Розв'язання раціональних рівнянь як вирішувати. Раціональні рівняння - Гіпермаркет знань

"Рішення дробових раціональних рівнянь"

Цілі уроку:

Навчальна:

формування поняття дробових раціонального рівняння; розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь; розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю; навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом; перевірка рівня засвоєння теми шляхом проведення тестової роботи.

Розвиваюча:

розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити; розвиток інтелектуальних уміньі розумових операцій- аналіз, синтез, порівняння та узагальнення; розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому; розвиток критичного мислення; розвиток навичок дослідницької роботи.

Виховує:

виховання пізнавального інтересудо предмета; виховання самостійності при вирішенні навчальних завдань; виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.

Тип уроку: урок - пояснення нового матеріалу

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці! На дошці написані рівняння подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити? Які ні і чому?

Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна роботаіз класом.

А зараз ми повторимо основний теоретичний матеріал, який знадобиться нам для вивчення нової теми. Дайте відповідь, будь ласка, на такі запитання:

1. Що таке рівняння? ( Рівність зі змінною чи змінними.)

2. Як називається рівняння №1? ( Лінійне.) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. ( Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Привести подібні доданки. Знайти невідомий множник).

3. Як називається рівняння №3? ( Квадратне.) Способи розв'язання квадратних рівнянь. ( Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)

4. Що таке пропорція? ( Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. ( Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)

5. Які властивості використовуються під час вирішення рівнянь? ( 1. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)

6. Коли дріб дорівнює нулю? ( Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

3. Пояснення нового матеріалу.

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №2.

Відповідь: 10.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати розв'язати, використовуючи основну властивість пропорції? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8

Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №4.

Відповідь: 1,5.

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

D=1>0, х1=3, х2=4.

Відповідь: 3;4.

Тепер спробуйте вирішити рівняння №7 одним із способів.

Поясніть, чому так вийшло? Чому в одному випадку три корені, в іншому – два? Які числа є корінням даного дробно-раціонального рівняння?

Досі учні з поняттям стороннього коріння не зустрічалися, їм справді дуже важко зрозуміти, чому так вийшло. Якщо в класі ніхто не може дати чіткого пояснення цієї ситуації, тоді вчитель задає питання, що наводять.

Чим відрізняються рівняння № 2 та 4 від рівнянь № 5,6,7? ( У рівняннях № 2 і 4 у знаменнику числа, № 5-7 – вирази зі змінною.) Що таке корінь рівняння? ( Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильну рівність.) Як з'ясувати чи є число коренем рівняння? ( Зробити перевірку.)

Під час перевірки деякі учні зауважують, що доводиться ділити на нуль. Вони роблять висновок, що числа 0 і 5 є корінням даного рівняння. Виникає питання: чи існує спосіб розв'язання дробових раціональних рівнянь, що дозволяє виключити цю помилку? Так, це спосіб ґрунтується на умові рівності дробу нулю.

х2-3х-10 = 0, D = 49, х1 = 5, х2 = -2.

Якщо х=5, то х(х-5)=0, отже 5- сторонній корінь.

Якщо х=-2, то х(х-5)≠0.

Відповідь: -2.

Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:

1. Перенести все до лівої частини.

2. Привести дроби до спільному знаменнику.

3. Скласти систему: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

4. Розв'язати рівняння.

5. Перевірити нерівність, щоб унеможливити стороннє коріння.

6. Записати відповідь.

Обговорення: як оформити рішення, якщо використовується основна властивість пропорції та множення обох частин рівняння загальний знаменник. (Доповнити рішення: виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник).

4. Первинне осмислення нового матеріалу.

Робота у парах. Учні вибирають спосіб розв'язання рівняння самостійно залежно від виду рівняння. Завдання з підручника «Алгебра 8», 2007 № 000(б, в,і); № 000 (а, д, ж). Вчитель контролює виконання завдання, відповідає на питання, надає допомогу слабоуспевающим учням. Самоперевірка: відповіді записані на дошці.

б) 2 – сторонній корінь. Відповідь:3.

в) 2 – сторонній корінь. Відповідь: 1,5.

а) Відповідь: -12,5.

ж) Відповідь: 1; 1,5.

5. Постановка домашнього завдання.

2. Вивчити алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь.

3. Вирішити в зошитах № 000 (а, г, д); № 000 (р, з).

4. Спробувати вирішити № 000 (а) (за бажанням).

6. Виконання контролюючого завдання з вивченої теми.

Робота виконується на листочках.

Приклад завдання:

А) Які із рівнянь є дробовими раціональними?

Б) Дроб дорівнює нулю, коли чисельник ______________________ , а знаменник _______________________ .

В) Чи є число -3 коренем рівняння №6?

Р) Розв'язати рівняння №7.

