинного поділу. Який кінець хорди нерухомий при реалізації методу хорд? Як вибирається у методі Ньютона перше наближення? Запишіть алгоритм розв'язання задачі методом хорд. 9

40 Лабораторна робота. Інтерполяційна формула Лагранжа Введення Приватним випадком завдання наближення однієї функції до іншої є інтерполяція. Йтиметься про наближення функції однієї змінної. Завдання інтерполяції виникають у практиці інженера у разі: інтерполювання табличних даних; отримання аналітичної залежності за експериментальними даними; заміни складної з обчислювальної точки зору функції більш простою залежністю; наближеного диференціювання та інтегрування; чисельного розв'язання диференціальних рівнянь. Мета роботи: обчислити значення функції, заданої таблично, у точках, що не збігаються з вузлами, використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа. Порядок виконання. Вивчити теоретичний матеріал. Скласти програму для вирішення задачі, налагодити її. Розв'язати заданий варіант контрольного завдання. 4. Скласти звіт, що містить завдання, листинг програми, обчислені значення функції. 5. Захистити лабораторну роботу. Постановка задачі Вихідна функція у = F(задана на відрізку у вигляді таблиці з нерівновіддаленими вузлами (х + х cost. Для аналітичного запису цієї функції за допомогою інтерполяційної формули необхідно виконання умови, що полягає в тому, що вихідна функція і функція, що її замінює φ (х повинні збігатися у вузлах, тобто необхідно виконання умови F(= φ (, де ì =,.) (Функцію у = F(представимо у вигляді полінома ступеня п: L (х = а + а х +) а х а п х. (4

41 Скористаємося для цього поліномами, кожен з яких у точці х = х (=, набуває значення у=, а у всіх інших вузлах =, =, = -, = +, = звертає y в нуль y=y =y = =- , + = = y =. Рис., j; коефіцієнта може бути знайдено при =, так як P, C, (4 звідки C. (5 Підставляючи (5 в (, отримаємо P. (6 Ступінь полінома дорівнює п.). Нумерація точок починається з і закінчується п, при цьому -я точка випадає). Отриманий поліном представляє вихідну функцію у = F (тільки в одній точці. Для представлення всієї таблично заданої функції таких поліномів потрібно п. L 4 P y. (7)

42 4. Приватні випадки полінома Лагранжа Розглянемо окремі випадки полінома Лагранжа при п=; п=; п=. Для п= вихідна таблиця функції буде виглядати наступним чином: y y, тоді за формулою (7 маємо y y y P y P L. Для випадку п = : y y y. y y y y y y y y P y P L Для випадку п =: y y y y. y P y Розглянемо конкретний приклад: Функція задана таблицею своїх значень Обчислити значення функції в точці,5.

43 Значення функції y= l х 4 5 y= l,69,986,86,694 Використовуємо перші три значення як вузли інтерполювання, отримаємо: L (=((-(-4/(-(-4,69+((-(-) 4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-,589 +,7 -,47; L),,5=,9. L Поліном третього ступеня будуємо по чотирьох вузлах)) : ,9,86,94,6849; , L,99.,69,986,89 Для порівняння вкажемо, що в чотиризначних таблицях значення l,5 =,99. , у всіх інших точках L(представляє функцію F(на відрізку приблизно. Без висновку запишемо формулу, що використовується для оцінки похибок: f R f (L(, (8! де R залишковий член або похибка; f (+ я похідна від вихідної функції)). при цьому будемо припускати, що F(на відрізку a b змін х буде мати всі a,b, похідні до (+-го порядку включно; точка вона надає максимальне значення функції f полінома,. ; ступінь 4

