Вирішення рівняння шредінгера для атома водню. Шредінгера для атома водню

4.4.1. Гіпотеза де Бройля

Важливим етапом у створенні квантової механіки стало виявлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості була спочатку висловлена ​​як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем.

У фізиці протягом багатьох років панувала теорія, за якою світло є електромагнітна хвиля. Однак після робіт Планка ( теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та інших стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.

Щоб пояснити деякі фізичні явищанеобхідно розглядати світло як потік частинок-фотонів. Корпускулярні властивості світла не відкидають, а доповнюють його хвильові властивості.

Отже, фотон-елементарна часткасвітла, що має хвильові властивості.

Формула для імпульсу фотона

За де Бройлем, рух частинки, наприклад, електрона, подібно до хвильового процесу з довжиною хвилі λ , що визначається формулою (4.4.3). Ці хвилі називають хвилями де Бройля. Отже, частинки (електрони, нейтрони, протони, іони, атоми, молекули) можуть проявляти дифракційні властивості.

К.Девіссон та Л.Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю.

Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?

Досліди з дифракції пучків електронів дуже малої інтенсивності, тобто окремих частинок, показали, що при цьому електрон не "розмазується" по різним напрямкам, А поводиться як ціла частка. Однак ймовірність відхилення електрона за окремими напрямками внаслідок взаємодії з об'єктом дифракції різна. Найбільш ймовірно попадання електронів у ті місця, які за розрахунком відповідають максимумам дифракції, менш ймовірне їх попадання в місця мінімумів. Отже, хвильові властивості притаманні як колективу електронів, а й кожному електрону окремо.

4.4.2. Хвильова функція та її фізичний сенс

Так як з мікрочастинкою зіставляють хвильовий процес, який відповідає її руху, то стан частинок в квантової механікиописується хвильової функцією, що залежить від координат і часу: .

Якщо силове поле, що діє на частинку, є стаціонарним, тобто не залежить від часу, то ψ-функцію можна представити у вигляді добутку двох співмножників, один з яких залежить від часу, а інший від координат:

звідси випливає фізичний сенсхвильової функції:

4.4.3. Співвідношення невизначеностей

Одним з важливих положеньКвантовою механікою є співвідношення невизначеностей, запропоновані В.Гейзенбергом.

Нехай одночасно вимірюють положення та імпульс частинки, при цьому неточності у визначеннях абсциси та проекції імпульсу на вісь абсцис рівні відповідно Δx та Δр x .

У класичної фізикинемає жодних обмежень, що забороняють з будь-яким ступенем точності одночасно виміряти як одну, так і іншу величину, тобто Δx→0 і Δрx→0.

У квантовій механіці положення принципово інше: Δx і Δр x , що відповідають одночасному визначенню x і р x пов'язані залежністю

Формули (4.4.8), (4.4.9) називають співвідношеннями невизначеностей.

Пояснимо їх одним модельним експериментом.

При вивченні явища дифракції було звернено увагу, що зменшення ширини щілини при дифракції призводить до збільшення ширини центрального максимуму. Аналогічне явище буде при дифракції електронів на щілини в модельному досвіді. Зменшення ширини щілини означає зменшення x (рис. 4.4.1), це призводить до більшого "розмазування" пучка електронів, тобто до більшої невизначеності імпульсу і швидкості частинок.

Мал. 4.4.1.Пояснення до співвідношення невизначеності.

Співвідношення невизначеностей можна подати у вигляді

де ΔE – невизначеність енергії деякого стану системи; Δt -проміжок часу, протягом якого воно існує. Співвідношення (4.4.10) означає, що чим менший часіснування будь-якого стану системи, тим більше невизначене значення енергії. Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину (рис.4.4.2)), що залежить від часу перебування системи у стані, що відповідає цьому рівню.

Мал. 4.4.2.Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину.

"Розмитість" рівнів призводить до невизначеності енергії ΔE випромінюваного фотона та його частоти Δν при переході системи з одного енергетичного рівня на інший:

,

де m-маса частинки; ; Е і Е n -її повна та потенційна енергії (потенційна енергія визначається силовим полем, в якому знаходиться частка, і для стаціонарного випадку не залежить від часу)

Якщо частинка переміщається лише вздовж деякої лінії, наприклад, уздовж осі ОХ (одномірний випадок), то рівняння Шредінгера істотно спрощується і набуває вигляду

(4.4.13)

Одним з найбільш простих прикладівна використання рівняння Шредінгера є розв'язання задачі про рух частинки в одновимірній потенційній ямі.