Критерії оцінювання завдання:

"5" ставиться, якщо учень виконав правильно більше 90% завдання. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставиться учню, який виконав менше 50% завдання. Оцінка 2 у журнал не ставиться, 3 – за бажанням.

7. Рефлексія.

На листочках із самостійною роботою поставте:

1 – якщо на уроці вам було цікаво та зрозуміло; 2 - цікаво, але не зрозуміло; 3 – не цікаво, але зрозуміло; 4 – не цікаво, не зрозуміло.

8. Підбиття підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дрібними раціональними рівняннями, навчилися вирішувати ці рівняння. у різний спосіб, перевірили свої знання за допомогою навчальної самостійної роботи. Результати самостійної роботи ви дізнаєтесь на наступному уроці, вдома ви матимете можливість закріпити отримані знання.

Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на Вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?

Всім дякую, урок закінчено.

\(\bullet\) Раціональне рівняння - це рівняння, представлене у вигляді \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] де \(P(x), \ Q(x)\) - багаточлени (сума "іксів" у різних ступенях, помножених на різні числа).
Вираз у лівій частині рівняння називається раціональним виразом.
ОДЗ (область допустимих значень) раціонального рівняння – це значення \(x\) , у яких знаменник НЕ звертається в нуль, тобто \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Наприклад, рівняння \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]є раціональними рівняннями.
У першому рівнянні ОДЗ - це все \(x\) , такі що \(x\ne 3\) (пишуть \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); у другому рівнянні - це все \(x\) , такі що \(x\ne -1; x\ne 1\) (пишуть \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); а третьому рівнянні ніяких обмежень на ОДЗ немає, тобто ОДЗ – це все (x) (пишуть (x in mathbb (R))). \(\bullet\) Теореми:
1) Добуток двох множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли один з них дорівнює нулю, а інший при цьому не втрачає сенсу, отже, рівняння \(f(x)\cdot g(x)=0\) рівносильне системі \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ text(ОДЗ рівняння) \end(cases)\] 2) Дроб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю, отже, рівняння \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\) рівносильне системі рівнянь \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Розглянемо кілька прикладів.

1) Розв'яжіть рівняння \(x+1=\dfrac 2x\) . Знайдемо ОДЗ цього рівняння – це \(x\ne 0\) (оскільки \(x\) знаходиться у знаменнику).
Отже, ОДЗ можна записати так: .
Перенесемо всі доданки в одну частину і приведемо до спільного знаменника: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\xxne 0\end(cases)\]Рішенням першого рівняння системи будуть \(x=-2, x=1\). Бачимо, що обидва корені ненульові. Отже, відповідь: \ (x \ in \ (-2; 1 \) \) .

2) Розв'яжіть рівняння \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Знайдемо ОДЗ цього рівняння. Бачимо, що єдине значення\(x\) , у якому ліва частина немає сенсу – це \(x=0\) . Отже, ОДЗ можна записати так: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Таким чином, дане рівняннярівносильно системі:

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]Дійсно, незважаючи на те, що \(x=0\) - корінь другого множника, якщо підставити \(x=0\) у початкове рівняння, воно не матиме сенсу, т.к. не визначено вираз \(\dfrac 40\).
Таким чином, розв'язком даного рівняння є \(x\in \(1;2\)\) .

3) Розв'яжіть рівняння \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]У нашому рівнянні \(4x^2-1\ne 0\) , звідки \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , тобто \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Перенесемо всі складові в ліву частину і приведемо до спільного знаменника:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( aligned) &x=\dfrac12 \\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\x\ne\dfrac 12\\x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Leftrightarrow \quad x=-3\)

Відповідь: \(x\in \(-3\)\) .

Зауваження. Якщо відповідь складається з кінцевого набору чисел, їх можна записувати через точку з комою у фігурних дужках, як показано в попередніх прикладах.

Завдання, у яких потрібно вирішити раціональні рівняння, в ЄДІ з математики зустрічаються щороку, тому під час підготовки до проходження атестаційного випробування випускникам неодмінно варто самостійно повторити теорію на цю тему. Вміти справлятися з такими завданнями обов'язково мають випускники, які здають як базовий, так і профільний рівеньіспиту. Засвоївши теорію і розібравшись з практичними вправамипо темі " Раціональні рівняння», учні зможуть вирішувати завдання з будь-якою кількістю дій та розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здачі ЄДІ.

Як підготуватися до іспиту разом із освітнім порталом «Школкове»?

Іноді знайти джерело, в якому повноцінно представлено базову теорію для вирішення математичних завдань, Виявляється досить складно. Підручника може просто не опинитися під рукою. А знайти необхідні формулиіноді буває досить складно навіть у Інтернеті.

Освітній портал «Школкове» позбавить вас необхідності пошуку потрібного матеріалута допоможе якісного підготуватися до проходження атестаційного випробування.