44 Мал. 44

45 Оцінимо похибку функції, заданої таблицею, виберемо ступінь полінома п =, задана функція y = l. Знайдемо похідну третього порядку y"=/; y""=/, y"""=/. Вочевидь, що максимальне значення y""" отримаємо при =: y"""=/ =/4. R (,5 (,5 (,5 4, Алгоритм виконання завдання по лабораторній роботі) представлений на рис. X X X X X,5,54,5 8,6579,5,8678,45,946,55 4,8, 8,99,887,46 9,6,6 6,598,5 7,9589,5,7788,47 8,945 ,65 8,4747, 7,6489,7488,48 8,746,7 4,447,5 7,65,5,74688,49 7,75 4,5,4 7,96,4,67,5 6,8 44, 7,45 6,8485,45,6768,5 5,984,85 46,99,5 6,6659,5,665,5,9484,9 49,44,55 6,9986,55,57695,5,558,95 5 6,9658,6,5488,54,997 =,5 =, =,7 =,455 =,9 =,6 =,58 =, X X X X X X X,4 -,4476,4 4,556,5 4,487 ,9984,5 -,597,45 4,55,6 4,95,6,9595,6 -,7446,5 4,455,7 5,479,965,7 -,896,55 4,5684,8 6,496,6,87695, 8 -,5,6 4,6744,9 6,6859,8468,9 -,779,65 4,798, 7,89,6,87789,4 -,95,7 4,96, 8,66,775,4 -, 4598,75 5,49, 9,5,6,744,4 -,599,8 5,7744, 9,974,4,749,4 -,77,85 5,6,4,46,68547 =,45 =,6 =, 55 =, 7 =, 47 =, 84 =, 8 =, 45 45

46 9 X X X X X X X,8 5,654,68,45,88855,5,644,85 5,4669,6,7644,4,889599,76,9 5,64,9,45,8967,5,967, 95 5,94,6,67,4,89667,54, 5,6649,45,89687,5,8,5 4,9469,6,66,44,89698,4,4776, 4,87,57,445, 8947,45,8759,5 4,76,6,677,45,89569,5,467, 4,6855,4,857,455,896677,55,45688,5 4,599,46,9959,46,89 =, 46 =, 7 =, 7 =, 5 =, 457 =, X X X X X X X, 5,56,5,576,4-6,94647,7,4499,6,89,44-7, 8945 5,8655,9,59,7,8,54-7,67 7,776,59774,8,5,64-7,8678 9,446,6587,9,697,74-7,5445,66977,5,74 4,6 84-7,75,77648,7,769 4,498,94-7,8666 5,999,9,86 4,458,4-8,56 7,7558,8474 4,4586,4-8,46 9,449,888 =, 48 =, 68 =, 46 =, 7 х =, 87 = 4, =, 5 = 9, X Y X Y X Y Y Y Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688, 95,67884,48 -,8 -,99,7 -,474,69,49 -,947, -,796, -,9987,5,6546,5 -,8768,4 -,79,9 --, 96,6754,5 -,84,7 -,69,45 -,88,5,696759,5 -,7444, -,584,5 -,486,77685,5 -,6788, -,5,57 - ,74,5,784,54 -,66,6 -,4858,6 -,6664,75847,55 -,5489,9 -,4464,69 -,8,5,7777,56 -,4846, -,49 х =, 6 х =, 9 х =, 475 х =, 64 х =, 66 х =, х =, 55 9 х =, 46

47 4 X X X X X X X,7 -,7896 5,5,964,4 -,788,789 -,98,8 -,7445 5,969,5 -,498,79 -,978,9 -,5,94585, 6 -,65,79 -,98, -,6696 5,9555,7 -,9945,79 -,997, -,6659 5,5,9658,8 -,96758,79 -,957, -,595 5 ,97456,9 -,946,794 -,97, -,5664 5,5,98949,4 -,969,795 -,977,4 -,596 5,4,995,4 -,896,796 -,947,5 -,547 5, 45,468,4 -,8675,797 -,9497,6 -,4945 5,5,6,4 -,8497,798 -,9557 =,79 х = 5,6 х =,87 х =,78 х =, 5 х = 5,48 х =, 44 х =, X У X У X У X У,75 4,5,5 7,65,7488,9 5,6,8 44,7,4 7,96,5 ,74688,95 5,9,85 46,99,45 6,8485,4,67, 5,664,9 49,44,5 6,6659,45,6768,5 4,946,95 5,954,55 6,965 , 4,87 4, 54,598,6 6,9658,55,57695,5 4,76 4,5 57,975,65 6,55,6,5488, 4,685 4, 6,4,7 5,8558,65,546 4,59 4,5 6,44,75 5,6558,7,496585, 4,44 4, 66,686,8 5,4954,75,476,5 4, =,76 =,6 =, х =,98 = 4 ,7 х =,7 х =,74 х =,7 9 X X X X X X X,7 5,479,4,88959,6,7644,6 6,598,8 6,496,45,896,9,65 8,474,9 6 ,6859,4,8966,6,67,7 4,447, 7,89,45,8968,75 4,5, 8,66,44,8969,6,66,8 44,7, 9,5,445,8947, 57,85 46,99, 9,974,45,89569,6,677,9 49,4,4,455,8966 7,4,857,95 5,95,5,85,46,89765,46,9959 4, 54,598,6,467,465,8986,5,4579 4,5 57,97 =,74 х =,46 х =,8 х = ,6 =, х =, 46 х =, 5 х = 4, 47