4.4.5. Застосування рівняння Шредінгера до атома водню. Квантові числа

Опис станів атомів та молекул за допомогою рівняння Шредінгера є достатньо складним завданням. Найбільш просто вона вирішується для одного електрона, що знаходиться в полі ядра. Такі системи відповідають атому водню та водневим іонам (одноразово іонізований атом гелію, дворазово іонізований атом літію тощо). Однак і в цьому випадку вирішення завдання є складним, тому обмежимося лише якісним викладом питання.

Насамперед у рівняння Шредінгера (4.4.12) слід підставити потенційну енергію, яка для двох взаємодіючих точкових зарядів- e (електрон) і Ze (ядро), - що знаходяться на відстані r у вакуумі, виражається таким чином:

Цей вислів є рішенням рівняння Шредінгера та повністю збігається з відповідною формулою теорії Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показані рівні можливих значень повної енергії атома водню (Е1, Е2, Е3 і т.д.) та графік залежності потенційної енергії Еn від відстані r між електроном та ядром. Зі зростанням головного квантового числа n збільшується r (див.4.2.26), а повна (4.4.15) та потенційна енергії прагнуть нуля. Кінетична енергіятакож прагне нуля. Заштрихована область (Е>0) відповідає стану вільного електрона.

Мал. 4.4.3. Показано рівні можливих значень повної енергії атома водню
та графік залежності потенційної енергії від відстані r між електроном та ядром.

Друге квантове число - орбітальне l, яке при даному n може набувати значення 0, 1, 2, …., n-1. Це число характеризує орбітальний момент імпульсу L i електрона щодо ядра:

Четверте квантове число - спинове m s. Воно може набувати лише двох значень (±1/2) і характеризує можливі значення проекції спина електрона:

Стан електрона в атомі із заданими n та l позначають наступним чином: 1s, 2s, 2p, 3s і т.д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а літера - орбітальне квантове число: символам s, p, d, f відповідають значення l = 0, 1, 2. 3 і т.д.

Дане рівняння має наступний вигляд:

Або в сферичних координатах:

представимо хвильову функцію у вигляді твору радіальної та кутової частин і підставимо в рівняння (II.99)

(II.100)

Прирівняємо ліву та праву частинурівняння (II.100) однієї й тієї величині – . Отримаємо два рівняння – одне для радіальної частини та інше для кутової частини:

(II.100) а)

(II.100) б)

гадаємо, що й тоді рівняння (II.100 а) Таке ж, як для жорсткого ротатора. Отже, маємо і .

рішення рівняння (II.100 б) аналогічно рішенню рівняння для гармонійного осцилятора. Енергія n-горівня

, n = 1,2,3 ...… (II.101)

a 0 - Радіус першої борівської орбіти, a 0 = 0,529177 Å.

Сферичні гармоніки чи кутові частини виражаються, як й у жорсткого ротатора через приєднаний поліном Лежандра. Радіальні функції виражаються через функції Лагерра. Ці функції мають вигляд:

Таким чином, ми маємо рішення стаціонарного рівнянняШредінгера для атома водню у вигляді добутку кутової та радіальної частин, які прийнято називати атомними орбіталями або АТ. Вони записуються як функції трьох змінних із трьома індексами - АТ.

n – головне квантове число і воно визначає енергію електрона

l – орбітальне квантове число і воно визначає форму атомної орбіталі

m – магнітне квантове число і воно визначає у просторі напрямок атомної орбіталі

(II.103)

Хвильові функції атома водню є основними структурні одиниціпри розбудові молекулярних хвильових функцій. При цьому важливі навіть не самі водневі функції, а функції спорідненого типу для так званих водневих атомів, які ми і розглянемо докладніше на конкретні приклади. Але перш за все визначимо, які ж атоми називаються водородоподібними.

Водоподібні атоми – це системи, що складаються з ядра з Z протонами та одного електрона. Тобто це атоми із зарядом [(Z-1)e] + .

Напишемо кілька функцій для водневих атомів у явному вигляді. Спочатку напишемо їх для радіальної частини для кількох значень lі m

, (II.104)

де - безрозмірний параметр, а перший і другий індекси при Rпозначають lі mвідповідно.