Всю необхідну теорію на тему «Раціональні рівняння» наші фахівці підготували та виклали у максимально доступній формі. Вивчивши подану інформацію, учні зможуть заповнити прогалини у знаннях.

Для успішної підготовкидо ЄДІ випускникамнеобхідно не тільки освіжити в пам'яті базовий теоретичний матеріална тему «Раціональні рівняння», але попрактикуватися у виконанні завдань на конкретні приклади. Велика добірказадач представлено у розділі «Каталог».

Для кожної вправи на сайті наші спеціалісти прописали алгоритм рішення та вказали правильну відповідь. Учні можуть практикуватися у вирішенні завдань різного ступеняскладнощі залежно від рівня підготовки. Перелік завдань у відповідному розділі постійно доповнюється та оновлюється.

Вивчити теоретичний матеріал і відточити навички розв'язання задач на тему «Раціональні рівняння», подібних до тих, які включені до тести ЄДІ, можна в режимі он-лайн. У разі потреби будь-яке з поданих завдань можна додати до розділу «Вибране». Ще раз повторивши базову теоріюна тему «Раціональні рівняння», старшокласник зможе надалі повернутися до завдання, щоб обговорити хід її вирішення з викладачем на уроці алгебри.

Т. Косякова,
школа № 80, м. Краснодар

Розв'язання квадратних та дробово-раціональних рівнянь, що містять параметри

Урок 4

Тема урока:

Мета уроку:формувати вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння, які містять параметри.

Тип уроку:запровадження нового матеріалу.

1. (Усно.) Розв'яжіть рівняння:

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення a:

Відповідь. Якщо якщо a = – 19 , то коріння немає.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Відповідь. Якщо a = 5 a № 5 , то x = 10 - a .

Приклад 3. При яких значеннях параметра b рівняння має:

а) два корені; б) єдиний корінь?

Рішення.

1) Знайдемо неприпустимі значення параметра b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 або b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 або b = – 2.

2) Розв'яжемо рівняння x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

а)

Виключаючи неприпустимі значення параметра b , отримуємо, що рівняння має два корені, якщо b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, але це неприпустиме значення параметра b ; якщо b 2 –1=0 , тобто. b=1 або.

Відповідь: а) якщо b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корені; б) якщо b=1 або b=-1 , то єдиний корінь.

Самостійна робота

Варіант 1

Розв'яжіть рівняння:

Варіант 2

Розв'яжіть рівняння:

Відповіді

В 1. а якщо a=3 , то коріння немає; якщо б) якщо якщо a № 2 , то коріння немає.

В 2.Якщо a=2 , то коріння немає; якщо a=0 , то коріння немає; якщо
б) якщо a=– 1 , то рівняння втрачає сенс; якщо то коріння немає;
якщо

Завдання додому.

Розв'яжіть рівняння:

Відповіді: а) Якщо a № –2 , то x= a ; якщо a=–2 , то рішень немає; б) якщо a № –2 , то x=2; якщо a=–2 , то рішень немає; в) якщо a=–2 , то x– будь-яке число, крім 3 ; якщо a № –2 , то x=2; г) якщо a=–8 , то коріння немає; якщо a=2 , то коріння немає; якщо

Урок 5

Тема урока:"Рішення дробово-раціональних рівнянь, що містять параметри".

Цілі уроку:

навчання розв'язання рівнянь з нестандартною умовою;
свідоме засвоєння учнями алгебраїчних понять та зв'язків між ними.

Тип уроку:систематизації та узагальнення.

Перевірка домашнього завдання.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння

а) щодо x; б) щодо y.

Рішення.

а) Знайдемо неприпустимі значення y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 -2y,

y=0- Неприпустиме значення параметра y.

Якщо y№ 0 , то x=y–2; якщо y=0, то рівняння втрачає сенс.

б) Знайдемо неприпустимі значення параметра x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- Неприпустиме значення параметра x; y(2+x–y)=0, y=0або y=2+x;

y=0не задовольняє умову y(y–x)№ 0 .

Відповідь: а) якщо y=0, то рівняння втрачає сенс; якщо y№ 0 , то x=y–2; б) якщо x=0 x№ 0 , то y=2+x .

Приклад 2. При яких цілих значеннях параметра коріння рівняння належать проміжку

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) · 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Якщо a № 0 або a № – 1 , то

Відповідь: 5 .

Приклад 3. Знайдіть відносно xцілі рішення рівняння

Відповідь. Якщо y=0, то рівняння немає сенсу; якщо y=–1, то x- будь-яке ціле число, крім нуля; якщо y№ 0, y№ – 1, то рішень немає.

приклад 4.Розв'яжіть рівняння з параметрами a і b .