48 4 5 6 X X X X X X X,5 7,9589,5,7788,47 8,945,99, 7,6489,748,48 8,746,885,5 7,65,5,7468,49 7,4, 6755,4 7,96,4,67,5 6,6,555,45 6,8485,45,676,5 5,984,8,5,5 6,6659,5,665,5,9484,4,55 6,9986,55, 57695,5,558, -,584,6 6,9658,6,5488,54,997,4 -,555,65 6,55,65,54,55 9,647,6- -,445,7 5,8558,7,49658 ,56 7,5,8 -,69 =, 6 х =, 7 х =, 465 х =, =, 67 х =, 67 х =, 557 х =, X У X У X У X У, 99, - ,46 6,68,7,486:8,885, -,5885 6,5,5,9,985,5,6755,4 -,774 6,7,448,69,7,555,6 -,8569 6,9,5784,67,9 ,5,8 -,94 7,79,5,87,4, -,99 7,854,7,79, -,584, -,998 7,5,98,9,466,5 -,555,4 -,45 7,7,988,7 -,445,6 -,489 7,9,9989,98,9 -,69,8 -,5 8,5,5,85 х =,7 =,8 х =, =,7 х = 6, = 7,6 х =, 75 =, X Y X Y X Y X Y, 45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55,6,57, 64,58,655,59,6696,6,684,6,79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74,9,75, 96,77,9696,78,989,79,4,8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9,6,9, 9,49,94,69 x =,48 x =,48 x =,5 x =,5 x =,87 x =,9 x =,9 x =,9 48

49 X X X X X X,5,546,5,5859,7,4,7,75,55,6,58,655,8,479,8,6,684,6,79,9,484,9,545,65,76,68,887, 7456,8,7,84,7,8949,44, 957,75,96,78,989,55,4,8,96,8,94,75,78,85,8,88,97,4 4,96 ,4 4,787,9,6,9,49,5 4,567,5 4,68,95,984,98,49,6 5,8,6 5,9 х =,49 х =,5 х =,75 х =, 7 х =,9 х =,95 х =,6 х =, X У X У X У X У,8,94,998,5,548,5,5558,9,68,955,6,665,6,675,669,5,4794,7,768,7 ,7966, 4,9,7,644,8,95,8,986, 4,457,9,78,9,554,9,7, 4,97,89,6,4 5,466,966,69,86,5 6,5,5,9975 ,546,5645,6 6,6947,7,78,758,7 7,46,9,6,4,9477,4,9697 х =,8 х =, х =,59 х =,55 х =, х = 8,947,97,75,474,98 8,4,8546,4,744,95,867,4,9 8,6,744,5,75,5,66,6,85 8,8,5849 ,6 4,96,5,59,8,6967 9,4,7 4,9,55,545 9,9,8 5,8,75,78,64 9,4,48,9 6,859,95,4, 4,699 9,6 -,74, 8,5,65,6 -,9 9,8 -,665, 9,6,5,954,8 -,7, -,544,648,55,78 х =, х =8, 5 х =, 5 х =, 78 =, 66 = 9,9 =, 4 =, 45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y,7 X,8 Y X,5,5 Y 4, X -,7568 Y,5 X,5 Y 84,8,54,55,5666,4,6,666,9 4 ,65 -,876 8,4747,6,6485 8,99,9,64,4596,6846,4,7,7586,9 4,4,7 -,956 4,447,7,5,77 7,9589, 74,78,894,44,8,888,947 4,6,75 -,997 4,5,8,965 7,6489,84,64,94,46,9,65,896 4,8,8 -,996 44,7,9,5 ,49 7,65,94,847,48,75,887 5,85 -,68 46,99,4,97 7,96,4,669,79,5,56,8776 5,9 -,5 49,44,45,54 6,8485,4,4 4,55,45,5,595,8678 5,4,95 -,67 5,954,5,576 6,6659,5,4 4,487,585,54,6984,8577 5,6 4, -5 ,55,78 6,9986,6,4 4,95,7786,56,4,94,847 5,8 4,5 -,4 57,975,4,6,959 6,9658 х,44 =,75,999,58 х =, 54,865 4, х = 4, 6,4,65 х =, 56,55 х =, 55,55 х =, 4,5 х =, 655 5,7 х =, 6,7 =, 46 =, 57 = 4,7 =, X Y X Y X Y X Y,46 9,6,6,959,6 4,95,45 4,55,47 8,945,96,7 5,479,5 4,455,48 8,746,6,8769,8 6,495,85 49 7,.846,9 6,6859,6 4,6744,5 6,6,877, 7,89,65 4,798,5 5,984,775, 8,66,7 4,96,5,9484,6,744, 9,5, 75 5,49,5,558,4,74, 9,974,8 5,7744,54,997,46,6854,4,85 5,6,55 9,647,5,6579,5,85,9 5,6 х =,55 =, 65 х =, 66 х =, 465 =, 7 =, 57 =, 57 =, X Y X Y X Y X Y,5,58,565,88,5,984,5,564,675,5,7,6,9,5,564,747,4549,7,88,5,495,797,5,794,8,846,54,4894,4,8868 5,44774,765,56,478,6,848,4855,796,57,4745,7,964,5,5745,67,58,46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,45,58 5669 х =, 59 =, 7 х =, 5 х =, 56 =, 6 =, 87 =, 44 =, 7 5