Максимальна кількістьорбіталей на енергетичному рівні або кратність виродження визначається за формулою .

Кутові частини АТ виглядають так:

p – AO (II.105)

d – AO

Незручністю таких кутових функційє те, що серед них зустрічаються комплексні функції, які не можна зобразити у дійсному просторі. Однак з них можна отримати зручні дійсні функції - атомні орбіталі, складаючи лінійні комбінації сферичних гармонік однаковим квантовим числом l і однаковим значенням m.

Наприклад, розглянемо лінійну комбінацію:

(II.106)

Підставимо останні дві формули у вираз для p x:

Аналогічним способом можна побудувати дві інші атомні орбіталі з l = 1, позначення яких також зрозумілі:

(II.107)

(II.108)

Також можна перейти від комплексних кутових функцій для n=2- , , до дійсних АТ, що позначаються як відповідно.

Тепер пригадаємо, що атомні орбіталі виходять у результаті перемноження кутової та радіальної частин. І випишемо кілька нормованих хвильових функцій водневого атома:

У хімічних програмах часто використовують графічне зображенняхвильових функцій, причому, як правило, окремо зображуються радіальна та кутова частини. Виділяють тільки ту частину, яка залежить тільки від кутових змінних та . Вона має сенс повного вираження для АТ, в якому умовно приймають, що АТ є твором деякої радіальної функції та певної функції, яка залежить від кутів і . Наприклад, для 2pzатомної орбіталі ця функція має такий вигляд: . Її у підручниках хімії зображують у вигляді гантелі, витягнутої вздовж осі Оz, як показано на Рис. 6 а. Рис.6 бі впоказані 2pyі 2pxатомні орбіталі.

Рис.6. Електронні хмари p- орбіталей : а -2p z -АТ, б -2p y -АТ, в -2p x -АТ.

Найбільшим успіхом в історії квантової механіки було пояснення всіх деталей спектрів найпростіших атомів, а також періодичностей, виявлених у таблиці хімічних елементів. У цьому розділі в нашому курсі квантової механіки ми нарешті підійдемо до цього найважливішому досягненнюта розповімо про пояснення спектру атомів водню. Крім того, тут ми розповімо про якісне пояснення таємничих властивостей хімічних елементів. Для цього ми докладно вивчимо поведінку електрона в атомі водню: в першу чергу ми розрахуємо його розподілу в просторі, дотримуючись уявлень, які були розвинені в гол. 14.

Для повного опису атома водню слід було б врахувати рух обох частинок - як протона, і електрона. У квантовій механіці в цьому завданні слідують класичній ідеї про опис руху кожної з частинок по відношенню до їхнього центру тяжіння. Однак ми цього не робитимемо. Ми просто використовуємо наближення, в якому протон вважається дуже важким, настільки важким, що він закріплений у центрі атома.

Ми зробимо ще й інше наближення: забудемо, що електрон має спини і що його слід описувати законами релятивістської механіки. Це вимагатиме внесення невеликих поправок до наших викладок, оскільки ми користуватимемося нерелятивістським рівнянням Шредінгера і знехтуємо магнітними ефектами. Невеликі магнітні ефекти з'являються через те, що протон з точки зору електрона є заряд, що циркулює по колу, який створює магнітне поле. У цьому полі енергія електрона буде різна, дивлячись по тому, чи спрямований його спин вгору чи вниз по полю. Енергія атома має трохи зрушити щодо тієї величини, яку ми обчислимо. Але ми знехтуємо цим слабким зрушенням енергії, тобто уявимо, що електрон точно подібний до дзиги, що рухається в просторі по колу і зберігає весь час однаковий напрямок спина. Оскільки мова йтиме про вільний атом у просторі, повний момент кількості руху зберігатиметься. У нашому наближенні буде вважатися, що момент кількості руху, що викликається спином електрона, залишається незмінним, так що момент кількості руху атома, що залишився (те, що зазвичай називають «орбітальним» моментом кількості руху) теж не буде змінюватися. У дуже хорошому наближенні вважатимуться, що електрон рухається в атомі водню як частка без спина - його орбітальний момент кількості руху постійний.