Якщо a№ - b , то

Відповідь. Якщо a= 0 або b= 0 , то рівняння втрачає сенс; якщо a№ 0, b№ 0, a=-b , то x- Будь-яке число, крім нуля; якщо a№ 0, b№ 0, a№ -b, то x=-a, x=-b .

Приклад 5. Доведіть, що за будь-якого значення параметра n, відмінного від нуля, рівняння має єдиний корінь, рівний - n .

Рішення.

тобто. x=–n, що й потрібно було довести.

Завдання додому.

1. Знайдіть цілі рішення рівняння

2. При яких значеннях параметра cрівняння має:
а) два корені; б) єдиний корінь?

3. Знайдіть усі цілі корені рівняння якщо aПро N .

4. Розв'яжіть рівняння 3xy - 5x + 5y = 7:а) щодо y; б) щодо x .

1. Рівнянню задовольняють будь-які цілі рівні x і y, відмінні від нуля.
2. а) При
б) при або
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Якщо то коріння немає; якщо
б) якщо то коріння немає; якщо

Контрольна робота

Варіант 1

1. Визначте тип рівняння 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=-3; б) c=2;в) c=4 .

2. Розв'яжіть рівняння: а) x 2 -bx = 0;б) cx 2 –6x+1=0; в)

3. Розв'яжіть рівняння 3x–xy–2y=1:

а) щодо x ;
б) щодо y .

nx 2 - 26x + n = 0,знаючи, що параметр n набуває лише цілі значення.

5. При яких значеннях b рівняння має:

а) два корені;
б) єдиний корінь?

Варіант 2

1. Визначте тип рівняння 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0при: а) c=-4;б) c = 7;в) c=1 .

2. Розв'яжіть рівняння: а) y 2 +cy=0;б) ny 2 -8y + 2 = 0;в)

3. Розв'яжіть рівняння 6x–xy+2y=5:

а) щодо x ;
б) щодо y .

4. Знайдіть цілі корені рівняння nx 2 –22x+2n=0 ,знаючи, що параметр n набуває лише цілі значення.

5. При яких значеннях параметра a рівняння має:

а) два корені;
б) єдиний корінь?

Відповіді

В 1. 1. а) Лінійне рівняння;
б) неповне квадратне рівняння; в) квадратне рівняння.
2. а) Якщо b=0, то x=0; якщо b№ 0, то x=0, x=b;
б) якщо cО (9;+Ґ ), то коріння немає;
в) якщо a=–4 , то рівняння втрачає сенс; якщо a№ –4 , то x=– a .
3. а) Якщо y=3, то коріння немає; якщо);
б) a=–3, a=1.

Додаткові завдання

Розв'яжіть рівняння:

Література

1. Голубєв В.І., Гольдман А.М., Дорофєєв Г.В. Про параметри із самого початку. - Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Необхідні умовиу завданнях із параметрами. - Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофєєв Г.В., Затакавай В.В. Вирішення задач, що містять параметри. Ч. 2. - М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тинякін С.А. П'ятсот чотирнадцять завдань із параметрами. - Волгоград, 1991.
5. Ястребинецький Г.А. Завдання із параметрами. - М., Просвітництво, 1986.

Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їхньою допомогою ви найбільш зрозумілим чином зможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно розв'язати просте рівняння x/b + c = d.

Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.

Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.

Наприклад, як вирішити дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х +20 = 45
x = 45-20 = 25

Інший приклад, коли невідоме знаходиться у знаменнику:

Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними чи просто дробовими.

Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:

• значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
• не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.

Тут набирає чинності таке поняття, як область допустимих значень (ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.

Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.

Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:

З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ в даному випадку: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.

Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х

І вирішуємо нормальне рівняння

5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Відповідь: х = 1/3

Вирішимо рівняння складніше:

Тут також є ОДЗ: х -2.

Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільного знаменника. Ми відразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить відразу всі знаменники.

Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву - на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):

Це саме звичайне множеннядробів, які ми вже розглянули вище

Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому

Ліва частинаскорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:

х = 4 - 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ

Відповідь: х = 2.

Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як розв'язувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.

Продовжуємо розмову про вирішення рівнянь. У цій статті ми докладно зупинимося на раціональних рівнянняхта принципи розв'язання раціональних рівнянь з однією змінною. Спочатку розберемося, рівняння якого виду називаються раціональними, дамо визначення цілих раціональних та дробових раціональних рівнянь, наведемо приклади. Далі отримаємо алгоритми розв'язання раціональних рівнянь, і, звичайно ж, розглянемо розв'язання характерних прикладів із усіма необхідними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Відштовхуючись від озвучених визначень, наведемо кілька прикладів раціональних рівнянь. Наприклад, x = 1, 2 · x-12 · x 2 · y · z 3 = 0, - це все раціональні рівняння.