51 X Y X Y X Y X Y,66,596,6,796,6,7455,6,446,97,94,97,69,469,978,469,896,4,554,4,98,4,554,4,49,5,6467,5,5 ,7554,6,75,6,55,7,864,7,6,7,864,7,847,8,9896,8,8,9896,8 4,57,9,77,9,66,9,77,9 4 ,57 х =, 55 =, 65 х =, 8 х =, 6 =, 7 =, 57 =, 87 =, 8 Контрольні питання. Що позначають терміни: апроксимація, інтерполяція, екстраполяція? Заходи інтерполяційні формули для таблиць: a зі змінним кроком; b з постійним кроком. 4. Кінцеві різниці, як їх обчислити? 5. Розділені різниці, як вони обчислюються? аналітичному вигляді, використовуючи інтерполяційні формули Х - У Запишіть окремі випадки формули Ньютона для п =, п = 8. Запишіть окремі випадки формули Лагранжа для п =, п =, п = 9. Як оцінити похибку інтерполяційної формули? Лагранжа.. Обчислити кінцеві різниці різних порядків: 5

52 . Побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа для таблично заданої функції у = пх:. Записати функцію в аналітичному вигляді, використовуючи при цьому розділені різниці: 4. Як можна визначити найкращий ступінь апроксимованого полінома? 5. Чи можна при апроксимації довільно задавати ступінь апроксимуючого полінома? 6. Знайти многочлен найменшого, який у даних точках задані значення. y,45,4,6 4,5,4 5,65 7. Записати в аналітичному вигляді, таблично за цю функцію. y 4 6 5

53 Лабораторна робота 4. Метод найменших квадратів Мета роботи: вибрати вид залежності та визначити невідомі параметри таблично заданої функції, використовуючи метод найменших квадратів. Порядок виконання. Ознайомитися з описом лабораторної роботи. Для заданого варіанта визначити: а вид залежності; б невідомі параметри. Скласти звіт. 4. Відповісти на контрольні питання. 5. Захистити лабораторну роботу.. Опис методу Нехай в результаті експерименту отримано таблицю деякої функції F(y y y y Потрібно знайти функцію виду y = F(, яка в точках, приймає значення, найбільш близькі до табличних значень y,y,y). емпіричною формулою або рівнянням регресії y на, саму функцію називають функцією, що наближає, або апроксимує.На практиці цю наближувальну функцію знаходять таким чином. від характеру точкового графіка часто використовують такі функції: y = a + b; y = a + b + c; y = a m; b; y=a/+b; y=/(a+b, y=a e m ; де a, b, c, m константи. Вибір апроксимуючої функції не алгоритмізований, на допомогу приходить досвід укладача формули, часто потрібну ап-5