У цих наближеннях амплітуда того, що електрон буде виявлений у тому чи іншому місці простору, може бути представлена ​​як функція положення електрона у просторі та часі. Позначимо амплітуду того, що електрон буде виявлено в точці в момент через . Згідно з квантовою механікою, швидкість зміни цієї амплітуди з часом дається гамільтоновим оператором, що діє на ту саму функцію. З гол. 14 ми знаємо, що

. (17.2)

Тут – маса електрона, а – потенційна енергія електрона в електростатичному полі протона. Вважаючи на великих видаленнях від протона, можна написати

Хвильова функція повинна тоді задовольняти рівняння

. (17.3)

Ми хочемо знайти стани з певною енергією, тому спробуємо пошукати рішення, які мали б вигляд

. (17.4)

Тоді функція має бути вирішенням рівняння

, (17.5)

де - деяке постійне число(Енергія атома).

Якщо потенційна енергія залежить тільки від радіусу, то це рівняння краще вирішувати в полярних координатах. Лапласіан у прямокутних координатах визначався так:

.

Натомість ми хочемо скористатися координатами , , , зображеними на фіг. 17.1. Вони пов'язані з формулами точки.

Шредінгера для атома водню

Показав, що електрон може обертатися навколо ядра не за будь-якими, а лише за певними квантовими орбітами

· Показав, що всяке випромінювання або поглинання енергії атомом пов'язане з переходом між двома стаціонарними станамиі відбувається дискретно з виділенням чи поглинанням планківських квантів

Ввів поняття основного квантового числа для характеристики електрона. Розрахував спектр атома водню, показавши повний збіг розрахункових даних із емпіричними. Заклав (1921 р.) основи першої фізичної теоріїПеріодичної системи елементів, у якій пов'язав періодичність властивостей елементів із формуванням електронних конфігураційатомів у міру збільшення заряду ядра. Обґрунтував підрозділ груп періодичної системина головні та побічні. Вперше пояснив подібність властивостей рідкісноземельних елементів. Вніс значний внесок у ядерну фізику. Розвинув (1936) теорію складового ядра і теорії поділу ядер (1939). Член багатьох академій наук та наукових товариств. Іноземний член АН СРСР (з 1929 р.). Нобелівська преміяз фізики (1922).

Ейнштейн (Einstein) Альберт(1879-1955), фізик-теоретик, один із засновників совр. фізики, ін.ч.-к. РАН (1922) та ін. поч. ч. АН СРСР (1926). Род.в Німеччині, з 1893 жив у Швейцарії, з 1914 до Німеччини, в 1933 емігрував до США. Створив приватну (1905) та загальну (1907-16) теорії відносності. Автор основних тр. за квантовою теорією світла: ввів поняття фотона (1905), встановив закони фотоефекту, осн. закон фотохімії (закон Еге.), передбачив (1917) індуковане випромінювання. Розвинув статистич. теорію броунівського руху, заклавши основи теорії флуктуацій, створив квантову статистику Бозе - Е. З 1933 працював над проблемами космології та єдиної теоріїполя. У 30-ті роки. виступав проти фашизму, війни, у 40-ті – проти застосування ядерної зброї. У 1940 підписав лист президенту США, про небезпеку створення ядерної зброї в Німеччині, яке стимулювало амер. ядерні дослідження. Нобелівська премія (1921), за тр. з теоретич. фізики, особливо за відкриття законів фотоефекту

Луї де Бройль (Broglie) (15 серпня 1892 р. - 19 березня 1987 р.)

Його батько мав титул герцога. Виріс у витонченому та привілейованому середовищі французької аристократії, юнак ще до вступу до ліцею в Парижі був захоплений різними науками. Після періоду інтенсивних занять він у 1913 р. отримав вчений ступіньпо фізиці. У Паризькому університеті.
Де Бройль першим зрозумів, що й хвилі можуть поводитися як частинки, те й частки можуть поводитися як хвилі. Він застосував теорію Ейнштейна – Бора про дуалізм хвиля-часткадо матеріальних об'єктів.