З наведених прикладів видно, що раціональні рівняння, як, втім, і рівняння інших видів, можуть бути як з однією змінною, так і з двома, трьома і т.д. змінними. У наступних пунктахми говоритимемо про розв'язання раціональних рівнянь із однією змінною. Розв'язання рівнянь із двома зміннимита їх більшим числомзаслуговують на окрему увагу.

Крім поділу раціональних рівнянь за кількістю невідомих змінних, їх поділяють на цілі та дробові. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Раціональне рівняння називають цілим, якщо і ліва, і права його частини є цілими раціональними виразами.

Визначення.

Якщо хоча б одна з частин раціонального рівняння є дробовим виразом, то таке рівняння називається дробово раціональним(або дрібним раціональним).

Зрозуміло, що цілі рівняння не містять поділу на змінну, а дробові раціональні рівняння обов'язково містять поділ на змінну (або змінну в знаменнику). Так 3 x 2 = 0 і (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– це цілі раціональні рівняння, обидві частини є цілими висловлюваннями. А і x: (5 · x 3 + y 2) = 3: (x-1): 5 - приклади дробових раціональних рівнянь.

Завершуючи цей пункт, звернемо увагу, що відомі до цього моменту лінійні рівняння і квадратні рівняння є цілими раціональними рівняннями.

Вирішення цілих рівнянь

Одним із основних підходів до вирішення цілих рівнянь є їх зведення до рівносильних алгебраїчним рівнянням. Це можна зробити завжди, виконавши наступні рівносильні перетворення рівняння:

• спочатку вираз із правої частини вихідного цілого рівняння переносять у ліву частину з протилежним знакомщоб отримати нуль у правій частині;
• після цього в лівій частині рівняння, що утворилося стандартного вигляду.

В результаті виходить алгебраїчне рівняння, Яке рівносильне вихідному цілому рівнянню. Так у самих простих випадкахрозв'язання цілих рівнянь зводяться до розв'язання лінійних або квадратних рівнянь, а в загальному випадку- До вирішення рівня алгебри ступеня n . Для наочності розберемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть коріння цілого рівняння 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Рішення.

Зведемо розв'язання цього цілого рівняння до рішення рівносильного йому рівняння алгебри. Для цього, по-перше, перенесемо вираз із правої частини до лівої, в результаті приходимо до рівняння 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. І, по-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині, в багаточлен стандартного вигляду, виконавши необхідні: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6. Таким чином, рішення вихідного цілого рівняння зводиться до рішення квадратного рівняння x 2 −5·x−6=0 .

Обчислюємо його дискримінант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, він позитивний, отже, рівняння має два дійсні корені, які знаходимо за формулою коренів квадратного рівняння :

Для повної впевненості виконаємо перевірку знайденого коріння рівняння. Спочатку перевіряємо корінь 6 , підставляємо його замість змінної x вихідне ціле рівняння: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, Що те саме, 63 = 63 . Це вірне числова рівністьОтже, x=6 дійсно є коренем рівняння. Тепер перевіряємо корінь −1, маємо 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, Звідки, 0 = 0 . При x=−1 вихідне рівняння також звернулося до правильної числову рівність, отже, x=−1 теж є коренем рівняння.

Відповідь:

6 , −1 .

Тут ще слід зауважити, що з уявленням цілого рівняння у вигляді рівняння алгебри пов'язаний термін «ступінь цілого рівняння». Дамо відповідне визначення:

Визначення.

ступенем цілого рівнянняназивають ступінь рівносильного йому рівняння алгебри.

Згідно з цим визначенням, ціле рівняння з попереднього прикладу має другий ступінь.

На цьому можна було б закінчити з вирішенням цілих раціональних рівнянь, якби жодне але…. Як відомо, рішення рівнянь алгебри вище другої пов'язане зі значними складнощами, а для рівнянь ступеня вище четвертого взагалі не існує загальних формулкоріння. Тому для вирішення цілих рівнянь третьої, четвертої та більше високих ступенівчасто доводиться вдаватися до інших методів розв'язання.

У таких випадках іноді рятує підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, заснований на методі розкладання на множники. При цьому дотримуються наступного алгоритму:

• спочатку домагаються, щоб у правій частині рівняння був нуль, для цього переносять вираз із правої частини цілого рівняння до лівої;
• потім, отриманий вираз у лівій частині представляють у вигляді добутку кількох множників, що дозволяє перейти до сукупності кількох простіших рівнянь.

Наведений алгоритм розв'язання цілого рівняння через розкладання на множники потребує детального роз'яснення з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть ціле рівняння (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .

Рішення.

Спочатку як зазвичай переносимо вираз із правої частини до лівої частини рівняння, не забувши змінити знак, отримуємо (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Тут досить очевидно, що не доцільно перетворювати ліву частину отриманого рівняння в багаточлен стандартного виду, так як це дасть рівняння алгебри четвертого ступеня виду x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0, Рішення якого складно.