54 функцію, що проксимує, знаходять перебором. Як допоміжний засіб можна використовувати метод вирівнювання. Таким чином, якщо вид наближувальної функції встановлений, завдання зводиться до пошуку значень параметрів. Їх можна визначити за методом найменших квадратів, суть якого полягає в наступному. Нехай потрібно знайти апроксимуючу функцію, наприклад, з трьома параметрами: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (Для (де =, з таблиці ця функція прийме значення =F(,a,b,c), які мають як можна менше відрізнятися від заданих (табличних значень, тобто різниця повинна бути близька до нуля. Тому сума квадратів різниць відповідних значень функцій F(і y F a, b, c F a, b c, також повинна набувати мінімального значення. Таким чином, завдання звели до пошуку мінімуму функції Ф (a, b, c. Використовуємо необхідну умову екстремуму: Ф, а Ф, b Ф, c або y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, Вирішивши цю систему з трьох рівнянь з трьома невідомими, отримаємо значення параметрів a, b, c, отже, отримаємо конкретний вид наближувальної функції F (, a) ,b,c Очевидно, що значення знайденої функції F(,a,b,c у точках будуть відрізнятися від табличних значень y,y,y.. Значення різниць y F, a, b, c, де =,.. , називаються відхиленнями даних значень y від обчислених за формулами е (. Сума квадратів відхилень (має бути найменшою. Зазначимо, що з кількох наближень для однієї і тієї ж табличної функції найкращим є те, для якого має най-

55 менше значення. У нашому випадку функція, що наближає, залежала від трьох параметрів, проте зміна кількості параметрів вплине тільки на зміну кількості рівнянь системи (, а суть методу залишиться колишньою. Розглянемо окремі випадки знаходження апроксимуючих функцій. Лінійна функція Нехай потрібно знайти наближувальну функцію у вигляді , a, b = a + b. Оскільки її приватні похідні за параметрами a і b:, a, b F b, a, b, то система (набуде вигляду: F a, y a b, y a b. Після нескладних перетворень її можна привести до вигляду: y a b, (а y a b. Вирішивши систему, отримаємо значення параметрів a і b, отже, і конкретний вид наближає функції F(,a,b = a+b. Приклад. Знайти апроксимуючу функцію у вигляді лінійного полінома F( ,a,b = a+b y 66,7 7, 76, 8,6 85,7 9,9 99,4,6 5, Складемо систему рівнянь, точніше, скористаємося системою (а. Використовуючи наявні дані, отримаємо = 9; = ; = = 8,; = 54,8; = 46. Розв'яжемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо а і b, отримаємо а =, 87; світуюча функція має вигляд F(,a,b =,87+9,. 55

56 . Квадратична функція Нехай потрібно знайти апроксимуючу функцію у вигляді квадратичної: F(,a,b,c = a + b + c. Оскільки її похідні по параметрах a, b і c відповідно рівні: F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c, то система (набуде вигляду: y a b c, y a b c, y a b c. Вирішивши систему, отримаємо значення параметрів a, b і с, отже, і конкретний вид апроксимуючої функції F(,a,b,c=a +b+c. 4. Ступенева функція Нехай потрібно знайти апроксимуючу функцію у вигляді статечної: F(,a,m = a m. (За умови, що a> і в заданій таблиці значення) аргументу та значення функції позитивні, прологарифмуємо рівність (: lf = la + ml. Введемо наступні позначення u = l; A = m; B = la, тоді lf буде функцією від u: Ф (u, A, B = Au + B). Таким чином, знаходження параметрів статечної функціїми звели до знаходження параметрів лінійної функції. Тому подальше вирішення поставленого завдання буде аналогічним першому випадку. Так як приватні похідні функції Ф(u,A,B за параметрами А, В: Ф а u, Ф, то система (набуде вигляду: b u y A u B u, y Au B. 56

Лекція3. 3. Метод Ньютона (дотичних. Задамо деяке початкове наближення [, b] і лінеаризуємо функцію f(в околиці за допомогою відрізка ряду Тейлора f(= f(+ f ")((-. (5 Замість рівняння))

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» Методичні вказівки до лабораторної роботи «Обчислення коренів трансцендентних рівнянь»

Розв'язання нелінійних рівнянь Не завжди алгебраїчні або трансцендентні рівняння можуть бути вирішені точно Поняття точності рішення має на увазі:) можливість написання « точної формули», а точніше кажучи

Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь -1- Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь 4.0. Постановка задачі Завдання знаходження коріння нелінійного рівняння виду y=f() часто зустрічається в наукових

РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. полягає у знаходженні значень

ФДБОУ ВО «Саратовський національний дослідницький державний університет імені М.Г. Чернишевського» А.І. Зініна В.І. Копніна Чисельні методи лінійної та нелінійної алгебри Навчальний посібник Саратов

РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ виду Чисельне рішення нелінійних алгебраїчних або трансцендентних) рівнянь f =) полягає в знаходженні значень,

Лабораторна робота на тему «Тема.. Методи вирішення нелінійних рівнянь» Перейти до Теми. Тема. Огл.... Питання, що підлягають вивченню. Постановка задачі чисельного розв'язання нелінійних рівнянь.