У 1924 р. де Бройль представив свою роботу "Дослідження з квантової теорії" як докторська дисертація. Його опоненти та члени вченої ради були вражені, але налаштовані дуже скептично. Вони розглядали ідеї де Бройля як теоретичні вигадки, позбавлені експериментальної основи. Однак на вимогу Ейнштейна докторський ступіньйому все ж таки була присуджена. На Ейнштейна робота де Бройля справила велике враження, і він радив багатьом фізикам ретельно вивчити її. Ервін Шредінгер послухався поради Ейнштейна і поклав ідеї де Бройля в основу хвильової механіки, що узагальнила квантову теорію. У 1927 р. хвильова поведінка матерії отримала експериментальне підтвердження. У 1928 р. він був призначений професором теоретичної фізикиПаризький університет.
У 1929 р. " за відкриття хвильової природиелектронівде Бройль був удостоєний Нобелівської премії з фізики.Представляючи лауреата на церемонії нагородження, член Шведської королівської академіїнаук К.В. Озеєн зауважив: " Виходячи з припущення про те, що світло є одночасно і хвильовий рух, і потік корпускул [частинок], де Бройль відкрив зовсім новий аспект природи матерії, про який раніше ніхто не підозрював ... Блискуча здогад де Бройля вирішила давню суперечку, встановивши, що немає двох світів, один - світла і хвиль, інший - матерії і корпускул. Є лише один спільний світ ".
У 1933 р. де Бройля було обрано членом Французька академіянаук, а 1942 р. став її постійним секретарем.

Де Бройль ніколи не був одружений. Він любив робити піші прогулянки, читати, вдаватися до роздумів і грати в шахи.

Вернер Гейзенберг (Heisenberg) (5.XII. 1901 - 1.II. 1976)

Німецький фізик Вернер-Карл Гейзенбергнародився в Дуйсбурзі в сім'ї Августа Гейзенберга, професора давньогрецької мовиМюнхенський університет.

У 1920 р. він вступив до Мюнхенського університету, де вивчав фізику під керівництвом знаменитого Арнольда Зоммерфельда.
Гейзенберг був видатним студентом і вже в 1923 р. захистив докторську дисертацію. Вона була присвячена деяким аспектам квантової теорії. Найбільший інтересу Гейзенберга викликали невирішені проблеми будови атомаі все зростаючу невідповідність моделі, запропонованої Бором, експериментальним і теоретичним даними. У 1925 р. після нападу сінної лихоманки в пориві натхнення побачив зовсім новий підхід, що дозволяє застосувати квантову теорію до вирішення всіх проблем моделі Бора.
У 1927 році Гейзенберг став професором теоретичної фізики Лейпцизького університету. У тому ж році він опублікував роботу, що містить формулювання принципу невизначеності . Навіть теоретично електрону не можна приписати одночасно абсолютно точно відому просторову координату і точно відому швидкість.

У 1933 р. Гейзенбергу була вручено Нобелівську премію з фізики 1932 р.У 1941 р. був призначений професором фізики Берлінського університету та директором Фізичного інституту. Хоча він не був прихильником нацистського режиму, він, проте, очолив німецький проектз атомних досліджень. Гейзенберг сподівався отримати ядерну енергію, але некомпетентність уряду, його недалекоглядність, створили настільки серйозні перешкоди на шляху досліджень, що учасники німецького атомного проектуне змогли навіть побудувати ядерний реактор.
Після закінчення війни Гейзенберг серед інших німецьких фізиків було взято в полон і інтерновано до Великобританії. До Німеччини він повернувся в 1946 р. і обійняв посаду професора фізики Геттінгенського університету та директора Інституту Макса Планка. Виконуючи ці високі обов'язки, Гейзенберг брав участь у програмі отримання ядерної енергії. Він був серед вчених, які попереджали світ про небезпеку ядерної війни.

Рівні енергії та вид -функцій атома водню. В атомі водню електростатично взаємодіють ядро ​​із зарядом та електоон із зарядом -е та масою т. Потенційну енергіюїх взаємодії підставимо в рівняння Шредінгера (II.8):

Потенційне поле, створюване взаємодією електрона та протона, сферично симетрично щодо ядра, як початку координат. p align="justify"> Важливі квантово-механічні характеристики атома можна знайти, розглядаючи рух електрона в полярній сферичній системі координат. Як відомо, прямокутні координатипов'язані зі сферичними співвідношеннями:

Кут, утворений радіусом-вектором г - кут, утворений віссю х з проекцією радіус-вектора на площину.

собою оператор Лапласа "виражений у сферичних полярних координатах.