З іншого боку, очевидно, що в лівій частині отриманого рівняння можна x 2 -10 x 13, тим самим представивши її у вигляді твору. Маємо (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0. Отримане рівняння рівносильне вихідному цілому рівнянню, та її, своєю чергою, можна замінити сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 −10·x+13=0 і x 2 −2·x−1=0 . Знаходження їх коріння по відомим формуламкоренів через дискримінант не складно, коріння рівні . Вони є шуканим корінням вихідного рівняння.

Відповідь:

Для вирішення цілих раціональних рівнянь також буває корисним метод введення нової змінної. У деяких випадках він дозволяє переходити до рівнянь, ступінь яких нижчий, ніж рівень вихідного цілого рівняння.

приклад.

Знайдіть дійсне корінняраціонального рівняння (x 2 +3 · x +1) 2 +10 = -2 · (x 2 +3 · x-4).

Рішення.

Зведення даного цілого раціонального рівняння до рівня алгебри є, м'яко кажучи, не дуже гарною ідеєю, тому що в цьому випадку ми прийдемо до необхідності вирішення рівняння четвертого ступеня, що не має раціонального коріння. Тому доведеться пошукати інший спосіб рішення.

Тут нескладно помітити, що можна ввести нову змінну y, і замінити нею вираз x 2 +3 x. Така заміна призводить нас до цілого рівняння (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , яке після перенесення виразу −2·(y−4) у ліву частину і подальшого перетворення виразу, що утворився там, зводиться до квадратного рівняння y 2 +4 · y +3 = 0 . Коріння цього рівняння y=−1 та y=−3 легко знаходяться, наприклад, їх можна підібрати, ґрунтуючись на теоремі, зворотній теоремі Вієта.

Тепер переходимо до другої частини методу введення нової змінної, тобто проведення зворотної заміни. Виконавши зворотну заміну, отримуємо два рівняння x 2 +3 x = -1 і x 2 +3 x = -3 , які можна переписати як x 2 +3 x +1 = 0 і x 2 +3 x +3 =0. За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо коріння першого рівняння. А друге квадратне рівняння немає дійсних коренів, оскільки його дискримінант негативний (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Відповідь:

Взагалі, коли ми маємо справу з цілими рівняннями високих ступенів, завжди треба бути готовим до пошуку нестандартного методу або штучного прийомудля їх вирішення.

Розв'язання дробово раціональних рівнянь

Спочатку корисно розібратися, як розв'язувати дробово раціональні рівняння виду , де p(x) і q(x) – цілі раціональні висловлювання. А далі ми покажемо, як звести рішення решти дробово раціональних рівнянь до розв'язання рівнянь зазначеного виду.

В основі одного з підходів до вирішення рівняння лежить таке твердження: числовий дріб u/v , де v - відмінне від нуля число (інакше ми зіткнемося з , яке не визначено), дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, тобто тоді і тільки тоді, коли u = 0 . В силу цього твердження рішення рівняння зводиться до виконання двох умов p(x)=0 і q(x)≠0 .

Цьому висновку відповідає наступний алгоритм розв'язання дробово раціонального рівняння. Щоб вирішити дробове раціональне рівняння виду, треба

• вирішити ціле раціональне рівняння p (x) = 0;
• та перевірити, чи виконується для кожного знайденого кореня умова q(x)≠0 , при цьому
• якщо виконується, цей корінь є коренем вихідного рівняння;
• якщо не виконується, цей корінь – сторонній, тобто, не є коренем вихідного рівняння.

Розберемо приклад застосування озвученого алгоритму під час вирішення дробового раціонального рівняння.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Це дробово раціональне рівняння, причому виду , де p (x) = 3 · x-2, q (x) = 5 · x 2 -2 = 0 .

Відповідно до алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь цього виду, нам спочатку треба розв'язати рівняння 3·x−2=0 . Це лінійне рівняння, коренем якого є x = 2/3.

Залишилося виконати перевірку для цього кореня, тобто перевірити, чи він задовольняє умові 5·x 2 −2≠0 . Підставляємо у вираз 5 x 2 −2 замість x число 2/3, отримуємо. Умова виконана, тому x=2/3 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

2/3 .

До розв'язання дробового раціонального рівняння можна підходити з трохи іншої позиції. Це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x)=0 на змінній x вихідного рівняння. Тобто, можна дотримуватись такого алгоритму розв'язання дробово-раціонального рівняння :

• розв'язати рівняння p(x)=0;
• знайти ОДЗ змінної x;
• взяти коріння, що належать області допустимих значень, - вони є шуканим корінням вихідного дробового раціонального рівняння.

Наприклад вирішимо дробове раціональне рівняння з цього алгоритму.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

По-перше, розв'язуємо квадратне рівняння x 2 −2·x−11=0 . Його коріння можна обчислити, використовуючи формулу коренів для парного другого коефіцієнта. D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, та .