Лекція 9 3. КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ Нехай дано нелінійне рівняння (0, (3.1 де (функція, визначена і безперервна на деякому проміжку. У деяких випадках)

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ Державна освітня установа вищої професійної освіти «ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра інформатики та методики

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ ТОМСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ

Державна бюджетна освітня установа середньої професійної освіти «Володимирський авіамеханічний коледж» МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з дисципліни

Постановка задачі Метод половинного поділу Метод хорд (метод пропорційних частин 4 Метод Ньютона (метод дотичних 5 Метод ітерацій (метод послідовних наближень) Постановка задачі Нехай дано

Міністерство освіти і науки РФ Державна освітня установа вищої професійної освіти Томський державний університет систем управління та радіоелектроніки ТУСУР Кафедра

2 Чисельні методи розв'язання рівнянь. 2.1 Класифікація рівнянь, їх систем та методів розв'язання. Рівняння та системи рівнянь діляться на: 1) алгебраїчні: рівняння називається алгебраїчним, якщо над

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ (ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладної математики М.В. Лукіна МЕТОДИ ПРИБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Факультет прикладної математики процесів управління А. П. ІВАНОВ ПРАКТИКУМ ЗА ЧИСЛОВИМИ МЕТОДами МЕТОД НЬЮТОНА Методичні вказівки Санкт-Петербург 2013

Федеральне агентство з освіти Російської Федерації Ухтинський державний технічний університет Обчислювальна математика Методичні вказівки та контрольні роботиУХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Інформатика» семестр 3 Новосибірськ 008 Міністерство науки і освіти РФ Новосибірський технологічний інститут Московського державного

А. П. Іванов Методичні вказівки Тема 4: Метод Ньютона розв'язання нелінійних рівнянь та систем рівнянь факультет ПМ ПУ СПбДУ 2007 Зміст 1. Рішення скалярних рівнянь................... ........

1 Багаточлен Лагранжа Нехай з експерименту отримано значення невідомої функції (x i = 01 x [ a b] i i i Виникає завдання наближеного відновлення невідомої функції (x у довільній точці x

Чисельне рішення нелінійних рівнянь -1- Чисельне рішення нелінійних рівнянь 0. Постановка задачі Завдання знаходження коренів нелінійного рівняння виду y=f() часто зустрічається в наукових дослідженнях

Завдання на практичні заняття з дисципліни «Обчислювальна математика» Практичне заняття на тему Теорія похибок Контрольні питання Дайте визначення обчислювального експерименту Намалюйте схему

Оціночні засоби для поточного контролю успішності, проміжної атестації за підсумками освоєння дисципліни та навчально-методичне забезпечення самостійної роботи студентів 1 Розрахункові завдання Варіанти

Лекція 2. Розв'язання нелінійних рівнянь. Постановка задачі: Знайти коефіцієнт похибки приладу при проведенні геодезичних вимірювань з рівняння: cos σ σ 2 + η = 0 Значення δ = 0,186, υ = 4,18,

ЗАНЯТТЯ ПРИБЛИЖЕНЕ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Відділення коренів Нехай дано рівняння f() 0, () де функція f() C[ a; Визначення Число називається коренем рівняння () або нулем функції f (), якщо

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ПЕНЗЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЧИСЛІВІ МЕТОДИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт ПЕНЗА 7 Наведено методику та

Methods.doc Методи наближених обчислень Стр.1 з 6 Загальна умова задачі: Двома заданими чисельними методами обчислити наближене значення кореня 1 функціонального рівняння виду f()=0 для N значень

20 Практичне заняття 3 Розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри ітераційними методами Тривалість роботи - 2 години Мета роботи: закріплення знань про методи простої ітерації та Гаусса-Зейделя;

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Костромський державний технологічний університет І.В. Землякова, О.Б. Садовська, А.С. Ілюхіна КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ Рекомендовано редакційно-видавничим