Вирішення цього рівняння пов'язане з великими труднощами. Для спрощення завдання шукаю власну хвильову функцію в рівнянні (II. 10), звану атомною орбіталлю(АТ), представляють у вигляді добутку трьох функцій:

Функція R (г) називається радіальною; - азимутальною, i - широтною.

Зазвичай кутова частина хвильової функції позначається. Не наводячи докладного рішеннярівняння 11.10*, розглянемо лише результати визначення радіальної та кутової частин хвильової функції F.

Рішенням рівняння Шредінгера щодо радіальної функції є вираз: -величини,

звані поліномами Ляггера, являють собою рішення диференціального рівняння: причому має бути позитивним цілим числом або нулем.

Оскільки / цілі числа, то

Рішення кутової функції (так звані сферичні гармоніки) задовольняють диференціальному рівнянню:

Для цих функцій виконані періодичні граничні умови, які випливають із вимоги незмінності хвильової функції при заміні

Якщо виразити функцію ¥ залежно від радіусу г, то рівняння (11.9) наводиться до вигляду:

Для цього лінійного диференціального рівняння другого порядку рішенням є (з точністю до деякого множника), де постійна підбирається так, щоб після підстановок (11.11) отримати тотожність. Диференціюваннямнайдемі разом зпідставимо в (II. 11).

Після скорочення на член е~аг

Рівняння (11.13) виражає найменший (основний) рівень енергії атомі водню (п = 1). Знак мінус означає, що для розведення електрона та протона на нескінченно велика відстаньпотрібна витрата енергії. Величина збігається з радіусом аналогічної орбіти теоретично Бора.

Можна показати, що рівняння Шредінгера має інші рішення, в яких

енергія рівня, триває дискретні значенняпри п = 2, 3,

4... . Ці нові рівні енергії притаманні збудженому атому водню. Число п, що визначає енергетичний рівеньелектрона називається головним квантовим числом.

Звідси випливає, що вид хвильової функції визначається заданою сукупністю чисел п, I, т. Цю функцію означають символом Щоб розрізняти конкретні орбіталі, справа внизу у символу V

вписують цифрами 1, 2, 3... значення пі літерами s, р, d, f... значення I = 0,1,

12, 3 відповідно. Наприклад, орбіталь з п = 2 та I = 0 записується орбіталь має п = 2, 1-1.

Таким чином, рішення рівняння Шредінгера для атома водню призводить до трьох взаємно пов'язаних квантових чисел п = 1, 2, 3, 4, ..., = 0, 1, 2, 3, ...,

п - 1 (всього п значень для кожного I); т = 0,.±1, ±2, ±3 ±1 (всього 21 + 1

значень від -I до -І), які характеризують рівні енергії та відповідні їм орбіталі

Кутові частини хвильової функції р-атомних орбіталейпредставлені у табл. 1 залежно від значень квантових чисел I і т. Тут наведені повні хвильові функціїотримані з урахуванням радіальних частин R(г) для тих самих АТ.

Таблиця 1 Нормовані хвильові функції водневих атомів;

Квантові числа, що виводяться формально в ході рішення рівняння Шредінгера, мають конкретний фізичний зміст. Вже говорилося, що головне квантове число п характеризує можливі рівні електронної енергіїатома. Що ж до орбітального квантгтого числа /, то теоретичний аналіздозволяє розглядати його як величину орбітального моменту кількості руху електрона щодо осі г

Магнітне квантове число т має сенс проекції орбітального моменту деякий напрямок. Як і його проекція можуть набувати лише дискретні значення, т. е. квантуються. З числом I зв'язується форма електронної хмари, і з числом т - орієнтація хмари у просторі. Головне квантове число п визначає не тільки енергію, а й розмір електронної хмари: збільшення п відповідає збільшенню енергії та розміру хмари.

Квантові числа п, I, т недостатні повної характеристикиенергії та стану електрона в атомі. Вивчення атомних спектрів, знятих у магнітному полі, показало, що крім трьох ступенів свободи руху (г, О і<р) электрон должен иметь еще и четвертую - вращение вокруг собственной оси. Проекция углового момента количества движения электрона на ось г может иметь два значенияи

які називаються спіновими квантовими числами та позначаються буквою ms.

Спинове квантове число не визначає форму, розмір, орієнтацію, енергію (за звичайних умов) електронної хмари, проте вона має важливе значення для теорії електронної структури атома, пояснення природи ковалентного зв'язку, парамагнетизму тощо.