По-друге, знаходимо ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Її становлять усі числа, для яких x 2 +3·x≠0 , що те саме x·(x+3)≠0 , звідки x≠0 , x≠−3 .

Залишається перевірити, чи входять знайдене на першому кроці коріння в ОДЗ. Очевидно, що так. Отже, вихідне дробово раціональне рівняння має два корені.

Відповідь:

Зазначимо, що такий підхід вигідніший за перший, якщо легко знаходиться ОДЗ, і особливо вигідний, якщо ще при цьому корені рівняння p(x)=0 ірраціональні, наприклад, або раціональні, але з досить великим чисельником і/або знаменником, наприклад, 127/1101 та −31/59 . Це з тим, що у разі перевірка умови q(x)≠0 вимагатиме значних обчислювальних зусиль, і простіше виключити сторонні коріння по ОДЗ.

В інших випадках при вирішенні рівняння , особливо коли коріння рівняння p (x) = 0 цілі, вигідніше використовувати перший з наведених алгоритмів. Тобто, доцільно відразу знаходити коріння цілого рівняння p(x)=0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q(x)≠0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x)=0 на цій ОДЗ . Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.

Розглянемо рішення двох прикладів для ілюстрації обумовлених нюансів.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Спочатку знайдемо коріння цілого рівняння (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0, складеного з використанням чисельника дробу Ліва частина цього рівняння – твір, а права – нуль, тому, згідно з методом розв'язання рівнянь через розкладання на множники, це рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+ 14=0, x+1=0. Три з цих рівнянь лінійні і одне квадратне, їх ми вміємо вирішувати. З першого рівняння знаходимо x = 1/2, з другого - x = 6, з третього - x = 7, x = -2, з четвертого - x = -1.

Знайденим корінням досить легко виконати їх перевірку на предмет того, чи не звертається при них в нуль знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині вихідного рівняння, а визначити ОДЗ, навпаки, не так просто, так як для цього доведеться вирішувати рівняння алгебри п'ятого ступеня. Тому відмовимося від знаходження ОДЗ на користь перевірки коренів. Для цього по черзі підставляємо їх замість змінної x у вираз x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112, що виходять після підстановки, і порівнюємо їх з нулем: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Таким чином, 1/2 , 6 і −2 є корінням вихідного дробового раціонального рівняння, а 7 і −1 – сторонні корені.

Відповідь:

1/2 , 6 , −2 .

приклад.

Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння.

Рішення.

Спочатку знайдемо коріння рівняння (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0. Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: квадратного 5 x 2 −7 x 1 = 0 і лінійного x 2 = 0 . За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо два корені, та якщо з другого рівняння маємо x=2 .

Перевіряти, чи не звертається в нуль знаменник при знайдених значеннях x досить неприємно. А визначити область допустимих значень змінної x у вихідному рівнянні досить легко. Тому діятимемо через ОДЗ.

У нашому випадку ОДЗ змінної x вихідного дробово раціонального рівняння становлять усі числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 +5 x-14 = 0 . Корінням цього квадратного рівняння є x=−7 і x=2 , звідки робимо висновок про ОДЗ: її становлять такі x , що .

Залишається перевірити, чи належать знайдене коріння і x=2 області допустимих значень. Коріння - належать, тому, є корінням вихідного рівняння, а x=2 – не належить, тому, це сторонній корінь.

Відповідь:

Ще корисним буде окремо зупинитися у випадках, як у дробовому раціональному рівнянні виду в чисельнику перебуває число, тобто, коли p(x) представлено якимось числом. При цьому

• якщо це число відмінно від нуля, то рівняння не має коріння, тому що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю;
• якщо це число нуль, корінням рівняння є будь-яке число з ОДЗ.

приклад.

Рішення.

Так як в чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, відмінне від нуля число, то при яких x значення цього дробу не може дорівнювати нулю. Отже, це рівняння не має коріння.

Відповідь:

немає коріння.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

У чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині даного дробового раціонального рівняння, знаходиться нуль, тому значення цього дробу дорівнює нулю для будь-якого x, при якому вона має сенс. Іншими словами, рішенням цього рівняння є будь-яке значення x з ОДЗ цієї змінної.

Залишилося визначити цю область припустимих значень. Вона включає всі такі значення x , при яких x 4 +5 x 3 ≠0 . Розв'язаннями рівняння x 4 +5·x 3 =0 є 0 і −5 , оскільки це рівняння рівносильне рівнянню x 3 ·(x+5)=0 , а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 =0 і x +5=0 , звідки і видно це коріння. Отже, областю допустимих значень є будь-які x , крім x=0 і x=−5 .

Таким чином, дробово раціональне рівняння має безліч рішень, якими є будь-які числа, крім нуля і мінус п'яти.