РОЗДІЛ НЕЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ. Поняття та визначення. Постановка задачі. Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим є одним із важливих математичних завдань, що виникають у різних розділах

Численні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь.. Розв'язання задачі Коші... Завдання Коші для одного звичайного диференціального рівняння. Розглядається завдання Коші для одного диференціального

1 Розв'язання рівняння з одним невідомим Дано рівняння у вигляді f(x)=0 де f(x) деяка функція змінної x. Число x * називається коренем чи рішенням даного рівняння, якщо при підстановці x = x * до рівняння

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Московський державний університет геодезії та картографії (МІІГАіК) Факультет дистанційних формнавчання Заочне відділенняПРОГРАМА І КОНТРОЛЬНА

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ЧИСЛІВІ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ТА ІНТЕГРУВАННЯ У цьому розділі розглянуто завдання наближення функцій за допомогою багаточленів Лагранжа та Ньютона з використанням сплайн інтерполяції

МІНІСТЕРСТВО СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «КУБАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплексдля студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологійМодуль Диференціальне обчислення Упорядник:

МОДУЛЬ «Застосування безперервності та похідної. Застосування похідної дослідження функцій». Застосування безперервності. Метод інтервалів.. Стосовна до графіка. Формула Лагранжа. 4. Застосування похідної

Запитання на іспит з курсу Обчислювальні методи лінійної алгебри 2-й курс, 3-й семестр Лектор: професор С.Б. Сорокін Частина 1. Чисельний аналіз Тема 1. Алгебраїчні методиінтерполювання. 1. Формулювання

Лабораторна робота Мета роботи: Закріплення навичок роботи з основними синтаксичними конструкціямимови Сі та вміння організовувати цикли та виконувати обчислення. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА.. Методи вирішення

Pascal 13. Розв'язання нелінійних рівнянь. Нелінійні рівняння можна розділити на 2 класи - алгебраїчні та трансцендентні. Алгебраїчними рівняннями називають рівняння, що містять лише алгебраїчні

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Тамбовський державний технічний університет»

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «УЛЬЯНІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

А.П.Попов Методи оптимальних рішень Посібник для студентів економічних спеціальностей вузів Ростов-на-Дону 01 1 Введення У прикладній математиці є кілька напрямків, націлених насамперед

Степенні ряди a a a Ряд виду a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний ряд більш загального виду: a(a) a(a) a(a) (), де

Кафедра математики та інформатики Математичний аналізНавчально-методичний комплекс для студентів ВПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль 4 Додатки похідної Упорядник: доцент

) Поняття СЛАУ) Правило Крамера рішення СЛАУ) Метод Гауса 4) Ранг матриці, теорема Кронекера-Капеллі 5) Рішення СЛАУ зверненням матриць, поняття обумовленості матриць) Поняття СЛАУ О. СЛАУ система

КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ. Розглядається завдання Коші

Глава 4 Основні теореми диференціального обчисленняРозкриття невизначеностей Основні теореми диференціального обчислення Теорема Ферма (П'єр Ферма (6-665) французький математик) Якщо функція y f

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ Державна освітня установа вищої професійної освіти «Уральський державний університет ім. А.М. Горького» ІОНЦ «Бізнес – інформатика»

КІЛЬКІСНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ВИДАВНИЦТВО ГОУ ВПО ТДТУ Міністерство освіти і науки Російської Федерації Державна освітня установа вищої професійної освіти «Тамбовський державний

Міністерство транспорту Російської Федерації (Мінтранс Росії) Федеральне агентство повітряного транспорту(Росавіація) ФДБОУ ВПО «Санкт-Петербурзький державний університет цивільної авіації» Еге.

Міністерство освіти Російської Федерації ФДБОУ ВПО «Південно-Уральський державний університет» (НДУ) Філія ФДБОУ ВПО ЮУрГУ (НДУ) у м. УстьКатаве Кафедра Машинознавство Розрахунковографічна робота з

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ТОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ Робоча програмадисципліни ВИЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА Напрямок підготовки 010300 Фундаментальна інформатика та інформаційні

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ НИЖЬІМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ. Р.Є.Алексєєва ПРАКТИКУМ ПО

4 Ітераційні методи рішення СЛАУ Метод простих ітерацій При великому числірівнянь прямі методи вирішення СЛАУ (за винятком методу прогонки) стають важкореалізованими на ЕОМ насамперед через