Відповідь:

Зрештою, настав час поговорити про розв'язання дробових раціональних рівнянь довільного вигляду. Їх можна записати як r(x)=s(x) , де r(x) і s(x) – раціональні вирази, причому хоча б один із них дробовий. Забігаючи вперед, скажемо, що їхнє рішення зводиться до вирішення рівнянь вже знайомого нам виду.

Відомо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком призводить до рівносильному рівняннютому рівнянню r(x)=s(x) рівносильне рівняння r(x)−s(x)=0 .

Також ми знаємо, що можна будь-яку, тотожно рівну цьому виразу. Таким чином, раціональний виразу лівій частині рівняння r(x)−s(x)=0 ми можемо перетворити на тотожно рівну раціональну дріб виду .

Так ми від вихідного дробового раціонального рівняння r(x)=s(x) переходимо до рівняння , яке рішення, як з'ясували вище, зводиться до розв'язання рівняння p(x)=0 .

Але тут обов'язково треба враховувати той факт, що при заміні r(x)−s(x)=0 на , і далі на p(x)=0 може відбутися розширення області допустимих значень змінної x .

Отже, вихідне рівняння r(x)=s(x) і рівняння p(x)=0 , до якого ми прийшли, можуть виявитися нерівносильними, і, вирішивши рівняння p(x)=0 ми можемо отримати коріння, яке буде стороннім корінням вихідного рівняння r(x)=s(x) . Виявити і не включати у відповідь сторонні корені можна, або виконавши перевірку, або перевіривши їх належність ОДЗ вихідного рівняння.

Узагальним цю інформацію в алгоритм розв'язання дробового раціонального рівняння r(x)=s(x). Щоб розв'язати дробове раціональне рівняння r(x)=s(x) треба

• Отримати праворуч нуль за допомогою перенесення виразу з правої частини з протилежним знаком.
• Виконати дії з дробами та багаточленами в лівій частині рівняння, тим самим перетворивши її на раціональний дріб виду .
• Розв'язати рівняння p(x)=0.
• Виявити та виключити сторонні корені, що робиться за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння або за допомогою перевірки їх належності ОДЗ вихідного рівняння.

Для більшої наочності покажемо весь ланцюжок розв'язання дробових раціональних рівнянь:
.

Давайте розглянемо рішення кількох прикладів із докладним поясненням ходу рішення, щоб прояснити наведений блок інформації.

приклад.

Розв'яжіть дробове раціональне рівняння.

Рішення.

Діятимемо відповідно до щойно отриманого алгоритму рішення. І спочатку перенесемо доданки з правої частини рівняння до лівої, в результаті переходимо до рівняння .

На другому кроці нам потрібно перетворити дробовий раціональний вираз у лівій частині отриманого рівняння до виду дробу. Для цього виконуємо приведення раціональних дробівдо спільного знаменника та спрощуємо отриманий вираз: . Так ми приходимо до рівняння.

На наступному етапі потрібно вирішити рівняння −2·x−1=0 . Знаходимо x=−1/2.

Залишається перевірити, чи не є знайдене число −1/2 стороннім коренем вихідного рівняння. Для цього можна зробити перевірку або знайти ОДЗ змінною вихідного рівняння x. Продемонструємо обидва підходи.

Почнемо із перевірки. Підставляємо вихідне рівняння замість змінної x число −1/2 , отримуємо , що те саме, −1=−1 . Підстановка дає правильну числову рівність, тому x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.

Тепер покажемо, як останній пункт алгоритму виконується через ОДЗ. Областю допустимих значень вихідного рівняння є безліч всіх чисел, крім −1 та 0 (при x=−1 та x=0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Знайдений на попередній кроккорінь x=−1/2 належить ОДЗ, отже, x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь:

−1/2 .

Розглянемо ще приклад.

приклад.

Знайдіть коріння рівняння.

Рішення.

Нам потрібно розв'язати дрібно раціональне рівняння, пройдемо всі кроки алгоритму.

По-перше, переносимо доданок з правої частини в ліву, отримуємо .

По-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині: . В результаті приходимо до рівняння x = 0.

Його корінь очевидний – це нуль.

На четвертому етапі залишається з'ясувати, чи не є знайдений корінь стороннім для початкового раціонального рівняння. При його підстановці у вихідне рівняння виходить вираз. Вочевидь, воно немає сенсу, оскільки містить розподіл на нуль. Звідки укладаємо, що 0 є стороннім коренем. Отже, вихідне рівняння немає коріння.

7, що призводить до рівняння. Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини повинен бути рівний з правої частини, тобто, . Тепер віднімаємо з обох частин трійки: . За аналогією, звідки, і далі.

Перевірка показує, що обидва знайдені корені є корінням вихідного дробового раціонального рівняння.

Відповідь:

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.